GERAÇÃO DE ESTADOS DE MAR EQUIVALENTES PARA ANÁLISES PRELIMINARES DE SISTEMAS DE RISERS
Caio Silva Brandão
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientadores: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa
Rio de Janeiro Março de 2016
GERAÇÃO DE ESTADOS DE MAR EQUIVALENTES PARA ANÁLISES PRELIMINARES DE SISTEMAS DE RISERS
Caio Silva Brandão
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
________________________________________________ Prof. Breno Pinheiro Jacob, D. Sc.
________________________________________________ Prof. Fabrício Nogueira Corrêa, D. Sc.
________________________________________________ Prof. Carl Albrecht Horst, D. Sc.
________________________________________________ Dr. Allan Carré de Oliveira, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MARÇO DE 2016
iii Brandão, Caio Silva
Geração de Estados de Mar Equivalentes para Análises Preliminares de Sistemas de Risers / Caio Silva Brandão. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2016.
XIII, 112 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 100-101.
1. Análise Preliminar. 2. Mar Equivalente. 3. Harmônico Equivalente. I. Jacob, Breno Pinheiro et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.
iv
Ao meu pai, Carlos Magno Souza Brandão, meu herói favorito.
v
Agradecimentos
À minha mãe, Carmen Silva Brandão, pela educação dada ao longo de todos os anos de minha vida e que me possibilitou atingir mais um importante objetivo de minha jornada. Pelos exemplos de superação em momentos de grandes adversidades, meu muito obrigado!
Às minhas irmãs, Carolina Silva Brandão e Camila Silva Brandão, por sempre ajudarem a me manter motivado, além do companheirismo durante meus últimos anos de estudos.
Ao meu orientador Fabrício Nogueira Corrêa, por ser a principal fonte de conhecimentos para o desenvolvimento deste trabalho.
Ao orientador e chefe do LAMCSO Breno Pinheiro Jacob, por ter confiado na minha capacidade de desenvolver este assunto e, assim, poder agregar conhecimento para o laboratório.
Aos companheiros do Laboratório de Método Computacionais e Sistemas Offshore (LAMCSO) Adolfo Correa, Aline Esperança, Débora Ladeira, Elói Araújo, Jhonathan Ribeiro, João Aro, Luiza Ortiz, Monique Alves e Rodrigo Moretti, por tornarem o ambiente de trabalho agradável e propício para a troca de informações.
Aos meus amigos Ana Carolina Mansilha, Ana Luiza Rossini, Andrej Tommasi, Claudio Daniel Tenório, Felipe Mazzei, Mayco de Souza, Pedro Paulo Nascimento e Raphael Portela, por todas as histórias vivenciadas e pela fiel amizade construída até hoje.
Ao Programa de Formação de Recursos Humanos da Petrobras (PFRH/PB) e à Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP), pelo apoio financeiro que permitiu o desenvolvimento deste estudo.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
GERAÇÃO DE ESTADOS DE MAR EQUIVALENTES PARA ANÁLISES PRELIMINARES DE SISTEMAS DE RISERS
Caio Silva Brandão
Março/2016
Orientadores: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa
Programa: Engenharia Civil
Uma atividade de grande importância durante a fase preliminar de um projeto de sistema offshore é a avaliação qualitativa dos casos de carregamentos ambientais que mais oferecem riscos de falha na estrutura. O objetivo, nesta etapa, é abrir mão de soluções de alta precisão para priorizar a eficiência computacional com resultados minimamente confiáveis. Porém, os atuais métodos disponíveis na literatura para abordagem preliminar de sistemas offshore apresentam desvantagens que podem comprometer a confiabilidade destes resultados preliminares.
Em vista disso, este trabalho desenvolve um método alternativo para análises em fases preliminares de projetos de sistemas de risers de produção offshore. Através de uma modelagem determinística simplificada do carregamento ambiental representado por um estado de mar com um pequeno número de componentes de onda, será possível, com um curto tempo de simulação, estimar valores de resposta extrema do sistema de risers. Esta modelagem simplificada está fundamentada na determinação prévia de uma faixa de frequências dos espectros de onda na qual uma parcela significativa de energia útil de resposta de movimento esteja contida.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
GENERATION OF EQUIVALENT SEA STATES FOR PRELIMINARY ANALYSES OF RISERS SYSTEMS
Caio Silva Brandão
March/2016
Advisors: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa
Department: Civil Engineering
A work of great importance during a preliminary stage of an offshore system design is to evaluate qualitatively the environment loadings cases that offer failure risks for the structure. The objective, in this phase, is to give up high precision solutions in exchange for computational efficiency with minimally reliable results. However, current methods in literature present disadvantages that can compromise the reliability of results.
Therefore, this work develops an alternative method for analyses within preliminary stages of designs of risers systems of offshore production. Through a simplified deterministic modeling of environmental loading represented by a sea state with a low number of wave components, it will be possible, with a short simulation time, estimate short-time extreme response values of the riser system. This simplified model is grounded on the previous determination of a frequency range of the wave spectra in which a significant fraction of useful energy of response movement of the system is contained.
viii
Sumário
1 Introdução ... 1 1.1 Contexto ... 1 1.2 Motivação ... 4 1.3 Objetivos ... 4 1.4 Organização do Trabalho ... 52 Modelagem de Sistemas Offshore ... 6
2.1 Introdução ... 6
2.2 Modelagem de Sistemas Offshore ... 6
2.2.1 Formulações desacopladas ... 7
2.2.2 Formulações acopladas ... 9
3 Análise estatística de processos aleatórios ... 11
3.1 Variáveis aleatórias ... 12
3.1.1 Definição de variável aleatória ... 12
3.2 Propriedades de uma variável aleatória ... 13
3.2.1 Parâmetros estatísticos de uma variável aleatória ... 15
3.3 Distribuições de probabilidade ... 17
3.3.1 Distribuição Normal ... 18
3.3.2 Distribuição Log-Normal ... 18
3.3.3 Distribuição de Weibull ... 19
3.3.4 Distribuição de Rayleigh ... 20
3.4 Ajuste de Distribuição a Dados Observados ... 20
3.4.1 Parâmetros Estatísticos a partir de uma amostra ... 20
3.4.2 Determinação da distribuição de probabilidades ... 21
3.5 Valores extremos ... 21
3.5.1 Distribuição exata de valores extremos ... 22
3.5.2 Distribuições assintóticas ... 24
3.5.3 Extremo característico ... 26
3.5.4 Determinação do máximo característico: passo-a-passo ... 27
3.6 Processo Estocástico ... 29
3.6.1 Processo estocástico estacionário... 31
3.6.2 Processo estocástico ergódico ... 32
3.7 Valores extremos de processos gaussianos ... 32
ix
4.1 Introdução ... 35
4.2 Representação de Ondas Aleatórias ... 35
4.2.1 Construção e Solução do Problema de Valor de Contorno ... 36
4.2.2 Representação Espectral ... 36
4.3 Onda de projeto ... 39
4.3.1 Proposta e formulação do método ... 39
4.3.2 Desvantagens ... 40
4.4 Harmônico Equivalente ... 41
4.4.1 Proposta e formulação do método ... 41
4.4.2 Desvantagens ... 43
4.5 Método das Janelas ... 44
4.5.1 Proposta e formulação do método ... 44
4.5.2 Desvantagens ... 47
5 Método proposto: Mar Equivalente ... 48
5.1 Descrição do método ... 48
5.2 Histórico do desenvolvimento do método ... 54
5.3 Aspectos do método ... 55
6 Aplicação do método: Resultados ... 57
6.1 Descrição dos dados dos modelos ... 57
6.1.1 Response Amplitude Operator (RAO) ... 58
6.1.2 Espectro de onda ... 58
6.2 Aplicação passo-a-passo do método: construção do Mar Equivalente59 6.3 Análises dos parâmetros do método ... 74
6.3.1 Análise de sensibilidade do parâmetro ... 75
