Representação de Ondas Aleatórias

Para a completa descrição de um sistema offshore através de um modelo computacional, é necessária a representação fiel de todas as fontes externas de carregamento incidindo sobre a estrutura. O conhecimento destas forças é de vital importância para desenvolver o acoplamento entre o casco e as linhas, uma vez que estas incidem tanto no casco quanto nas linhas de ancoragem e risers. Mais detalhes podem ser vistos em [2] e [6].

No entanto, como este trabalho trata apenas do aprimoramento do uso de métodos determinísticos para representação dos movimentos prescritos de simulações desacopladas de risers, esta seção apresentará a descrição do modelo de representação de ondas aleatórias.

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4.2.1 Construção e Solução do Problema de Valor de Contorno

Na elaboração de um modelo para a representação de ondas incidindo sobre uma estrutura offshore, a primeira etapa relaciona-se à descrição do comportamento das ondas através de equações diferencias e devidas condições de contorno que juntas formam um Problema de Valor de Contorno. Trata-se de um modelo bidimensional simplificado, de comportamento não-linear, que tem como objetivo a determinação das velocidades, acelerações e pressões do fluido para uma onda regular, dada por uma altura, período e comprimento de onda pré-definidos. Uma importante hipótese deste modelo é a ausência de um corpo ao longo do escoamento do fluido. De fato, este é um caso muito particular chamado de “Teoria de Onda”; seu entendimento é fundamental para a aplicação da “Teoria da Difração”, modelo tridimensional mais complexo que considera a presença de corpos ao longo do escoamento do fluido.

Devido à elevada não-linearidade do PVC, não é possível obter uma solução analítica para as velocidades e acelerações. Desta maneira, ela só é possível através de aproximações ou métodos numéricos. Uma aproximação razoável comumente utilizada para a solução, por exemplo, é assumir que a mesma é dada por uma série de potências em termos dos parâmetros da onda.

Existem algumas teorias na literatura que buscam solucionar o Problema de Valor de Contorno, como a Teoria Linear de Airy (solução linearizada) ou a Teoria de Stokes (solução não-linear). A Teoria Linear de Airy se aplica para ondas de pequenas amplitudes (altura de onda pequena comparada ao comprimento de onda), e é o procedimento que atende satisfatoriamente as práticas de projeto de um sistema

offshore. O principal fundamento da Teoria Linear de Airy está na imposição das

condições de contorno na superfície média do mar, e não na superfície livre do mesmo. Desta forma, as condições de contorno são invariantes no tempo, independentes da elevação da superfície do fluido. Isso só é possível com a linearização da solução do problema, ou seja, desprezando-se termos de ordem superior da série de potências.

A apresentação detalhada de todo o Problema de Valor de Contorno e a respectiva solução pode ser encontrada com detalhes nas referências [2] e [6].

4.2.2 Representação Espectral

Como mencionado anteriormente, o Problema de Valor de Contorno solucionado pela Teoria Linear de Airy aplica-se somente a um mar hipotético, caracterizado por uma onda regular; costuma-se denominar esta situação de “onda

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determinística”. É natural pensar que este modelo não é capaz de representar fielmente à realidade, devido à natureza aleatória do mar. A maneira mais realista de retratar o comportamento de um mar aleatório é dada pela superposição linear de várias ondas regulares diferentes, onde cada uma delas é descrita de acordo com a Teoria Linear de Airy.

OBS: por ser uma solução linear, cabe utilizar a propriedade de funções lineares de que a solução da soma é a soma das soluções.

O uso de espectro de energia de onda é a técnica utilizada para expressar esta superposição linear de maneira mais prática. Através de uma única função, é possível reunir todas as informações acerca desta superposição, como a densidade de energia que cada frequência de onda, dispersão da energia em função da frequência, etc.

Para o ajuste destes modelos a um determinado mar irregular, certos parâmetros estatísticos do espectro devem ser ajustados, como altura significativa, período de pico e fator de forma. Para análises de curto prazo (em geral, 3 horas), estes parâmetros são assumidos como constantes; diz-se que, neste caso, o modelo espectral representa um “estado de mar”. Este ajuste depende, basicamente, da região na qual está instalado o sistema offshore (ex: a Bacia de Campos, localizada no Rio de Janeiro, possui modelos espectrais diferentes daqueles observados no Mar do Norte).

Os espectros de uso mais comum são Pierson-Moskovitz, Bretschneider e Jonswap. No caso da Bacia de Campos, campo de maior produção do Brasil, o espectro de Jonswap é o que melhor se ajusta para representação dos estados de mar. Uma vez que o método a ser proposto neste trabalho será aplicado, no Capítulo 6, para um estado de mar modelado por Jonswap, portanto este será o único espectro a ser descrito nesta seção.

Resultado de um projeto aplicado ao Mar do Norte, o espectro de Jonswap (Joint North Sea Wave Project), para um dado estado de mar com altura significativa

e período de pico , é expresso em função da frequência e dado por:

( ) [ ( )

] [

( )

] _(4.1)

A equação (4.1) fornece a densidade de energia correspondente a uma dada frequência (em rad/s). A constante representa a aceleração da gravidade local. Os parâmetros variáveis do espectro são , e , dados por:

38 *

√ +

(4.2) , ( )-

, desde que o estado de mar se encontra na faixa de e .

Uma vez ajustado um espectro de onda para o estado de mar, a próxima tarefa diz respeito à discretização do mesmo. É uma etapa essencial para a realização da análise computacional do sistema offshore. De maneira geral, o procedimento consiste em dividir o espectro em faixas, cuja largura de cada uma equivale a . A divisão pode ser realizada tomando intervalos igualmente espaçados em termos de frequência (neste caso, é constante) ou em termos de período ( varia ao longo da discretização). Cada uma destas faixas irá representar, na composição final do carregamento ambiental de onda, uma onda determinística cuja formulação física é dada pela Teoria Linear de Airy. Estas ondas determinísticas, dotado de período, amplitude e fase, são finalmente superpostas, simulando assim um mar denominado de “aleatório”. A figura a seguir ilustra um espectro de onda e sua respectiva discretização.

Figura 4 – Discretização do espectro de onda

Tradicionalmente, a escolha do número de componentes de onda equivalente se situa entre 100 e 300. As fases para cada uma das ondas determinísticas são

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geradas aleatoriamente, através de uma distribuição uniforme no intervalo de 0 a 360 graus.

A frequência das ondas determinísticas é assumida como sendo algum valor no seu respectivo intervalo. Duas alternativas são possíveis:

IV) o valor de , a -ésima frequência, equivale à frequência média de sua respectiva faixa;

V) o valor de , a -ésima frequência, é escolhido arbitrariamente dentro da respectiva faixa, no intuito de evitar efeitos de periodicidade.

Por fim, a amplitude da -ésima onda determinística, denominada aqui de , será dada pela equação a seguir: