unidade-2

(1)

UNID

ADE II

P

oliedros

O

BJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Ao final desta unidade você terá subsídios para:

Identificar as propriedades e características mais importantes dos ■

poliedros platônicos.

Compreender como se obtêm os chamados poliedros estrelados, ■

conhecidos como Sólidos de Kepler-Poinsot.

Indicar as principais características dos poliedros arquimedianos, ■

reconhecendo a sua importância.

Identificar os tipos de prismas que se destacam dentre todos os membros ■

da família dos prismas e os principais elementos que os constituem. Ampliar os conhecimentos relativos a um poliedro particularmente ■

popular – a pirâmide.

R

OTEIRO DE ESTUDOS

Seção 1 – Poliedros de Platão ■

Seção 2 – Poliedros de Kepler-Poinsot ■

Seção 3 – Poliedros de Arquimedes ■

Seção 4 – Prismas ■

Seção 5 – Pirâmides ■

(2)

Universidade Aberta do Brasil

32 Para início de conversa

O estudo dos poliedros é um dos assuntos mais versáteis da Geometria, pelas possibilidades que oferece. Ele pode fazer parte do currículo desde o ensino fundamental até a universidade, dependendo do enfoque quelhe é dado. Alguns dos objetos encontrados ao nosso redor são formas geométricas clássicas, conhecidas, estudadas e já foram denominadas, como o dado que tem a forma cúbica, a bola de futebol que é esférica, a lata de refrigerante que é cilíndrica, o tijolo usado na construção que é um bloco retangular, etc.

Muitos objetos têm forma poliédrica, isto é, possuem formato bem definido, delimitado por faces planas poligonais. A definição exata do que seja um poliedro ainda não foi padronizada, pois depende muito do contexto em que se está trabalhando.

Um poliedro pode ser definido como um conjunto finito e co nexo de polígonos planos, tal que cada lado de cada polígono é comum a outro polígono, e a mais nenhum, de tal forma que os polígonos que estão à volta de um mesmo vértice formam um único circuito. Os polígonos são chamados faces e os seus lados são as arestas do poliedro.

O poliedro é dito regular se as suas faces e os seus vértices são compostos por polígonos regulares idênticos (não necessariamente convexos). Usando essa definição, há um total de nove poliedros regulares, sendo cinco convexos - os Sólidos de Platão - e quatro côncavos (ou estrelados), os ditos Sólidos de Kepler-Poinsot. Entretanto, algumas vezes o termo “poliedro regular” é também usado para se referir exclusivamente aos Sólidos Platônicos. Os poliedros duais dos Sólidos Platônicos não são outros poliedros senão os próprios. Como exemplo, podemos citar o octaedro regular que é o dual do hexaedro regular, pois as seis faces do hexaedro correspondem aos seis vértices do octaedro. Poliedros duais ou conjugados são aqueles em que o número de faces de um é igual ao número de vértices do outro e vice-versa.

Os poliedros convexos são ditos semirregulares, se em torno de cada um dos seus vértices forem arranjados da mesma forma polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes. Estes poliedros são conhecidos como Sólidos de Arquimedes e são treze ao todo, não considerando a família infinita de prismas e antiprismas que se pode obter em tais condições. Os poliedros duais dos Sólidos de Arquimedes são treze novos sólidos, também conhecidos como Sólidos de Catalan.

Existem exatamente 92 poliedros convexos com faces poligonais regulares (mas não necessariamente com vértices equivalentes). Eles são conhecidos como Sólidos de Johnson.

(3)

Geometria III

33 seção 1

Poliedros de Platão

Tetraedro Octaedro Hexaedro Icosaedro Dodecaedro

Dentre as infinitas formas poliédricas, existem algumas que pelo seu equilíbrio e simetria há muito exercem fascinação sobre os homens. Como exemplo, podemos citar a forma poliédrica das pirâmides egípcias. E, dentre as muitas formas esteticamente “harmoniosas”, destacam-se os poliedros regulares.

Os Sólidos Platônicos são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares. Todas as faces e vértices são idênticos. Há unicamente cinco deles, que são mostrados na figura acima. O número total de vértices do poliedro é representado pela letra V. O número total de arestas do poliedro é representado pela letra A. O número de faces do poliedro é representado pela letra F. O nome do poliedro é dado em função do valor de F.

Tetraedro regular é o poliedro cujas quatro faces são triângulos equiláteros idênticos. O arranjo dos polígonos (faces) em torno de cada vértice é representado por (3.3.3), isto é, por três triângulos equiláteros.

Hexaedro regular é o poliedro cujas seis faces são quadrados idênticos. O arranjo dos polígonos (faces) em torno de cada vértice é representado por (4.4.4), isto é, por três quadrados.

Octaedro regular é o poliedro cujas oito faces são triângulos equiláteros idênticos. O arranjo dos polígonos (faces) em torno de cada vértice é representado por (3.3.3.3), isto é, porquatro triângulos equiláteros.

(4)

34

Dodecaedro regular é o poliedro cujas doze faces são pentágonos regulares idênticos. O arranjo desses pentágonos (faces) em torno de cada vértice é representado por (5.5.5), isto é, portrês pentágonos regulares.

Icosaedro regular é o poliedro cujas vinte faces são triângulos equiláteros idênticos. O arranjo dos polígonos (faces) em torno de cada vértice é representado por (3.3.3.3.3), isto é, por cinco triângulos equiláteros.

O número de lados do polígono que constitui a face do poliedro será representado por n.

O número de polígonos arranjados em torno de cada vértice é chamado de ordem do vértice e representado pela letra p

.

Note que o valor de p é igual ao número de arestas que partem de cada vértice.

Poliedros regulares convexos (Sólidos de Platão)

Com

• triângulos equiláteros podemos construir 3 poliedros convexos regulares: tetraedro, octaedro e icosaedro

Com

• quadrados podemos construir 1 poliedro convexo regular: hexaedro Com

• pentágonos podemos construir 1 poliedro convexo regular: icosaedro

Por que não existem poliedros regulares com faces hexagonais?

POLIEDROS Polígono que constitui a face n.º de lados do polígono da face(n) n.º de arestas que partem de cada vértice (p) n.º de vértices do poliedro (V) n.º de faces do poliedro (F) n.º de arestas do poliedro (A) Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro

(5)

Geometria III

35

Observando cuidadosamente os resultados colocados na tabela anterior, se

para cada um deles você juntar o número de vértices com o número de faces e comparar com o número de arestas, o que se pode afirmar?

2 V F A+ − =

Essa igualdade foi descoberta por Euler, em 1751, e relaciona os números V de vértices, F de faces e A de arestas. Em princípio, pensou-se que tal relação seria válida apenas para poliedros convexos, mas apareceram contraexemplos como os poliedros mostrados a seguir. Note que a figura (A) representa um poliedro convexo e nele vale a relação de Euler. A figura (B) representa uma deformação do primeiro, tornando-se não convexo, mas isso acontece, obviamente, onde o número de vértices, faces e arestas não foi modificado. Portanto, ainda continua valendo a relação de Euler.

A B C

Chega-se à conclusão de que todo poliedro que verifica a relação de Euler apresenta a seguinte propriedade: qualquer corte contínuo e fechado na superfície a divide em duas peças. Há poliedros em que tais cortes não separam a superfície em duas partes, como o exemplo representado na figura (C); portanto, eles não satisfazem a relação de Euler.

Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcular o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Resolução:

F =11 6· 18 = 5· 20 =

(6)

36

total de lados 38=

cada dois lados de polígonos formam uma aresta do poliedro, então A =19 V F A+ − = 2

V +11 19 2− = V =10

Resposta: o poliedro em questão possui 19 arestas e 10 vértices.

Na geometria do espaço e na história dos poliedros, Descartes introduziu a noção de déficit angular ou desvio esférico. Define-se como déficit angular ou desvio esférico do vértice de um poliedro (representado por D) a diferença entre a soma dos ângulos internos dos polígonos que constituem aquele vértice e 3600_{. Por exemplo,} no cubo o déficit angular (em graus) é:

360° −(90° +90° +90 ) 90° = °

O

déficit angular total ou desvio esférico total de um poliedro é a soma de todos os desvios esféricos dos seus vértices. Representa-se o desvio esférico total por T.

Se considerarmos apenas poliedros convexos, a soma das amplitudes dos ângulos planos num vértice é sempre inferior a 360º. É natural, então, definir como déficit angular a diferença, ou seja, o valor que falta para completar:

(

)

360º a soma das amplitudes dos ângulos em torno do vértice

d = − .

Por exemplo, nos vértices do cubo o déficit angular é 90º.

O déficit angular ou desvio esférico total de um poliedro é a soma dos déficits angulares de todos os vértices.

(7)

Geometria III

37

Calcule o desvio esférico dos sólidos platônicos e complete a tabela abaixo:

Poliedros Polígono da _Face Angulo _interno Total do _vértice _Angular(D)Déficit

D.A. x n° de vertices (Déficit angular total T) Tetraedro Triângulo Octaedro 6 Icosaedro 60° Cubo π/2=90° Dodecaedro 4π

Enuncie no quadro abaixo a propriedade que acabou de verificar para os Poliedros Regulares Convexos em relação ao desvio esférico:

Como sabemos que são apenas cinco os poliedros regulares?

Como consequência da fórmula de Euler, é possível demonstrar que só há cinco poliedros regulares. Para isso vamos considerar um poliedro que possui F faces, cada uma das quais é um polígono regular com o mesmo número n de lados, e a cada vértice chega um mesmo número p de arestas. Como cada aresta é comum a duas faces, n. F é o dobro de A; e uma vez que toda a aresta contém exatamente dois vértices, p.V é o dobro de A. Representando isso em linguagem matemática, temos:

2 V F+ = A+ (1) mas n F. =2.A e pV. = 2.A ⇔ n F. = pV. e V n f. p = Substituindo em (1) vem: . . ₂ 2 n F _F n F p + = + ⇒ 2nF +2pF = pnF +4p ⇒

(

2 2

)

4 F n+ p pn− = p ⇒ 4 2 2 p F n p pn = + −

Observe que F é uma função algébrica, racional, fracionária, em n e p. Para que seja definida, é necessário que 2n+2p pn− > 0.

Como p representa o número de arestas que concorrem em cada vértice (ângulo poliédrico), p ≥3, então:

(8)

38

2 2 n p n < − , sendo p ≥3 ⇒ 2 ₃ 2 n n− > ⇒ 2 _{3 0} 2 n n− − > ⇒ 2 3 _{6 0} 2 n n n − + _> − ⇒ 6 0 2 n n − + > − ⇒ 2 < <n 6

Como n é o número de lados do polígono de cada face, só tem sentido para n valores inteiros compreendidos entre 2 e 6. Portanto, n só pode assumir os valores:

n = 3, n = 4 e n = 5.

Entretanto, como em cada vértice do poliedro só teremos ângulo poliédrico se incidirem três ou mais arestas nele, então os valores que p pode assumir ficam delimitados por: 3 p ≥ e 2 2 n p n <

− , portanto o intervalo de variação para p é: 2 3 . 2 n p n ≤ < −

Como n já é definido para os valores 3, 4 e 5, temos as seguintes possibilidades:

para

• n = 3 (triângulos) vem, 3≤ p< 6, como p deve ser inteiro,

3, 4, 5.

p = p = p = Com faces triangulares podemos agrupar em cada vértice 3, 4 ou 5 arestas, de modo que é possível construir três poliedros regulares com faces triangulares;

para

• n = 4 (quadrados) vem, 3≤ p <4 ⇒ p = 3. Com faces quadrangulares podemos agrupar em cada vértice apenas três arestas. Assim, só existe um poliedro regular com faces quadrangulares;

para

• n = 5 (pentágonos) vem, 3 10 3. 3

p p

≤ < ⇒ = Com faces pentagonais podemos agrupar em cada vértice apenas 3 arestas. Portanto, só existe um poliedro regular com faces pentagonais.

Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

Resolução:

Seja “t” o número de faces triangulares. Pelas informações do problema, e aplicando e calculando o número de arestas em função do número de faces, temos:

(9)

Geometria III

39

3(5) 3( ) 4 2 2 nF t A= = + = t.

O enunciado indica que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. Resolvendo a equação, temos:

15 3( ) ₄ _{15 8} ₃ 15 _3.

2 5

t _t _t _t _t

+ ₌ _⇒ ₌ ₋ _{⇒ =} ₌

Resposta: o total de faces será: 3 pentagonais + 3 triangulares = 6 faces.

Área total da superfície dos Poliedros Regulares Convexos

Para calcular a área total da superfície dos poliedros regulares, dado que todas as faces são polígonos regulares idênticos, basta calcular a área de uma face e multiplicar pelo número de faces total do poliedro. Vamos, então, aos cálculos.

Tetraedro: as faces do tetraedro são triângulos equiláteros cujos lados

compõem as arestas do poliedro. Sendo a área de uma face dada por: 2 3

4

face a

a = , como o tetraedro possui 4 faces, conclui-se

2 ₃

tot

A = a

Hexaedro ou cubo: as faces são triângulos eqüiláteros cujos lados compõem

as arestas do cubo. Sendo a área de uma face dada por 2

face

a = a , e como são seis faces, conclui-se

2

6

tot

A = a

Octaedro: as faces são triângulos equiláteros cujos lados compõem as arestas

do octaedro. Sendo a área de uma face dada por 2 3

4

face a

a = , e como são oito faces, conclui-se

2

2 3

tot

A = a

Dodecaedro: as faces são pentagonais cujos lados compõem as arestas do

dodecaedro. Sendo a área de uma face dada por 2 25 10 5 4

face a

a = + , e como são doze faces, conclui-se

2

3 25 10 5

tot

A = a +

Icosaedro: as faces são triângulos eqüiláteros cujos lados compõem as arestas

do icosaedro. Sendo a área de uma face dada por 2 3

4

face a

(10)

40

faces, conclui-se: 2 5 3 tot A = a

Determine a área de um octaedro regular, cuja aresta é igual a diagonal de uma das faces de um cubo de área 96 cm2_.

Resolução: com a área do cubo é possível determinar a sua aresta, assim:

2 2 6 96 6 16 tot cubo A = a ⇒ = a ⇒ a = 4 aresta do cubo a = ⇒

Com o valor da aresta calculamos a diagonal da face do cubo 2

6 2 d a d

=

= sendo

este valor da diagonal, a medida da aresta do octaedro e a partir dela se pode achar a área total: 2 2 3 tot A = a 2 2(6 2) . 3 tot A = 2(36.2). 3 tot A = 2 144. 3 tot A = cm

Resposta: a área total do octaedro de aresta medindo

6 2cm

é

2

144 3cm .

Algumas propriedades importantes envolvendo poliedros convexos que foram vistas até aqui podem ser resumidas conforme se indica a seguir.