6.3.2 Análise de sensibilidade do número de componentes de onda .... 80
6.3.3 Relação entre tempo de simulação e número de componentes ... 84
6.4 Comparação com Harmônico Equivalente ... 87
6.4.1 Descrição do Caso ... 89
6.4.2 Solução da análise completa ... 90
6.4.3 Comparação com métodos para análise preliminar ... 93
6.4.4 Custo Computacional ... 96
7 Conclusões ... 98
7.1 Conclusões do trabalho proposto ... 98
7.2 Sugestões para trabalhos futuros ... 99
8 Referência Bibliográfica ... 100
x
Índice de Figuras
Figura 1 - Coeficiente de skewness ... 17
Figura 2 – Distribuição de valores extremos para diferentes tamanhos de amostra [9] ... 24
Figura 3 – Diferentes realizações de um experimento de determinado processo aleatório. ... 31
Figura 4 – Discretização do espectro de onda ... 38
Figura 5 – Definição de amplitude e altura de uma onda regular ... 42
Figura 6 – Determinação das janelas de tempo [11] ... 46
Figura 7 – Discretização do intervalo de frequências ... 52
Figura 8 – Indicação do Norte para uma FPSO aproada a 90 graus ... 58
Figura 9 – Espectro de Jonswap utilizado nos modelos simulados ... 59
Figura 10 – Espectro de resposta de Surge ... 60
Figura 11 – Espectro de resposta de Sway ... 60
Figura 12 – Espectro de resposta de Heave ... 61
Figura 13 – Espectro de resposta de Roll ... 61
Figura 14 – Espectro de resposta de Pitch ... 62
Figura 15 – Espectro de resposta de Yaw ... 62
Figura 16 – Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Surge ... 63
Figura 17 – Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Sway ... 63
Figura 18 – Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Heave ... 64
Figura 19 – Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Roll ... 64
Figura 20 – Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Pitch... 65
Figura 21 – Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Yaw ... 65
Figura 22 – Discretização do intervalo de frequência ... 66
Figura 23 – Geração do carregamento ambiental do Mar Equivalente a partir do espectro de onda ... 67
Figura 24 – Representação gráfico da elevação da superfície do Mar Equivalente ... 68
xi
Figura 26 - Espectro de Resposta de Surge após simulação dinâmica ... 69
Figura 27 - Série Temporal de Sway após simulação dinâmica ... 70
Figura 28 - Espectro de Resposta de Sway após simulação dinâmica ... 70
Figura 29 - Série Temporal de Heave após simulação dinâmica ... 71
Figura 30 - Espectro de Resposta de Heave após simulação dinâmica ... 71
Figura 31 - Série Temporal de Roll após simulação dinâmica ... 72
Figura 32 - Espectro de Resposta de Roll após simulação dinâmica ... 72
Figura 33 - Série Temporal de Pitch após simulação dinâmica ... 73
Figura 34 - Espectro de Resposta de Pitch após simulação dinâmica ... 73
Figura 35 – Série Temporal de Yaw após simulação dinâmica ... 74
Figura 36 - Espectro de Resposta de Yaw após simulação dinâmica ... 74
Figura 37 – Valor extremo mais provável de movimento em Surge para diferentes valores de ... 76
Figura 38 – Valor extremo mais provável de movimento em Sway para diferentes valores de ... 76
Figura 39 – Valor extremo mais provável de movimento em Heave para diferentes valores de ... 77
Figura 40 – Valor extremo mais provável de movimento em Roll para diferentes valores de ... 77
Figura 41 – Valor extremo mais provável de movimento em Pitch para diferentes valores de ... 78
Figura 42 – Valor extremo mais provável de movimento em Yaw para diferentes valores de ... 78
Figura 43 – Valor extremo mais provável de tração no topo do riser para diferentes valores de ... 79
Figura 44 – Valor extremo mais provável de movimento em Surge para diferentes números de componentes de ondas ... 80
Figura 45 – Valor extremo mais provável de movimento em Sway para diferentes números de componentes de ondas ... 81
Figura 46 – Valor extremo mais provável de movimento em Heave para diferentes números de componentes de ondas ... 81
Figura 47 – Valor extremo mais provável de movimento em Roll para diferentes números de componentes de ondas ... 82
Figura 48 – Valor extremo mais provável de movimento em Pitch para diferentes números de componentes de ondas ... 82
xii
Figura 49 – Valor extremo mais provável de movimento em Yaw para diferentes
números de componentes de ondas ... 83
Figura 50 – Valor extremo mais provável de tração no topo do riser para diferentes números de componentes de ondas ... 83
Figura 51 – Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 6 componentes de onda ... 85
Figura 52 – Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 12 componentes de onda ... 86
Figura 53 – Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 24 componentes de onda ... 86
Figura 54 – Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 48 componentes de onda ... 87
Figura 55 – Modelo do Estudo de Caso com indicação dos risers ... 90
Figura 56 – RAO em Surge para uma direção de onda SE ... 102
Figura 57 – RAO em Sway para uma direção de onda SE ... 102
Figura 58 – RAO em Heave para uma direção de onda SE ... 103
Figura 59 – RAO em Roll para uma direção de onda SE ... 103
Figura 60 – RAO em Pitch para uma direção de onda SE ... 104
Figura 61 – RAO em Yaw para uma direção de onda SE ... 104
Figura 62 – RAO em Surge para uma direção de onda S ... 105
Figura 63 – RAO em Sway para uma direção de onda S ... 105
Figura 64 – RAO em Heave para uma direção de onda S ... 106
Figura 65 – RAO em Roll para uma direção de onda S ... 106
Figura 66 – RAO em Pitch para uma direção de onda S ... 107
Figura 67 – RAO em Yaw para uma direção de onda S ... 107
Figura 68 – RAO em Surge para uma direção de onda SW ... 108
Figura 69 – RAO em Sway para uma direção de onda SW ... 108
Figura 70 – RAO em Heave para uma direção de onda SW ... 109
Figura 71 – RAO em Roll para uma direção de onda SW ... 109
Figura 72 – RAO em Pitch para uma direção de onda SW ... 110
Figura 73 – RAO em Yaw para uma direção de onda SW ... 110
Figura 74 – RAO em Surge para uma direção de onda W ... 111
Figura 75 – RAO em Heave para uma direção de onda W ... 111
xiii
Índice de Tabelas
Tabela 1 – Características comuns dos modelos ... 57 Tabela 2 – Características do espectro de onda ... 59 Tabela 3 – Obtenção dos intervalos de frequência pela varredura do método Mar Equivalente ... 66
Tabela 4 – Componentes de onda do Mar Equivalente ... 68 Tabela 5 – Conexão do riser com a plataforma (modelo para análise de sensibilidade) ... 75 Tabela 6 – Análise de sensibilidade do parâmetro de varredura... 79 Tabela 7 – Análise de sensibilidade do número de componentes ... 84 Tabela 8 – Período do ciclo de carregamento em função do número de componentes ... 87 Tabela 9 – Conexão do riser com a plataforma ... 89 Tabela 10 - Valor extremo mais provável da Análise Completa – Direção SE . 91 Tabela 11 - Valor extremo mais provável da Análise Completa – Direção S ... 91 Tabela 12 - Valor extremo mais provável da Análise Completa – Direção SW 92 Tabela 13 - Valor extremo mais provável da Análise Completa – Direção W .. 92 Tabela 14 – Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh – Direção SE ... 93 Tabela 15 – Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh – Direção S ... 94 Tabela 16 – Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh – Direção SW ... 94 Tabela 17 – Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh – Direção W ... 95 Tabela 18 – Comparação entre os tempos computacionais gastos para realização das análises ... 96
1
1 Introdução
1.1 Contexto
Sistemas Offshore
A exploração e produção de óleo e gás em campos localizados no fundo do mar (offshore) é uma prática que vem se estabelecendo de maneira acelerada nos últimos anos. Além destes campos se fazerem cada vez mais presentes ao redor do mundo, a complexidade deste tipo de exploração também é um fator que passou a ser olhado com mais atenção.
