Relatório de Física I
TEORIA DE ERROS
INTRODUÇÃO
As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou combinações de medidas, as quais têm uma incerteza intrínseca advinda dos métodos de medidas, das características dos aparelhos usados na sua determinação e mesmo do operador. A experiência mostra que, quando uma medida é repetida várias vezes, com as mesmas precauções, pelo mesmo observador ou por vários observadores, os resultados achados não são em geral idênticos.
Ao fazemos a medida de uma grandeza física achamos um número que a caracteriza, cuja confiabilidade deve ser conhecida, ou seja toda medida física deve ser acompanhada de uma incerteza que deve ser expressa através de uma linguagem universal. Além disto, para combinar as incertezas dos diversos fatores que influenciam o resultado, não podemos usar quaisquer métodos. É a Teoria de Erros que fornece tratamento adequado para os dados experimentais.
Algarismo Significativo
Chamamos de “algarismos significativos” de uma medida aqueles que são
corretos e o primeiro duvidoso. As medidas são sempre acompanhadas de uma incerteza que depende dos fatores acima mencionados. Quanto maior for a precisão do instrumento, maior será o número de algarismos significativos que podem e devem ser usados
12,3cm 12,4cm 12,6cm
Os valores obtidos para os últimos algarismos à direita da virgula diferem, pois suas avaliações dependem da pericia de cada observador. Portanto, não podemos saber qual é o resultado correto. Notamos, ainda, que todos os observadores não têm dúvida
CORRETO
quanto aos algarismos que antecedem à virgula (1 e 2). Desta forma, 1 e2 são algarismos corretos e 3, 4 e 6são duvidosos. Portanto, temos 3 algarismos significativos. A quantidade de algarismos significativos não é alterada quando é feita uma transformação de unidade. Para o exemplo que segue, temos 3 algarismos significativos, dos quais o 8 é duvidoso: AB = 12,8cm = 0,128 m = 128mm.
Regras de aproximação
Quando eliminamos algarismos não significativos, ou mesmo quando, deliberamos, dispensamos alguns algarismos significativos, devemos usar as seguintes regras:
I. Se o primeiro algarismo suprimido for inferior a 5 (cinco), o anterior não muda. II. Se o primeiro algarismo suprimido for superior ou igual a 5 (cinco), o anterior é
acrescido de uma unidade. Exemplo:
a) 1,0234 arredondado 1,023
b) 1,0235 arredondado 1,024
c) 1,0236 arredondado 1,024
Incerteza Absoluta
A maneira mais correta de apresentarmos o valor de uma medida consiste em expressá-la com sua incerteza. A medida que segue é relativa ao comprimento de uma peça:
L = l ±
l = ( 13,4 ± 0,1 ) cm
Neste exemplo, 1 e 3 são algarismos corretos e 4 é o duvidoso, o qual reside a incerteza da medida. Sendo assim, ± 0,1 cm é a amplitude da incerteza denominada incerteza absoluta. Portanto, não há um único valor associado a medida, mas valores compreendidos entre 13,3 cm e 13,4 cm é o mais provável.
O exemplo ilustra o caso em que a medida é obtida através de uma única leitura no instrumento. Entretanto, quando efetuamos várias medidas de uma grandeza, ela deve ser expressa através de seu valor médio, cuja incerteza é obtida através de método estatístico, conforme será visto.
Incerteza Relativa
A incerteza relativa é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da grandeza, isto é:
𝑙
𝑙
Incerteza Percentual
A incerteza relativa expressa em termos percentuais é denominada incerteza percentual e é dada por:
𝑙
𝑙
100
Classificação dos Erros
E
r=
𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 −𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐
O erro relativo expresso em termos percentuais é denominado erro percentual e é dado por :
E% = E
r100
Dissemos, anteriormente, que as medidas têm incertezas intrínsecas que dependem do método, do operador e do instrumento de medida. São estas incertezas que limitam a obtenção do verdadeiro valor da grandeza. Elas podem ser de origem sistemática e acidental e originam os erros sistemáticos e acidentais, abordados a seguir.
Erro Sistemático
São aqueles que alteram de modo uniforme o resultado das medidas. São provenientes de falhas do método empregado, do operador ou do equipamento utilizado. Os erros sistemáticos, como o próprio nome sugere, são de amplitudes regulares e influenciam a medida sempre da mesma forma, ou para mais ou para menos.
Erros Acidentais
São provenientes de causas independentes e alteram o resultado de forma variável. Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais são:
Imperícia do operador.
Variação da capacidade de avaliação ou da perícia na observação de uma mesma grandeza por vários observadores.
Erro de paralaxe.
Reflexos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionar um cronômetro).
Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, aplicação de um instrumento de medida a uma peça, em diferentes posições). Interesse do operador de obter medidas em situações diferentes a fim de
Os erros acidentais podem ser minimizados pela perícia do operador.
Tratamento Estatístico para Análise dos Resultados Experimentais
Conforme dissemos anteriormente, quando são feitas várias medidas de uma grandeza, devemos dar um tratamento estatístico para analisar os resultados experimentais. Passaremos a discuti-lo a seguir.
Para terem sentido estatístico, as medidas e contagens devem ser limitadas a um certo grupo ou conjunto de objetos, denominado população.
Assim, a população pode estar relacionada ao número de habitantes de uma certa
cidadde ou a uma série de medidas experimentais. A “amostra” é uma parte da população, selecionada aleatoriamente e usada para fazer estimativas e tirar conclusões com relação a uma população.
Com os dados obtidos através de uma população ou amostra, podemos observar várias características importantes, como por exemplo, a freqüência com que um dado se repete. A distribuição de freqüências tem três características importantes: indica os valores mais prováveis e menos prováveis (probabilidade de ocorrência dos valores), a tendência que certos valores têm de se concentrarem em torno de um determinado valor, chamado valor médio da grandeza, e o intervalo no qual se encontra o valor da grandeza, ou seja, a sua dispersão.
Média Aritmética
Há várias formas para se mensurar o valor médio de um grandeza ou o mais provável. Normalmente utilizamos a média aritmética como o valor que melhor representa a grandeza observada, embora isto não se aplique em todos os casos. A
média aritmética de um conjunto de medidas é dada por:
𝑥
=
𝑥𝑖 𝑛𝑛
𝑖=1
, onde n
é o número total de medidas e xi é o valor de cada medida.
módulo tais parâmetros não serão estudados. Desta forma , quando for mencionado valor médio, estaremos nos referindo à média aritmética.
Desvio
Não podemos afirmar que o valor mais provável seja o valor real da grandeza. Desta forma, a diferença 𝑥𝑖 − 𝑥 não é definida como erro. Quando se conhece o valor mais provável falamos em desvio:
𝛿𝑥
𝑖=
𝑥
𝑖− 𝑥
.
Desvio é a diferença entre o valor medido e a média aritmética.Dispersão
A especificação do valor médio não é suficiente para caracterizar uma série de medidas . Precisamos saber de quanto as medidas individuais se afastam, em média, do valor médio. Em outras palavras, de que maneira as medidas xi se distribuem em torno do valor médio, isto é, qual a é dispersão das medidas. Para medir a dispersão utilizamos os parâmetros: desvio médio, variância e desvio padrão.
Desvio Médio
O desvio médio é uma medida de dispersão de uma grandeza com relação ao valor médio.
Para um número n de medidas definimos desvio médio como sendo a média aritmética dos desvios:
𝛿𝑥
=
𝑥
𝑖− 𝑥
𝑛 𝑖=1
𝑛
=
𝛿𝑥
𝑛𝑖=1 𝑖𝑛
Desvio Padrão
Em uma população finita de medidas, definimos a variância como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, com relação ao valor médio, isto é:
𝜎
2=
𝑥
𝑖−
𝑥
2 𝑛𝑖=1
𝑛 −
1
n = número total de xi na população.
O desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância:
𝜎
=
𝑥
𝑖−
𝑥
2 𝑛
𝑖=1
𝑛 −
1
Para uma distribuição normal de freqüência, isto é, próxima de uma gaussiana, conforme mostra a figura abaixo, temos.
68% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± desvio padrão
95% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± 2 desvio padrão
99,7% dos pontos estão no intervalo 𝑥 ± 3 desvio padrão
Limite de Erro e Incerteza Sistemática Residual
A incerteza sistemática residual (𝜎𝑟) é decorrente da acurácia dos instrumentos e do procedimento de medida, não existindo nenhum método adotado como padrão para sua determinação. Entretanto, pode-se considerar como uma boa estratégia relaciona: a incerteza sistemática residual com o limite de erro L, o qual é definido como sendo o valor máximo que o erro pode apresentar. Nesse sentido, como uma regra prática para instrumento ; analógicos considera-se que o limite de erro de calibração (𝐿𝑐) do equipamento corresponde à menor divisão da sua escala.
Assim, a incerteza sistemática residual pode ser calculada por:
𝜎
𝑟=
𝐿
2
𝑐A Incerteza Padrão
𝜎
𝑝
A incerteza padrão que afeta o resultado final de uma medida corresponde a um valor que associa o desvio padrão da média (
𝜎
𝑚) e a incerteza sistemática residual (𝜎
𝑟), ou seja, a incerteza padrão incorpora as incertezas estatísticas com as incertezas provenientes dos instrumentos de medidas e dos procedimentos de medição. Dessa forma, a incerteza padrão𝜎
𝑝 pode ser calculada através das variâncias da seguinte maneira (vuolo, 1996):𝝈
𝒑𝟐=
𝝈
𝒎𝟐+
𝝈
𝒓𝟐Portanto
Paquímetro
O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares internas, externas e de profundidade de uma peça. Consiste em uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor.
