MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

(1)

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Armando Pereira

Equações Algébricas no Ensino Fundamental:

um Panorama de Dissertações da PUC-SP

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

(2)

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Armando Pereira

Equações Algébricas no Ensino Fundamental:

um Panorama de Dissertações da PUC-SP

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de MESTRE

PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA,

sob a orientação da Professora Doutora Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão.

(3)

Banca Examinadora

________________________________________________________

(4)

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

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(6)

A

GRADECIMENTOS

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(7)

R

ESUMO

Esta pesquisa teve como objetivo desenvolver um panorama de dissertações da PUC-SP sobre o tema equações algébricas no Ensino Fundamental (6º ao 9º anos). A metodologia do trabalho definiu-se como de caráter bibliográfico, na modalidade “panorama”. Nosso material de análise constituiu-se de quatro dissertações publicadas, entre 2005 e 2008, na área de Educação Matemática. Para a seleção dos trabalhos, utilizou-se o sítio do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, obedecendo a critérios predeterminados. Assim, buscamos as similaridades entre os objetivos, conclusões, indicações para futuras pesquisas e referenciais teóricos. Os resultados indicaram que a maioria das pesquisas analisadas apresentou similaridades entre as conclusões dos pesquisadores e entre as indicações para futuras pesquisas. No entanto, ocorreram exíguas similaridades entre os objetivos dessas pesquisas e entre os referenciais teóricos utilizados no desenvolvimento das dissertações. Por fim, consideramos ter apresentado uma contribuição ao Grupo de Pesquisas em Educação Algébrica da PUC-SP e, possivelmente, à investigação em Educação Matemática, porque reconhecemos modalidades de pesquisa de tipo bibliográfico, não consideradas antes por autores que teorizam-nas, o que não era nossa intenção inicial. Sendo, assim, o presente estudo apresentou resultados que poderão proporcionar subsídios para futuras pesquisas.

(8)

A

BSTRACT

The purpose of this research was to develop a panorama of the dissertations from PUC-SP about the theme algebraic equations in Elementary School (6th to 9h grades). The methodology from the essay was defined as having a bibliographic character, in the "panorama" modality. Our analysis method was constituted of four dissertations published, from 2005 to 2008, in the Mathematical Education area. For the essay selection, it was used the site of the Program of Post-Graduate Studies in Mathematical Education from PUC-SP, obeying to predetermined criteria. Thus, the similarities among the purposes, conclusions, indications, for future researches and theoretical referentials were sought. The results indicated that the majority of the researches analyzed presented similarities between the researchers’ conclusions and the indications for future researches. However, there were very few similarities between the purposes of these researches and between the theoretical referentials used in the development of the dissertations. At last, it is considered to have presented a contribution to the Group of Researches in Algebraic Education from PUC-SP and possibly to the investigation in Mathematical Education, because research modalities of bibliographical type are recognized, not considered before by authors that theorized about them, which it was not our initial intention. Being, this, the present study presented results that might give subsides to future researches.

(9)

S

UMÁRIO

I

NTRODUÇÃO ... 12

C

APÍTULO

I

... 18

1.1 Problemática ... 18

1.1.1 Relevância do Tema ... 18

1.1.2 Breve Revisão Bibliográfica ... 22

C

APÍTULO

II

... 26

2.1 Etapas dos Procedimentos de Pesquisa ... 26

2.1.1 Sobre a Coleta e Seleção das Pesquisas ... 26

2.1.2 Sobre o Modelo de Fichamento das Pesquisas ... 33

2.1.3 Sobre as Análises Comparativas ... 34

2.1.4 Sobre as Conclusões ... 34

2.2 Fundamentação Teórico-Metodológica ... 34

C

APÍTULO

III

... 40

3.1 Fichamento das Pesquisas ... 40

3.1.1 Ribeiro (2001) ... 40

3.1.2 Daniel (2007) ... 44

3.1.3 Silva (2007) ... 47

3.1.4 Martins (2008) ... 49

3.2 Análises Comparativas ... 53

(10)

R

EFERÊNCIAS ... 70

(11)

L

ISTA DE

Q

UADROS

QUADRO 1: Pesquisas de caráter bibliográfico da PUC-SP, até 2009,

primeiro semestre ... 23

QUADRO 2: Número de dissertações no Mestrado Acadêmico ... 27

QUADRO 3: Número de dissertações no Mestrado Profissional ... 28

QUADRO 4: Número de dissertações encontradas no Doutorado ... 28

QUADRO 5: Pesquisas pré-selecionadas sobre o tema equações ... 29

QUADRO 6: Dissertações pré-selecionadas sobre o tema equações ... 31

QUADRO 7: Dissertações selecionadas para análise ... 32

QUADRO 8: Adaptação do modelo de fichamento ... 33

QUADRO 9: Panoramas publicados na PUC-SP ... 38

QUADRO 10: Algumas estratégias de resolução utilizadas pelos alunos .... 42

QUADRO 11: Mais estratégias de resolução utilizadas pelos alunos ... 43

QUADRO 12: Objetivos das pesquisas dos autores ... 54

QUADRO 13: Tópicos que sintetizam os objetivos dos autores ... 56

QUADRO 14: Resumo das conclusões ... 57

QUADRO 15: Síntese das conclusões dos autores ... 60

QUADRO 16: Indicações dos autores para futuras pesquisas ... 61

QUADRO 17: Tópicos das indicações para futuras pesquisas ... 62

QUADRO 18: Referenciais teóricos ... 63

(12)

L

ISTA DE

G

RÁFICO

GRÁFICO 1: Quantidade de pesquisas produzidas por ano nos três cursos

(13)

I

NTRODUÇÃO

A inspiração para o presente trabalho de pesquisa surgiu no início de nossa graduação em Licenciatura Plena em Matemática, cursada na Fundação Santo André (FSA), entre 1995 e 1998.

Na época, buscávamos “soluções” para algumas dificuldades que, em geral, os alunos do Ensino Fundamental (6º ao 9º anos) encontram em Álgebra, o que pode desencadear certo bloqueio no aprendizado de Matemática.

Estas dificuldades podem perdurar por muito tempo, por vezes, chegam até ao Ensino Superior como relatado na tese de Figueiredo (2007):

Tais situações1 nos levam a refletir sobre as falhas que temos detectado no conhecimento dos alunos do Ensino Superior sobre tópicos elementares de Álgebra com os quais entram em contato desde o Ensino Fundamental. Estamos nos referindo a tópicos como somar termos semelhantes em expressões algébricas ou utilizar o princípio (aditivo ou multiplicativo) da igualdade em equações algébricas.

De fato, as pesquisas mencionadas mostram-nos que as dificuldades nesses tópicos perduram até o Ensino Médio e o Superior, o que nos leva a pensar se isso se deve a certas concepções de Álgebra que permeiam o ensino. (FIGUEIREDO, 2007, p. 19)

Desde a graduação, em 1995, já atuávamos como professor, em caráter excepcional, na rede Estadual de Ensino do Estado de São Paulo.

