Distribuição de Probabilidade

Distribuição de Probabilidade

•

Tipos de Variáveis Aleatórias.

•

Função densidade de probabilidade.

•

Função de probabilidade dada a probabilidade

de uma ocorrência.

•

Distribuição Binomial.

•

Distribuição Poisson.

•

Distribuição normal.

Tipos de Variável Aleatória

•

Variável aleatória

discreta

–

Os resultados possíveis são finitos

e podem ser

enumerados (Nº de Óbitos, Nº de

Recem-nascidos, números de animais, etc.)

•

Variável aleatória

contínua

–

Os resultados possíveis são infinitos

e não podem ser

enumerados (ex.: peso, altura, perímetro

cefálico, duração da bateria do celular, etc.)

Função densidade de probabilidade

A função

densidade de probabilidade

associa

cada possível

valor

da variável aleatória (X)

à sua

probabilidade

de ocorrência P(X)

3

Variável Aleatória (V.a), X= x

,x

,...,x

x

f(x

)

Esta relação é a

Função

Probabilidade.

Todos os valores suas respectivas

que (V.a) pode probabilidades.

assumir (x

).

Ex.Número de Óbitos (X)na UTI com 4 leitos.

Os valores que a variável aleatória(V.a)pode

assumir,num certo período de tempo,são:

X= 0,1,2,3,4

(V.a)

X=0

X=1

SUPONDO QUE AS PROBABILIDADES DE CADA POSSÍVEL RESULTADO SEJAM.

f(0)=0,3164

f(1)=0,4219 Com esses valores é possível construir f(2)=0,2109 uma Função probabilidade.

f(3)=0,0461 f(4)=0,0039

OBS: NOTE QUE A SOMA ∑ f(Xi)=1 OU 100%, QUE É O RESULTADO ESPERADO,UMA VEZ QUE ESTÃO SENDO CONSIDERADAS TODAS AS POSSÍVEIS POSSIBILIDADES DE OCORRÊNCIAS. X 0 1 2 3 4 soma f(X) 0,3164 0,4219 0,2109 0,0461 0,0039 1 5 0,3164 0,4219 0,2109 0,0461 0,0039 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0 1 2 3 4 Nº DE ÓBITOS(Xi) PROBAB. DE OCORRÊNCIAS f(Xi)

OBS: 1 Eixos X Largura =1. X.Y=Área(Função Probab.) Y Probab. de Ocorrências.

2 FICA ESTABELECIDA UMA CORRESPONDÊNCIA ENTRE A ÁREA E A FUNÇÃO PROBABILIDADE

Densidade ∑f(Xi)=1 ou 100% GRÁFICO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DADA A PROBABILIDADE DE UMA OCORRÊNCIA

Ex 1. Supondo que a probab. de óbito de um

paciente(CTI),seja de 25%(Risco de Morte).

Definindo: (V.a) X = Nº de Óbitos.

V.A X=0 (Sobre vida) f(0)=0,75.

X=1 (Óbito) f(1)=0,25.

Então a Função Probabilidade será:

X 0 1 soma

f(X) 0,75 0,25 1

7

Ex 2. Se dois pacientes derem entrada no CTI

(n=2). V(vivo) e O(óbito) V.a

X= 0,1,2

f(0) Pv

. Pv

= 0,75.0,75=

0,5625

f(1) Pv

. Po

= 0,75.0,25=

0,1875

soma

Pv

. Po

= 0,25.0,75=

0,1875 0,3750

f(2) Po

. Po

= 0,25.0,25=

0,0625

8

Então sua função probabilidade

será:

OBS: Se “n” cresce, fica

trabalhosa a construção da

Função de distribuição das

probabilidades;nestes casos,

usaremos fórmulas.

X 0 1 2 ∑

f(X) 0,5625 0,3750 0,0625 1

9

É uma distribuição discreta de

probabilidade. Ela está associada a

um experimento de múltiplas etapas.

Distribuição Binomial

10

Propriedades do Experimento Binomial

:

• O experimento consiste de uma seqüência

de

n

ensaios idênticos;

• Dois resultados são possíveis em cada

ensaio:

sucesso

e fracasso;

• P(sucesso)=p P(fracasso)= 1-p = q

p + q = 1

• Os ensaios são independentes.

11

Binomial: Fórmula geral

P(x) = C

p

_q

Onde

C

= n! / (x!(n-x)!)

p = probabilidade de

sucesso

q = (1 –p) = probabilidade de

insucesso.

