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FGV

— Administração — Prova Objetiva — 03/dezembro/2006

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MATEMÁTICA

01. Se um automóvel custa hoje R$ 45 000,00 e a cada ano sofre uma desvalorização de 4%, o seu valor, em reais, daqui a dez anos, pode ser estimado em:

a) 45 . 103 . (1,04)10 b) 45 . 10 . (1,04)–10 c) 45 . 103 . (0,96)–10 d) 45 . 103 . (0,96)10 e) 45 . 10–7 Resolução:

Temos uma PG na qual a razão q corresponde ao fator de redução e o termo inicial é R$ 45 000,00. Logo:

R$ 45 000,00 (valor inicial) ↓ – 4% R$ 45 000,00 . 0,96 (após 1 ano) ↓ – 4% R$ 45 000,00 . 0,962 (após 2 anos) ↓ . . . ↓ R$ 45 000,00 . 0,9610 (após 10 anos)

Essa expressão aparece na alternativa D: 45 . 103 . 0,9610 Alternativa D

O texto abaixo se refere às questões 2, 3 e 4.

A curva de Gompertz é o gráfico de uma função expressa

por N = C . AKt, em que A, C e K são constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o crescimento do número de empregados de muitos tipos de organizações.

Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), depois de um estudo estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após

t anos, a empresa terá N (t) = 10 000 . (

)

0, 01 funcionários (t ≥ 0).

02. Segundo esse estudo, o número inicial de funcionários empregados pela CNM foi de:

a) 10 000 b) 200 c) 10 d) 500 e) 100 Resolução: Na expressão inicial N (t) = 10 000 . (0, 01)0,5t, aplicamos t = 0 para obter o número inicial: N (0) = 10 000 . ( )

0 0,5

0, 01 = 10 000 . (0,01)1 = 100

Alternativa E

03. O número de funcionários que estarão empregados na CNM, após dois anos, será de:

a) 103,5 b) 102,5 c) 102 d) 101,5 e) 100,25 Resolução:

Na expressão original N (t) = 10 000 . (0, 01)0,5t, fazemos t = 2: N (2) = 10 000 . (0,01)0,25 = 104 . (10–2)0,25 = 104 . 10–0,5 = 103,5

Alternativa A

04. Depois de quanto tempo a CNM empregará 1 000 funcionários? a) 6 meses b) 1 ano c) 3 anos d) 1 ano e 6 meses e) 2 anos e 6 meses Resolução: N (t) = 1 000 ⇒ 10 000 .

(

)

Logo, esse patamar será atingido após 1 ano.

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05. A equação de uma hipérbole eqüilátera cujas assíntotas são paralelas aos eixos x e y pode ser expressa na forma: (x – h)(y – k) = C, em que (h, k) é o centro da hipérbole, e as retas x = h e y = k são as assíntotas.

As assíntotas vertical e horizontal da hipérbole de equação xy + x – 3y – 2 = 0 são, respectivamente: a) x = –1 e y = 3 b) x = –3 e y = –1 c) x = 3 e y = –1 d) x = –3 e y = 1 e) x = 3 e y = 1 Resolução: (x – h) . (y – k) = C Equação Geral: x . y – x . k – h . y + h . k – C = 0 x . y + x – 3y – 2 = 0 –k = 1 ⇒ k = –1 –h = –3 ⇒ h = 3 h . k – C = – 2 ⇒ 3 . (–1) – C = –2 ⇒ C = –1 retas: x = 3 e y = –1 Alternativa C

06. Uma empresa acredita que, diminuindo 8% o preço de determinado produto, as vendas aumentarão cerca de 14%. Suponha que a relação entre o preço do produto e a quantidade vendida seja expressa por uma função linear. Nesse caso, uma redução de 14% no preço do produto acarretará um aumento na quantidade vendida de: a) 18,4 % b) 20 % c) 26,5 % d) 24,5 % e) 8 % Resolução:

A priori, a questão não apresenta alternativa correta.

Se preço e vendas se relacionam segundo uma função linear, estão deveria haver proporção entre elas. Nessas condições, deveríamos calcular o valor pedido por meio da proporção: preço vendas 0,92 p 1,14 V de onde 0,86 p x →   → _ x≅1,0656 . V

o que corresponderia a um aumento de ≅ 6,56 %.