Propriedades dos poliedros convexos:

Em todo poliedro convexo, o número de vértices (

• v) mais o número de faces

(F) menos o número de arestas (A) é igual a duas unidades. O número de arestas (

• p) que concorrem em um mesmo vértice, multiplicado

pelo número de vértices (V), é igual ao dobro do número de arestas (A), isto é: p.V = 2. A.

O número de lados (

• n) do polígono de cada face, multiplicado pelo número de

faces (F), é igual ao dobro do número de arestas (A), isto é: n.F = 2. A. A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro •

(11)

Geometria III

41

360 ( 2). S = °V −

Acompanhe a simples, mas elegante demonstração dessa última propriedade.

Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo

Considere um poliedro convexo que possui V vértices, F faces, A arestas e cuja soma dos ângulos das faces é representada por S.

Esse poliedro não é obrigatoriamente regular e sim convexo. Dessa forma, suas faces podem ser polígonos com número de lados diferentes. Então considere

1, ,n2 f

n n o número de lados de cada uma das faces. Para calcular a soma dos ângulos internos do polígono de cada face vamos utilizar a fórmula : S =(n−2)·180 .°

Calculando esse valor para cada uma das faces e depois efetuando a adição, retemos a soma dos ângulos de todas as faces, que é o que se procura.

(

)

1 1 1

Para a primeira face _F _{→}a soma será _S ₌ _n ₋2 .180_°

(

)

2 2 2

Para a segunda face _F _{→}a soma será _S ₌ _n ₋2 .180_°

(

)

3 3 3

Para a terceira face _F _{→}a soma será _S ₌ _n ₋2 .180_°

...

(

)

Para a última face a soma será 2 .180

F F F

F → S = n − °S Somando as igualdades membro a membro, vem:

1 2 ... F ( 1 2 ... F 2 ) 180·

S +S + +S = n +n + + n − F °

Sabe-se que S S1+ 2 +...+SF é a soma dos ângulos de todas as faces, e

que

1 2 ... F

n +n + + n é a soma de todos os lados das faces e é também o dobro do número de arestas já que cada aresta é lado de duas faces.

Assim ficamos com: S (2= A−2 ) 180 ou F · ° S =

(

A F−

)

·360°

da relaçăo de Euler:

( 2)·360 S = V − °

Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo, se a soma dos ângulos das faces é 32 retos ?

Resolução:

O poliedro possui:

15 A =

(12)

42

faces quadrangulares faces pentagonais x F x y y  = +   4. 5. 2x + y = A 4. 5. 30 (1)x + y =

(

)

(

)

0 S = V - 2 .360° ⇒ 32 . 90 ° = V - 2 .360 ⇒ 32.90 - 2 10 360 V = ° ⇒ V = ° - 2 10 ( ) - 2 total de faces V + F A = ⇒ + _{}x y+ A = ⇒ 10 ( ) - 15 2 7 (2) total de faces x y x y + _{}+ = ⇒ + = 4 5 30

resolvendo o sistema obtemos 7 x y x y + =   ₊ ₌  5 2 x = e y =

Resposta: o poliedro convexo em questão possui 5 faces quadrangulares e 2

pentagonais.

Sólidos platônicos e pavimentações

Sólidos platônicos e pavimentações regulares estão estreitamente relacionados, como mostramos abaixo. Começando com o tetraedro, são construídos poliedros com três, quatro e cinco triângulos reunidos em cada vértice e, finalmente, com seis triângulos que planificam constituindo a primeira pavimentação regular. Também começando pelo tetraedro, construímos poliedros com três triângulos, três quadrados e três pentágonos reunidos em cada vértice, planificando com três hexágonos.

3

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Geometria III

43

3 4 44 3 6

seção 2

Poliedros de KePler-Poinsot

Além dos sólidos convexos platônicos, há quatro outros sólidos com faces e vértices idênticos, considerados também como poliedros regulares. Nestes sólidos as faces se entrecortam mutuamente, formando os chamados poliedros estrelados, conhecidos como Sólidos de Kepler-Poinsot.

O interesse dos matemáticos pelos poliedros era um assunto privilegiado entre os gregos. Mas parece ter ficado adormecido durante mais de mil anos, até despertar vigorosamente durante os séculos que se seguiram ao renascimento italiano.

Para compreender como se obtêm os sólidos estrelados, vamos ver o que são polígonos estrelados.

Ao prolongarmos os lados de um triângulo equilátero e de um pentágono, obtemos resultados muito diferentes. Assim, enquanto no triângulo não conseguimos definir um novo polígono limitado pelos lados prolongados, no caso do pentágono

(14)

44

obtemos o pentagrama, usado pelos discípulos de Pitágoras como símbolo da sua confraria.

Esse processo para obter o pentagrama chama-se estrelação. Em certos polígonos ele pode repetir-se mais de uma vez. É o caso do pentágono, no qual podemos observar três estrelações possíveis.

O processo de estrelação estende-se naturalmente aos sólidos. Nestes, o que se prolonga são as faces e procuram-se os sólidos limitados por essas faces prolongadas, quando elas se encontram novamente. Se prolongarmos as faces de um cubo ou de um tetraedro não é possível obter nenhum sólido limitado por elas, de modo que não é possível “estrelar” o cubo nem o tetraedro.

Quando se faz a estrelação do octaedro obtém-se um sólido composto por dois tetraedros, estudado por Luca Paciolli, no fim do século XV, e de novo por Kepler, um século mais tarde. Kepler deu a esse sólido o nome de “stella octangula”.

A primeira estrelação do dodecaedro é o pequeno dodecaedro estrelado. A segunda é o chamado grande dodecaedro. A terceira e última, o grande dodecaedro estrelado. As três estrelações do dodecaedro e a décima sexta estrelação do icosaedro, o chamado grande icosaedro, são conhecidas como sólidos de Kepler-Poinsot. As faces do pequeno dodecaedro estrelado e do grande dodecaedro estrelado são pentagramas, enquanto as faces do grande dodecaedro e do grande icosaedro são, em ambos os casos, vinte triângulos equiláteros.

Kepler descobriu, no início do século XVII, a primeira e a terceira estrelações do dodecaedro, e, em 1819, dois séculos depois, Poinsot descobriu o grande dodecaedro e o grande icosaedro, daí a denominação de Sólidos de Kepler Poinsot. A importância desses quatro sólidos é o fato de apresentarem, tal como os cinco sólidos platônicos regulares, todas as faces polígonos regulares iguais e todos os vértices com a mesma configuração, abandonando-se apenas a restrição de convexidade.

seção 3

Poliedros de arquimedes

Os poliedros arquimedianos são assim chamados em homenagem a quem primeiro os estudou: Arquimedes de Siracusa (séc. III a.C.). O tratado em que a sua teoria foi exposta encontra-se perdido, tal como grande parte das obras dos matemáticos gregos. Somente dois mil anos mais tarde, o alemão Johannes Kepler (1571-1630), mais conhecido pela sua descoberta sobre as leis do movimento

Você pode visualizar os poliedros por meio de softwares ou animações disponíveis na internet!

(15)

Geometria III

45

dos planetas em torno do sol, investigou de maneira exaustiva algumas famílias

de poliedros. Também demonstrou a existência de treze sólidos de Arquimedes, atribuindo-lhes nomes e desenhando as respectivas ilustrações no Hamonices Mundi, em 1619.

Nos poliedros arquimedianos as faces são polígonos regulares, não tendo que ser, como no caso dos platônicos, todas iguais. Mantêm-se as condições de que as arestas são todas congruentes e os vértices também.