(14)

muitas vezes, deparamo-nos com alunos que mesmo com alguns anos de escolarização algébrica, inclusive, os do Ensino Médio, apresentavam as dificuldades relatadas por Figueiredo (2007).

Como professor, também, constatamos que o ensino e a aprendizagem da Álgebra eram, e continuam sendo, uma questão merecedora de muitas pesquisas que objetivem reconhecer, estudar e buscar novas formas de ensino para esse ramo da Matemática.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) explicitam a importância desse ramo da Matemática para o desenvolvimento dos educandos:

O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. (BRASIL, 1998, p. 115)

Por isso, esses desafios nos levaram a buscar um maior entendimento sobre o assunto, na tentativa de, pelo menos, minimizar as dificuldades mostradas pelos alunos.

Desse modo, em 2006, ingressamos no curso de Pós-Graduação (Lato Sensu) da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) em parceria com a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (SEE-SP).

Em dezembro de 2006, concluímos o curso e apresentamos como trabalho final, uma monografia que versava sobre uma atividade que objetivava introduzir o estudo de alguns tópicos da Álgebra elementar de forma lúdica.

A atividade buscava auxiliar um número considerável de professores que se fazem valer de atividades matemáticas em que o destaque incide sobre os resultados, as técnicas, invariavelmente mecanizadas e, também, sobre as demonstrações que, na maioria dos casos, são apenas decoradas, dando, assim, uma falsa impressão de aprendizagem.

(15)

finalidade de verificar se o que foi apresentado foi assimilado pelo aluno, segundo a concepção do professor.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais deixam clara a desaprovação desse processo de ensino e aprendizagem:

A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. (BRASIL, 1998, p. 19)

Portanto, a essência da atividade estava na convicção de que o aluno aprende por reflexão e ação, ou seja, ele é o protagonista na construção do próprio conhecimento. Nesse contexto, as atividades lúdicas e todas as que instigam e subsidiam a formação do conhecimento sobrepõem-se à mera mecanização.

O estabelecimento de relações é tão importante quanto a exploração dos conteúdos matemáticos, pois, abordados de forma isolada, os conteúdos podem acabar representando muito pouco para a formação do aluno, particularmente para a formação da cidadania. (BRASIL, 1998, p. 29)

Em 2007, ingressamos no Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática – Mestrado Profissional – da PUC–SP e o ensino da Álgebra ainda estava presente em nossos planos de estudo e investigação.

Começamos a frequentar o Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Algébrica (GPEA) do programa. Em um dos encontros com nossa orientadora – Professora Doutora Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão, foi sugerida a realização de um panorama de pesquisas da PUC-SP que tratassem sobre equações algébricas no Ensino Fundamental.

(16)

Primamos, também, por cooperar com o foco principal do curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática da PUC-SP, isto é, contribuir com a integração da Universidade e a Escola Básica.

Assim, foram eleitos como objeto de estudo deste trabalho as dissertações produzidas na PUC-SP que versavam sobre equações algébricas no Ensino Fundamental e que estivessem disponibilizadas no sítio da referida instituição de ensino.

Além do já exposto, os períodos abrangidos por nossa pesquisa estão dispostos da seguinte maneira: primeira parte, entre 1992 e 1998 e segunda, entre 2004 e 2008.

Com isso, objetivamos apresentar um panorama de dissertações da PUC-SP que abordem o tema equações algébricas no Ensino Fundamental.

Ao perseguir esse objetivo, buscamos responder às seguintes questões de pesquisa:

1. Há similaridades entre os objetivos das pesquisas examinadas? Em caso afirmativo, quais são? E entre as conclusões?

2. Existem indicações para futuros trabalhos? Em caso positivo, há similaridades entre elas?

3. Nos referenciais teóricos empregados nas análises dessas pesquisas, há similaridades?

Na busca de responder a tais questões e alcançar o objetivo explicitado, tentamos conceber a estrutura deste trabalho de forma harmoniosa.

Então, na tentativa de evidenciar a relevância deste trabalho e destacar o tema (equações algébricas no Ensino Fundamental), é que no Capítulo I apresentamos a problemática da pesquisa.

(17)

No Capítulo III, constou o roteiro de análise que denominamos modelo de fichamento; em seguida, foi desenvolvida uma análise comparativa entre as dissertações selecionadas, buscando respostas para nossas questões de pesquisa.

(18)

C

APÍTULO

I

PROBLEMÁTICA

1.1.1 Relevância do Tema

Acreditamos que nossa atuação como professor de Matemática exige uma constante busca de caminhos para ultrapassar os desafios que o ensino e a aprendizagem da Matemática proporcionam diariamente.

Esta busca nos levou a ingressar no Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP que possui como um de seus objetivos a integração entre a Universidade e a Escola Básica. Isso fez que acreditássemos que esta integração proporcionaria aos professores condições de aprimoramento de sua prática profissional.

No decorrer do curso, optamos por participar do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA) vinculado ao Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP e nos inserimos no projeto Expressões, Equações e Inequações.

(19)

Em parte, isso justificou nossa opção por escolher apenas as dissertações da PUC-SP, além disso, contemplamos um longo período cuja divisão cronológica ficou assim disposta: primeira parte, entre 1992 e 1998 e segunda, entre 2004 e 2008.

A importância do estudo de expressões, equações e inequações algébricas em Matemática e Educação Matemática é destacada por Maranhão (2007):

Em busca (www.capes.gov.br) sobre títulos de dissertações e teses defendidas entre 1998 e 2004, encontraram-se 1005 trabalhos nesses tópicos, voltados principalmente para os domínios: Engenharia, Ciências da Computação, Física, Matemática, Economia, Educação e Sociologia, sendo, destes, apenas 39 do âmbito da Educação. Não foram encontradas sínteses de trabalhos educacionais no tema. (MARANHÃO, 2007, p. 1)

Estes resultados reforçam o objetivo do Projeto Expressões, Equações e Inequações, que é caracterizar o ensino e a aprendizagem dos referidos tópicos algébricos, afinal, denotam a necessidade do ensino de equações para outros campos do conhecimento.

Maranhão (2007), também, mostra a relevância da Álgebra, mais especificamente quanto ao ensino e aprendizagem de expressões, equações e inequações:

[...] têm um papel importante no desenvolvimento de diversos campos da matemática e do conhecimento humano em geral. Se, de um lado, esses tópicos são ferramentas para a resolução de problemas intra e extra matemáticos, de outro, problemas de outras áreas do conhecimento humano contribuem para que conceitos como os de variável, incógnita e parâmetro ganhem sentido. (MARANHÃO, 2007, p. 1)

(20)

Os PCN de 1998 mostram que o resultado do desempenho dos alunos em avaliações, como o SAEB em itens referentes à Álgebra raramente atinge 40% de acerto em muitas regiões. (FIGUEIREDO, 2007, p. 80)

Pensando em contribuir com o projeto Expressões, Equações e Inequações e, mais amplamente, a Educação Matemática no País, foi que nos propusemos a desenvolver um panorama de dissertações da PUC-SP sobre o tema equações algébricas no Ensino Fundamental.

Iniciamos o estudo, buscando os significados da noção de equação no ensino de Matemática.

