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Lista 48
Noções de Geometria plana
Ângulos e retas
ÂNGULOS
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 136.
Desde o início da humanidade, a observação e o estudo do céu despertavam interesse e fascinavam os mais diversos povos. Esses estudos impulsionaram o surgimento, por exemplo, da Astronomia. Inúmeros estudiosos podem ser citados e, entre eles, Nicolau Copérnico se destacou por elaborar uma teoria considerada, por muitos, uma das mais importantes, a teoria do heliocentrismo. Você já ouviu falar dessa teoria?
Segundo Copérnico, todos os planetas giravam em torno do Sol, portanto, o Sol seria o centro do Universo. Sabemos que nenhuma teoria é construída por um único pensador, mas vai se desenvolvendo com base em inúmeras pesquisas e estudos. Galileu Galilei e Johanes Kepler são alguns dos nomes que aparecem nos estudos sobre o Universo. Galileu, por exemplo, é citado como um dos primeiros estudiosos a olhar o céu através de um telescópio.
Na época das grandes navegações, as rotas traçadas em longas viagens pelos mares eram desenvolvidas por meio da observação da posição das estrelas. Instrumentos como o quadrante e o astrolábio eram utilizados para verificar se, durante a viagem, o navio estava seguindo a rota previamente traçada. Imagine como seria uma viagem pelos oceanos sem contar com esses instrumentos.
Atualmente, além de navios modernos, contamos com equipamentos mais precisos, como radares, GPS e outros. No entanto, mesmo com todo esse avanço, é imprescindível que as pessoas envolvidas no manejo desses equipamentos tenham um conhecimento básico: a ideia de ângulo.
Nesta lista, abordaremos algumas noções importantes sobre ângulos e ainda ampliaremos o estudo de Geometria Plana.
Noção de ângulo
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 137 e 138.
Ao observar os ponteiros de um relógio, podemos associar a ideia de ângulo à abertura existente entre dois ponteiros. Na imagem a seguir, a posição dos ponteiros possibilita a leitura das horas, neste caso, 10 horas e 10 minutos. Ao lado, temos outra representação dos ponteiros e, nesta, utilizamos duas semirretas de mesma origem.
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A região limitada pelas duas semirretas de mesma origem determina um ângulo. A origem comum a essas semirretas é o vértice do ângulo, e cada uma
das semirretas é um lado do ângulo.
Num ângulo temos os seguintes elementos:
• Vértice: é o ponto A;
• Lados do ângulo: são as semirretas AC e AB.
• Ângulo (abertura): região compreendida entre as semirretas AC e AB, representada por CÂB.
Observação!
• A representação de um ângulo é dada, em geral, pelo modelo ABC, onde B é a letra que indica o vértice do ângulo e A e C são as letras que indicam seus lados, ou seja as semirretas que os formam.
Observe alguns exemplos nos quais é possível identificar a formação de diferentes ângulos.
Os ângulos também poder ser associados à ideia de giro. Observe, por exemplo, duas tiras coloridas presas por uma tachinha: uma delas fica numa posição, enquanto a outra vai girando.
O giro da tira verde corresponde a um ângulo. Note que, da esquerda para a direita, a abertura entre as duas tiras coloridas vai aumentando. Se continuarmos girando a tira verde até chegar à posição inicial, teremos um giro completo.
Essa ideia pode ser representada por um círculo:
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CLassificação de ângulos
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 140 e 141.
Assim como existe uma régua para medir comprimentos, também existem instrumentos para medir ângulos.
Um deles é o transferidor, que pode ser definido como um círculo (geralmente feito de plástico e vazado no meio) dividido em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes é um grau (símbolo: º). Usamos o grau para medir ângulos.
O ângulo indicado pelas duas semirretas na figura abaixo mede 10º.
A cada uma das 360 partes em que dividimos o círculo corresponde um ângulo de medida 1º. Assim, uma volta completa é um ângulo de medida 360º.
