21deOutubrode2016 SandroPretoMárioRodrigues Elei¸cões:ComoManipulá-las

(1)

Introdu¸cão Alguns sistemas de elei¸cão O Teorema de Arrow Manipula¸cões Teoria da Computa¸cão e Escolha Social Computacional

Elei¸c˜ oes: Como Manipul´ a-las

Sandro Preto M´ ario Rodrigues

VI Jornada de Educa¸ c˜ ao, Ciˆ encia e Tecnologia IFMG - Campus Formiga

21 de Outubro de 2016

(2)

1 Introdu¸c˜ ao

2 Alguns sistemas de elei¸c˜ ao

3 O Teorema de Arrow

4 Manipula¸c˜ oes

5 Teoria da Computa¸c˜ ao e Escolha Social Computacional

(3)

1 Introdu¸c˜ ao

2 Alguns sistemas de elei¸c˜ ao

3 O Teorema de Arrow

4 Manipula¸c˜ oes

5 Teoria da Computa¸c˜ ao e Escolha Social Computacional

(4)

Teoria da Escolha Social

Estudo de processos de decis˜ ao coletiva;

Passagem do n´ıvel individual para o n´ıvel coletivo; Exemplos: elei¸c˜ oes, aloca¸c˜ ao de recursos, agrega¸c˜ ao de julgamentos, etc.

Alguns expoentes:

Nicolas de Condorcet (s´ eculo XVIII); Jean-Charles de Borda (s´ eculo XVIII);

Charles Dodgson [Lewis Carroll] (s´ eculo XIX);

Kenneth Arrow (s´ eculo XX).

(5)

Teoria da Escolha Social

Estudo de processos de decis˜ ao coletiva;

Passagem do n´ıvel individual para o n´ıvel coletivo;

Exemplos: elei¸c˜ oes, aloca¸c˜ ao de recursos, agrega¸c˜ ao de julgamentos, etc.

Alguns expoentes:

Nicolas de Condorcet (s´ eculo XVIII); Jean-Charles de Borda (s´ eculo XVIII);

Charles Dodgson [Lewis Carroll] (s´ eculo XIX);

Kenneth Arrow (s´ eculo XX).

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Teoria da Escolha Social

Estudo de processos de decis˜ ao coletiva;

Passagem do n´ıvel individual para o n´ıvel coletivo;

Exemplos: elei¸c˜ oes, aloca¸c˜ ao de recursos, agrega¸c˜ ao de julgamentos, etc.

Alguns expoentes:

Nicolas de Condorcet (s´ eculo XVIII); Jean-Charles de Borda (s´ eculo XVIII);

Charles Dodgson [Lewis Carroll] (s´ eculo XIX);

Kenneth Arrow (s´ eculo XX).

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Teoria da Escolha Social

Estudo de processos de decis˜ ao coletiva;

Passagem do n´ıvel individual para o n´ıvel coletivo;

Exemplos: elei¸c˜ oes, aloca¸c˜ ao de recursos, agrega¸c˜ ao de julgamentos, etc.

Alguns expoentes:

Nicolas de Condorcet (s´ eculo XVIII);

Jean-Charles de Borda (s´ eculo XVIII);

Charles Dodgson [Lewis Carroll] (s´ eculo XIX);

Kenneth Arrow (s´ eculo XX).

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1 Introdu¸c˜ ao

2 Alguns sistemas de elei¸c˜ ao

3 O Teorema de Arrow

4 Manipula¸c˜ oes

5 Teoria da Computa¸c˜ ao e Escolha Social Computacional

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Sistema de Pluralidade

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Pluralidade: A B C

(10)

Sistema de Pluralidade

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B

6 votos B C A

5 votos C B A

Pluralidade: A B C

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Contagem de Borda

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Contagem:

A: 10 · 3 + 6 · 1 + 5 · 1 = 41

B: 10 · 1 + 6 · 3 + 5 · 2 = 38

C: 10 · 2 + 6 · 2 + 5 · 3 = 47

Borda: C A B

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Contagem de Borda

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Contagem:

A: 10 · 3 + 6 · 1 + 5 · 1 = 41 B: 10 · 1 + 6 · 3 + 5 · 2 = 38 C: 10 · 2 + 6 · 2 + 5 · 3 = 47

Borda: C A B

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Contagem de Borda

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Contagem:

A: 10 · 3 + 6 · 1 + 5 · 1 = 41

B: 10 · 1 + 6 · 3 + 5 · 2 = 38

C: 10 · 2 + 6 · 2 + 5 · 3 = 47

Borda: C A B

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Sistema do Voto ´ Unico Transfer´ıvel (VUT)

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Quota: 21 votos ÷ 3 vagas = 7 Rodadas:

A: 10 B: 6 C: 5 A ´ e eleito

A: 7 B: 6 C: 8 C ´ e eleito

A: 7 B: 7 C: 7 B ´ e eleito

VUT: A C B

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Sistema do Voto ´ Unico Transfer´ıvel (VUT)

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Quota: 21 votos ÷ 3 vagas = 7

Rodadas:

A: 10 B: 6 C: 5 A ´ e eleito

A: 7 B: 6 C: 8 C ´ e eleito

A: 7 B: 7 C: 7 B ´ e eleito

VUT: A C B

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Sistema do Voto ´ Unico Transfer´ıvel (VUT)

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Quota: 21 votos ÷ 3 vagas = 7 Rodadas:

A: 10 B: 6 C: 5 A ´ e eleito

A: 7 B: 6 C: 8 C ´ e eleito

A: 7 B: 7 C: 7 B ´ e eleito

VUT: A C B

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Sistema do Voto ´ Unico Transfer´ıvel (VUT)

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Quota: 21 votos ÷ 3 vagas = 7 Rodadas:

A: 10 B: 6 C: 5 A ´ e eleito A: 7 B: 6 C: 8 C ´ e eleito

A: 7 B: 7 C: 7 B ´ e eleito

VUT: A C B

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Sistema do Voto ´ Unico Transfer´ıvel (VUT)

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Quota: 21 votos ÷ 3 vagas = 7 Rodadas:

A: 10 B: 6 C: 5 A ´ e eleito A: 7 B: 6 C: 8 C ´ e eleito A: 7 B: 7 C: 7 B ´ e eleito

VUT: A C B

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Sistema do Voto ´ Unico Transfer´ıvel (VUT)

Candidatos: A, B e C Votos:

10 votos A C B 6 votos B C A 5 votos C B A

Quota: 21 votos ÷ 3 vagas = 7 Rodadas:

A: 10 B: 6 C: 5 A ´ e eleito

A: 7 B: 6 C: 8 C ´ e eleito

A: 7 B: 7 C: 7 B ´ e eleito

VUT: A C B

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1 Introdu¸c˜ ao

2 Alguns sistemas de elei¸c˜ ao

3 O Teorema de Arrow

4 Manipula¸c˜ oes

5 Teoria da Computa¸c˜ ao e Escolha Social Computacional

(21)

Defini¸c˜ oes

Axiomas de Arrow para um sistema de elei¸c˜ oes:

U Unanimidade: se todos os eleitores preferem um candidato X a um candidato Y , ent˜ ao o resultado da elei¸ c˜ ao deve contemplar X Y ;

IAI Independˆ encia das Alternativas Irrelevantes: Se o

resultado da elei¸ c˜ ao contempla X Y , ent˜ ao este

resultado n˜ ao deve ser alterado pela mudan¸ ca de

preferˆ encias pessoais sobre um terceiro candidato Z ;

Ditadura ´ e um sistema de elei¸c˜ oes em que o resultado

depende sempre de um ´ unico eleitor (o ditador).

(22)

Defini¸c˜ oes

Axiomas de Arrow para um sistema de elei¸c˜ oes:

U Unanimidade: se todos os eleitores preferem um candidato X a um candidato Y , ent˜ ao o resultado da elei¸ c˜ ao deve contemplar X Y ;

IAI Independˆ encia das Alternativas Irrelevantes: Se o

resultado da elei¸ c˜ ao contempla X Y , ent˜ ao este

resultado n˜ ao deve ser alterado pela mudan¸ ca de

preferˆ encias pessoais sobre um terceiro candidato Z ;

Ditadura ´ e um sistema de elei¸c˜ oes em que o resultado

depende sempre de um ´ unico eleitor (o ditador).

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Defini¸c˜ oes

Axiomas de Arrow para um sistema de elei¸c˜ oes:

U Unanimidade: se todos os eleitores preferem um candidato X a um candidato Y , ent˜ ao o resultado da elei¸ c˜ ao deve contemplar X Y ;

IAI Independˆ encia das Alternativas Irrelevantes: Se o resultado da elei¸ c˜ ao contempla X Y , ent˜ ao este resultado n˜ ao deve ser alterado pela mudan¸ ca de preferˆ encias pessoais sobre um terceiro candidato Z ;

Ditadura ´ e um sistema de elei¸c˜ oes em que o resultado

depende sempre de um ´ unico eleitor (o ditador).

