0.1 Lista: Autovalores, autovetores

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0.1 Lista: Autovalores, autovetores

(Prof. Patricia, Katiani, Graciela)

1. Encontre os autovalores das transformac¸ ˜oes lineares dadas: (a) T : R2

7→ R2

tal que T (x, y) = (2y, x). (b) T : R2

7→ R2

tal que T (x, y) = (x + y, 2x + y). (c) T : R3

7→ R3_{tal que T (x, y, z) = (x + y, x}

− y + 2z, 2x + y − z). (d) T : P27→ P2tal que T (ax2+ bc + c) = ax2+ cx + b.

(e) T : M (2, 2)7→ M(2, 2) tal que A 7→ At

2. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

a) A =   1 2 3 0 1 2 0 0 1  ; b) B =   1 0 2 −1 0 1 1 1 2  ; c) C =     2 0 1 0 0 2 0 1 12 0 3 0 0 −1 0 0    

3. (ENADE) Uma transformac¸˜ao linear T : R2

7→ R2_{faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal, como indica}

a figura a seguir:

Essa transformac¸˜ao T :

(a) ´e dada por T (x, y) = (−x, y). ?

(b) tem autovalor igual a 2 com autovetor associado igual a (0,−1). ? (c) tem autovalor igual a 1 com autovetor associado (2, 0). ?

(d) tem autovalor de multiplicidade 2 ? (e) n˜ao ´e invers´ıvel. ?

4. Construa uma matriz 2× 2 não diagonal com autovalores 1 e −1. 5. Encontre a transformação linear T : R2

7→ R2_{; tal que T tenha autovalores}

−2 e 3 associados aos autovetores (3y, y) e (−2y, y) respectivamente.

6. Que vetores n˜ao nulos do plano, quando cisalhados por C(x, y) = (y− 3x, y) e em seguida girados de 45o_(no

sentido anti-horário) ficam ampliados / reduzidos (na mesma direção) ? Em quantas vezes ? 7. Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R3

7→ R3

obtido quando se faz uma rotação de π rad em torno do eixo X; seguida de uma contração de fator 1/2.

9. Seja T : M2×27→ M2×2com autovetores

v1= _{1 0} 0 0 ; v2= ₀ ₁ 0 0 ; v3= _{1 0} 1 0 e v4= _{0 0} 1 1

associados aos autovalores λ1 = 1; λ2= −1; λ3 = 2; λ4= 0; respectivamente. Determine T . (isto ´e, determine

T ( a b c d )

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10. Dada a transformac¸˜ao linear T : R2

7→ R2

que é a projeção sobre a reta y = x Encontre os autovalores e autovetores da transformação T .

11. Considere P1= conjunto dos polin ˆomios de grau menor o igual a 1. Seja o operador linear D : P17→ P1dado

por D(p) = xp′_{+ p. Determine os autovalores e autovetores de D.}

12. Seja A uma matriz quadrada e At _{sua transposta. As matrizes A e A}t _{possuem os mesmos autovalores e}

autovetores? Justifique sua resposta.

13. Encontre os autovalores e autovetores da transformac¸˜ao linear que a cada vetor v∈ R3

associa a sua projec¸˜ao ortogonal no plano x + y = 0

14. Seja T : V 7→ V linear

(a) Se λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.

(b) A rec´ıproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora,= 0 é autovalor de T ?

(c) Quais são os autovalores e autovetores do operador derivação D : P27→ P2; D(p) = p′

15. Sejam A, B∈ M(n, n) matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe alguma relac¸˜ao entre seus autovalores? Qual?

16. Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V 7→ V associados a um autovalor ´e um subespa¸co vetorial de V .

17. Discuta a veracidade da afirmação: Se λ não é um autovalor de A, então o sistema linear (A− λI)v = 0 só tem a solução trivial.

18. A matriz A =

_{1 2} 3 2

´e semelhante `a matriz B =

₄ ₀

0 −1

Determine uma matriz P. que realiza esta semelhanc¸a.