Binomial: parâmetros

• Para uma variável com probabilidade

de sucesso p, em n

tentativas:

• Média ou valor esperado

E(X)=

µ

=

np

• Desvio-padrão

σ

=

e

q=1-p

• Note que a distribuição binomial

dependem exclusivamente de

p

e de

n

13

Ex1

: Suponha que a probabilidade de um indivíduo

do sexo masculino, (com + de 60 anos,vida

sedentária(S) e tabagista ativo(T) ), de desenvolver

uma doença cardiovascular nos próximos 8 anos

seja de 40%. A partir de um estudo com dez

indivíduos com essas características, a

probabilidade de que nenhum desses indivíduos

sofra doenças cardiovasculares no período

determinado pode ser calculada da seguinte forma:

P(X)=

p = 0,4

;

n=10

q=1-0,4 e

q=0,6

Exemplos - Binomial

14

a) Então a probabilidade de nenhum caso de DCV resulta b) P(X=0)= 10C0 .(0,4)0.(0,6)10 = 0,0060= 0,60%

b)

A probabilidade de ser ter menos de 3 indivíduos

afetados por DCV Seria calculada:

P(X<3)=P(X=0,1,2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=1) =

C

.(0,4)

.(0,6)

=10.0,4.0,0101=0,0403=4,03%

P(X=2) =

C

.(0,4)

_.(0,6)

=45.0,16.0,0168=0,1209=12,09%,

P(X<3)=0,60+4,03+12,09 =

16,72%.

c) A probabilidade de mais de dois indivíduos afetados por DCV no período seria,analogamente,

P(X>2)=P(X=3,4...,10)=P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10). Contudo,como

P(X>2)=1-P(X=0,1,2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2),então P(X>2)=1-0,1672=0,8328 = 83,28%.

OBS: O número esperado de casos de DCV no final do estudo é igual a =10.0,4= 4 casos ; com um desvio padrão de

σ= 1,55 caso.

16

Ex2 .

Uma epidemia de uma certa doença começa no

interior do Estado. Em torno de 28% das pessoas que

apresentam sintomas compatíveis com a doença estão

infectadas. Um hospital do interior recebeu 3 kits de

tratamento, e lhe foram enviados 7 pacientes com

suspeita da doença.

Qual é a probabilidade de que não faltem kits para o

tratamento?

Aqui, temos uma Distribuição Binomial com

p(infecção)

= 0,28 e n = 7. e q = 0,72

Com isso, podemos escrever que:

P(não faltar kits) = P(X

≤

3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

+ P(X=3)

89,8404%

89,8404%

89,8404%

89,8404%

=

+

+

+

=

=

≤

8

9

8

4

0

4

,0

2

₀

6

4

7

7

,0

3

1

8

5

6

5

,0

2

7

3

0

5

6

,0

1

0

0

3

0

6

,0

)

3

(

Xp

Finalmente, fazendo as contas, temos a soma das parcelas calculadas: 4444 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 3333 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 3 ) ! 3 ) ! 3 ) ! 3 ) ! ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 3 ! 3 ! 3 ! 3 ! 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! 5555 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 2222 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 2 ) ! 2 ) ! 2 ) ! 2 ) ! ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! 6666 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 1111 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 1 ) ! 1 ) ! 1 ) ! 1 ) ! ( 7 ( 7 ( 7 ( 7 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 7777 7777 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 0 , 7 2 0000 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 0 , 2 8 0 ) ! 0 ) ! 0 ) ! 0 ) ! ( 7 (( 77 ( 7 0 ! 0 ! 0 ! 0 ! 7777 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) p ( X p ( X p ( X p ( X ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = ≤ 3 7 ,72) ( 3 0,28) 3 7 2 7 ,72) ( 2 0,28) 2 7 1 7 ,72) ( 1 0,28) 1 7 0 7 ,72) ( 0 0,28) 0 7 3) P(X − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ≤                                 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 18

05).Supor que 20% de certa população tem sangue tipo B. Para uma amostra de tamanho 18, retirada desta população, calcule a probabilidade de que sejam encontradas:

a) 3 pessoas com sangue tipo B. 22,97%

b) 3 ou mais pessoas com sangue tipo B. 73,48%

c) no máximo 3 pessoas com sangue tipo B. 26,52%

06).Certa doença tem letalidade de 70%. Supondo-se que

existam 17 pacientes com esta doença, calcular:

a) a probabilidade de que todos morram da doença.0,23%

b) a probabilidade de que nenhum paciente morra da

doença.0%

c) a probabilidade de que 3 pacientes morram da doença.0,00%

d) a probabilidade de que, no máximo, 2 pacientes morram da

doença.0%

e) a probabilidade de que, exatamente, 9 pacientes

sobrevivam.6,44%

f) o número esperado de óbitos e o respectivo desvio padrão.