A partir do icosaedro (ou dodecaedro) obtêm-se por truncaturas dos vértices os cinco arquimedianos seguintes: icosaedro truncado, icosidodecaedro, dodecaedro truncado, icosidodecaedro truncado e rombicosidodecaedro.

A família dos sólidos platônicos e a família dos arquimedianos estão intimamente ligadas. Os esquemas apresentados por Eduardo Veloso (1998) ilustram de forma sintética a obtenção de onze dos treze arquimedianos que podem ser obtidos por cortes sucessivos, também chamados de truncaturas ou truncamentos.

No primeiro esquema, são apresentados os sólidos que podem ser obtidos por cortes sucessivos dos vértices, mas outros processos de truncamentos − como o das arestas − também são contemplados, como no caso da passagem do cubo ao rombicuboctaedro.

Somente dois poliedros arquimedianos são impossíveis de se obter por truncaturas como as utilizadas acima. São os poliedros achatados: o cubo achatado e o dodecaedro achatado. Como algumas das características de simetria são diferentes dos demais onze, possuindo duas versões para cada um. Estas versões consistem no próprio poliedro e sua imagem no espelho.

Considerando a definição de poliedros arquimedianos como aqueles sólidos cujas faces são polígonos regulares, onde todas as arestas são congruentes e todos os arranjos das formas poligonais em torno de cada vértice são idênticos, em princípio, a classe infinita de prismas e antiprismas regulares cujas faces laterais são polígonos regulares se encaixaria nessa definição. Prismas são sólidos que possuem duas bases que são polígonos congruentes situados em planos paralelos e faces laterais que são quadriláteros. Os antiprismas também possuem duas bases que são polígonos congruentes situados em planos paralelos e faces laterais que são triângulos, como se pode ver na ilustração seguinte.

(16)

46

Por isso, para obter apenas os treze poliedros que Arquimedes estudou, é necessário acrescentar mais uma condição restritiva: todos os sólidos arquimedianos podem ser colocados dentro de um tetraedro regular, de modo que quatro das suas faces fiquem sobre as faces do tetraedro. É possível demonstrar que existem apenas treze sólidos nas condições requeridas.

Os poliedros duais dos arquimedianos são os sólidos de Catalan, nos quais as faces são todas congruentes, mas não são polígonos regulares. Como exemplo temos o arquimediano icosidodecaedro e seu dual, o triacontaedro rômbico cujas faces são 30 losangos ou rombos.

Sólidos de Johnson e Deltaedros

Uma pergunta interessante é esta: existem quantos poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares? Esse conjunto inclui os sólidos platônicos, os sólidos arquimedianos e alguns prismas e antiprismas como casos particulares. Todos os outros poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares são chamados de Sólidos de Johnson, e encontrá-los constitui um desafio difícil. Em 1960, Norman Johnson publicou uma lista completa desses 92 sólidos, deu-lhes nomes e conjecturou que não existiriam outros. A demonstração dessa conjectura só foi obtida em 1969.

De acordo com Veloso (1988), uma demonstração parcial foi obtida por Freudenthal e por van der Waerden, que é: “existem ao todo oito poliedros convexos cujas faces são triângulos equiláteros”. Quatro anos mais tarde, esses poliedros foram chamados, por Cundy e Rollett, de deltaedros. Deltaedros são todos os poliedros cujas faces são triângulos equiláteros. Essa designação resulta da aglutinação dos termos delta e edro. Delta, pela analogia entre a forma do triângulo equilátero e a forma da letra maiúscula ∆ do alfabeto grego; e edro por significar, em grego, face plana. Dentre os oito deltaedros, três deles são muito populares: o tetraedro regular, o octaedro regular e o dodecaedro regular. Mais dois deltaedros são obtidos unindo-se pelas bases duas pirâmides - triangular e pentagonal -, cujas faces laterais são triângulos eqüiláteros, chamadas de dipirâmides ou bipirâmides. O restante dos

(17)

Geometria III

47

deltraedos, outros três, possuem 12, 14 e 16 faces.

Número de faces Nome

4 Tetraedro

6 Dipirâmide triangular

8 Octaedro

10 dipirâmide pentagonal 12 disfenóide achatado 14 prisma triangular triaumentado 16 dipirâmide quadrada giroalongada

20 Icosaedro

Por que, nessa lista de deltaedros, estão incluídas apenas duas dipirâmides com faces laterais triângulos equiláteros?

Como vimos, os prismas e antiprismas são excluídos dos arquimedianos e também dos sólidos de Johnson, mas vamos dedicar um capítulo a parte ao estudo deles, por se tratar de um tema clássico no caso dos prismas e um tema novo no caso dos antiprismas.

seção 4

Prismas

Dentre os inúmeros objetos que fazem parte do cotidiano, muitos lembram a forma prismática. Matematicamente, para definir um prisma é necessário considerar inicialmente uma região poligonal convexa ABC...F situada num plano α. Um segmento de reta MN, cuja reta suporte é oblíqua ao plano α. Chama-se prisma convexo ao conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a MN, onde uma das extremidades é ponto do polígono situado no mesmo semiespaço que α

(18)

48

N M A B C D E A’ B’ C’ D’ E’ aresta lateral   aresta da base h

Os elementos de um prisma são:

Bases congruentes: 2 (região poligonal com n lados) •

Faces laterais: n (paralelogramos) • Total de faces: n+2 • Arestas laterais: n • Total de arestas: 3n • Ângulos diedros: 3n • Total de vértices: 2n • Ângulos triédricos: 3n •

A distância entre os planos que contêm as bases é a altura do prisma.

A secção de um prisma é chamada à interseção com um plano que corta todas as arestas laterais. Quando o plano corta as arestas laterais perpendicularmente, a secção é dita reta ou normal. Se o plano que secciona as arestas laterais for paralelo às bases, então a secção é dita transversal.

  

 



Secção Secção_reta _transversalSecção

A superfície lateral, cuja área é chamada de área lateral, compreende as faces laterais. Superfície total é a reunião da superfície lateral mais as bases. A área desta superfície é chamada de área total.

A classificação dos prismas é feita de acordo com a posição das arestas laterais em relação às bases. O prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos

(19)

Geometria III

49

das bases é chamado de prisma reto. Observe que as faces laterais são retângulos.

Quando as arestas são oblíquas aos planos das bases, o prisma é chamado de prisma oblíquo. Já os prismas retos cujas bases são polígonos regulares são denominados prismas regulares.

Prisma hexagonal

reto Prisma regularpentagonal oblíquoPrima

A natureza de um prisma é dada pelo polígono da base: o prisma será quadrangular, pentagonal, hexagonal ..., se a base for um quadrado, pentágono, hexágono... .

Você sabe qual é a natureza: a) de um prisma que possui 12 arestas; b) do prisma que possui 14 vértices; c) e do prisma que possui 7 faces?

Dentre todos os membros da família dos prismas destacam-se os paralelepípedos e os romboedros. Os paralelepípedos são prismas oblíquos cujas bases são paralelogramos, sendo sua superfície total composta por seis paralelogramos. Se suas arestas forem perpendiculares aos planos das bases é dito paralelepípedo reto, e a sua superfície total é composta por quatro retângulos (faces laterais) e dois paralelogramos (bases). O paralelepípedo reto em que as bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, e a sua superfície total é composta de seis retângulos. Ele também é chamado de ortoedro. Normalmente, por abuso de linguagem, muitos autores utilizam o termo paralelepípedo ou paralelepípedo reto para o paralelepípedo reto-retângulo.