Conforme a medida de um ângulo, os seguintes tipos de ângulo podem ocorrer: • Ângulo raso: ângulo de medida igual a 180º, desde que haja giro em uma das semirretas. Caso não haja giro, o ângulo será denotado por ângulo nulo e terá medida igual a 0º.
• Ângulo reto: um ângulo de um quarto de volta é um ângulo reto e tem medida igual a 90º.
Transferidor Existem transferidores que são semicírculos divididos em 180
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• Ângulo obtuso: ângulo de medida maior que 90º e menor que 180º.
• Ângulo agudo: ângulo de medida maior que 0º e menor que 90º.
Posição relativa entre retas
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 143 e 144.
No quadriculado abaixo foram representadas quatro retas: r, s, u e v.
Como elas estão representadas no mesmo plano formado pelo quadriculado, dizemos que são retas coplanares. Observe nessa malha quadriculada que:
• O ponto A é o encontro da reta r com a reta u (as retas r e u são ditas
concorrentes);
• O ponto B é o encontro da reta s com a reta u (as retas rse u são ditas
concorrentes);
• O ponto C é o encontro da reta r com a reta v (as retas r e v são ditas
concorrentes);
• O ponto D é o encontro da reta s com a reta v (as retas s e v são ditas
concorrentes);
• Se prolongamos as retas u e v, elas se encontrarão em algum ponto (são
concorrentes).
Duras retas coplanares que têm um único ponto de interseção (ponto de encontro) são denominadas retas concorrentes.
Voltando à malha quadriculada, observe que, por mais que prolonguemos as retas r e s elas jamais se encontrarão (são ditas paralelas).
Duas retas coplanares que não se interceptam (não têm ponto de encontro) são denominadas retas paralelas.
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A seguir reproduzimos as retas que estão representadas acima, mas sem a malha quadriculada. Note que nos pontos A, B, C e D as retas são, duas a duas, concorrentes. Quando duas retas são concorrentes, elas formam quatro ângulos.
• As retas r e v, que se interceptam no ponto C, formam quatro ângulos. Como nenhum desses ângulos é ângulo reto, dizemos que essas retas são oblíquas. • As retas s e v, que se interceptam no ponto D, formam quatro ângulos. Como
nenhum desses ângulos é reto, dizemos que essas retas são oblíquas.
• As retas r e u, que se interceptam no ponto A, formam quatro ângulos, todos retos. Dizemos que essas retas são perpendiculares.
• As retas s e u, que se interceptam no ponto B, formam quatro ângulos, todos retos. Dizemos que essas retas são perpendiculares.
Duas retas coplanares e concorrentes que formam, no ponto de encontro, quatro ângulos retos são denominadas retas perpendiculares. Observação!
• Retas paralelas podem ser representadas utilizando a simbologia a//b (lê-se a paralela a b) onde a e b são letras que repre(lê-sentam as retas.
• Retas concorrentes podem ser representadas utilizando a simbologia a´b (lê-se a concorrente a b) onde a e b são letras que representam as retas. • Retas oblíquas podem ser representadas utilizando a simbologia a____b
(lê-se a oblíqua a b) onde a e b são letras que repre(lê-sentam as retas.
• Retas perpendiculares podem ser representadas utilizando a simbologia a⊥b (lê-se a perpendicular a b) onde a e b são letras que representam as retas.
Assim como existem retas que são coplanares, isto é, que estão num mesmo plano, também existem retas que não são coplanares. Tais retas são ditas reversas. Como exemplo dessas retas, considere o prolongamento de duas arestas de um cubo, como indicam as retas r e s representadas abaixo:
Duas retas são ditas reversas quando não têm intersecção uma com a outra e não são paralelas. Isso significa que elas estão em planos diferentes, ou seja, não são coplanares.
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Ângulos e retas
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 76-78.