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Defini¸c˜ oes

Axiomas de Arrow para um sistema de elei¸c˜ oes:

U Unanimidade: se todos os eleitores preferem um candidato X a um candidato Y , ent˜ ao o resultado da elei¸ c˜ ao deve contemplar X Y ;

IAI Independˆ encia das Alternativas Irrelevantes: Se o

resultado da elei¸ c˜ ao contempla X Y , ent˜ ao este

resultado n˜ ao deve ser alterado pela mudan¸ ca de

preferˆ encias pessoais sobre um terceiro candidato Z ;

Ditadura ´ e um sistema de elei¸c˜ oes em que o resultado

depende sempre de um ´ unico eleitor (o ditador).

(25)

O Teorema de Arrow

Teorema (K. Arrow, 1951)

Seja um sistema de elei¸c˜ oes para mais de 3 candidatos que satisfaz U (unanimidade) e IAI (independˆ encia das alternativas irrelevantes). Esse sistema ´ e uma ditadura.

Kenneth Arrow (1921-)

ganhou o Prˆ emio Nobel

de Economia em 1972

(26)

O Teorema de Arrow

Teorema (K. Arrow, 1951)

Seja um sistema de elei¸c˜ oes para mais de 3 candidatos que satisfaz U (unanimidade) e IAI (independˆ encia das alternativas irrelevantes). Esse sistema ´ e uma ditadura.

Kenneth Arrow (1921-)

ganhou o Prˆ emio Nobel

de Economia em 1972

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1 Introdu¸c˜ ao

2 Alguns sistemas de elei¸c˜ ao

3 O Teorema de Arrow

4 Manipula¸c˜ oes

5 Teoria da Computa¸c˜ ao e Escolha Social Computacional

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Teorema de Gibbard-Satterthwaite

Novo sistema: Consideraremos sistemas de elei¸c˜ ao em que o resultado ´ e um ´ unico candidato;

Imposi¸c˜ ao: Um sistema ´ e uma imposi¸c˜ ao se ele n˜ ao contempla a possibilidade de algum candidato vencer; A prova de estrat´ ` egias (manipula¸c˜ oes): Um sistema ´ e ` a prova de estrat´ egias se n˜ ao existe a possibilidade de um eleitor (o manipulador) mudar seu voto para que o resultado seja mais pr´ oximo de sua preferˆ encia. Teorema (Gibbard, 1973; Satterthwaite, 1975)

Seja um (novo) sistema de elei¸c˜ ao para mais de 3 candidatos

que seja ` a prova de estrat´ egias e n˜ ao seja uma imposi¸c˜ ao.

Esse sistema ´ e uma ditadura.

(29)

Teorema de Gibbard-Satterthwaite

Novo sistema: Consideraremos sistemas de elei¸c˜ ao em que o resultado ´ e um ´ unico candidato;

Imposi¸c˜ ao: Um sistema ´ e uma imposi¸c˜ ao se ele n˜ ao contempla a possibilidade de algum candidato vencer;

A prova de estrat´ ` egias (manipula¸c˜ oes): Um sistema ´ e ` a prova de estrat´ egias se n˜ ao existe a possibilidade de um eleitor (o manipulador) mudar seu voto para que o resultado seja mais pr´ oximo de sua preferˆ encia. Teorema (Gibbard, 1973; Satterthwaite, 1975)

Seja um (novo) sistema de elei¸c˜ ao para mais de 3 candidatos

que seja ` a prova de estrat´ egias e n˜ ao seja uma imposi¸c˜ ao.

Esse sistema ´ e uma ditadura.

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Teorema de Gibbard-Satterthwaite

Novo sistema: Consideraremos sistemas de elei¸c˜ ao em que o resultado ´ e um ´ unico candidato;

Imposi¸c˜ ao: Um sistema ´ e uma imposi¸c˜ ao se ele n˜ ao contempla a possibilidade de algum candidato vencer;

A prova de estrat´ ` egias (manipula¸c˜ oes): Um sistema ´ e ` a prova de estrat´ egias se n˜ ao existe a possibilidade de um eleitor (o manipulador) mudar seu voto para que o resultado seja mais pr´ oximo de sua preferˆ encia.

