Correlação teórico-experimental de modelos dinâmicos de estruturas aeroespaciais leves

(1)

Universidade de Brasília - UnB Faculdade UnB Gama - FGA Curso de Engenharia Aeroespacial

CORRELAÇÃO TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE MODELOS DINÂMICOS DE ESTRUTURAS

AEROESPACIAIS LEVES

Autor:Allan Corrêa Domingues Orientador: Prof. Dr. Sergio Henriqueda Silva Carneiro

Brasília, DF

2017

(2)

Allan Corrêa Domingues

TÍTULO:CORRELAÇÃO TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE MODELOS DINÂMICOS DE ESTRUTURAS AEROESPACIAIS LEVES

Monografia submetida ao curso de graduação em Engenharia Aeroespacial da Universidade de Brasília, como requisito parcial para obtenção do Título de Bacharelem Engenharia Aeroespacial.

Orientador: Prof. Dr. Sergio H. S. Carneiro

Brasília, DF 2017

(3)

CIP – Catalogação Internacional da Publicação*

Domingues, Allan C.

Correlação Teórico-Experimental de Modelos Dinâmicos de Estruturas Aeroespaciais Leves/ Allan C. Domingues. Brasília:

UnB, 2017. 82p. : il. ; 29,5 cm.

Monografia (Graduação) – Universidade de Brasília Faculdade do Gama, Brasília, 2017. Orientação: Dr. Sergio H.

S. Carneiro.

1. Análise Modal Experimental. 2. Parâmetros Modais. 3.

Honeycomb I. Carneiro, Sergio H. S.. II. Correlação Teórico- Experimental de Modelos de Estruturas Aeroespaciais Leves.

CDU Classificação

(4)

REGULAMENTO E NORMA PARA REDAÇÃO DE RELATÓRIOS DE PROJETOS DE GRADUAÇÃO FACULDADE DO GAMA - FGA

Allan Corrêa Domingues

Monografia submetida como requisito parcial para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Aeroespacial da Faculdade UnB Gama - FGA, da Universidade de Brasília, em (data da aprovação 06/07/17) apresentada e aprovada pela banca examinadora abaixo assinada:

Prof. Dr.Sergio Henriqueda Silva Carneiro, UnB/ FGA Orientador

Prof. Dr. Artem Andrianov, UnB/ FGA Membro Convidado

Prof. Dr.Manuel Nascimento Dias Barcelos Júnior, UnB/ FGA Membro Convidado

Brasília, DF 2017

(5)

Esse trabalho é dedicado aos que sempre me deram apoio e fizeram de tudo para que não me faltasse nada e pudesse alcançar meu sonho de poder fazer esse curso.

(6)

AGRADECIMENTOS

Quero agradecer primeiramente a Deus, que me conduziu para que eu pudesse chegar até aqui. Aos meus pais, que sempre estiveram ao meu lado dando apoio e possibilitando que eu pudesse me dedicar a esse curso. À minha namorada Sumara, que me ajudou nas horas de desânimo e cansaço. Ao meu orientador Dr.

Sergio H. S. Carneiro, que sempre deu conselhos e serve como motivador para a carreira futura na indústria aeroespacial que ainda me espera. Aos professores Dr.

Adriano Todorovic Fabro e Dr. Marcus Vinicius Girão, da Faculdade de Tecnologia da UnB, que dedicaram equipamento e tempo para nos ajudar com que esse projeto fosse possível. Ao mestrando Kleverson, que trabalhou juntamente comigo nas análises experimentais e na concepção do modelo de elementos finitos. E à Universidade de Brasília que me possibilitou cursar o curso de Engenharia Aeroespacial.

(7)

Confie no Senhor de todo o seu coração e não se apoie em seu próprio entendimento.

(Provérbios 3:5)

(8)

RESUMO

Nas engenharias mecânica, aeroespacial, civil,os projetos estão constantemente sujeitos as cargas dinâmicas. Essas cargas dinâmicas podem causar danos às estruturas e com isso causar graves acidentes. Por essa razão, é de extrema importância identificar os parâmetros modais de uma estrutura ao fazer a concepção de um projeto. A determinação desses parâmetros consiste em identificar as frequências naturais, fatores de amortecimento e modos naturais de vibração. Estes parâmetros também são importantes para determinar a vida útil do material utilizado, bem como identificar possíveis falhas na estrutura. A sua obtenção pode ser realizada por meio de ensaio modal experimental ou de modelos teóricos utilizando método de elementos finitos. Esse trabalho visa apresentar formas de obter essas propriedades utilizando estudo teórico e experimental. Além de correlacioná-los visando obter uma visão ampla dessas características para uma melhor compreensão do comportamento das estruturas. Serão apresentados ensaios modais realizados em painéis leves do tipo sanduíche com núcleo de honeycomb em condição de contorno livre-livre e os respectivos modelos de elementos finitos.

Palavras-chave: Análise modal experimental, parâmetros modais,honeycomb

(9)

ABSTRACT

In mechanical, aerospace, civil engineering, the projects are constantly subject to dynamic loads. These dynamic loads can cause damage to the structures and cause serious accidents. For this reason, it is extremely important to identify the modal parameters of a structure when designing a project. The determination of these parameters consists of identifying natural frequencies, damping factors and natural modes of vibration. They also collaborate to determine the useful life of the material used, as well as to identify possible failures in the structure. They can be obtained through experimental modal test or theoretical models using finite element method.

This work will present ways to obtain these properties using theoretical and experimental study. In addition to correlating them to obtain a broad view of these characteristics for a better understanding of the behavior of structures. We will present modal tests performed on sandwich panels with honeycomb core in free-free boundary condition and the respective finite element models.

Keywords: experimental modal analysis, modal parameters, honeycomb.

(10)

LISTA DE FIGURAS

Figura 2. 1.Sistema massa-mola-amortecedor ... 16

Figura 2. 2. Sistema massa-mola-amortecedor com duas massas ... 23

Figura 2. 3. Exemplo de Diagrama de Bode (a) FRF (b) Fase (c) Coerência ... 31

Figura 2. 4. Diagrama de Nyquist para a Mobilidade (Soeiro 2001) ... 32

Figura 2. 5. Geometria dos painéis sanduiche do tipo honeycomb (a) células do núcleo. (b) camadas (HexWeb, 1999). ... 35

Figura 3. 1. Configuração de ensaio modal com (1) Aquisição de dados Labview, (2) vibrômetro LDV Polytec 100, e (3) Painel honeycomb pendurado por fios de nylon. ... 39

Figura 3. 2. Painel de 10mm de espessura com fitas reflexivas nos pontos de medição ... 39

Figura 3. 3. Representação gridde medição e pontos de excitação (círculos) para p painel de 10 mm de espessura. ... 40