Os sistemas capazes de realizar a exploração e produção de petróleo em mar são chamados de Sistemas Offshore. Neste sistema, podem ser encontrados diversos elementos constituintes, como unidades (plataformas, navios, etc), linhas de ancoragem, risers e dutos, equipamentos submarinos, entre outros. Cada um destes componentes será comentado brevemente a seguir.
Existem unidades offshore com diferentes aplicações. Nos primeiros anos das atividades da indústria offshore, as plataformas fixas eram predominantes. Estas plataformas são estruturas rígidas fixadas no solo marinho de lâmina d’água pequena, de até 300m, aproximadamente.
Porém, à medida que novos campos de petróleo de maior profundidade foram descobertos, a utilização deste tipo de plataforma foi tornando-se inviável economicamente. Para entender esta inviabilidade, deve-se ter em mente que o período natural de um sistema físico qualquer é inversamente proporcional à sua rigidez, e esta, por sua vez, diminui à medida que se aumenta a altura da estrutura.
Com a exploração de petróleo em lâminas d’água cada vez maiores, foi observado que a queda desta rigidez associada ao aumento da massa estrutural das jaquetas faria com que os período naturais dominantes da estrutura fixa aumentassem, ficando cada vez mais próximos dos períodos dos carregamentos ambientais, o que ocasionaria ocorrência de ressonância (fenômeno em que há amplificação dinâmica de movimento quando a frequência do carregamento externo se aproxima da frequência da estrutura).
Para contornar este problema, dever-se-ia aumentar a rigidez do sistema através do aumento da área seccional da estrutura fixa, o que a tornaria inviável economicamente, devida à necessidade de uma enorme quantidade de material.
Portanto, a descoberta de campos de petróleo de elevada profundidade levou os engenheiros a projetarem as chamadas estruturas flutuantes.
2
As estruturas flutuantes, por mais que possam apresentar períodos naturais próximos aos das ondas, por exemplo, nos graus de liberdade de roll, pitch e/ou
heave, não geram colapso estrutural do sistema, pois a rigidez que participa da
resposta nestes graus de liberdade é principalmente gerada pela hidrostática da unidade flutuante.
Ancoragem e Risers
Nos demais graus de liberdade: surge, sway e yaw, a rigidez é garantida principalmente pelas linhas de ancoragem que garantem o posicionamento do sistema, e contribuem para o aparecimento de períodos naturais no plano horizontal na ordem de 150 segundos a 450 segundos.
Quanto à produção, os risers e dutos são os principais elementos de um sistema offshore, pois neles é transportado o principal produto da atividade: o petróleo (ou gás). Podem ser classificados, de maneira geral, em duas categorias: flexível ou rígido. Os risers flexíveis são elementos complexos, formados por mais de uma camada, cada qual com uma função estrutural própria (anticorrosão, anti-impacto, resistência aos esforços axiais, torção, etc). Já os risers rígidos são constituídos de aço e sua estrutura é muito mais simples se comparados aos risers flexíveis. Logo, apresentam um menor custo de produção. A relação de custo de produção, vida útil e instalação é fator essencial para escolha do tipo de riser que fará parte do sistema de produção.
A evolução tecnológica observada na indústria de petróleo nas últimas décadas, impulsionada pela descoberta de poços de petróleo gradativamente mais profundos, tem viabilizado a elaboração de sistemas offshore cada vez mais sofisticados [2]. Os complexos arranjos submarinos, grandes lâminas d’águas e novas concepções de risers e linhas de ancoragem, que antes eram inconcebíveis, passaram a ser realidade para os engenheiros projetistas.
Pesquisa e Desenvolvimento
Este avanço, cujos principais responsáveis foram o setor de Pesquisa e Desenvolvimento das principais empresas do ramo e a comunidade acadêmica relacionada, teve como uma importante consequência o aumento da capacidade de análise de sistemas offshore, tanto em etapas preliminares de projeto quanto durante a própria produção do petróleo. São frutos deste avanço: ferramentas computacionais para simulação de modelos numéricos, bem como estudos científicos, tanto teóricos quanto experimentais, que agregam conhecimento quanto ao comportamento geral dos sistemas de produção.
3
São várias as etapas a serem analisadas durante a concepção de um projeto de um sistema offshore. As principais etapas, em sequência cronológica, são: exploração, perfuração, completação e produção. Todas estas fases podem ser encontradas de maneira detalhada em Thomas [1].
Todas as fases citadas anteriormente possuem sua devida relevância para o sucesso do projeto de um sistema offshore e necessitam ser realizadas em perfeita harmonia. O tipo de completação (seca ou molhada), por exemplo, irá influenciar diretamente no tipo de plataforma a ser utilizada no sistema. De modo geral, completação seca requer a utilização de plataformas fixas ou TLP’s, já que seus movimentos são restritos. Por outro lado, a completação molhada está associada geralmente ao emprego de unidades flutuantes.
Simulação Computacional
Toda simulação computacional está integralmente vinculada à elaboração de um modelo físico-matemático que seja capaz de reproduzir, a certo nível de confiança, um determinado sistema. Diz-se “simulação computacional” porque, para problemas de engenharia, dificilmente são encontradas soluções analíticas para estes modelos. Desta maneira, o modelo físico-matemático estará sempre relacionado a um modelo numérico que será capaz de encontrar soluções do problema através de algoritmos e técnicas computacionais.
O conceito de emprego eficiente de um software está intimamente ligado à relação entre o custo computacional e os benefícios oferecidos pelo mesmo. Por mais que algoritmos robustos e programas com potencial para analisar modelos cada vez mais complexos estejam disponíveis ao usuário, é intuitivo pensar que nem sempre resultados oriundos destes avançados recursos são necessários para atender suficientemente bem os objetivos de uma dada análise. É o caso, por exemplo, de avaliações durante as fases preliminares de um projeto.
Um dos interesses por trás de uma análise preliminar é determinar as situações mais críticas em que o sistema possa estar submetido ao longo de sua vida útil e que colocariam em risco a regularidade da produção e/ou sua segurança. Isso significa que resultados satisfatórios podem ser obtidos com uma precisão suficientemente adequada, mas não necessariamente elevada, dando garantias de que uma análise simples pode ser confiável. Toma-se como exemplo, para melhor ilustrar este conceito, o projeto de um sistema offshore para produção de petróleo e gás. A determinação das condições ambientais com maior potencial de danos aos elementos estruturais (linhas de ancoragem, risers, umbilicais, entre outros) pode ser possível a partir de análises preliminares.