Para nos situarmos numa grande cidade, utilizamos mapas. Neles, localizamos praças, parques e ruas, como no exemplo abaixo.
Nesse mapa é possível observar os cruzamentos de diversas ruas. Algumas dessas ruas são como retas que, ao se cruzarem, formam ângulos de 90º ou ângulos diferentes. Assim, por exemplo, a Av. Álvares Cabral forma um ângulo de 90º com a Av. Bias Fortes. Agora observe no mapa o cruzamento entre a Av. Carandaí e a Av. Brasil: o ângulo entre elas tem medida inferior a 90º.
Se representarmos essas avenidas por retas, teremos a ideia do cruzamento e do ângulo entre elas, conforme o desenho abaixo. Além disso, observe que existem quatro ângulos formados por essas retas.
Neste tópico abordaremos as posições ente retas, ampliando nosso estudo sobre ângulos.
Classificação de ângulos
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 77 e 78.
No início desta lista vimos as definições de ângulo agudo, ângulo obtuso, ângulo raso e ângulo reto. Além delas, existem outras noções importantes a respeito de ângulos.
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• Ângulos adjacentes
Na figura a seguir vamos considerar os ângulos AÔB e BÔC, que têm em comum o vértice O e o lado OB. Observe que eles estão destacados com cores diferentes e não têm pontos internos em comum. São chamados de ângulos adjacentes.
Dois ângulos são adjacentes quando têm em comum o
vértice e um dos lados, porém não têm pontos
internos em comum
Considere o ângulo AÔB e a semirreta OM, que divide o
ângulo em dois ângulos adjacentes. Se a semirreta o
divide em dois ângulos de mesma medida, ela é denominada bissetriz de
AÔB.
• Ângulos complementares
Os ângulos adjacentes AÔB e BÔC indicados na figura a seguir formam um ângulo reto, isto é, um ângulo de medida 90º. Quando isso ocorre, dizemos que os ângulos são complementares.
A medida do ângulo complementar a x pode ser representada como 90º - x
Dois ângulos adjacentes são ditos complementares quando a soma de
suas medidas é 90º.
• Ângulos suplementares
Conforme a figura seguinte, os ângulos adjacentes AÔC e CÔB formam um ângulo raso, isto é, um ângulo de medida 180º. Dizemos que são ângulos suplementares. A medida do ângulo suplementar a x pode ser representada como 180º - x.
Dois ângulos adjacentes são ditos suplementares quando a soma de
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Exemplo 01:
Na figura a seguir, qual é a medida do ângulo indicado pela letra x?
Como o ângulo de medida x e o ângulo de medida 70º formam um ângulo raso, dizemos que são suplementares. Dessa forma:
x + 70º = 180º x = 110º
ou 180º - 70º = x
x = 110º
Ângulos entre retas
Ângulos opostos pelo vértice
Texto retirado de MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. Pág. 182.
No desenho acima, as retas AD e BC têm em comum o ponto O, e os ângulos AÔB e CÔD tem em comum o vértice O.
Observe que nos ângulos AÔB e CÔD os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.
Os ângulos AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice.
Nessa mesma figura, AÔC e BÔD também são ângulos opostos pelo vértice.
Ângulos opostos pelo vértice apresentam uma propriedade. Que tal descobri-la?
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Vamos escolher os ângulos opostos pelo vértice LPM e RPN e mostrar que eles têm medidas iguais.
a é o suplemento de x ® a = 180º - x b é o suplemento de x ®180º - x
Logo a = b.
Os ângulos LPM e RPN têm medidas iguais e, portanto, são ângulos
congruentes.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Ângulos de duas paralelas com uma transversal
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 73 e 74.
Considere agora as retas paralelas r e s. Essas duas retas são concorrentes a uma terceira reta t, dita transversal. Na figura destacam-se os oito ângulos formados.