21

07). A leucemia linfoblástica aguda é o câncer infantil com maior incidência. O tratamento recomendado é a droga asparaginase, em geral derivada da bactéria Escherichia coli. Em um artigo publicado na revista Blood, constatou-se que 30% das crianças eram alérgicas à droga.

Se a droga for prescrita para um grupo de 5 crianças hospitalizadas, qual a probabilidade de:

a) nenhuma criança apresentar reações alérgicas?0%

b) todas as crianças apresentarem reações alérgicas?0,24%

c) duas crianças apresentarem reações alérgicas?30,87%

d) pelo menos três crianças apresentarem

reações alérgicas?16,31%

e) no máximo uma criança apresentar reações alérgicas?52,83%

22

08).A probabilidade que uma pessoa que sofre de enxaqueca obter alívio utilizando certo medicamento é de 0,9. São selecionados 5 pacientes que sofrem de enxaqueca e recebem o medicamento.Quanto ao número de pessoas que vai ter alívio, encontre a probabilidade de:

A) nenhuma pessoa ter alívio;0%

B) mais do que uma pessoa tenha alívio;99,95%

C) três ou mais pessoas tenha alívio;99.14%

D) no máximo três pessoas tenham alívio.8,15%

23

•a) de exatamente 40%.

•b) de 20% até 40%.

•c) no máximo de 20%.

:

01

).

Se a probabilidade de um indivíduo ter sangue

Rh-é 10%, qual Rh-é a probabilidade de 5 indivíduos que

apresentaram - se para exame de sangue

a) todos terem Rh-?

b) no máximo 2 dos 5 indivíduos apresentarem Rh-?

c) Qual o número esperado de indivíduos com Rh-?

E o desvio padrão?

02

).

Suponha que 30% dos indivíduos de uma

população sejam imunes (tenham anticorpos), Se

sortearmos 10 indivíduos desta população, (amostra)

qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4

indivíduos sejam imunes?

Exercícios

19

03).Um método habitualmente usado para ensinar higiene pessoal para pessoas com retardo mental é efetivo em 50% dos casos. Um novo método é proposto e testado com 10 pessoas. Se o novo método não é melhor que o anterior, qual é,

aproximadamente, a probabilidade de 8 ou mais pessoas beneficiarem-se do treinamento?5,47%

04).Em um certo país 30% das crianças são desnutridas. Em uma amostra aleatória de 15 crianças dessa área, encontre a probabilidade do número de desnutridos ser:

a) exatamente 10?0.30% b) menos de 3?12,68% c) 2 ou mais?96,48% d) de3 até 5?59,47%

Distribuição de Poisson

• Empregada para modelar a ocorrência de eventos raros (eventos de probabilidade de ocorrência muito pequena).

• Em Medicina está relacionada a patologias raras. • Os eventos de interesse (raros) ocorrem com uma taxa

média de ocorrência (µ) em determinados intervalos de tempo ou dentro de um espaço limitado, Por ex.:

No. de chegadas a um pronto-socorro durante a madrugada

No. de pessoas com leucemia em uma cidade

No. de acidentes de carro por dia na ponte Rio -Niterói

25

OBS: λ = μ = n.p

X = no. de eventos k=Nº. Pedido. µ = taxa média do processo e = no. de Euler = 2,7182818...

P(X=k) =

µ

_e

k!

k = 0,1,2,...

Fórmula para Distribuição de Poisson

Os parâmetros gerados pela Função

de Poisson são:

• Média = valor esperado = E(X) = µ

• Variância = σ

= µ

• Desvio Padrão = σ

= .

26

EXEMPLOS

Ex1)

Suponha que uma em cada mil pessoas que

utilizam determinado anestésico sofra uma reação

negativa (choque). Num total de 500cirurgias em

que se empregou esse anestésico:

•A probabilidade de que 1 pessoa sofra a reação

pode ser:

p = 1 = 0,001 µ=n.p = 500.0,001=0,5

1000

P(X=1)= = 0,3033 = 30,33%.

27

•A probabilidade de mais de uma reação = 1

-P(X>1)= 1 – (0,6065+0,3033) = 0,0902=9,02%.

P(X>1) P[(X=0)+P(X=1)]

•A probabilidade de nenhuma reação seria P(X=0) = = 0,6065 = 60,65%.

Obs:A aplicação desta distribuição em medicina está

relacionada a patologias raras e sua expressão dá uma aproximação da distribuição Binomial, tanto mais precisa quanto menor for o valor da probabilidade “p” de ocorrência do evento.

