Aproximação de ponto fixo de mapeamentos contínuos.

I M´etodo de Scarf

I Aproxima¸c˜ao de ponto fixo de mapeamentos cont´ınuos.

I _{Capaz de encontrar x ∈ R}ntal que f (x ) = 0 quando f ´e cont´ınua.

Resultado de existˆencia de ponto fixo

Seja S o simplex do Rn, ou seja, S ≡ {p :

n X

i =1

pi= 1, pi≥ 0}

Considere um mapeamento cont´ınuo f : S → S.

Proposi¸c˜

ao

Exemplo: economia de trocas

I somente 1 per´ıodo

I 3 bens de consumo

I N agentes na economia

I Dado p = (p1, p2, p3), agente i escolhe excessos de demanda [g₁i(p), g₂i(p), g₃i(p)]

I gi

k ´e homogˆenea de grau 0.

I p1g1i(p) + p2g2i(p) + p3g3i(p) ≡ 0.

I gi

Exemplo: economia de trocas

I excesso de demanda agregado

gk(p) = N X

i =1 gki(p)

I _{considere o mapeamento f : S → S tal que}

fk(p) =

pk+ λ max{0, gk(p)} 1 + λP3

l =1max{0, gl(p)}

Conjunto/Subsimplex Primitivo Seja PK = {p1, ..., pK} ⊂ R3em que K > 3 e I p1= (0, M1, M1); p2= (M2, 0, M2); p3= (M3, M3, 0) I p4_{, ..., p}K ∈ S = {p :P3 i =1pi = 1, pi ≥ 0} em que M1> M2> M3> 1.

Definition

pj₁> min(pj1 1, p j2 1, p j3 1) pj₂> min(pj1 2, p j2 2, p j3 2) pj₃> min(pj1 3, p j2 3, p j3 3)

Resultado de existˆencia de conjunto primitivo com ´ındices diferentes

´Indice (label)

I Para cada k ∈ {1, 2, 3}, associe o ´ındice k ao vetor pk

I Para k > 3, associe ao vetor pk o ´ındice i tal que fi(pk) ≥ pik Hip´otese de n˜ao ’degenera¸c˜ao’

I pnk 6= pnj para todo n ∈ {1, 2, 3} e para todo k 6= j

Proposi¸c˜

ao

Existe um conjunto primitivo cujos vetores s˜ao indexados diferentemente. Ou seja, existe P_K∗ = {pk1_{, p}k2_{, p}k3_{} ⊂ P} K tal que I pk1 _{com ´ındice 1 ⇒ f} 1(pk1) ≥ p1k1 I pk2 _{com ´ındice 2 ⇒ f} 2(pk2) ≥ p2k2 I pk3 _{com ´ındice 3 ⇒ f} 3(pk3) ≥ p3k3

Resultado de convergˆencia para o ponto fixo

´

E poss´ıvel construir PK para cada K de forma que lim

K →∞P ∗

K = {ˆp, ˆp, ˆp}

Como f ´e cont´ınua, ent˜ao

I f1(ˆp) ≥ ˆp1

I f2(ˆp) ≥ ˆp2

I f3(ˆp) ≥ ˆp3

Algoritmo

Objetivo:

I Dado PK, encontrar PK∗.

I Quanto maior K , melhor ser´a a aproxima¸c˜ao a ˆp Convergˆencia:

Proposi¸c˜

ao

Seja {pj1_{, p}j2_{, p}j3} um conjunto primitivo e pjα _{um vetor espec´ıfico deste}

conjunto. Com exce¸c˜ao de um caso excepcional, ∃! pj _{∈ P}

K\ {pjα} tal que

({pj1_{, p}j2_{, p}j3_{} \ {p}jα_{}) ∪ {p}j_}

forma um conjunto primitivo.

Obs.: O caso excepcional ocorre quando os 2 vetores pji_{, com i 6= α s˜ao}

Algoritmo

Crit´erio de reposi¸c˜ao:

I seja {pj1_{, p}j2_{, p}j3_{} um conjunto primitivo} I suponha que pji i = min(p j1 i , p j2 i , p j3 i )

I suponha que queremos excluir pj1 _{do conjunto} I denote j_i∗ o ´ındice tal que pj

∗ i 1 = min(p j2 1, p j3 1) I substitua pj1 _por pj = max PK {pn i∗; p_in> p ji i para i 6= 1, i ∗_{e p}n 1> p ji ∗ 1 }

ou pela face do simplex na qual pi∗= 0 se o problema acima n˜ao

Algoritmo

Rotina:

I considere {pj∗_{, p}2_{, p}3_{} em que p}j∗_{= max} PK{p n 1; n 6= 2, 3} I note que min(pj_i∗, p2_i, p3_i) =  p_ij∗ se i = 1 0 caso contr´ario e que este conjunto ´e primitivo

I se o ´ındice de pj∗_{´e i = 1, j´a encontramos P}∗ K

I caso contr´ario, exclua do conjunto o vetor que j´a se sabia ter ´ındice i

I obtenha o vetor substituto segundo o crit´erio de reposi¸c˜ao

Referˆencias

Scarf, H. (1967). The Approximation of Fixed Points of a Continuous Mapping. SIAM Journal on Applied Mathematics Vol. 15 (5), pp. 1328-1343.

Scarf, H. & Hansen, T. (1973). The Computation of Economic Equilibria, Cowles Foundation for Research in economics at Yale University, Monograph No. 24, New Haven, CT and London, UK: Yale University Press.

Scarf, H. (1969). An Example of an Algorithm for Calculating General Equilibrium Prices. The American Economic Review. Vol. 59(4), pp. 669-677.