Figura 3. 4. Representação gridde medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 15 mm de espessura. ... 40

Figura 3. 5. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 30 mm de espessura. ... 41

Figura 3. 6. Representação grid de medição e pontos de excitação (círculos) para o painel de 39,5 mm de espessura. ... 41

Figura 4. 1. Convergência de malha painel de 10mm de espessura ... 45

Figura 4. 2. Soma das FRFs para o painel de 10mm ... 46

Figura 4. 3. Diagrama de Estabilização painel 10mm ... 46

Figura 4. 4. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 10 mm ... 48

Figura 4. 9. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos - painel 10mm ... 51

Figura 4. 10. Modo 1 painel de 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ... 52

Figura 4. 12. Modo 4 painel 10mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ... 53

Figura 4. 14. Convergência de Malha Painel de 15mm ... 54

Figura 4. 16. Diagrama de Estabilização painel de 15mm ... 56

Figura 4. 20.Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 4 no Ponto A1 do painel de 15 mm ... 58

Figura 4. 21. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 5 no Ponto A1 do painel de 15 mm ... 59 Figura 4. 22. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 15 mm

(11)

Figura 4. 27. Convergência de malha do painel de 30mm de espessura ... 63

Figura 4. 29. Diagrama de estabilidade painel de 30mm ... 64

Figura 4. 36. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 30 mm ... 69

Figura 4. 40. Convergência de Malha painel 39,5mm de espessura ... 72

Figura 4. 41. Soma das FRFs para o painel de 39,5mm... 73

Figura 4. 42. Diagrama de estabilização painel de 39,5mm ... 73

Figura 4. 43. Diagrama de Nyquist e Diagrama de Bode para o Modo 1 no Ponto A1 do painel de 39,5 mm ... 74

Figura 4. 46. Amplitudes das FRFs experimentais e Modos naturais numéricos painel 39,5 mm ... 76

Figura 4. 47. Modo 1 painel 39,5mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ... 77

Figura 4. 48. Modo 2 painel39,5mm de espessura (a) Experimental (b) Numérico ... 77

Figura 4. 49. Modo 3 painel39,5mm de espessura (a)Experimental ensaio com excitação em F1 (b) Numérico ... 78

Figura 4. 50. Modo 4 painel39,5mm de espessura (a) Experimental ensaio com excitação em H2 (b) Numérico ... 78

(12)

LISTA DETABELAS

Tabela 2. 1. Efeito da variação da espessura do honeycomb nas frequências naturais

(Boudjemai et. al., 2011). ... 36 Tabela 2. 2. Efeito da variação da espessura da face nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011) ... 36 Tabela 2. 3. Efeito da variação do tamanho das células nas frequências naturais (Boudjemai et. al., 2011) ... 37

Tabela 3. 1. Características dos painéis. ... 38

Tabela 4. 1. Frequências Numéricas Painel 10mm de espessura ... 45 Tabela 4. 2. Frequênciase razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 10 mm ... 47 Tabela 4. 3. Comparação entre experimental e numérico painel de 10 mm ... 51 Tabela 4. 4. Frequências numéricas painel de 15mm ... 55 Tabela 4. 5. Frequênciase razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 15 mm ... 56 Tabela 4. 6. Comparação entre experimental e numérico painel de 15 mm ... 59 Tabela 4. 7. Frequências numéricas painel 30mm ... 63 Tabela 4. 8. Frequênciase razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 30 mm ... 65 Tabela 4. 9. Comparação entre experimental e numérico painel de 30 mm ... 69 Tabela 4. 10. Frequências numéricas painel 39,5mm ... 72 Tabela 4. 11. Frequências e razão de amortecimento obtido experimentalmente para o painel de 39,5 mm ... 74 Tabela 4. 12. Comparação entre experimental e numérico painel de 39,5 mm ... 76

LISTA DE SIGLAS

FRF Função de Resposta em Frequência

MEF Método de Elementos Finitos

(13)

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos Latinos Unidades

A, C, X Coeficientes das equações de deslocamento

F0 Força inicial [N]

am, bm, a0 Coeficientes da série de Fourier

𝑐 Constante de amortecimento viscoso [N.s/m]

f0 Força inicial normalizada pela massa [N/Kg]

𝑗 Unidade imaginária, √−1 Adimensional

𝑘 Rigidez da mola [𝑁/𝑚]

X Deslocamento [m]

ẋ Primeira derivada do deslocamento pelo tempo [m/s]

ẍ Segunda derivada do deslocamento pelo tempo [m/s²]

M Massa [Kg]

x0 Posição inicial [m]

v0 Velocidade inicial [m/s]

Símbolos Gregos

Θ Variação angular [rad]

Φ Ângulo de fase [rad]

Λ Autovalor Adimensional

δ(t) Delta de Dirac

ωn Frequência natural angular [𝑟𝑎𝑑/𝑠]

Ω Frequência angular [rad/s]

ωd Frequência natural amortecida [rad/s]

Ζ Fator de amortecimento normalizado pela

massa Admensional

Matrizes

C Matriz de amortecimento

F Vetor forçamento

K Matriz de rigidez

M Matriz de massa

X Vetor deslocamento

X⁽ⁱ⁾ Vetor modal i

x⁽ⁱ⁾ Modo de vibração i

(14)

SUMÁRIO

1INTRODUÇÃO ... 14

1.1 ESCOPO ... 14

1.2 OBJETIVO ... 14

1.2.1 Objetivo geral ... 14

1.2.2 Objetivos específicos ... 14

1.3 METODOLOGIA... 15

1.4 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO ... 15

2REVISÃO TEÓRICA ... 16

2.1 GRAUS DE LIBERDADE ... 16

2.2 SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE ... 16

2.2.1 Resposta livre e sem amortecimento ... 17

2.2.2 Resposta livre com amortecimento viscoso ... 18

2.2.3 Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento. ... 19

2.2.4Resposta forçada harmonicamente e com amortecimento viscoso: ... 20

2.2.5 Resposta do sistema para forças gerais ... 21

2.3 MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE ... 22

2.4 ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL ... 25

2.4.1 Excitadores ... 27

2.4.1.1Martelo de impacto ... 27

2.4.1.2Shakers ... 28

2.4.2 Sensores ... 28

2.4.2.1Acelerômetros ... 28

2.4.2.2Vibrômetro laser doppler ... 29

2.5 SÉRIE DE FOURIER E TRANSFORMADA DE FOURIER ... 29

2.6 FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA ... 30

2.7 MÍNIMOS QUADRADOS PARA EXPONENCIAIS COMPLEXAS ... 32

2.8 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ... 34

2.9 ESTRUTURAS SANDUÍCHES DE NÚCLEO HONEYCOMB ... 35

3MATERIAIS E MÉTODOS ... 38

3.1 TESTE MODAL ... 38

3.2 MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS ... 42

4RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 44

4.1 PAINEL 10mm DE ESPESSURA ... 44

4.1.1 Modelo numérico... 44

4.1.2 Análise modal experimental ... 45

4.2.2 Análise modal experimental ... 55

Análise modal experimental ... 63

4.4 PAINEL 39,5mm DE ESPESSURA ... 71

4.4.2 Análise modal experimental ... 72

5CONCLUSÃO ... 79

5.1 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 79

5.2 TRABALHOS FUTUROS ... 80

6REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 81

(15)

1. INTRODUÇÃO 1.1. ESCOPO

Na indústria aeroespacial, estruturas do tipo honeycomb são comumente utilizadas, pois possuem boa resistência mecânica associada a um peso reduzido.