Apesar de termos oito ângulos, se as retas r e s são paralelas, temos apenas duas medidas diferentes. Observe que as aberturas indicadas com a mesma cor correspondem a ângulos congruentes, isto é, ângulos com a mesma medida.
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Eles podem ser identificados como mostramos a seguir: • Ângulos opostos pelo vértice são congruentes:
1 e 3 2 e 4 5 e 7 6 e 8
• Ângulos correspondentes, que estão na mesma posição em relação à transversal, são congruentes:
1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8
• Ângulos suplementares, cuja soma deles é igual a 180º: 1 e 2 2 e 3 3 e 8 4 e 5 1 e 4 2 e 7 3 e 6 4 e 7 1 e 6 2 e 5 5 e 6 6 e 7 1 e 8 3 e 4 5 e 8 7 e 8 Exemplo 02:
Na figura abaixo, determine as medidas dos ângulos desconhecidos, considerando que as retas r e s são paralelas.
Na figura, observe que o ângulo indicado por x é suplementar ao de medida 36º, isto é:
x + 36º = 180º x = 180º - 36º
x = 144º
Já os ângulos de medidas x e y são correspondentes em relação à transversal. Portanto, têm medidas iguais:
y = x y = 144º
Exercícios
1. O desenho abaixo mostra o caminho que a enfermeira Alice faz de sua casa,
indicada pelo ponto A, ao hospital, assinalado por H.
a. Identifique os pontos em que ela muda de direção.
b. Identifique os pontos em que a mudança de direção é de um quarto de volta. c. Identifique os pontos em que a mudança é menor que um quarto de volta.
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2. Dê as medidas dos ângulos seguintes:
a. b.
3. Qual é o nome do ângulo que corresponde a um giro de um quarto de volta de
uma pessoa?
4. Observe os ponteiros dos relógios abaixo.
a. Quais deles sugerem ângulos retos? b. Quais deles sugerem ângulos rasos?
5. Qual é o nome do ângulo cujos lados são semirretas opostas?
6. Classifique os ângulos indicados a seguir como retos, agudos ou obtusos. a. b. c. d. e. f.
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8. Na figura a seguir, o ângulo raso foi dividido por uma semirreta vermelha.
a. Qual é a medida do ângulo agudo dessa figura, se a medida do ângulo obtuso
for 130º?
b. Qual é a medida do ângulo obtuso dessa figura, se a medida do ângulo agudo
for 40º?
9. Identifique os pares de retas perpendiculares nestas figuras. Quais são eles?
a. b. c.
10. Na figura a seguir, com o prolongamento das retas r, s, t e u, obteve-se um
retângulo, e as retas a e b contêm as diagonais desse retângulo.
Escreva:
a. Todos os pares de retas que são paralelas;
b. Todos os pares de retas que são perpendiculares; c. Todos os pares de retas que são oblíquas.
11. Para cada afirmação a seguir, indique V ou F, conforme ela seja verdadeira ou
falsa, respectivamente.
a. Duas retas concorrentes são perpendiculares.
b. Duas retas paralelas apresentam infinitos pontos em comum. c. Se duas retas são perpendiculares, então elas são concorrentes.
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12. Observe a figura e responda:
a. Os ângulos APB e APC são adjacentes? b. BPC e APB são ângulos adjacentes?
c. As semirretas PA e PC são perpendiculares. BPC e APB são ângulos
complementares ou suplementares?
13. Indique a medida do ângulo complementar dos ângulos a seguir.
a. 33º b. 12º c. 25,5º d. 39º 14. Determine a medida do ângulo suplementar dos ângulos a seguir.
a. 40º b. 32,5º c. 33,55º d. 162,3º 15. Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.
a. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser retos. b. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser agudos. c. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser obtusos.
d. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser um agudo e
outro obtuso.
e. O ângulo complementar de um ângulo de 45º também tem medida 45º. f. O ângulo complementar de um ângulo de 32º tem medida menor que 32º. g. O dobro do ângulo complementar de um ângulo de medida 20º é um ângulo
agudo.
h. O dobro do ângulo suplementar de um ângulo de medida 160º é um ângulo
agudo.