4
Por fim, simulações mais rigorosas, com precisão maior do que aquela utilizada na fase preliminar, devem ser elaboradas no intuito de avaliar o sistema de maneira mais criteriosa e realista sobre as condições ambientais selecionadas.
1.2 Motivação
Do que foi introduzido no item anterior, pode-se concluir que uma tarefa de grande importância de cientistas e engenheiros é introduzir o máximo de simplificações possíveis no modelo físico-matemático e numérico no intuito de analisar previamente o sistema de maneira confiável com um custo computacional reduzido para a seleção de, por exemplo, casos ambientais críticos para a estrutura. A necessidade de custo computacional reduzido justifica-se pelos prazos de projeto apertados que são enfrentados pelas equipes técnicas, o que inviabiliza a análise criteriosa de todos os casos de carregamento possíveis desde as fases iniciais.
No que diz respeito às análises de risers de sistemas offshore, cita-se como exemplos o método da Onda de Projeto, e o método do Harmônico Equivalente que trata a natureza aleatória do mar irregular através de um modelo determinístico. Outro exemplo de análise de risers corresponde ao Método das Janelas. Estas simplificações, porém, podem implicar em respostas imprecisas, longe daquelas obtidas pela análise aleatória de longo prazo.
Os fatores negativos dos respectivos métodos motivaram, portanto, a elaboração de um método alternativo para a análise preliminar de risers de sistemas
offshore denominada neste texto de “Método do Mar Equivalente”, que será formulado
detalhadamente no capítulo 5.
1.3 Objetivos
O objetivo deste trabalho é elaborar um procedimento para análise simplificada com reduzido custo computacional de sistemas de risers em fases preliminares de projeto. O método, denominado neste trabalho como “Mar Equivalente”, busca oferecer uma alternativa ao método determinístico “Harmônico Equivalente” utilizado atualmente na determinação de valores extremos mais prováveis de esforços em
risers.
De maneira geral, o método tem como objetivo a realização de uma verificação prévia para determinar um intervalo de frequências útil e número de componentes mínimo para discretização do espectro de onda necessários para análise preliminares de risers. Contido neste intervalo estará uma parcela relevante de energia de movimento de primeira ordem do sistema offshore submetido a um estado de mar.
5
Portanto, o compromisso a ser assumido nesta proposta não é o de fornecer resultados tão precisos quanto numa análise refinada e detalhada, mas sim obter um procedimento para análises numéricas mais eficientes e confiáveis para etapas preliminares de um projeto de risers sistema offshore.
1.4 Organização do Trabalho
Uma descrição geral dos principais conceitos de sistemas offshore necessários ao entendimento deste trabalho será apresentada no capítulo 2, como por exemplo a possibilidade de obter respostas no domínio do tempo ou no domínio da frequência (esta noção também será aplicada posteriormente neste estudo).
No capítulo 3 deste trabalho será realizada uma revisão de conceitos de probabilidade e estatística, que serão utilizados frequentemente no pós-processamento das análises dinâmicas dos modelos a serem estudados.
No capítulo 4 serão introduzidos os métodos existentes na literatura atual direcionados a análises preliminares de projeto. Ao longo da explicação dos métodos em si serão discutidas as vantagens e desvantagens de cada método.
No capítulo 5 encontra-se a discussão principal deste trabalho. Nele, será proposto o método alternativo àqueles apresentados no capítulo anterior. A formulação passo-a-passo do método, os parâmetros de entrada do método e a descrição das vantagens e desvantagens também se farão presente.
No capítulo 6 serão modelados alguns casos para a realização de análises utilizando alguns métodos discutidos anteriormente. Duas linhas de análises serão abordadas neste capítulo: a) um estudo paramétrico sobre o método proposto no capítulo anterior, no intuito de escolher os parâmetros do método que conferirão maior confiabilidade ao método; e b) comparação entre o método proposto (com os parâmetros previamente estabelecidos pela etapa anterior) e o método do “Harmônico Equivalente”, com o fim de validar o método como uma alternativa eficiente e viável.
As principais conclusões do trabalho serão abordadas no capítulo 7, no qual todos os resultados do capítulo anterior de estudo de casos estarão sintetizados. Ao fim do capítulo serão listadas algumas sugestões para futuros trabalhos envolvendo o método do Mar Equivalente.
Por fim, o capítulo 8 conterá a referência bibliográfica utilizada para a elaboração deste texto.
6
2 Modelagem de Sistemas Offshore
2.1 Introdução
Neste capítulo serão abordados importantes tópicos no que diz respeito à representação de sistemas offshore através de modelos computacionais. Como abordado no capítulo 1, o uso de ferramentas computacionais capazes de processar tais modelos tem se tornado imprescindível nas práticas de projeto, dada a maior complexidade dos sistemas offshore. Isso porque o elevado nível de complexidade dos sistemas offshore impossibilita a obtenção de soluções analíticas para a resposta desejada, devido a fatores como a não-linearidade geométrica e do material.
Portanto, o objetivo deste capítulo é apresentar os diferentes conceitos que podem ser utilizados em projetos de sistemas de risers offshore, passando brevemente pela definição de metodologias de modelagem destes sistemas.
Programa Utilizado
Os Estudos de Casos deste trabalho foram realizados com a ferramenta numérica SITUA-Prosim. De maneira geral, o programa SITUA-Prosim incorpora, em uma única estrutura de código e de dados, um modelo hidrodinâmico para a representação do casco da unidade flutuante, e um modelo de elementos finitos para a representação rigorosa das linhas de ancoragem e risers. Nesta formulação, a cada instante do processo de integração no tempo das equações de movimento do casco, efetua-se uma análise não-linear dinâmica de um modelo de elementos finitos de cada uma das linhas, sob a ação de onda, correnteza, peso próprio e das componentes de movimento transmitidas pelo casco. A forma com que a interação entre as linhas e o casco é tratada dependerá do modelo a ser elaborado; este detalhe será comentado nas seções a seguir.
2.2 Modelagem de Sistemas Offshore
Ao retratar um sistema offshore por meio de um modelo computacional, é necessário conhecer sob quais circunstâncias a representação será realizada. Em certas ocasiões, assumir alguma hipótese simplificadora é uma grande estratégia de projeto para ganho de tempo computacional. Neste contexto, existem duas formulações de análise que podem ser utilizadas para o projeto de sistemas de risers: formulação acoplada e desacoplada. Por exemplo: em águas rasas, pode-se ignorar o acoplamento estrutural e hidrodinâmico entre as linhas de ancoragem e risers e a unidade flutuante; por outro lado, este acoplamento não pode ser completamente
7
ignorado em lâminas d’água profunda com grande número de linhas. Cabe aos projetistas responsáveis pelo projeto modelarem o sistema offshore da maneira mais conveniente possível, de acordo com o propósito da análise.
Nesta seção, serão abordados estes conceitos e alguns tipos de modelos utilizados para representar um sistema offshore e suas respectivas características. Uma explicação mais detalhada acerca do assunto pode ser encontrada na Tese de Doutorado de Corrêa, F.N. [4].
2.2.1 Formulações desacopladas
Na formulação desacoplada, todo o domínio do problema é dividido da forma mais conveniente possível, e analisados por simulações separadas. Por exemplo: para análise de risers de sistemas offshore, a formulação desacoplada está relacionada à análise da interação entre o casco da unidade flutuante e as linhas a ele conectadas.
O emprego desta formulação em uma sequencia de análises pode compor uma metodologia desacoplada para análise de movimentos de sistemas offshore que consiste basicamente em duas etapas: na primeira, as linhas de ancoragem e risers são representadas por escalares de massa, rigidez e amortecimento. Estes coeficientes podem ser calibrados via modelos analíticos, como a equação da catenária, ou modelos experimentais. Estes coeficientes são incorporados nas equações de movimento de corpo rígido que regem o comportamento do casco da unidade flutuante. Na segunda etapa, os movimentos calculados na primeira etapa são transferidos para o topo das linhas, modeladas nesta fase por elementos finitos. O objetivo desta segunda etapa é analisar sistema de risers, no que diz respeito aos seus esforços, curvaturas, interferência com outras linhas, etc.
2.2.1.1 Movimento da unidade flutuante
O movimento da unidade flutuante é estabelecido por um sistema de equações que fornece a solução para os seis graus de liberdade do espaço tridimensional. Na nomenclatura de embarcações offshore, esses graus de liberdade são Surge, Sway,
Heave, Roll, Pitch e Yaw, que correspondem aos três graus de translação e aos três
graus de rotação, respectivamente. Uma descrição detalhada acerca da dinâmica de corpos rígidos aplicada às estruturas offshore pode ser encontrada na referência [3].
As equações de movimento de um corpo rígido possuem solução analítica somente para casos muito específicos, nos quais a geometria do corpo é facilmente representável e os carregamentos externos são representados de maneira determinística. Obviamente, este não é o caso quando se trata de plataformas
8
A solução das equações para determinação do movimento da unidade flutuante quanto dos esforços nas linhas (assunto do próximo item) pode ser obtida no domínio do tempo ou da frequência, este último a partir de certas simplificações [2].
Algumas técnicas adotadas para a integração das equações de movimento ao longo do tempo são o Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem, Método de Diferença Central, ou, mais recentemente, o método híbrido tempo-frequência, HTF-GA [4].
Em simulações de sistemas offshore no domínio do tempo, é aconselhável realizar a análise dinâmica a partir dos resultados fornecidos por uma análise estática prévia, que considera somente a parcela estática dos carregamentos. Além disso, é recomendável a aplicação de uma função rampa para os carregamentos dinâmicos, no intuito de evitar forças de impacto na estrutura que não condizem com a realidade.
Quando a análise de movimentos de unidades flutuantes é solucionada no domínio da frequência, o produto principal destas simulações corresponde à função de transferência da unidade, denominada RAOs de resposta, em inglês: Response
Amplitude Operators. Estas funções são amplamente utilizadas em análises
desacopladas de risers, conforme apresentado com mais detalhes a seguir. 2.2.1.2 Análise estrutural das linhas de ancoragem e risers
Além da análise de movimento de unidades flutuantes, a formulação desacoplada também pode ser empregada no contexto da análise isolada de linhas. Neste caso, o domínio do casco é representado apenas através de seus movimentos, previamente calculados através da análise de movimentos, conforme mencionado na seção anterior. Eles são prescritos no topo das linhas de ancoragem e risers. O objetivo desta segunda etapa é analisar o comportamento hidrodinâmico e estrutural das linhas do modelo. Esta análise é formulada, do ponto de vista físico-matemático, através de um Problema de Valor Inicial e de Contorno (PVI/C). Para obter a solução deste problema complexo, assim como no item anterior, é necessário o uso de técnicas numéricas. Isto porque várias não-linearidades estão presentes neste problema. É o caso, por exemplo, dos grandes deslocamentos devido às cargas, fazendo com que as relações cinemáticas deixem de ser lineares (não-linearidade geométrica). Além disso, há possibilidade também das equações constitutivas deixarem de ser lineares (não-linearidade física).
Portanto, para obter a solução deste PVI/C, é necessário realizar a discretização nos dois domínios a serem analisados: tempo e espaço. Quanto ao domínio espacial, utiliza-se a Método dos Elementos Finitos para a discretização do Problema de Valor de Contorno. Esta é uma técnica bastante difundida no campo da engenharia, e pode ser encontrada com detalhes em Bathe [5]. Esta técnica visa a
9
transformação das equações diferenciais parciais (EDP) em equações diferenciais ordinárias (EDO) semi-discretas. O conceito por trás deste método baseia-se em dividir todo o domínio espacial (no caso, todo o comprimento da linha) em pequenas regiões discretas, nas quais o equilíbrio é estabelecido individualmente. A partir daí, o equilíbrio geral é garantido levando em consideração a interação que cada porção finita exerce sobre as demais.
As condições de contorno do PVC são aplicadas nas extremidades das linhas. Como na extremidade inferior é suposto que haja restrição de movimento, a única condição de contorno a ser determinada é a da extremidade superior. De fato, são os movimentos da unidade flutuante obtidos na primeira etapa da formulação desacoplada (item 2.2.1.1) que são aplicados no topo das linhas.
Por fim, para a discretização temporal do Problema de Valor Inicial, utilizam-se métodos semelhantes ao já citado Runge-Kutta de Quarta Ordem. Estes métodos visam a transformação das equações diferenciais ordinárias semi-discretas oriundas da discretização espacial em equações algébricas, que podem ser solucionadas facilmente por cálculos computacionais. Os métodos mais utilizados para esta tarefa são os algoritmos de integração da família de Newmark associado a métodos iterativos para solução de problemas não-lineares, como o de Newton-Raphson.
A principal desvantagem da formulação desacoplada no contexto das linhas está no fato de ignorar a interação não-linear entre o comportamento hidrodinâmico da unidade flutuante e o comportamento hidrodinâmico/estrutural das linhas.
Cabe reforçar que os métodos de representação de ondas, expostos neste trabalho, são aplicáveis apenas para análises desacopladas de risers.
2.2.2 Formulações acopladas
Embora a formulação acoplada não faça parte dos estudos deste trabalho, uma breve descrição será apresentada aqui. A formulação acoplada simula numericamente o problema offshore em uma única etapa, e pode ser numericamente implementada de duas formas.
2.2.2.1 Formulação fortemente acoplada
Na formulação fortemente acoplada o sistema offshore é tratado no modelo como um único domínio, para o qual o sistema de equações é resolvido através de um único algoritmo de integração numérica. Isso significa que tanto o casco da unidade flutuante como as linhas a ele conectadas são tratados como um único modelo.
É um tipo de formulação que, por agrupar todas as malhas de elementos finitos das linhas, requer muita memória computacional e, por isso, possui elevado custo
10
computacional. A vantagem deste tipo de formulação reside na capacidade de resolver as respostas de movimento do casco e, ao mesmo tempo, a resposta estrutural nas linhas (tração, momentos, etc).
2.2.2.2 Formulação fracamente acoplada
Na formulação fracamente acoplada há a divisão conveniente do problema em dois domínios. Porém, diferente da formulação desacoplada, na qual cada domínio era solucionado em etapas independentes, na formulação fracamente acoplada o sistema de equações é resolvido pela comunicação entre os dois domínios com certa defasagem de tempo.
A vantagem desta formulação é que cada domínio pode ser solucionado por diferentes algoritmos de integração, no caso dos domínios possuírem comportamentos diferentes. Normalmente aplica-se um método de integração explícito, como o de Runge-Kutta de Quarta Ordem, para integrar as equações de movimento do casco e o método implícito, como o de Newmark, para solução das equações de movimento das linhas.
