Modelo Linear Generalizado Distribuição Multinomial

(1)

Modelo Linear Generalizado

Distribui¸

c˜

ao Multinomial

Problema 1

Os dados a seguir corresponde a 3417 mulheres em idade fértil categorizadas por faixa etária e método contraceptivo.

> cuse <- read.table("brazil.dat", header = F) > names(cuse) <- c("age", "met", "n")

> cuse age met n 1 15-19 ster 2 2 15-19 other 75 3 15-19 no 90 4 20-24 ster 32 5 20-24 other 223 6 20-24 no 280 7 25-29 ster 147 8 25-29 other 296 9 25-29 no 237 10 30-34 ster 298 11 30-34 other 197 12 30-34 no 207 13 35-39 ster 276 14 35-39 other 96 15 35-39 no 196 16 40-44 ster 202 17 40-44 other 71 18 40-44 no 174

(2)

> summary(cuse) age met n 15-19:3 no :6 Min. : 2.0 20-24:3 other:6 1st Qu.: 91.5 25-29:3 ster :6 Median :196.5 30-34:3 Mean :172.2 35-39:3 3rd Qu.:233.5 40-44:3 Max. :298.0

A tabela a seguir mostra o quão associadas estão as duas variáveis (idade e método de contracep¸cão)

> library(gregmisc)

> indiv <- data.frame(rep(cuse$age, cuse$n), rep(cuse$met,

+ cuse$n))

> tab <- CrossTable(indiv[, 1], indiv[, 2], prop.r = F,

+ prop.c = F, prop.t = F, prop.chisq = F, chisq = T,

(3)

Cell Contents

|---|

| N |

| N / Row Total |

|---|

Total Observations in Table: 3099

| metodo

---|---|---|---|---| 15-19 | 90 | 75 | 2 | 167 | | 0.539 | 0.449 | 0.012 | 0.054 | ---|---|---|---|---| 20-24 | 280 | 223 | 32 | 535 | | 0.523 | 0.417 | 0.060 | 0.173 | ---|---|---|---|---| 25-29 | 237 | 296 | 147 | 680 | | 0.349 | 0.435 | 0.216 | 0.219 | ---|---|---|---|---| 30-34 | 207 | 197 | 298 | 702 | | 0.295 | 0.281 | 0.425 | 0.227 | ---|---|---|---|---| 35-39 | 196 | 96 | 276 | 568 | | 0.345 | 0.169 | 0.486 | 0.183 | ---|---|---|---|---| 40-44 | 174 | 71 | 202 | 447 | | 0.389 | 0.159 | 0.452 | 0.144 | ---|---|---|---|---| Column Total | 1184 | 958 | 957 | 3099 | ---|---|---|---|---|

Statistics for All Table Factors

Pearson’s Chi-squared test

---Chi^2 = 484.7404 d.f. = 10 p = 8.032588e-98

(4)

Atrav´es do teste χ2

testamos a probabilidade conjunta da variável Y (método contracep-tivo) e X (idade), isto é, testamos a independência.

Mas como podemos investigar se idade (X) é preditor da variável resposta método con-traceptivo (Y )? Agora estamos interessados na distribui¸cão condicional da variável resposta Y dado o preditor X.

Modelos Multinomiais

Distribui¸

c˜

ao multinomial

Considere Yi uma vari´avel resposta que pode assumir valores discretos, nomeadamente,

1, 2, · · · , J. Assumindo que a nossa variável no exemplo anterior é método contraceptivo temos:

pij = P r(Yi = j)

como sendo a probabilidade de uma mulher pertencer a algumas das categorias de utiliza¸cão de contraceptivo (esteriliza¸cão, outro método, nenhum método). Caracter´ısticas:

• as categorias s˜ao mutuamente exclusivas

• para cada indiv´ıduo a soma das probabilidades ´e igual a 1 (Pj_j=1pij = 1)

Para dados agrupados, como o nosso exemplo, temos uma vari´avel ni que denota o

n´umero de casos do grupo i e seja Yij o n´umero de casos do grupo i na categoria j. O ´ındice

i representa o grupo idade e j as categorias de método contraceptivo. Logo, tem-se que, y11, y12, y13, representam o número de mulheres entre 15 e 19 anos que são esterilizadas, que

utilizam outro método de contracep¸cão ou que não usam nenhum método, respectivamente. Para dados individuais temos ni = 1 e y11 = 1 ou y11 = 0 se uma mulher é esterilizada

ou n˜ao, respectivamente.