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a. Em relação às medidas, que tipo de par de ângulos são AÔC e CÔB? b. Qual é a medida de AÔC e a de seu complemento?
17. A medida de um ângulo é x, e a de seu suplemento é x – 30º. Quais são as
medidas desses ângulos.
18. A medida de um ângulo é 2m e a de seu complemento é 3m + 25º. Qual é o valor
de m?
19. Um quarto da medida do suplemento de um ângulo corresponde a 27º. Qual é a
medida desse ângulo?
20. A soma do triplo da medida de um ângulo com seu complemento é 167º. Qual é
a medida desse ângulo?
21. A medida de um ângulo é o quádruplo de seu complemento. Quanto mede esse
ângulo?
22. Quanto mede um ângulo que tem a mesma medida de seu complemento?
23. Um ângulo tem a metade da medida de seu suplemento. Qual é a medida desse
ângulo?
24. A bissetriz de um ângulo reto o divide em dois ângulos de mesma medida. Qual
é essa medida?
25. Na figura a seguir, as letras x, y, z e w representam as medidas dos ângulos
formados por duas retas concorrentes.
Estabeleça uma relação entre as medidas abaixo.
a. x e z b. x e y
c. x e w d. y e w
e. y e z
26. Observe a figura abaixo. Imagine que os palitos de sorvete sejam retas.
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27. A letra x está indicando a medida de um ângulo desconhecido nas figuras
seguintes. Determine essa medida.
a. b.
28. No quadrilátero ABCD, o ângulo APB mede 31º. Qual é o valor de x?
29. Dois ângulos opostos pelo vértice têm suas medidas representadas por 4x – 30º
e x + 60º. Então:
a. Determine o valor de x.
b. Obtenha as medidas dos dois ângulos.
30. As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice somam 72º. Quanto medem o
complemento e o suplemento de cada um desses ângulos?
31. As duas baquetas parecem formar ângulos opostos pelo vértice. Qual é a medida
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32. Na figura a seguir, as retas u e v são paralelas. Tendo em vista que quatro dos
ângulos formados na transversal têm a medida indicada, determine a medida de cada um dos demais ângulos.
33. As retas m e n são paralelas e cortam a reta t em dois pontos. Nesses dois pontos
estão indicados alguns ângulos.
Determine:
a. A medida do ângulo y; b. A medida do ângulo x;
c. A medida do ângulo z.
34. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Qual é a medida do ângulo
indicado pela letra x?
35. Considerando que as retas r e s são paralelas e observando possíveis valores
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a. Se a = 160º, qual é a medida do ângulo b?
b. Se a = 158º, qual é a medida do ângulo b?
c. Se a = 140º, qual é a medida do ângulo b?
d. Se b = 60º, qual é a medida do ângulo a?
e. Se b = 80º, qual é a medida do ângulo a?
36. Sendo r e s duas retas paralelas, determine:
a. A medida do ângulo indicado pela letra x; b. A medida do ângulo indicado por 2x;
c. A relação entre as medidas desses dois ângulos.
37. Na figura ao lado, as retas r e u são paralelas. De acordo com as medidas dos
ângulos indicadas, determine a medida do ângulo indicado pela letra:
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38. As retas a e b, representadas a seguir, são paralelas. Determine as medidas dos
ângulos desconhecidos.
39. As retas r e s são paralelas e as linhas tracejadas são paralelas a essas duas
retas.
Conforme as medidas dos ângulos indicados na figura, responda:
a. Qual é a medida do ângulo indicado pela letra a?
b. Qual é a medida do ângulo indicado pela letra b?