19. Verifique se as matrizes dadas s˜ao semelhantes (a) 1 1 −1 4 e 2 1 1 3 (b) 3 1 −6 −2 e −1 2 1 0

20. Sejam A e B matrizes n× n. Mostre que se B é semelhante a A, então as duas matrizes tem o mesmo polinômio caracter´ıstico e, portanto, os mesmos autovalores.

21. Se B = R−1_{AR e v é um autovetor de B associado a um autovalor λ então Rv é autovetor de A associado a λ}

22. Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que: (a) A− I e B − I s˜ao semelhantes. (b) Ak_{e B}k_{s˜ao semelhantes,}

para cada inteiro positivo k. (c) Se A e B são invers´ıveis, então A−1_{e B}−1_{são semelhantes.}

23. Seja T o operador linear em R3

definido por T (x, y, z) = (2y + z, x− 4y, 3x) e considere a base canˆonica de R3

e a base ={(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)}.

(a) Mostre que as matrizes [T ] e [T ]βs˜ao semelhantes.

(b) T ´e invers´ıvel? Se for determine a lei que define T−1_.

24. Sejam T : V 7→ V ´e um operador linear e α e β bases distintas de V. Mostre que se [T ]α e [T ]βs˜ao matrizes

semelhantes ent˜ao det[T ]α= det[T ]β

25. Seja T : R2

7→ R2

o operador linear definido por T (x, y) = (7x− 4y, −4x + y) (a) Determinar uma base do R2

em relação à qual a matriz do operador T é diagonal. (b) Dar a matriz de T nessa base.

26. Considere uma transformação linear T : V 7→ V abaixo. Se poss´ıvel, encontre uma base β para V tal que a matriz [T ]βde T ; em relação à base; seja diagonal.

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(b) T : P27→ P2definida por T (p(x)) = p(x + 1).

27. Verificar se a matriz A ´e diagonaliz´avel. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P−1_AP. (a) A = 5 −1 1 3 (b) A =   1 2 1 −1 3 1 0 2 2   (c) A =     2 −1 0 1 0 2 1 −1 0 0 3 2 0 0 0 3     28. Considere o operador T : R3 7→ R3

definido por T (x, y, z) = (5x + 4z, x− 5y, 3z) e o operador S : R3

7→ R3

definido pela reflexão através do plano x+2z = 0. (a) Determine ST : (b) SoT é diagonalizável ? Se for, encontre

D e P tal que D = P−1_[S oT ]P.

29. Determine o valor de k para que a matriz A =   2 k 0 0 2 1 0 0 3  seja diagonaliz´avel.

30. Determine a de modo que a matriz A seja diagonaliz´avel. Para o valor de a encontrado, determine uma matriz invers´ıvel P e uma matriz diagonal D tais que P−1_{AP = D.}

A =     3 −2 4 −1 0 1 a 0 0 0 3 4 0 0 0 2     31. Encontre os autovalores de A9 se A =     1 3 7 11 0 1/2 3 8 0 0 0 4 0 0 0 2     32. Calcule A10_{para A =} _{0 1} 2 1

33. Seja T um operador linear que preserva o comprimento do vetor v1= (1, 0, 0) duplica o comprimento do vetor

v2= (0, 2, 0) e inverte o sentido do vetor v3= (0, 2, 1). Determine o operador linear T20.

34. Seja T : V 7→ V o operador linear que tem autovalores λ1 = 1, λ2 = 2·; λn = n associados aos autovetores

v1, v2, ·, vnrespectivamente. Sabendo que β ={v1, .., vn} e que [v]β =

    1 2 . n     determinar [T (v)] :

35. Seja A uma matriz invers´ıvel. Prove que, se A é diagonalizável, A−1_{também é.}

36. Seja A uma matriz 4× 4 e seja um autovalor de multiplicidade 3. Se A − λI tem posto 1, A ´e diagonaliz´avel ? Explique.

37. Classifique cada afirmação como verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta. (a) Se A é diagonalizável, então A tem n autovalores distintos.

(b) Se A é invers´ıvel então A é diagonalizável.

(c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonal izável. (d) Se A é diagonalizável, então cada um de seus autovalores tem multiplicidade 1:

(e) Se nenhum dos autovalores de A ´e nulo, ent˜ao det A6= 0.

(f) Se u e v são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos λ1e λ2então u + v é

um autovetor de A associado ao autovalor λ1+ λ2.