A distribui¸cão de probabilidade para a variável Yij dado o total de casos ni é dado por:

P r(Yi1= yi1, · · · , Yij = yij) = ni yi1, · · · , yij pyi1 i1 × · · · × p yij ij (1)

(5)

Modelo Logit Multinomial

Como podemos investigar se idade (X) é preditor da variável resposta método contraceptivo (Y )?

Podemos assumir que uma das categorias da variável resposta é referência e calcular a chance (odds) das outras categorias em rela¸cão a esta categoria referência. No nosso exemplo, vamos assumir a categoria não utiliza contraceptivo” como sendo a categoria referência. Desta forma ter´ıamos a chance de “esteriliza¸cão” comparado com a chance de “não utiliza¸cão de método contraceptivo” e a chance de “outro método” comparado com a chance de “não utiliza¸cão de método contraceptivo”.

Veja o gr´afico do logit (logar´ıtmo da chance) emp´ırico dos dados:

> oddsster <- log(tab$prop.row[, 3]/tab$prop.row[,

+ 1]) > oddsster 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 -3.8066625 -2.1690537 -0.4776276 0.3643747 0.3422862 40-44 0.1492124

> oddsother <- log(tab$prop.row[, 2]/tab$prop.row[,

+ 1]) > oddsother 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 -0.18232156 -0.22761783 0.22229931 -0.04951506 -0.71376647 40-44 -0.89637542

> plot(1:6, oddsster, ylim = range(oddsster, oddsother), + pch = 19, col = "blue", axes = F, xlab = "idade", + ylab = "logit")

> points(1:6, oddsother, pch = 19, col = "red")

> lines(lowess(1:6, oddsster, f = 0.3), col = "blue") > lines(lowess(1:6, oddsother, f = 0.3), col = "red")

(6)

> box() > axis(2)

> axis(1, at = 1:6, labels = levels(cuse$age))

> legend(4, -3, legend = c("esteriliza¸c~ao", "outro m´etodo"), + bty = "n", pch = 19, col = c("blue", "red"))

idade logit −3 −2 −1 0 15−19 20−24 25−29 30−34 35−39 40−44 esterilização outro método

O gráfico do logit emp´ırico sugere que o logaritmo da chance das mulheres esterilizadas aumenta rápido com a idade, atinge o máximo aos 30-34 anos e declina lentamente a partir dessa faixa etária. O logar´ıtmo da chance de outro método atinge o máximo aos 25-29 e decresce rapidamente a seguir.

Seja 1 = esteriliza¸cão, 2 = outro método, 3 = nenhum método. O modelo logit multino-mial é igual a

log pi1 pi3 = β0+ β1age_i log pi2 pi3 = α0+ α1age_i (2)

(7)

Para a vari´avel resposta multinomial temos j − 1 regress˜oes log´ısticas. Genericamente, podemos definir o modelo log´ıstico multinomial da seguinte forma:

log pij piJ = αj + x′iβj (3)

em que j = 1, . . . , J − 1, xi é o vetor de covariáveis, αj são os interceptos e βj é o vetor de

coeficientes de regress˜ao.

Na f´ormula (2) estamos comparando categoria 1:3 e 2:3. Se quisermos comparar categorias 1:2 basta fazer log pi1 pi2 = log pi1 pi3 − log pi2 pi3

O gráfico dos logits sugere um rela¸cão quadrática com a idade. Para contemplar esta caracter´ıstica observada nos dados vamos criar uma variável idade que é igual ao ponto médio de cada faixa etária.

> cuse$idade <- rep(seq(17, 42, length = 6), each = 3)

E vamos ajustar seguinte modelo: log pi1 pi3 = β0+ β1age_i+ β2age 2 i log pi2 pi3 = α0 + α1age_i+ α2age 2 i > library(nnet)

> mod1 <- multinom(met ~ idade + I(idade^2), data = cuse,

+ weights = n) # weights: 12 (6 variable) initial value 3404.599483 iter 10 value 3112.762332 final value 3112.745366 converged > mod1

(8)

Call:

multinom(formula = met ~ idade + I(idade^2), data = cuse, weights = n) Coefficients:

(Intercept) idade I(idade^2) other -3.042142 0.2340215 -0.004432943 ster -16.071596 0.9166541 -0.012667215 Residual Deviance: 6225.491 AIC: 6237.491 > round(unique(mod1$fit), 3) no other ster 1 0.580 0.411 0.009 4 0.478 0.460 0.062 7 0.382 0.399 0.219 10 0.308 0.281 0.412 13 0.304 0.193 0.503 16 0.409 0.146 0.445

Podemos comparar o mod1 com um modelo mais simples, retirando o termo ao quadrado da idade

> mod2 <- multinom(met ~ idade, data = cuse, weights = n)

# weights: 9 (4 variable) initial value 3404.599483 final value 3184.024055 converged > mod2 Call:

(9)

Coefficients: (Intercept) idade other 0.7614718 -0.03357687 ster -3.4062103 0.09929226 Residual Deviance: 6368.048 AIC: 6376.048 > anova(mod1, mod2)

Likelihood ratio tests of Multinomial Models Response: met

Model Resid. df Resid. Dev Test Df

1 idade 32 6368.048

2 idade + I(idade^2) 30 6225.491 1 vs 2 2 LR stat. Pr(Chi)

1

2 142.5574 0

E se quisermos as probabilidades? Como calcular?

log pi1 pi3 = β0+ β1age_i+ β2age 2 i = η1 log pi2 pi3 = α0+ α1age_i+ α2age 2 i = η2 Consequentemente temos: pi1 pi3

= exp(β0+ β1agei+ β2age 2

i) = exp(η1) (4)

pi2

pi3

= exp(α0+ α1age_i+ α2age 2

i) = exp(η2) (5)

E al´em disso temos que:

(10)

Substituindo (4) e (5) em (6) temos que: pi1= exp(η1) 1 + exp(η1) + exp(η2) pi2= exp(η2) 1 + exp(η1) + exp(η2) pi3= 1 1 + exp(η1) + exp(η2)

A figura a seguir mostra o gr´afico das probabilidades estimado pelo modelo mod1

> predicao <- predict(mod1, cuse[, c(2, 4)], type = "probs") > prob <- round(as.vector(t(unique(predicao)[, c(3,

+ 2, 1)])), 2)

(11)

> pred

age met idade prob 1 15-19 ster 17 0.01 2 15-19 other 17 0.41 3 15-19 no 17 0.58 4 20-24 ster 22 0.06 5 20-24 other 22 0.46 6 20-24 no 22 0.48 7 25-29 ster 27 0.22 8 25-29 other 27 0.40 9 25-29 no 27 0.38 10 30-34 ster 32 0.41 11 30-34 other 32 0.28 12 30-34 no 32 0.31 13 35-39 ster 37 0.50 14 35-39 other 37 0.19 15 35-39 no 37 0.30 16 40-44 ster 42 0.44 17 40-44 other 42 0.15 18 40-44 no 42 0.41

> matplot(y = predicao, x = pred$idade, type = "l",

+ col = c(1, 2, 4), lty = 1, lwd = 1.5, ylab = "Probabilidade",

+ xlab = "", axes = F)

> axis(2) > box()

> axis(1, at = unique(cuse$idade), labels = levels(cuse$age)) > legend(30, 0.15, c("no", "other", "ster"), col = c(1,

(12)

Probabilidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 15−19 20−24 25−29 30−34 35−39 40−44 no other ster

Estima¸

c˜

ao

O modelo multinomial acima descrito é estimado através do método da máxima verossimi-lhan¸ca. O método consiste em maximizar a verossimilhan¸ca em (2) com probabilidades pij

visto como fun¸cão dos parâmetros de regressão β′_s.

Modelo para vari´

avel ordinal

Em muitas situa¸cões da vida prática temos uma variável resposta ordinal ao invés de nominal (como no exemplo anterior). A ordem presente na variável resposta Y pode acontecer por ela representar uma escala, como por exemplo, severidade de dor (nenhuma, leve, moderada, grave). Em outros casos a variável resposta ordinal é constru´ıda através da especifica¸cão de hierarquias (exemplo: anos de escolaridade). Existem vários modelos para modelar uma variável resposta ordinal. Neste curso veremos dois tipos: modelo de chances proporcionais (proportional odds) também conhecido como modelo cumulativo (cumulative logit model ) e modelo de razão cont´ınua (continuation ratio model ).

(13)

Para efeito de ilustra¸cão, vamos considerar o seguinte exemplo: investigar fatores asso-ciados a satisfa¸cão das condi¸cões da casa para residentes de Copenhagen. Os dados estão dispon´ıveis no formato agrupado.

