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(2) UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO ´ ´ ˜ PRO-REITORIA DE PESQUISA E POS-GRADUA C ¸ AO ´ ˜ EM BIOMETRIA E PROGRAMA DE POS-GRADUA C ¸ AO ESTAT´ISTICA APLICADA. Commodities agr´ıcolas do agroneg´ ocio brasileiro: an´ alise multifractal e an´ alise da complexidade diante da crise financeira mundial subprime 2008/2009. Tese apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Biometria e Estat´ıstica Aplicada como exigˆencia parcial a` obten¸ca˜o do t´ıtulo de Doutor em Biometria e Estat´ıstica Aplicada.. ´ Area de Concentra¸c˜ ao: Biometria e Estat´ıstica Aplicada Orientador: Prof. Dr. Borko Stosic Co-Orientadora: Profa. Dra. Tatijana Stosic. Recife–PE – Junho/2015.
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(4) ` minha fam´ılia. A.
(5) Agradecimentos Agrade¸co a Deus, autor da vida e creador de todas as coisas, pois todas as coisas foram feitas por Ele, e sem Ele nada do que foi feito se fez. Agrade¸co aos meus pais e meu irm˜ao, inestim´aveis e t˜ao presentes, mesmo a distˆancia. Muito obrigado por tudo! Obrigado a` Fabiana por todo apoio nos bons e maus momentos. Aos amigos de curso de gradua¸ca˜o, em especial aos amigos Darlon, Tiago, Gl´auber, Ben´e, Leandro, Manoel, Kairo, Paulo A´ırton e Alex. Muito obrigado Darlon por toda ajuda nos momentos mais dif´ıceis. Muito obrigado Ben´e por sua ajuda. Muito obrigado Manoel pela ajuda ao chegarmos em Recife. Agrade¸co a todos os professores e funcion´arios do DEMA-UFC, em especial aos professores Maur´ıcio, A´ılton, Juvˆencio, Vicente, Lassance, Andr´e, Ana Maria e S´ılvia e a`s secret´arias Marjorie e Lu´ıza. Aos amigos de curso de mestrado pelo conv´ıvio, em especial a C´ıcero, Ros´ılda, Samuel, Rodrigo, David, Patr´ıcia, Mariese, Rita, Rog´erio, Aranildo, Dˆamocles, Rivelino, Ne´ılson e tamb´em aos amigos do Doutorado, em especial a Joseilme e M´acio, muito obrigado pela ajuda nos momentos dif´ıceis. Agrade¸co aos professores e funcion´arios do PPGBEA, em especial aos professores Borko, Tatijana, Eufr´azio, Moacyr, Gabriel, Cl´audio, Tiago e ao secret´ario Marco. Ao meu orientador Professor Dr. Borko Stosic, pelos ensinamentos transmitidos e apoio neste trabalho e a Professora Dra. Tatijana Stosic, pelos ensinamentos passados e apoio. Muito obrigado por tudo! Sou eternamente grato!.
(6) Resumo O crescimento da economia mundial, impulsionado por pa´ıses emergentes, principalmente a China, gerou mudan¸cas relevantes no mercado de commodities a partir de 2002. Observou-se uma mudan¸ca nos pre¸cos das commodities, que mostraram uma eleva¸c˜ao expressiva, mostrando condi¸co˜es acirradas entre oferta e demanda desses produtos, impulsionadas pela existˆencia de problemas clim´aticos que afetaram negativamente a oferta e pelo ritmo de crescimento da demanda. A crise financeira mundial iniciouse no mercado americano e acabou se tornando a pior crise financeira mundial desde 1929 (quebra da bolsa de Nova York). A falˆencia do banco de investimento Lehman Brothers no dia 15 de setembro de 2008 marca a transforma¸ca˜o da crise financeira internacional, e ap´os isso, ocorre uma grande redu¸ca˜o do cr´edito internacional e o d´olar dispara no Brasil. Considerando que o setor agr´ıcola ´e de fundamental importˆancia para a sanidade econˆomica e por ser um grande investidor em tecnologias ambiental e rural, o Brasil n˜ao pode sucumbir a` ideia de uma desacelera¸c˜ao neste setor, pois o agroneg´ocio brasileiro representou, em 2008, 36.7% das exporta¸co˜es brasileiras, gera¸c˜ao de 37% dos empregos e 28% do Produto Interno Bruto (PIB). Neste trabalho investigou-se a assincronia, a transferˆencia de informa¸ca˜o e o comportamento das correla¸co˜es cruzadas dos retornos de seis commodities agr´ıcolas do agroneg´ocio brasileiro, para os per´ıodos anterior (2006-2009) e posterior a crise financeira mundial (2010-2014). Utilizou-se o m´etodo Cross-Sample Entropy para quantificar a assincronia entre todas as s´eries de retornos das commodities. Utilizou-se os m´etodos Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis (MF-DCCA), Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA) e Detrended Cross-Correlation Analysis (DCCA) para investigar correla¸co˜es cruzadas e auto correla¸c˜oes. Os resultados da an´alise multifractal mostram que para todas as s´eries temporais, a multifractalidade diminuiu ap´os a crise financeira mundial, indicando menor variedade do tamanho das flutua¸c˜oes que apresentam invariˆancia de escala, exceto o algod˜ao, que apresentou comportamento contr´ario. Com base nos resultados obtidos, pode-se concluir que a an´alise multifractal e a an´alise de complexidade podem ser u ´teis nos estudos da dinˆamica do agroneg´ocio brasileiro, dada a sua importˆancia, diante do cen´ario econˆomico mundial seja para ado¸ca˜o de pol´ıticas monet´arias e fiscal dos ´org˜aos respons´aveis, agentes econˆomicos ou pelo governo federal. Palavras-chave: Crise financeira mundial, Commodities, An´ alise Multifractal e An´ alise de Complexidade..
(7) Abstract The growth of the world economy, driven by emerging countries, especially China, has generated significant changes in the commodities market since 2002. The commodity prices have shown a significant increase, reflecting the fierce conditions of supply and demand for these products, driven by the climatic phenomena that have negatively affected the supply, and by the demand growth rate. The global financial crisis began in the US market, and eventually turned out the worst global financial crisis since 1929 (the break of the New York Stock Exchange). The bankruptcy of Lehman Brothers investment bank on September 15, 2008 marks the transformation of the international financial crisis, after which in Brazil there was a great reduction of international credit, accompanied by a sharp increase of the dollar exchange rate. Considering that the agricultural sector is of fundamental importance to the economic health, being a major investor in environmental and rural technologies, Brazil can not succumb to the idea of a slowdown in this sector, as in 2008 the Brazilian agribusiness represented 36.7% of exports, generating 37% of jobs, and 28% of gross domestic product (GDP). This work investigates the returns asynchrony and the behavior of the cross-correlations for six agricultural Brazilian agribusiness commodities, for the period prior to the global financial crisis (2006-2009), and after the crisis (2010-2014). The Cross-Sample Entropy method was used for quantifying the asynchrony among the commodity returns series. In addition, the methods Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis (MF-DCCA), Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA) and Detrended Cross-Correlation Analysis (DCCA) were used to investigate cross-correlations and auto correlations in the returns series. The results of multifractal analysis show that for all time series, the multifractality decreased after the global financial crisis, indicating smaller range of the scale invariant fluctuations, except for Cotton, which exhibits precisely the opposite behavior. Based on the obtained results, it can be concluded that the multifractal analysis and the complexity analysis can be useful in the studies of the dynamics of the Brazilian agribusiness, given its importance within the global economic scenario, for adoption of monetary and fiscal policies by the responsible economic agents, or by the federal government. keywords: Global financial crisis, commodities, Multifractal Analysis and Complexity Analysis..
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(9) Suma´rio. 1 Introdu¸c˜ ao. 1. 2 Revis˜ ao de Literatura. 5. 2.1. As commodities e a crise financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.1. Commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.2. A Crise Subprime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.3. Consequˆencias da crise no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. Fractais e Multifractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.1. Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.2. Multifractais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.2.3. An´alise Multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.2.4. Processos Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. An´alise de Correla¸co˜es de Longo Alcance em S´eries Temporais Fractais. 17. 2.3.1. An´alise da Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.3.2. Teste de Correla¸c˜ao-Cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.3.3. An´alise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.3.4. An´alise de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.3.5. Fluctuation Analysis (FA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.3.6. Detrended Fluctuation Analysis (DFA) . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.3.7. Detrended Cross-Correlation Analysis (DCCA) . . . . . . . . .. 23. 2.3.8. Coeficiente de Correla¸ca˜o-Cruzada (ρDCCA (n)) . . . . . . . . . .. 24. S´eries Temporais Multifractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.4.1. Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA) . . . . .. 25. 2.5. Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis (MF-DCCA) . . . .. 28. 2.6. An´alise de Complexidade das S´eries Temporais . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.2. 2.3. 2.4. i.
