unidade-3-v-02

(1)

UNID

ADE III

C

ilindro, cone e

esfera

O

BJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Ao final desta unidade você terá subsídios para:

Identificar o cilindro e seus elementos. ■

Identificar o cone e seus elementos. ■

Identificar a esfera e seus elementos. ■

Aplicar as propriedades relativas a cilindros, cones e esferas em ■

situações problema.

R

OTEIRO DE ESTUDOS

Seção 1 – Cilindro circular ■

Seção 2 – Cone ■

Seção 3 – Esfera ■

Seção 4 – Partes da esfera ■

(2)

Universidade Aberta do Brasil

80 PARA INÍCIO DE CONVERSA

Muitos objetos do cotidiano possuem formas cilíndricas, cônicas e esféricas. Torna-se muito útil o conhecimento de como calcular a área e o volume de sólidos com esse formato. Na unidade anterior você estudou o prisma regular e a pirâmide regular cujas bases eram constituídas por polígonos regulares de n lados. Imagine que esse número n de lados do polígono da base varia. Por exemplo, temos inicialmente um prisma regular de base quadrada, então n=4. Vamos fazer n variar, dobrar seu valor e obter um prisma octogonal. Dobrando novamente o valor de n, obtemos um prisma cuja base é um polígono de 16 lados, e assim sucessivamente, obtendo-se uma sequência de sólidos. Fazendo n variar, tendendo para o infinito, os polígonos das bases dos prismas da sequência tenderão a que figura? Que tipo de sólido será o limite dessa sequência? Como ficam as faces laterais, à medida que o número de lados do polígono da base aumenta? O que acontece com o apótema do polígono da base?

Tentando responder a essas perguntas, pode-se verificar que o cilindro circular reto pode ser gerado a partir de um prisma regular, da mesma forma que o cone pode ser concebido a partir de uma pirâmide. Julgamos interessante considerar essas conexões que nos levam naturalmente à obtenção das fórmulas para o cálculo da área e volume desses sólidos a partir do que foi demonstrado para os prismas e pirâmides.

(3)

Geometria III

81 SEçãO 1

CIlINDRO CIRCulAR

Considere um prisma regular cuja base é um polígono de n lados. Se o número de lados da base do prisma variar, tendendo para o infinito, obtém-se uma sequência de sólidos.

Que tipo de sólido será o limite dessa sequência? •

Os polígonos das bases dos prismas da sequência tenderão a que figura? E as •

faces laterais desses polígonos?

Para definir cilindro circular, considere α e β dois planos distintos e paralelos

entre si, C um círculo de centro O e de raio r, contido em α, e s uma reta secante a

α: O r s  

A reunião de todos os segmentos de reta paralelos a s, com uma extremidade

em C e a outra em β, é denominada cilindro circular.

A intersecção do cilindro com βé um círculo congruente a C. Esses dois

círculos são as bases do cilindro, e a reta que passa pelos centros das bases é o eixo do cilindro. O r O’ A B h

(4)

82

do círculo C e a outra emβ, é chamado de geratriz do cilindro.

A altura de um cilindro circular é a distância entre os planos que contêm as bases. Na figura temos:

Bases: os círculos de centros

• O e O’ e raio r Eixo • OO’ Altura • h Uma geratriz: • AB

Um cilindro circular é reto se as geratrizes são perpendiculares aos planos que contêm as bases; caso contrário é oblíquo.

g

O O’

Um cilindro circular reto com bases de raio r e de geratriz g é também chamado cilindro de revolução, pois pode ser considerado um sólido obtido pela rotação de

um retângulo de lados r e g em torno do eixo OO'.

Um cilindro é equilátero se a sua secção meridiana (intersecção do cilindro

com um plano que contém os centros das bases) é um quadrado de lado 2 ,r sendo

2r h g= = . r O O’ 2 h r

Para obter a planificação de um cilindro, podemos imaginar que recortamos o cilindro ao redor das bases, sem desprendê-las totalmente da outra parte, e fazemos um corte em uma geratriz na superfície lateral do cilindro.