Desse modo, encontramos a tese de doutorado de Ribeiro (2007) que contempla os significados de equação apresentados ao longo da história da Matemática e, também, como as equações apresentam-se nos livros didáticos e dicionários de Matemática.

Ribeiro (2007) traz as distintas concepções que encontrou para equação que denominou de multissignificados.

A seguir, seguem os diferentes significados:

1. Intuitivo-Pragmático: por esse significado a noção de

equação é concebida como uma noção intuitiva, ligada à idéia de igualdade entre duas quantidades. Sua utilização está relacionada à resolução de problemas de ordem prática, os quais são originários de situações do dia-a-dia; (RIBEIRO, 2007, p. 123)

2. Dedutivo-Geométrico: por esse significado a noção de

equação é concebida como uma noção ligada às figuras geométricas, aos segmentos. Sua utilização está relacionada à situações envolvendo cálculos e operações com segmentos, com medida de lados de figuras geométricas, com intersecções de curvas; (RIBEIRO, 2007, p. 123)

3. Estrutural-Generalista: por esse significado a noção de

(21)

4. Estrutural-Conjuntista: dentro desta visão, a noção de

equação é concebida dentro de uma perspectiva estrutural, que está diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos; (RIBEIRO, 2007, p. 125)

5. Processual-Tecnicista: concebe equação como a sua própria

resolução – como os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos estruturalistas, não enxergam a equação como um ente matemático sobre o qual as operações e manipulações que são realizadas atendem às regras bem definidas; (RIBEIRO, 2007, p. 126)

6. Axiomático-Postulacional: concebe equação como uma

noção da Matemática que não precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras idéias, matemáticas e não matemáticas, são construídas. Por essa concepção, a noção de equação é utilizada do mesmo sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana. (RIBEIRO, 2007, p. 126-127)

Ficamos convencidos de que antes de conhecer e estudar a tese de Ribeiro (2007), nossa concepção de equação poderia se enquadrar na “Processual-Tecnicista”, em razão de nossa formação tradicional, em que o professor é visto como o elemento fundamental do ensino.

Nosso acesso às pesquisas científicas começou somente após o início dos estudos posteriores à graduação.

Isso pode revelar a falta de alcance do professor da Escola Básica às pesquisas científicas desenvolvidas nas Universidades. Vale salientar que não foi interesse deste estudo o levantamento dos motivos que dificultam esse acesso.

No entanto, vale ressaltar que este panorama pode aumentar o conhecimento do professor sobre pesquisas científicas. Afinal, oferecemos um panorama das dissertações da PUC-SP que tratam das equações reunidas em uma única obra, dentro do período especificado.

(22)

períodos de 1992 a 1997 e de 2005 a 2008. O motivo da escolha desses períodos consta adiante.

1.1.2 Breve Revisão Bibliográfica

Nos últimos anos, no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da PUC-SP, foram produzidas algumas pesquisas denominadas bibliográficas ou documentais que, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 102), são “[...] aquela[s] que se faz preferencialmente sobre documentação escrita.”

(23)

QUADRO 1: Pesquisas de caráter bibliográfico da PUC-SP, até 2009, primeiro semestre.

Título da dissertação Autor Ano de

defesa Ensino-aprendizagem da Álgebra Linear: as pesquisas

brasileiras na década de 90. Celestino 2000

Ensino e aprendizagem da Geometria Analítica: as pesquisas

brasileiras na década de 90. Pinto 2000

A Geometria escolar: uma análise dos estudos sobre o

abandono de seu ensino. Pereira 2001

Sobre o conhecimento Matemático do Professor de

Matemática. Lellis 2002

Panorama das dissertações de Educação Matemática sobre

o Ensino Superior da PUC/SP de 1994 a 2000. Junho 2003

A Educação Matemática & Ensino Médio: um panorama das

pesquisas produzidas na PUC/SP. Oliveira 2003

A Educação Matemática & Ensino Fundamental: um panorama das pesquisas produzidas na PUC/SP nos anos de 1994 a 1997.

Perreira 2003

Panorama de um estudo sobre razões e proporções em três

livros didáticos. Costa 2005

Um estudo sobre equações: identificando conhecimentos de alunos de um curso de formação de professores de Matemática.

Pereira 2005

Ensino e aprendizagem do conceito de função: pesquisas

realizadas no período de 1970 a 2005 no Brasil. Ardenghi 2008

Uma metanálise qualitativa das dissertações sobre equações

algébricas no Ensino Fundamental. Martins 2008

Equações no ensino médio: uma metanálise qualitativa das

dissertações e teses produzidas no Brasil de 1998 a 2006. Nagamachi 2009

Tecnologias no ensino e aprendizagem da Álgebra: Análise das dissertações produzidas no programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP de 1994 até 2007.

Pinto 2009

Em sua obra, Celestino (2000) coletou e apresentou as pesquisas de autores brasileiros sobre o ensino e aprendizagem da Álgebra Linear, realizadas na década de 1990.

(24)

fornecer um panorama das pesquisas de autores brasileiros sobre o processo ensino e aprendizagem do referido tema na década supracitada.

A Geometria escolar: uma análise dos estudos sobre o abandono de seu ensino pesquisa de Pereira (2001, p. 1) intencionava “[...] traçar um panorama das abordagens sobre o tema “o abandono da Geometria” [...]”

O trabalho de Lellis (2002, p. 12), inspirado na pesquisa conduzida pela pesquisadora norte-americana Alba Thompson, buscou “[...] detectar como os professores veem os objetos matemáticos que fazem parte do ensino e, de forma geral, como concebem o ensino de Matemática.”

As dissertações de Junho (2003), Oliveira (2003) e Perreira (2003) objetivavam mapear as dissertações produzidas no Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, na década de 1990, e versavam, respectivamente, sobre o Ensino Superior, Ensino Médio e o Ensino Fundamental.

Um estudo sobre equações: identificando conhecimentos de alunos de um curso de formação de professores de Matemática obra de Pereira (2005, resumo) trazia “[...] um Estudo de Caso qualitativo desenvolvido através de testes diagnósticos elaborados a partir de pesquisas documentais e bibliográficas, cujo objetivo principal [era] identificar conhecimentos sobre Equações, de alunos que ingressam [...] num Curso de Licenciatura em Matemática [...]”

A dissertação de Costa (2005), Panorama de um estudo sobre razões e proporções em três livros didáticos, analisou e comparou os conteúdos razões e proporções entre três livros didáticos.

(25)

Martins (2008) analisou dissertações e teses produzidas no Brasil que envolveram equações no Ensino Fundamental compondo uma metanálise qualitativa2_.

Nagamachi (2009), também, abordou o tema equações explorado em dissertações/teses nacionais, empregado no Ensino Médio no período de 1998 a 2006.

Vale destacar que as dissertações de Martins (2008) e Nagamachi (2009) foram as primeiras metanálises qualitativas produzidas na PUC-SP.

A pesquisa de Pinto (2009) analisou as dissertações do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) e objetivou “[...] verificar quais vantagens e desvantagens a utilização de novas tecnologias (computador, calculadoras e objetos robóticos) traz para o ensino e aprendizagem de Álgebra [...]” Pinto (2009, resumo).