(20)

50

Paralelepípedo Paralelepípedo_reto Paralelepípedo_{reto-retângulo}

Um romboedro é um paralelepípedo em que todas as doze arestas congruentes entre si e a superfície total são seis losangos. Se suas arestas forem perpendiculares aos planos das bases é dito romboedro reto, e a sua superfície total é composta por dois losangos (bases) e quatro quadrados (faces laterais). O romboedro reto em que as bases são quadrados é chamado de romboedro reto-retângulo e a sua superfície total compreende seis quadrados. Esse prisma é conhecido como cubo ou hexaedro regular.

Romboedro Romboedro_reto _{reto-retângulo}Romboedro

Para determinar a área lateral e a área total de um prisma qualquer, vamos considerar um prisma cuja aresta lateral mede a e cujas medidas dos lados de uma secção reta sejam l l l l1 2 3, , ....n.

  1 l 2 l 3 l a

Observe que cada face lateral é um paralelogramo cuja base mede a e cuja altura é a medida de um lado da secção reta. Portanto, a área lateral será a soma das

(21)

Geometria III

51

medidas das áreas das faces laterais e pode-se escrever:

1 2 3 1 2 3

perímetro da secção reta=2p

. . . ... . ( ... )

l n l n

A =a l +a l +a l + +a l ⇒ A =a l_{}+ + + +l l l

Al 2 .p a

⇒ =

Para obter a área total é necessário acrescentar a área das duas bases à área lateral e pode-se escrever:

2 . 2

t b

A = p a+ A

Para o caso de o prisma ser reto, a aresta lateral é igual à altura do prisma (a=h) e pode-se escrever:

2 .

l

A = p h e At = 2 .p h+2Ab

Para o caso de o prisma ser regular, além da aresta lateral igual à altura, a área da base é a área de um polígono regular dada pelo produto do semiperímetro pelo apótema do polígono regular da base.

Determinar a área lateral e total de um prisma oblíquo, cuja aresta lateral mede 6 cm, a secção reta é um trapézio isósceles cuja altura mede 8 cm, e as bases 7 cm e 19 cm, respectivamente.

Resolução:

As medidas dos lados do trapézio são: lados paralelos 7 cm e 19 cm, e os lados não paralelos de medida x são as hipotenusas dos triângulos retângulos de catetos 8 e 6; logo, medem 10 cm.

Portanto, a área lateral será o produto do perímetro do trapézio pela aresta lateral.

(22)

52

2 2 . (19 7 5 5).6 36.6 216 l l l l A = p h⇒ A = + + + ⇒ A = ⇒ A = cm

Para obter a área total é necessário calcular a área das bases que são trapézios isósceles, cujas bases foram dada pelo problema e a altura também.

( ) _{(7 19)8 13.8} 2 2 b B b h A = + = + = 2 104 b A = cm

Então a área total será dada por:

2. tot l b A = A + A 216 2.104 b A = + 2 424 tot A = cm

Resposta: A área lateral do prisma oblíquo é _216cm2_{e a área total}_{424 cm}2

Até aqui todos os problemas que você estudou referiam-se ao cálculo de área, ou seja, à medida da superfície dos sólidos, à região que os limita. Mas essa superfície do sólido fecha uma “quantidade de espaço” por ele ocupado. Essa “quantidade de espaço” encerrada no interior do sólido é a sua capacidade, a qual pode ser medida e expressa por meio de números. Para medi-la é necessário compará-la com uma unidade, e o resultado dessa comparação é chamado volume do sólido.

Por exemplo, para saber a capacidade de uma jarra de suco podemos tomar como unidade de medida um copo com água. Enchendo o copo e despejando na jarra diversas vezes podemos medir o volume da jarra, que será expresso em número de xícaras de água que couberam no seu interior. Esse processo de encher com água não funciona, por exemplo, quando queremos medir o volume de um tijolo (bloco retangular). Institui-se, então, uma unidade padrão de medida para volume que é um cubo de aresta 1 ,u cujo volume será expresso por ₁_{u =}3 _{uma unidade cúbica.} Podemos, assim, medir o volume de um paralelepípedo reto retângulo que chamaremos de bloco retangular, cujas dimensões têm a seguinte medida: 4 cm, 3 cm e 2 cm.

4 2 3 1 1 1

(23)

Geometria III

53

ele é proporcional a cada uma de suas dimensões. Se multiplicarmos uma de suas

dimensões por um número e mantivermos constantes as outras duas, o volume fica multiplicado também por esse número. Se dobrarmos a largura desse bloco, o volume dobrará também: V(2 4,3,2)· =2.V(4,3,2). 4 2 3 4 2 3

Note que a figura dobra de tamanho e o volume, por sua vez, fica dobrado também. Desse modo, sempre que forem mantidas constantes duas dimensões do bloco, o seu volume é proporcional à terceira dimensão. Assim, podemos escrever:

    (4,3,2) (4 1,3,2) (4,3,2) (1,3,2) (1,3.1,2) (4,3,2) (1,1,2) (1,1,2 1) (4,3,2) (1,1,1) 1 (4,3,2) 3 (4,3,2) · · 4 4 4 3 4 3 4 3 2 4 3 · · · · · · · · · · · ·21 4 3 2· · 24 V V V V V V V V V V V V cm = = = = = = = = =

A face do bloco que fica apoiada no plano horizontal tem dimensões iguais a 4 cm e 3 cm e é chamada de base. Sendo o produto 4·3 a área da base, é comum dizer que o volume de um paralelepípedo reto-retângulo é igual ao produto da área da base pela sua altura.

Generalizando, podemos escrever:

(

) (

)

Volume do paralelepípedo reto-retângulo área da base × altura=

Como no cubo as três dimensões são iguais, temos:

(

) (

)

3

Volume do cubo = aresta × aresta × aresta = aresta

Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal

(24)

54

nível da água subir 0,075m. Qual é o volume do indivíduo, em m3_?

Resolução:

A figura mostra uma representação onde o valor da altura h inicial do tanque não importa, e sim a variação. A parte sombreada corresponde ao deslocamento de água igual ao volume do indivíduo. Esse volume de água é calculado pelo produto das dimensões:_V ₌

( )

_{1,2 (0,8) (0,075) 0, 2}_· _· ₌ ₀₇ _m3

Resposta: O volume do indivíduo é _0,072m3

Princípio de Cavalieri

Ao nascer em Milão, Itália, por volta de 1598, Bonaventura recebeu o nome de Francesco Cavalieri. Sua família era proprietária de terras em Suna e em Milão, mas foi nesta última cidade que Cavalieri passou a sua infância e iniciou seus estudos.

Em 20 de setembro de 1615 ele se juntou à ordem religiosa dos Jesuítas em Milão, assumindo o nome de Bonaventura Cavalieri. Em 1616 foi transferido para Pisa, onde estudou filosofia, teologia e conheceu Benedito Castelli, que o introduziu no estudo de geometria. Durante os quatro anos que esteve em Pisa, Cavalieri tornou-se um matemático famoso e um dos discípulos de Galileu.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bonaventura_Cavalieri.jpeg

Em 1619 candidatou-se para a cadeira de Matemática em Bolonha, no entanto foi considerado muito jovem para a posição. Voltando para Milão no ano seguinte, tornou-se diácono do Cardeal Federico Borromeo. Lá ele estudou teologia por três anos. Tornou-se prior na igreja de San Pietro, em Lodi, e em 1626, no Mosteiro de São Benedito, em Parma.