28

1)Uma em cada mil e duzentas pessoas que utilizam determinado anestésico sofre reação negativa (choque). Num total de 480 cirurgias em que se aplica este anestésico, qual a probabilidade de que:

a) apenas uma pessoa sofra a reação?26,81%

b) nenhuma reação seja observada?67,03%

c) Mais de duas reações seja observada?0,08%

Exercícios

2) Admita que o número de peixes que, por hora, são pescados por uma pessoa segue uma distribuição de Poisson com média de 1,8. Determine a probabilidade de, numa hora, o António

a) não pescar nenhum peixe.16,53%

b) pescar pelo menos 3 peixes. 26,94%

c) Pescar no mínimo 2 peixes. 53,72%

29

3)O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, num dado período de tempo, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de não ser emitida qualquer partícula nesse período de tempo é 1/5, calcule a probabilidade de que nesse período de tempo a fonte emita:

a) pelo menos 2 partículas.19,12%

b) No máximo 3 partículas.99,09%

c) 1 ou 2 partículas.50,33%

4)O número de florescimentos de uma planta rara é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com média 2,4. Quais são as probabilidades de tal planta ter:

a) nenhum florescimento? 9,07%

b) b) no máximo dois florescimentos?56,97%

5) Constatou-se que a ocorrência de casos de rubéola congênita numa determinada cidade tem media anual de 1,2 casos. Com base nesta informação, calcule a probabilidade de ocorrerem:

a) 6 casos de rubéola congênita no próximo ano. 0,12% b) 7 ou 8 casos de rubéola congênita. 0.02%

6) Em um determinado país, o número médio mensal de suicídios é 2,8. Assumindo que o número de suicídios segue uma distribuição de Poisson.

a) Qual a probabilidade de que nenhum suicídio seja registrado em um determinado mês? 6,08%

b) Qual a probabilidade de que no máximo três suicídios sejam registrados? 69,2%

c) Qual a probabilidade de que seis ou mais suicídios sejam registrados? 6,51%

31

7)Casos de síndrome de Williams, que se caracteriza por problema de mal formação cerebral e anomalias

cardiovasculares, são raros e cada caso pode ser considerado independente dos demais.

Suponha que em média é registrado 1 caso por 20.000 nascimentos. Qual é a probabilidade de que, numa metrópole com 55.000 nascimentos em um ano, se registre:

a) Pelo menos um caso de Síndrome de Willians nesse mesmo período? 91.79%

b) No máximo 2 casos de Síndrome de Willians nesse período? 54,38%

c) Exatamente 3 casos de Síndrome de Willians nesse período? 22,05%

32

8)Num posto de saúde são atendidos 2,8 pacientes/hora. Determine a probabilidade de 2 ou mais pacientes serem atendidos:

a) num período de 1 hora.76,89% b) num período de 2 horas. 97,56%

9). Os acidentes numa grande fábrica têm aproximadamente a distribuição de Poisson, com média de 3 acidentes/mês. Determine a probabilidade de que, em dado mês, haja:

a). um acidente; 14,94% b) 3 ou 4 acidentes 39,20%

33

DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU DE GAUSS

(Variável Contínua)

A média (µ) e o desvio padrão (σ) são os parâmetros da distribuição.

• Curva simétrica em torno do valor central(média=mediana=moda). • Assintótica em relação ao eixo X(não toca no eixo X). • Curva em forma de sino.

• A área sob a curva é igual a 1 ou 100%.

• Valores concentrados em torno da Tendência Central.

Média=Mediana =Moda µ=média 34 2 DP 1 DP 1 DP = 68,26% 2 DP 3 DP Média 95,44% 34% 34% 3 DP As Áreas(probabilidades)para 1,2 e 3 desvios padrão

em torno da média são, respectivamente: µ 1σ= 0,6826 µ 2σ= 0,9546 µ 3σ= 0,9974 µ 1σ µ 3σ= µ 2σ₌ 99,74% 35

Sendo N [ 60,8 ], V.a X com distribuição

normal de média = µ = 60 e desv. pad. =

σ

=

8,seria possível afirmar que;a probabilidade

de encontrar a sua média é :

P(µ 1

σ

_{) = P(52}

≤

_X

≤

_{68) = 68,26%.}

P(µ 2

σ

_{) = P(44}

≤

_X

≤

_{76) = 95,44%.}

P(µ 3

σ

_{) = P(36}

≤

_X

≤

_{84) = 99,74%.}

Transforma variável original do problema X em

unidades padronizadas; pela fórmula: Z = –

µ

s

• Z (V. A .P) Variável aleatória padronizada.