Teorema (Gibbard, 1973; Satterthwaite, 1975)

Seja um (novo) sistema de elei¸c˜ ao para mais de 3 candidatos

que seja ` a prova de estrat´ egias e n˜ ao seja uma imposi¸c˜ ao.

Esse sistema ´ e uma ditadura.

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Teorema de Gibbard-Satterthwaite

Novo sistema: Consideraremos sistemas de elei¸c˜ ao em que o resultado ´ e um ´ unico candidato;

Imposi¸c˜ ao: Um sistema ´ e uma imposi¸c˜ ao se ele n˜ ao contempla a possibilidade de algum candidato vencer;

A prova de estrat´ ` egias (manipula¸c˜ oes): Um sistema ´ e ` a prova de estrat´ egias se n˜ ao existe a possibilidade de um eleitor (o manipulador) mudar seu voto para que o resultado seja mais pr´ oximo de sua preferˆ encia.

Teorema (Gibbard, 1973; Satterthwaite, 1975)

Seja um (novo) sistema de elei¸c˜ ao para mais de 3 candidatos que seja ` a prova de estrat´ egias e n˜ ao seja uma imposi¸c˜ ao.

Esse sistema ´ e uma ditadura.

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Manipula¸c˜ ao no Sistema de Pluralidade

Votos:

4 votos A B C 4 votos B A C 2 votos C B A

Pluralidade (desempate por ordem alfab´ etica): A Votos manipulados:

4 votos A B C

4 votos B A C

1 voto C B A

1 voto B C A

Pluralidade: B

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Manipula¸c˜ ao no Sistema de Pluralidade

Votos:

4 votos A B C 4 votos B A C 2 votos C B A

Pluralidade (desempate por ordem alfab´ etica): A

Votos manipulados:

4 votos A B C

4 votos B A C

1 voto C B A

1 voto B C A

Pluralidade: B

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Manipula¸c˜ ao no Sistema de Pluralidade

Votos:

4 votos A B C 4 votos B A C 2 votos C B A

Pluralidade (desempate por ordem alfab´ etica): A Votos manipulados:

4 votos A B C 4 votos B A C 1 voto C B A 1 voto B C A

Pluralidade: B

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Manipula¸c˜ ao no Sistema de Pluralidade

Votos:

4 votos A B C 4 votos B A C 2 votos C B A

Pluralidade (desempate por ordem alfab´ etica): A Votos manipulados:

4 votos A B C

4 votos B A C

1 voto C B A

1 voto B C A

Pluralidade: B

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Manipula¸c˜ ao na Contagem de Borda

Votos:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto D C B A

Borda: A : 24 B : 23 C : 20 D : 13 Manipula¸c˜ ao:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto B D C A

Borda: A : 24 B : 25 C : 19 D : 12

(37)

Manipula¸c˜ ao na Contagem de Borda

Votos:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto D C B A

Borda: A : 24 B : 23 C : 20 D : 13

Manipula¸c˜ ao:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto B D C A

Borda: A : 24 B : 25 C : 19 D : 12

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Manipula¸c˜ ao na Contagem de Borda

Votos:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto D C B A

Borda: A : 24 B : 23 C : 20 D : 13 Manipula¸c˜ ao:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto B D C A

Borda: A : 24 B : 25 C : 19 D : 12

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Manipula¸c˜ ao na Contagem de Borda

Votos:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto D C B A

Borda: A : 24 B : 23 C : 20 D : 13 Manipula¸c˜ ao:

3 votos A B C D 2 votos B A C D 1 voto A C D B 1 voto C B D A 1 voto B D C A

Borda: A : 24 B : 25 C : 19 D : 12

(40)

Como Manipul´ a-las!

Pluralidade: Coloque o poss´ıvel vencedor em primeiro lugar!

Contagem de Borda: Coloque o poss´ıvel vencedor em primeiro lugar e procure um segundo lugar que mantenha o primeiro como vencedor. O restante pode ser em qualquer ordem! (Bartholdi, 1989)

Voto ´ Unico Transfer´ıvel: Coloque o poss´ıvel vencedor em

primeiro lugar e tente todas as possibilidades para os

pr´ oximos lugares...

(41)

Como Manipul´ a-las!

Pluralidade: Coloque o poss´ıvel vencedor em primeiro lugar!

Contagem de Borda: Coloque o poss´ıvel vencedor em primeiro lugar e procure um segundo lugar que mantenha o primeiro como vencedor. O restante pode ser em qualquer ordem! (Bartholdi, 1989)

Voto ´ Unico Transfer´ıvel: Coloque o poss´ıvel vencedor em

primeiro lugar e tente todas as possibilidades para os

pr´ oximos lugares...