(10) ii. Sum´ario 2.6.1. Sample Entropy (SampEn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.6.2. Cross-Sample Entropy (Cross − SampEn) . . . . . . . . . . . .. 31. 3 Materiais e M´ etodo. 33. 3.1. Conjunto de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.2. Descri¸ca˜o dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.3. Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.3.1. An´alise Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.3.2. An´alise Multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.3.3. An´alise da Complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.3.4. Testes Estat´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.3.5. Coeficiente de Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.3.6. Coeficiente de Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4 Resultados. 45. 4.1. Pre¸co de fechamento das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 4.2. Retornos das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.3. Teste de Correla¸ca˜o-Cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 4.4. Cross-Sample Entropy entre as commodities . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4.5. DCCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 4.6. An´alise Multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 4.7. An´alise em Janelas M´oveis de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 4.7.1. SampEn em Janela M´ovel de Tempo (2006-2014) . . . . . . . .. 74. 4.7.2. Expoente de Hurst em Janela M´ovel de Tempo no per´ıodo 20062014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.7.3. Expoente DFA em Janela M´ovel de Tempo no per´ıodo 2006-2014 83. 5 Conclus˜ oes Anexo. 76. 89 103.
(11) Lista de Figuras. 2.1. Fractal determin´ıstico. Triˆangulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2. Exemplo de fractal estoc´astico: br´ocolis romanesco. . . . . . . . . . . .. 9. 2.3. Segmento de reta, quadrado e cubo divididos em partes menores, semelhantes a inicial. Fonte: [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.4. Conjunto de Cantor. Fonte: [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.5. Curvas de Koch. Fonte: [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.6. Esponja de Menger. Fonte: [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.7. Exemplo do uso do m´etodo box-counting. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.8. Exemplo de s´erie temporal estacion´aria. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.9. Exemplo de s´erie temporal n˜ao-estacion´aria. . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 4.1. S´eries temporais dos pre¸cos de fechamento di´ario das commodities: A¸cu ´car 4.1(a), Algod˜ao 4.1(b), Arroz 4.1(c), Boi 4.1(d), Caf´e 4.1(e) e Trigo 4.1(f), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.2. 46. S´eries temporais do retorno di´ario das commodities: A¸cu ´car 4.2(a), Algod˜ao 4.2(b), Arroz 4.2(c), Boi 4.2(d), Caf´e 4.2(e) e Trigo 4.2(f), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.3. Distribui¸c˜oes dos retornos das commodities A¸cu ´car 4.3(a), Algod˜ao 4.3(b), Arroz 4.3(c), Boi 4.3(d), Caf´e 4.3(e) e Trigo 4.3(f), respectivamente. .. 4.4. 49. Gr´afico log-log da estat´ıstica do teste Qcc (p) versus os graus de liberdade p para o per´ıodo 2006-2014 (N = 1960 dias), em que p = 1, · · · , 1000. .. 4.5. 48. 52. Gr´afico log-log da estat´ıstica do teste Qcc (p) versus os graus de liberdade p para o per´ıodo pr´e-crise 2006-2009 (N = 915 dias), onde p = 1, · · · , 900. 53. 4.6. Gr´afico log-log da estat´ıstica do teste Qcc (p) versus os graus de liberdade p para o per´ıodo p´os-crise 2010-2014 (N = 1045 dias), em que p = 1, · · · , 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii. 53.
(12) iv. Lista de Figuras 4.7. Cross-Sample Entropy entre cada commodity e as demais, para A¸cu ´car 4.7(a), Algod˜ao 4.7(b), Arroz 4.7(c), Boi 4.7(d), Caf´e 4.7(e) e Trigo 4.7(f), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.8. 55. Coeficiente ρDCCA (n) entre A¸cu ´car e as demais Commodities: Algod˜ao 4.8(a), Arroz 4.8(b), Boi 4.8(c), Caf´e 4.8(d) e Trigo 4.8(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.9. 60. Coeficiente ρDCCA (n) entre Algod˜ao e as demais Commodities: A¸cu ´car 4.10(a), Arroz 4.9(b), Boi 4.9(c), Caf´e 4.9(d) e Trigo 4.9(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 4.10 Coeficiente ρDCCA (n) entre Arroz e as demais Commodities: A¸cu ´car 4.10(a), Algod˜ao 4.10(b), Boi 4.10(c), Caf´e 4.10(d) e Trigo 4.10(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 4.11 Coeficiente ρDCCA (n) entre Boi e as demais Commodities: Algod˜ao 4.11(b), A¸cu ´car 4.11(a), Arroz 4.11(c), Caf´e 4.11(d) e Trigo 4.11(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 4.12 Coeficiente ρDCCA (n) entre Caf´e e as demais Commodities: Algod˜ao 4.12(b), A¸cu ´car 4.12(a), Arroz 4.12(c), Boi 4.12(d) e Trigo 4.12(e), respectivamente. 64 4.13 Coeficiente ρDCCA (n) entre Trigo e as demais Commodities: Algod˜ao 4.13(b), A¸cu ´car 4.13(a), Arroz 4.13(c), Boi 4.13(d) e Caf´e 4.13(e), respectivamente. 65 4.14 Expoente de R´enyi τ (q) das commodities analisadas: A¸cu ´car 4.14(a), Algod˜ao 4.14(b), Arroz 4.14(c), Boi 4.14(d), Caf´e 4.14(e) e Trigo 4.14(f), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 4.15 Espectro multifractal f (α) dos retornos das commodities Ac´ ucar, Algod˜ao e Arroz, para as s´eries original e randomizada, nos per´ıodos 20062009 e 2010-2014. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 4.16 Espectro multifractal f (α) dos retornos das commodities Boi, Caf´e e Trigo, para as s´eries original e randomizada, nos per´ıodos 2006-2009 e 2010-2014. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 4.17 Estat´ıstica SampEn em Janela M´ovel de Tempo (tamanho 240 dias), com passo de um dia entre cada janela, totalizando 1721 janelas de tamanho 240 para cada commodity no per´ıodo 2006-2014. . . . . . . . . . . . . .. 74. 4.18 Expoente de Hurst em Janela M´ovel de Tempo (tamanho 240 dias), com passo de um dia entre cada janela, totalizando 1721 janelas de tamanho 240 para cada commodity no per´ıodo 2006-2014. . . . . . . . . . . . . .. 76.
(13) Lista de Figuras. v. 4.19 Expoente de Hurst em Janela M´ovel de Tempo (tamanho 480 dias), com passo de um dia entre cada janela, totalizando 1481 janelas de tamanho 480 para cada commodity no per´ıodo 2006-2014. . . . . . . . . . . . . .. 78. 4.20 Expoente de Hurst em Janela M´ovel de Tempo (tamanho 1000 dias), com passo de um dia entre cada janela, totalizando 961 janelas de tamanho 1000 para cada commodity no per´ıodo 2006-2014. . . . . . . . . . . . .. 79. 4.21 Expoente DFA em Janela M´ovel de Tempo (tamanho 240 dias), com passo de um dia entre cada janela, totalizando 1721 janelas de tamanho 240 para cada commodity no per´ıodo 2006-2014. . . . . . . . . . . . . .. 83. 4.22 Expoente DFA em Janela M´ovel de Tempo (tamanho 480 dias), com passo de um dia entre cada janela, totalizando 1481 janelas de tamanho 480 para cada commodity no per´ıodo 2006-2014. . . . . . . . . . . . . .. 84. 4.23 Expoente DFA em Janela M´ovel de Tempo (tamanho 1000 dias), com passo de um dia entre cada janela, totalizando 961 janelas de tamanho 1000 para cada commodity no per´ıodo 2006-2014. . . . . . . . . . . . . 1. 85. DCCA entre A¸cu ´car e as demais commodities: Algod˜ao 1(a), Arroz 1(b), Boi 1(c), Caf´e 1(d) e Trigo 1(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . 103. 2. DCCA entre Algod˜ao e as demais commodities: A¸cu ´car 2(a), Arroz 2(b), Boi 2(c), Caf´e 2(d) e Trigo 2(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . 104. 3. DCCA entre Arroz e as demais commodities: A¸cu ´car 3(a), Algod˜ao 3(b), Boi 3(c), Caf´e 3(d) e Trigo 3(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . 105. 4. DCCA entre Boi e as demais commodities: A¸cu ´car 4(a), Algod˜ao 4(b), Arroz 4(c), Caf´e 4(d) e Trigo 4(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . 106. 5. DCCA entre Caf´e e as demais commodities: A¸cu ´car 5(a), Algod˜ao 5(b), Arroz 5(c), Boi 5(d) e Trigo 5(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . 107. 6. DCCA entre Trigo e as demais commodities: A¸cu ´car 6(a), Algod˜ao 6(b), Arroz 6(c), Boi 6(d) e Caf´e 6(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . 108. 7. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre A¸cu ´car e as demais Commodities (2006-2009): Algod˜ao 7(a), Arroz 7(b), Boi 7(c), Caf´e 7(d) e Trigo 7(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109. 8. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Algod˜ao e as demais Commodities (2006-2009): A¸cu ´car 8(a), Arroz 8(b), Boi 8(c), Caf´e 8(d) e Trigo 8(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.