11
3 Análise estatística de processos aleatórios
De uma maneira geral, um sistema físico pode ser abordado através de dois tipos de análises: estática e dinâmica. A diferença entre ambas reside na modelagem das variáveis do modelo físico-matemático que representa o sistema. Qualquer variável pode ser representada pela soma de uma parcela estática, independente do tempo, com uma parcela dinâmica em função do tempo.
Na análise estática, as variáveis serão representadas no modelo somente pela sua parcela estática, independentemente da existência de parcelas dinâmicas (de maneira mais precisa, a parcela dinâmica é constante e igual à zero). Naturalmente, a resposta do sistema encontrada neste tipo de análise também será estática, e é obtida através do equilíbrio entre as forças atuantes (externas, internas e de reação) no sistema.
Na análise dinâmica, a parcela temporalmente dependente das variáveis é incluída no modelo a ser tratado, de forma que o equilíbrio deve ser estabelecido para cada instante de tempo. No caso de um sistema offshore, por exemplo, a dependência temporal pode estar presente nos carregamentos ambientais (ondas, ventos e correntes; nestes dois últimos, costuma-se encontrar tanto uma parcela estática quanto uma parcela dinâmica), na inércia, no amortecimento e nas rigidezes.
As análises dinâmicas podem ainda ser classificadas em determinísticas ou estocásticas, diferenciando-se uma da outra na forma com que o carregamento é especificado. No caso das análises determinísticas, o carregamento é conhecido de maneira exata a cada instante de tempo e, por conseguinte, a resposta também possuirá a mesma propriedade. É o caso, por exemplo, de uma função analítica dependente do tempo representando a força atuante no sistema.
Já nas análises estocásticas, o carregamento é especificado conforme conceitos probabilísticos. Isso significa dizer que o carregamento não pode ser determinado com exatidão em um determinado instante tempo, tampouco a resposta do sistema. Em outras palavras, um nível de aleatoriedade faz-se presente nestas análises. Como intuitivamente esperado, as análises estocásticas, apesar de serem mais complexas por demandarem certo conhecimento estatístico, são mais fieis ao comportamento real da estrutura.
Portanto, o intuito deste capítulo é apresentar os conceitos básicos de probabilidade e estatística necessários para realizar uma análise dinâmica de uma estrutura offshore, que serão aplicados posteriormente no capítulo 6, durante o estudo de casos.
12
3.1 Variáveis aleatórias
O resultado de um evento dito aleatório, quando independente do tempo, pode ser representado através de uma variável aleatória. Exemplos de eventos aleatórios são: velocidade do vento numa dada localidade, altura de uma onda, entre outros. Todas estas situações possuem aleatoriedades intrínsecas ao evento que impossibilitam realizar uma descrição determinística com precisão adequada. O conceito de variável aleatória será importante para definir formalmente um processo estocástico, tarefa guardada para o item 3.6.
Toda variável aleatória estará relacionada a uma função densidade de probabilidades (a serem tratadas no item 3.3), que associará um valor real para cada ponto amostral do domínio desta variável. A notação convencional utilizada é a letra maiúscula para designar a variável aleatória em si, e a letra minúscula para relatar uma ocorrência específica desta. Na análise de um carregamento ambiental, por exemplo, a velocidade do vento poderá ser representada por X, enquanto que uma ocorrência desta variável (através de uma medição) será designada por X=x.
Uma variável aleatória pode ser ainda classificada em discreta ou contínua, dependendo da natureza do evento a ser retratado. Uma variável aleatória discreta descreve fenômenos cujos possíveis resultados formam um conjunto finito ou infinito contável de pontos amostrais. O lançamento de uma moeda ou de um dado, por exemplo, são eventos que devem ser descritos através de uma variável aleatória discreta.
As variáveis aleatórias contínuas, por sua vez, estão associadas a um conjunto de resultados infinito de pontos amostrais, impossíveis de serem contabilizados. É o caso, por exemplo, da descrição estatística da altura de uma onda de mar. Informações mais aprofundadas acerca das características das variáveis aleatórias podem ser encontradas nas referências [8] e [9].
3.1.1 Definição de variável aleatória
Seja um determinado espaço amostral formado por um conjunto de pontos amostrais, designados cada um por , que descrevem inteiramente as possíveis ocorrências de um determinado fenômeno. Uma variável aleatória X( ) é obtida através da atribuição de um valor real para cada um destes pontos amostrais.
A convenção utilizada para o tratamento de variáveis aleatórias é de uma letra maiúscula para a variável aleatória propriamente dita, e uma letra minúscula para atribuir uma realização desta variável. Portanto, o evento * + se refere ao subespaço amostral cuja variável aleatória assume valor menor que x. Por se tratar de
13
uma variável aleatória, a ocorrência de determinado evento só pode estar associada a uma probabilidade (valor entre 0 e 1).
O domínio da variável aleatória X é justamente o espaço amostral . Uma definição formal para variáveis aleatórias discretas e contínuas pode ser estabelecida conforme a característica deste espaço amostral:
a) Quando este espaço amostral constitui-se por pontos amostrais contáveis (finitos ou infinitos), trata-se de uma variável aleatório discreta;
b) Caso os pontos amostrais possíveis sejam incontáveis, trata-se portanto de uma variável aleatório contínua.
3.2 Propriedades de uma variável aleatória
Seja uma variável aleatória ; a definição de uma função de distribuição
acumulada de probabilidades será dada por ( ) de tal forma que:
( ) , - (3.1) Na equação acima, o operador , - designa a probabilidade da variável X ser menor ou igual a uma determinada realização . Esta definição é válida tanto para variáveis aleatórias contínuas quanto para as discretas. Com a função cumulativa de probabilidades, algumas propriedades gerais podem ser listadas para uma variável aleatória qualquer. São elas:
I) Os valores limites da função cumulativa de probabilidades são fixados de modo que:
( ) ( ) ( ) ( )
II) A função ( ) é monotonicamente crescente. Isso significa que ( ) ( ) para qualquer . Uma vez que a função cumulativa fornece a probabilidade de ocorrência do evento cujo conjunto amostral é dado pela condição , então à medida que aumentamos este subespaço (em outras palavras, ao passo que aumentamos o valor de ), maior será a probabilidade de ocorrência deste evento.
III) Probabilidade de uma região delimitada do espaço amostral: , - ( ) ( )
IV) No tratamento de variáveis aleatórias, a probabilidade de uma ocorrência de um determinado ponto amostral é determinada pelo salto observado
14
na respectiva abscissa de sua função cumulativa. Uma vez que para as variáveis aleatórias contínuas a função cumulativa não apresenta saltos, então não existe o conceito de probabilidade de um único ponto do espaço amostral, e sim, de uma região dele. Portanto:
, - ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( ) ( )
Outra definição que pode ser obtida a partir da distribuição cumulativa é a
função densidade de probabilidades, dada a partir da derivada da função cumulativa,
como na equação (3.2):
( ) ( )
(3.2)
A equação (3.2) só estará definida em todo o espaço amostral desde que represente uma variável aleatória contínua. Caso se trate de uma variável aleatória discreta, a adaptação da equação (3.2) será realizada com o auxílio da função Delta de Dirac, como na equação (3.3) a seguir:
( ) ∑ ( ) ( ) (3.3)
, onde é a probabilidade do i-ésimo ponto amostral (salto observado em na função cumulativa de probabilidade da variável aleatória discreta). A interpretação da equação (3.3) é de que a função densidade de probabilidades para uma variável aleatória discreta é descrita por um pulso de intensidade a cada ponto amostral . Utilizando esta notação, a função cumulativa pode ser escrita como na equação (3.4):
( ) ∑ ( ) (3.4)
Por fim, através da definição de função densidade de probabilidades é possível determinar uma última propriedade que cabe a uma variável aleatória.
