Daniel Strufaldi Batista. Ambiente Integrado de simulação e teste de um sistema de determinação e estimação de atitude utilizando sensores MEMS

Daniel Strufaldi Batista

Ambiente Integrado de simulação e teste de

um sistema de determinação e estimação de

atitude utilizando sensores MEMS

Londrina

Daniel Strufaldi Batista

Ambiente Integrado de simulação e teste de um

sistema de determinação e estimação de atitude

utilizando sensores MEMS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica da Uni-versidade Estadual de Londrina, como requi-sito parcial à conclusão do Curso de Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. MSc. Francisco Granziera Júnior

Londrina

Daniel Strufaldi Batista

Ambiente Integrado de simulação e teste de um

sistema de determinação e estimação de atitude

utilizando sensores MEMS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica da Uni-versidade Estadual de Londrina, como requi-sito parcial à conclusão do Curso de Engenharia Elétrica.

Trabalho aprovado. Londrina, ____ de Novembro de 2013:

Prof. MSc. Francisco Granziera Júnior Orientador

Prof. Dr. Marcelho Carvalho Tosin Co-Orientador

Prof. Dr. Leonimer Flávio de Melo Convidado 1

Londrina

Dedico este trabalho à toda minha família, em especial aos meus pais, que nunca mediram esforços em me ajudar. Com certeza, esse trabalho não teria sido possível sem essa completa

Agradecimentos

∙ A todos os meus amigos que fizeram parte de minha vida nesses últimos anos. Em es-pecial aos grandes parceiros nessa longa caminhada, Danilo, Luiz, Rodrigo, Guilherme, Roberto, Danae, João Gabriel, Rafael, Raul, entre outros diversos, os quais seriam capaz de preencher uma página

∙ À minha família, que nunca deixou de me apoiar ou acreditar em mim

∙ Aos meus orientadores e hoje amigos, Francisco Granziera Júnior e Marcelo Carvalho Tosin, por acreditarem e me darem a oportunidade de trabalhar nos projetos e também por todo ensinamento ao longo do último ano, pois, com certeza, esse trabalho não seria possível sem o aprendizado que obtive de vocês

∙ Aos técnicos do curso de Eng. Elétrica da UEL, por toda ajuda e suporte a todos os trabalhos desenvolvidos ao longo da minha graduação

∙ A minha namorada e amiga Marinara, por estar sempre presente nestes quase três anos de convivência

"O sucesso nasce do querer, da determinação e persistência em se chegar a um objetivo. Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no mínimo fará coisas admiráveis". (José de Alencar)

Resumo

Este trabalho descreve uma plataforma integrada de simulação e teste para um sistema de determinação e estimação de atitude a partir do uso de sensores MEMS. O sistema é capaz de simular movimentos no espaço livre, aplicar modelos de primeira ordem à tríades de sensores, determinar atitude a partir de dois vetores, propagar a atitude por meio de girômetros, estimar o bias e filtrar a atitude por meio de um Filtro de Kalman e sistemas auxiliares, tais como filtros heurísticos e algoritmos de auto-calibração. Um sistema com sensores reais encontra-se conectado a plataforma por meio de uma interface serial. Este sistema é composto por uma placa micro-controlada conectada a quatro outras placas, dispostas em um formato tetraédrico, que possuem acelerômetros, magnetômetros e girômetros MEMS. Os dados obtidos através dos sensores são entregues para a plataforma integrada e processados pela mesma de modo a de-terminar e estimar a atitude. A plataforma ainda apresenta uma interface gráfica 3D capaz de representar o movimento de um objeto qualquer desenhado a partir da atitude calculada. Na conclusão, o trabalho apresenta uma ampla gama de resultados obtidos a partir do processamento das informações dos senso-res pela plataforma, discutindo diversos senso-resultados, principalmente aqueles relacionados à estimação de atitude a partir Filtro de Kalman e a importância de calibração de sensores MEMS.

Abstract

This work describes an integrated platform used for simulation and testing of an attitude determina-tion and estimadetermina-tion system based on MEMS sensors. The system is capable of simulating modetermina-tion in free space, applying first order models to triads of sensors, determining attitude from two vectors, propagating attitude throughout gyrometers information, estimate the attitude bias and filtering it using a Kalman fil-ter and auxiliary systems, such as heuristic filfil-ters and algorithms for self-calibration. A system with real sensors is connected to the platform via serial interface. This system consists of a micro-controlled board connected to four other boards arranged in a tetrahedral shape. Those boards have MEMS accelerome-ters, magnetometers and gyrometers. Data obtained from the sensors are delivered to the platform and processed by it in order to determinate and estimate attitude. The platform also features a 3D graphi-cal interface capable of representing the movement of any drawn object using attitude information. In conclusion, the work presents a wide range of results obtained from the processing of the sensors infor-mation by the platform, discussing several results, especially those related to attitude estiinfor-mation using Kalman filter and the importance of MEMS sensors calibration.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Representação dos ângulos de Euler. . . 40

Figura 2 – Sequência Aeroespacial utilizando ângulos de Euler. . . 41

Figura 3 – Exemplo de rotação em R2. . . 42

Figura 4 – Quatérnion representando atitude. . . 45

Figura 5 – Fluxograma básico de uma possibilidade para determinação e estimação de atitude. . . 47

Figura 6 – Representação do Sistema de Coordenadas Local. . . 48

Figura 7 – Representação do Sistema de Coordenadas Celestial. . . 49

Figura 8 – Filtro de Kalman proposto para unir dados de um Determinador de Atitude com informações de girômetros. . . 55

Figura 9 – Estrutura mecânica do experimento MEMS. . . 64

Figura 10 – Vista explodida do experimento MEMS. . . 65

Figura 11 – Esquemático eletrônico para a placa principal e de sensores do experimento MEMS. . . 66

Figura 12 – Modos de operação do software embarcado. . . 71

Figura 13 – Roteamento da primeira versão da placa principal. . . 73

Figura 14 – Roteamento da primeira versão da placa de sensores. . . 74

Figura 15 – Placa fabricada da primeira versão da placa de sensores ao lado de uma moeda. 74 Figura 16 – Roteamento da segunda versão da placa principal. . . 76

Figura 17 – Roteamento da segunda versão da placa de sensores. . . 76

Figura 18 – Placa de sensores com os componentes soldados. . . 77

Figura 19 – Superfície superior da ferramenta de desenvolvimento MCBSTM32EXL. . . 78

Figura 20 – Esquema elétrico da placa intermediária. . . 80

Figura 21 – Projeto de roteamento da placa intermediária. . . 81

Figura 22 – Diagrama do Hardware desenvolvido para o Modelo Elétrico. . . 82

Figura 23 – Montagem Final do Modelo Elétrico. . . 83

Figura 24 – Fluxograma do software desenvolvido para o Modelo Elétrico. . . 85

Figura 25 – Diagrama simplificado do modelo desenvolvido. . . 90

Figura 26 – Diagrama proposto para simulação do determinador de Atitude. . . 92

Figura 27 – Diagrama proposto para determinador de Atitude do Modelo Elétrico. . . . 93

Figura 28 – Blocos para cálculo da velocidade angular (𝜔) de um corpo. . . 98

Figura 30 – Bloco para conversão de um quatérnion em uma medida de sensor a partir

de dada referência. . . 100

Figura 31 – Bloco para adição de erros em girômetros. . . 101

Figura 32 – Ilustração dos erros causados pelo desvios de ângulos. . . 102

Figura 33 – Bloco para adição de erros em sensores de referência. . . 103

Figura 34 – Bloco para visualização Gráfica de um objeto a partir de um quatérnion. . . 104

Figura 35 – Reprodução do Modelo Elétrico feita em SolidWorks. . . 104

Figura 36 – Imagem do desenho reduzido para o Modelo Elétrico, a esquerda no soft-ware SolidWorkse a direita no Simulink. . . 105

Figura 37 – Bloco para correção dos valores obtidos pelos girômetros através de parâ-metros de correções fornecidos. . . 106

Figura 38 – Bloco para correção dos valores obtidos por acelerômetros ou magnetôme-tros através de parâmemagnetôme-tros de correções fornecidos. . . 107

Figura 39 – Bloco para cálculo da covariância e da atitude através do algoritmo TRIAD. 107 Figura 40 – Sistema para o cálculo e execução do Filtro de Kalman. . . 109

Figura 41 – Blocos responsáveis pela comunicação com o Modelo Elétrico e separação dos dados conforme necessário. . . 112

Figura 42 – Bloco responsável por gerar os vetores de referência para os sensores ACC e MAG. . . 113

Figura 43 – Bloco responsável por gerar os vetores de referência para os sensores ACC e MAG. . . 113

Figura 44 – Bloco responsável por converter os dados dos girômetros do formato tetraé-drico para formato triaxial (x,y,z). . . 114

Figura 45 – Disposição Tetraédrica dos girômetros no Modelo Elétrico. . . 114

Figura 46 – Informações sobre o eixo de medição do girômetro. . . 115

Figura 47 – Bloco responsável por converter o valor, em bits, do Contador do Timer do microcontrolador para segundos. . . 116