(5)

Geometria III

83

2 r

h

r

Observando um cilindro, notamos que a superfície lateral é a reunião de todas as suas geratrizes, e a superfície total é a reunião da superfície lateral com as bases. Ao planificarmos o sólido, verificamos que a superfície lateral é um paralelogramo e as bases são círculos.

Seja um cilindro circular de raio r e altura h; a área lateral A_l desse cilindro é

igual à área de um paralelogramo de base 2 rπ e altura h: Al = π2 rh. Cada base tem

área_π_r2_{; logo, a área total desse cilindro é:} ₂

(

)

_.

t

A = πr r h+

Volume do cilindro: usando o princípio de Cavalieri, chega-se ao volume V

de um cilindro circular de raio r e altura h, que é dado por: _V _{= π}_{r h}2 _.

A. Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais

que os números π, h, r formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de soma

6π. Qual é o valor da área total desse cilindro?

Resolução

Os três números em progressão aritmética podem ser representados

como

(

h x h h x– , , +

)

, onde “x” é a razão. A soma indicada é 6 .π Logo,

(

h x h h x– + + +

)

= π6 implicando que 3h = π6 eh = π2 . Se o 1º termo é π e o

2º é2 ,π a razão é π. Logo, r h x= + = 2π+ π= π3 . Calculando a área total temos:

2 3

2 . ( ) 2 (3 ).(3 2 ) (6 ).(5 ) 30 .

t

A = πr r h+ = π π π + π = π π = π

Resposta: a área total do cilindro é _30π3

B. A área total de um cilindro vale _{48 m}_π 2_{e a soma das medidas do raio da}

base e da altura é igual a 8m. Calcule o volume do sólido em _m3

(6)

84

Resolução:

Substituindo as informações na fórmula da área total, temos:

2 . ( ) 48 48 48 (2 . ).(8) 3 8 8 3 5 16 8 t t A r r h A r r m h r m r h = π +  π  ₌ _π _⇒ _{π = π} _{⇒ =} ₌ _{⇒ = − = − =}  _π  + =  2 2 3 . . .(3) (5) 45 . V = πr h= π = πm

Resposta: O volume do cilindro é _{45 m}_π 3 .

SEçãO 2

CONE

Para definir o cone vamos considerar um círculo (região circular) de centro

O e raio r situado num plano αe um ponto V fora de α. Chama-se cone circular ou cone a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo.

São elementos do cone: o círculo de centro

• O e raio r: base;

os segmentos com uma extremidade em

• V e a outra nos pontos da circunferência

da base: geratrizes; o ponto

• V fora do plano α: vértice; r é o

• raio da base;

a distância entre o vértice e o plano da base

• α: altura do cone.  h V O r

Os cones podem ser classificados pela posição da reta VO em relação ao plano da base:

Se a reta VO é oblíqua ao plano da base temos um cone circular oblíquo. Se a reta VO é perpendicular ao plano da base temos um cone circular reto. O cone circular reto é também chamado de cone de revolução, pois pode ser

(7)

Geometria III

85

considerado um sólido gerado por um triângulo retângulo quando rotacionado em torno de um eixo que contém um de seus catetos.

 V O  O r r V

Cone reto Cone oblíquo

O eixo de um cone é a reta determinada pelo vértice e pelo centro da base. A geratriz de um cone circular reto é também chamada de apótema do cone.

A intersecção do cone com um plano que contém a reta VO é chamada de secção meridiana.

A secção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles.

O cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero é denominado cone equilátero. Nele valem as seguintes relações:

2r

r

2

g = r: a geratriz é o dobro do raio;

3

h r= : a altura é dada pelo produto do raio pela raiz de três.

A superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área desta superfície é

chama-da área lateral e indicachama-da por A_l. E a superfície total é a reunião da superfície lateral

com o círculo da base. A área desta superfície é chamada área total e indicada por

A_t.

A superfície lateral de um cone circular reto ou cone de revolução de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco

(8)

86

g g V r  2 r Superfície lateral Base

Isso significa que a superfície lateral de um cone de revolução desenvolvida em um plano (planificada) é um setor circular cujo raio é g (geratriz) e o comprimento

do arco é 2 rπ _.