(14) vi. Lista de Figuras 9. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Arroz e as demais Commodities (2006-2009): A¸cu ´car 9(a), Algod˜ao 9(b), Boi 9(c), Caf´e 9(d) e Trigo 9(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. 10. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Boi e as demais Commodities (2006-2009): A¸cu ´car 10(a), Algod˜ao 10(b), Boi 10(c), Caf´e 10(d) e Trigo 10(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. 11. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Caf´e e as demais Commodities (2006-2009): A¸cu ´car 11(a), Algod˜ao 11(b), Arroz 11(c), Boi 11(d) e Trigo 11(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. 12. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Trigo e as demais Commodities (2006-2009): A¸cu ´car 12(a), Algod˜ao 12(b), Arroz 12(c), Boi12(d) e Caf´e 12(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. 13. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre A¸cu ´car e as demais Commodities (2010-2014): Algod˜ao 13(a), Arroz 13(b), Boi 13(c), Caf´e 13(d) e Trigo 13(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. 14. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Algod˜ao e as demais Commodities (2010-2014): A¸cu ´car 14(a), Arroz 14(b), Boi 14(c), Caf´e 14(d) e Trigo 14(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. 15. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Arroz e as demais Commodities (2010-2014): A¸cu ´car 15(a), Algod˜ao 15(b), Boi 15(c), Caf´e 15(d) e Trigo 15(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117. 16. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Boi e as demais Commodities (2010-2014): A¸cu ´car 16(a), Algod˜ao 16(b), Boi 16(c), Caf´e 16(d) e Trigo 16(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. 17. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Caf´e e as demais Commodities (2010-2014): A¸cu ´car 17(a), Algod˜ao 17(b), Arroz 17(c), Boi 17(d) e Trigo 17(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119. 18. Expoente de Hurst Generalizado (EHG) entre Trigo e as demais Commodities (2010-2014): A¸cu ´car 18(a), Algod˜ao 18(b), Arroz 18(c), Boi18(d) e Caf´e 18(e), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120. 19. Espectro Multifractal f (α) entre A¸cu ´car e as demais commodities: Arroz 19(b), Algod˜ao 19(a), Boi 19(c), Caf´e 19(d) e Trigo 19(e), respectivamente (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. 20. Espectro Multifractal f (α) entre Algod˜ao e as demais commodities: Arroz 20(b), A¸cu ´car20(a), Boi 20(c), Caf´e 20(d) e Trigo 20(e), respectivamente (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.
(15) Lista de Figuras 21. vii. Espectro Multifractal f (α) entre Arroz e as demais commodities: A¸cu ´car 21(a), Algod˜ao21(b), Boi 21(c), Caf´e 21(d) e Trigo 21(e), respectivamente (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. 22. Espectro Multifractal f (α) entre Boi e as demais commodities: A¸cu ´car 22(a), Algod˜ao22(b), Arroz 22(c), Caf´e 22(d) e Trigo 22(e), respectivamente (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. 23. Espectro Multifractal f (α) entre Caf´e e as demais commodities: A¸cu ´car 23(a), Algod˜ao23(b), Arroz 23(c), Boi 23(d) e Trigo 23(e), respectivamente (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. 24. Espectro Multifractal f (α) entre Trigo e as demais commodities: A¸cu ´car 24(a), Algod˜ao 24(b), Arroz 24(c), Boi 24(d) e Caf´e 24(e), respectivamente (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. 25. Espectro Multifractal f (α) entre A¸cu ´car e as demais commodities: Arroz 25(b), Algod˜ao 25(a), Boi 25(c), Caf´e 25(d) e Trigo 25(e), respectivamente (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. 26. Espectro Multifractal f (α) entre Algod˜ao e as demais commodities: Arroz 26(b), A¸cu ´car26(a), Boi 26(c), Caf´e 26(d) e Trigo 26(e), respectivamente (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128. 27. Espectro Multifractal f (α) entre Arroz e as demais commodities: A¸cu ´car 27(a), Algod˜ao27(b), Boi 27(c), Caf´e 27(d) e Trigo 27(e), respectivamente (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129. 28. Espectro Multifractal f (α) entre Boi e as demais commodities: A¸cu ´car 28(a), Algod˜ao28(b), Arroz 28(c), Caf´e 28(d) e Trigo 28(e), respectivamente (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130. 29. Espectro Multifractal f (α) entre Caf´e e as demais commodities: A¸cu ´car 29(a), Algod˜ao29(b), Arroz 29(c), Boi 29(d) e Trigo 29(e), respectivamente (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131. 30. Espectro Multifractal f (α) entre Trigo e as demais commodities: A¸cu ´car 30(a), Algod˜ao 30(b), Arroz 30(c), Boi 30(d) e Caf´e 30(e), respectivamente (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.
(16)
(17) Lista de Tabelas. 1.1. Balan¸ca comercial brasileira entre 2000 e 2013 (em US$ bilh˜oes). . . . .. 3.1. Estat´ısticas descritivas para pre¸cos de fechamento di´ario da commodity A¸cu ´car. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2. 37. Estat´ısticas descritivas para pre¸cos de fechamento di´ario da commodity Caf´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.6. 37. Estat´ısticas descritivas para pre¸cos de fechamento di´ario da commodity Boi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.5. 37. Estat´ısticas descritivas para pre¸cos de fechamento di´ario da commodity Arroz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.4. 37. Estat´ısticas descritivas para pre¸cos de fechamento di´ario da commodity Algod˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3. 2. 37. Estat´ısticas descritivas para pre¸cos de fechamento di´ario da commodity Trigo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 4.1. Estat´ısticas descritivas dos retornos das commodities. . . . . . . . . . .. 50. 4.2. Cross-Sample Entropy entre todos os retornos das s´eries temporais das commodities analisadas (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.3. Cross-Sample Entropy entre todos os retornos das s´eries temporais das commodities analisadas (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.4. 56. DCCA entre todos os retornos das s´eries temporais das commodities analisadas (2006-2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.5. 56. 58. DCCA entre todos os retornos das s´eries temporais das commodities analisadas (2010-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix. 58.
(18) x. Lista de Tabelas 4.6. Teste de hip´oteses sobre igualdade dos coeficientes angulares β1 e β2 da tendˆencia linear nos per´ıodos pr´e-crise e p´os-crise, ao n´ıvel de significˆancia de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 4.7. Comportamento dos parˆametros multifractais. . . . . . . . . . . . . . .. 68. 4.8. Teste Wilcoxon-Mann-Whitney para os parˆametros multifractais. . . .. 69. 4.9. Comportamento dos parˆametros multifractais (2006-2009). . . . . . . .. 71. 4.10 Comportamento dos parˆametros multifractais (2010-2014). . . . . . . .. 71. 4.11 Estat´ısticas descritivas da estat´ıstica SampEn para 1721 janelas m´oveis de tempo de 240 dias (2006-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 4.12 Estat´ısticas descritivas do Expoente de Hurst (H) com janela m´ovel de tempo de 240 dias (2006-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. 4.13 Estat´ısticas descritivas do Expoente de Hurst (H) com janela m´ovel de tempo de 480 dias (2006-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 4.14 Estat´ısticas descritivas para o Expoente de Hurst (H) com janela m´ovel de tempo de 1000 dias (2006-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 4.15 Estat´ısticas descritivas para o Expoente DFA (α) com janela m´ovel de tempo de 240 dias (2006-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. 4.16 Estat´ısticas descritivas para o Expoente DFA (α) com janela m´ovel de tempo de 480 dias (2006-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. 4.17 Estat´ısticas descritivas para o Expoente DFA (α) com janela m´ovel de tempo de 1000 dias (2006-2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88.