(42)

Como Manipul´ a-las!

Pluralidade: Coloque o poss´ıvel vencedor em primeiro lugar!

Contagem de Borda: Coloque o poss´ıvel vencedor em primeiro lugar e procure um segundo lugar que mantenha o primeiro como vencedor. O restante pode ser em qualquer ordem! (Bartholdi, 1989)

Voto ´ Unico Transfer´ıvel: Coloque o poss´ıvel vencedor em

primeiro lugar e tente todas as possibilidades para os

pr´ oximos lugares...

(43)

1 Introdu¸c˜ ao

2 Alguns sistemas de elei¸c˜ ao

3 O Teorema de Arrow

4 Manipula¸c˜ oes

5 Teoria da Computa¸c˜ ao e Escolha Social Computacional

(44)

Computabilidade

Problemas

Problemas de decis˜ ao

Dados: Um conjunto de votos - excluindo o voto do manipulador - e uma preferˆ encia de alternativa A. Quest˜ ao: Existe um voto do manipulador que fa¸ ca com que A seja a alternativa vitoriosa?

Computabilidade

Modelos de computa¸ c˜ ao

Algoritmos

(45)

Computabilidade

Problemas

Problemas de decis˜ ao

Dados: Um conjunto de votos - excluindo o voto do manipulador - e uma preferˆ encia de alternativa A. Quest˜ ao: Existe um voto do manipulador que fa¸ ca com que A seja a alternativa vitoriosa?

Computabilidade

Modelos de computa¸ c˜ ao

Algoritmos

(46)

Computabilidade

Problemas

Problemas de decis˜ ao

Dados: Um conjunto de votos - excluindo o voto do manipulador - e uma preferˆ encia de alternativa A.

Quest˜ ao: Existe um voto do manipulador que fa¸ ca com que A seja a alternativa vitoriosa?

Computabilidade

Modelos de computa¸ c˜ ao

Algoritmos

(47)

Computabilidade

Problemas

Problemas de decis˜ ao

Dados: Um conjunto de votos - excluindo o voto do manipulador - e uma preferˆ encia de alternativa A.

Quest˜ ao: Existe um voto do manipulador que fa¸ ca com que A seja a alternativa vitoriosa?

Computabilidade

Modelos de computa¸ c˜ ao

Algoritmos

(48)

Complexidade

Passos para resolu¸c˜ ao de um problema (tempo)

Tamanho da entrada n

Quantidade de eleitores × Quantidade de candidatos Fun¸c˜ ao de complexidade f (n)

f (n) = n f (n) = n log n f (n) = n ² f (n) = 2 ⁿ f (n) = n!

Um paradigma: Polinomial VS Exponencial ?

(49)

Complexidade

Passos para resolu¸c˜ ao de um problema (tempo) Tamanho da entrada n

Quantidade de eleitores × Quantidade de candidatos Fun¸c˜ ao de complexidade f (n)

f (n) = n f (n) = n log n f (n) = n ² f (n) = 2 ⁿ f (n) = n!

Um paradigma: Polinomial VS Exponencial ?

(50)

Complexidade

Passos para resolu¸c˜ ao de um problema (tempo) Tamanho da entrada n

Quantidade de eleitores × Quantidade de candidatos

Fun¸c˜ ao de complexidade f (n) f (n) = n

f (n) = n log n f (n) = n ² f (n) = 2 ⁿ f (n) = n!

Um paradigma: Polinomial VS Exponencial ?

(51)

Complexidade

Passos para resolu¸c˜ ao de um problema (tempo) Tamanho da entrada n

Quantidade de eleitores × Quantidade de candidatos Fun¸c˜ ao de complexidade f (n)

f (n) = n f (n) = n log n f (n) = n ² f (n) = 2 ⁿ f (n) = n!

Um paradigma: Polinomial VS Exponencial ?

(52)

Complexidade

Passos para resolu¸c˜ ao de um problema (tempo) Tamanho da entrada n

Quantidade de eleitores × Quantidade de candidatos Fun¸c˜ ao de complexidade f (n)

f (n) = n f (n) = n log n f (n) = n ² f (n) = 2 ⁿ f (n) = n!

Um paradigma: Polinomial VS Exponencial ?

(53)

Fun¸c˜ oes de complexidade

Figura: http://arturmeyster.com/time-complexity/

(54)

Compara¸c˜ ao de Fun¸c˜ oes de Complexidade

10 20 30 40 50 60

n 0, 00001 s 0, 00002 s 0, 00003 s 0, 00004 s 0, 00005 s 0, 00006 s n

²

0, 0001 s 0, 0004 s 0, 0009 s 0, 0016 s 0, 0035 s 0, 0036 s n

³

0, 001 s 0, 008 s 0, 027 s 0, 64 s 0, 125 s 0, 316 s n

⁵

0, 1 s 3, 2 s 24, 3 s 1, 7 min 5, 2 min 13 min 2

ⁿ

0, 001 s 1 s 17, 9 min 12, 7 dias 35, 7 anos 366 s´ ec.

3

ⁿ

0, 059 s 58 min 6, 5 anos 3855 s´ ec. 10

⁸

s´ ec. 10

¹³

s´ ec.

Tabela: www2.dcc.ufmg.br/livros/algoritmos/cap1/slides/

pascal/completo1/cap1.pdf

(55)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(56)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(57)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao

Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(58)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(59)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial

P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(60)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(61)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(62)

Classes de complexidade

P

Solu¸c˜ ao em tempo polinomial

Exemplos: Manipula¸ c˜ ao em Pluralidade e em Borda

NP

Outro modelo de computa¸ c˜ ao Verifica¸c˜ ao em tempo polinomial

E conhecida solu¸ ´ c˜ ao em tempo exponencial P ⊂ NP

Exemplo: Manipula¸ c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

Basta encontrar algoritmo mais eficiente?

(63)

NP-Completude

Redu¸c˜ ao: Dizemos que um problema P ´ e redut´ıvel a outro problema Q se podemos traduzir o primeiro para o segundo. Assim, se resolvermos Q, automaticamente temos a solu¸c˜ ao de P .

Classe NP-Completo Teorema (Cook, 1971) SAT ∈ NP-Completo

Outro exemplo: Manipula¸c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

(Bartholdi & Orlin, 1991)

(64)

NP-Completude

Redu¸c˜ ao: Dizemos que um problema P ´ e redut´ıvel a outro problema Q se podemos traduzir o primeiro para o segundo. Assim, se resolvermos Q, automaticamente temos a solu¸c˜ ao de P .

Classe NP-Completo

Teorema (Cook, 1971) SAT ∈ NP-Completo

Outro exemplo: Manipula¸c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

(Bartholdi & Orlin, 1991)

(65)

NP-Completude

Redu¸c˜ ao: Dizemos que um problema P ´ e redut´ıvel a outro problema Q se podemos traduzir o primeiro para o segundo. Assim, se resolvermos Q, automaticamente temos a solu¸c˜ ao de P .

Classe NP-Completo Teorema (Cook, 1971) SAT ∈ NP-Completo

Outro exemplo: Manipula¸c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

(Bartholdi & Orlin, 1991)

(66)

NP-Completude

Redu¸c˜ ao: Dizemos que um problema P ´ e redut´ıvel a outro problema Q se podemos traduzir o primeiro para o segundo. Assim, se resolvermos Q, automaticamente temos a solu¸c˜ ao de P .

Classe NP-Completo Teorema (Cook, 1971) SAT ∈ NP-Completo

Outro exemplo: Manipula¸c˜ ao em Voto ´ Unico Transfer´ıvel

(Bartholdi & Orlin, 1991)

(67)

P vs NP

Figura: Behnam Esfahbod, GNU FDL

(68)

Complexidade das Manipula¸c˜ oes

1 manipulador V´ arios manipuladores

Pluralidade P P

Borda P NP-C

VUT NP-C NP-C

(69)

Referˆencias

C. List, “Social Choice Theory”,

The Stanford Encyclopedia of Philosophy,

plato.stanford.edu/entries/social-choice/

en.wikipedia.org/wiki/Plurality_voting_

system/

en.wikipedia.org/wiki/Borda_count/

en.wikipedia.org/wiki/Single_transferable_

vote/

en.wikipedia.org/wiki/Counting_single_

transferable_votes/ (Muitos problemas!) L. Aurichi, “A vida ´ e injusta”,

Semin´ ario de Coisas Legais,

youtu.be/nosWWigvbaw

(70)

Referˆencias

J. Geanakoplos, “Three Brief Proofs os Arrow’s Impossitility Theorem”, Economic Theory, 2005 P´ agina da Web “Computational Social Choice”