A área lateral pode então ser calculada aplicando-se a regra de três simples, como segue:

2

Comp. do arco área do setor

2 2 g 2 2 A 2 l l l r. g g A A rg g r  π π  π π _ ⇒ = ⇒ = π π  π _

Uma outra maneira de calcular a área lateral é pela área de um setor circular que é dada pela fórmula da área de um triângulo:

)·( ) 1 (

2

setor

A = compriment do arco ro aio

Assim 1·2 2 l r A = π g Logo: l A = πrg

Você pode também obter o ângulo θ_{do setor (em graus ou radianos). Basta}

aplicar as relações:

2 r_rad _ou 360r_graus

g g

π

θ = θ =

Para determinar a área total, basta adicionar a área lateral (A_l) com a área da

base (_B_{= π}_r2)._Logo:

2

t

t l

(9)

Geometria III

87

Calcule a área da superfície lateral e o volume de um cone de revolução de altura 9 cm, sabendo que sua área lateral vale o dobro da área da sua base. Utilizando as informações temos:

( )

2 2 2 . . . . 2. . 2 0 . l b A r g r g r r rg A r = π  _{⇒ π} ₌ _π _⇒ ₋ _{= ⇒}  = π  0 (2 ) 0 2 r incompatível r r g _g r = →   − _{= ⇒ } =  2 2 ₉2 2 324 ₁₀₈ _{6 3} 2 3 6 3 3 3 2 2 g g g g g r  _{ } = + ⇒ = = ⇒ =  _{ }    _⇒   ₌ ₌ ₌ 

( )( )

( )

2 2 2 3 . . . 3 3 . 6 3 54 . . 3 3 . 9 . . _{81 .} 3 3 l A r g cm r h V cm  _{= π} _{= π} ₌ _π   _π π  = = = π 

Resposta: A área da superfície lateral do cone é _{54 .cm}_π 2_{e o volume} 3

81πm .

Volume do Cone

Consideremos um cone de altura H1 =h e área da base B1 = B, e um

tetraedro de altura H2 = h e área da base B2 = B (o cone e a pirâmide têm alturas

congruentes e bases equivalentes).

 h  2 ' B 1 B B2 1 ' B h’

(10)

88

Suponhamos que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano α e que os

vértices estão num mesmo semi-espaço dos determinados por α.

Qualquer plano secante β (que secciona o cone) paralelo a α, distando h'

dos vértices, também secciona o tetraedro, e sendo as áreas das secções B' e ' ,1 B2

respectivamente, temos: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ' ' _, ' ' ' ' B h B h B B B h B h B B  _{ } _{ }  = = ⇒ =        _{ } _{ }   

Como B1 = B2 =B, vem que B’1 = ’B2

Então, pelo princípio de Cavalieri, o cone e o tetraedro têm volumes iguais. Vcone = Vtetraedro

2

1 1 1

Como , , . , vem que ;

3 3 3

tetraedro tetraedro cone

V = B h ou seja V = B h V = Bh ou, resumidamente: 1 . 3 V = B h. 2 1 2 , : 3 Se B = πr temos V = πr h

Determinar o volume de um cone de revolução cuja secção meridiana é um

triângulo isósceles de área 4,8dm2_{, sendo 3dm a altura do cone.}

3

Resolução:

A secção meridiana possui a mesma altura do cone. Logo, temos: secção b h₂. 4,8 3 9,6 9,6₃ 3,2 .

A = = ⇒ b= ⇒ =b = dm

(11)

Geometria III

89

O volume do cone é: (1,6) .(3)2 (2,56)(3) 2,56 8 .3 3 3 cone V = π = π = π ≅ dm

Resposta: o volume do cone é aproximadamente 8dm3 .

Volume do tronco de cone de bases paralelas

Para obter a fórmula que dá o volume do tronco de cone de bases paralelas, vamos considerar os seguintes elementos como dados:

R = raio da base maior

r = raio da base menor h = altura do tronco 2 H 1 H h 1 V V r R

O volume V do tronco de cone de V pode ser obtido por meio da diferença

entre o volume do cone inicial V2e o volume da parte superior V1, removida.