Em vista do exposto, as evidências de uma relativa tradição do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP em produções de pesquisas bibliográficas ressaltaram-se.

Portanto, procuramos diferenciar nosso panorama sobre equações algébricas no Ensino Fundamental de dissertações da PUC-SP das pesquisas supracitadas em, pelo menos, um dos seguintes enfoques: tema abordado, segmento escolhido, abrangência do trabalho ou período compreendido.

(26)

C

APÍTULO

II

2.1 Etapas dos Procedimentos de Pesquisa

Em busca de responder ao objetivo deste trabalho, a seguir, fazemos uma breve descrição das quatro fases que integram o presente estudo:

• COLETA E SELEÇÃO: utilizando o sítio do Programa de Estudos

Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, iniciamos com a coleta e a seleção das dissertações que versam sobre o tema equações no Ensino Fundamental (6º ao 9º anos);

• MODELO DE FICHAMENTO DAS PESQUISAS: fichamento3 das

pesquisas selecionadas;

• ANÁLISES COMPARATIVAS: análises comparativas dos fichamentos

visando às respostas de nossas questões de pesquisa;

• CONCLUSÕES: buscamos sintetizar o que encontramos ao responder

nossas questões de pesquisa. Procuramos, ainda, apresentar e apontar direções para novos trabalhos relativos ao tema equações.

2.1.1 Sobre a Coleta e Seleção das Pesquisas

Inicialmente, coletamos no sítio eletrônico do curso do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, os títulos de todos os trabalhos defendidos no Mestrado Acadêmico, entre 1992 e 2008; no ____________

3

(27)

Mestrado Profissional, entre 2004 e 2008; e, finalmente, no Doutorado, entre 2004 e 2008.

Nesse momento, o único critério considerado foi de que o trabalho defendido deveria estar relacionado no sítio da PUC-SP, independente do assunto. A seguir, apresentamos as dissertações e teses distribuídas por curso, ano e quantidade.

QUADRO 2: Número de dissertações no Mestrado Acadêmico.

Curso Ano Quantidade

1992 1

1993 0

1994 2

1995 2

1996 2

1997 7

1998 3

1999 8

2000 13

2001 17

2002 24

2003 26

2004 30

2005 29

2006 31

2007 32

Mestrado Acadêmico

2008 20

Total 247

(28)

QUADRO 3: Número de dissertações no Mestrado Profissional.

2004 1

2005 16

2006 15

2007 56

Mestrado Profissional

2008 47

Total 135

Conforme os dados do Quadro 3, o Mestrado Profissional teve um aumento considerável de pesquisas em 2007, com uma elevação de 273,3% na quantidade de trabalhos, quando comparados com o ano anterior, porém, em 2008, a quantidade de trabalhos produzidos em comparação com 2007 diminuiu.

QUADRO 4: Número de dissertações encontradas no Doutorado.

2004 1

2005 5

2006 7

2007 11

Doutorado

2008 9

Total 33

Segundo os dados do Quadro 4, as pesquisas no Doutorado, também, evidenciavam um aumento gradual das teses, com exceção do ano de 2009, afinal, houve um recuo em comparação com 2008.

(29)

0 10 20 30 40 50 60

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Mestrado Acadêmico Mestrado Profissional Doutorado

GRÁFICO 1: Quantidade de pesquisas produzidas por ano nos três cursos de Pós- Graduação em Educação Matemática da PUC-SP.

Explicado o contexto pela descrição anterior dos títulos dos trabalhos publicados no sítio eletrônico da PUC-SP, desde 1992 até 2008, passamos a expor o corpo documental do presente trabalho.

Selecionamos as pesquisas que fizessem menção ao tema equações algébricas, em seu título ou palavras-chave.

Cabe salientar que os trabalhos foram organizados por ano de publicação e, dentro do mesmo ano, em ordem alfabética. A seguir, no Quadro 5, listamos as pesquisas pré-selecionadas:

QUADRO 5: Pesquisas pré-selecionadas sobre o tema equações.

(30)

FREITAS, Marcos Agostinho de. Equação do 1º grau: métodos de resolução e análise de erros no ensino médio. 2002. 137f. Dissertação (Mestrado em Educação

Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2002.

OLIVEIRA, Marília Barros de. Construindo significados para a linguagem Algébrica com o auxílio do jogo Codificação-Decodificação. 2004. 177 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2004.

DANIEL, José Anísio. Um estudo de Equações Algébricas de 1º grau com o auxílio do software APLUSIX. 2007. 117 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.

RIBEIRO, Alessandro Jacques. Equação e seus multissignificados no ensino de matemática: contribuições de um estudo epistemológico. 2007. 141f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.

SILVA, Edgar Alves da. Introdução do Pensamento Algébrico para alunos do EJA:

uma proposta de ensino. 2007. 189 p. Dissertação (Mestrado em Educação

MARTINS, Adriano de Morais. Uma metanálise qualitativa das dissertações sobre equações algébricas no Ensino Fundamental. 2008. 142 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.

(31)

A seguir, nos dados do Quadro 6, apresentamos o resultado do novo refinamento, no qual relacionamos todas as dissertações publicadas no sítio eletrônico da PUC-SP do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática que se enquadravam dentro das exigências, previamente definidas.

QUADRO 6: Dissertações pré-selecionadas sobre o tema equações.

RIBEIRO, Alessandro Jacques. Analisando o desempenho de alunos do ensino fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP. 2001. 145 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2001.

OLIVEIRA, Marília Barros de. Construindo significados para a linguagem Algébrica com o auxílio do jogo Codificação-Decodificação. 2004. 177 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2004.

DANIEL, José Anísio. Um estudo de Equações Algébricas de 1º grau com o auxílio do software APLUSIX. 2007. 117 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.

MARTINS, Adriano de Morais. Uma metanálise qualitativa das dissertações sobre equações algébricas no Ensino Fundamental. 2008. 142 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.

(32)

Consequentemente, deveríamos excluir desta lista os trabalhos de Oliveira (2004) e Ribeiro (2001), pois ambos estão dentro do período analisado por Martins (2008), ou seja, entre 1998 a 2004.

Todavia, mesmo a dissertação de Ribeiro (2001) estando dentro do período contemplado por Martins (2008), aparentemente, a publicação não atendia aos propósitos do pesquisador, visto que Martins (2008) não relacionou essa pesquisa para análise.

Mas julgamos viável a análise de Ribeiro (2001) porque das cinco questões utilizadas nesse trabalho para o desenvolvimento da análise qualitativa, três envolviam o tema equações.

Então, listamos nos dados do Quadro 7 as dissertações selecionadas, definitivamente, para análise.

QUADRO 7: Dissertações selecionadas para análise.

RIBEIRO, Alessandro Jacques. Analisando o desempenho de alunos do ensino fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP. 2001. 145 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2001.

DANIEL, José Anísio. Um estudo de Equações Algébricas de 1º grau com o auxílio do software APLUSIX. 2007. 117 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.