> library(rms)

> copen <- read.table("copen.dat") > head(copen)

housing influence contact satisfaction n

1 tower low low low 21

2 tower low low medium 21

3 tower low low high 28

4 tower low high low 14

5 tower low high medium 19

6 tower low high high 37

As vari´aveis s˜ao as seguintes:

• housing tipo de casa (tower blocks, apartments, atrium houses and terraced houses), • influence sentimento de influˆencia no gerenciamento do apartamento (low, medium,

high),

• contact grau de contato com os vizinhos (low, high), and

• satisfaction satisfa¸cão com as condi¸cões da casa (low, medium, high) • n n´umero de residentes nas diversas combina¸cões das variáveis acima descritas

Modelo de chances proporcionais

Para uma vari´avel resposta categ´orica ordinal Y com 1, 2, . . . , k n´ıveis temos πij = P r(Yi = j)

(14)

γij = P r(Yi ≤ j) = πi1+ πi2+ · · · + πij

a probabilidade cumulativa correspondente de Yi. O modelo de chances proporcionais para

Yi ´e descrito por:

P r(Yi ≤ j|Xi) =

1

1 + exp[−(αj+ x′iβ)]

(7) Podemos reescrever o modelo (7) da seguinte forma:

logit(γij) = ln

γij

1 − γij

= αj + x′iβ (8)

O modelo de chances proporcionais compara a probabilidade de uma resposta Y ser igual ou menor que uma determinada categoria com a probabilidade da resposta ser maior que esta categoria. Além disso, o modelo é composto por k − 1 equa¸cões lineares paralelas. Para um n´ıvel j fixo ou para uma categoria fixa, o modelo torna-se uma regressão log´ıstica simples para o evento Y ≤ j. Nota-se que o modelo (7) contém k − 1 + p parâmetros (p é o número de covariáveis no modelo e k é o número de categorias de Y ). Cada equa¸cão possui um intercepto que atende a seguinte condi¸cão α1 < α2 < . . . < α_k. Os parâmetros

β não depende da categoria j. Esse modelo fornece uma única estimativa para a razão de chances para todas as categorias comparadas, que pode ser obtida através do cálculo do exponencial do coeficiente β. Essa premissa é bastante adequada em termos da facilidade de interpreta¸cão e de parcimônia do modelo.

Vejamos o modelo de chances porporcionais estimado para os dados de satisfa¸c˜ao. Para tal temos que transformar os dados agrupados em dados individuais:

> coindiv <- data.frame(housing = rep(copen$housing,

+ copen$n), influence = rep(copen$influence,

+ copen$n), contact = rep(copen$contact, copen$n),

+ satisfaction = rep(copen$satisfaction, copen$n))

A seguir criamos uma variável resposta com labels numéricos para garantir a hierarquia da variável resposta ordinal

> coindiv$satis2 <- 1

> coindiv$satis2[which(coindiv$satisfaction == "medium")] <- 2 > coindiv$satis2[which(coindiv$satisfaction == "high")] <- 3 > coindiv$satis2 <- factor(coindiv$satis2)

> library(VGAM)

> fit1 <- vglm(satis2 ~ housing, cumulative(parallel = TRUE),

+ coindiv)

(15)

Call:

vglm(formula = satis2 ~ housing, family = cumulative(parallel = TRUE), data = coindiv)

Pearson Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

logit(P[Y<=1]) -1.3612 -0.9960 -0.35744 1.3221 1.6806 logit(P[Y<=2]) -1.6285 -1.0954 0.40890 1.0098 1.3922 Coefficients:

Value Std. Error t value (Intercept):1 -0.64981 0.071302 -9.1134 (Intercept):2 0.47151 0.070384 6.6991 housingatrium -0.18811 0.137169 -1.3713 housingterraced 0.58502 0.131241 4.4576 housingtower -0.46842 0.115644 -4.0506 Number of linear predictors: 2

Names of linear predictors: logit(P[Y<=1]), logit(P[Y<=2]) Dispersion Parameter for cumulative family: 1

Residual Deviance: 3594.803 on 3357 degrees of freedom Log-likelihood: -1797.401 on 3357 degrees of freedom Number of Iterations: 3

> fit2 <- vglm(satis2 ~ housing + influence, cumulative(parallel = TRUE),

+ coindiv)

> summary(fit2)