Figura 48 – Gráfico relacionando o tempo, em segundos, entre a iteração anterior e a atual.117 Figura 49 – Proposta de implementação para o Filtro Heurístico . . . 117

Figura 50 – Proposta de bloco a ser implementado para o sistema de Auto-Calibração . . 118

Figura 51 – Proposta de objeto simulado pelos cenários 1 a 4. . . 121

Figura 52 – Velocidade angular e quatérnion verdadeiro para o primeiro cenário. . . 122

Figura 53 – Quatérnion verdadeiro separado por componente para o primeiro cenário. . 123

Figura 54 – Quatérnions do TRIAD (azul) e FK (vermelho) sobrepostos separados por componente para o primeiro cenário. . . 123

Figura 55 – Quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos com zoom separados por compo-nente para o primeiro cenário. . . 124

Figura 56 – Erros e covariâncias dos quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos separados por componente para o primeiro cenário. . . 124

Figura 57 – Erros e covariâncias do bias do FK por eixo e bias estimado para o primeiro cenário. . . 125 Figura 58 – Quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos por componente para o segundo

cenário. . . 126 Figura 59 – Quatérnions do TRIAD e FK aproximados. . . 126 Figura 60 – Erros e covariâncias dos quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos separados

por componente para o segundo cenário. . . 127 Figura 61 – Erros e covariâncias do bias do FK por eixo e bias estimado para o segundo

cenário. . . 127 Figura 62 – Quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos separados por componente para o

terceiro cenário. . . 129 Figura 63 – Quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos com zoom separados por

compo-nente para o terceiro cenário. . . 129 Figura 64 – Erros e covariâncias dos quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos separados

por componente para o terceiro cenário. . . 129 Figura 65 – Erros e covariâncias do bias do FK por eixo e bias estimado para o terceiro

cenário. . . 130 Figura 66 – Quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos separados por componente para o

quarto cenário. . . 131 Figura 67 – Quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos com zoom separados por

compo-nente para o quarto cenário. . . 131 Figura 68 – Erros e covariâncias dos quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos separados

por componente para o quarto cenário. . . 132 Figura 69 – Erros e covariâncias do bias do FK por eixo e bias estimado para o quarto

cenário. . . 132 Figura 70 – Velocidade angular e quatérnion verdadeiro para o quinto cenário. . . 133 Figura 71 – Quatérnion verdadeiro separado por componente para o quinto cenário. . . . 133 Figura 72 – Erros e covariâncias dos quatérnions do TRIAD e FK sobrepostos separados

por componente para o quinto cenário. . . 134 Figura 73 – Erros e covariâncias do bias do FK por eixo e bias estimado para o quinto

cenário. . . 134 Figura 74 – Quatérnion obtido com dados do AHRS para rotação em torno de z. . . 136 Figura 75 – Quatérnion obtido com dados do AHRS para rotação em torno sequencial

em cada eixo seguida de movimento na forma de caracol. . . 137 Figura 76 – Quatérnion obtido com dados do AHRS para movimento aleatório. . . 137 Figura 77 – Quatérnions obtidos com dados do AHRS (vermelho) e Tetra (azul)

sobre-postos para movimento aleatório. . . 139 Figura 78 – Quatérnions obtidos com dados do AHRS (vermelho) e Tetra (azul)

Figura 79 – Quatérnions obtidos com dados do AHRS (vermelho) e Tetra (azul) sobre-postos para movimento em forma de caracol. . . 140 Figura 80 – Esfera unitária com dados sem normalização dos ACC e MAG do Tetraedro

e AHRS sem calibração . . . 141 Figura 81 – Esfera unitária com dados sem normalização dos ACC e MAG do Tetraedro

e AHRS sem calibração . . . 141 Figura 82 – Esfera unitária com dados dos ACC e MAG do Tetraedro e AHRS após

calibração. . . 142 Figura 83 – Quatérnions obtidos com dados do AHRS (vermelho) e Tetra (azul)

sobre-postos para movimento aleatório pós calibração. . . 143 Figura 84 – Quatérnions obtidos com dados do AHRS (vermelho) e Tetra (azul)

sobre-postos para movimento aleatório pós calibração. . . 143 Figura 85 – Quatérnions obtidos com dados do AHRS (vermelho) e Tetra (azul)

sobre-postos para movimento em torno do eixo z pós calibração. . . 144 Figura 86 – Dados dos girômetros de AHRS e Tetraedro obtidos e transformados a mesma

referência para um movimento em torno de um único eixo. . . 145 Figura 87 – Dados dos girômetros de AHRS e Tetraedro obtidos e transformados a mesma

referência para um movimento aleatório. . . 145 Figura 88 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para rotação no eixo z sem

perturbações. . . 147 Figura 89 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para rotação no eixo z com

perturbações. . . 148 Figura 90 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para rotação no eixo z

esti-mando a cada 50 iterações. . . 149 Figura 91 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para rotação no eixo z

esti-mando a cada 50 iterações com aproximação da imagem. . . 149 Figura 92 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para um movimento aleatório. 150 Figura 93 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para um movimento aleatório

com aproximação em períodos quaisquer. . . 151 Figura 94 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para um movimento sem

mu-dança de apontamento com períodos de queda livre sem atualização do es-tado do FK durante o intervalo da queda. . . 152 Figura 95 – Quatérnion qTriad (azul) e qEstFK (vermelho) para um movimento sem

mu-dança de apontamento com períodos de queda livre, com atualização do es-tado durante queda livre. . . 153

Figura 96 – Captura de imagem da tela do Simulink para o Modelo de simulação de sensores e atitude. . . 167 Figura 97 – Captura de imagem da tela do Simulink para o Modelo de calculo de atitude

Lista de tabelas

Tabela 1 – Comparativo entre os três métodos de representação de atitudes mais

utili-zados. . . 46

Tabela 2 – Características do ADIS16100. . . 69

Tabela 3 – Características do AIS326DQ. . . 69

Tabela 4 – Características do HMC5883L. . . 70

Tabela 5 – Descrição das possibilidades de comunicação entre o microcontrolador e o ambiente. Dado recebido pelo Microcontrolador e os dados enviados como resposta. . . 95

Lista de abreviaturas e siglas

ACC Acelerômetro

ACS Attitude Control System

AHRS Attitude and Heading Reference System

CI Circuito Integrado

COTS Commercial-of-the-shelf

DCM Direct Cosine Matrix

ENIG Electroless nickel immersion gold

EKF Filtro de Kalman estendido (Extended Kalman Filter)

FK Filtro de Kalman

FPU Floating-Point Unit

GYR Girômetro

I2C Inter-Integrated Circuit JTAG Joint Test Action Group

LED Light Emitting Diode

MAG Magnetômetro

ME Modelo Elétrico Experimento MEMS

MEMS Micro-Electro-Mechanical-Systems

MISO Master-in-Slave-Out

MOSI Master-out-Slave-in

PCI Placa de Circuito Impresso

QUEST QUaternion ESTimator

SPI Serial Peripheral Interconnect TRIAD TriAxis Attitude Determination

UAV Unmanned Aerial Vehicle

Lista de símbolos

i, j, k Números complexos que formam uma base canônica

𝜎2

𝑥 Variância de um vetor x qualquer

Ψ, 𝜃, 𝜙 Ângulos de Euler. Representação de Yaw, Pitch, e Roll, respectivamente

^ u Vetor unitário ⌣ 𝑞 Quatérnion ˙ ⌣

𝑞 (𝑡) Derivada temporal do quatérnion⌣𝑞

𝑞0 ou 𝑞4 Componente escalar do Quatérnion 𝑞1, 𝑞2 e 𝑞3 Componentes vetoriais do Quatérnion q Parte vetorial do quatérnion

b Vetor de bias retro-alimentado às medidas dos girômetros

𝜔 Vetor velocidade angular

u Vetor de medidas dos girômetros na base tríade

Ω4 Operador linear de distribuição

𝜂1 Vetor de ruído aditivo presente nas medidas dos girômetros 𝜂2 Vetor da taxa de deriva do bias dos girômetros

P(𝑡) Matriz de covariância do estado

A Matriz de Atitude

I Matriz Identidade (dimensão especificada)

R Matriz de Rotação

W Matriz de conversão de base tetraédrica para tríade

I𝑟 A matriz de inércia do corpo com elementos não-nulos apenas em sua dia-gonal principal

m Uma sequência de torques aplicados sobre um corpo

R𝑧

Ψ Matriz de rotação de Ψ graus em torno do eixo z R𝑦_𝜃 Matriz de rotação de 𝜃 graus em torno do eixo y R𝑥

𝜙 Matriz de rotação de 𝜙 graus em torno do eixo x 𝐿𝑞(.) Operador linear de rotação

^

vi Vetor unitário de referência ^

wi Vetor unitário de observação ^

r𝑖 Tríade de referência obtida a partir de ^vi ^s𝑖 Tríade de observação obtida a partir de ^wi M𝑟𝑒𝑓 Matriz de referência formada a partir de ^r𝑖 M𝑜𝑏𝑠 Matriz de observação formada a partir de ^s𝑖