(33)

Após a seleção dos quatro trabalhos que contemplam o tema equações no Ensino Fundamental, chamou a atenção o fato de que a maioria das pesquisas (três entre quatro) ter sido publicada após a criação do GPEA em 2004.

Em parte, isso evidenciou a importância desse grupo para o estudo e pesquisa de temas relevantes e indispensáveis ao ensino e aprendizagem da Álgebra.

No sítio4 da PUC-SP, encontramos a justificativa e a relevância do tema proposto pelo GPEA, em que se destacam a importância da Álgebra e o obstáculo que esse ramo da Matemática pode representar para parte considerável dos alunos.

[...] Paralelamente, as pesquisas em Educação Matemática têm apontado que, se por um lado, a Álgebra é importante para propiciar a introdução de idéias matematicamente significativas, por outro é um obstáculo para a trajetória educacional de muitos. (GPEA, 2004)

2.1.2 Sobre o Modelo de Fichamento das Pesquisas

Para o desenvolvimento do Panorama, adotamos um roteiro, que denominamos modelo de fichamento, comumente utilizado nas comunidades de pesquisa, inclusive, na PUC-SP, sobretudo, no grupo GPEA pelos alunos das Professoras Doutoras Bárbara Lutaif Bianchini, Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão e Silvia Dias A. Machado, como pode ser visto nos dados do Quadro 8 a seguir.

QUADRO 8: Adaptação do modelo de fichamento

SOBRENOME DO AUTOR (ANO)

1 Título:

2 Autoria:

(34)

4 Número de páginas:

5 Orientador:

6 Instituição:

7 Resumo e Palavras-chave: (as que aparecem na dissertação)

8 Objetivo(s) da Pesquisa: (transcrever da dissertação)

9 Conclusão: (transcrição das partes da conclusão que respondem ao objetivo _proposto)

10 Indicações para futuras pesquisas: (conforme constam na dissertação)

11 Fundamentação Teórica: (escrever e localizar de acordo com a dissertação)

2.1.3 Sobre as Análises Comparativas

Nesta fase da pesquisa, fizemos uso dos fichamentos, produzidos na fase anterior, estes foram fundamentais para constituirmos os elementos necessários às conclusões, visto que aqui reunimos as informações essenciais por meio das análises comparativas entre os fichamentos, visando e perseguindo as respostas às questões de pesquisa que elegemos.

2.1.4 Sobre as Conclusões

Nesta etapa, buscamos sintetizar nossos estudos, procurando responder explicitamente as questões da pesquisa, além disso, apontamos as direções para novos trabalhos.

2.2 Fundamentação Teórico-Metodológica

(35)

A metanálise é uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando realizar uma avaliação crítica das mesmas e/ou produzir novos resultados ou sínteses a partir do confronto desses estudos, transcendendo aqueles anteriormente obtidos. (FIORENTINI E LORENZATO, 2004, p. 103)

Os estudos do estado-da-arte, em contrapartida, tendem a ser mais históricos e procuram “inventariar, sistematizar e avaliar a produção científica numa determinada área (ou tema) de conhecimento”, buscando identificar tendências e descrever o estado do conhecimento de uma área ou de um tema de estudo (FIORENTINI E LORENZATO, 2004, p. 103 apud FIORENTINI, 1994, p. 32)

Os estudos tipicamente históricos utilizam geralmente fontes primárias (textos impressos, manuscritos e outros documentos originais). (FIORENTINI E LORENZATO, 2004, p. 103)

De acordo com Ferreira (2002), as pesquisas do tipo “estado da arte” são:

Definidas como de caráter bibliográfico, elas parecem trazer em comum o desafio de mapear e de discutir uma certa produção acadêmica em diferentes campos do conhecimento, tentando responder que aspectos e dimensões vêm sendo destacados e privilegiados em diferentes épocas e lugares, de que formas e em que condições têm sido produzidas certas dissertações de mestrado, teses de doutorado, publicações em periódicos e comunicações em anais de congressos e de seminários. (FERREIRA, 2002, p. 258)

Ferreira (2002) concluiu descrevendo as pesquisas denominadas “estado da arte”, como uma metodologia inventariante e descritiva:

Também são reconhecidas por realizarem uma metodologia de caráter inventariante e descritivo da produção acadêmica e científica sobre o tema que busca investigar, à luz de categorias e facetas que se caracterizam enquanto tais em cada trabalho e no conjunto deles, sob os quais o fenômeno passa a ser analisado. (FERREIRA, 2002, p. 258)

(36)

Nos últimos quinze anos tem se produzido um conjunto significativo de pesquisas conhecidas pela denominação “estado da arte” ou “estado do conhecimento”. (FERREIRA, 2002, p. 258)

O fato, também, foi destacado por Maranhão e Machado (2006, p. 3), ao afirmarem que o “crescimento da produção brasileira em Educação Matemática justifica pesquisas que realizem seu estado da arte”.

As autoras citadas complementaram o pensamento dizendo:

Esse tipo de investigação [estado da arte], se contextualizada, possibilita maior compreensão da produção em Educação Matemática, complementando e ampliando o alcance dos panoramas realizados em âmbito externo aos Programas de Pós-Graduação. (MARANHÃO E MACHADO, 2006, p. 3)

Portanto, o aumento das pesquisas em Educação Matemática denominadas “estado da arte” se faz necessário pela crescente quantidade de produções acadêmicas nesse segmento, como pudemos constatar por meio de uma breve análise dos Quadros 2, 3 e 4 apresentados nas páginas anteriores deste trabalho.

O crescente aumento dos trabalhos do tipo “estado da arte”, também, está presente na PUC-SP, como por exemplo, a Relação entre a composição do corpo docente e a produção discente na primeira década do programa de Educação Matemática da PUC-SP, entre outros, de Machado e Maranhão (2006).

Para as autoras, o objetivo do artigo foi “fazer um balanço das temáticas privilegiadas pela produção discente [...] relacionando-o com a composição do corpo docente do mesmo Programa”.

(37)

As pesquisas do tipo “estado da arte” ainda podem ser divididas conforme o aprofundamento que o pesquisador imprima a seu trabalho; afinal, isso ficou patente na definição dada por Romanowski e Ens (2006):

Os estudos realizados a partir de uma sistematização de dados, denominada “estado da arte”, recebem esta denominação quando abrangem toda uma área do conhecimento, nos diferentes aspectos que geraram produções. (ROMANOWSKI E ENS, 2006, p.39)

As autoras citadas exemplificaram um modelo de pesquisa que se originou nos estudos do tipo “estado da arte”:

Por exemplo: para realizar um “estado da arte” sobre “Formação de Professores no Brasil” não basta apenas estudar os resumos de dissertações e teses, são necessários estudos sobre as produções em congressos na área, estudos sobre as publicações em periódicos da área. O estudo que aborda apenas um setor das publicações sobre o tema estudado vem sendo denominado de “estado do conhecimento”. (ROMANOWSKI E ENS, 2006, p. 39-40)

Acrescentamos que no artigo de Fiorentini (2002), Mapeamento e balanço dos trabalhos do GT-19 (Educação Matemática) no período de 1998 a 2001, o autor caracterizou os trabalhos do GT-19 da ANPEd5, entre os anos de 1998 a 2001, que foram aprovados pelo Comitê Científico desta associação.