40. (UFU) Dois ângulos consecutivos são complementares. Então, o ângulo formado
pelas bissetrizes desses ângulos é:
A 20º B 30º C 35º D 40º E 45º
41. (FUVEST) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e
o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
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42. (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela transversal t, conforme a figura.
O valor de x para que r e s sejam paralelas é:
A 20º B 26º C 28º D 30º E 35º
43. (PUC/SP) Um ângulo mede a metade de seu complemento. Então, esse ângulo
mede:
A 30º B 60º C 45º D 90º E 68º
44. (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo a, apresentado na
figura a seguir, é:
45. (CESGRANRIO) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal
t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B - A vale:
A 90º B 85º C 80º D 75º E 60º
46. (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos
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O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a:
A 144º B 128º C 116º D 82º E 54º
47. (CESGRANRIO) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo
que a soma de dois dos ângulos agudos formados vale 72º. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
A 142º B 144º C 148º D 150º E 152º
48. (UFG) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:
A 100º B 120º C 110º D 140º E 130º
49. (ENEM 2009) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que
está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
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É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça:
A 1 após girá-la 90º no sentido horário. B 1 após girá-la 180º no sentido anti-horário. C 2 após girá-la 90º no sentido anti-horário. D 2 após girá-la 180º no sentido horário. E 2 após girá-la 270º no sentido anti-horário.
50. (ENEM 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou
países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a
direção que forma um ângulo de 135º no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar,
Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília – DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade de destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em:
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A Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. B Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. C Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. D Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. E Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
Quer praticar um pouco mais?
Exercícios extras
51. Esta figura representa o percurso de um ônibus entre duas cidades: Alvorada (A)
e Encanto (E).
a. Observe o desenho e identifique os pontos onde há mudança de direção. b. Que tipo de ângulo é o CDE e o ABC?
52. Observe estes ângulos. Cada um está identificado com uma letra. Anote,
separadamente, as letras que indicam ângulos agudos e as letras que indicam ângulos obtusos.
53. Considere o quadrado ABCD ilustrado a seguir. Nele foram utilizados dois
segmentos de reta para unir os vértices opostos da figura, e observe que no cruzamento desses segmentos formaram-se 4 ângulos. Qual é a medida de cada um desses ângulos?
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54. Observe a representação de um campo de futebol.
Responda:
a. Que tipo de ângulo está indicado em cada um dos cantos do campo de futebol? b. No meio do campo, a linha está dividindo o círculo ao meio. Qual é o nome de
cada um dos dois ângulos que formam o círculo central?
c. Que tipo de ângulo a linha que divide o campo ao meio forma com as linhas
laterais?
55. Para responder às questões a seguir, você deverá observar o ponteiro das horas
(pequeno) e o ponteiro dos minutos (grande) de um relógio.
a. Quando o ponteiro grande anda 60 minutos, qual é o ângulo que ele gira? b. Quanto tempo o ponteiro grande precisa para dar um giro completo?
c. A partir das 12 h, após quantas horas o ponteiro pequeno descreverá um
ângulo reto?
d. A partir das 12 h, após quantos minutos o ponteiro grande descreverá um
ângulo reto?
e. A partir das 12 h, de quantos minutos o ponteiro grande precisa percorrer para
formar um ângulo raso?
56. Indique as medidas em graus do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio
às:
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d. 4 horas e. 5 horas f. 6 horas
57. Prolongando os quatro lados de um retângulo, obtêm-se as retas r, s, t e u.
Indique quais retas são paralelas e quais são perpendiculares.
58. Na figura a seguir, está representado um quadrado e seis retas, das quais quatro
são os prolongamentos dos lados e duas são os prolongamentos de suas diagonais.
a. Escreva todos os pares de retas que são perpendiculares. b. Escreva todos os pares de retas que são paralelas.
59. Observe os ângulos que existem na figura abaixo.
a. Quais ângulos são adjacentes ao ângulo NÂM? b. Existem ângulos adjacentes a PÂR? Quais? c. Identifique dois ângulos suplementares.