(25)

Geometria III

55

completar o manuscrito dos seis primeiros livros sobre os “indivisíveis” e

enviá-los aos Lordes de Bolonha. Ele descobriu que se duas figuras planas podem ser comprimidas entre linhas retas paralelas de tal forma que tenham seções verticais idênticas em cada segmento, então as figuras têm a mesma área. Assim, ele foi indicado à cadeira de professor em Bolonha, em 1629 ,e ocupou essa cadeira até sua morte, em 1647.

Em 1635, Cavalieri publicou sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova (Nova Geometria dos Indivisíveis Contínuos), em que desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas: uma região, por exemplo, pode ser pensada como sendo formada por segmentos ou “indivisíveis”, e um sólido pode ser considerado como composto de regiões que têm volumes indivisíveis. Essa ideia fecunda, malgrado a inexatitude que ela exprime, permite novas avaliações de superfícies e de volumes, e a determinação geométrica de centros de gravidade das figuras planas e dos sólidos. A partir de suas considerações, Cavalieri desenvolveu um método que foi utilizado durante cinquenta anos e que, mais tarde, foi substituído pelo Cálculo Integral.

A teoria de Cavalieri permitiu-lhe determinar rapidamente áreas e volumes de figuras geométricas. O raciocínio utilizado é o mesmo daquele de Arquimedes, mas a diferença está na maneira como os dois demonstraram tal pensamento.

É muito útil adotar-se o Princípio de Cavalieri para prosseguir em nossos estudos. Para isso suponha que os dois sólidos representados na figura seguinte são formados pelo mesmo número de blocos retangulares idênticos; portanto, possuem o mesmo volume.

Suponha que ambos os sólidos estão apoiados em um plano horizontal e que se pode seccioná-los com outro plano paralelo ao horizontal e cuja intersecção serão superfícies de áreas iguais. Essa mesma idéia pode ser aplicada a duas pilhas de moedas idênticas. De uma forma mais geral, o principio de Cavalieri propõe que “Dois sólidos apoiados em um plano horizontal, onde todo plano secante paralelo ao plano de apoio determine secções equivalentes (mesma área), possuem o mesmo

(26)

56

volume”.

Utilizando esse princípio, é possível determinar o volume de um prisma qualquer.

Considere os dois sólidos: um prisma e um bloco retangular cujas áreas das bases são equivalentes e de mesma altura.

  h A A 1 A A2

Cortando-se ambos os sólidos por um plano paralelo às bases, são geradas secções de áreas A1 e A2no prisma e no paralelepípedo respectivamente. Como o paralelepípedo é um prisma e como tal qualquer secção paralela à base é congruente com essa base, temos que A1 = A A= 2, de forma que pelo Principio de Cavalieri o prisma e o paralelepípedo têm volumes iguais. Portanto:

(

) (

)

Volume do prisma = área da base × altura

Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm de altura e cuja

área lateral é igual à área da base.

Resolução:

Seja x o lado do hexágono. A área lateral é calculada como o sêxtuplo da área de um retângulo de lados 6 e x: Al = 6( )(6) 36 .x = x

A área da base é o sêxtuplo da área de um triângulo equilátero de lado x: 2 ₃ ₃ 2 ₃

6 .

4 2

b x x

A = =

Pelas informações do problema A_l = A_b. Logo, 2 3 3 72 72 3 72 3 36 8 3. 2 3 3 3 3 3 9 x x = ⇒ =x = = =

O volume é o produto da área da base pela altura. Portanto, substituindo os valores, temos:

(27)

Geometria III

57

2 3 3(8 3) 3 .6 9(64)(3) 3. 1728 3 . 2 V = = = cm

Resposta: o volume do prisma hexagonal é _{1728 3cm}3

Antiprismas

Existem duas classes de poliedros semirregulares que pertencem aos Sólidos Arquimedianos, mas usualmente são listados separadamente, pois formam uma sequência infinita: os prismas e os antiprismas cujas faces são polígonos regulares. Ambas as classes sugerem o formato de um tambor e diferem pela forma que as arestas laterais, que unem os vértices das bases, são dispostas. Elas podem ser perpendiculares às bases ou estarem dispostas em ziguezague.

Um prisma possui duas bases paralelas e idênticas, formadas por polígonos regulares, e as suas faces laterais constituem uma faixa de quadrados, dispostos ao longo dos lados. Em torno de cada vértice são dispostos dois quadrados e um dos polígonos das bases. Ex: prisma regular pentagonal (4,4,5) e prisma regular octogonal(4,4,8).

Prisma pentagonal

regular Prisma octogonalregular

Os antiprismas convexos também são obtidos a partir de duas bases idênticas, paralelas, constituídas por polígonos regulares, mas uma delas sofre uma leve torção em relação à outra, e elas são unidas por uma faixa de triângulos equiláteros dispostos alternadamente com as bases para cima e para baixo. Em cada vértice encontram-se reunidos três triângulos e um dos polígonos das bases. Ex: antiprisma heptagonal (3,3,3,7). Podemos citar como caso especial de prisma o cubo (tendo base quadrada), e de antiprisma o octaedro (tendo base triangular).

Kepler foi o primeiro a discutir os antiprismas e reconheceu a conexão entre prismas e sólidos arquimedianos.

(28)

58

Antiprisma

pentagonal Antiprismaoctogonal

seção 5

Pirâmides

Um poliedro particularmente popular é a pirâmide, provavelmente por se tratar da forma adotada pelos antigos faraós egípcios para erigir seus mausoléus. Até a construção da Torre Eiffel em 1889, a Grande Pirâmide ou Pirâmide de Queops constituiu-se na maior edificação já construída pelo homem.

Impondo a restrição de polígonos regulares para constituir as faces, temos três tipos possíveis de pirâmides: o tetraedro (base triangular), a pirâmide quadrangular e a pirâmide pentagonal. Uma interessante propriedade das pirâmides é que seus duais também são pirâmides. Unidas pelas suas bases, essas pirâmides fornecem um conjunto de três dipirâmides, onde todas as faces são triângulos equiláteros: a dipirâmide triangular, o octaedro (dipirâmide quadrangular) e a dipirâmide pentagonal. Tais dipirâmides recaem, coincidentemente, na classe dos deltaedros eqüilaterais convexos. Deltaedros são todos os poliedros cujas faces são triângulos equiláteros. Essa designação resulta da aglutinação dos termos delta e edro. Delta pela analogia entre a forma do triângulo equilátero e a forma da letra maiúscula ∆

do alfabeto grego e Edro por significar, em grego, face plana.

Há duas classes de dipirâmides geometricamente distintas, mas que nem sempre são distinguidas terminologicamente: a classe mencionada anteriormente, que pode ser chamada de dipirâmides equilaterais devido as suas faces triangulares equilaterais, e a outra classe, que é formada pelos duais dos prismas. Essas dipirâmides formam um conjunto infinito e não são equilaterais, exceto o dual do cubo, o octaedro que se encaixa em ambas as classes de dipirâmides. Como exemplo, a figura mostra uma combinação do prisma pentagonal e seu dual, a dipirâmide pentagonal, evidenciando a relação de dualidade existente entre eles, bem como o fato de que os triângulos não são equilaterais.

(29)

Geometria III

59

Paralelamente aos prismas e seus duais, as dipirâmides, existe uma série

infinita de antiprismas e seus duais, chamados de trapezoedros. Esta nomenclatura é meio confusa porque as faces desses poliedros não são trapezóides no sentido moderno da palavra. Essas faces são polígonos convexosque possuem dois conjuntos de duas faces adjacentes iguais. Esses polígonos são denominados “papagaios” ou “pipas”, pois lembram a forma do brinquedo de mesmo nome.O polígono convexo denominado papagaio ou kite é um quadrilátero que possui dois pares de lados consecutivos congruentes, sendo que os lados opostos não são congruentes.