V) Distribuição de todo o espaço amostral
∫ ( )
( ) ( ) ( )
15
3.2.1 Parâmetros estatísticos de uma variável aleatória
Toda variável aleatória possui algumas medidas estatísticas cuja finalidade é fornecer alguma informação quantitativa acerca do comportamento geral da função de distribuição de probabilidades. As medidas de posição (valor esperado, moda ou mediana) e de dispersão (desvio padrão) são as de maior aplicação e encontradas frequentemente no tratamento das variáveis aleatórias. Outras medidas características também podem ser encontradas; é o caso das medidas de assimetria (coeficiente de assimetria ou skewness) e de achatamento (coeficiente de curtose ou kurtosis).
O valor esperado (ou média) de uma variável aleatória X é definido conforme a equação (3.5)
, - ∫
( ) ( ) (3.5)
A função densidade de probabilidades pode ser interpretada como uma função densidade linear de massa ao longo do eixo x; dessa forma, o valor esperado
pode ser visto como o centro de massa da distribuição
.
Portanto, se a função densidade estiver distribuída simetricamente em torno de , então o centro de massa (de fato, o valor esperado) será dado por . Percebe-se que a equação (3.5) foi definida para uma variável aleatória contínua; para variáveis aleatórias discretas, a definição é semelhante e dada através de um somatório:, - ∑
( ) (3.6)
A moda é outra medida de posição que fornece informação quantitativa à função densidade de probabilidades. O valor mais provável, como também é conhecida a moda, é definido como o ponto cujo valor da função densidade de probabilidades é máximo. Já a mediana é o ponto que divide a função densidade de probabilidades em duas regiões com áreas exatamente iguais. Definindo em termos de equações, temos: ( ) | (3.7) ( ) (3.8)
Já as medidas de dispersão, como o desvio padrão, fornecem informações quanto à distribuição da variável em torno da média . Porém, antes de definir o
16
conceito de desvio padrão em si, deve-se primeiramente definir a variância de uma variável aleatória:
, - ∫ ( )
( ) ( ) (3.9)
Para variáveis aleatórias discretas, tem-se que a variância é dada por:
, - ∑( )
( ) (3.10)
Uma vez que o interesse das medidas de dispersão é calcular somente a distribuição da variável em torno do valor esperado, torna-se necessário trabalhar com distâncias quadráticas para que, desta forma, dispersões à direita e à esquerda da média sejam tratadas de maneira igual. O desvio padrão, representado por , será dado por:
√ , - (3.11)
Enquanto a média corresponde ao “centro de massa” da função de densidade de probabilidades, a variância corresponderá ao momento de inércia de massa com relação ao valor esperado, fornecendo uma ideia de concentração de massa em torno deste.
Um importante parâmetro estatístico pode ser obtido utilizando o valor esperado e o desvio padrão. Trata-se do coeficiente de variação, que fornece uma medida adimensional de dispersão (ao contrário do desvio padrão, que mede esta dispersão de forma dimensional).
(3.12)
Coeficientes de variação baixos indicam uma dispersão de valores próximos da média, enquanto que altos coeficientes indicam uma situação de forte dispersão em torno da média.
O coeficiente de assimetria (skewness), representado por , indica o nível de simetria da função densidade de probabilidades em torno da média. Já o coeficiente de kurtosis, representado por , fornece um indício da suavidade da função densidade de probabilidades [10]. A definição destes parâmetros estatísticos segue adiante:
∫ ( ) ( ) ( )
17 ∫ ( ) ( ) ( )
( ) (3.14)
Em termos qualitativos, valores positivos de indicam que os valores da variável aleatória maiores que a média são mais dispersos do que valores abaixo da média; um valor nulo indica simetria da função distribuição de probabilidades (Figura 1). Já o coeficiente é uma medida da suavidade da distribuição de probabilidades; quanto maior o coeficiente, mais suave será a função.
Figura 1 - Coeficiente de skewness
3.3 Distribuições de probabilidade
No item anterior foram discutidas algumas características importantes relacionadas a variáveis aleatórias, como as propriedades gerais e parâmetros estatísticos para descrição quantitativa e qualitativa da variável aleatória. Esta discussão foi desenvolvida tomando como referência a função cumulativa de probabilidades e a função de distribuição de probabilidades. Conhecendo estas funções, a variável aleatória está bem determinada e os respectivos parâmetros estatísticos podem ser calculados.
Existem diversas funções de distribuição de probabilidades presentes na literatura que podem ser aplicadas para modelar uma variável aleatória. Para se caracterizar como tal, uma função de distribuição de probabilidades deve possuir as seguintes propriedades matemáticas:
I) ( )
(3.15) II) ∫ ( )
III) ∫ ( ) ( )
A respectiva função cumulativa de probabilidades, como visto anteriormente, pode ser determinada através da equação (3.2) na forma integral:
18 ( ) ∫ ( )
(3.16) De maneira análoga, a função cumulativa de probabilidades também possui propriedades a serem satisfeitas:
I) ( )
(3.17) II) ( )
III) ( )
Nesta seção serão apresentadas as funções de maior aplicação prática na engenharia.
3.3.1 Distribuição Normal
Uma variável aleatória x é dita normalmente distribuída (ou gaussiana) se possuir uma PDF (probability density function) dada por:
( )
√ * (
) + (3.18)
Esta distribuição possui somente dois parâmetros estatísticos: a média e o desvio padrão da variável aleatória. A notação comumente utilizada para se referir a uma variável gaussiana é ( ). A função cumulativa de probabilidades ( ) só pode ser obtida através de integração numérica da equação (3.16).
Um caso particular da distribuição normal, chamado de distribuição normal padrão, é aquele na qual a média e o desvio padrão equivalem, respectivamente, a 0 e 1. Isso significa que toda variável aleatória gaussiana pode ser reduzida a uma variável aleatória gaussiana padrão através da transformação ( ) , reduzindo a equação (3.18) para (3.19):
( )
√ [ ( ) ] (3.19)
Dado que na literatura podem ser encontradas tabelas contendo a avaliação da função cumulativa gaussiana padrão através de integração numérica, o tratamento quantitativo de variáveis aleatórias normais é feito sem maiores problemas.
3.3.2 Distribuição Log-Normal
Uma variável aleatória X pode ser representada estatisticamente através de uma distribuição lognormal se, ao tomarmos seu logaritmo, seu comportamento for
19
descrito por uma distribuição normal. Utilizando a notação descrita no item anterior, pode-se dizer que a variável aleatória possui distribuição lognormal se ( ) ( ). A PDF de uma distribuição deste tipo é definida como:
( )
√ * (
( )
) + (3.20)
Na equação (3.20), os parâmetros e são, respectivamente, o valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória ln(X); portanto, ( ( )) ( ) e √ ( ( )) ( ). Com certo algebrismo, uma relação entre estes parâmetros com a média e desvio padrão da variável aleatória X pode ser obtida. É o que está apresentado na equação
* ( ) +
(3.21) ( )
Assim como acontece para a distribuição normal, qualquer variável aleatória que segue a distribuição lognormal pode ser reduzida a uma distribuição normal padrão através da transformação ( ( ) ) , onde a distribuição de Y é dada pela equação (3.18).