(19) Lista de Abreviaturas e S´ımbolos. αmáx Valor m´aximo do espectro multifractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 αmín Valor m´ınimo do espectro multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 β. Expoente espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. γ. Expoente de correla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. hg(t)i M´edia aritm´etica da s´erie g(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 µ3. Coeficiente de Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. µ3. Coeficiente de Curtose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43. ψ(.). Fun¸ca˜o indicadora para a integral de correla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. ρDCCA (n) Coeficiente de Correla¸c˜ao-Cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 σg. Desvio-padr˜ao da s´erie g(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. θ. Expoente de escala para fun¸c˜ao de flutua¸ca˜o F (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. θ0. Valor da mediana sob H0 no Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney – Uma Amostra 40. ε. Tamanho da grade retangular no m´etodo box-counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. b. N´ umero de vezes em que uma escala de uma estrutura ´e reduzida . . . . . . . . . . . 11. C(M, ε) Integral de correla¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 C(t) Coeficiente de Correla¸ca˜o-Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 C6,2. Combina¸c˜ao simples de 6, 2 a 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 xi.
(20) xii. Lista de Abreviaturas e S´ımbolos. D. Dimens˜ao euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. D0. Dimens˜ao box-counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. D2. Dimens˜ao de correla¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. df. Dimens˜ao fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. F (n) Fun¸ca˜o de flutua¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fac (t) Fun¸ca˜o de autocorrela¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FRS (n) Fun¸ca˜o de flutua¸ca˜o de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 g(t). Retorno logaritmo di´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. H. Expoente de Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. H0. Hip´otese de nulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. H1. Hip´otese alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. L. Dimens˜ao linear do sistema na an´alise multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. m. Fator de aumento de um objeto geom´etrico auto-semelhante . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Md. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. n. Tamanho do segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20. n(ε). N´ umero das caixas que cont´em pelo menos um ponto do objeto fractal . . . . . . 13. N (l) N´ umero de unidades de uma estrutura em escala l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 N (l/b) N´ umero de unidades de uma estrutura em escala reduzida l/b . . . . . . . . . . . . . 11 Nn. N´ umero de segmentos de tamanho n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20. np. N´ umero de partes de um objeto geom´etrico auto-semelhante . . . . . . . . . . . . . . . . 10. p. Graus de liberdade da distribui¸c˜ao Qui-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. P1. Popula¸c˜ao 1 no Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney – Duas Amostras Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.
(21) Lista de Abreviaturas e S´ımbolos. xiii. P1. Popula¸c˜ao no teste Wilcoxon-Mann-Whitney – Uma Amostra . . . . . . . . . . . . . . . 40. P2. Popula¸c˜ao 2 no Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney – Duas Amostras Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. q. q-´esimo momento multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Qcc (p) Estat´ıstica de correla¸ca˜o-cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 R. Regi˜ao de dimens˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. R(t) Retorno di´ario normalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 s. ´Indice para a contagem de caixas/segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. S(f ) Espectro de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SampEn Sample Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 V (R) Volume de uma regi˜ao de dimens˜ao linear R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 W. Largura do espectro multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. Wo. Largura do espectro da s´erie original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. Wr. Largura do espectro da s´erie randomizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. ACR A¸cu ´car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ALG Algod˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ARR Arroz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 BACEN Banco Central do Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 BM&FBOVESPA Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 BOI. Boi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33. CAF Caf´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 CONAB Companhia Nacional de Abastecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 CRB Commodity Research Boureau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 DCCA Detrended Cross-Correlation Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.
(22) xiv. Lista de Abreviaturas e S´ımbolos. DFA Detrended Fluctuation Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 EHG Expoente de Hurst Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FA. Fluctuation Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. IC-Br ´Indice de Commodities Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 IRGA Instituto Rio Grandense do Arroz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 PIB. Produto Interno Bruto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. TRG Trigo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.
(23) Cap´ıtulo. 1. Introdu¸c˜ao O crescimento da economia mundial, impulsionado por pa´ıses emergentes, principalmente a China, gerou mudan¸cas relevantes no mercado de commodities a partir de 2002. Observou-se uma mudan¸ca nos pre¸cos das commodities, que mostraram uma eleva¸c˜ao expressiva, mostrando condi¸co˜es acirradas entre oferta e demanda desses produtos, impulsionadas pela existˆencia de problemas clim´aticos que afetaram negativamente a oferta e pelo ritmo de crescimento da demanda [3]. Diante da crescente demanda da China (e da ´India, em uma certa medida), al´em de uma economia mundial em expans˜ao, observou-se a eleva¸c˜ao dos pre¸cos das commodities, sobretudo do petr´oleo, minerais e alimentos a partir do final de 2004 e final de 2007. Essa eleva¸c˜ao foi t˜ao grande quanto o primeiro choque da eleva¸c˜ao dos pre¸cos do petr´oleo na d´ecada de 1970 [4]. Entre 2001 e 2007 o Brasil obteve um aumento na participa¸ca˜o do com´ercio mundial: de 1.2% em 2001 para 1.5%, em 2007. A participa¸ca˜o das exporta¸c˜oes agr´ıcolas brasileiras, nesse per´ıodo, cresce de 4.8% para 6.7%, acima da evolu¸c˜ao das exporta¸c˜oes agr´ıcolas mundiais, impactando a expans˜ao do mercado brasileiro no mercado mundial [5]. O agroneg´ocio brasileiro representou, em 2008, 36.7% das exporta¸co˜es brasileiras, gera¸c˜ao de 37% dos empregos e 28% do Produto Interno Bruto (PIB), que ´e a soma de todos os bens e servi¸cos finais produzidos durante um determinado per´ıodo de tempo (geralmente um ano) dentro dos limites territoriais de um pa´ıs [6]. O Brasil exportou US$ 58.4 bilh˜oes de d´olares em produtos agr´ıcolas no ano de 2008. No entanto, em 2009 houve um decl´ınio de 14% nos pre¸cos, comparado com 2008. Essa queda nas cota¸c˜oes se deu, principalmente, em fun¸ca˜o da crise financeira mundial ocorrida em meados de 2008 [7]. A Tabela 1.1 descreve a balan¸ca comercial brasileira (em US$ bilh˜oes) entre os anos 1.
(24) 2 de 2000 e 2013. A linha referente ao ano de 2009 encontra-se em negrito, indicando o per´ıodo em que ocorre queda na exporta¸ca˜o, importa¸c˜ao e no saldo do agroneg´ocio, ap´os uma sequˆencia crescente observada nos anos anteriores. Tabela 1.1: Balan¸ca comercial brasileira entre 2000 e 2013 (em US$ bilh˜oes). Per´ıodo. Exporta¸c˜ oes. Importa¸c˜oes. Saldo Geral. Saldo Agroneg´ocio. 2000. 55.119. 55.851. -0.732. 14.811. 2001. 58.287. 55.602. 2.685. 19.016. 2002. 60.439. 47.243. 13.196. 20.347. 2003. 73.203. 48.326. 24.878. 25.848. 2004. 96.677. 62.836. 33.842. 34.134. 2005. 118.529. 73.600. 44.929. 38.416. 2006. 137.807. 91.351. 46.457. 42.727. 2007. 160.649. 120.617. 40.032. 49.696. 2008. 197.942. 172.985. 24.958. 57.714. 2009. 152.995. 127.722. 25.272. 54.800. 2010. 201.915. 181.768. 20.147. 63.000. 2011. 256.040. 226.243. 29.796. 77.510. 2012. 242.580. 223.142. 19.438. 79.408. 2013. 242.178. 239.617. 2.561. 82.907. Fonte: CONAB / Min. da Agricultura / Min. do Desenvolvimento [5; 8; 9].. Considerando que o setor agr´ıcola ´e de suma importˆancia para a sanidade econˆomica e por ser um grande investidor em tecnologias ambiental e rural, o Brasil n˜ao pode sucumbir a` ideia de uma desacelera¸ca˜o neste setor. O Governo Federal brasileiro tomou algumas medidas adequadas para diminuir os efeitos da crise econˆomica de 2008-2009. No setor agr´ıcola, houve aumento do limite dos compuls´orios e libera¸c˜ao de mais recursos para poupan¸ca rural e cooperativas [7]. A partir do quarto trimestre de 2008 at´e esse mesmo per´ıodo de 2009, a economia brasileira passou por um momento em que os ´ındices de crescimento despencaram para abaixo dos 2% negativos em m´edia por trimestre, um reflexo da forte retra¸c˜ao pela qual uma economia dependente da exporta¸ca˜o de commodities passaria diante de um cen´ario de intensa crise de demanda [10]. A turbulenta crise financeira mundial iniciada com a crise do mercado subprime americano, interrompeu a trajet´oria do crescimento da economia mundial, causando retra¸c˜ao nas exporta¸c˜oes. DEINFO. UFRPE.
