GAaula 20 - superficies

(1)

Superfícies

Mas afinal o que vem a ser uma superfície?

Os pontos do espaço possuem abscissa, ordenada e cota, podendo ser representados pela notação P(x,y,z).

As relações entre as abscissas, ordenadas e cotas dos pontos de um lugar geométrico podem ser representadas através de uma equação.

Exemplo:

0 z

y

x







Os pontos A(2,2,0) e B(-1,1,2) são pontos desse lugar, pois as suas coordenadas satisfazem a essa equação.

Quantos pontos satisfazem a essa equação ? É claro que uma infinidade!

(2)

Agora observe o primeiro membro dessa equação.

Ele é composto de uma soma de funções de x, y e z, isto é, f(x) = x, g(y) = - y e h(z) = z. 0 ) z ( h ) y ( g ) x ( f   

0 z

y

x







0 z 16 y 9 x2 _ 2 _ _

1

25 z

16 y

9 x

2

_

2

_

2

_

Representaremos esse fato com a notação: F(x,y,z) = 0. Veja esses outros exemplos:

0 z

y

x







Definição 1

O conjunto dos pontos que satisfaz a uma equação do tipo F(x,y,z) = 0 é chamado Superfície.

(3)

Um plano  é uma superfície, pois sua equação geral é do tipo:

Considere agora a equação x = 0 ela representa um plano .

0 z

0 y

0 x







1,0,0



i n_α    Quaisquer valores de y e z satisfazem a essa equação, no entanto o único valor de x que satisfaz a mesma é zero.

Assim, os pontos do plano  são do tipo P(0,y,z) , onde y e z pertencem aos números reais.

O plano : x = 0 é chamado plano coordenado YOZ. Ou melhor, F(x,y,z) = 0.

0 d

cz

by

ax





Diz-se que y e z são variáveis livres dessa equação.

(4)

De modo análogo, as equações y = 0 e z = 0 representam os planos coordenados XOZ e XOY, respectivamente.

(5)

Considere a equação



x



2  

2



y



4  

2



z



4 

2



0

Note que o ponto P(2, -4,4) é o único ponto que satisfaz a essa equação.



x



2

 

2



y



4

 

2



z



4



2



4 

0 

x



2  

2



y



4  

2



z



4 

2





4

Você pode então concluir que toda superfície possui equação da forma F(x,y,z) = 0.

Considere agora a equação dada a seguir.

Observe que não existem x, y e z que satisfaça a essa equação. Assim, a equação anterior não representa uma superfície.

Daí, essa equação também não representa uma superfície.

(6)

Quádricas

I- Parabolóide hiperbólico

1. Identificação.

Se uma superfície possui equação cartesiana de um dos tipos dados a seguir diz-se que esta superfície é um Parabolóide Hiperbólico.

 Eixo do parabolóide coincidindo com OX:

 Eixo do parabolóide coincidindo com OY

 Eixo do parabolóide coincidindo com OZ

2 2 2 2 b z a y x   2 2 2 2 b y a z x   2 2 2 2 b z a x y   ₂ 2 2 2 b x a z y   2 2 2 2 b y a x z   2 2 2 2

b

x

a

y

z





.

(7)

2. Determinação das interseções da superfície S com os eixos coordenados

2.1 Interseção com o eixo OX

Os pontos do eixo OX são pontos do tipo P(x,0,0).

9 x 0 9 x 16 0 0  2  2    2  x2  0  x  0

Logo, o eixo OX intercepta o parabolóide no ponto O(0,0,0). 9 x 16 y z :

S  2  2 , que é um parabolóide hiperbólico de eixo OZ. Exemplo

2.2 Interseção com o eixo OY

Os pontos do eixo OY são pontos do tipo P(0,y,0).

16 y 0 9 0 16 y 0  2  2   2  y2  0  y  0

(8)

2.3 Interseção com o eixo OZ

Os pontos do eixo OZ são pontos do tipo P(0,0,z).

0 z 9 0 16 0 z  2  2  

Logo, o eixo OZ também intercepta o parabolóide no ponto O(0,0,0).

3. Caracterização dos traços da superfície S com os planos coordenados

As interseções de uma superfície S com os planos coordenados são chamadas “traços”.