Call:

vglm(formula = satis2 ~ housing + influence, family = cumulative(parallel = TRUE), data = coindiv)

Pearson Residuals:

(16)

logit(P[Y<=1]) -1.5618 -0.87983 -0.30840 1.02639 2.5220 logit(P[Y<=2]) -2.0681 -0.92898 0.33184 0.89296 1.8375 Coefficients:

Value Std. Error t value (Intercept):1 -1.38881 0.11410 -12.1718 (Intercept):2 -0.21023 0.10896 -1.9296 housingatrium -0.23210 0.13946 -1.6643 housingterraced 0.49262 0.13321 3.6980 housingtower -0.52146 0.11762 -4.4336 influencelow 1.23730 0.12545 9.8631 influencemedium 0.68891 0.12302 5.6000 Number of linear predictors: 2

Names of linear predictors: logit(P[Y<=1]), logit(P[Y<=2]) Dispersion Parameter for cumulative family: 1

Residual Deviance: 3493.456 on 3355 degrees of freedom Log-likelihood: -1746.728 on 3355 degrees of freedom Number of Iterations: 4

Para verificar se a covariável influence é significativa podemos utilizar o teste da razão de verossimilhan¸ca:

> pchisq(2 * (logLik(fit2) logLik(fit1)), df = length(coef(fit2))

-+ length(coef(fit1)), lower.tail = FALSE)

[1] 9.835079e-23

Premissas do modelo de chances proporcionais

Premissa de ordem

Uma premissa básica dos modelos de regressão ordinal é que a variável resposta Y apresente uma certa ordem de acordo com cada covariável X. Assumindo que a covariável X se

(17)

relaciona linearmente com o logaritmo da chance de Y , uma forma simples de avaliar a ordem da variável resposta Y é verificar o gráfico da média de X estratificado pelas categorias de Y . Essas médias devem apresentar uma certa ordem consistente. Se para algumas covariáveis X′_{s, duas categorias adjacentes de Y não distinguir as médias, temos evidência de que tais}

categorias de Y devem ser colapsadas.

Premissa de proporcionalidade

Juntamente com a premissa de ordem, podemos avaliar a premissa de proporcionalidade através do cálculo do valor esperado de X estratificado por Y , E(X|Y = j), assumindo um modelo de chances proporcionais. Se X for uma variável discreta, então:

P r(X|Y = j) = P r(Y = j|X)P r(X)

P (Y = j) (9)

E(X|Y = j) = X

x

xP r(Y = j|X)P r(X)/P (Y = j) (10)

Assumindo um modelo de chances proporcionais para P r(Y = j|X), o valor esperado E(X|Y = j) pode ser estimado por:

E(X|Y = j) =X

x

x cP r(Y = j|X)fx/gj (11)

em que cP r(Y = j|X) s˜ao os valores ajustados do modelo de chances proporcionais, fx ´e a

frequência de X = x e gj é a frequência de Y = j. Se X for uma covariável cont´ınua, temos:

E(X|Y = j) =X

x

x cP r(Y = j|X)/gj (12)

A Figura abaixo ilustra o modelo de chances proporcionais para uma variável resposta Y com 4 categorias (j = 1, 2, 3, 4) e uma covariável X. Exemplo de um modelo hipotético com X variando entre −50 e 50 e com β = 1 e αj = 30, 0, −10

(18)

x Probabilidade 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

P(Y<=1) P(Y<=2) P(Y<=3)

No R podemos usar a fun¸cão plot.xmean.ordinaly() para avaliar as premissas de ordem e de proporcionalidade. Nos gráficos abaixo, a linha cont´ınua representa as médias de X para cada categoria de Y calculada de forma emp´ırica. Se a premissa de ordem é respeitada, será observado uma tendência monotónica.

As linhas pontilhadas s˜ao os valores esperados de X|Y assumindo que a chance ´e propor-cional. Espera-se que as linhas cont´ınuas e pontilhadas sejam coincidentes caso a proporci-onalidade seja verdadeira.