(

)

2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 3 3 3 V V V R H r H _{R H} _h _{r H} H H h  = − = π − π _⇒ π_ ₊ ₋ __⇒  _ _  = + _

(

)

( )

2 2 2 1 1 3 V = π _R h+ R −r H _

Sendo H1 a altura do cone destacado − que em muitos casos é um dado que

não aparece no problema − vamos tentar obter o seu valor em função dos dados do problema. Para isso vamos escrever a proporção que existe entre os elementos do cone primitivo e o cone destacado que foi removido para resultar o tronco, pois sabemos que são sólidos semelhantes.

2 1 1 1 1 -H R H h R _H hr H r H r R r + = ⇒ = ⇒ = , substituindo o valor de H1 na relação (1) vem:

(

)

2 2 2 3 hr V R h R r R r π   = _ + − _ −  

(12)

90 (

)(

)

2 _- _. - 3 r h V R R r R r R r π   = _ + + _   ⇒

(

)

2 _{. .} 3 h V = _R + R r r+ _ π ⇒ 2 2 3 h V = π _R +Rr r + _

Considere o tronco de cone cujos diâmetros das bases medem, respectivamente, 10cm e 4cm. Calcule o volume desse tronco, sabendo que a geratriz forma com o

plano da base maior um ângulo de 600_.

Resolução:

Calculamos a altura: 60º 3 3 3 .

3 3

h h

tg = ⇒ = ⇒ =h cm

Calculamos o volume do tronco:

[

]

2 2 2 2 3 3 3 5 5.2 2 3 3 25 10 4 9 3 3 3 h V R Rr r V V V cm π _ _ π _ _ = _ + + _ ⇒ = _ + + _ =π + + ⇒ = π

Resposta: O volume do tronco de cone vale _V ₌_{39 3}_π_cm3

.

Para obter a área lateral e total ( e )A A l t de um tronco de cone reto de bases

paralelas, vamos considerar como dados os seguintes elementos:

R = raio da base maior r = raio da base menor g = geratriz do tronco 2 G 1 G g r R A B C D E

(13)

Geometria III

91

Vamos utilizar a seguinte nomenclatura: sejam A ,A e A_L _L₁ _L₂ as áreas laterais,

respectivamente, do tronco, do cone destacado e do cone primitivo. Pode-se escrever então: 2 1 1 L L L 2 A = A −A = π RG − π r G ⇒

(

)

(

)

1 L 1 1 A = π R G + g − π r G Rg= π _ + R r G− _

Mas a geratriz do cone destacado, representada por G1, normalmente não é

fornecida como dado nos problemas e, portanto, vamos calcular o seu valor em função dos dados do problema. Para isso vamos considerar a relação de proporcionalidade entre os elementos dos triângulos semelhantes:

AE DE ADE EFC EC FC ∆ ≈ ∆ ⇒ =

( )

1 1 G r _G rg ₂ g = R r− ⇒ = R r−

( )

, 1 Substituindo G de 2 em 1 temos :

(

)

(

)

. . L rg L A R g R r A R r g R r   = π_ + − = π + −   ⇒ Observação:

A dedução feita justifica a propriedade: a superfície lateral de um tronco de

cone reto de raios R e r e geratriz g é equivalente a superfície de um trapézio de

bases 2π R e r2π e altura g. R r g g 2 r 2 R Base menor Superfície lateral Base maior

(

)

l A = π R r g+ Área total

(

)

2 2 T L A A= + + = πB b R r g R r+ + π + π

(14)

92 (

) (

)

T

A = π  R g R_ + +r g r+ _

Um tronco de cone tem bases de raios 6 cm e 4 cm. Sabendo que a geratriz do tronco mede 5 cm, calcular a área lateral e a área total desse tronco de cone.

Resolução:

Cálculo da área lateral do tronco:

(

)

(

)

2 6 4 5 50 L L L A R r g A A cm = π + ⇒ = π + = π

Cálculo da área total

(

) (

)

(

)

(

)

[

]

2 6 5 6 4 5 4 66 36 102 T T T T A R g R r g r A A A cm = π _ + + +  ⇒_ = π _ + + + _ = π + ⇒ = π

Resposta: O tronco de cone tem para área lateral _{50 cm}_π 2 _{e para área total}

2

102 cmπ .