Consideramos esse tipo de estudo bibliográfico diferente dos “estados da arte”, ressaltando que foi denominado como “mapeamento e balanço”, no nosso entender, por objetivar caracterizar trabalhos de apenas um dos grupos de uma associação de pesquisa num período de 4 anos.

Para tal caracterização, na modalidade “mapeamento e balanço”, o artigo de Fiorentini (2002, p. 1) pretendeu “[...] descrever, analisar e discutir problemas e tendências temáticas e teórico-metodológicas relativos aos trabalhos selecionados pelo GT de Educação Matemática [...]”

(38)

“panoramas”, assim como o “mapeamento e balanço” de Fiorentini (2002), não foram considerados pelos autores que procuraram teorizar e categorizar modalidades de estudos bibliográficos, apesar de sua existência.

QUADRO 9: Panoramas publicados na PUC-SP.

A

ut

or Benedito Afonso Pinto

Junho Eliane Alcântara de Oliveira Luciane Maciel Xavier de Oliveira Perreira

T

ítu

lo

Panorama das disserta-ções de Educação

Mate-mática sobre o Ensino Superior da PUC-SP de

1994 a 2000

A Educação Matemática & Ensino Médio: Um Panorama das pesquisas

produzidas na PUC/SP

A Educação Matemá-tica & Ensino Funda-mental: Um Panorama

das pesquisas produ-zidas na PUC/SP nos

anos 1994 a 1997.

C

ur

so _Mestrado _Mestrado _Mestrado

O

bj

et

iv

os

[...] fazer um levanta-mento das dissertações em Educação Matemática

no Ensino Superior elaboradas entre 1994 e 2000 inclusive, no

Progra-ma de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, analisá-las e categorizá-las quanto aos

tópicos abordados e metodologias utilizadas.

(JUNHO, 2003, p. 17)

[...] descrever, analisar e categorizar, segundo seus objetivos e

método-logia de pesquisa, as dissertações em

Educa-ção Matemática no Ensino Médio, produzidas no Programa

de Pós-Graduação em Educação Matemática, da PUC/SP, no período

de 1994 a 2000. (OLIVEIRA, 2003, p. 14)

[...] fazer um panorama das dissertações do ensino fundamental, defendidas nos anos de

1994 a 1997, para divulgar pontos comuns,

focando os objetivos de pesquisa. (PERREIRA,

2003, p. 12)

In st itu iç ão , c ur so e p er ío do pr es tig ia do s

PUC-SP, Mestrado, de

(39)

Os dados do Quadro 9 evidenciam que as três dissertações utilizam apenas as produções da PUC-SP do curso de mestrado e cada uma em determinado período.

Junho (2003), Oliveira (2003) e Perreira (2003) inventariaram as pesquisas da PUC-SP no tema e período de interesse; empregaram modelo de fichamento similar ao do presente estudo, como norteador de análises, e Perreira (2003) indicou pontos comuns entre as dissertações examinadas.

Nosso trabalho teve uma estrutura comparável ao “panorama” desenvolvido por Perreira (2003), que buscou levantar similaridades – pontos em comum – entre as pesquisas analisadas.

(40)

C

APÍTULO

III

3.1 Fichamento das Pesquisas

Os fichamentos das dissertações realizados na segunda fase de nosso trabalho obedeceram ao modelo apresentado no capítulo anterior e foram fundamentais para a organização das informações que, posteriormente, deram condições para responder nossas questões de pesquisa, além das conclusões e indicações para futuras pesquisas.

3.1.1 – Ribeiro (2001)

1) TÍTULO

Analisando o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP

2) AUTORIA

RIBEIRO, ALESSANDRO JACQUES

3) ANO DE DEFESA 2001

4) NÚMERO DE PÁGINAS 145

5) ORIENTADOR (A)

(41)

6) INSTITUIÇÃO

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

7) RESUMO E PALAVRAS-CHAVE RESUMO

Este trabalho preocupou-se em levantar, identificar e analisar os procedimentos e estratégias que os alunos das 8as_{séries do Ensino} Fundamental utilizam para resolver questões de Álgebra Elementar. Com base em uma análise feita nos documentos do SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo), edição de 1.997, elaborados pela Secretaria Estadual de Educação, foram aplicadas as mesmas questões de Álgebra, que este exame trazia, em uma amostra de 20 alunos da Rede Pública Estadual de São Paulo. Num segundo momento, os alunos, em um contexto de oficina, puderam trabalhar em pequenos grupos com a participação do pesquisador, na resolução de questões abertas semelhantes àquelas aplicadas na etapa anterior, o que proporcionou a oportunidade de produzir um material rico para as análises e conclusões desta dissertação. Tomando como base os trabalhos de Kieran (1992) e Cortés & Kavafian (1999), foram apresentadas as análises feitas a respeito das estratégias utilizadas pelos alunos dessa amostra, buscando identificar possíveis causas para os erros mais freqüentes. Espera-se que este estudo possa trazer contribuições para os professores, no sentido de se pensar em novas abordagens de trabalho com este conteúdo matemático nas salas de aula. (RIBEIRO, 2001, RESUMO)

Palavras-chave: (Não constam)

8) OBJETIVO(S) DA PESQUISA

[...] estudar o desempenho dos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental em São Paulo, fazendo o levantamento dos procedimentos e estratégias que os mesmos utilizam, para resolver questões de Álgebra Elementar, como as que aparecem no SARESP/97. (RIBEIRO, 2001, p. 38)

9) CONCLUSÃO

Cabem aqui, algumas conclusões e considerações finais sobre nossa pesquisa, embora já tenhamos apresentado e discutido boa parte delas, enquanto elaborávamos a análise deste estudo. (RIBEIRO, 2001, p. 109)

(42)

Observando que não encontramos respostas ao objetivo de pesquisa no capítulo denominado “Nossas conclusões e considerações finais” da dissertação de Ribeiro (2001), buscamos os capítulos de análises, nos quais o autor fez conclusões parciais.

Como a dissertação de Ribeiro (2001), não foi dedicada, exclusivamente, ao tema equações, buscamos listar, somente, as partes relacionadas ao foco desta pesquisa, ou seja, equações.

Para ilustrar as conclusões parciais de Ribeiro (2001), utilizamos duas das questões analisadas pelo autor.

Uma delas envolveu a verificação da solução em equações polinomiais do 1º grau para indicar a alternativa correta. Sobre esta questão Ribeiro (2001) apresentou uma resolução e destacou algumas estratégias utilizadas pelos alunos, exibidas nos dados do Quadro 10.

QUADRO 10: Algumas estratégias de resolução utilizadas pelos alunos.

[...] cabe ressaltar que a maioria daqueles que acertaram a resposta, utilizaram estratégias dentro do aspecto estrutural6 da Álgebra.

