Similaridade entre a estrutura algébrica associada a espaços projetivos e design combinatório via diagrama de Hasse

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ISSN 2316-9664 Volume 7, dez. 2016

Edic¸˜ao ERMAC

Leandro Bezerra de Lima CPAq-UFMS /

FEEC-UNICAMP

leandro.lima@ufms.br

Reginaldo Palazzo J ´unior FEEC-UNICAMP

palazzo@dt.fee.unicamp.br

Similaridade entre a estrutura alg´ebrica associada

a espac¸os projetivos e design combinat´orio via

diagrama de Hasse

Similarity between the algebraic structure

associated with projective space and combinatorial

design via Hasse diagram

Resumo

Design combinatório é uma importante estrutura combinatória com elevado grau de regularidade, que está relacionada a existência e construção de conjuntos de cardinalidade finita. Codificação em espaço projetivo é uma área de pesquisa muito recente e tem como elemento um objeto matemático composto por todos os subespaços vetoriais de um dado espaço vetorial, chamado espaço projetivo. Munido da distância de subespaço, o espaço projetivo torna-se um espaço métrico e assim, pose de-finir códigos corretores de erros nesse espaço, onde as palavras códigos agora serão subespaços e a reunião desses subespaços forma o código de subespaço. Propomos apresentar algumas si-milaridades existentes entre alguns espaços projetivos e uma es-trutura algébrica por meio do design combinatório, com intuito, de fornecer elementos que possam ser úteis para a elaboração e construção de algumas classes de códigos de subespaços.

Palavras-chave: Matemática Discreta, Design Combinatório, Espaço Projetivo, Códigos de Subespaço.

Abstract

Combinatorial design is an important combinatorial structure having a high degree of regularity and which is related to the existence and construction of systems of sets with finite cardinality. Projective space of order m over a finite field Fp, denoted by P(Fmp), (note that Fpm

is isomorphic to Fmp), is the set of all the subspaces in the vector

space Fmp. The projective space endowed with the subspace distance

d(X ,Y ) = dim(X ) + dim(Y ) − 2dim(X ∩ Y ) is a metric space. Hence, the subspace codeC with parameters (n,M,d) in the projective space is a subset of P(Fmp) with cardinality M with a subspace distance at

le-ast d between any two codewords. In this paper we show the existing similarity between the Hasse diagram of an Abelian group consisting of the product of multiplicative finite Abelian groups Zmp and the Hasse

diagram of the projective space P(Fmp), with the aim to provide the

ele-ments that may be useful in the identification and in the construction of good subspaces codes.

Keywords: Discrete Mathematics. Combinatorial Design. Subs-pace Code. Projective SSubs-pace.

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1 Introduc¸˜ao

Design combinatório é uma importante estrutura combinatorial com elevado grau de re-gularidade e que está relacionada à existência e construção de sistemas de conjuntos de cardina-lidade finita [1]. Inicialmente, o objetivo era consolidar a teoria de modo matematicamente coe-rente, sem entretanto focar em questões de aplicações práticas. Devido à diversidade e relevância dos problemas com aplicações práticas a inclusão ocorreu de uma forma natural. Como um exem-plo mencionamos a relação existente entre códigos corretores de erros em espaço de Hamming e design combinatório, onde as palavras-código de peso 3 do código de Hamming formam um sistema triplo de Steiner, [2, 3], assim como q-analogs de um código de peso constante no espaço de Hamming é um código na Grassmanniana do espaço projetivo, [4, 5]. Codificação em espaços projetivos é uma área de pesquisa recente e tem como elemento um objeto matemático composto por todos os subespaços vetoriais de um dado espaço vetorial, chamado espaço projetivo. Munido da distância de subespaço, o espaço projetivo torna-se um espaço métrico e assim, pode-se defi-nir códigos corretores de erros nesse espaço, onde as palavras-código agora serão subespaços e a reunião desses subespaços forma o código de subespaço, [6]. Código de subespaço é uma alter-nativa para aplicações em controle de erros em codificação de rede (do inglês Network Coding), que adicionalmente à comutação possibilita que seja realizada a codificação em cada nó, ou seja, os dados na sa´ıda estão sujeitos à transformações bem definidas e pré-estabelecidas dos dados na entrada em cada nó, permitindo assim, um aumento na taxa de transmissão da informação pela rede, [6, 7]. Neste trabalho, o objetivo é evidenciar as similaridades existentes entre as estrutu-ras algébrica e do design via o diagrama de Hasse com o objetivo de construir bons códigos de subespaços, [8, 9, 10, 11].

2 Design Combinat´orio

Definição 1 Seja X 6= /0 um conjunto com v elementos e B 6= /0 uma coleção de subconjuntos

dis-tintos de X com cardinalidade b. Definimos o par(X , B) como sendo um t-design com parˆametros

(v, k, λ ), onde 0 < k < v e λ > 0, e denotado por (v, k, λ )-design, se: • cada bloco de B cont´em exatamente k elementos;

• cada par de elementos distintos de X est´a contido em exatamente λ blocos.