P𝜃𝜃 Matriz de covariância da atitude calculada pelo TRIAD

Δ𝜃 Vetor ângulo incremental

M(Δ𝜃) Matriz de transição para o quatérnion

Φ𝑘 Matriz ou função de transição

x(+)_𝑘 Vetor estado propagado após a estimação x(−)_𝑘+1 Estado propagado

⌣

𝑞(−)_𝑘+1 Componente quaterniônica do Estado propagado b(−)_𝑘+1 Componente do bias do Estado propagado

˜

Φ𝑘 Matriz de transição reduzida ˜

Q𝑘 Matriz reduzida de covariância do sistema ^

x(−)_𝑘 Vetor estado propagado antes da estimação ^

x(+)_𝑘 Vetor estado propagado após a estimação

K𝑘 Matriz ganho de Kalman

˜

P(−)_𝑘 Matriz de covariância reduzida propagada antes da estimação ˜

P(+)_𝑘 Matriz de covariância reduzida propagada após a estimação

˜

K𝑘 Matriz ganho de Kalman reduzida ˜

H𝑘 Matriz de medida reduzida S𝑘(.) Matriz de redução

Ξ(.) Operador de distribuição

qEstFK Quatérnion estimado pelo Filtro de Kalman

qTriad Quatérnion calculado pelo algoritmo TRIAD

qTrue Quatérnion calculado pelo gerador de movimentos

MAG(x,y,z) Dados lidos de um magnetômetro três eixos

ACC(x,y,z) Dados lidos de um acelerômetro três eixos

GYR(1,2,3,4) Velocidade angular obtida por quatro girômetros de um eixo

GYR_tmp(1,2,3,4) Temperatura obtida por quatro girômetros de um eixo

∆𝑡 Intervalo de tempo entre duas iterações do Ambiente Integrado

Sumário

I

Sobre o Trabalho

31

1 Introdução . . . . 33 1.1 O tema . . . 33 1.2 A Meta . . . 34 1.2.1 Objetivos Gerais . . . 34 1.2.2 Objetivos Específicos . . . 34 1.3 Organização do Trabalho . . . 35

II Revisão da Literatura

37

2 Atitude . . . . 39 2.1 Representação de Atitude . . . 39 2.1.1 Ângulos de Euler . . . 39 2.1.2 Matriz de Rotação . . . 41 2.1.3 Quatérnions . . . 43 2.1.3.1 Definição de Quatérnion . . . 44 2.1.3.2 Representação de Atitude com Quatérnions . . . 44 2.1.3.3 Duplicidade de Representação em Quatérnions . . . 45 2.1.4 Comparativo rápido entre os métodos . . . 46

3 Determinação e Estimação da Atitude . . . . 47

3.1 Sistema de Coordenadas e Vetores de Referência para Atitude . . . 48 3.2 Sensores de Atitude . . . 50 3.2.1 Sensores Inerciais . . . 50 3.2.2 Sensores de Referência . . . 51 3.2.3 Acelerômetro . . . 52 3.3 Algoritmo para Determinação de Atitude - TRIAD . . . 53 3.4 Filtro de Kalman . . . 55 3.4.1 Concepção básica da Estimação Proposta . . . 55 3.4.2 Descrição das Etapas do Filtro . . . 57 3.4.2.1 Propagação . . . 57 3.4.2.2 Estimação . . . 59

III Experimento MEMS e seu Modelo Elétrico

61

4 Experimento MEMS . . . . 63 4.1 Projeto Mecânico . . . 63 4.2 Projeto Eletrônico . . . 65 4.2.1 Sistema de Alimentação . . . 67 4.2.2 Processamento e memória . . . 67 4.2.3 Circuitos de interface com os Computadores de Bordo . . . 67 4.2.4 Interconexões dos sensores . . . 68 4.2.5 Sensores . . . 68 4.3 Projeto de Software . . . 71 4.3.1 Modos de operação . . . 71 4.3.2 Processamento de dados . . . 72 4.4 Placa Principal e de Sensores . . . 72 4.4.1 Primeira versão do Hardware . . . 73 4.4.1.1 Placa Principal . . . 73 4.4.1.2 Placas de Sensores . . . 73 4.4.2 Segunda versão do Hardware . . . 75 4.4.2.1 Placa Principal . . . 75 4.4.2.2 Placas de Sensores . . . 75

5 Modelo Elétrico E-MEMS . . . . 77

5.1 Etapas na construção e Hardware do Modelo . . . 77 5.1.1 Montagem das placas de sensores . . . 77 5.1.2 Placa de desenvolvimento MCBSTM32EXL . . . 78 5.1.3 Placa intermediária . . . 79 5.1.4 Resultados testes iniciais do sistema . . . 81 5.1.5 Esquema Físico do Modelo . . . 82 5.1.6 Fabricação e Montagem do Modelo Tetraédrico em Acrílico . . . 83 5.2 Software do Modelo . . . 84 5.2.1 Requisitos de Software . . . 84 5.2.2 Fluxograma de Funcionamento . . . 84

IV Ambiente Integrado de Simulação e Processamento de

da-dos

87

6 Ambiente Integrado para Determinação de Atitude . . . . 89

6.1 Diagrama e requisitos básicos . . . 89 6.2 Descrição do Modelo com Simulador de Sensores . . . 90 6.3 Descrição do Modelo para interface com Sensores Reais . . . 92

6.3.1 Modos de operação do microcontrolador e ambiente . . . 94

7 Blocos do Ambiente . . . . 97

7.1 Blocos exclusivos aos dados simulados . . . 97 7.1.1 Gerador de Movimentos . . . 97 7.1.1.1 Cálculo de velocidade angular . . . 97 7.1.1.2 Cálculo do quatérnion . . . 98 7.1.2 Simulação das medidas de sensores . . . 99 7.1.3 Adição de erros aos sensores simulados . . . 100 7.1.3.1 Sensor Inercial - Girômetro . . . 100 7.1.3.2 Sensores de referência - Acelerômetro e Magnetômetro . . . 101 7.2 Blocos Principais . . . 103 7.2.1 Modelo para visualização gráfica . . . 103 7.2.2 Correção de parâmetros dos sensores . . . 105 7.2.2.1 Sensor Inercial - Girômetro . . . 105 7.2.2.2 Sensores de referência - Acelerômetro e Magnetômetro . . . 106 7.2.3 TRIAD . . . 107 7.2.4 Propagador/Estimador (Filtro de Kalman) . . . 108 7.2.4.1 Propagação . . . 109 7.2.4.2 Estimação . . . 110 7.3 Blocos exclusivos ao modelo com dados reais . . . 111 7.3.1 Comunicação Serial e Separação de Dados . . . 112 7.3.2 Gerador de referência . . . 112 7.3.3 Conversão modelo tetraédrico para tríade . . . 114 7.3.4 Cálculo do Delta T para o Filtro de Kalman . . . 116 7.3.5 Filtro Heurístico . . . 117 7.3.6 Auto-Calibrador . . . 118

8 Resultados . . . 119

8.1 Modelo com dados de sensores simulados . . . 120 8.1.1 Cenário 1 . . . 122 8.1.2 Cenário 2 . . . 125 8.1.3 Cenário 3 . . . 128 8.1.4 Cenário 4 . . . 130 8.1.5 Cenário 5 . . . 133 8.2 Comparação do Modelo com AHRS . . . 135 8.2.1 Primeiro Teste - Validação do Ambiente Integrado . . . 136 8.2.2 Segundo Teste - Resultados pré e pós Calibração Magnetômetro . . . . 138 8.2.2.1 Resultados a Priori da Calibração . . . 139 8.2.2.2 Resultados após a calibração . . . 142

8.2.3 Dados dos Girômetros . . . 144 8.3 Modelo com dados reais . . . 146 8.3.1 Rotações em um único eixo . . . 147 8.3.1.1 Estimação do estado a cada 10 iterações . . . 147 8.3.1.2 Estimação do estado a cada 50 iterações . . . 148 8.3.2 Movimento aleatório . . . 150 8.3.3 O exemplo da Queda Livre . . . 151

V Fechamento

155

9 Conclusão . . . 157

9.1 Discussão dos Resultados . . . 157 9.2 Para trabalhos Futuros . . . 158 9.3 Considerações finais . . . 159

Referências . . . 161 APÊNDICE A Softwares ME . . . 163

A.1 Função Main . . . 163 A.2 Função de Interrupção . . . 166

APÊNDICE B Modelos do Simulink . . . 167

B.1 Modelo de Simulink montado para simulação . . . 167 B.2 Modelo de Simulink utilizado para o calculo de atitude através de sensores reais 168

APÊNDICE C Códigos em Simulink . . . 169

C.1 Código para o Bloco EQ_Euler . . . 169 C.2 Código para o Bloco de cinemática . . . 169 C.3 Código para o Bloco de Simulink gyro model . . . 169 C.4 Código para o Bloco de Simulink sensor model . . . 170 C.5 Códigos para os Blocos de Simulink inv gyro model . . . 170 C.6 Códigos para os Blocos de Simulink inv sensor model . . . 170 C.7 Códigos para o Bloco TRIAD . . . 170 C.8 Códigos para o Bloco Propagador FK . . . 171 C.9 Códigos para o Bloco de Estimador FK: . . . 172 C.10 Código Bloco Tetra 2 Triad . . . 174

APÊNDICE D Códigos para Plotagem . . . 175

D.1 Código em Matlab para plotagem dos dados de simulação . . . 175 D.2 Código em Matlab para plotagem dos dados do Tetraedro . . . 177 D.3 Código em Matlab para plotagem dos dados dos sensores nas esferas unitárias . 177

Parte I

33

1 Introdução

1.1

O tema

Qualquer satélite, independente do seu tipo e tamanho, tem como função executar ta-refas onde seja essencial sua comunicação com outros corpos espaciais, com a Terra, ou um dispositivo qualquer. Para que seja possível estabelecer uma troca de dados, entretanto, os ins-trumentos do satélite devem estar apontados para as devidas direções, que previamente deter-minada, ou tal ação não será consumada.