(9)

        9 x 16 y z 0 z 2 2 _                  9 x 16 y 0 z 9 x 16 y 0 0 z 2 2 2 2              x 3 4 y 0 z : r x 3 4 y 0 z : r 2 1

Logo, o plano XOY intercepta o parabolóide segundo duas retas r₁ e r₂. Assim, basta verificar que pontos satisfazem essa equação e a equação do parabolóide. Ou seja,

3.1. Traço do parabolóide com o plano XOY Os pontos do plano XOY são do tipo P(x,y,0).

Observe que esses pontos satisfazem a equação z = 0, que é a equação do plano XOY.

(10)

3.2. Traço do parabolóide com o plano YOZ Os pontos do plano YOZ são do tipo P(0,y,z).

Observe que esses pontos satisfazem a equação x = 0, que é a equação do plano YOZ.

Assim, basta verificar que pontos satisfazem essa equação e a equação do parabolóide. Ou seja,

        9 x 16 y z 0 x 2 2          9 0 16 y z 0 x 2 2        z 16 y 0 x 2

O plano YOZ intercepta o parabolóide segundo a parábola, que possui vértice V(0,0,0), eixo focal coincidindo com o eixo OZ.

A abertura dessa parábola está voltada para cima e o comprimento do latus rectum igual a 16 unidades de comprimento.

(11)

3.3. Traço do parabolóide com o plano XOZ Os pontos do plano XOZ são do tipo P(x,0,z).

Assim, basta verificar que pontos satisfazem essa equação e a equação do parabolóide. Ou seja,

        9 x 16 y z 0 y 2 2          9 x 16 0 z 0 y 2 2         z 9 x 0 y 2

O plano XOZ intercepta o parabolóide segundo a parábola, que possui vértice V(0,0,0), eixo focal coincidindo com o eixo OZ.

Observe que esses pontos satisfazem a equação y = 0, que é a equação do plano XOZ.

A abertura dessa parábola está voltada para baixo e o comprimento do latus rectum igual a 9 unidades de comprimento.

(12)

4. Estudo das simetrias

Lembre que os pontos do plano XOY são do tipo P(x,y,0). A abscissa e a ordenada são variáveis livres e a cota permanece constante e igual a zero. Costuma-se dizer que a cota z não é medida no plano XOY. Observe que a cota do ponto P’ simétrico do ponto P em relação ao plano XOY, que é a variável não medida nesse plano, sofre modificação de z_o para - z_o.

Quais seriam as coordenadas do ponto P’ simétrico do ponto P em relação ao plano XOY?

Considere um ponto P(x_o, y_o,z_o) do espaço.

Nesse traçado a abscissa e ordenada do ponto P mantiveram-se constante, apenas a cota que se modificou de z_o para - z_o.

(13)

O ponto P’’ simétrico do ponto P em relação ao plano XOZ, a ordenada, variável não medida nesse plano, é que sofre a modificação de y_o para - y_o. Assim, P”(x_o, -y_o, z_o).

O ponto P’’’ simétrico do ponto P em relação ao plano YOZ, a abscissa, variável não medida nesse plano, é que sofre a modificação de x_o para - x_o. Assim, P’’’(-x_o, y_o, z_o).

(14)

Regra

Os pontos P e P’ são simétricos em relação ao plano coordenado , se possuem coordenadas correspondentes iguais, exceto a coordenada não medida nesse plano, que são opostas.

Uma regra semelhante a regra anterior é válida para simetria em relação a um eixo coordenado.

Então o ponto simétrico do ponto P em relação ao eixo OX possui coordenadas:



x_o, y_o, z_o



P  

O ponto simétrico do ponto P(x_o ,y_o ,z_o ) em relação à origem do sistema possui todas as coordenadas correspondentes opostas, ou seja,



x_o, y_o, z_o



P   

Por exemplo, os pontos do eixo OX têm a forma P(x,0,0), assim a ordenada e a cota não são medidas em OX.

(15)

Diz-se que uma superfície S é simétrica em relação a um plano coordenado (ou eixo coordenado, ou à origem) se para todo ponto P

Para verificar se o ponto P’ simétrico de P pertence à superfície S basta substituir as coordenadas de P’ na equação de S.

Definição

que pertence à superfície S o ponto P’, simétrico de P em relação a esse plano coordenado (ou eixo coordenado, ou à origem), também pertence à superfície S.

Se essa equação não se alterar, significa que o ponto P’ pertence à superfície S, caso contrário, o ponto P’ não pertence à superfície S.

(16)

9 x 16 y z : S 2 2  

 S é simétrica em relação ao plano YOZ, pois a mudança x  -x não altera a equação de S.

 S é simétrica em relação ao plano XOZ, pois a mudança y  -y não altera a equação de S.

 S é simétrica em relação ao eixo OZ, pois as mudanças x  -x e y  -y não alteram a equação de S.