• VAP tem média = 0 e desvio padrão = 1 ou

• N [0,1]

• As áreas encontram-se numa tabela,

(Distribuição Z),a qual fornece a área p/ valores

iguais ou menores que Z

.

x

Z

µ=média

VARIÁVEL ALEATÓRIA PADRONIZADA

37

Exemplo: 1)

Suponha que o comprimento de um

recém-nascido do sexo feminino não portador de

anomalias congênitas seja uma variável aleatória

com distribuição normal de média 48,54 cm e desvio

padrão de 2,5 cm,N[48,54 ; 2,5].

•A probabilidade de um recém- nascido,escolhido ao

acaso, ter um comprimento superior à

média,(48,54cm), é de 50%, uma vez que a

distribuição normal é simétrica e a média

corresponde ao eixo de simetria da curva. A (V. A .P)

,neste caso, é zero.

38

Z = –µ Z= 48,54-48,54 Z= 0 Z = 0.

s 2,5 2,5

Na tabela Z=0.A área sob a curva é igual a 0,5 ou 50%.

•A probabilidade de o comprimento ser inferior a 44,79cm é igual a:

Z = 44,79-48,54 Z = -1,5 .

2,5

A probabilidade na tabela Z = -1,5 área sob a curva é igual a 0,0668, Portanto P(X ≤ 44,79) = 6,68%.

x

39

• A prob. de o comprimento ser superior a 47,29 é:

Z = 47,29 – 48,54 Z =

-0,5

; na tabela Z=-0,5

2,5 área = 0,3085

Só que este valor corresponde à área à esquerda de

Z=-0,5 (que representa valores menores que 44,29).

Como se deseja valores maiores que Z=-0,5, e a

área total é igual a 1 ou 100%, Basta fazer:

P( X

≥

44,29) = 1 – P(X=44,29) = 1 – 0,3085 =

0,6915 ou

69,15%.

40

• Para calcular a probabilidade entre 46,04 e

51,04cm,deve-se fazer:

• P(46,04

≤

X

≤

51,04) = P(X=51,04) – P(X=46,04).

Z=51,04 – 48,54 =

+1

e Z = 46,04 – 48,54 =

-1

2,5 2,5

Para Z= +1(Tabela 0,8643 e

Z = -1(Tabela 0,1587).

P(46,04

≤

X

≤

51,04) = 0,8643 – 0,1587 = 0,7056 =

70,56%.

Um outro cálculo que pode ser efetuado a partir da normal é determinar o limite inferior de, por ex; as 5% das crianças de maior comprimento(= percentil 95).

Este cálculo auxilia na construção da curva de: (Peso,estatura,perímetro cefálico, etc ).

PROCEDIMENTO:procurar no interior da tabela o valor 0,9500 ou 95%.

Este valor corresponde a um valor de Z +1,65.

Z = –µ ↔ 1,65 = – 48,54 – 48,54 = 2,5.1,65 s 2,5

= 52,67 cm.

Isto representa que apenas 5% das crianças nascem com comprimento superior a 52,67cm. ↔ ↔ xxxx

x

x

x

x

Exercícios

01).

A idade de uma população tem distribuição normal

com média 50 anos e desvio padrão de 4 anos .

Qual a probabilidade de uma pessoa dessa população ter:

a) 55 anos ou menos ?

b) menos de 55 anos?

c) exatamente 50 anos?

d) mais de 55 anos?

e) entre 55 e 57 anos?

f) entre 42 e 50 anos?

g) idade entre a média e mais ou menos 1 desvio padrão?

h) idade entre a média e mais ou menos 2 desvios

padrões?

i) idade entre a média e mais ou menos 3 desvios

padrões?

43

02).

Considerar a altura de 351 mulheres idosas como

seguindo uma distribuição normal com média 160cm e

desvio padrão 6 cm. Sorteia-se uma mulher; qual a

probabilidade de que ela tenha

a) altura entre 160 cm e 165 cm?

b) altura maior do que 170 cm?

c) altura menor do que 150 cm?

03).

Entre homens adultos sadios, a concentração de ferro

sérico segue uma distribuição normal com média 120

microgramas para 100ml e desvio padrão 15 microgramas

para 100ml. Calcule a probabilidade que uma amostra de

50 homens resulte em nível médio de ferro sérico entre 115

e 125 microgramas por 100ml.