Essas características fazem dessa estrutura uma escolha natural no desenvolvimento do satélite geoestacionário brasileiro, diminuindo o peso da carga efetiva e consequentemente os custos de lançamento. Este satélite estará sujeito a vibrações durante o transporte até a área de lançamento e durante o lançamento (Cho et. al., 2011) que podem causar desgastes e danos à estrutura. Por esta razão é importante compreender o comportamento dinâmico dessas estruturas a fim de evitar perdas no projeto.

O estudo desse comportamento se dá por meio da identificação de propriedades dinâmicas tais como frequências naturais, fator de amortecimento e os modos naturais de vibração (Soeiro, 2001). Esse tipo de estudo possui relevância na engenharia por contribuir para determinar a integridade de uma estrutura (Ewins, 2000). Esta identificação é comumente realizada por meio da correlação de ensaios modais experimentais e modelos numéricos de elementos finitos. Para os ensaios modais nessas estruturas o uso de um vibrômetro laser se mostra relevante uma vez que elas possuem peso reduzido e o vibrômetro irá medir a resposta do sistema sem a necessidade de um contato direto com a estrutura, ou seja, sem a necessidade de adicionar uma massa ao sistema.

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. Objetivo geral

O objetivo deste trabalho é realizar a caracterização do comportamento estrutural dinâmico de quatro painéis do tipo sanduíche com núcleo de honeycomb para aplicações aeroespaciais. Essas características serão obtidas por meio de ensaios modais e modelagem numérica de elementos finitos desses painéis.

1.2.2. Objetivos específicos

Para realizar a caracterização desses painéis são estabelecidos os seguintes objetivos específicos:

(16)

 Avaliar diferentes estratégias modelagem numérica de quatro painéis honeycomb com diferentes geometrias utilizando o Método de Elementos Finitos.

 Identificar as frequências e modos naturais de vibrações e fatores de amortecimento dos painéis por meio da análise modal experimental.

 Correlacionar os resultados dos modelos dinâmicos numéricos com os resultados experimentais.

 Indicar a adequação de cada estratégia de modelagem e apresentar a recomendação de seleção de tipo de elementos finitos a serem utilizados, de acordo com a geometria dos painéis.

1.3. METODOLOGIA

Para obter as características dinâmicas dos painéis honeycomb os ensaios foram realizados por meio do teste de impacto e condições de contorno que simulassem a condição do tipo livre-livre. As respostas foram obtidas utilizando um vibrômetro laser doppler que media a velocidade instantânea dos painéis. Esses dados serão utilizados na validação do modelo de elementos finitos desenvolvido no software ANSYS^®.

1.4. APRESENTAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho está organizado em 5 capítulos. O primeiro é referente à introdução, incluindo contextualização e objetivos. O segundo capítulo é composto pela revisão teórica, para uma melhor compreensão dos conceitos envolvidos na análise modal. No terceiro capítulo é apresentada a metodologia utilizada em cada fase do trabalho, desde os ensaios modais até a modelagem de elementos finitos.

No quarto capítulo é feita a análise dos resultados e a discussão sobre o que eles significam. Por fim, no quinto capítulo é feita uma conclusão do tema abordado.

(17)

2. REVISÃO TEÓRICA

Neste capitulo serão apresentados os principais conceitos envolvendo o estudo de vibrações. Bem como definir a melhor forma de obter as características modais de uma estrutura.

2.1. GRAUS DE LIBERDADE

O número de graus de liberdade de um sistema é definido pela quantidade de variáveis independentes capazes de descrever o comportamento desse sistema ao longo do tempo. Em um sistema mecânico, esses graus de liberdade estarão associados a cada ponto de massa do sistema ligados entre si por algum mecanismo, como por exemplo: um sistema massa-mola-amortecedor ou pêndulo composto que para cada massa será atribuída uma variável independente (Rao, 2008).

2.2. SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE

O modelo idealizado de uma estrutura é um sistema massa-mola- amortecedor, onde a massa representa a inércia da estrutura, a mola representa a rigidez e o amortecedor a energia dissipada (Agilent Technologies). E a partir desse modelo é possível obter as propriedades dinâmicas de uma estrutura, tais como:

frequências naturais, fator de amortecimento e modos naturais de vibração.

Figura 2. 1.Sistema massa-mola-amortecedor

Aplicando a segunda lei de Newton no sistema da Fig (2.1) poderemos analisar seu comportamento dinâmico.

∑ 𝐹=ma (1)

(18)

Onde F é a força resultante, m é a massa do sistema e a é a aceleração. A aceleração pode ser representada pela segunda derivada da posição.

a=ẍ (t) (2)

Admitimos que as forças que agem no sistema são:

Força exercida pela mola é dada por Fm=-kx, onde k é a rigidez da mola e x é o deslocamento e possui sinal negativo pois é oposta a direção de x

Força exercida pelo amortecedor é dada por Fa=-cẋ, onde c é a constante de amortecimento viscoso e ẋ é a velocidade do sistema e essa força também é oposta a direção de x.

E uma força qualquer F(t)

-kx -cẋ+F(t)=mẍ (3)

mẍ+cẋ+kx=F(t) (4)

O sistema será classificado como não amortecido quando c=0, ou seja, não há dissipação da energia nele. Quando c≠0 o sistema é um sistema amortecido que irá dissipar energia até que não haja mais movimento (Rao, 2008, Inman, 2014).

Quando F(t)=0 o sistema será um sistema de vibração livre, ou seja, após uma excitação inicial ele continuará vibrando independente de força externa. Em contrapartida, quando F(t)≠0 o sistema será classificado como vibração forçada.

2.2.1. Resposta livre e sem amortecimento

Para esse sistema teremos F(t)=0 e c=0.

mẍ+kx=0 (5)

Dividindo a Eq. (10) pela massa.

ẍ+ωn2x=0 (6)

ωn2=^𝑘

𝑚 (7)

ωn é a frequência natural do sistema que é dada em função da rigidez e da massa do sistema.