> par(mfrow = c(2, 2))

> plot.xmean.ordinaly(satis2 ~ housing, data = coindiv,

(19)

satis2 housing=apar tments 1 2 3 0.43 0.45 0.47 n=1681 satis2 housing=to w er 1 2 3 0.18 0.22 0.26 0.30 n=1681 satis2 housing=terr aced 1 2 3 0.10 0.14 0.18 0.22 n=1681 > par(mfrow = c(2, 1))

> plot.xmean.ordinaly(satis2 ~ influence, data = coindiv,

(20)

satis2 influence=medium 1 2 3 0.37 0.40 n=1681 satis2 influence=lo w 1 2 3 0.30 0.45 n=1681

(21)

satis2 contact=high 1 2 3 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 n=1681

Res´ıduos

Os res´ıduos parciais são os mais indicados na avalia¸cão de modelos de regressão para variáveis ordinais. O res´ıduo parcial para o modelo binário é dado por:

rip= bβpxip+ Yi− bPi b Pi(1 − bPi) (13) em que b Pi = 1 1 + exp[−(αj+ x′iβ)]

O gráfico suavisado (loess) de xipcontra ripfornece uma estimativa não paramétrica de como

Xp se relaciona com o logaritmo da chance de Y = 1|Xp. Para o modelo ordinal ´e necess´ario

calcular o res´ıduo parcial para todos os Y = j, tal que: rip= bβpxip+

[Yi ≥ j] − bPi

b

Pi(1 − bPi)

(14) O gráfico a ser analisado é composto por curvas suavisadas dos residuos parciais para todos os n´ıveis j da variável resposta Y . Se o modelo estiver bem ajustado então espera-se encontrar

(22)

formas e inclina¸c˜oes semelhantes para uma dada covari´avel Xp para todos as categorias j.

Os gráficos de res´ıduos parcias permitem avaliar a transforma¸cão da covariável (linearidade) e ao mesmo tempo permite avaliar a premissa de proporcionalidade (paralelismo).

Para calcular os res´ıduos parciais, temos que ajustar o modelo de chances proporcionais através da fun¸cão lmr() da biblioteca Hmisc. Não se espantem com os sinais trocados dos coeficientes comparados com os resultados da fun¸cão vglm, pois a fun¸cão lmr() estima o modelo para P r(Y ≥ j) e o resultado anterior foi estimado para P r(Y ≤ j)

> fit2a <- lrm(satis2 ~ housing + influence, x = TRUE,

+ y = TRUE, data = coindiv)

> fit2a

Logistic Regression Model

lrm(formula = satis2 ~ housing + influence, data = coindiv, x = TRUE, y = TRUE)

Frequencies of Responses

1 2 3

567 446 668

Obs Max Deriv Model L.R. d.f. P

1681 1e-11 155.42 5 0

C Dxy Gamma Tau-a R2

0.641 0.282 0.314 0.186 0.1

Brier 0.208

Coef S.E. Wald Z P y>=2 1.3888 0.1149 12.08 0.0000 y>=3 0.2102 0.1098 1.91 0.0555 housing=atrium 0.2321 0.1375 1.69 0.0914 housing=terraced -0.4926 0.1329 -3.71 0.0002 housing=tower 0.5215 0.1182 4.41 0.0000 influence=low -1.2373 0.1260 -9.82 0.0000 influence=medium -0.6889 0.1236 -5.57 0.0000 > par(mfrow = c(2, 3)) > resid(fit2a, "partial", pl = T)

(23)

0.0 0.4 0.8 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 housing=atrium P ar tial Residual y>=2 y>=3 0.0 0.4 0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 housing=terraced P ar tial Residual y>=2 y>=3 0.0 0.4 0.8 −0.1 0.1 0.3 0.5 housing=tower P ar tial Residual y>=2 y>=3 0.0 0.4 0.8 −1.4 −1.0 −0.6 −0.2 influence=low P ar tial Residual y>=2 y>=3 0.0 0.4 0.8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 influence=medium P ar tial Residual y>=2 y>=3

Modelo de raz˜

ao cont´ınua

O modelo de razão cont´ınua baseia-se nas probabilidade condicionais em contraste com o modelo anterior que baseia-se nas probabilidade cumulativas. Seja Y = j para j = 1, . . . , k a variável resposta. O modelo de razão cont´ınua para Y é definido pelas seguintes k − 1 regressões:

P r(Yi = j|Yi > j) =

1

1 + exp[−(αj + x′iβ)]

(15) logit(P r(Yi = j|Yi > j)) = ln

P r(Yi = j)

P r(Yi > j)

= α0+ x′_iβ

O modelo de razão cont´ınua é indicado para modelar uma variável resposta ordinal quando o indiv´ıduo tem que passar por uma categoria para chegar até a próxima.