44

04).Suponha que a taxa de glicose no sangue humano é

uma variável aleatória com distribuição normal de média 90mg por 100ml de sangue e desvio padrão 8mg por 100ml de sangue. Calcule a probabilidade de um indivíduo apresentar taxa:

a) Superior a 80mg de glicose por 100ml de sangue. 89,43%

b) Inferior a 87mg de glicose por 100ml de sangue. 31,56%

c) Inferior a 115mg de glicose por 100ml de sangue. 99,91%

d) Entre 86 e 117mg de glicose por 100 ml de sangue. 69,11%

05).Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos

com peso seguindo uma distribuição Normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento mais adequado, os 16% dos pacientes de menor peso são classificados de “magros”, enquanto os 16% de maior peso de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações. Obesos 149,80Kg e Magros 110,20Kg

45

06). Suponha que o tempo de coagulação (TC) em seres humanos seja uma variável aleatória com distribuição normal, de média 7 minutos e desvio-padrão 1 minuto. Em um exame hematológico qualquer, determine a probabilidade de que um indivíduo apresente TC:

a)menor que 8 minutos; b). maior que 10 minutos; c). entre 4 e 10 minutos. a) 84,13% b) 99,87% c) 99,73%

07). O tempo de execução de determinada cirurgia é uma

variável aleatória com distribuição Normal, com µ = 72

minutos e σ = 12 minutos. Calcule a probabilidade de que a

tarefa:

a) Leve mais de 93 minutos a executar; 4,01%

b) Não demore mais de 65 minutos; 71,9%

c) Gaste entre 63 e 78 minutos; 46,49%

46

08). Suponha que, para uma certa população, os níveis de

ácido úrico sejam normalmente distribuídos com média 0,75 (g/24 horas) e desvio-padrão igual a 0,2 (g/24 horas) Estime a probabilidade de um indivíduo apresentar uma taxa de ácido úrico:

a) maior do que 1 (g/24 horas); 10,57% b) menor do que 0,8 (g/24 horas); 59,87% c) entre 0,85 e 1,15 (g/24 horas); 28,58%

d) Qual é o nível de ácido úrico que delimita as 10 maiores taxas percentuais? 1,006 g/24hs

47

09).Suponha que o tempo médio de permanência em um hospital para pacientes com determinada doença é de 60 dias com desvio padrão de 15 dias. Supor que o tempo de

permanência segue uma distribuição aproximadamente normal. Se for sorteado 1 paciente desta população, calcule a probabilidade de que seu tempo de permanência será a) maior que 50 dias; 28,43% b) menor que 30 dias;1,92% c) entre 40 e 70 dias; 65,68% d) maior do que 75 dias.15,87%

10).Supor que a idade para o aparecimento de certa doença possui distribuição aproximadamente normal com média 11,5 anos e desvio padrão 3 anos. Uma criança apresentou esta doença. Calcule a probabilidade de que a criança tenha a) idade entre 8,5 e 14,5 anos; 68,26%

b) acima de 10 anos; 69,15% c) abaixo de 12 anos. 55,17%

11). As mulheres entre 18 e 74 anos de idade, apresentam pressão sangüínea diastólica normalmente distribuída com médiaµ= 77 mmHg e desvio padrãoσ = 11,6 mmHg.

a) Qual é a probabilidade de que uma mulher selecionada aleatoriamente tenha uma pressão sangüínea diastólica menor que 60 mmHg?7,08%

b) Qual é a probabilidade de que ela tenha uma pressão sangüínea diastólica maior do que 90 mmHg?13,14%

c) Qual é a probabilidade de que a mulher tenha uma pressão sangüínea diastólica entre

60 e 90 mmHg?79,79%

49

12).Doentes sofrendo de certa moléstia são submetidos a um tratamento intensivo, cujo tempo de cura segue uma distribuição Normal com média 15 e desvio padrão 2 (em dias).

a) Qual a probabilidade de um paciente demorar mais de 17 dias para se recuperar? 15,87%

b) Qual a probabilidade de um paciente demorar menos de 20 dias para se recuperar? 99,38%

c) Qual a probabilidade de um paciente demorar entre 12 e 15 dias para se recuperar? 43,32%

50

Teoria de Estimação

Estimativa

Avaliar algo desconhecido.

Consequências : Contém componente de incerteza

(Erro).

OBS: Não entender erro como engano.(As

informações são sobre amostras e não sobre a

população.

51

Tipos de Estimativas

•

Estimativa Pontual:

Se baseia em um único valor

ou ponto.

Ex:Taxa média de glicose de indivíduos diabéticos

200mg/100ml.

•

Estimativa por Intervalo:

se baseia em intervalo

de valores (intervalo de confiança) .

Ex: Taxa de glicose em diabéticos esta entre 180

e 220 mg/100ml.