(19)

O deslocamento x(t) será dado pela solução da equação diferencial dada por:

x(t)=A1cos(ωnt)+ A2sen(ωnt) (8)

Onde A1 e A2 são constantes dadas pelas condições iniciais do sistema.

A1=x0essa é a amplitude inicial do sistema.

ẋ(t)= ωn(-A1sen(ωnt)+A2(cos(ωnt)) (9)

v(0)= ẋ(0)=v0 (10)

A2=^𝑣⁰

𝜔_𝑛 (11)

Substituindo A1 e A2 na Eq. (8) a resposta do sistema será dada da seguinte forma

x(t)=x0cos(ωnt)+^𝑣⁰

𝜔_𝑛sen(ωnt) (12)

2.2.2. Resposta livre com amortecimento viscoso F(t)=0 e c≠0

mẍ+cẋ+kx=0 (13)

Dividindo a eq. (17) pela massa

ẍ+2ζωnẋ+ωn2x=0 (14)

Onde ζ é o fator de amortecimento normalizado pela massa dado por:

ζ= ^𝑐

2𝑚𝜔_𝑛 (15)

A resposta do sistema será dada por:

x(t)= Ae^-ζωntsen(ωdt+ϕ) (16)

(20)

A=√^(𝑣⁰^+𝜁𝜔^𝑛^𝑥⁰⁾²^+(𝑥⁰^𝜔^𝑑⁾²

𝜔_𝑑² (17)

Sendo A a amplitude inicial do sistema ϕ=tan^-1 ^𝑥⁰^𝜔^𝑑

𝑣₀+𝜁𝜔_𝑛𝑥₀ (18)

ϕ é a fase inicial

ωd=ωn√1 − 𝜁² (19)

ωd é a frequência do sistema amortecido

2.2.3. Resposta forçada harmonicamente sem amortecimento.

F(t)=F0cos(ωt) e c=0

mẍ+kx=F0cos(ωt) (20)

A solução será dividida em duas partes.

Sendo a primeira a solução da equação harmônica

xh(t)=C1cos(ωnt)+C2sen(ωnt) (21)

E a segunda será a solução particular da equação dada por:

xp(t)=Xcos(ωt) (22)

Onde:

X= ^𝐹⁰

𝑘−𝑚𝜔² (23)

O deslocamento do sistema será dado por:

x(t)= C1cos(ωnt)+C2sen(ωnt)+ ^𝐹⁰

𝑘−𝑚𝜔²cos(ωt) (24)

Onde C1 e C2 são constantes dadas pelas condições iniciais do sistema.

C1=x0 - ^𝐹⁰

𝑘−𝑚𝜔² (25)

(21)

C2=^𝑣⁰

𝜔_𝑛 (26)

Por conseguinte, a resposta do sistema no tempo com uma força harmônica e sem amortecimento será dada por:

x(t)=(x0 - ^𝑓⁰

𝜔_𝑛²−𝜔²)cos(ωnt)+^𝑣⁰

𝜔_𝑛sen(ωnt)+ ^𝑓⁰

𝜔_𝑛²−𝜔²cos(ωt) (27) Onde f0 é a força normalizada pela massa dada por:

f0=^𝐹⁰

𝑚 (28)

Observando o sistema podemos notar que lim

𝜔→𝜔_𝑛 𝑓₀

𝜔_𝑛²−𝜔²=∞ logo a amplitude do sistema iria crescer indefinidamente causando o efeito de ressonância (Rao 2008).

2.2.4. Resposta forçada harmonicamente e com amortecimento viscoso:

F(t)=F0cos(ωt) e c≠0

mẍ+cẋ+kx=F0cos(ωt) (29)

Onde F0 é a força inicial e ω é uma frequência qualquer. A solução particular do sistema será

xp=Xcos(ωt-θ) (30)

Onde:

tanθ=_(𝜔^2𝜁𝜔^𝑛^𝜔

𝑛2−𝜔²) (31)

X= ^𝑓⁰

√(𝜔_𝑛²−𝜔²)²+ (2𝜁𝜔_𝑛𝜔)²

(32)

A solução harmônica:

xh(t)= Ae^-ζωntsen(ωdt+ϕ) (33)

tanϕ = _𝑣 ^𝜔^𝑑^(𝑥⁰^{−𝑋𝑐𝑜𝑠)}

0+(𝑥₀−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃)𝜁𝜔_𝑛−𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛 (34)

A=^𝑥⁰^{−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃}_{𝑠𝑒𝑛𝜙} (35)

(22)

Logo a equação da resposta do sistema no tempo será dada por x(t)=^𝑥⁰^{−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃}

𝑠𝑒𝑛𝜙 e^-ζωntsen(ωdt+ϕ)+ ^𝑓⁰

√(𝜔_𝑛²−𝜔²)²+ (2𝜁𝜔_𝑛𝜔)²

cos(ωt-θ) (36)

2.2.5. Resposta do sistema para forças gerais

Supondo que essa força seja periódica, ou seja, F(t)=F(t±T) onde T é o período da força e que ela possa ser escrita na forma de série de Fourier.

F(t)= ^𝑎⁰

2 + ∑^∞_𝑚=1(𝑎_𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) + 𝑏_𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜔𝑡)) (37) mẍ+cẋ+kx= ^𝑎⁰

2 + ∑^∞_𝑚=1(𝑎_𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) + 𝑏_𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑚𝜔𝑡)) (38) Como estamos tratando o sistema como um sistema linear, podemos separar cada uma das equações diferencias:

mẍ+cẋ+kx= ^𝑎⁰

2 (39)

mẍ+cẋ+kx= 𝑎_𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) (40)

mẍ+cẋ+kx=𝑏_𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜔𝑡) (41)

Cada uma das equações diferenciais terá uma solução e o resultado final será o somatório dessas soluções.

xp(t)= ^𝑎⁰

2𝑘 (42)

xp(t)=

𝑎𝑚𝜔𝑛2 𝑘

√(𝜔_𝑛²−𝑚²𝜔²)²+ (2𝜁𝑚𝜔_𝑛𝜔)²

cos(mωt-θm) (43)

xp(t)=

𝑏𝑚𝜔𝑛2 𝑘

√(𝜔_𝑛²−𝑚²𝜔²)²+ (2𝜁𝑚𝜔_𝑛𝜔)²

sen(mωt-θm) (44)

tanθm= ^{2𝑚𝜁𝜔}^𝑛^𝜔

(𝜔_𝑛²−𝑚²𝜔²) (45)

Agora iremos analisar um sistema com uma força do tipo impulso. O impulso é caracterizado por uma força aplicada por um instante de tempo finito do tipo I=FΔt.