Obs.: Provavelmente, a intenção original da Banca era expressar,

no enunciado, uma proporção entre desconto no preço e aumento

nas vendas. Nesse caso:

Redução do Preço Aumento das Vendas 8% 14 % 

07. Duas retas distintas que são perpendiculares a uma terceira podem ser:

I. concorrentes entre si. II. perpendiculares entre si. III. paralelas.

IV. reversas e não ortogonais. V. ortogonais.

Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se:

a) V, V, V, V, V b) V, F, V, F, V c) F, V, F, F, F d) V, V, V, V, F e) F, F, F, V, F Resolução: I. r t s t    ⇒ r e s são concorrentes (Verdadeiro) II. r t s t    ⇒ r e s são perpendiculares (Verdadeiro) III. r t s t    ⇒ r e s são paralelas (Verdadeiro) IV. r t s t    ⇒ r e s são reversas e não ortogonais (Verdadeiro) V. r t s t    ⇒ r e s são ortogonais (Verdadeiro) t r s t r s t r s t r s t r

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O texto abaixo se refere às questões 8 e 9.

Um ponto pode ser descrito pelas suas coordenadas retangulares (x, y) ou pelas coordenadas polares (r, θ), sendo r a distância entre o ponto e a origem e θ a medida, em radianos, do arco que o eixo x descreve no sentido anti-horário, até encontrar OP. Em geral, 0 ≤θ < 2π.

As relações utilizadas para que se passe de um sistema de coordenadas a outro são as seguintes:

r = x2 + y2; sen θ = y r; cos θ = x r; tg θ = y x

08. As coordenadas polares do ponto P (1, 1) são:

a)

(

)

As coordenadas polares são _ , _

 2 4 π

Alternativa C

09. A equação, em coordenadas polares, da curva cuja equação em coordenadas retangulares é x2 + y2 = x + y, é: a) r = cos θ + sen θ b) r2 = cos θ + sen θ c) r = cos2θ – sen θ d) r = 2 cos θ e) r = 2 sen θ y )θθθθθ x y x _P r 1 )θ θ θ θ θ = 45° x P r = 2 1 Resolução: Sabendo que 2 2 2 2 2 r x y r x y x cos x r cos r y sen y r sen r  = + ⇒ = +   θ = ⇒ = θ    _{θ = ⇒ = θ}  . . Na equação x₁₄₂₄2+y₃2 = x + y r2 = (r . cos θ) + (r . sen θ) r2 = r (cos θ + sen θ) r = cos θ + sen θ Alternativa A

10. A soma das raízes da equação sen2 x – sen (–x) = 0, no intervalo [0, 2π] é: a) 7 2 π b) 9 2 π c) 5 2 π d) 3π e) 3 2 π Resolução:

Sendo sen (–x) = – sen x, tem-se: sen2 x – (– sen x) = 0 sen2 x + sen x = 0; x ∈ [0; 2π] sen x = 0 ou sen x = –1 x = 3 2 π x = 0 x = π x = 2π Soma das raízes:

3 2 2 π _{+ π + π =} 9 2 π Alternativa B

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O texto abaixo se refere às questões 11 e 12.

Há aproximadamente nove mil anos, um viajante que chegasse a uma região quase sem árvores e com pouquíssima vegetação, situada entre os rios Tigre e Eufrates, no coração do Oriente Médio, veria pequenos grupos de seres humanos habitando pequenas cabanas construídas com barro, nos terrenos úmidos junto aos pântanos, criando vacas e porcos.

Algum tempo depois, por volta do ano 3 000 a.C., essa mesma região, já denominada Mesopotâmia, estava totalmente modificada, e um forasteiro que por lá passasse ficaria deslumbrado com um cenário totalmente diverso: às margens dos rios haviam sido erguidos templos, palácios, oficinas de artesanato em grandes cidades protegidas por enormes e inexpugnáveis muralhas, habitadas por multidões que percorriam diariamente as suas ruas.

Para acompanhar tal desenvolvimento e efetuar os cálculos que o comércio exigia, os escribas da Mesopotâmia criaram um sistema de numeração posicional. Porém, em vez de escolherem o sistema decimal, comum às antigas e modernas civilizações, usaram uma notação em que a base 60 era a fundamental. Muito se especulou em busca de uma explicação do porquê dessa escolha. Alguns chegaram a procurar justificativas na astronomia, outros tentaram explicar o fato pela combinação natural de dois sistemas de numeração mais antigos, um de base 6 e outro de base 10.