(25) Cap´ıtulo 1. Introdu¸ca˜o. 3. O subprime ´e um cr´edito a habita¸ca˜o de alto risco destinado a uma fatia da popula¸ca˜o com rendimentos mais baixos e com uma situa¸ca˜o econˆomica mais inst´avel [11]. De acordo com Galle et al. [12], trata-se de modalidade de empr´estimo de segunda linha que apresenta maior risco de inadimplˆencia por se tratar de pessoas de baixa renda, muitas vezes com hist´orico de pagamento n˜ao muito bom. Os efeitos da crise do subprime, associados a` valoriza¸c˜ao do real frente ao d´olar surtiram efeitos na balan¸ca comercial do agroneg´ocio brasileiro j´a no ano de 2009, tendo as exporta¸c˜oes recuadas em 11.27% em compara¸c˜ao com o ano anterior e as importa¸co˜es queda de 29.71%. Em 2008 o agroneg´ocio apresentou saldo positivo em sua balan¸ca comercial, fato decorrente da eleva¸ca˜o dos pre¸cos das commodities no mercado internacional e da expans˜ao agr´ıcola durante o ano [7]. O objetivo geral dessa tese ´e avaliar a dinˆamica da flutua¸c˜ao dos pre¸cos das commodities no agroneg´ocio brasileiro, por meio de m´etodos da an´alise dos sistemas complexos diante da pior crise financeira internacional (2008/2009) desde a quebra da bolsa de Nova York em 1929. Objetivos espec´ıficos foram: (i) Aplicar os m´etodos Expoente de Hurst (H), Expoente de Hurst em Janela M´ovel de Tempo (Rolling Window ), Coeficiente de Correla¸ca˜o Cruzada (ρDCCA (n)), Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis (MF-DCCA), Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA) e Detrended Cross-Correlation Analysis (DCCA) para comparar as correla¸co˜es cruzadas e autocorrela¸c˜oes nos retornos das commodities analisadas para os per´ıodos pr´e-crise e p´os-crise financeira internacional. (ii) Aplicar o m´etodo Sample-Entropy em Janela M´ovel de Tempo (Rolling Window ) para os retornos das commodities e utilizar o m´etodo Cross-Sample Entropy para an´alise da complexidade entre as s´eries temporais dos retornos das commodities avaliadas nos per´ıodos anterior e posterior a crise financeira internacional. A estrutura desta tese est´a dividida em 5 cap´ıtulos. O primeiro cap´ıtulo corresponde a esta introdu¸ca˜o. No cap´ıtulo 2, apresentam-se os aspectos gerais da crise financeira mundial que ocorreu em meados de 2008 e algumas caracter´ısticas relacionadas a`s commodities, tais como: a forma em que s˜ao negociadas e a sua importˆancia econˆomica para a negociabilidade a n´ıvel mundial. Ainda no cap´ıtulo 2, h´a uma descri¸ca˜o dos m´etodos fractais e multifractais, juntamente com an´alise de correla¸co˜es de longo alcance, por PPGBEA. UFRPE.
(26) 4 meio dos m´etodos: An´alise de Hurst, An´alise de Hurst em Janela M´ovel de Tempo (Rolling Window ), Detrended Fluctuation Analysis (DFA), Detrended Fluctuation Analysis em Janela M´ovel de Tempo (Rolling Window ), Detrended Cross-Correlation Analysis (DCCA), Coeficiente de Correla¸c˜ao-Cruzada (ρ(.)), Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MF-DFA), Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis (MF-DCCA). Al´em disso, a an´alise de complexidade em s´eries temporais ´e apresentada por meio dos m´etodos Sample Entropy, Sample Entropy em Janela M´ovel de Tempo (Rolling Window ) e Cross-Sample Entropy. O conjunto de dados, sua descri¸ca˜o e os pre¸cos de fechamentos di´arios das 6 commodities agr´ıcolas analisadas e a metodologia empregada s˜ao discutidos no cap´ıtulo 3. Os resultados podem ser observados no cap´ıtulo 4, onde os m´etodos descritos do cap´ıtulo 2 s˜ao aplicados. Finalmente, o capitulo 5 apresenta as conclus˜oes e sugest˜oes para trabalhos futuros.. DEINFO. UFRPE.
(27) Cap´ıtulo. 2. Revisa˜o de Literatura 2.1. As commodities e a crise financeira. No ano de 1948 houve uma reuni˜ao das Na¸co˜es Unidas em Havana–Cuba, para tentar criar uma organiza¸c˜ao internacional para o com´ercio. Nessa reuni˜ao, definiu-se o termo commodities como todo produto de atividades agr´ıcolas, florestal e pesqueira, e todo mineral, obtidos in natura ou que sofressem alguma transforma¸ca˜o suficiente para a sua negociabilidade em quantidades significativas nos mercados mundiais. Com o passar do tempo, essa defini¸ca˜o sofreu algumas altera¸c˜oes e absorveram novas mercadorias, incorporando basicamente materiais n˜ao dur´aveis e produtos intermedi´arios como: ouro, petr´oleo, cobre, min´erio de ferro, etanol, soja, milho, trigo, a¸cu ´car, suco de laranja concentrado congelado e at´e energia el´etrica [13].. 2.1.1. Commodities. Commodity ´e um termo de l´ıngua inglesa (plural commodities), que significa merca´ utilizado nas transa¸c˜oes comerciais de produtos de origem prim´aria nas bolsas doria. E ´ um termo usado para produtos de base e em estado bruto (mat´eriasde mercadorias. E primas) ou com pequeno grau de industrializa¸ca˜o, de qualidade quase uniforme, produzidos em larga escala e por diferentes produtores. Estes produtos in natura, cultivados ou de extra¸c˜ao mineral, podem ser armazenados por determinado per´ıodo sem perda significativa de qualidade. Possuem cota¸c˜ao e negociabilidade globais, utilizando bolsas de mercadorias [9]. O que torna as commodities muito importantes na economia ´e o fato de que, embora sejam mercadorias prim´arias, ou minimamente industrializadas possuem negociabilidade global. Isto ocorre em bolsas de mercadorias, portanto seus pre¸cos s˜ao definidos 5.
(28) 6. 2.1. As commodities e a crise financeira. em n´ıvel global, pelo mercado internacional de acordo com fatores de oferta e demanda. Por este motivo s˜ao suscet´ıveis a oscila¸co˜es nas cota¸co˜es de mercado, em virtude de perdas e ganhos nos fluxos financeiros no mundo [14]. Em geral, as commodities s˜ao produzidas em grandes quantidades por v´arios produtores/empresas. N˜ao apresentam diferencia¸ca˜o (apresentam baixo valor agregado), marca de referˆencia ou servi¸co que as diferenciem. Basicamente, s˜ao negociadas em duas formas: mercado `a vista e futuro (fecha-se um contrato para entrega/pagamento futuro) e nas Bolsas de Mercadorias, onde s˜ao negociadas em quantidades padr˜oes: por exemplo, na BM&FBOVESPA o d´olar ´e negociado em contratos de US$ 10.000 e o caf´e em contratos de 100 sacas de 60 Kg. Os principais tipos de commodities s˜ao [14]: (i) Agr´ıcolas. Exemplos: caf´e, trigo, soja, milho, a¸cu ´car, farelo de soja; (ii) Minerais. Exemplos: ouro, petr´oleo, ferro, alum´ınio; (iii) Financeiras. Exemplos: d´olar, euro, real, ´ındices futuros; (iv) Ambientais. Exemplos: cr´editos de carbono, condi¸co˜es clim´aticas m´edias em regi˜oes do planeta; (v) Recursos energ´eticos. Exemplo: energia el´etrica; (vi) Qu´ımicas. Exemplos: a´cido sulf´ urico, sulfato de s´odio, fertilizantes.. 2.1.2. A Crise Subprime. O mercado subprime 1 entrou na economia ap´os a crise das empresas “ponto com” nos Estados Unidos (EUA). O Federal Reserve (Fed), uma esp´ecie de banco central americano, reduziu a taxa de juros para acelerar a economia. Com isso, o setor imobili´ario aproveitou o crescente momento de cr´edito (os juros chegaram a 1% ao ano). Era vi´avel e acess´ıvel para a maioria das pessoas realizar compra da casa pr´opria. Assim, muitas pessoas compraram casas financiadas e quem j´a era propriet´ario de im´ovel, hipotecava usando o dinheiro para quitar d´ıvidas ou gastar mais. A compra de im´oveis se transformou em investimento e acreditava-se na valoriza¸ca˜o. Os subprime foram transformados em pap´eis e vendidos para outras institui¸c˜oes financeiras, que por sua vez, emprestavam novas quantias antes mesmo de receber pelos pap´eis comprados. Isso tudo se tornou em um ciclo de d´ıvidas [12]. 1. Para maiores detalhes, o filme Inside Job (dublado em portuguˆes) descreve a crise financeira de. 2008. Este filme foi vencedor de v´ arios prˆemios. Assita em: http://www.filmesonlinegratis.net/ assistir-trabalho-interno-dublado-online.html.. DEINFO. UFRPE.