(23)

A magnitude desse impulso é calculada pela integral

I=∫_𝑡^𝑡+∆𝑡𝐹𝑑𝑡 (46)

Quando calculado o limite de I quando Δt0 é definido como impulso unitário.

∆𝑡→0𝑙𝑖𝑚 ∫_𝑡^𝑡+∆𝑡𝐹𝑑𝑡 =1 (47)

Essa função é denominada delta de Dirac δ(t) Logo a Eq.(4) ficaria da seguinte forma

mẍ+cẋ+kx= δ(t) (48)

Considerando a Eq. (36) a resposta do sistema seria dado por x(t)=^𝑥⁰^{−𝑋𝑐𝑜𝑠𝜃}

𝑠𝑒𝑛𝜙 e^-ζωntsen(ωdt+ϕ)+

𝛿(𝑡) 𝑚

√(𝜔_𝑛²−𝜔²)²+ (2𝜁𝜔_𝑛𝜔)²

cos(ωt-θ) (49)

A Equação (9) também poderia ser resolvida utilizando a transformada de Fourier.

m(jω)²X(jω) - mẋ(0)-mx(0)+c jωX(jω)- cx(0) + kX(jω)=1 (50) X(jω)=1+𝑚ẋ(0)+(𝑚+𝑐)𝑥(0)

𝑚𝑗𝜔²+𝑐𝑗𝜔+𝑘 (51)

Essa será a resposta do sistema no domínio da frequência.

2.3. MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

Para compreender o comportamento de um sistema com múltiplos graus de liberdade iremos analisar primeiramente um sistema com dois graus de liberdade.

Supondo um sistema massa-mola-amortecedor com duas massas ligadas entre si por uma mola e um amortecedor como na Fig. (2.2):

(24)

Figura 2. 2. Sistema massa-mola-amortecedor com duas massas Analisando cada uma das massas as equações serão da seguinte forma:

ẍ1m1+cẋ1+(k1+k2)x1-k2x2=F(t) (52)

ẍ2m2+cẋ2+(k2+k3)x2-k2x1=0 (53)

Onde x1, ẋ1, ẍ1 é a posição, velocidade e aceleração da massa m1 e x2, ẋ2, ẍ2 é a posição, velocidade e aceleração da massa m2. Podemos escrever este sistema em forma de matriz:

[𝑚₁ 0 0 𝑚₂] [ẍ₁

ẍ₂] + [𝑐 0 0 𝑐] [ẋ₁

ẋ₂] +[𝑘₁+ 𝑘₂ −𝑘₂

−𝑘₂ 𝑘₂+ 𝑘₃] [𝑥₁

𝑥₂]=[𝐹(𝑡)

0 ] (54)

M[ẍ₁

ẍ₂]+C[ẋ₁

ẋ₂] + 𝑲 [𝑥₁

𝑥₂] = 𝑭 (55)

Onde M é a matriz de massa dada por [𝑚₁ 0 0 𝑚₂] C é a matriz de amortecimento [𝑐 0

0 𝑐] K é a matriz de rigidez [𝑘₁+ 𝑘₂ −𝑘₂

−𝑘₂ 𝑘₂+ 𝑘₃] F é o vetor forçamento [𝐹(𝑡)

0 ]

Analisando o sistema sem amortecimento e resposta livre M[ẍ₁

ẍ₂] + 𝑲 [𝑥₁

𝑥₂] = 𝟎 (56)

As frequências naturais do sistema serão dadas pelo determinante

det(–ω²M+K)= 0 (57)

(25)

O determinante dessa matriz gera a equação de frequência do quarto grau, porém poderá ser tratada como uma equação do segundo grau utilizando ω²como variável. Com isso observamos que para um sistema com dois graus de liberdade teremos duas frequências naturais ω1 e ω2. Logo, podemos compreender que o número de frequências naturais de um sistema estará associado ao seu grau de liberdade.

A solução desse sistema será dada por:

x1(t)=X1cos(ω+ϕ) (58)

x2(t)=X2cos(ω+ϕ) (59)

Onde ω é obtido pelo determinante eq. (57) e X1 e X2 são dependentes de ω1

e ω2, dessa forma X1 e X2 serão dados por:

(–ω²M+K)[𝑋₁

𝑋₂]=0 (60)

X1= 𝑋₁⁽¹⁾, 𝑋₁⁽²⁾ X2= 𝑋₂⁽¹⁾, 𝑋₂⁽²⁾

Onde 𝑋₁⁽¹⁾ e 𝑋₂⁽¹⁾ dependem de ω1 e 𝑋₁⁽²⁾ e 𝑋₂⁽²⁾ dependem de ω2.

Como é uma solução homogênea podemos escrever as seguintes razões:

r1= ^𝑋²

(1)

𝑋₁⁽¹⁾=^−𝑚¹^𝜔¹²^+(𝑘¹^+𝑘²⁾

𝑘₂ = ^𝑘²

−𝑚₂𝜔₁²+(𝑘₂+𝑘₃) (61)

r2= ^𝑋²

(2)

𝑋₁⁽²⁾=^−𝑚¹^𝜔²²^+(𝑘¹^+𝑘²⁾

𝑘₂ = ^𝑘²

−𝑚₂𝜔₂²+(𝑘₂+𝑘₃) (62)

Se analisarmos a solução para cada uma das frequências separadamente teremos os vetores modais X⁽¹⁾e X⁽²⁾. Esses vetores modais são dados por:

X⁽¹⁾=[𝑋₁⁽¹⁾

𝑋₂⁽¹⁾]=[ 𝑋₁⁽¹⁾

𝑟₁𝑋₁⁽¹⁾] (63)

(26)

X⁽²⁾=[𝑋₁⁽²⁾

𝑋₂⁽²⁾]=[ 𝑋₁⁽²⁾

𝑟₂𝑋₁⁽²⁾] (64)

A solução da eq.(58) para cada frequência é

x⁽¹⁾=[ 𝑋₁⁽¹⁾cos(𝜔₁𝑡 + 𝜙₁)

𝑟₁𝑋₁⁽¹⁾cos(𝜔₁𝑡 + 𝜙₁)] (65)

x⁽²⁾=[ 𝑋₁⁽²⁾cos(𝜔₂𝑡 + 𝜙₂)

𝑟₂𝑋₁⁽²⁾cos(𝜔₂𝑡 + 𝜙₂)] (66)

Onde x⁽¹⁾ e x⁽²⁾ são o primeiro e o segundo modo de vibração respectivamente e 𝑋₁⁽¹⁾, 𝑋₁⁽²⁾, 𝜙₁𝑒 𝜙₂são determinados pelas condições iniciais.