3.3.3 Distribuição de Weibull
A função densidade de probabilidades da distribuição Weibull, a função cumulativa de probabilidades, bem como a caracterização dos parâmetros que as definem segue adiante:
( ) ( ) * ( ) + (3.22)
( ) * ( ) + (3.23)
, - ( ) (3.24)
20
, onde ( ) é a função matemática Gamma. Os parâmetros e são denominados, respectivamente, de fator de escala e fator de forma da distribuição de Weibull, e ambos estão definidos no intervalo , ).
3.3.4 Distribuição de Rayleigh
Um caso particular da distribuição de Weibull, a chamada distribuição de Rayleigh, ocorre quando o e √ . Portanto, supondo uma variável aleatória modelada por distribuição de Rayleigh com parâmetro , a distribuição torna-se:
( ) * ( ) + (3.26)
( ) * ( ) + (3.27)
3.4 Ajuste de Distribuição a Dados Observados
Uma etapa importante no estudo de um fenômeno aleatório é analisar se o evento apresenta um comportamento estatístico com distribuição similar a uma daquelas largamente utilizadas na engenharia, como as discutidas na seção 3.3. Ao representar um fenômeno aleatório através de distribuições estatísticas bem determinadas, o cálculo de probabilidades associados torna-se então bastante facilitado.
Na prática, o problema consiste em definir qual dessas distribuições melhor modela o fenômeno a ser analisado.
3.4.1 Parâmetros Estatísticos a partir de uma amostra
A partir da coleta de uma amostra da variável X, é possível extrair informações úteis como parâmetros estatísticos e representações gráficas. Uma representação gráfica comumente utilizada é o histograma de frequência relativa, que consiste em relatar o número de ocorrências da variável aleatória dentro de determinados intervalos. O fenômeno aleatório de elevação da superfície do mar em uma localidade pode ser tomado como exemplo; designando H como uma variável aleatória para descrever a altura de onda do mar, a construção de um histograma consiste em registrar graficamente quantas medições se situaram entre e , entre e , e assim sucessivamente.
21
A partir das medições realizadas na variável aleatória, dadas pelo conjunto * +, podem ser definidos os valores característicos da mesma. Na equação (3.28), os parâmetros ̅ e representam a média e o desvio padrão da amostra coletada. ̅ ∑ (3.28) ∑( ̅)
3.4.2 Determinação da distribuição de probabilidades
Caso a amostra seja suficientemente grande, os parâmetros estatísticos da amostra tendem a se aproximar dos parâmetros estatísticos da população total da variável X. Dessa forma, pode ser assumido que ̅ e que .
Uma vez que estes parâmetros da variável aleatória geralmente estão associados aos parâmetros das distribuições teóricas (no caso da distribuição lognormal, por exemplo, seus dois parâmetros podem ser obtidos a partir da média e desvio padrão da variável aleatória através da equação (3.21)), obter as distribuições teóricas torna-se uma tarefa simples. O próximo passo da tarefa seria, então, listar as distribuições teóricas “candidatas” para modelar a variável aleatória e determina-las quantitativamente a partir destes parâmetros estatísticos da variável aleatória.
Por fim, é verificada a razoabilidade do ajuste, comparando cada uma das distribuições de probabilidade “candidatas” com o histograma normalizado da amostra. Através do Teste de Aderência ou de comparações visuais, a distribuição teórica que melhor se ajusta aos dados pode ser distinguida das demais.
3.5 Valores extremos
Em muitos problemas de engenharia, o interesse recai não somente nos parâmetros estatísticos de posição e dispersão de determinada variável aleatório, mas também sobre os chamados valores extremos da mesma, ou seja, os valores mínimos ou máximos que a variável pode atingir. No caso específico da engenharia estrutural, há interesse em conhecer, por exemplo, os valores máximos extremos dos carregamentos atuantes sobre a estrutura durante sua vida útil e de valores extremos mínimos de resistência da mesma.
22
Quando um conjunto de observações de uma variável aleatória é realizado, um subconjunto contendo os respectivos valores extremos (máximos e mínimos) pode ser criado. A cada nova realização de observações da variável aleatória, novos valores extremos são adicionados a este subconjunto. Percebe-se, portanto, que valores extremos de uma variável aleatória são considerados também como variáveis aleatórias, com uma distribuição estatística própria, conforme [9] e [10].
Desta forma, ao mesma metodologia de ajuste de uma distribuição de probabilidades discutida na seção 3.4 pode ser aplicada para uma amostra de valores extremos; de fato, na literatura existem as “distribuições de valores extremos”, que se ajustam bem a este tipo de variável aleatória e que serão abordadas nos itens seguintes. Por exemplo, a determinação da distribuição de valores extremos anuais de uma variável aleatória seria baseada em um banco de dados com os valores máximos observados em cada ano durante muitos anos (no mínimo 20 a 25 anos), ou seja, uma distribuição de probabilidades seria ajustada a estes valores.
Porém, na prática, geralmente dados de valores extremos máximos ou
mínimos não constituem uma amostragem significativa para proceder de tal forma. Isso porque é inviável, para qualquer projeto de engenharia, esperar por uma ou duas décadas para coletar dados a fim de analisar valores extremos de um fenômeno. A partir desta dificuldade surgiu a Estatística de Extremos, que visa obter a distribuição de extremos de uma variável aleatória a partir da função distribuição de probabilidades desta mesma.
3.5.1 Distribuição exata de valores extremos
Seja X uma variável aleatória com função cumulativa de probabilidades bem definida, dada por ( ). Uma amostra de X contendo observações independentes entre si é coletada e representada por ( ). Os valores máximos e mínimos da amostra são, respectivamente:
, -
(3.29)
, -
Considerando que o conjunto ( ) é formado por observações independentes, então todas as observações podem ser tratadas como variáveis aleatórias identicamente distribuídas tal que ( ) ( ) ( ). Os valores
23
máximos e mínimos serão, então, tratados também como variáveis aleatórias de forma que:
, -
(3.30)
, -
Se , o maior valor do conjunto( ), é menor que um dado valor , portanto todos os valores do conjunto o devem ser também. A partir deste raciocínio, é possível obter uma expressão para a função cumulativa de probabilidades exata de valores extremos. Esta importante passagem é expressa matematicamente na equação (3.31):
( ) ,( )-
,( ) ( ) ( )- ,( )- ,( )- ,( )-
, ( )- (3.31)
OBS1: a hipótese de independência entre as realizações de X foi assumida na passagem da penúltima linha para a última linha a equação (3.31).
OBS2: nesta metodologia de determinação das distribuições dos valores extremos, a distribuição da variável aleatória X é denominada de distribuição parente.
Utilizando a definição expressa na equação (3.2), é possível determinar a expressão para a função de distribuição de probabilidades exata de valores extremos.
( )
( )
, (
, ( )- ( ) (3.32)
As expressões em (3.31) e (3.32) correspondem às distribuições exatas do valor máximo de uma amostra de tamanho , tomadas de uma população de X. Esta distribuição depende do tamanho da amostra e da distribuição da variável aleatória original X; para uma amostra unitária, a distribuição de valores extremos é exatamente igual à respectiva distribuição de sua variável aleatória de origem. A Figura 2 ilustra como a distribuição de extremos varia conforme o tamanho da amostra para uma variável aleatória representada por distribuição normal padrão.