No entanto, atualmente, a hipótese mais aceita é que o sistema sexagesimal tenha sido escolhido pelos sábios da Mesopotâmia pelo fato de o número 60 ter muitos divisores, o que facilita os cálculos, principalmente as divisões.

11. O texto sugere que o número 60 foi escolhido como base do sistema de numeração da Mesopotâmia:

a) devido a considerações astronômicas.

b) porque 60 pode ser decomposto como um produto dos fatores 6 e 10.

c) porque 60 é divisor de 360.

d) porque uma grandeza de 60 unidades pode ser facilmente dividida em metades, terços, quartos, quintos, sextos etc.

e) porque as medidas de tempo usam a base 60: 1 hora tem 60 minutos; 1 minuto tem 60 segundos.

Resolução:

Segundo o texto, o número 60 foi escolhido como base do sistema de numeração pois possuía muitos divisores, ou seja, “poderia ser facilmente dividido em metades, terços, quartos, quintos,

12. De acordo com a argumentação apresentada no texto, escolha, entre os números abaixo, aquele que seria a melhor base para um sistema de numeração antigo:

a) 2 b) 5 c) 10 d) 19 e) 36 Resolução:

Entre as alternativas, aquela que possui o maior número de divisores é o 36. Os números 2, 5 e 19 são primos e o composto

10 tem apenas 4 divisores positivos.

Alternativa E

13. A área do quadrado ABCD é 4 cm2. Sobre os lados AB e

AD do quadrado são tomados dois pontos: M e N, tais que AM + AN = AB.

Desse modo, o maior valor que pode assumir a área do triângulo AMN é: a) 1 4 cm 2 b) 2 cm2 c) 1 2 cm 2 d) 4 cm2 e) 1 8 cm 2 Resolução: Devemos ter: AM + AN = AB AM x AN 2 x =   _{= −} 

Assim, a área do ∆AMN é dada por:

A = 1 2 . x . (2 – x) = 1 2 − x2 + x de onde calculamos A_máx = y_V = 4a −∆ = 1 2 cm 2 Alternativa C B C A D M N B C A D M N x 2 – x

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14. Associe cada equação ao gráfico que forma:

I. x 1 y 1 0

2 2

− ₊ − ₌

a. uma parábola

II. x2 – 1 = 0 b. uma elipse III. x2 – 1 = y c. uma hipérbole IV. x2 + 2y2 = 2 d. uma reta

V. x2 – y2 = –1 e. duas retas paralelas

As associações corretas são:

a) I - d ; II - e ; III - c ; IV - a ; V - d b) I - d ; II - e ; III - a ; IV - b ; V - c c) I - b ; II - e ; III - d ; IV - b ; V - c d) I - d ; II - a ; III - c ; IV - e ; V - c e) I - e ; II - d ; III - b ; IV - c ; V - a Resolução:

Desenvolvendo as relações dadas, temos:

I. x 1 y 1 0 2 2 − ₊ − ₌ x + y – 2 = 0 y = –x + 2 ∴ uma reta (I - d) II. x2 – 1 = 0 x2 = 1

x = ±±±±± 1 ∴ duas retas paralelas verticais (II - e) III. y = x2 – 1 ∴ uma parábola (III - a)

IV. x2 + 2y2 = 2   ₊  ₌     _{ }   2 2 x y 1 1

2 ∴ uma elipse (IV - b)

V. x2 – y2 = –1

y2 – x2 = 1 ∴ uma hipérbole (V - c)

Alternativa B

15. Os resultados de 1 800 lançamentos de um dado estão descritos na tabela abaixo:

nº da face 1 2 3 4 5 6 freqüência 150 300 450 300 350 250

Se lançarmos esse mesmo dado duas vezes, podemos afirmar que:

a) a probabilidade de sair pelo menos uma face 3 é 1 6.

b) a probabilidade de sair pelo menos uma face 4 é 11

36.

c) a probabilidade de saírem duas faces 2 é 1 3.

d) a probabilidade de saírem as faces 3 e 4 é 1

18.

e) a probabilidade de saírem duas faces maiores que 5 é 35

36.

Resolução:

A chance de sair face 4 é dada por: P (4) = 300 1

1800 = 6

Assim, em 2 lançamentos a chance de sair ao menos uma face 4 é: P = 1 – chance de não sair nenhuma face 4 5 5 6 ⋅ 6 = 11 36 123 Alternativa B