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a. Qual desses ângulos é adjacente a BCA? b. Identifique o ângulo adjacente a CAB?
c. Qual desses ângulos externos é adjacente a ABC? 61. Observe os três ângulos indicados na figura abaixo.
a. Qual é o ângulo adjacente ao ângulo a?
b. Qual é o ângulo adjacente ao ângulo q?
c. Adicionando a + q, obtemos um ângulo agudo ou um ângulo obtuso?
d. Adicionando b + q, obtemos um ângulo agudo ou um ângulo obtuso?
e. Qual é a soma das medidas dos três ângulos indicados?
62. Complete a tabela abaixo com as medidas dos ângulos que faltam. Ângulo A Complementar de A Suplementar de A
32º 45º 120º 66º 88º 100º
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63. Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. Em seguida,
reescreva as afirmações falsas, de modo que sejam verdadeiras.
a. O complemente de um ângulo é sempre um ângulo agudo. b. O suplemento de um ângulo agudo é um ângulo agudo. c. A medida do suplemente de um ângulo reto é 180º.
64. Os ângulos adjacentes ABC e CBD são suplementares. Um deles tem o triplo da
medida do outro. Quais são as medidas desses ângulos?
65. Na figura abaixo, os ângulos a e b, são complementares. Responda às questões:
a. Se um deles tem medida igual a 20º, qual é a medida do outro?
b. Se um deles tem o dobro da medida do outro, quais são as medidas dos dois
ângulos?
66. Na figura abaixo, as retas r e s, que formam quatro ângulos retos.
a. Determine o valor de x conforme medidas indicadas na figura. b. Obtenha as medidas dos três ângulos indicados na figura.
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67. Na figura abaixo, as retas r e s são concorrentes. Além disso, há uma semirreta
com origem no ponto de encontro dessas duas retas.
De acordo com as medidas dos ângulos indicados, determine:
a. A medida do ângulo colorido na figura; b. A medida de x;
c. As medidas dos ângulos formados pelas retas concorrentes r e s.
68. A medida de um ângulo é igual a 2
3 do seu complemento. Qual é a medida desse
ângulo?
69. Dois ângulos são suplementares. A medida de um deles é a metade da medida
do outro. Calcule a medida desses ângulos.
70. A medida de um ângulo é tal que o dobro da medida de seu complemento é 16º.
Qual é a medida desse ângulo?
71. Considere que um ângulo é tal que o triplo da medida de seu suplemento é 90º.
Qual é a medida desse ângulo?
72. Na figura abaixo estão representadas 3 retas e indicados 8 ângulos.
a. Escreva pares de ângulos que são opostos pelo vértice.
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73. Se um ângulo tem medida 35º, qual é a medida de ângulo oposto a ele pelo vértice? 74. Se dois ângulos opostos pelo vértice, têm medidas indicadas por 4x – 10º e 6x –
40º, determine:
a. O valor de x;
b. A medida desses dois ângulos;
c. A medida do ângulo suplementar de x.
75. Na figura a seguir, observe os ângulos indicados pelas letras a, b e d.
Considerando a medida do ângulo b = 23º, determine a medida:
a. Do ângulo a; b. Do ângulo d.
76. Na figura estão representadas duas retas concorrentes; e no ponto de encontro,
três ângulos. Responda:
a. Se a medida do ângulo a for igual a 45º, quais serão as medidas dos ângulos b e g?
b. Se a medida do ângulo a for igual a 55º, quais serão as medidas dos ângulos b e g?
c. Se a medida do ângulo a for igual a 41º, quais serão as medidas dos ângulos b e g?
d. Qual é a soma das medidas dos ângulos a e g?
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77. Nesta figura s//p e a é uma reta transversal a elas. Identifique um par de ângulos,
um com vértice em A e outro com vértice em B, e que sejam:
a. Congruentes; b. Suplementares.
c. Por que med MÂX = med BÂL? d. Por que mede MÂX = med RBS?
e. O que podemos dizer sobre med MÂX e med NBR?