(29) Cap´ıtulo 2. Revis˜ao de Literatura. 7. Com a eleva¸ca˜o das taxas de juros, o cr´edito encareceu, o mercado imobili´ario desaqueceu, houve desvaloriza¸ca˜o do pre¸co dos im´oveis, pois j´a n˜ao era mais interessante comprar im´oveis com juros altos. Consequentemente, quem comprou casas n˜ao conseguiu vendˆe-las [12]. Em 2006, iniciou-se um acelerado processo de execu¸ca˜o de hipotecas dos EUA, o que resultaria em uma crise de propor¸c˜oes globais [15]. Resultado: a pior crise desde 1929. Ou ´ltimo trimestre de 2008 marcou o agravamento da crise financeira mundial originada no mercado de hipotecas de alto risco (subprime) dos Estados Unidos. Esta ´e considerada a maior crise do capitalismo moderno desde 1929 (quando a bolsa de Nova York quebrou) [12; 16; 17]. A falˆencia do banco de investimento Lehman Brothers2 no dia 15 de setembro de 2008 marca a transforma¸c˜ao da crise financeira internacional [18]. A crise passou a ser global, afetando todas as classes de t´ıtulos financeiros, comprometendo o desempenho do com´ercio internacional e das economias emergentes e avan¸cadas [19]. Ainda em seu in´ıcio, a crise causou uma perda acumulada de 2.2 trilh˜oes de d´olares [20].. 2.1.3. Consequˆ encias da crise no Brasil. At´e setembro de 2008, n˜ao se poderia prever uma valoriza¸ca˜o do real frente ao d´olar americano, devido a pol´ıtica monet´aria rigorosa adotada pelo governo brasileiro. Muitas empresas apostaram que o d´olar continuaria caindo at´e o final do ano de 2008. Quando o d´olar come¸cou a subir, houve a necessidade de cobrir os preju´ızos que somaram mais de 5 bilh˜oes de reais. Em setembro de 2008, com a queda do banco norte-americano Lehman Brothers, ocorre uma grande redu¸ca˜o do cr´edito internacional e o d´olar dispara no Brasil [11]. A crise internacional de confian¸ca nos bancos e a falta de cr´edito externo afetaram os pequenos e m´edios bancos no Brasil. O Banco Central brasileiro realizou mudan¸cas no recolhimento de dep´ositos compuls´orios, beneficiando bancos menores e institui¸c˜oes que trabalhavam com leasing 3 [7].. 2. Filme legendado em portuguˆes: os u ´ltimos dias do Lehman Brothers. Assista em https://www.. youtube.com/watch?v=s6QRJT1vBD4 3 Leasing: ´e um sistema de arrendamento mercantil, ou seja, de aluguel com op¸c˜ao de compra [21].. PPGBEA. UFRPE.
(30) 8. 2.2. Fractais e Multifractais. 2.2. Fractais e Multifractais. 2.2.1. Fractais. Modelos com estrutura fractal s˜ao usados para representar ou descrever uma grande variedade de processos naturais em v´arios campos da ciˆencia, desde a geologia `a astrof´ısica e da f´ısica a` biologia. Os fractais s˜ao conjuntos cuja forma ´e extremamente irregular ou fragmentada. Al´em disso, tˆem essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas [22; 23]. Algumas aplica¸co˜es dentre muitas incluem: compacta¸ca˜o de imagens [24], codifica¸ca˜o e decodifica¸ca˜o de ´audio e v´ıdeo [25], classifica¸c˜ao de imagens e estudo de paisagens [26]. As principais propriedades que caracterizam e que permitem definir os conjuntos fractais s˜ao as seguintes [27]: (i) Autossimilaridade: partes do objeto se assemelham ao todo. A autossimilaridade pode ser exata (determin´ıstica) ou estat´ıstica (estoc´astica). Isto significa que o sistema ´e invariante (mant´em a mesma forma e estrutura) sob uma transforma¸ca˜o de escala (transforma¸ca˜o que reduz ou amplia o objeto ou parte dele); (ii) Extrema irregularidade: no sentido de rugosidade (n˜ao-suavidade) ou fragmenta¸c˜ao; (iii) Dimens˜ao fractal: possuem, em geral, uma dimens˜ao fractal n˜ao-inteira. Essa dimens˜ao quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmenta¸ca˜o do conjunto considerado. Uma alta dimens˜ao monofractal significa um maior grau de complexidade, uma estrutura de forma mais irregular [23; 28; 29]. Os fractais geom´etricos podem ser classificados em duas categorias [23; 30–32]: (i) Fractais determin´ısticos: s˜ao gerados por meio de itera¸c˜oes e possuem autossimilaridade exata em todas as escalas. Exemplos de fractais determin´ısticos: conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, triˆangulo de Sierpinski, curvas de Peano, floco de neve de Kock, etc. (ii) Fractais estoc´asticos: s˜ao fractais gerados por processos estoc´asticos, que possuem autossimilaridade estat´ıstica. S˜ao conhecidos tamb´em por fractais naturais. Exemplos de fractais naturais: ´arvores, nuvens, linhas costeiras, sistemas fluviais, relˆampagos, redes arteriais, neurˆonios, etc. DEINFO. UFRPE.
(31) Cap´ıtulo 2. Revis˜ao de Literatura. 9. As primeiras quatro itera¸c˜oes do fractal determin´ıstico do triangulo Sierpinsk est˜ao apresentadas na Figura 2.1 e autossimilaridade estoc´astica pode ser observada na Figura 2.2.. Figura 2.1: Fractal determin´ıstico. Triˆangulo de Sierpinski.. Figura 2.2: Exemplo de fractal estoc´astico: br´ocolis romanesco. A complexidade geom´etrica de um fractal pode ser descrita, de uma forma geral, por sua dimens˜ao [23; 30]. Dentre as caracter´ısticas que definem um fractal, sua dimens˜ao ´e a mais importante. A dimens˜ao fractal representa o grau de irregularidade e ocupa¸ca˜o no espa¸co. Assim, quanto maior a irregularidade de uma forma, maior ´e a sua dimens˜ao fractal. Essa caracter´ıstica da dimens˜ao fractal a torna uma ferramenta muito u ´til para a compara¸c˜ao de diferentes formas fractais [33].. PPGBEA. UFRPE.
(32) 10. 2.2. Fractais e Multifractais A dimens˜ao fractal representa o grau de ocupa¸ca˜o de uma estrutura fractal no. espa¸co que a cont´em [1]. A seguir, apresenta-se um exemplo do c´alculo de dimens˜ao de objetos conhecidos. A Figura 2.3 ilustra trˆes objetos: uma reta, um quadrado e um cubo.. Figura 2.3: Segmento de reta, quadrado e cubo divididos em partes menores, semelhantes a inicial. Fonte: [1]. De a cordo com a Figura 2.3, o segmento de reta ´e dividido em 5 partes iguais, o quadrado em 9 e o cubo em 8. Cada uma dessas partes se apresenta semelhante a` figura inicial. Observa-se que ao multiplicar cada parte do segmento de reta por 5 (51 ), obt´em-se a reta toda. Portanto, o fator de aumento ´e 5. Em rela¸c˜ao ao quadrado, o fator de aumento ´e 3 (32 = 9). Por u ´ltimo, o fator de aumento ´e 2 para o cubo (23 = 8). As dimens˜oes s˜ao respectivamente: 1, 2 e 3. Portanto, tem-se a seguinte rela¸ca˜o: (i) No segmento de reta, o n´ umero de partes menores ´e 5, podendo ser escrito como 5 = 51 , onde 5 ´e o fator de aumento e 1 ´e a dimens˜ao do segmento. (ii) Para o quadrado, tem-se 9 partes menores, isto ´e, existem 9 = 32 quadrados menores. Assim, 3 ´e o fator de aumento e 2 representa a dimens˜ao do quadrado. (iii) Em rela¸c˜ao ao cubo, obt´em-se 8 partes menores, ou seja, 8 = 23 cubos menores. Portanto, o fator de aumento ´e 2 e a dimens˜ao do cubo ´e 3. O n´ umero np de partes de um objeto geom´etrico auto-semelhante, em geral, ´e dado por: np = mD. (2.1). onde m ´e o fator de aumento e D ´e a dimens˜ao do objeto geom´etrico inicial. Assim, para obter a dimens˜ao de um objeto qualquer, basta encontra o valor de D, aplicando o logar´ıtmo em ambos os lados da Equa¸c˜ao 2.1. Portanto, segue que log np D= (2.2) log m onde np ´e o n´ umero de partes em que o objeto foi dividido e m ´e o fator de aumento. DEINFO. UFRPE.