𝑋₁⁽¹⁾= ¹

𝑟₂−𝑟₁[(𝑟₂𝑥₀₁− 𝑥₀₂)²+^(−𝑟²^𝑣⁰¹^+𝑣⁰²⁾²

𝜔₁² ]^1/2 (67)

𝑋₁⁽²⁾= ¹

𝑟₂−𝑟₁[(−𝑟₂𝑥₀₁+ 𝑥₀₂)² +^(𝑟²^𝑣⁰¹^−𝑣⁰²⁾²

𝜔₂² ]^1/2 (68)

tan(𝜙₁) = ^−𝑟²^𝑣⁰¹^+𝑣⁰²

𝜔₁(𝑟₁𝑥₀₁−𝑥₀₂) (69)

tan(𝜙₂) = ^𝑟²^𝑣⁰¹^−𝑣⁰²

𝜔₂(−𝑟₁𝑥₀₁+𝑥₀₂) (70)

x01 e x02 são as posições iniciais, v01 e v02 são as velocidades iniciais.

2.4. ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL

Ewins define teste modal como o processo que envolve uma estrutura a fim de se obter uma descrição matemática de seu comportamento dinâmico (Ewins, 2000). Quando esse teste modal é realizado conhecendo a força de excitação, ele é chamado de Análise Modal Experimental (Gevinski, 2014). A análise modal experimental é uma ferramenta que auxilia na obtenção das características modais de uma estrutura.Tais características são as frequências naturais, o fator de

(27)

A aplicação mais comum desse tipo de análise é para a validação de modelos teóricos de elementos finitos (Ewins, 2000). Além disso, permite obter propriedades dinâmicas que muitas das vezes o modelo de elementos finitos não é capaz de identificar como amortecimento e características de não linearidade (Gevinski, 2014).

Ela também pode contribuir para determinar se há possíveis falhas na estrutura, determinar o amortecimento crítico e indicar a vida útil de cada material (Craig et. al., 2006).

Ela percorre o caminho inverso do caminho teórico (Ewins, 2000). Na teoria a partir do modelo massa-mola-amortecedor são aplicadas ferramentas matemáticas para atingir as propriedades dinâmicas da estrutura e por fim se obter o comportamento delas ao longo do tempo seja o deslocamento, velocidade ou aceleração. Já na análise modal experimental primeiramente se analisa o comportamento do sistema em relação a uma determinada entrada, passado por ferramentas matemáticas onde se identificam as propriedades dinâmicas até que se atinja um modelo da estrutura.

Essa análise consiste em excitar a estrutura e investigar seu comportamento por meio de sensores de velocidade, aceleração ou deslocamento. Depois se relaciona o sinal de entrada do sistema com o sinal de saída por meio da Função de Transferência. Tal função pode ser dada no domínio da transformada de Laplace ou no domínio da transformada de Fourier. Ao utilizar a transformada de Fourier ela é chamada de Função de Resposta em Frequência (FRF) (Soeiro, 2001).

Ao realizar um experimento de análise modal é necessário levar alguns fatores em consideração. Primeiramente é primordial definir o tipo de contorno. Ele pode ser do tipo livre-livre ou restrito. Ambos são difíceis de serem implementados de forma propriamente dita. O contorno do tipo livre-livre a estrutura não deve ter contato com nenhuma superfície. Cada estrutura apresenta seis modos de corpo rígido sendo três de flexão e três de torção (Schwarz et al., 1999). Ao suspender uma estrutura para simular as condições de contorno “livre-livre” os modos de corpo rígido não terão mais frequência zero. Para simular de forma adequada esse contorno os suportes terão que ser macios o suficiente para garantir que as frequências de corpo rígido sejam menores que 10% do primeiro modo de flexão.

(28)

Já no tipo de contorno restrito a estrutura deve ter seus movimentos restringidos em todo seu contorno ou em um ou mais lados, entretanto a base onde será fixada apresentará um grau de movimento que poderá interferir no resultado final (Agilent Technologies). Para teste que possuem a finalidade de validar modelos teóricos é comum ser usado o contorno do tipo livre-livre (Ewins, 2000).

2.4.1. Excitadores

Outro fator importante ao se realizar um teste modal é o tipo de excitador. Os mais comuns são martelo de impacto e shakers. Cada um deles possui vantagens e desvantagens que também dependerão do tipo de resultado pretendido no teste.

2.4.1.1. Martelo de impacto

O mais comum e de fácil implementação é o martelo de impacto. O método baseia-se em gerar um impulso com o martelo para que a estrutura vibre até que a energia gerada por ele seja dissipada. É um método utilizado para fazer medições de curto tempo. O impulso gerado é afetado pela massa do martelo, pela velocidade e pela rigidez do corpo de prova. Como controlar a velocidade do martelo é algo difícil, uma forma de alterar a magnitude do impulso é por intermédio da massa do martelo. O martelo de impacto de teste modal possui uma massa adicional que pode ser acoplada ao martelo a fim de gerar um impulso com maior amplitude (Agilent Technologies).

Outro fator é a rigidez do corpo de prova. Ela pode afetar a forma do pulso.

Como não é viável alterar a rigidez do corpo de prova, uma solução é alterar a ponta do martelo de impacto, podendo ser com pontas mais rígidas como alumínio, ou menos rígidas como de nylon (Agilent Technologies).

Uma desvantagem desse método é a presença de ruídos tanto no sinal da força quanto no sinal da resposta dependendo do tempo de medição. Além disso, é preciso garantir que o martelo esteja normal a superfície e que não haja mais de um impacto durante o ensaio, pois isso pode causar problemas na análise do sinal (Ewins, 2000).

(29)

2.4.1.2. Shakers

Apesar do ensaio com o martelo de impacto ser mais utilizado devido o custo e ser de fácil implementação, algumas limitações, tais como, obter modos em frequências mais elevadas ou evitar danos à estrutura que está sendo testada, faz- se necessário excitar a estrutura de outra forma. A alternativa mais comum é a utilização de shakers (Schwarz et al., 1999).

Existem dois tipos de shakers. Os eletromagnéticos ou eletrodinâmicos e os eletro-hidráulicos. A diferença entre eles é que o primeiro é alimentado por uma corrente elétrica e o segundo é um modelo hidráulico. A vantagem do primeiro é que a faixa de frequência é maior do que a do segundo, porém o segundo é capaz de exercer uma força maior (Agilent Technologies).

Entretanto, ao utilizar esse tipo de mecanismo de excitação deve ter alguns cuidados. Primeiramente esse tipo de excitador é fixado à estrutura e isso pode alterar a dinâmica dela. Outro fator é como isolar as reações da base do shaker para que elas não afetem a energia transmitida para a estrutura. Ela pode ficar suspensa e com isso o shaker irá vibrar livremente sem que nenhuma reação seja transmitida à base, ou se estará fixa em um suporte de tal forma que este suporte isole as reações geradas na base do shaker.