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Lista Autovetores, autovalores Gabarito 1. a) Para λ1= − √ 2 tem-se v1= (− √ 2y, y) e para λ2= √ 2 tem-se v2= ( √ 2y, y). b) Para λ1= 1 + √ 2 tem-se v1= ( √ 2 2 y, y) e para λ2= 1 − √ 2 tem-se v2= (− √ 2 2 y, y)

c) Para λ1 = −2 tem-se v1 = (x, −3x, x); para λ2 = −1 tem-se v2 = (−2z, 4z, z) e para λ3 = 2 tem-se

v3= (y, y, y)

d) Para λ1= λ2= 1 tem-se p1(x) = ax2+ bx + b e para λ2= −1 tem-se p2(x) = −bx + b

e) Para λ1= λ2= 1 tem-se A1= _a _b b c e para λ3= λ4= −1 tem-se A2= 0 −c c 0 2. a) Para λ1= λ2= 1 tem-se v1= (x, 0, 0)

b) Para λ1 = −1 tem-se v1 = (−z, −2z, z); para λ2 = 1 tem-se v2 = (−x, x, 0) e para λ3 = 3 tem-se v3 =

(x, 0, x)

c) Para λ1 = −1 tem-se v1 = (−1₃x, 0, x, 0) para λ2 = 1 tem-se v2 = (0, −t, 0, t) e para λ3 = 6, temos

v3= (−1₄x, 0, x, 0) 3. letra c) 5. T (x, y) = (−6y, −x + y) 6. Para λ1= −₂3 √ 2 tem-se v1= (x,3₅x) e para λ2= √ 2 tem-se v2= (0, y)

7. Para λ1= λ2= 1/2 tem-se v1= (x, 0, 0) e para λ2= λ3= −1/2 tem-se v2= (0, y, z)

8. a)T (x, y) = (−29x−15y 8 , 15x+21y 8 ) c) −11 24 51 8 51 8 175 24 9. T ( a b c d ) = a + c − d −b 2c − 2d 0

10. Para λ1= 0 tem-se v1= (2y, y) e para λ2= 0 tem-se v2= (x, −2x)

11. Para λ1= 1 tem-se p1(x) = a e para λ2= 1 tem-se p2(x) = b + bx

12. Para concluir que os autovalores s˜ao os mesmos, mostre que A e At_{tem o mesmo polin ˆomio caracter´ıstico.}

13. Para λ1= 0 tem-se v1= (x, x, 0) e para λ2= λ3= 1 tem-se v2= (−y, y, z)

14. c) λ = 0⇒ p(x) = 0 17. Verdadeiro. 18. P ´e da forma P = a a −3 2d d

, ent˜ao uma matriz que realiza a semelhanc¸a pode ser P =

1 1

−3/2 1

Note que P ´e invers´ıvel.

19. a) Sim b) N˜ao

20. Partir da hip ´otese A = P BP−1_{e mostrar que det(A}_{− λI) = det(B − λI).}

23. b) T−1_{(x, y, z) =}z 3, − y 4+ z 12, x + y 2− z 6) 25. a) β ={(1/2, 1), (−2, 1) b) [T ]β = −1 0 0 9 26. a) β ={(−1, 1), (2, 1)} e [T ]β= 2 0 0 5

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27. a) N˜ao b) P =   0 2 1 1 1 0 −2 2 1  c) N˜ao 28. a) T (x, y, z) = (3x, x− 5y, −4x − 5z)

b) Para λ1= 0 tem-se v1= (0, y, 0) para λ2= 3 tem-se v2= (−2z, −₃7z, z) e para λ3= −5 tem-se v3= (0, y, y)

29. k = 0 30. a = 4, P =     1 −15 1 0 1 −16 0 2 0 −4 0 1 0 1 0 0     e D =     1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3     31. A9₌     1 1533 256 3191 128 107909 4 0 1 512 3 256 38229 8 0 0 0 1024 0 0 0 512     32. A10 = 342 341 682 683 33. T20 (x, y, z) = (x, 1048576y − 2097150z, z) 34. [T (v)] = [1 4 9 .. n2_]t 37. F F F F F V V