(24)

Premissas do modelo de raz˜

ao cont´ınua

O modelo de razão cont´ınua assume que o vetor de coeficientes de regressão β é o mesmo independente de qual probabilidade condicional está sendo estimada. Assim, assume-se uma simples razão de chances para todo Y > j, j = 1, . . . , k − 1. Se a linearidade é garantida, a razão de chances é dada por exp(βp) qualquer que seja o evento condicional Y > j.

Voltando ao exemplo, vamos estimar o modelo de risco cont´ınuo

> fit3 <- vglm(satis2 ~ housing + influence, sratio(parallel = T),

+ coindiv)

> summary(fit3)

Call:

vglm(formula = satis2 ~ housing + influence, family = sratio(parallel = T), data = coindiv)

Pearson Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

logit(P[Y=1|Y>=1]) -1.1227 -0.70698 -5.1963e-01 1.1153 2.4157 logit(P[Y=2|Y>=2]) -2.0443 -0.78283 -3.8706e-05 1.1056 2.1587 Coefficients:

Value Std. Error t value (Intercept):1 -1.30922 0.10564 -12.3935 (Intercept):2 -0.92600 0.10650 -8.6947 housingatrium -0.16282 0.12280 -1.3259 housingterraced 0.44980 0.11595 3.8792 housingtower -0.45491 0.10442 -4.3565 influencelow 1.09090 0.11145 9.7883 influencemedium 0.61572 0.11031 5.5819 Number of linear predictors: 2

Names of linear predictors:

logit(P[Y=1|Y>=1]), logit(P[Y=2|Y>=2]) Dispersion Parameter for sratio family: 1

(25)

Log-likelihood: -1747.453 on 3355 degrees of freedom Number of Iterations: 4

Exerc´ıcio

This case study was taken form Harrel´s book (chapter 14). This case study was conducted by WHO in which vital signs and a large number of clinical signs and symptoms were used to develop a predicitve model for an ordinal response. The data consist of laboratory assessment of diagnosis and severity of illness related to pneumonia, meningitis and sepsis. The sample consisted of 4552 infants aged 90 days or less. The following laboratory data are used in the response variable:

• cerobrospinal fluid (CSF) cultire from a lumbar puncture (LP) • blood culture (BC)

• arterial oxygen saturation (SaO2, a measure of lung dysfunction)

• chest X-ray (CXR)

The table below describe the ordinal outcome used to model the data. Y Definition

0 None of the below

1 90% ≤ SaO2 < 95% or CXR+

2 BC+ or CXR+ or SaO2 < 90%

Tabela 1: Ordinal outcome scale Y definition

(26)

The signs are organized into cluster as describe below:

Task

1. Import data into R

(27)

3. Y is the ordinal variable in the Sc object. Consider the covariates age, temp, rr, hrat, waz, bul.conv, drowsy, agitated, reffort, ausc, feeding, abdominal to develop a predictive model for Y

4. Examine the assumption of ordinality of Y for each predictor by assessing how varying Y relate to the mean X, and whether the trend is monotonic. Check also the proporti-onality assumption for each covariate. The covariate temp, rr and hrat are expected to have strong nonlinear effect. So for those predictors plot the mean absolute differences from a suitable ”normal”values as an approximate solution. Use 37, 60 and 125 for temp, rr and hrat, respectively.

5. Fit a model with all covariates in the orginal scale.

6. Check if linearity holds for all covariates by plotting the partial residuals of the model fitted before

7. Fit a model with all covariates but transform the temp, rr and hrat covariates as before. 8. Check if there are some covariates which could be ignored to predict Y . If so, remove

then and fit a reduced model.

9. Check the proportionaly assumption using the partial residuals of the fitted model. Drop the covariates of the model that do not respect this assumption.

10. Categorize the age into 3 groups using the values 6 and 70 days as cut-off points. 11. Test the interactions of age categorized and temp, hrat and rr, transformed. 12. Propose a final model and then check the partial residuals.

13. Calculate the estimated probabilities P r(Y = j) 14. Write down a model interpretation.

R code: load("ari.sav") Sc$y<-Y summary(Sc) Sc$agecat<-cut2(Sc$age,c(7,60)) table(Sc$agecat) options(device.ask.default=T)

(28)

plot.xmean.ordinaly(Y~age+abs(temp-37) + abs(rr-60)+ abs(hrat-125)+waz+bul.conv+drowsy+

agitated+reffort+ausc+ feeding+abdominal,data=Sc)