2.4.2. Sensores

Os sensores são responsáveis por medir a resposta do sistema. Os mais comuns são os acelerômetros que medem a aceleração do sistema. Porém existem outros sensores como vibrômetros responsáveis por medir a velocidade.

2.4.2.1. Acelerômetros

O acelerômetro é o sensor comumente utilizado devido ao baixo custo. Ele é um transdutor que utiliza cristais piezoelétrico que convertem a compressão medida em sinais elétricos obtendo assim a aceleração do sistema (Silva, 2013). Esse tipo de sensor é fixado à estrutura e dependendo da estrutura a ser feita a medida, essa massa adicional irá influenciar os resultados. Existem modelos que podem medir a aceleração em mais de um eixo, porém o mais comum é aquele que mede em um eixo apenas.

(30)

2.4.2.2. Vibrômetro laser doppler

O Vibrômetro Laser Doppler é um sensor que mede a velocidade instantânea de uma superfície utilizando o efeito doppler (Souza, 2014). Ele permite fazer análises sem que haja contato com a estrutura e consequentemente não há influência da massa do sensor. Ele também colabora para uma análise mais rápida e precisa das medidas.

2.5. SÉRIE DE FOURIER E TRANSFORMADA DE FOURIER

Uma ferramenta que auxilia a análise experimental é a série de Fourier e a Transformada de Fourier. Essa série é utilizada para fazer a análise de um sistema que é aplicado uma força qualquer como foi mostrado no subitem 2.2.5. A série permite transformar um sinal periódico em uma soma de senos e cossenos. Esta série se dá por meio do seguinte método:

Se um sinal periódico satisfizer as condições de Diritchlet (Arruda, 2008):

I. x(t)=x(t±nT) para n=0,1,2,3... e∫_−𝑇/2^𝑇/2 |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡<∞

II. Número finito de descontinuidades num período T

III. Número finito de máximos e mínimos locais num período T x(t)=^𝑎⁰

2 ∑^∞_𝑚=1(𝑎_𝑚𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔₀𝑡) + 𝑏_𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜔₀𝑡), m=1,2,3... (71) Onde:

am= ²_𝑇∫_−𝑇/2^𝑇/2 𝑥(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜔𝑡) 𝑑𝑡 (72)

bm= ²

𝑇∫_−𝑇/2^𝑇/2 𝑥(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝜔𝑡) 𝑑𝑡 e (73)

a0= _𝑇²∫_−𝑇/2^𝑇/2 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 (74)

Essa série irá contribuir para analisar o comportamento periódico de uma estrutura, ou seja, no caso da estrutura que vibra livremente sua resposta pode ser aproximada para uma série de Fourier uma vez que ela satisfaça as condições de Diritchlet.

(31)

Além disso, essa série permite transformar a análise no domínio do tempo para uma análise no domínio da frequência da transformada de Fourier. Se um sinal transitório x(t) em um determinado intervalo finito de tempo satisfazer as condições de Diritchlet e se a ∫_−∞^∞ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 existir, será possível aplicar a transformada de Fourier (Arruda 2008). Essa transformação nos permite converter equações diferenciais em equações algébricas (RAO 2008).

X(f)= ∫_−∞^∞ 𝑥(𝑡)𝑒^{−2𝑗𝜋𝑓𝑡}𝑑𝑡 (75)

2.6. FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA

A função de resposta em frequência é uma função que relaciona o sinal de entrada do sistema com o sinal de saída por meio das transformadas de Fourier no domínio da frequência. É ela que irá fornecer os dados das características dinâmicas da estrutura (Schwarz et al., 1999).

Ela será obtida pela razão da resposta do sistema dividido pela entrada.

Dependendo do tipo de resposta ela recebe diferentes nomes (Soeiro, 2001).

Quando a resposta do sistema for dada em função do deslocamento a FRF será chamada de receptância, quando a resposta for velocidade esta é chamada de mobilidade e quando for aceleração esta recebe o nome de acelerância.

A FRF é comumente representada por H(ω), porém dependendo da resposta obtida pode ser representada de outras formas, α(ω) para receptância, Y(ω) para mobilidade e A(ω) para acelerância (Soeiro, 2001). Como ela é obtida por intermédio de transformada de Fourier, os resultados serão representados por números complexos em função das frequências angulares.

Para ajudar a analisar as propriedades dinâmicas da estrutura, a FRF pode ser representada por meio do diagrama de Bode ou do diagrama de Nyquist.

(32)

(a)

(b)

(c)

Figura 2. 3. Exemplo de Diagrama de Bode (a) FRF (b) Fase (c) Coerência No diagrama de bode a FRF será representada por meio de dois gráficos. Na Fig.(2.3 (a)) relaciona a magnitude com a frequência. Cada pico desse gráfico é uma frequência natural. O gráfico do meio relaciona a fase com a frequência.

Este diagrama contribui para uma identificação das frequências naturais e da quantidade de modos naturais dentro do intervalo de medição. Ele é dado em escala logarítmica e as frequências podem ser em radianos por segundo ou em Hertz.

Além disso, também é comum relacionar esse diagrama com o gráfico da coerência pela frequência como é mostrado no gráfico da Fig.(2.3 (c)). Ela pode variar de 0 a 1 e serve para medir a qualidade do sinal que está sendo medido

(33)

O diagrama de Nyquist é outra forma de representar os resultados de uma análise modal experimental. Esse diagrama permite identificar tanto as frequências naturais quanto os coeficientes de amortecimento.

Figura 2. 4. Diagrama de Nyquist para a Mobilidade (Soeiro 2001)

A Figura (2.4) representa um diagrama de Nyquist para a mobilidade. A equação que descreve esse gráfico é dada pela Eq.(76) (Soeiro 2001):

[Im(H(ω))]² +[𝑅𝑒(𝐻(𝜔)) − ¹

2𝑐]²= [¹

2𝑐]² (76)

A frequência natural será identificada quando a circunferência cortar o eixo real, além disso, com o diâmetro da circunferência é possível reconhecer o fator de amortecimento viscoso.

2.7. MÍNIMOS QUADRADOS PARA EXPONENCIAIS COMPLEXAS

O método de mínimos quadrados para exponenciais complexas (Least- Squares Complex Exponential- LSCE) é bastante utilizado para a identificação das propriedades dinâmicas utilizado em testes modais. Ele é responsável por calcular os pólos das FRFs aplicando a Inversa da transformada de Fourier(IFFT), transformando a resposta do domínio da frequência, para o domínio do tempo. A formulação apresentada nesta seção tem como referência principal o trabalho de (Kerschen).

hrs(t)= IFFT[Hrs(ω)]=2Re[∑^𝑛_𝑘=1𝐴_𝑟𝑠(𝑘)𝑒^𝜆^𝑘^𝑡] (77)

(34)

Onde r representa os graus de liberdade, número de pontos medidos, e s é o modo, Ars é o resíduo do deslocamento e λk são os pólos.