Voltando ao exemplo

Observe que se você substituir x  -x e y  -y a equação de S não se modifica, já que os expoentes dessas variáveis são pares.

(17)

5. Identificação das seções por planos paralelos aos planos coordenados

Você já sabe que a equação x = 0 representa o plano YOZ. E a equação x = 3 também representa um plano?

Essa equação pode ser reescrita como x – 3 = 0, assim esse plano possui vetor normal igual ao vetor normal do plano YOZ, ou seja,



1,0,0



i n_α   

Por essa razão esse plano é paralelo ao plano YOZ .

Além disso, o ponto P(3,0,0) satisfaz a essa equação, daí o ponto P pertence a esse plano .

Os planos que possuem equação do tipo x = k , k o número real, são planos paralelos ao plano YOZ.

(18)

Os planos que possuem equação do tipo y = k , k o número real, são planos paralelos ao plano XOZ.

Os planos que possuem equação do tipo z = k , k o número real, são planos paralelos ao plano XOY.

As interseções de uma superfície S com os planos x = k, y = k e z = k são chamadas seções por planos paralelos aos planos coordenados.

(19)

9 x 16 y z : S  2  2

5.1. Seção do parabolóide com planos paralelos ao plano YOZ

Basta verificar que pontos satisfazem essa equação e a equação do parabolóide. Ou seja,

Observe que esses pontos satisfazem a equação x = k, k um número real.

        9 x 16 y z k x 2 2          9 k 16 y z k x 2 2          16 y 9 k z k x 2 2                  9 k z 16 y k x 2 2

Os pontos dos planos paralelos ao plano YOZ são do tipo P(k,y,z).

Os planos x = k , k um número real, interceptam o parabolóide segundo uma família de parábola, que possuem vértices V(k, 0, - k2_/9).

Eixos focais paralelos ao eixo OZ, a abertura está voltada para cima e o comprimento dos latus rectum são iguais a 16 unidades de comprimento.

(20)

5.2. Seção do parabolóide com planos paralelos ao plano XOZ Os pontos dos planos paralelos ao plano XOZ são do tipo P(x,k,z).

Observe que esses pontos satisfazem a equação y = k, k um número real.         9 x 16 y z k y 2 2          9 x 16 k z k y 2 2           9 x 16 k z k y 2 2                   16 k z 9 x k y 2 2

Os planos y = k , k um número real, interceptam o parabolóide segundo uma família de parábola, que possuem vértices V(0, y, k2_/16).

Eixos focais paralelos ao eixo OZ, a abertura está voltada para baixo e o comprimento dos latus rectum são iguais a 9 unidades de comprimento.

(21)

5.3. Seção do parabolóide com planos paralelos ao plano XOY Os pontos dos planos paralelos ao plano XOY são do tipo P(x,y,k).

Observe que esses pontos satisfazem a equação z = k, k um número real.

        9 x 16 y z k z 2 2          9 x 16 y k k z 2 2          1 k 9 x k 16 y k z 2 2

Os planos z = k , k um número real diferente de zero, interceptam o parabolóide segundo uma família de hipérboles, que possuem vértices V(0, 0, k).

Observe que:

 Se k > 0, as hipérboles possuem eixos focais paralelos ao eixo OY.  Se k < 0, as hipérboles possuem eixos focais paralelos ao eixo OX.  Se k = 0, o plano z = k intercepta a superfície S segundo as retas:

       x 3 4 y 0 z : r₁       x 3 4 y 0 z : r₂

(22)

6. Extensão

Pelo item anterior todos os planos x =k, y = k e z = k, k um número real, interceptam o parabolóide.

Daí as abscissas, ordenadas e as cotas dos pontos dessa superfície também variam em R.

Intervalos de variação das abscissas, ordenadas e cotas para os pontos do parabolóide:

R

z

e

R

y

,

R

x



Quando acontece que o intervalo de variação da abscissa, ou da ordenada, ou da cota é ilimitado, diz-se que a superfície possui

extensão ilimitada.

Assim, o parabolóide hiperbólico

9 x 16 y z : S  2  2

(23)

(24)

 _{http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/qs/quadric-surfaces_br.h} tml  _{http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2005.1/gma06077/index.html}  _{http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/cdfvv/livro/cap.03.html}  _{http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/quadrica/hiper2.htm}  _{http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10492}  _{http://www.acervodigital.unesp.br/handle/135825/106}  _{http://www.gregosetroianos.mat.br/livegraphics3d.asp}