Conseguimos identificar cinco estratégias distintas, são elas:

• cinco alunos que acertaram, resolveram a questão encontrando as raízes

das equações (aspecto estrutural), e três deles, mesmo cometendo pequenos erros de cálculos, ainda assim assinalaram a alternativa correta (estratégia 1);

• um aluno que acertou, resolveu a questão pela substituição do 3 nas

equações dadas nas alternativas (aspecto processual7) (estratégia 2);

• um aluno que acertou, resolveu a questão justificando da seguinte maneira:

“no caso x valeria 3 e o resultado da conta vale 3”, aparentemente ele utilizou-se do aspecto estrutural da Álgebra, resolvendo a equação (conta) e encontrando o valor de x (estratégia 3); [...]

____________

6

[...] aspecto estrutural da Álgebra, em particular, com a representação simbólica de relações numéricas diz respeito à tradução de situações-problema em equações algébricas. Essas equações são representações estruturais que envolvem uma perspectiva não aritmética, não só quanto à natureza das operações que são representadas, mas também quanto ao uso do sinal de igualdade. (RIBEIRO, 2001, p. 41)

7

[...] Quando [...] nos referimos ao aspecto processual da Álgebra estamos considerando as operações aritméticas que são realizadas com números que produzirão como resultado também números. Podemos citar alguns exemplos para ilustrar. Podemos citar alguns exemplos para ilustrar.

(43)

• três alunos que erraram, resolveram a questão através da substituição

do 3 nas equações dadas nas alternativas (aspecto processual), (estratégia 2);

• um aluno que errou, resolveu a questão justificando da seguinte

maneira: “x - 1 = x = - 3 ” (estratégia 4);

• um aluno que errou, resolveu justificando da seguinte maneira: “somei

todos os parênteses” (estratégia 5) [...] (RIBEIRO, 2001, p. 83-84)

Outra questão apresentada por Ribeiro (2001) compreendeu a resolução de situações-problema, envolvendo sistemas de equações do 1º grau. Os dados do Quadro 11 apresentam estratégias utilizadas pelos alunos.

QUADRO 11: Mais estratégias de resolução utilizadas pelos alunos.

[...] Mais uma questão que pode ser classificada como processual, se resolvida por meio de tentativas, substituindo os valores dados nas

alternativas, no enunciado da questão, ou estrutural, traduzindo o problema por meio de um sistema de equações de 1º grau e resolvendo-o em seguida.

Conseguimos identificar seis estratégias de resolução, são elas:

• três alunos que acertaram, resolveram a questão utilizando o aspecto

estrutural:

− um aluno: “x + 1/3 x = 72, e depois achou a idade do filho, dividindo x

(54) por 3” (estratégia 1);

− dois alunos: “3x + x = 72, encontrando x = 18” (estratégia 2); • três alunos que acertaram, resolveram a questão utilizando o aspecto

processual, sendo que 1 deles fez: “72 - 18 = 54, mas não ‘mostrou’ que 18 é 1/3 de 54” (estratégia 3);

• dois alunos que acertaram, resolveram a questão utilizando a seguinte

justificativa: “avó = 72, mãe = 36, filho = 18” (estratégia 4);

• um aluno que errou, resolveu a questão justificando da seguinte maneira:

“somei todos os valores” (estratégia 5);

• dois alunos que erraram a questão, justificaram da seguinte maneira: “ tem

(44)

10) INDICAÇÕES PARA FUTURAS PESQUISAS

[...] deixamos como sugestão àqueles que estejam dispostos a contribuir de maneira efetiva para um crescimento na qualidade do processo de ensino/aprendizagem da Álgebra, procurarem desenvolver pesquisas relacionadas a isto, visto que, pesquisas a respeito de como os professores de Matemática que trabalham com Álgebra, interpretam e ensinam este conteúdo são escassas. Acreditamos ser este um dos maiores vácuos e, possivelmente, uma das áreas de maior necessidade de atenção em nossas pesquisas. (RIBEIRO, 2001, p. 117)

11) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

[...] apresentar o que se entende por aspecto estrutural e processual da Álgebra, recorrendo a Kieran (1992) [...] (RIBEIRO, 2001, p. 40 e 41)

Fomos buscar suporte na literatura e encontramos em Cortés & Kavafian (1999), uma pesquisa que pode nos auxiliar na classificação e em nossas constatações referentes à persistência de tais erros. (RIBEIRO, 2001, p. 44)

3.1.2 Daniel (2007)

1) TÍTULO

Um estudo de equações algébricas de 1º grau com o auxílio do software Aplusix

2) AUTORIA

DANIEL, José Anísio

5) ORIENTADOR (A) Bárbara Lutaif Bianchini

6) INSTITUIÇÃO

(45)

Este trabalho trata de uma pesquisa diagnóstica de predominância qualitativa com o objetivo de identificar os erros e analisar os procedimentos e estratégias que alunos de 8as séries do Ensino Fundamental de uma escola estadual utilizam para resolver equações algébricas de 1º grau. Para tal, usamos como ferramenta de apoio o software Aplusix, destinado ao ensino e aprendizagem de Álgebra. Buscamos embasamento teórico no trabalho de Cortés & Kavafian (1999), que apresenta categorias de erros e análises das estratégias utilizadas por um grupo de alunos do Ensino Fundamental da França na resolução de equações algébricas de 1º grau. Trabalhamos com 8 alunos, de 8 as séries do Ensino Fundamental, de uma Escola estadual do interior do Estado de São Paulo, usando exclusivamente como ferramenta de ensino e aprendizagem o software Aplusix. Através da ferramenta videocassete do Aplusix identificamos e analisamos os erros mais comuns nos exercícios dos alunos. Comparando os resultados do pré-teste e do pós-teste, verificamos avanços importantes, tais como: a aplicação correta da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e do mínimo múltiplo comum, adição de números relativos, troca de sinal quando um termo é "transferido" de um membro para outro da igualdade da equação, entre outros. A equivalência ou não entre etapas sucessivas da equação mostrada pelo software possibilitou ao aluno estar constantemente questionando sobre seus erros e estratégias de resolução. Verificamos ainda que os conceitos de equivalência e operação inversa foram as principais causas de erros na resolução dos exercícios dos alunos e os que mais persistiram no pós-teste. Esse estudo procura apontar caminhos para novas abordagens sobre o ensino e aprendizagem de equações algébricas de 1º grau no Ensino Fundamental. (DANIEL, 2007, RESUMO)

Palavras-chave: Educação Matemática, Ensino de Álgebra, Equações e Software Aplusix. (DANIEL, 2007, RESUMO)

(46)

9) CONCLUSÃO

Evidenciamos que os alunos apresentam diversas dificuldades na resolução de equação de 1º grau, tais como: transpor um termo de um membro para outro da igualdade da equação sem realizar a operação inversa, aplicação incorreta da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e da aplicação do cálculo do mínimo múltiplo comum, aplicação de propriedades indevidas, etc. Esses erros são devidos geralmente a dificuldades conceituais e a mecanização de determinadas regras. (DANIEL, 2007, p. 110)