SEçãO 3

ESfERA

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Blue-sphere.png

Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de

centro O e raio r ao conjunto de pontos P do espaço, de forma que a distância OP

seja menor ou igual a r. A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém um diâmetro.

(15)

Geometria III

93

do espaço, de forma que a distância OP seja igual a r.

Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passar pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.

s r d



Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da

secção, vale a relação: _s2 ₌_r2 _{– .}_d2

Sendo a superfície de uma esfera de eixo e, é possível nominar alguns elementos, a saber: Polo Polo Meridiano Equador Paralelo 1 P 2 P A e

Polos: são as intersecções da superfície esférica com o eixo e considerado. Equador: é a secção (circunferência) perpendicular ao eixo e, que passa pelo

centro da superfície.

Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo e, que é paralela

ao equador.

Meridiano: é uma secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo e. Distância polar: é a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao polo.

(16)

94

1 P 2 P A M O r d r d d

Sendo: r o raio da esfera; d a distância do plano de uma secção ao centro; 1 e 2

p p as distâncias polares de um ponto A; e usando as relações métricas no

triângulo P AP1 2, temos:

( ) (

2

) (

)

1 1 2 . 1 AP = PP PM 2 1 2 ( ) p = r r d−

( ) (

2

) (

)

2 1 2 . 2 AP = PP P M 2 2 2 ( ) p = r r d+

O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo de raio 45 cm. Determinar a distância do plano ao centro da esfera.

53 45

Resolução: A distância entre o círculo e o centro da esfera é o cateto do triângulo retângulo formado pelo raio da esfera e raio do círculo. Logo, aplicando a relação de Pitágoras, temos:

2 2 2 2

(17)

Geometria III

95

2 ₇₈₄ _{784 28}

d = ⇒d = = cm

Resposta: A distância do plano ao centro da esfera é 28 cm.

Volume da esfera

Em um livro sobre a esfera e o cilindro, o matemático grego Arquimedes de Siracusa (séc. III a.C.) demonstrou a fórmula que dá o volume da esfera. Arquimedes usou o método da exaustão de Eudoxo, outro matemático grego, e provou que o volume da esfera é igual a quatro vezes o volume do cone cujo raio é o raio da esfera e cuja altura é também o raio da esfera. Isto pode ser comprovado empiricamente.

r

.

· ·1

4 4

3 ·

esfera cone esfera base

vol cone V = V ⇒V = A h   2 3 · · 4 3 · 3 41 · esfera esfera r V = πr h⇒V = πr

Determinar a medida do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede

1

5 do raio de outra esfera cujo volume é 4500πcm3.

Resolução: Encontramos o raio da esfera cujo volume é indicado:

3 3 ₃ 3

4 ₄₅₀₀ (3)(4500) (3)(4500) _{3375 15 .}

3 4 4

V = π =r π ⇒r = ⇒ =r = = cm

O raio da esfera do problema então vale 1 de 15 3

5 = cm. Logo: 3 3 3 4 4 (3) ₃₆ _113,09 3 3 r V = π = π = π ≅ cm

Resposta: O volume da esfera é aproximadamente _113,09cm3 .

(18)

96

Área da superfície da esfera

Arquimedes também foi responsável pela determinação da fórmula para o cálculo da área da superfície da esfera. A ideia intuitiva usada pelos matemáticos, inclusive por Arquimedes, foi decompor a superfície da esfera em regiões aproximadamente planas, já que ela não pode ser planificada como o cilindro e o cone. Cada uma dessas regiões, juntamente com o centro da esfera, constitui um sólido que se aproxima da pirâmide. A reunião desses sólidos constitui a esfera.

1 2

1_. 1_. _... 1_.