52

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA

POPULACIONAL

a)DESVIO PADRÃO POPULACIONAL CONHECIDO

.

Intervalo de confiança

Está associado a um

determinado grau de confiança (gc) para média e

desvio padrão populacional conhecido.

É dado por: IC

(µ) Z

. σ

µ média pop.

média amostral.

σ

Desvio pop.

gc grau de confiança .

Z VAP(Variável Aleatória Padronizada.

x

n

x

n

_{Tamanho da amostra.}

53

Então a amplitude do intervalo de confiança

depende:

a) Grau de confiança(Z

) ou T

.

b) Desvio padrão pop.(σ).

c) Do tamanho da amostra(n)

INTERVALO DE CONFIANÇA

µ

-2,58 -1,96 +1,96 +2,58

OBS: Quanto maior for o grau de

confiança,maior será o intervalo.

ICgc= 99,0%

Icgc = 95,0%

σ

b)DESVIO PADRÃO POPULACIONAL ESTIMADO OU DESCONHECIDO.

S Desvio Padrão Amostral T Distribuição T de Student Gl Graus de Liberdade = n-1

OBS: Desvio Padrão populacional

Conhecido Desconhecido IC(GC)(µ) T(GC,gl) . S n

x

Exemplos

(Desvio padrão pop. conhecido)

01).Suponha que se deseja estimar o diâmetro pupilar médio de coelhos adultos normais, a partir de uma amostra de 12 animais, cuja média foi de 5,2 mm e desvio padrão do diâmetro populacional é de 1,2mm. Empregando um grau de confiança de 95% para a estimativa,

TABELA Z 5,2 1,96 .1,2 = 5,2mm 0,68mm IC_95% 4,52mm ≤ _µ ≤ _5,88mm . IC_95%

12

IC

(µ)

Z

. σ

02).O consumo mensal de calorias (kcal/g) de uma espécie de esquilos é bem modelado por uma distribuição Normal com desvio padrão 0.16 (parâmetro populacional). Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 18 cuja média amostral foi de 0.41. Obtenha um intervalo de confiança a 95% para certo consumo médio de calorias.

IC

(µ)

Z

. σ

n

IC_95% 0,41 1,96 .0,16 = 0,41 kcal/g 0,07 kcal/g

18

IC95% 0,34kcal/g≤ µ ≤ 0,48kcal/g

Exemplos

(Desvio padrão pop. conhecido)

58

01).O índice de massa corpórea é calculado dividindo-se o peso da pessoa pelo quadrado de sua altura; ele é uma medida da extensão em que o indivíduo está com excesso de peso. Para a população de homens de meia idade que mais tarde desenvolvem a diabetes, a distribuição dos índices básicos de massa corpórea é aproximadamente normal com média (µ)e desvio padrão σ, desconhecidos. Uma amostra de 58 homens selecionados desse grupo tem média = 25,0 kg/m² e desvio padrão s = 2,7 kg/m². Construa um intervalo de confiança de 95% para a média

µda população.

Exemplos

(Desvio padrão pop. desconhecido)

59 ICGC (µ) Z(95%). S TABELA Z 25 1,96 .2,7 = 25 kg/m². 0,70 kg/m². IC95% 24,30kg/m².≤ µ ≤ 25,70 kg/m². n IC95% 58

OBS: Usaremos tabela Z, não temos desvio padrão populacional, mas n<30

02).Na avaliação da altura de uma determinada população, utilizou-se uma amostra de 36 indivíduos e obteve-se média de168 cm e desvio padrão de 15 cm. Construa uma estimativa por intervalo, com 95% coeficiente de confiança para a média populacional

Exemplos

(Desvio padrão pop. desconhecido)

OBS: Usaremos tabela Z, n≥30

ICGC (µ) Z(95%). S TABELA Z 168 1,96.15 = 168 cm. 4,9 cm IC95% 163,1 cm.≤ µ ≤ 172,9 cm n 36 IC95% 61

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORCÕES POPULACIONAIS. ICGC( ) p t(GC,GL). n p.q p sucesso q fracasso gl graus de liberdade = n-1 gc graus de confiança média populacional π π 62

01).Pesquisa feita sobre etilismo num determinado bairro mostrou que, de 30 entrevistados, 18 afirmam ingerir bebidas alcoólicas com frequencia. A estimativa para proporção de indivíduos que habitualmente usam bebidas alcoólicas,com graus de confiança de 95%, seria:

ICGC( ) 0,6 2,05.

IC(95%,29)( ) 0,6 0,1833

IC_(95%,29)( ) 0,4167 ≤ ≤ _{0,7833 ou}

41,67%≤ ≤ _78,33%

Informa com confiança de 95% que a proporção da população que ingere álcool está entre 41,67% e 78,33%.