Observação 2 Outra notação para a classe dos design da Definição 1 que aparece na literatura é (v, k, λ )- BIBD (do Inglês, Balanced Incomplete Block Design).

Exemplo 1 Considere o conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} com B = {123, 145, 167, 247, 256, 346, 357}.

O par(X , B) ´e um (7, 3, 1)-BIBD, ver Fig. 1.

Proposição 3 Se (X , B) é um (v, k, λ )-BIBD, então cada elemento de X pertence a r blocos, onde:

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Figura 1: Plano de Fano

Observação 4 Na literatura também encontra-se a seguinte notação para esta classe de design (v, b, r, k, λ )-BIBD, [1].

Apresentamos a seguir um resultado mais geral, v´alido para qualquer t-design.

Proposição 5 Se (X , B) é um t-design com parâmetros (v, k, λ ), com 0 < t < k < v e λ > 0, então o número de blocos b é dado por:

bk t = λv t . (2)

Definição 6 Um t-design (X , B) denotado por (v, k, λ )-BIBD é dito simétrico se | X |=| B |= v = b.

Observação 7 Da equação (1) e da Definição 6, pode-se concluir que se um (v, k, λ )-BIBD é simétrico, então k = r.

Exemplo 2 Seja X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,C, D} e B = {1234, 1567, 189A, 1BCD, 258B, 269D, 27AC, 359C, 36AB, 378D, 45AD, 468C, 479B}. Assim o par (X , B) ´e um (13, 4, 1)-BIBD sim´etrico,

onde b= v = 13 e r = k = 4.

Definição 8 Um t-design com parâmetros (v, k, 1) é definido como sendo um sistema de Steiner e é denotado por S(t, v, k).

Um caso particular de sistemas de Steiner são os sistemas triplo de Steiner com k = 3. Definição 9 Definimos um sistema triplo de Steiner de ordem v e denotamos por ST S(v) como sendo um sistema de Steiner com parâmetros S(2, v, 3).

Observação 10 Um sistema triplo de Steiner ST S(v) é um (v, 3, 1)-BIBD.

Uma condição necessária para a existência de um sistema triplo de Steiner é apresentada através da seguinte proposição.

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Proposição 11 Uma condição necessária para que exista um sistema triplo de Steiner de ordem

v, com v≥ 3, ´e que v ≡ 1 mod 6 ou v ≡ 3 mod 6.

3 Espaços Projetivos e Códigos de Subespaço

Considerando que todo espaço vetorial de dimensão m sobre um corpo finito Fqé isomorfo

a Fmq apresentamos a seguir algumas definic¸˜oes importantes.

Definição 12 O espaço projetivo é definido como o conjunto de todos os subespaços vetoriais

de Fmq e é denotado por P(Fmq). Além disso, o conjunto de todos os subespaços com uma dada

dimens˜ao k ´e denominadoGrassmanniana e denotado porG (Fm_q, k).

Observac¸˜ao 13 Note que:

P(Fmq) = m [ k=0 G (Fm q, k).

Definição 14 O n úmero de subespaços vetoriais de P(Fmq) com dimensão k é dado por

m k q = k−1

∏

i=0 qm− qi qk_{− q}i.

Definição 15 A cardinalidade de uma Grassmanniana de P(Fmq) com dimensão k é

|G (Fm_q, k) |=m k

q .

e a_{cardinalidade do espac¸o projetivo de P(F}m_q) ´e

| P(Fmq) |= m

∑

k=0 m k q .

Definição 16 Um código de subespaço é um conjunto não vazio de P(Fmq). No caso em que o

código de subespaço está contido em uma Grassmanniana de ordem k,G (Fm_q, k) = {V ∈ P(Fmq) :

dimV = k}, ou seja, todas as suas palavras-código possuem a mesma dimensão, será chamado

código de subespaço de dimensão constante. Denotamos por d a distância m´ınima do código C .

Definição 17 A distância de subespaço entre U e V é definida como:

d(U,V ) = dim(U ) + dim(V ) − 2dim(U ∩V ), (3)

onde+ e ∩ representam, respectivamente, a soma e a interseção de subespaços.

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Exemplo 3 Seja o espaço vetorial F32. Um exemplo interessante de código na Grassmanniana é o código simplexC2= {S1, S2, S3} com parâmetro (n, M, d, k) = (3, 3, 2, 2), cujas palavras-código,

ou seja, os subespac¸os vetoriais s˜ao S1 = {000, 011, 100, 111}, S2= {000, 010, 101, 111}, S3=

{000, 001, 110, 111}.

Uma forma de interpretar a definição de distância de subespaço é por meio do diagrama de Hasse.