3 3 3 n

V ≅ A R+ A R+ + A R

Como o volume da esfera é 4 3

3 V = πR 3 1 2 · · 4 1 1 _... 1 _, 3πR = 3A R+3 A R+ + 3·A Rn então 3 1 2 área da superfície esfera 4 _1.( _... ₎ 3πR = 3 _{}A + A + + A Rn 2 4 A= πR Outra forma de demonstração:

Se considerarmos uma superfície limitada de área A e sobre ela formarmos um sólido de altura x de bases “paralelas”, e sendo V o volume do sólido de base A e altura x, temos: x A · V A V A x x = ⇒ =

onde a última igualdade é verificada para qualquer x. Se uma placa sólida tem volume Vp e espessura x, então:

x o p

V

lim área da placa x

→ =

(19)

Geometria III

97

cilindro, lateral do cone, calota ou zona esférica e, também, da superfície esférica.

Área lateral do cilindro de revolução

r r x h x 2_· 2 2 2 2 ( ) · · · ( 2 ) · · p p V = π +r x h− πr h⇒V = πh r + rx x+ − πr h . (2 ) / 0, : 2· · p l V h r x p x vem A rh x = π + = = π

Área da superfície esférica

r x r x 3 3 3 3 4 ₍ ₎ 4 _. 4 _[( ₎ _] 3 3 3 p p V = π +r x − πr ⇒V = π r x+ −r 2 2 3 2 2 4 _[3 ₃ _] 4 _[3 ₃ _] 3 3 p p V V r x rx x r rx x x = π + + ⇒ = π + +

Então, parax =0, vem:

2 2 2

4 [3 3 ·0 0 ] 4 · 3

A= π r + r + ⇒ A= πr

Sabendo que o diâmetro de uma esfera é 3

5 do diâmetro de uma outra esfera,

(20)

98

Resolução. Chamando D₁ e D₂ os diâmetros das esferas citadas e considerando

seus respectivos raios, temos as relações: 2 2

1 3₅ 1 3₅

D R

D = ⇒ R = . Basta encontrar

a razão entre as áreas:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 5 9 9 _. 4 25 25 4 R A R A R R A R R R A R      = π π  _⇒ ₌ ₌   ₌ ₌  _π = π 

Resposta: A razão entre as áreas das esferas é 9

25.

SEçãO 4

PARtES DA ESfERA

Fuso Esférico ou Lúnula é a parte da superfície esférica compreendida entre

duas semicircunferências máximas que têm um diâmetro comum. O ângulo θ, que

caracteriza o fuso, é medido na secção equatorial.

Conhecendo a área da superfície esférica, e sendo θ o ângulo do fuso,

temos:

2

360 4

A fuso 90 (sendo em graus)

fuso r A r ° ↔ π π = θ θ θ° ↔ 2 2 2 4 2

A fuso (sendo em radianos) fuso rad r A r rad π θ ↔ π = θ θ ↔ Cunha esférica

Considerando dois planos, α e β, que se interceptam segundo um ângulo θ,

cuja intersecção é o diâmetro da esfera, constata-se que eles determinam nessa esfera um sólido denominado cunha esférica.

A cunha esférica fica limitada na esfera por um fuso e os dois semicírculos máximos do mesmo fuso.

(21)

Geometria III

99

r r



Sendo θ o ângulo da cunha esférica e V o seu volume, temos: 3 4 360 3 V r ° ↔ π θ° ↔ Para θ em graus: 3 3 4 360 3 270 r V r V ° ↔ π π = θ θ° ↔ Para θ em radianos: 3 3 4 2 2 3 ₃ rad r _V r rad V π ↔ π ₌ θ θ ↔

Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 9cm e ângulo central de 20º.

Resolução: Observe que a área total da cunha envolve a área do fuso e a

soma das áreas de duas semicircunferências máximas que corresponde a um círculo máximo. Aplicando as fórmulas, temos:

3 3 3 3 3 4 360 ) 3 V 4 . 4 (9) .(20º) 4 (9) _{4 (729) 4 (13,5) 54} 3(360º) 3(360º) 54 54 cunha r a R V cm ° ↔ π θ° ↔ π θ π π π = = = = = π = π

(22)

100 ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 360 4 A 4 . 4 (9) .(20º) 4 (9) 4 (81) ) 4 (4,5) 18 360º 360º 18 18 . (9) 81 fuso fuso círculo r R b A cm A R cm  ° ↔ π θ° ↔   _{π α} _π _π _π  ₌ ₌ ₌ ₌ _{= π} _{= π}    _{= π} _{= π} _{= π}   2 2 2 18 81 99 cunha A = πcm + πcm = πcm

Resposta: O volume da cunha esférica é _{54 cm}_π 3_{e a área total}_{99 cm}_π 2 .