(33) Cap´ıtulo 2. Revis˜ao de Literatura. 11. Para fractais determin´ısticos, a dimens˜ao fractal pode ser calculada da seguinte forma: seja N (l) o n´ umero de unidades da estrutura em escala l. A retra¸ca˜o da escala b vezes gera um novo n´ umero de unidades estruturais.. l = N (l)bdf b. . N. (2.3). Assim, a dimens˜ao fractal df pode ser calculada por . log df =. . N l/b N (l). . log b. (2.4). Alguns exemplos de fractais determin´ısticos e suas dimens˜oes [34]: (i) O conjunto de Cantor: para obter o conjunto de Cantor, deve-se remover um ter¸co central do segmento. Na primeira itera¸c˜ao, sobram dois segmentos de tamanho 1/3. Removendo um ter¸co central de cada um deles, sobram 22 segmentos de tamanho 1/32 . Na itera¸c˜ao n, sobram 2n segmentos de tamanho 1/3n . A Figura 2.4 exibe algumas itera¸co˜es do Conjunto de Cantor.. Figura 2.4: Conjunto de Cantor. Fonte: [2]. Como o conjunto ´e formado pelas duas c´opias com escala de 1/3, sua dimens˜ao log 2 = 0.6309. ´e df = log 3 (ii) Curvas de Koch: um segmento ´e substitu´ıdo por um segmento polinomial formado por 4 segmentos de tamanho 1/3. O processo ´e aplicado indefinidamente em cada um dos segmentos. Na etapa n, ter´a uma linha poligonal com 4n segmentos de tamanho 1/3n . Esta curva ´e cont´ınua, mas n˜ao tem derivadas em nenhum ponto.. A curva de Koch ´e formada pelas 4 c´opias com redu¸ca˜o de 1/3. Logo, sua log 4 dimens˜ao fractal ´e de df = = 1.2618. A Figura 2.5 descreve o Conjunto de log 3 Koch. PPGBEA. UFRPE.
(34) 12. 2.2. Fractais e Multifractais. Figura 2.5: Curvas de Koch. Fonte: [2]. (iii) A Esponja de Menger ´e constru´ıda a partir de um cubo, por meio do seguinte processo recursivo [1]: (1) Considere um cubo qualquer (Figura 2.6 (a)); (2) Divida cada face do cubo em 9 quadrados. Desse modo, o cubo inicial fica subdividido em 27 cubos menores; (3) Remova o cubo localizado no meio de cada face e o cubo central, deixando apenas 20 cubos restantes (Figura 2.6 (b)). Este ´e o primeiro n´ıvel da Esponja de Menger. (4) Repita os passos 2 e 3 para cada um dos 20 pequenos cubos restantes do n´ıvel anterior. Assim, obtemos o segundo n´ıvel da Esponja (Figura 2.6 (c)). Note que, neste n´ıvel, ocorre a divis˜ao de cada um dos 20 cubos do n´ıvel anterior em outros 20 cubos menores, obtendo no final 202 cubos. (5) A Esponja de Menger ´e o limite deste processo depois de um n´ umero infinito de itera¸co˜es.. Figura 2.6: Esponja de Menger. Fonte: [1]. A esponja de Menger ´e formada pelas 20 c´opias com redu¸c˜ao de 1/3. Logo, sua log 20 dimens˜ao fractal ´e de df = = 2.727. log 3. DEINFO. UFRPE.
(35) Cap´ıtulo 2. Revis˜ao de Literatura. 13. Para fractais estoc´asticos, a dimens˜ao fractal pode ser calculada por: V (R) ∝ Rdf. (2.5). onde V (R) ´e o volume da regi˜ao de dimens˜ao linear R e df a dimens˜ao fractal, um n´ umero n˜ao inteiro menor que a dimens˜ao euclideana D do espa¸co em que o fractal se encontra. Existem v´arios m´etodos para calcular a dimens˜ao fractal, dentre eles, os mais usados s˜ao: m´etodo da contagem de caixas (box-counting), dimens˜ao de informa¸ca˜o e dimens˜ao de correla¸ca˜o [31]. M´ etodo da contagem de caixas Para calcular a dimens˜ao fractal, utiliza-se uma grade retangular de tamanho ε. Cobre-se o objeto com uma grade de tamanho ε e contam-se o n´ umero das caixas n(ε) que cont´em pelo menos um ponto do objeto, onde n(ε) ∼ ε−D0 . Repete-se o procedimento para diferentes tamanhos de caixas e faz-se um gr´afico log-log de n(ε) versus ε. A inclina¸ca˜o negativa desse gr´afico ´e a dimens˜ao box-counting, que ´e definida formalmente por [35]:. D0 ≡ lim. ε→0. 1 log n(ε). log ε. log n(ε) ε→0 log ε. = − lim. (2.6). A estimativa da dimens˜ao box-counting ´e a inclina¸ca˜o negativa da reta no gr´afico log-log de n(ε) versus ε [35–37]. A Figura 2.7 ilustra um exemplo do m´etodo boxcounting cuja dimens˜ao ´e 0.5642.. Figura 2.7: Exemplo do uso do m´etodo box-counting.. PPGBEA. UFRPE.
(36) 14. 2.2. Fractais e Multifractais. Dimens˜ ao da informa¸c˜ ao A dimens˜ao da informa¸ca˜o est´a relacionada com a probabilidade de encontrar um ponto da estrutura dentro de uma caixa. Cobre-se o objeto com uma grade de tamanho ε e conta-se o n´ umero de pontos Mi dentro da i-´esima caixa. A probabilidade de Mi encontrar um ponto escolhido ao acaso dentro da i-´esima caixa ´e Pi = , onde M ´e M o n´ umero total de pontos da estrutura. A dimens˜ao da informa¸c˜ao ´e definida por: PM. D1 ≡ lim. Pi logPi log ε. i=1. ε→0. (2.7). A estimativa da dimens˜ao de informa¸ca˜o ´e a inclina¸ca˜o da reta no gr´afico log-log de. M X. Pi logPi versus ε [35–37].. i=1. Dimens˜ ao de correla¸c˜ ao A dimens˜ao de correla¸c˜ao, proposta por Grassberger & Procaccia [38; 39], est´a relacionada com o n´ umero de pontos cuja distˆancia entre si ´e inferior a ε. A dimens˜ao de correla¸ca˜o ´e definida por: D2 ≡. log C(M, ε) ε→0,M →∞ log ε lim. (2.8). onde C(M, ε) =. X 1 ψ(ε − ||xi − xj ||) M (M − 1) i6=j. (2.9). ´e a integral de correla¸c˜ao em que ψ(.) representa a fun¸ca˜o indicadora e M ´e o n´ umero total de pontos da estrutura. A estimativa da dimens˜ao de correla¸ca˜o ´e dada pela inclina¸ca˜o da reta no gr´afico log-log de C(M, ε) versus ε.. DEINFO. UFRPE.