Atitude, esse é o termo utilizado para definir o apontamento, ou seja, a orientação de um objeto em relação a uma referência.

Por conseguinte, para garantir que um satélite desenvolva suas funções plenamente, é primordial que o mesmo tenha sua atitude controlada conforme o desejado, implicando, assim, que o mesmo possua um sistema de controle para esse parâmetro. O nome comumente utilizado para tal controle é ACS (Attitude Control System).

Obviamente, para se ter controle de algum parâmetro é necessário também conhecê-lo. Assim, não menos importante que o sistema de controle de atitude, é o sistema utilizado para determinar o apontamento de um objeto.

Atualmente, existem diversas maneiras para se determinar a atitude ou apontamento de um objeto. Os métodos mais comuns fazem uso de sensores de referência tais como, sensores magnéticos, sensores de sol, sensores de estrelas e outras possíveis grandezas físicas que sirvam de referência. Meios mais sofisticados também incluem a dinâmica do corpo, dessa forma, utilizam sensores inerciais para medidas de velocidade angular e acelerações.

Contudo, determinar a atitude, não é um problema exclusivo de objetos espaciais. Em um avião, por exemplo, é inimaginável que o mesmo não tenha sua atitude calculada, controlada e por fim representada na cabine. A estes sistemas em aviões é dado o nome AHRS (Attitude and heading reference system). Sistemas como aeronaves, que não são submetidos a ambientes de microgravidade, podem fazer uso de sensores de aceleração, para medida do campo gravita-cional, como referência à inclinação e magnetômetros, para medição do campo geomagnético, para medida do apontamento. Além desses, sensores de velocidade angular e medidas de ângulo por GPS também são utilizados na estimação da atitude.

Aplicações domésticas de determinação de atitude, tais como controles de video games, celulares, UAV, utilizam-se de sensores conhecidos como MEMS, que são sensores de baixo custo e desempenho, mas que através do uso de algoritmos sofisticados resultem em valores de atitude com uma precisão satisfatória para tais aplicações.

Dessa maneira, esse trabalho propõem a implementação de um sistema, em software, que seja capaz de determinar e estimar a atitude de um corpo a partir de dados obtidos com sensores MEMS, como magnetômetros, acelerômetros e girômetros, desenvolvendo ainda um

34 Capítulo 1. Introdução

hardware com esses sensores para testes práticos, em conjunto com o ambiente integrado de simulação para desenvolvimento, validação e simulação dos algoritmos utilizados.

1.2

A Meta

1.2.1

Objetivos Gerais

Mediante a importância e necessidade da determinação de atitude em diversas aplica-ções, esse trabalho tem como principal objetivo desenvolver, em um ambiente (software) único, um modelo capaz de simular e testar um sistema de determinação e estimação de atitude.

Visando o uso em aplicações tanto terrestres quanto espaciais, e, sabendo que ambas fazem uso de sensores como magnetômetros, acelerômetros e girômetros, o modelo trabalhará com estas duas vertentes e utilizará tanto dados reais quanto dados simulados. No caso do uso de dados simulados, o próprio ambiente irá gerar a leitura dos sensores, a partir do movimento de um corpo abstrato também gerado em software. Já para dados reais, o modelo fará o tratamento de dados recebidos do hardware montado.

O hardware que será montado para este desenvolvimento tem como base o projeto do Experimento MEMS, descrito em (TOSIN; GRANZIERA JR., 2011).

1.2.2

Objetivos Específicos

Para alcançarmos a proposta anterior, alguns objetivos mais pontuais e específicos são necessários, sendo ou consequências ou necessidades do trabalho. Esses são:

∙ Desenvolvimento de um Modelo Elétrico do Experimento MEMS.

∙ Comprovação do hardware desenvolvido para o Experimento MEMS (CARVALHO NETO, 2012).

∙ Desenvolvimento do hardware/software embarcado necessários para o Modelo Elétrico.

∙ Validação e novos testes com os algoritmos apresentados por (GRANZIERA JR., 2006).

∙ Verificação e comprovação da importância da calibração para os sensores MEMS utiliza-dos.

1.3. Organização do Trabalho 35

1.3

Organização do Trabalho

O trabalho está divido em dez capítulos divididos em cinco partes, sendo a primeira parte referente a essa seção. O restante do trabalho segue o seguinte formato:

∙ Parte 2 - Revisão de Literatura. Esta é responsável por fazer um levantamento e apresentar a teoria envolvida no processo de estimação de atitude. Em um capítulo faz-se a discussão sobre atitude e seus métodos de representação enquanto no outro é tratado exclusivamente dos meios para determinação e estimação da atitude.

∙ Parte 3 - Experimento MEMS e Modelo Elétrico. O primeiro capítulo nesta parte (capítulo 4 deste trabalho) apresenta a versão inicial do Experimento MEMS, descrita em (TOSIN; GRANZIERA JR., 2011) e o trabalho já realizado acerca do experimento, apresentado em (CARVALHO NETO, 2012), na sequência são apresentadas as novas mudanças já conhecidas para a segunda versão, cujo desenvolvimento é feito paralelamente a este tra-balho. Já o quinto capítulo do trabalho é responsável por apresentar o Modelo Elétrico proposto e construído neste trabalho para o experimento MEMS, descrevendo os hardwa-res e softwahardwa-res que foram criados para tornar o sistema funcional e também as partes mecânicas para tornar a geometria do Modelo o mais próxima possível da ideia presente no E-MEMS.

∙ Parte 4 - Ambiente Integrado de Simulação e Processamento de dados. Esta é a principal parte do trabalho e é dividida em três capítulos. No primeiro capítulo, são apresentados os conceitos, fluxogramas, requisitos, métodos de funcionamento entre outros quesitos sobre o Ambiente Integrado proposto para a determinação e estimação de atitude no soft-ware Simulink, tanto para o sistema capaz de simular sensores quanto ao modelo capaz de se comunicar com o Modelo Elétrico desenvolvido. Em um segundo momento, há uma ampla discussão sobre cada passagem implementada no Ambiente Integrado, destacando os algoritmos, códigos e soluções necessárias para o Ambiente se tornasse funcional. Finalmente, o último capítulo desta parte apresenta e discuti os resultados obtidos atra-vés da interface do Ambiente Integrado com os sensores presentes no Modelo Elétrico, comparando-os ainda com os dados simulados e com um equipamento AHRS da empresa INNALABS.

∙ Parte 5 - Fechamento. Nesta são feitas as discussões finais sobre os principais pontos abordados em todo o restante do trabalho.

Parte II

39

2 Atitude

Nesse capítulo é abordado o tema Atitude e principalmente suas possíveis representa-ções. Uma grande parcela de informações presentes nesse são baseadas nas teorias reproduzidas em (KUIPERS, 1999) e (SIDI, 2000).

Não existe uma definição totalmente aceita para o termo atitude. Inclusive, esta pode va-riar muito dependendo da área de aplicação, porém, fundamentalmente, o termo atitude refere-se a posição de um corpo dado um referencial. Para melhor compreensão, refere-segue a definição dada em (TAKAHASHI, 2010), que conceitua de uma maneira ampla o termo em questão:

A atitude de um objeto pode ser definida como sua orientação no espaço, ou seja, a rotação ou a posição angular em que o mesmo se encontra em relação a uma posição angular de referência.

2.1

Representação de Atitude

São diversas as maneiras para a representação de atitude. Em (SHUSTER, 1993) há uma ampla discussão acerca de diversos métodos.

Por questões práticas, este trabalho representará apenas as três maneiras mais comuns, que são:

∙ Ângulos de Euler;

∙ Matriz de rotação;

∙ Quatérnions;

Apesar de possuírem caraterísticas distintas, discutidas na seção 2.1.4, é válido afirmar que todas recaem em uma matriz de atitude que realiza a rotação de um sistema de coordenadas de referência para um segunda, de observação.

Nas seções seguintes os princípios básicos de cada representação são discutidos.

2.1.1

Ângulos de Euler

Talvez esta seja a representação mais popular sobre sequências de rotações. O nome deve-se ao seu inventor, Leonard Euler, matemático e físico suíço, que enunciou o seguinte teorema:

Dados dois sistemas de coordenadas ortogonais e independentes eles podem ser associados por uma sequência de rotações (não mais que três) sobre os eixos de coordenadas, desde que não haja duas rotações consecutivas sobre um mesmo eixo.

40 Capítulo 2. Atitude

Em outras palavras, Euler afirma que é possível reproduzir uma rotação a partir de três rotações em sequência (dadas por um ângulo), desde que não haja rotações em sequência sobre um mesmo eixo. Comumente, utilizamos as letras gregas Ψ (Psi) , 𝜃 (theta), 𝜙 (phi) para representar os ângulos de Euler nos eixos x, y e z, respectivamente. Na figura 1 é possível visualizar os ângulos.

Figura 1 – Representação dos ângulos de Euler.

Como afirmado por Euler, são necessárias três rotações desde que duas não sejam feitas seguidas no mesmo eixo, o que totalizam doze modos possíveis para representar a rotação de um corpo. Conhecer a ordem da rotação é de extrema importância, visto que os equacionamentos matemáticos variam de acordo com a mesma. As doze possibilidades são:

𝑋𝑌 𝑍 𝑌 𝑍𝑋 𝑍𝑋𝑌

𝑋𝑍𝑌 𝑌 𝑋𝑍 𝑍𝑌 𝑋

𝑋𝑌 𝑋 𝑌 𝑍𝑌 𝑍𝑋𝑍

𝑋𝑍𝑋 𝑌 𝑋𝑌 𝑍𝑌 𝑍

A sequência que merece destaque é dada por rotações seguidas sobre os eixos z, y e x, respectivamente, mais conhecida como Sequência Aeroespacial (ZYX). Por convenção, nesta, todos os ângulos seguem o sentido da regra da mão direita e são chamados de Arfagem (Yaw) representado pelo símbolo Ψ para rotações no eixo z, Elevação (Pitch) por 𝜃 no eixo y e Rolagem (Roll) por 𝜙 no eixo x, como mostra a figura 2.

Quando trabalhando com ângulos de Euler, é importante saber que existe uma restrição quanto ao intervalo de rotações dos mesmos, para que não haja a duplicidade de representação e o efeito chamando de gimbal lock. Portanto, os valores dos ângulos devem estar contidos nos intervalos mostrados na equação (2.1).

Ψ = [−𝜋, +𝜋] ; 𝜃 = [︂ −𝜋 2, + 𝜋 2 ]︂ ; 𝜙 = [−𝜋, +𝜋] (2.1)

2.1. Representação de Atitude 41

Figura 2 – Sequência Aeroespacial utilizando ângulos de Euler.

2.1.2

Matriz de Rotação

A Matriz de Rotação, também chamada na literatura por Matriz de Atitude ou Matriz de Cossenos Diretores (DCM), relaciona dois vetores em um espaço através da matriz que rotaciona um desses vetores até o outro. A equação 2.2 mostra sua relação básica.

v𝑜𝑏𝑠 = Rv𝑟𝑒𝑓 (2.2)

Sendo v𝑜𝑏𝑠o vetor observado, ou seja, a componente do sistema de coordenadas de ob-servação de um corpo, v𝑟𝑒𝑓 o vetor com as componentes do sistema de coordenada de referência e finalmente R, uma matriz quadrada que associa o vetor de referência com as coordenadas de observação.

Toda matriz de rotação, além de ser quadrada, possui duas propriedades matemáticas importantes, sendo essas as seguintes:

∙ São Ortogonais, ou seja, a inversa desta é equivalente à sua transposta;

∙ Determinante Unitário;

Antes de aprofundar no plano tridimensional, onde será dado o foco para a matriz de rotação para a rotação aeroespacial, é válido reforçar um argumento sobre rotações.

Existem duas maneiras de se representar uma rotação, que são:

∙ Rotação do Plano – Pontos Fixos

42 Capítulo 2. Atitude

Conforme mostrado em (KUIPERS, 1999), através de passagens matemáticas não apre-sentadas por aqui, a matriz de rotação para o primeiro caso é mostrada na equação 2.3 e para o segundo caso na 2.4. A𝑃 𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 = [︃ cos 𝛼 sin 𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 ]︃ (2.3) A𝑃 𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 = [︃ cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 ]︃ (2.4)

Conforme pode ser visto, uma é transposta da outra, mas, consoante a propriedade ma-temática apontada anteriormente elas consequentemente são inversas uma a outra, e, além desse fato, elas acabam sendo equivalentes. Para verificar essa última característica faz-se uma análise da figura 3.

Figura 3 – Exemplo de rotação em R2.

Sendo os eixos do Plano 𝑥 e 𝑦 e considerando o Ponto 𝑃 , para levarmos o eixo a𝑥 do Plano até esse ponto, é necessário rotacionar o Plano por um ângulo 𝛼. Entretanto, assumindo a rotação do Ponto, o mesmo deve ser rotacionado por −𝛼 para atingir o Plano. A partir das propriedades do sin e cos mostradas nas equações 2.5 e 2.6, e imaginando o segundo caso, ao substituir −𝛼 na matriz da equação 2.4, a mesma será equivalente a matriz da equação 2.3.

cos(𝛼) = cos(−𝛼) (2.5)

sin(𝛼) = − sin(−𝛼) (2.6)

Finalmente, sabendo que a análise seguiu o sentido de rotações mais comum, que se-gue a regra da mão direita (o sentido anti-horário é positivo), comprova-se que a matriz a ser utilizada para rotações em 2D é dada pela equação 2.3.

Partindo finalmente para a avaliação em um sistema de coordenadas tridimensionais, e considerando a rotação aeroespacial, a matriz de rotação será dada pela equação 2.7.

R = R𝑧ΨR 𝑦 𝜃R

𝑥

2.1. Representação de Atitude 43

Sendo as matrizes R𝑥 𝜙, R

𝑦

𝜃 e R𝑧Ψ, respectivamente, dadas pelas equações 2.8, 2.9 e 2.10.

R𝑥𝜙 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 cos 𝜙 sin 𝜙 0 − sin 𝜙 cos 𝜙 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (2.8) R𝑦_𝜃 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ cos 𝜃 0 − sin 𝜃 0 1 0 sin 𝜃 0 cos 𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (2.9) R𝑧Ψ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ cos Ψ sin Ψ 0 − sin Ψ cos Ψ 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (2.10)

Finalmente, substituindo os valores e realizando a multiplicação das matrizes, é obtido o resultado mostrado na equação 2.11.

R = R𝑥𝜙 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ cos(𝜃) 0 − sin(𝜃) 0 1 0 sin(𝜃) 0 cos(𝜃) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ cos(Ψ) sin(Ψ) 0 sin(Ψ) cos(Ψ) 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 cos(𝜙) sin(𝜙) 0 − sin(𝜙) cos(𝜙) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

cos(𝜃) cos(Ψ) cos(𝜃) sin(Ψ) − sin(𝜃)

− sin(Ψ) cos(Ψ) cos(𝜃) sin(𝜙)

sin(𝜃) cos(Ψ) sin(𝜃) sin(Ψ) cos(𝜃) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

cos(Ψ) cos(𝜃) sin(Ψ) cos(𝜃) − sin(𝜃)

(︃

cos(Ψ) sin(𝜃) sin(𝜙) − sin(Ψ) cos(𝜙)

)︃ (︃

sin(Ψ) sin(𝜃) sin(𝜙) + cos(Ψ) cos(𝜙)

)︃

cos(𝜃) sin(𝜙) (︃

cos(Ψ) sin(𝜃) cos(𝜙) + sin(Ψ) sin(𝜙)

)︃ (︃

sin(Ψ) sin(𝜃) cos(𝜙) − cos(Ψ) sin(𝜙) )︃ cos(𝜃) cos(𝜙) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.11)

A matriz R obtida é a Matriz de Atitude ou DCM, representada pelos ângulos de Euler para a sequência aeroespacial. Apesar de menos comum e não utilizadas para aplicações aero-espaciais, as outras onze combinações também podem ser representadas da maneira como feito para a rotação de ZYX.

2.1.3

Quatérnions

O último método a ser discuto, é, hoje, um dos mais utilizados na representação de rotações em corpos, chamada de representação por quatérnions.

44 Capítulo 2. Atitude

2.1.3.1 Definição de Quatérnion

O conceito de quatérnion foi primeiramente introduzido por Hamilton, um matemático, físico e astrônomo irlandês, em 1843. Os quatérnions, representados normalmente por ⌣𝑞 são números hipercomplexos formado por quatro componentes (Rank 4), onde uma componente é escalar e as outras três são vetoriais, conforme dado pela equação 2.12.

⌣

𝑞 = 𝑞0+ 𝑞1i + 𝑞2j + 𝑞3k = 𝑞0+ q (2.12) Onde, 𝑞0 representa a parte escapar e q a componente vetorial.

Por conveniência, o quatérnion pode ser escrito também das seguintes formas, segundo a equação (2.13). ⌣ 𝑞 = (𝑞0, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑞0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝑜𝑢 ⌣𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, 𝑞0) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.13)

Como citado, a parte escalar do quatérnion é dada pelo seu elemento 𝑞0, entretanto, quando representado em um vetor 4×1, nem sempre o mesmo será representado no primeiro elemento. Alguns algoritmos e literaturas presentes tratam 𝑞0como o último elemento do vetor, portanto, é essencial prestar atenção a esse fato.

Outra característica importante dos quatérnions é que eles apresentam regras algébricas próprias, diferentes das vistas na álgebra usual, definidos pela Álgebra Quaterniônica (KUI-PERS, 1999). Logo, possuem seu próprio conjunto de operações como adição, multiplicação, conjugação, inversão, etc.

Toda a teoria quaterniônica baseia-se na propriedade fundamental mostradas nas rela-ções da equação (2.14).

i2 = j2 = k2 = ijk = −1 (2.14)

ij = −ji = k jk = −kj = i ki = −ik = j

2.1.3.2 Representação de Atitude com Quatérnions

Um corpo rígido pode ter sua orientação representada como uma rotação (𝜃) em torno de um único eixo (^u). Para a representação de atitude através do descrito, um quatérnion unitário que representa essa rotação é descrito pela equação (2.15).

⌣ 𝑞 = cos(︂ 𝜃 2 )︂ + ^u sin(︂ 𝜃 2 )︂ (2.15)

2.1. Representação de Atitude 45

Pode-se interpretar esse quatérnion como o vetor unitário ^u que aponta para a direção do eixo ao qual o corpo é submetido a uma rotação de ângulo 𝜃 partindo de sua posição de referência. A figura 5 mostra essa representação.

Figura 4 – Quatérnion representando atitude. Fonte: (CARVALHO NETO, 2012).

O quatérnion também pode atuar como um operador de rotação que gira um vetor v = (0, 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) um ângulo 𝜃 sobre o eixo apontado por û (vetor unitário formado pelas com-ponentes vetoriais do quatérnion). A rotação é dada pelo operador quaterniônico 𝐿𝑞 e definido como:

𝐿𝑞(v) =

⌣

𝑞 ⊗ v ⊗⌣𝑞* (2.16)

𝐿𝑞(v) = (2𝑞20− 1)v + 2(v · q)q + 2𝑞0(q × v) (2.17) Esta rotação também pode ser representada numa matriz de atitude Q3𝑋3, mostrada na descrição de funcionamento do Ambiente Desenvolvido na seção (7.9).

2.1.3.3 Duplicidade de Representação em Quatérnions

Embora o quatérnion não apresente singularidades por não lidar com funções trigono-métricas e possuir apenas quatro elementos para representar atitude, o mesmo possui a des-vantagem de existir sempre dois quatérnions para a representar a mesma atitude, o que o torna ambíguo, como mostrado na equação 2.18. O quatérnion ⌣𝑞 , e o quatérnion −⌣𝑞 representam a mesma atitude. (− cos𝛼 2, u sin 𝛼 2) ≡ (cos 𝛼 2, −u sin 𝛼 2) (2.18)

46 Capítulo 2. Atitude

2.1.4

Comparativo rápido entre os métodos

Apesar das três notações para representação de atitude serem as mais utilizadas, isso não implica que as mesmas são necessariamente as melhores ou mais corretas para essa finalidade. Cada método possui suas próprias características, dessa forma, o uso ou não de determinado método depende muito do que se deseja.

Os ângulos de Euler com certeza trazem a melhor representação visual, sendo assim provavelmente é a maneira para análise gráfica mais amigável, além de não apresentarem re-dundâncias. Contudo, o uso para cálculos computacionais estão longe de serem práticos, uma vez que as equações provenientes do mesmo, além de trabalhosas, possuem descontinuidades.

Por possuírem propriedades únicas, os quatérnions se mostram como uma ótima opção para a representação da atitude. Estes podem descrever qualquer orientação, visto que não ori-ginam divisões por zero tal como os ângulos de Euler. No entanto, existem dois quatérnions diferentes para representar a mesma rotação, ou seja, diferentes representações para a mesma atitude. Os quatérnions são amplamente utilizados em navegação embarcada, pois sua integra-ção temporal exige menor custo computacional frente as outras representações.

A representação por Matriz de Rotação é mais proveitosa pela simplicidade na utiliza-ção para rotações sucessivas e por não ter singularidades, entretanto, esta contém nove parâ-metros, sendo seis redundantes, sendo assim mais utilizada em análises. A tabela 1 resume as informações comparativas descritas nessa seção.

Tabela 1 – Comparativo entre os três métodos de representação de atitudes mais utilizados. Fonte: (WERTZ, 1978).

Método Notação Vantagens Desvantagens Aplicações

Ângulos de Euler

𝜙,𝜃,Ψ Sem parâmetros re-dundantes, interpre-tação física e clara

Funções trigonomé-tricas, singularidades, difícil descrever sequên-cias de rotações

Estudos analíticos

Quatérnion ⌣𝑞 Sem singularidades, facilidade em des-crever sequências de rotações

Um parâmetro redun-dante, difícil interpreta-ção física Navegação Embarcada Matriz de Rotação R Sem singularidades, facilidade em des-crever sequências de rotações

Seis parâmetros redun-dantes

47

3 Determinação e Estimação da Atitude

Nesse capítulo são apresentados os conceitos básicos necessários ao entendimento do processo de determinação e estimação de atitude. O objetivo maior é apresentar os algoritmos utilizados nesse trabalho para determinação de atitude e estimação.

Entretanto, antes são abordados e explicados os conceitos de Sistemas de Coordenadas, Vetores de Referências e os tipos de sensores que podem ser utilizados para a determinação de atitude.

É importante também não confundir os termos determinação e estimação de atitude. O primeiro está relacionado ao processo de determinar a rotação necessária para levar uma de-terminada orientação observada de um corpo até uma segunda orientação, de referência, dessa forma, obviamente, esse processo necessita de dois sistemas de coordenadas, um de referência e outro sistema de coordenadas do corpo. Já o processo de estimação, quando realizado por informações de sensores inerciais, é realizado através de algoritmos que não podem ser consi-derados como determinadores de atitudes, devido ao fato de que esses modelos matemáticos, na verdade, combinam informações da atitude determinada através de sensores de referência com sensores denominados inerciais e assim calculam uma atitude, normalmente nomeada de ótima, a covariância e o bias do sistema.

Desse ponto em diante, neste trabalho, será considerado como determinação de atitude o processo feito através de sensores de referência e estimação o processo feito através da atitude calculada na determinação unida com os dados de sensores inerciais.

A figura 5 mostra um diagrama bastante simplificado sobre a descrição feita acima.

Figura 5 – Fluxograma básico de uma possibilidade para determinação e estimação de atitude.

Portanto, reforçando a ideia já apresentada, que, para conhecer a orientação e conse-quentemente realizar o controle de atitude de um objeto, necessita-se ter o conhecimento de um sistema de referência e um sistema observado, nas próximas duas seções são apresentados

bre-48 Capítulo 3. Determinação e Estimação da Atitude

vemente o conceito de Sistemas de Coordenadas, citando dois exemplos, os vetores que podem ser tomadas para referência de atitude e os sensores mais comuns para fazer a medição de tais para determinar um vetor de atitude observado. Na seção conseguinte, um trecho é destinado a discussão quanto a utilização de sensores de aceleração na medição de atitude. Finalmente, nas seções 3.3 e 3.4, são mostrados os algoritmos utilizados para a determinação e estimação de atitude, respectivamente.

3.1

Sistema de Coordenadas e Vetores de Referência para

Atitude

Considerando as afirmações feitas no início desse capítulo, é evidente que para um ve-tor de referência ser utilizado, esse deve ser lido tanto no sistema de coordenadas do corpo quanto no sistema de coordenadas usado como referência. Não existe um sistema de coorde-nadas perfeito totalmente aceito, sendo que a escolha dependerá das necessidades, requisitos, tipos e outros fatores de um projeto.

Buscando exemplificar, são ilustrados a seguir dois exemplos com aplicações distintas, sendo um com finalidade em uso terrestre e o outro em aplicações espaciais, conforme citado em (GRANZIERA JR., 2006).

O primeiro, utilizado para aplicações terrestre, é o Sistema de Coordenadas Horizontal Local. O mesmo é mostrado na figura 6.

Figura 6 – Representação do Sistema de Coordenadas Local. Fonte: (GRANZIERA JR., 2006)

3.1. Sistema de Coordenadas e Vetores de Referência para Atitude 49

O primeiro é indicado pela direção da força gravitacional, consequentemente é normal à su-perfície terrestre, o segundo é tangente à susu-perfície e o último segue o produto vetorial dos anteriores (Regra da mão direita). Como indicado também, o vetor Zênite pode ser utilizado independente de seu sentido, o que resultará a inversão do vetor Leste também, tornando assim duas possibilidades.

Analisando o sistema Local Horizontal e imaginando um avião, é fácil perceber que conforme o deslocamento do mesmo sobre a superfície da terra, para manter o vetor Zênite e Norte nas devidas direções, o sistema de coordenadas de referência deve ser atualizado con-forme a mudança de posição. Por essa razão, para utilizar esses vetores é necessário conhecer a localização do corpo sobre o Globo terrestre.

O segundo sistema, com aplicações espaciais, é chamado de Coordenadas Celestial. Sua formação é dada por dois vetores principais, o Norte Celestial e o Equinócio Vernal, a figura 7 ilustra o sistema.

Figura 7 – Representação do Sistema de Coordenadas Celestial. Fonte: (GRANZIERA JR., 2006)

50 Capítulo 3. Determinação e Estimação da Atitude

O vetor dado pelo Equinócio é o ponto em que o plano de translação da Terra cruza, do sul para o norte, o plano da linha do Equador, e, desse ponto, pode-se abstrair um vetor normal ao plano tangente a esse ponto. Já o Norte Celestial é formado pelo vetor normal ao plano paralelo a linha do Equador. O último vetor será o produto vetorial dos já citados, formando assim o Sistema de Coordenadas Celestial.

Tendo por base o conceito de Sistemas de Coordenadas, entende-se a necessidade da escolha de determinados vetores para a determinação de atitude. A seguir segue uma lista dos mais comuns, sendo que alguns podem ter restrições para determinadas aplicações, como por exemplo o acelerômetro (impossível uso no espaço). Esses não serão descritos devido ao foco desse trabalho, entretanto, na seção seguinte são vistos alguns sensores utilizados para medição desses vetores para determinação da posição de um determinado corpo.

∙ Campo Gravitacional; ∙ Campo Magnético; ∙ Estrelas; ∙ Sol; ∙ Albedo;

3.2

Sensores de Atitude

Basicamente, existem duas classes de sensores utilizados na determinação de atitude de um corpo, essas classes são:

∙ Sensores Inerciais

∙ Sensores de Referência

Atualmente, a grande maioria de aplicações busca mesclar as informações dos dois ti-pos de maneira a se complementarem, conforme previamente mostrado na figura 5. Sensores de referência normalmente fornecem informações que podem ser ruidosas, assim, informações provenientes dos sensores inerciais (usualmente girômetros) são utilizadas em um estimador de espaços de estados como uma predição a ser corrigida pelo sensores de referência, consequen-temente complementando uma ao outro.

3.2.1

Sensores Inerciais

Esse tipo de sensor pode ser utilizado para medir efeitos como aceleração, rotações, vibrações, impactos, entre outros.

3.2. Sensores de Atitude 51

No passado recente, esses dispositivos eram mecânicos, o que os tornavam custoso, grandes e restrito a aplicações mais avantajadas. Hoje, com base nos avanços da tecnologia MEMS (BOGUE, 2007), sensores inerciais encontram diversas aplicações, tais como indus-trial, automotiva, em equipamentos médicos entre outros. Estes novos dispositivos oferecem vantagens em tamanho, poder e de custo, porém, em termos de desempenho esses ainda ficam inferiores quando comparados com os seus equivalentes mecânicos. Em alguns, no entanto, esta perda de desempenho já não é mais considerada crítica, e os dispositivos MEMS estão cada vez mais presentes em nano e micro satélites.

Sensores inerciais consistem de elementos que medem a rotação e / ou aceleração trans-lacional em relação a um referencial inercial. Esses sensores estão sujeitos a erros e deriva aleatória de polarização, e, como resultado, os erros não são limitados. A fim de proporcionar uma atitude absoluta, atualizações regulares são realizadas, com base em referências como o Sol, as estrelas, ou da Terra.

3.2.2

Sensores de Referência

Um vetor de referência mede a direção de um vetor qualquer conhecido, conforme os exemplos citados ao final da seção 3.1.

Apenas o conhecimento do vetor de um sensor de referência não fornece informações suficientes para o calculo de atitude. Um sensor Solar, por exemplo, não pode detectar qualquer rotação da nave espacial sobre o vetor do próprio Sol, dessa maneira, são necessárias duas dire-ções, de preferência ortogonais para obter informações que possibilitem descobrir a orientação do corpo. A incerteza de um sensor de referência é composta de dois parâmetros, a precisão do próprio e da precisão da referência que ele usa sensor. Estrelas, por exemplo, fornecem as fontes mais precisas quando comparadas as informações de medidas sobre o Sol e a Terra.

A seguir são discutidos brevemente quatro tipos desses sensores.

∙ Sensores Magnéticos: Os magnetômetros são sensores simples, confiáveis, pequenos e presentes na maioria de satélites como parte do sistema de controle de atitude. Uma me-dida desse sensor possui três eixos com valores proporcionais a direção e intensidade do campo magnético local. O uso desses sensores para determinação de atitude pode ser limitado às regiões com um campo forte e bem conhecido, por exemplo, órbitas baixas da Terra. A atitude determinada a partir de magnetômetros é dada comparando o campo medido com um campo de referência determinado por um modelo de referência.

∙ Sensores Solar: O sol fornece um vetor de referência bem definido, ou seja, claro e sem ambiguidades. Os sensores solares são detectores de luz, que medem um ou dois ângulos entre sua base e a luz solar incidente. Sensores se estendem desde detectores analógicos de presença até instrumentos digitais que medem a direção do sol com uma precisão menor que um arco-minuto. Sensores solares são populares, precisos e confiáveis, entretanto requerem claro campo de visão. Quando colocados em baixa órbita, ocorrem eclipses

52 Capítulo 3. Determinação e Estimação da Atitude

periódicos que provocam a perda de referência pelo sensor solar, portanto o sistema de determinação de atitude deve encontrar uma maneira de superar esse estado crítico. A precisão de um típico sensor solar está na faixa de 0.005 graus até 4 graus.

∙ Sensores de Estrelas: Normalmente podem ser do tipo rastreadores ou scanners. Esses sensores fornecem uma maneira relativamente barata de mapear a imagem do céu e extrair informações sobre a posição das estrelas, portanto, qualquer movimento do objeto vai aparecer como uma mudança das estrelas no campo de visão do sensor.

As localizações de duas ou mais estrelas de um sensor desse, juntamente com os seus locais de coordenadas inerciais, são suficientes para determinar a postura da câmara em relação a um referencial. Essas câmeras costumam ser sensíveis a velocidades angulares altas.

∙ Sensores de Horizonte: São dispositivos infravermelhos que detectam o contraste na temperatura entre o espaço e a atmosfera terrestre. Alguns veículos espaciais usam um sensor de ponto fixo com vasto campo de visão, o qual visualiza todo o disco da Terra e centraliza o veículo nesse ponto. A informação relativa da Terra, obtida pelos sensores de horizonte, pode simplificar o processamento embarcado no veículo de apontamento terrestre. Precisões típicas para sistemas utilizando sensores de horizonte são de 0,1 a 0,25 graus, com algumas aplicações alcançando a 0,03 graus.

3.2.3

Acelerômetro

Um acelerômetro é um dispositivo capaz de realizar a medição da aceleração sofrida por um objeto. Atualmente, aplicações que buscam a determinação de atitude são exclusivamente com sensores baseados na tecnologia MEMS.

Esses sensores podem ser utilizados para medições inerciais, entretanto, devido ao campo gravitacional terrestre, o mesmo também pode ser utilizado para obtenção de vetores de refe-rência, entretanto, em aplicações espaciais, devido ao ambiente de microgravidade, o mesmo se torna obsoleto.

Considerando aplicações terrestres, a topologia mais comum faz uso acelerômetros e magnetômetros para a determinação da atitude em conjunto com a estimação fornecida pelos girômetros. O grande porém de acelerômetros, é que, como dito anteriormente, os mesmos também realizam medições inerciais, assim, quando um corpo sofre acelerações além das gra-vitacionais, a atitude observada pelo vetor de referência passa a ser incorreta.

Devido a esse fenômeno, as aplicações que utilizam dos três sensores acima, devem ser capaz de detectar essas variações, e, nesses intervalos, desconsiderar as informações provindas dos acelerômetros e ser capaz de continuar representando a atitude a partir das informações dos girômetros e da atitude observada antes do fenômeno.

Uma vez que o Modelo Elétrico proposto nesse trabalho, contém acelerômetros, mag-netômetros e girômetros, as informações acima devem ser analisadas cuidadosamente.

3.3. Algoritmo para Determinação de Atitude - TRIAD 53

Finalmente, a seguir, são apresentados os métodos utilizados para determinação e esti-mação da atitude.

3.3

Algoritmo para Determinação de Atitude - TRIAD

A tarefa de determinar atitude através de vetores de observações é amplamente descrita em diversas literaturas, podendo ser encontrado diversos métodos para tal. Como o foco maior é a verificação da Estimação de atitude, nos manteremos somente no algoritmo TRIAD. Espera-se, no futuro, que o trabalho desenvolvido seja submetido a testes com outros algoritmos.

O método descrito a seguir baseia-se na proposta de (GRANZIERA JR.; LOPES; TO-SIN, 2007), sendo essa fundamentada no trabalho de (SHUSTER; OH, 1981).

O algoritmo proposto em TRIAD (TRI-axis Attitude Determination) utiliza de dois (não mais) vetores de referências para determinar uma Matriz de Rotação, definindo que, a partir de dois vetores ^v1 e ^v2, que são os vetores da referência do sistema de coordenadas, e dois vetores de observação, ^w1 e ^w2, é possível encontrar uma matriz A, que obedeça as seguintes equações:

A^v1= ^w1 ; A^v2= ^w2 (3.1)

Para resolver o sistema da equação 3.1 e encontrar a matriz A, devem ser construí-dos dois conjuntos de três vetores ortogonais unitários ou tríades, um referente aos vetores de referência e outro baseado nos vetores de observação, como mostram as equações (3.2) e (3.3).

^r1 = ^v1 ; ^r2 = (^v1× ^v2) |^v1× ^v2| ; ^r3 = (︀^v1× (^v1× ^v2) )︀ |^v1× ^v2| (3.2) ^s1 = ^w1 ; ^s2 = ( ^w1× ^w2) | ^w1× ^w2| ; ^s3 = (︀ ^w1× ( ^w1× ^w2) )︀ | ^w1× ^w2| (3.3)

Apenas uma matriz é capaz de rotacionar os vetores ^r𝑖 até ^s𝑖, ou seja, que soluciona a equação 3.4.

A^ri=^si ; 𝑖 = 1, 2, 3 (3.4)

Sabendo que os vetores ^rie ^sipossuem dimensão 3x1, concatenando-os separadamente é possível formar as matrizes 3x3 de referência e de observação. A equação 3.6 mostra a matriz de observação e a equação 3.5 a observada.

M𝑟𝑒𝑓 = [︂ ^r2...^r2...^r3 ]︂ (3.5) M𝑜𝑏𝑠 = [︂ ^s2...^s2...^s3 ]︂ (3.6)

54 Capítulo 3. Determinação e Estimação da Atitude

A partir dessas matrizes, pode-se reescrever a equação 3.4 para uma nova equação que associem a matriz de atitude (A), observada e de referência, conforme mostrado na equação 3.7.

AM𝑟𝑒𝑓 = M𝑜𝑏𝑠 (3.7)

Uma vez que as matrizes M𝑜𝑏𝑠 e M𝑟𝑒𝑓 satisfazem as condições as das equações 3.8 e 3.9, respectivamente, as mesmas são ortogonais.

M𝑇_𝑜𝑏𝑠M𝑜𝑏𝑠 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ^s𝑇 1^s1 ^s𝑇2^s1 ^s𝑇3^s1 ^s𝑇 1^s2 ^s𝑇2^s2 ^s𝑇3^s2 ^s𝑇₁^s3 ^s2𝑇^s3 ^s𝑇3^s3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = I (3.8) M𝑇_𝑟𝑒𝑓M𝑟𝑒𝑓 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ^r𝑇₁^r1 ^r2𝑇^r1 ^r𝑇3^r1 ^r𝑇₁^r2 ^r2𝑇^r2 ^r𝑇3^r2 ^r𝑇₁^r3 ^r2𝑇^r3 ^r𝑇3^r3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = I (3.9)

Portanto, as suas transpostas dessas matrizes são iguais as suas inversas, ou seja,

M𝑇_𝑜𝑏𝑠 = M−1_𝑜𝑏𝑠 ; M𝑇_𝑟𝑒𝑓 = M−1_𝑟𝑒𝑓 (3.10) Finalmente, multiplicando ambos os lados da equação 3.7, é obtida a equação 3.11, de onde instintivamente é obtida a matriz de atitude desejada, que será dada pela equação 3.12.

AM𝑟𝑒𝑓M𝑇𝑟𝑒𝑓 = M𝑜𝑏𝑠M𝑇𝑟𝑒𝑓 (3.11)

A = M𝑜𝑏𝑠M𝑇𝑟𝑒𝑓 (3.12)

O algoritmo TRIAD, no entanto, também retorna a covariância da matriz de atitude, já que métodos de estimação também necessitam desse fator. A covariância é dada pela equação 3.13 (GRANZIERA JR., 2006). [P𝜃𝜃] = 𝜎21[I]3𝑋3+ 1 | ^w1× ^w2|2 [︁ 𝜎₁2( ^w1 · ^w2)( ^w1w^𝑇2 + ^w2w^𝑇1 + (𝜎 2 2− 𝜎 2 1) ^w1w^𝑇1 ]︁ , (3.13)

sendo 𝜎𝑣1, 𝜎𝑤1, 𝜎𝑣2 e 𝜎𝑤2 são os desvios padrões dos respectivos vetores indicados em subes-crito, 𝜎1 =

√

𝜎v1+ 𝜎w1 e 𝜎2 = √

𝜎v2+ 𝜎w2.

Apesar de não ser o melhor método para o cálculo de uma matriz de atitude, o TRIAD possui uma característica excelente em relação ao custo computacional, visto que o mesmo pode ser obtido através operações que facilmente podem ser realizadas em um sistema embarcado.

3.4. Filtro de Kalman 55

3.4

Filtro de Kalman

Esta seção apresenta o Filtro de Kalman que será utilizado ao longo do trabalho para o processo de estimação de atitude. O algoritmo e equacionamento proposto baseia-se em uma topologia de Filtragem de Kalman apresentada em (SHUSTER; LEFFERS; MARKLEY, 1982), seguindo o procedimento desenvolvido por (GRANZIERA JR., 2006).

3.4.1

Concepção básica da Estimação Proposta

Partindo do explicação básica apresentada entre determinação e estimação de atitude, essa seção apresenta o algoritmo que será utilizado ao longo desse trabalho para unir os dados de atitude e covariância calculados pelo TRIAD e os dados dos sensores inerciais, no caso girômetros. O principal objetivo do uso dos dados desses sensores é melhorar a característica de ruído diminuindo a incerteza da atitude.

A proposta é a mesma desenvolvida em (GRANZIERA JR.; KUGA; TOSIN, 2011) para o Experimento MEMS, explicado no capítulo 4, contudo, naquele trabalho, os dados de atitude e covariância seriam providos do satélite ITASAT-1, sendo que nesse trata-se essas informações como genéricas, ou seja, podem ser fornecidas pelo ITASAT-1, pelo TRIAD do Modelo Elétrico (capítulo 5) ou futuramente por um outro método. A figura 8 resume o processo a ser executado.

Figura 8 – Filtro de Kalman proposto para unir dados de um Determinador de Atitude com informações de girômetros.

Fonte: Adaptado de (GRANZIERA JR.; KUGA; TOSIN, 2011)

Conforme pode ser observado, para juntar os dados de atitude e girômetros, o processo possui duas passagens distintas, que são:

56 Capítulo 3. Determinação e Estimação da Atitude

∙ Propagação de Atitude - O último quatérnion obtido na iteração anterior é propagado de maneira cinemática pelo tempo a partir das medidas obtidas com os girômetros. A propagação pode ser realizada em períodos fixos ou não, porém, nesse último caso é importante conhecer o tempo decorrido entre as duas medidas, já que, como esse intervalo de tempo é pequeno, considera-se que o vetor de velocidade angular lido é constante em tal.

∙ Estimação de Atitude - Ao final do processo de propagação, a atitude propagada é sub-traída do novo dado de atitude fornecido pelo sistema de Determinação de Atitude. O resíduo desta diferença é multiplicado pelo ganho de Kalman e utilizado para atualizar o dado de atitude filtrada e também para estimar um novo bias para os girômetros. O processo de estimação não precisa ser executado em toda iteração, e, nessa situação, o mesmo simplesmente repassada para sua saída a própria entrada, sem estimar um novo bias ou recalcular a covariância.

Como o Filtro de Kalman é baseado em um modelo recursivo de otimização de estados, é necessário um vetor de variáveis de estados definidas por um modelo dinâmico do sistema. Para o modelo proposto, o vetor de Estados é formado pelas quatro componentes do quatérnion (escalar no quarto elemento) e os bias dos girômetros. O vetor de estados é denominado por x e é mostrado na equação a seguir.

x = [︃ _⌣ 𝑞 b ]︃ =[︁ 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞0 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ]︁ (3.14)

Já as equações dinâmicas para o quatérnion e para o bias são dadas pelas equações 3.15 e 3.16 (SHUSTER; LEFFERS; MARKLEY, 1982), respectivamente.

˙ ⌣ 𝑞 (𝑡) = 1 2𝜔(𝑡) ⊗ ⌣ 𝑞 (𝑡) = 1 2Ω4(u − b − 𝜂1) ⌣ 𝑞 (3.15) ˙ b(𝑡) = 1 𝜏b(𝑡) + 𝜂2 ≈ 𝜂2 (3.16)

Além da estimação do vetor de Estados, o Filtro de Kalman é responsável pela estima-ção da matriz de covariância P7𝑋7 (equação 3.17) formada pelo quadrado do desvio padrão (variância) das componentes do vetor de estados dispostos na diagonal principal, e as autocor-relações entre as variâncias do vetor de estados.

P = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜎₁2 𝜎2₁₂ 𝜎₁₃2 . . . 𝜎2₁₇ 𝜎₂₁2 𝜎₂2 𝜎₂₃2 . . . 𝜎2₂₇ 𝜎₃₁2 𝜎2₃₂ 𝜎2₃ . . . 𝜎2₃₇ .. . ... ... . .. ... 𝜎2 71 𝜎272 𝜎732 . . . 𝜎27 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (3.17)