Encerramos a unidade sobre os corpos redondos. Aqui vimos o cilindro, o cone e a esfera. Além de estudar seus elementos, verificamos também algumas fórmulas para cálculo de área e volume, e algumas demonstrações. Algumas vezes pudemos partir do que já havíamos estudado na unidade de poliedro e obter os resultados para corpos redondos, em outras fizemos isso por meio de demonstração, usando outros recursos.

Essa ação reflexiva é importante para verificarmos as relações existentes no estudo da geometria: é necessário retornar ao que já havíamos estudado para obter novos resultados.

Com esta unidade encerramos o estudo da geometria espacial, porém fica a pergunta: há outro tipo de geometria, além da plana e da geometria espacial?

Procuraremos responder a essa pergunta na próxima unidade.

Vídeos sobre cones e troncos de cones, elaborados •

a) pela Universidade Estadual do Pará (UEPA):

(23)

Geometria III

101

b) pelo prof. Enzo Gonçalves:

Parte 1: http://www.youtube.com/watch?v=Mf87WHv4-68&feature=related Parte 2: http://www.youtube.com/watch?v=aH3vKuNSn_w&feature=related Vídeos sobre esferas, elaborados pelo prof. Enzo Gonçalves

•

Parte1: http://www.youtube.com/watch?v=dmEzW1n4n3Y&feature=related Parte2: http://www.youtube.com/watch?v=EXI3yVtW8Lw&feature=related

1. Num cilindro circular reto, a área lateral é de 30π m2_{e a área total vale 48}

π m2_{. Calcule seu volume.}

2. Calcule o volume do cilindro circular reto gerado pela rotação de um retângulo de dimensões 4cm e 8cm em torno de um lado:

a) do maior b) do menor

3. Um cilindro circular reto está circunscrito a um prisma reto cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6m e 8m. Se a altura do prisma vale 15m, calcule:

a) a área total do cilindro b) o volume do cilindro

4. Um cilindro circular reto está inscrito num prisma quadrangular regular de

área lateral 160 cm2_{e de volume 160 cm}3_{. Calcule a área lateral do cilindro.}

5. Num cilindro circular reto de raio 5 cm e de altura 10 cm, a que distância do eixo devemos traçar um plano paralelo ao eixo para obtermos secção de área 80

cm2_?

6. Uma determinada bolacha tem dois tamanhos: redonda com 3cm de raio;

•

redonda com 6cm de raio. •

(24)

102

de bolachas e ao mesmo preço.

a) Se a embalagem de bolachas maiores tiver 5 unidades, quantas unidades deverá ter a outra?

b) Se um pacote com 5 bolachas grandes custar R$1,75, quanto deverão custar pacotes com 8, 12 e 24 bolachas do mesmo tamanho?

7. Seis cilindros retos foram colocados numa caixa como indicado abaixo. a) Escreva uma expressão para o volume total ocupado pelos cilindros. b) Escreva uma expressão para o volume da caixa.

c) Que porcentagem do volume da caixa é ocupada pelos cilindros?

8. Calcule o volume e a área total de um cilindro inscrito em um cubo de

volume 216 cm3_.

9. Num cone circular reto, de altura 12 cm, a área total vale 90π cm2_{e o}

volume é 100π cm3_{. Calcule o raio da base e a geratriz.}

10. Calcule o volume e a área total do sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo, de catetos 15cm e 20cm, em torno da hipotenusa.

11. Num cone circular, a base está inscrita num triângulo eqüilátero de área

9 3cm2_{, e a altura é congruente à altura desse triângulo. Calcule o volume.}

12. A secção meridiana de um cone é um triângulo equilátero de 20 cm de lado. Calcule a sua área lateral, total e seu volume.

13. Um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm gira em torno do maior cateto. Calcule a área lateral e o volume do sólido obtido.