Com relação aos métodos de resolução das equações de 1º grau, observamos que todos os alunos utilizaram o mesmo método, ou seja, transpor um termo de um membro para outro da igualdade, sem aplicação explícita do princípio aditivo ou multiplicativo. O problema na utilização desse método, como já foi destacado no capítulo I deste trabalho, está na mecanização de regras, pois o aluno acredita que mudar um termo de um membro para outro da igualdade da equação deve ser sempre acompanhada da mudança de sinal. (DANIEL, 2007, p. 110)

Na utilização do Aplusix evidenciamos algumas vantagens com relação ao processo ensino e aprendizagem de equações algébrica de 1º grau. Inicialmente, destacamos as equivalências ou não que o software fornece entre etapas consecutivas da equação favorecendo a tomada de decisões por parte do aluno e uma maior independência do mesmo em relação ao professor; consideramos também o videocassete outra ferramenta importante, pois oferece ao professor a oportunidade de observar o processo de desenvolvimento do raciocínio do aluno em cada etapa de resolução do exercício; o banco de dados, contendo vários exercícios separados por assunto e por níveis de dificuldades também é uma ferramenta que auxilia o professor na elaboração de suas aulas; finalmente destacamos a ferramenta AplusixEditor, na qual o professor pode criar exercícios em linguagem natural ou algébrica, usamos essa ferramenta na elaboração das equações do pré-teste e do pós-pré-teste. (DANIEL, 2007, p. 111)

O resultado positivo desse trabalho nos proporciona idéias para novas pesquisas. O estudo das equações de 2º grau usando ferramenta computacional é um tema de nosso interesse. O software Aplusix trabalha resolução de equações de 2º grau através da fatoração da equação, o que é um diferencial em relação ao livro didático, pois este geralmente apresenta a resolução através de fórmula matemática. (DANIEL, 2007, p. 113)

(47)

3.1.3 Silva (2007)

1) TÍTULO

Introdução do pensamento algébrico para alunos do EJA: uma proposta de ensino

2) AUTORIA

SILVA, Edgar Alves

5) ORIENTADOR (A) Sandra Maria Pinto Magina

6) INSTITUIÇÃO

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

(48)

grupo podemos dizer que após a intervenção de ensino e conseqüentemente o pós-teste os alunos apresentaram um desempenho satisfatório e superior em relação ao pré-teste. Destacamos que o crescimento individual se apresentou de forma significativa em praticamente todos os alunos que participaram da pesquisa. Não tivemos a pretensão de extrapolar nossos resultados para além do universo de pesquisa, uma vez que nossa amostra foi pequena. Percebemos que o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos algébricos ganha força quando se inicia a partir da resolução de situações-problema concretas, pertencentes ao cotidiano do aluno. (SILVA, 2007, RESUMO)

Palavras-chave: Etnomatemática, Modelagem, Transdiciplinaridade, Álgebra, Situações-problema, Incógnita, Variável e Equação do 1º grau. (SILVA, 2007, RESUMO)

[...] indicar novos caminhos, por meio de uma intervenção de ensino para o desenvolvimento do pensamento algébrico no curso de Jovens e Adultos (EJA) do Município de São Paulo. (SILVA, 2007, p. 10)

9) CONCLUSÃO

Olhando para os resultados obtidos no pós-teste, conjuntamente com a análise qualitativa do desempenho dos alunos ao longo da intervenção de ensino, é possível concluir que tivemos avanços significativos no trato dos conceitos algébricos (incógnita, variável e equação do 1º grau) aplicados nas situações-problema. [...] (SILVA, 2007, p. 144)

[...] Porém a análise conjunta dos resultados do pós-teste, das fichas de atividades e da avaliação feita pelos alunos ao final da pesquisa permite-nos afirmar, sem hesitação, que nossa intervenção de ensino mostrou-se um bom caminho para o conhecimento da álgebra. [...] (SILVA, 2007, p. 144)

[...] Concluímos este trabalho concordando plenamente com D’Ambrósio (2007) quando este propõe a Etnomatemática associada à Modelagem Matemática como uma boa metodologia para ser adotada nas escolas, abandonando o currículo específico, apresentado dentro das “matrizes curriculares” totalmente “amarradas” e hierarquizadas e, assumindo a defesa do trabalho em forma de projetos. (SILVA, 2007, p. 144)

(49)

Educação (SME) agregados ao conceito de Modelagem matemática. [...] (SILVA, 2007, p. 145)

[...] Uma segunda reflexão que nos ocorreu foi à questão: como evoluiria nossa pesquisa se aplicada na 7º série do Ensino Fundamental II – regular do município de São Paulo? [...] (SILVA, 2007, p. 145)

[...] Por fim, pensamos que o presente estudo poderia ser aplicado na 7º série de uma escola particular do município de São Paulo e, na mesma série de uma escola pública da rede municipal de ensino. (SILVA, 2007, p. 146)

[...] com base nos estudos de Paulo Freire, relacionados às questões da educação de jovens e adultos e seus processos cognitivos, associados à inclusão/exclusão escolar, nas pesquisas sobre Etnomatemática, desenvolvidas por Ubiratan D’Ambrósio, bem como a aplicação da Modelagem Matemática no desenvolvimento das atividades investigativas de nosso estudo, e nos estudos de Ole Skovsmose relacionados à Educação Matemática Crítica. (SILVA, 2007, p. 26)

3.1.4 Martins (2008)

1) TÍTULO

Uma metanálise qualitativa das dissertações sobre equações algébricas no Ensino Fundamental

2) AUTORIA

MARTINS, Adriano de Morais

5) ORIENTADOR (A)

Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão

(50)

O presente estudo faz uma síntese de pesquisas brasileiras voltadas ao Ensino Fundamental ciclo II, que tratam das equações algébricas. O material de análise constitui-se de nove dissertações publicadas entre os anos de 1998 a 2004 na área de Educação Matemática. A seleção desses trabalhos se deu por meio da busca de dissertações e teses segundo alguns instrumentos de pesquisas e critérios pré-determinados. Metodologicamente esse estudo se caracteriza como um estudo documental denominado metanálise qualitativa na qual se procura fazer uma revisão sistemática de um conjunto de pesquisas, visando à realização de uma síntese dessas produções. Aqui é apresentado um confronto desses estudos, mais especificamente entre seus objetivos, referenciais teóricos, teórico-metodológicos, conclusões e sugestões deixadas para futuras pesquisas. Os resultados atestam que as pesquisas analisadas, em sua maioria, não citam as anteriores já publicadas, apresentam uma preocupação com o significado equações e que existe uma grande dispersão nas escolhas dos indicadores teóricos e/ou teórico metodológicos. Com isso o presente estudo aponta resultados que possam oferecer subsídios a novas pesquisas, tais como a carência de alguns pontos a serem pesquisados dentro desse tema de ensino. (MARTINS, 2008, RESUMO)

Palavras-chave: pesquisa educacional, metanálise qualitativa, ensino fundamental, equações algébricas. (MARTINS, 2008, RESUMO)

[...] fazer um levantamento do que já foi pesquisado, com o intuito de auxiliar a elaboração de futuras pesquisas dentro desse tema de ensino e também proporcionar subsídios na elaboração de um possível balizamento com trabalhos internacionais que tratam desse tema. (MARTINS, 2008, p. 18)

9) CONCLUSÃO