π

π

π

π

π

Exemplos para PROPORCÕES POPULACIONAIS.

63

02).Numa região afetada por um surto epidêmico, observou-se uma amostra de 2500 indivíduos, tendo-se encontrado 625 contaminados. Determine um

intervalo a 95% de confiança para a proporção de

indivíduos contaminados na região.

Exemplos para PROPORCÕES POPULACIONAIS.

n=2500 p= 625 p= 0,25 e q=0,75 k=625 2500 IC_GC( ) 0,25 1,98. IC_(95%,624)( ) 0,25 1,98.0,009

π

π

π

π

π

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA Amostras Pareadas. Amostras pareadas: Dados dos mesmos indivíduos em duas

situações diferentes.

Ex: Antes e depois da Administração de um antitérmico.

Vantagem: Elimina as fontes de variações. OBS: Preferida em pesquisa médica. Seu Intervalo de confiança é dado por:

Diferença das médias.

n

Sd Desvio padrão da diferença das médias

d

d

n

67

Desta forma é possível estar 95% seguro de que a verdadeira diminuição da média da temperatura corporal após o antitérmico esteja entre 0,91 e 1,47 graus celsius.

IC95% 0,91(°c) ≤∆A-B ≤ 1,47(°C)

68

IC[µ, 95%]

Exercícios sobre intervalo de confiança

Exercício 01

[10,55 ; 15,45]

69

Evolução da PAS com o emprego da droga A, anti-hipertensiva, em 20 pacientes do sexo masculino. Determine o intervalo de confiança de 95% para a média da PAS dos 20 pacientes após a administração.

Dados: Média Desv.Pad Antes 189,3 24,3 Depois 171,4 17,1 Exercício 02

Ic14,63≤ (∆A-B) ≤ 21,17

Dentre 100 peixes capturados num certo lago, 18 não estavam apropriados para consumo devido aos níveis de poluição do ambiente. Construa um intervalo de confiança de 95% para a correspondente verdadeira proporção. [10,4% ; 25,61%]

Exercício 03

70

Pretende-se estimar o tempo médio populacional (min) de efeito de um anestésico. Uma amostragem feita com 36 animais mostrou média de 120 (min) e desvio padrão de 40 (min). Construir um IC de 95% para a média populacional.[106,96 ; 133,07]

Exercício 05

O tempo de execução de determinada cirurgia num determinado hospital dura em média x = 72 minutos e S = 12 minutos,com uma amostra de 16 pacientes. Construa um intervalo de confiança com nível de significância de

5%,para a média de todas as cirurgias deste tipo.[65,61% ; 78,39%]

Exercício 04

71

Suponha que em uma determinada pesquisa sobre a presença de animais infectados com uma doença de 100 avaliados, 35 mostram a presença do vírus. Utilize um IC de 95% para estimar, na população, a proporção de infectados. [25,56% ; 44,44%]

Exercício 06

Uma droga foi testada em 25 pacientes e apresentou efeitos colaterais em 8 casos. Qual a proporção de ocorrência de efeitos colaterais? 0,32

Adotando-se um nível de significância de 5%, Calcule o intervalo de confiança.[30,21% ; 33,79%]

Exercício 07

Os QIs de 181 meninos com idades entre 6-7 anos de Curitiba foram medidos. O QI médio foi 108.08, e o desvio padrão foi 14.38. Calcule um intervalo de confiança de 95% para o QI médio populacional dos meninos entre 6-7

anos de idade em Curitiba usando estes dados. [106,29 ; 110,18]

Exercício 08

72

Os pulsos em repouso de 920 pessoas sadias foram tomados, e uma média de 72.9 batidas por minuto (bpm) e um desvio padrão de 11.0 bpm foram obtidos. Construa um intervalo de confiança de 95% para a pulsação média em repouso de pessoas sadias com base nesses dados. [72,19;73,61]

Exercício 09

O índice de massa corpórea é calculado dividindo-se o peso da pessoa pelo quadrado de sua altura; ele é uma medida da extensão em que o indivíduo está com excesso de peso. Para a população de homens de meia idade que mais tarde desenvolvem a diabetes, a distribuição dos índices básicos de massa corpórea é aproximadamente

normal com média µe desvio padrão σ, desconhecidos. Uma

amostra de 58 homens selecionados desse grupo tem média = 25,0 kg/m2 e desvio padrão s = 2,7 kg/m2.Construa um

intervalo de confiança de 95% para a média µda população. [25,01;25,7]