14. Um segmento de 10 cm está apoiado por uma de suas extremidades num

eixo vertical, formando com este um ângulo de 45º. Calcule a área lateral e total da

superfície cônica gerada pela rotação completa desse segmento em torno do eixo. 15. A geratriz de um tronco de cone reto mede 4 dm e os raios das bases, respectivamente, 3 dm e 2 dm. Calcular a área total e o volume.

(25)

Geometria III

103

que o raio maior é o dobro do menor, a altura o dobro do raio maior e o volume igual a 224 dm3

3 π

.

17. Determinar a altura de um tronco de cone sabendo que os raios das bases medem respectivamente 3m e 2m, sendo 20 π mª o seu volume.

18. Uma esfera tem 25πcm2 _{de superfície. De quanto devemos aumentar o}

raio, para que a área passe a ser de 64πcm2_?

19. Determinar a área de um círculo obtido da secção plana de uma esfera, sendo o raio da esfera r e 15 cm a distância desse plano ao centro da esfera.

20. Uma esfera tem 1 m de raio. Qual será o raio de uma esfera cujo volume é l/5 do volume da primeira esfera?

21. Um cubo de chumbo de aresta a foi transformado numa esfera. Determinar a superfície da esfera em função de a.

22. Uma esfera, um cilindro e um cone têm o mesmo volume e o mesmo raio. Calcular a razão entre a altura do cilindro e a do cone.

23. A superfície de uma esfera mede 144πcm2_{e é igual à área total de um}

cilindro que tem o mesmo raio da esfera. Determinar a relação entre o volume da esfera e do cilindro.

24. Uma esfera é equivalente a um cilindro reto cuja área total é igual a 42π

cm2_{. Sendo 3 cm o raio do cilindro, determinar:}

a) o raio da esfera

b) a relação entre a área da esfera e a área total de um cone reto que tenha a mesma base e a mesma altura do cilindro dado.

25. Determinar o ângulo do fuso de uma esfera, sendo 324 π cm2_{a área da}

esfera e 54π cm2_{a área do fuso.}

(26)

104

superfície?

27. Determinar a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro dessa

esfera, sabendo que o raio da esfera mede 12 cm e que a área do fuso de 600_é

equivalente a área dessa secção.

28. Determinar o volume de uma cunha cujo ângulo mede 600_{, em uma esfera}

cujo volume mede 288π m3_.

29. Determinar as medidas dos raios de duas esferas, sabendo que sua soma vale

(27)

Geometria III

105

Respostas

1. V=45 π cm3

2. a) do maior V=128 π cm3_{. b) do menor R: V=256 π cm}3

3. a) a área total do cilindro R: 200 π cm2_{; b) o volume do cilindro R: 375 π}

cm3 4. R: 40π cm2_. 5. R: 3cm. 6. a) R: 20; b) R$ 2,80; R$ 4,20; R$ 8,40. 7. a) R: V= b3_{-6 πa}2_{b; b) R: b}3_{; c) R: aproximadamente 85%.} 8. R: V = 54π cm3_{e A} t = 54πcm2 9. R: r=5cm e g=13cm. 10. R: V=1200π cm3_{e A} t= 420π cm2. 11. R: 3 3π cm3_. 12. R: _{200 cm}2 l A = π A_t = 2 t A =300 cmπ 1000 3 cm3 3 V = π 13. R: 2 3 l A = 65πcm Ve =100 cmπ 14. R: _{50 2 cm e}2 _{50 (1} ₂₎ l t A = π A = π + 15. R: ₃₃ 2 _{e V=}19 15 3 3 t A = π dm π dm 16. R: r 2 dm, R 4 dm, h 8 dm e a 2 17 dm.= = = = 17. R: 60 19m 18. R: 3/2 19. R: _π₍_r2 ₋₂₂₅₎_cm2 20. R: ' 325 5 r = 21. R: ₂ 2 3 9 2 a π 22. R: 1 3 23. R: 4/3 24. a) R: 3cm. b) R: 3/2 25. R: 600 26. R: 14/45 m2 27. R 4 3cm. 28. R: 48π m3_. 29. R: r = 20( 2 1)− cm e R = 20 2

(

− 2

)

cm.

(28)