Sabendo que a FRF é dada pela razão de entre a entrada e a saída do sistema no domínio da frequência podemos escrever Hrs(ω) como

Hrs(ω)=^𝑄^𝑟^(𝜔)

𝑃_𝑠(𝜔) (78)

Onde Qr é a resposta do sistema e Ps é a entrada do sistema no domínio da frequência. Eles podem ser escritos por uma razão de dois polinômios:

𝑄_𝑟(𝜔)

𝑃_𝑠(𝜔) = ^∑ ^𝛼^𝑗^(𝑖𝜔)

𝑜𝑝 𝑗 𝑗=0

∑^𝑜𝑞_𝑗=0𝛽_𝑗(𝑖𝜔)^𝑗 (79)

Qr(ω)∑^𝑜𝑞_𝑗=0𝛽_𝑗(𝑖𝜔)^𝑗=Ps(ω)∑^𝑜𝑝_𝑗=0𝛼_𝑗(𝑖𝜔)^𝑗 (80) Onde oq é o grau do polinômio da resposta do sistema associado ao grau de liberdade do sistema e op é o grau do polinômio da entrada do sistema. Realizando a análise no domínio do tempo e aplicando um intervalo de tempo Δt a eq.(80) pode ser escrita da seguinte forma

∑^𝑜𝑞_𝑗=0𝛽_𝑗𝑞_𝑟(𝑡 + 𝑗𝛥𝑡)=∑^𝑜𝑝_𝑗=0𝛼_𝑗𝑝_𝑠(𝑡 + 𝑗𝛥𝑡) (81) qr é a função da resposta no domínio do tempo e ps é a função da entrada.

Como se trata de um ensaio de impacto depois de um intervalo de tempo o valor de ps será 0 então a eq.(81) pode ser escrita como

∑^𝑜𝑞_𝑗=0𝛽_𝑗𝑞_𝑟(𝑗𝛥𝑡)=∑^𝑜𝑞_𝑗=0𝛽_𝑗ℎ_𝑟𝑠(𝑗𝛥𝑡)=0 (82) Substituindo o valor hrs da eq.(77) a eq. (82) pode ser reescrita da seguinte forma:

∑^𝑜𝑞_𝑗=0𝛽_𝑗2𝑅𝑒[∑^𝑛_𝑘=1𝐴_𝑟𝑠(𝑘)𝑒^𝜆^𝑘^𝛥𝑡]=0 (83) Os valores de β serão obtidos por intermédio da resolução do sistema admitindo que βoq=1

(35)

[

ℎ_𝑟𝑠(0) … ℎ_𝑟𝑠((𝑜_𝑞− 1)∆𝑡)

⋮ ⋱ ⋮

ℎ_𝑟𝑠((𝑜_𝑞− 1)∆𝑡) … ℎ_𝑟𝑠((2𝑜_𝑞− 2)∆𝑡) ] [

𝛽₀

⋮

𝛽_𝑜_𝑞₋₁]= - [

ℎ_𝑟𝑠(𝑜_𝑞∆𝑡)

⋮

ℎ_𝑟𝑠((2𝑜_𝑞− 1)∆𝑡)

] (84)

Um fator que pode implicar na identificação dos parâmetros modais é a ordem do modelo. Essa ordem está relacionada diretamente com o grau de liberdade do sistema. Caso a ordem analisada seja maior que a ordem correspondente ao grau de liberdade do sistema, os dados gerados podem não corresponder aos dados reais do sistema. Por esta razão, é utilizado um diagrama de estabilização que irá contribuir para uma melhor identificação dos pólos.

Após a obtenção dos parâmetros ainda faz-se necessário a obtenção dos modos. Como estruturas reais apresentam dissipação de energia isso implica que os modos serão representados por números complexos diferentes dos numéricos que não consideram o amortecimento e possuem modos reais. Quando o amortecimento é pequeno a parte real dos modos complexos é uma boa aproximação dos modos reais correspondentes.

2.8. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

As estruturas possuem elementos elásticos contínuos. Estes elementos são deformáveis e possuem infinitos pontos de massa. Para cada ponto de massa é atribuído um grau de liberdade, ou seja, uma estrutura possui infinitos graus de liberdade. Esses tipos de elementos são denominados de sistemas contínuos (Rao, 2008). Sendo assim, a análise dessas estruturas far-se-á mais complexa.

A investigação teórica desses sistemas contínuos é possível por meio de métodos aproximados com uma série de equações de derivadas parciais e recorrência a uma série de Fourier. Embora, tal análise seja possível somente em meios contínuos homogêneos e simples (Azevedo, 2003). Além disso, os resultados gerados são uma aproximação do valor exato e há certa dificuldade em gerar resultados mais aproximados sendo necessário aumentar o grau da equação, o que tornam os cálculos mais complexos (Assan, 2003).

Por esta razão foi desenvolvido o Método dos Elementos Finitos (MEF). Este método consiste em dividir estruturas em pequenas regiões em forma de grade transformando estruturas contínuas em discretas (Assan, 2003). Isso permite fazer

(36)

com que o comportamento da estrutura seja analisado para cada região individualmente ao invés de resolver o problema comum todo. O resultado final será a combinação dos resultados de cada uma dessas pequenas regiões.

Devido à complexidade dos cálculos a resolução desse método se dá por meio computacional. Contudo, essa facilidade computacional pode gerar problemas em um projeto. Isso se deve ao fato de que muitas vezes devido à qualidade do software o projetista aceita os resultados sem saber o que está por trás da ferramenta computacional. Fato que pode gerar falhas devido a algum erro nos valores de entrada (Azevedo, 2003). Por isso, faz-se necessário ter dados previamente obtidos, seja por meio de análise teórica ou mesmo por intermédio de método experimental, a fim de comprar os resultados e validar o modelo numérico.

2.9. ESTRUTURAS SANDUÍCHES DE NÚCLEO HONEYCOMB

Painéis sanduiche do tipo honeycomb são estruturas constituídas por duas placas laminadas finas de alta resistência e um núcleo composto por um conjunto celular de estruturas no formato hexagonal (Meifeng et. al., 2007) e feito, frequentemente, de material composto como mostra na Fig. (2.6). Essa configuração permite que as estruturas tenham peso reduzido, alta resistência mecânica, grande capacidade de isolamento térmico e acústico, resistência ao fogo e um elevado coeficiente de amortecimento. (Portela et. al., 2010).

(a) (b)

Figura 2. 5. Geometria dos painéis sanduiche do tipo honeycomb (a) células do núcleo. (b) camadas (HexWeb, 1999).