(37) Cap´ıtulo 2. Revis˜ao de Literatura. 2.2.2. 15. Multifractais. O termo Multifractal se refere a uma cole¸ca˜o de simples fractais entrela¸cados, em que, cada um possui sua pr´opria dimens˜ao fractal. Assim, um objeto multifractal necessita de uma hierarquia de expoentes de escala para caracterizar sua estrutura. Consequentemente, pode-se dizer que um objeto multifractal pode ser visto como uma extens˜ao de objetos fractais [30; 40]. Alguns exemplos de objetos multifractais: tempestade com raios, nuvens, partituras musicais [41].. 2.2.3. An´ alise Multifractal. A an´alise multifractal fornece mais informa¸co˜es acerca do espa¸co de propriedades do que a an´alise monofractal. A vantagem da an´alise multifractal ´e que ela caracteriza as propriedades de escalas locais, al´em das propriedades globais [28; 30]. Para o c´alculo da dimens˜ao generalizada Dq , pode-se utilizar o m´etodo box-counting em que analisase o n´ umero de part´ıculas dentro de uma regi˜ao da estrutura [42; 43]. Para calcular a dimens˜ao multifractal generalizada, deve-se cobrir a estrutura analisada com caixas de aresta de tamanho ε, para diferentes valores de ε, registrando os valores de Mi dentro da i-´esima caixa, onde M0 ´e n´ umero total de part´ıculas do sistema e L ´e a dimens˜ao linear do sistema. A dimens˜ao generalizada Dq ´e definida por: X Mi q i. M0. ε ∼ L . (q−1)Dq. (2.10). onde q ´e uma vari´avel cont´ınua que permite observar as propriedades fractais em diferentes escalas. Valores positivos de q representam regi˜oes com maior densidade e valores negativos de q regi˜oes com baixa densidade. Para estruturas monofractais, todas as dimens˜oes generalizadas s˜ao iguais, resultando em um u ´nico valor de dimens˜ao fractal. Para uma abordagem alternativa da multifractalidade, usa-se o espectro f (α) [30; 43; 44], onde: N (α) = L−f (α). (2.11). representa o n´ umero de caixas N (α) tal que a probabilidade Pi de encontrar uma part´ıcula dentro da i-´esima caixa segue uma lei de potˆencia. Pi = L α i. (2.12). sendo f (α) a dimens˜ao fractal da uni˜ao de regi˜oes com singularidade entre α e α + dα, com α variando em (−∞, ∞). A rela¸ca˜o entre a fun¸c˜ao Dq e o espectro f (α) ´e feita PPGBEA. UFRPE.
(38) 16. 2.2. Fractais e Multifractais. via transformada de Legendre . . f α(q) = q α(q) − τ (q). (2.13). em que α(q) =. ∂τ (q) ∂q. (2.14). e τ (q) ≡ (q − 1)Dq. (2.15). No caso de estrutura monofractal, a dimens˜ao fractal n˜ao depende de q (Dq ≡ D) e usando as Equa¸co˜es 2.13, 2.14 e 2.15, tem-se que f (α) = D e o espectro f (α) consiste em um u ´nico ponto, onde f (α) ´e igual a dimens˜ao fractal da estrutura. Para multifractais Fq () ´e uma fun¸c˜ao decrescente em rela¸c˜ao a q e f (α) uma fun¸c˜ao cˆoncava para baixo [30; 45].. 2.2.4. Processos Fractais. Flutua¸c˜oes em s´eries temporais possuem a caracter´ıstica de autossimilaridade estat´ıstica de forma an´aloga a objetos fractais nas v´arias escalas espaciais. Desta forma, caracter´ısticas fractais podem ser estendidas a s´eries temporais com flutua¸c˜oes em v´arias escalas de tempo. Considere uma s´erie temporal {x(t)|t = 1, · · · , N } que possui propriedade de autossimilaridade com o parˆametro α se: α. x(t) = a x. t a. . (2.16). em que = se refere a igualdade de propriedades estat´ısticas. Essa igualdade surge devido a mudan¸cas de escalas para t e x(t) usando diferentes fatores: t → t/a e x(t) → aα x(t). O expoente α ´e denominado de parˆametro de autossimilaridade [46].. DEINFO. UFRPE.
(39) Cap´ıtulo 2. Revis˜ao de Literatura. 2.3. 17. An´ alise de Correla¸ c˜ oes de Longo Alcance em S´ eries Temporais Fractais. 2.3.1. An´ alise da Fun¸ c˜ ao de Autocorrela¸c˜ ao. Sabe-se que uma s´erie temporal ´e estacion´aria quando ela flutua em torno de uma mesma m´edia ao longo do tempo, consequentemente todas as distribui¸co˜es unidimensionais s˜ao invariantes sob transla¸c˜ao do tempo. Para s´eries temporais estacion´arias, com m´edia x¯ e variˆancia σ 2 , a fun¸ca˜o de autocorrela¸ca˜o ´e definida como: E. h. ih. x(i) − x¯ x(i + t) − x¯. Fac (t) =. i. σ2. (2.17). Para uma s´erie n˜ao correlacionada, Fac (t) = 0 para t > 0. Para uma s´erie que possui correla¸c˜ao de curto alcance Fac (t) tem um decaimento exponencial onde Fac (t) ∼ exp(−t/t0 ), sendo t0 uma escala caracter´ıstica. Para uma s´erie que possui correla¸ca˜o de longo alcance, Fac (t) tem decaimento seguindo uma lei de potˆencia Fac (t) ∼ t−γ , com o expoente de correla¸ca˜o 0 < γ < 1. No caso de s´eries n˜ao-estacion´arias, a m´edia n˜ao est´a bem definida e para grandes escalas t, Fac (t) flutua ao redor de zero, o que dificulta a obten¸ca˜o do expoente de correla¸ca˜o γ [47].. 2.3.2. Teste de Correla¸ c˜ ao-Cruzada. Utilizou-se o teste de correla¸co˜es-cruzadas proposto por Podobnik et al. [48]. O objetivo deste teste ´e qualificar as correla¸co˜es-cruzadas em existentes ou n˜ao existentes. O teste foi realizado para cada par entre as commodities analisadas (C6,2 = 15 pares). Este teste ´e an´alogo ao teste de Ljung-Box [49], sendo amplamente usado para testar correla¸c˜oes-cruzadas [50–55]. A correla¸c˜ao-cruzada entre duas s´eries {x(t)|t = 1, 2, · · · , N } e {y(t)|t = 1, 2, · · · , N } ´e definida como Qcc (p) = N 2. p X. C 2 (t) t=1 N − t. (2.18). onde o coeficiente de correla¸c˜ao-cruzada C(t) ´e definido por N X. x(k)y(k − t). k=t+1. C(t) = v u. (2.19). N N uX X t x2 (k) y 2 (k) k=1. PPGBEA. k=1. UFRPE.
(40) 18. 2.3. An´alise de Correla¸co˜es de Longo Alcance em S´eries Temporais Fractais Podobnik et al. [48] propuseram que a estat´ıstica de correla¸ca˜o-cruzada Qcc (p) segue. aproximadamente uma distribui¸ca˜o Qui-quadrado com p graus de liberdade, ou seja, Qcc (p) ≈ χ2 (p). Ela pode ser usada para testar a hip´otese de nulidade (H0 ) de que nenhum dos p primeiros coeficientes de correla¸co˜es-cruzadas ´e diferente de zero [48]. Estas s˜ao as hip´oteses a serem testadas: H0. : Qcc (p) = 0 (N˜ao h´a correla¸c˜ao-cruzada entre as s´eries temporais x(t) e y(t)). H. : Qcc (p) 6= 0 (H´a correla¸c˜ao-cruzada entre as s´eries temporais x(t) e y(t)). 1. 2.3.3. An´ alise Espectral. O espectro de potˆencias ´e definido como a transformada de Fourier da fun¸ca˜o de autocorrela¸c˜ao [56; 57]: ∞ X. S(f ) = Fac (0) + 2. Fac (n)cos(2πf n). (2.20). n=1. Para s´eries temporais que possuem correla¸ca˜o de longo alcance S(f ) segue uma lei de potˆencia S(f ) ∼ f −β. (2.21). com β = 1−γ. O expoente espectral β e o expoente de correla¸ca˜o γ s˜ao obtidos atrav´es da inclina¸c˜ao da reta no gr´afico log-log de S(f ) versus f . A an´alise espectral ´e aplicada apenas a s´eries temporais estacion´arias.. 2.3.4. An´ alise de Hurst. Este m´etodo ´e baseado no passeio aleat´orio e foi desenvolvido pelo engenheiro inglˆes H. E. Hurst. Ele estudou a hidrologia do Rio Nilo, Egito, investigando os per´ıodos de cheia [58–60]. A seguir, apresentam-se os passos para a realiza¸c˜ao da an´alise cl´assica de Hurst. (i) Divide-se a s´erie original {x(t)|t = 1, · · · , N } em Nn = int(N/n) segmentos de tamanho n e, em cada segmento s, com s = 1, · · · , Nn , a s´erie original ´e integrada pela equa¸c˜ao: Xsk =. k X. . . x (s − 1)n + i − hxs i. (2.22). i=1. onde hxs i = DEINFO. n 1X x (s − 1)n + i ´e a m´edia local da s´erie no s-´esimo segmento. n i=1. UFRPE.
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