1. orelha fixa 8. encosto fixo 2. orelha móvel 9. encosto móvel 3. nônio ou vernier (polegada) 10. bico móvel
4. parafuso de trava 11. nônio ou vernier (milímetro)
5. cursor 12. impulsor
6. escala fixa de polegadas 13. escala fixa de milímetros 7. bico fixo 14. haste de profundidade
O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre movimentação, com um mínimo de folga. Ele é dotado de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier. Essa escala permite a leitura de frações da menor divisão da escala fixa.
O paquímetro é usado quando a quantidade de peças que se quer medir é pequena. Os instrumentos mais utilizados apresentam uma resolução de:
0,05 mm, 0,02 mm, 1
128” ou .001"
O Paquímetro universal é utilizado em medições internas, externas, de profundidade e de ressaltos. Trata-se do tipo mais usado e que utilizaremos em nosso experimento.
Quando o paquímetro está fechado, o zero do nônio coincide com o zero da escala principal.
As medidas com paquímetro são efetuadas da seguinte forma:
A peça cujo comprimento desejamos medir é colocada entre as esperas.Tais esperas devem ficar completamente encostadas na peça.
Micrômetro
Os micrômetros também são usados para medidas de pequenos comprimentos. Existem micrômetros de grande precisão baseados em medidas óticas. Descreveremos, entretanto, o micrômetro analógico constituído por parafuso micrométrico, que será usado no laboratório.
O instrumento é formado por 2 esperas, uma fixa e outra móvel, entre as quais é colocado o corpo cujo comprimento desejamos medir, duas escalas, sendo uma horizontal e a outra vertical, conforme a figura que segue.
Escala Horizontal
Leitura no micrômetro com resolução de 0,01 mm.
1º passo - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha.
2º passo - leitura dos meios milímetros, também na escala da bainha. 3º passo - leitura dos centésimos de milímetro na escala do tambor.
OBJETIVO
Familiarização com instrumentos de medida tais como régua, paquímetro e micrômetro. Uso da Teoria de Erros para análise dos dados experimentais.
MATERIAIS
Objetos diversos como: bolinha de gude, cubos, etc.
Régua
Paquímetro
Micrômetro
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
De acordo com o material existente na bancada, siga o seguinte roteiro:
1. Meça 10 vezes cada objeto em pontos diferentes utilizando todos os instrumentos de medidas fornecidos (régua, paquímetro e micrômetro), e anote os valores encontrados nas tabelas.
RESULTADOS E DISCUSSOES
Esfera
Medidas com a Régua
Ø Desvio(
𝛿
𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐 Desvio Padrão𝝈
Desvio Padrão da Média (𝝈𝒎)
Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual
𝝈
𝒓= __________
Incerteza Padrão
𝝈
𝒑= _____
Medidas com Paquímetro
Ø Desvio(
𝛿
𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐 Desvio Padrão𝝈
Desvio Padrão da Média (𝝈𝒎)
Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual
𝝈
𝒓= __________
Incerteza Padrão
𝝈
𝒑= _____
Medidas com Micrômetro
Ø Desvio(
𝛿
𝑖) 𝜹𝒊𝟐 𝜹𝒊𝟐 Desvio Padrão𝝈
Desvio Padrão da Média (𝝈𝒎)
Limite de Erro: L= __________ Incerteza residual
𝝈
𝒓= __________
Incerteza Padrão
𝝈
𝒑= _____
FORMULAS
𝜹𝒍
𝒍
𝟏𝟎𝟎
𝒙
=
𝒙𝒊 𝒏 𝒏
𝒊=𝟏
𝜹𝒙
𝒊=
𝒙
𝒊−
𝒙
𝝈
=
𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊−𝒙 𝟐𝒏−𝟏
𝝈
𝒎=
𝝈
𝒏
=
𝒙𝒊−𝒙 𝟐 𝒏
𝒊=𝟏
𝒏 𝒏−𝟏
𝝈
𝒓=
𝑳𝒄 𝟐
𝝈
𝒑=
𝝈
𝒎𝟐+
𝝈
𝒓𝟐CLONCLUSÃO ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ BIBLIOGRAFIA
VUOLO, José Henrique. Teoria de Erros. In: VUOLO, José Henrique.
Fundamentos da Teoria de Erros. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996.cap. 3, p. 49.
ABNT. NBR 6393/1980: Paquímetros com leitura de 0,1 mm e 0,05 mm. S/i.