Diagrama de Hasse é uma ferramenta matemática que representa graficamente qualquer conjunto finito parcialmente ordenado. No nosso contexto, é possivel construir o diagrama de Hasse, visto que o espaço projetivo P(Fqn) com a seguinte relação de ordem , em que V1 V2se,

e somente se, V1 é subespaço de V2, é parcialmente ordenado. Dois subespaços estão conectados

se, e somente se, V1 ´e subespac¸o de V2 e dimV2= dimV1+ 1 ou vice-versa. Logo, a partir do

diagrama de Hasse, podemos interpretar a distˆancia entre dois subespac¸os V1, V2de P(Fqn) como

o caminho de menor distˆancia, geod´esica, ligando V1e V2.

Lema 19 Sejam U e V subespaços de um espaço vetorial de dimensão n. Então a distância é máxima, isto é, ds(U,V ) = n, se, e somente se,

1. Os subespaços U e V se intersectam em um subespaço de dimensão 0; 2. dim(U ) + dim(V ) = n.

4 Relações entre Design Combinatório e Espaços Projetivos

Apresentamos alguns exemplos de design combinatório que descrevem as conexões de algumas classes de espaços projetivos.

Exemplo 4 O design (7, 3, 1)-BIBD ou ST S(7), conhecido como plano de Fano, descreve as conex˜oes do espac¸o projetivo P(F3₂), ver Fig. 4.

Exemplo 5 O design (13, 4, 1)-BIBD descreve as conex˜oes do espac¸o projetivo P(F33).

Teorema 20 Seja q ≥ 2 uma potência de primo e d ≥ 2 um inteiro. Então existe um design simétrico: (q d+1_{− 1} q− 1 , qd− 1 q− 1 , qd−1− 1 q− 1 ) − BIBD.

Corol´ario 21 Para cada potˆencia de primo q ≥ 2 e d = 2, existe um (q2+ q + 1, q + 1, 1)-BIBD

sim´etrico, isto ´e, um plano projetivo de ordem q.

Exemplo 6 Existe um (31,6,1)-BIBD simétrico (plano projetivo de ordem 5) e um (57,8,1)-BIBD simétrico (plano projetivo de ordem 7) cada descrevendo, respectivamente, os espaços projetivos P(F35) e P(F37).

(6)

Exemplo 7 O design (15, 3, 1)-BIBD que ´e um ST S(15), ou seja, um sistema de Steiner de ordem

15 descreve as conexões entre os subespaços de dimensão 1 e dimensão 2 do espaço projetivo

P(F42).

5 Estrutura Alg´ebrica para uma Classe de Espac¸os Projetivos

Apresentamos uma similaridade ou compatibilização de espaço projetivo com uma estru-tura algébrica através do diagrama de Hasse.

Considere um grupo multiplicativo Cp, onde p é um número primo, isto é, Cp= ({1, 2, 3, ...., p−

1}, p), com prepresentando o produto m´odulo p.

Exemplo 8 Note a similaridade, via os correspondentes diagramas de Hasse, entre o espac¸o

projetivo P(F22) e o grupo G = C2× C2 de ordem 4, onde × denota o produto direto, como

ilustrado nas Fig. 2 e Fig. 3.

Figura 2: Espac¸o projetivo P(F22) Figura 3: Estrutura alg´ebrica C2×C2

Exemplo 9 Novamente, note a similaridade, via os correspondentes diagramas de Hasse, entre

(7)

Figura 4: Espac¸o projetivo P(F3₂)

(8)

projetivo P(F23) e o grupo G = C3×C3de ordem 9, similar ao exemplo 8.

projetivo P(F33) e o grupo G = C3×C3×C3de ordem 27, por meio do design(13, 4, 1)-BIBD .

Podemos generalizar os exemplos anteriores, associando o design (q2+ q + 1, q + 1, 1)-BIBD

simétrico, q-primo com o espaço projetivo P(F3q) e uma estrutura algébrica G = Cp× Cp× Cp

de ordem p3, possuindo subgrupos de ordem p2, ordem p e ordem 1 que descrevem a mesma

estrutura combinatória que o espaço projetivo P(F3q). O número de subgrupos de ordem p2 é

dado por: 3 2 p = k−1

∏

i=0 p3− pi p2_{− p}i = p3− 1 p2_{− 1} p3− p p2_{− p} = p 2_{+ p + 1,}

enquanto que a quantidade de subgrupos de ordem p ´e dada por: 3 1 p = k−1

∏

i=0 p3− pi p− pi = p3− 1 p− 1 = p 2_{+ p + 1.}

Note que para p = 2 o número de subgrupos cujas ordens são 2 e 4, é igual a 7, ver Exemplo 9. Para p = 3, o número de subgrupos cujas ordens são 3 e 9 é igual a 13, ver Exemplo 11.

6 Conclus˜oes

Neste artigo apresentamos por meio de v´arios exemplos, similaridade existente entre uma

classe de espac¸os projetivos do tipo P(F3q) e uma estrutura alg´ebrica G = Cp×Cp×Cpcom p = q

primos. Tal similaridade ficou evidenciada por meio do diagrama de Hasse das duas estruturas. Acreditamos que evidenciar tal similaridade seja útil para a elaboração e construção de bons códigos de subespaço.

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