Pirâmide convexa

Pode-se definir pirâmide convexa limitada considerando um polígono convexo

R contido em um plano α e um ponto V fora de α. A reunião do polígono R com o conjunto dos segmentos de reta com uma das extremidades em V e a outra em R é denominada pirâmide de base R e vértice V.

Os elementos de uma pirâmide convexa são:

h  aresta lateral aresta da base V

Base: região poligonal com n lados • Faces laterais: • n (triângulos) Total de faces: • n+1 Arestas laterais: • n Total de arestas: 2 • n Ângulos diedros: 2 • n Total de vértices: • n+1 Ângulos triédricos: • n

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60

da base α.

Chama-se superfície lateral da pirâmide a reunião das faces laterais da pirâmide. A área desta superfície é chamada de área lateral (A_l). Superfície total é a reunião da superfície lateral com a superfície da base da pirâmide. A área desta superfície é chamada de área total e indicada por A_t.

A natureza de uma pirâmide será triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme a base seja um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.

Pirâmide

triangular quadrangularPirâmide pentagonalPirâmide

Pode-se afirmar que uma pirâmide é reta quando sua base pode ser inscrita em um círculo de centro O e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com O. Quando isso não ocorre, tem-se uma pirâmide oblíqua.

Uma pirâmide é chamada regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Chama-se apótema da pirâmide regular a altura do triângulo que compõe uma face lateral. A altura do triângulo que consideramos é a altura em relação ao lado que compõe a aresta da base.

Pode-se afirmar que o número total de vértices de uma pirâmide é sempre um número ímpar? Por quê?

Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule a área lateral e a área total.

(31)

Geometria III

61

Resolução:

Observando os elementos, temos a área lateral e total: 2 2 3 4 9 16 5 g = + = + = m

( )

2 2 2 (6) 36 (6).(5) 4. 4 15 60 2 b l A m A m  = =   ₌  ₌ ₌    _ _  2 36 60 96 t b l

a área total será ⇒ A = A + A = + = m

Resposta: A área lateral da pirâmide mede _60m2_{e a área total}_96m2_.

A figura mostra uma pirâmide de vértice V, base ABC e altura H. Um plano paralelo a ABC, distando h do vértice V, produziu nessa pirâmide uma secção transversal DEF. Há ainda dois fatos importantes com respeito à situação representada na figura: A B C D E F h _H V

a) A secção e a base da pirâmide são figuras semelhantes e a razão de semelhança é h

H .

b) A razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.

Na sequência, vamos constatar que duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm mesmo volume.

(32)

62

1 V V2 H h A B C

As duas pirâmides representadas na figura têm a mesma base ABC, mas vértices distintos V₁ e V_2.A altura de ambas é H. Uma secção transversal por um plano paralelo ao plano da base ABC e distando h dos vértices das pirâmides, fornece as secções S₁ e S₂ nas duas pirâmides. Seja A a área da base ABC e sejam A₁ e A₂ as áreas das secções S₁ e S₂ , respectivamente. Pelos argumentos expostos anteriormente, podemos escrever: 2 1 2 A h A A H A   =_ _ =  

de onde se conclui que A₁= A₂.

Pelo Princípio de Cavalieri, as duas pirâmides têm o mesmo volume.

Note que a presente constatação leva à conclusão de que se pode deslocar o vértice de uma pirâmide para qualquer ponto do plano paralelo à base da pirâmide e que passa pelo vértice, e o volume dessa pirâmide não se altera.

Volume da pirâmide

Vamos inicialmente provar que o volume de uma pirâmide triangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura. Como trataremos de diversos tetraedros, e como em um tetraedro qualquer face pode ser considerada uma base, para facilitar o entendimento vamos convencionar o seguinte: se em um tetraedro de vértices A, B, C e D, imaginamos a face ABC como base e D como vértice dessa pirâmide, vamos representá-lo por D ABC− . Ainda, o volume desse tetraedro será representado por V D ABC

(

−

)

.

E vale: V D ABC

(

-

)

= V A BCD

(

-

)

=V B ACD

(

-

)

=V C ABD

(

-

)

mudando para representar qual face estamos considerando como base.

Seja um prisma triangular de bases ABC e A’B’C’, conforme representado na figura.

(33)

Geometria III

63

A B C A’ B’ C’

Representando por A a área da base ABC e se h é a altura do prisma, o seu volume é dado pelo produto A h· . Pode-se decompor esse prisma em três tetraedros:

' ' ', ' ' e ' ,

A A B C B A C C− − B AB C− conforme está representado nas figuras que seguem. A A’ B’ C’ A B C B’ A C B’ C’

SejamV V V₁, e ₂ ₃ os volumes respectivos dos três tetraedros citados e seja V o volume do prisma. Pelo teorema anterior, sabemos que o volume de uma pirâmide não se modifica quando, mantendo a base fixa, movemos o vértice em um plano paralelo a essa base. Tendo isso em mente, podemos concluir:

(

)

(

)

(

)

(

)

1 ' ' ' ' ' ' '

V =V A A B C− =V A A BC− =V A A B C− =V A A B C−

(

)

(

)

(

)

2 ' ' ' '

V =V B ACC− =V B ACC− =V C ABC−

(

)

3 '

V =V B ABC−

Concluímos, então, que o volume do prisma é igual à soma dos volumes dos três tetraedros:

(

)

(

)

(

)

1 '- 2 '- 3

'-V '-V A ABC= + V B ABC + V C ABC

Observe que cada tetraedro tem a mesma base e altura do prisma. Portanto, cada um deles tem volume igual a um terço do volume do prisma. Dessa forma, fica provado que o volume de uma pirâmide de base triangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura. Mas a prova que fizemos só vale para o prisma de base triangular. E quanto aos prismas de base pentagonal, octogonal, decagonal, etc., vale o mesmo raciocínio? É o que se pretende provar a seguir.

O volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

(34)

64

triangular. Para isso divide-se a base em triângulos justapostos por meio de diagonais, definindo cada plano de divisão da pirâmide por uma dessas diagonais da base e pelo vértice da pirâmide.

Suponha agora que a pirâmide tenha altura h e que sua base, de área A, tenha sido dividida em n triângulos de áreas: A₁, A₂,... ,A_n

1 A A2 3 A 4 A

Como o volume da pirâmide é a soma dos volumes das pirâmides triangulares, temos que seu volume é:

1 2 1 3 1 1 3 3 n h A A h A h V = + + 1 2 ) 1 ( 3 A n V = A + +A h 3 · 1 V = Ah

Assim: Volume da pirâmide 1(área da base) (altura). 3

= ×

Calcular a área da base, área lateral, área total e o volume da pirâmide quadrangular regular de apótema 5cm e apótema da base 2cm.

Resolução:

Se o apótema da base mede 2 cm, então a aresta da base mede 4 cm. Observando os elementos na figura, temos:

(35)

Geometria III

65 ( )

2 2 2 2 (4) 16 16 40 56 (4) (5) 4 4 10 2 · ₄ · 0 b t b l l A cm A A A cm A cm  = =  _⇒ ₌ ₊ ₌ ₊ ₌  ₌   ₌ ₌    _ _  b) Volume:

( )

16 ( 21) 16 21 3 3 3 · · 3 b A h V = = = cm

Resposta: a área da base da pirâmide é 16cm2_{, a área lateral da pirâmide é 40}

cm2_{e o volume é} 16 21 3

3 V = cm

Tronco de pirâmide e pirâmides semelhantes

1 h 2 h V H

Considere uma pirâmide de vértice V e altura h₁ cuja base está apoiada num plano α. Efetuando uma secção transversal nessa pirâmide por um planoβ, paralelo a α, e que está a uma distância h₂(0< h₂ <h₁) de V, vamos obter uma nova pirâmide de vértice V e altura h₂, cujas faces são semelhantes às correspondentes faces da pirâmide de vértice V e altura h₁. E as duas pirâmides são ditas semelhantes entre si; e também um outro sólido, chamado de tronco de pirâmide de bases paralelas (são as bases das duas pirâmides), cujas faces laterais são trapézios e cuja altura H é igual à diferença h h₁– .₂

Duas pirâmides são semelhantes entre si se existe uma correspondência entre elas de modo que o quociente de cada segmento de reta de uma delas e os correspondentes segmentos da outra sejam constantes. Essa constância é a razão de semelhança entre essas pirâmides e será indicada por k.

Se duas pirâmides são semelhantes entre si, então: a razão entre as medidas dos elementos

(36)

66

a razão entre

• áreas de superfícies correspondentes é igual a k2_; a razão entre os

• volumes dos dois sólidos é igual a k3_.

2 A B2 2 C 2 D 2 P 2 h 1 A B1 1 C 1 D 1 P 1 h

Nas figuras acima, temos (por exemplo):

1 1 2 2 P A _k P A = ; 2 21 1 PB _k P B = ; 2 21 1 A B _k A B = ; 2 21 1 AC _k A C = ; 12 h _k h = . 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 P A B A B C D P A D P A B A B C D P A D A A A k k k A = A = A =

e assim para outras faces correspondentes.

3 1 2

V _k

V = (V1 e V2 volumes das pirâmides de altura h1 e h2, respectivamente).

Volume de tronco de pirâmide

Considere B e S as áreas das bases de um tronco de bases paralelas e H a altura desse tronco. Para determinar o volume V desse tronco, basta subtrair o volume da pirâmide retirada do topo da pirâmide, aquela de altura y, do volume da pirâmide maior de altura h. Se representarmos por V₁ e V₂ os volumes das pirâmides de altura respectivamente h e y, o volume do tronco será representado por:

1 V2 (1)

(37)

Geometria III

67

h H y B S

A razão de semelhança entre as pirâmides de bases B e S é h

y; então: 2 B h S y   =     e 3 1 2 V h V y   =     substituindo 3 1 2 h V V y   = _{ }   em (1): 3 2 h 2 V V V y   = _{ } −   ⇒ 3 2 h 1 V V y   = _{ } −   ⇒ 3 3 2 3 h y V V y  −  = _ _   2 2 2 ( )( 3 ) h y h hy y V V y  − + +  = _ _   como (h y− ) = H e V2 = 1 .3S y, vem: 2 2 2 3 2 1_{. . .} ( ) 1 ₁ 3 3 H h hy y h h V S y V SH y y y   + + = ⇒ = _ + + _   substituindo h2₂ B y = S e h B y = S , temos:

(

)

1. . 1 3 3 B B H V SH V B BS S S S   = _ + + _ ⇒ = + +   Observações:

a) As bases de um tronco de pirâmide de bases paralelas são polígonos semelhantes entre si.

b) Num tronco de pirâmide regular, as faces laterais são trapézios isósceles congruentes entre si.

(38)

68

10cm e 10cm e o apótema do tronco tem medida 13m. Calcule o volume desse tronco de pirâmide.

Resolução:

Para calcular o volume do tronco é necessário obter a medida da altura, e para isso utilizamos o Teorema de Pitágoras, de forma que:

2 2 2 13 =5 +h 169 25 h = − 12 h = m

Ainda é necessário determinar a área das bases menor e maior: 2 ₁₀2 ₁₀₀ 2

B L= ⇒ B = ⇒ B = m

2 ₅2 ₂₅ 2

b l= ⇒ =b ⇒ =b m

Com esses valores é só aplicar na fórmula para o calculo do volume do tronco:

(

)

3 H V = B+ BS S+

(

)

12 100 2500 25 3 V = + +

(

)

4 100 50 25 V = + + 3 700 V = m

Resposta: o volume do tronco de pirâmide é_V ₌₇₀₀_m3

Nesta unidade demos continuidade ao estudo da geometria espacial, analisando os poliedros (principalmente os convexos). Mereceram nosso destaque nessa trajetória os poliedros de Platão, que desde a antiguidade sugerem ao homem o estudo e busca de relações com o nosso mundo. Como você pôde constatar, alguns matemáticos afirmaram que a forma do universo estaria relacionada com tais sólidos.

Além dos poliedros de Platão, analisamos outros poliedros, alguns não muito conhecidos, outros mais, como o poliedro que já foi usado para fazer bola de futebol. Sabe a qual poliedro estamos nos referindo?

(39)

Geometria III

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neste estudo: a definição de poliedro. Neste texto apresentamos uma definição

baseada em algumas restrições que nos permitissem observar as suas propriedades. Salientamos que podem ser encontradas outras definições mais completas ou com menos elementos. A definição depende do grau de profundidade a que se quer chegar.

Na próxima unidade continuaremos o estudo da geometria espacial, porém com outros tipos de sólidos – os corpos redondos. Mas é bom estar atento ao que você estudou até aqui, pois usaremos alguns conceitos já vistos!

Para complementar este conteúdo, aproveitando algumas páginas da web que detalham e ilustram o assunto, acesse os links:

http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-br.html http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/index.html http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/textos/matemateca/poliedros/ Poliedros.pdf http://www.apm.pt/apm/amm/paginas/231_249.pdf http://www.es.cefetcampos.br/poliedros/poli_convexos.html http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php http://www.youtube.com/watch?v=pgrlfEUelbY&feature=related http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-br. html

Série produzida para a TV Escola financiada pela SEED/FNDE/MEC, denominada “Mão na forma”. É constituída por cinco episódios que são:

Os sólidos de Platão: http://www.youtube.com/watch?v=LZJuHYcEi-•

A&feature=related

O barato de Pitágoras: http://www.youtube.com/watch?v=NQjxroaxY8o&fe •

ature=related

Quadrado, Cubo e Cia: http://www.youtube.com/watch?v=uhrI0EmPClI&fe •

ature=related

3, 4, 5 e o Pentágono: http://www.youtube.com/watch?v=TsPHM75hkgE&fe •

ature=related

Diálogo geométrico: http://www.youtube.com/watch?v=TsPHM75hkgE&fea •

(40)

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ture=related

Filmes sobre prismas:

Parte1: http://www.youtube.com/watch?v=EyAIO87hnbE&feature=related Parte 2: http://www.youtube.com/watch?v=4F_c2qfvAPs&feature=related

Filmes sobre pirâmides:

Parte1: http://www.youtube.com/watch?v=msYC3mWTT3o

Parte 2: http://www.youtube.com/watch?v=8KsxnO84dmE&feature=related

1. Estabeleça a diferença entre ângulo poliédrico e poliedro.

2. Em um poliedro, há ângulos poliédricos? Há ângulos diédricos? Em caso afirmativo, em que número?

3. Qual a diferença entre um poliedro regular e um poliedro semirregular?

4. Em um poliedro convexo de 40 arestas, a diferença entre o número de faces e o número de vértices é 18. Determine o número de vértices e o número de faces desse poliedro.

5. Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 12. Determine o número de faces.

6. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 12 faces triangulares?

7. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais ?

8. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5. .