78. Na figura abaixo, as retas m e n são paralelas e t é uma transversal a m e a n.
a. AMN e MNB são congruentes ou suplementares? b. Qual é a medida de AMN?
c. Qual é o valor de a? d. Qual é a medida de SMN?
e. Identifique outro ângulo que tenha vértice em N e a mesma medida de AMN. 79. Na figura abaixo r//s. Determine os valores de x, y e z.
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Lista 48
Gabarito
Exercícios
1.a. Alice mudou de direção nos pontos B, C, D, E, F e G.
b. Os pontos em que a mudança de direção é de um quarto de volta são B, C e
F.
c. Os pontos em que a mudança de direção é menor que um quarto de volta são
D e G.
2.
a. 30º b. 110º
3. O ângulo que corresponde a um giro de um quarto de volta de uma pessoa é o
ângulo reto.
4.
a. O relógio C sugere ângulos retos. b. O relógio B sugere ângulos rasos.
5. O nome do ângulo cujos lados são semirretas opostas é ângulo raso. 6. a. Ângulo agudo b. Ângulo reto c. Ângulo obtuso d. Ângulo agudo e. Ângulo obtuso f. Ângulo reto 7. São observados 9 ângulos retos na figura.
8.
a. Se o ângulo obtuso da figura for 130º, o ângulo agudo medirá 50º. b. Se o ângulo agudo dessa figura for 40º, o ângulo obtuso medirá 140º. 9. Os pares de retas perpendiculares são b e c.
10.
a. r e s; t e u. b. r e t; r e u; s e t; s e u. c. r e a; r e b; s e a; s e b; t e a; t e b; u e a; u e b.
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11. a. F b. F c. V d. V 12. a. Não. b. Sim.c. BPC e APB são ângulos complementares. 13. a. 57º b. 12º c. 64,5º d. 51º 14. a. 140º b. 147,5º c. 146,45º d. 17,7º 15. a. V b. F c. F d. V e. V f. F g. F h. V 16.
a. AÔC e CÔB são ângulos complementares.
b. AÔC mede 71,5º e seu complemento (CÔB) mede 18,5º. 17. Os ângulos medem 105º e 75º.
18. m = 15º
19. Esse ângulo mede 72º. 20. Esse ângulo mede 38,5º. 21. Esse ângulo mede 72º. 22. Esse ângulo mede 45º. 23. Esse ângulo mede 60º.
24. Esses ângulos medem 45º cada. 25. a. x = z b. x + y = 180º c. x + w = 180º d. y = w e. y + z = 180º 26. a. x = 60º b. x = 59º 27. As repostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões.
São pares de ângulos opostos pelo vértice: XÔZ e RÔT, YÔZ e SÔT, YÔX e SÔR, XÔT e ZÔR, etc.
28. x = 33º 29.
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30. O complemento desses ângulos mede 72º e seu suplemento mede 144º. 31. O suplemento de MÔN mede 110º.
32. Cada um dos demais ângulos medirá 135º. 33. a. y = 160º b. x = 160º c. z = 20º 34. x = 42º 35. a. b = 20º b. b = 22º c. b = 40º d. a = 120º e. a = 100º 36. a. x = 60º b. 2x = 120º c. x e 2x são ângulos suplementares, isto é, somam 180º. 37. a. x = 98º b. y = 98º 38. y = 120º, x = 60º e 2x = 120º 39. a. a = 45º b. b = 60º 40. E 41. E 42. B 43. A 44. A 45. A 46. A 47. B 48. A 49. C 50. B
Exercícios extras
51.a. Houve mudança de direção nos pontos B, C e D. b. O ângulo CDE é obtuso e o ângulo ABC é reto. 52. Ângulo obtuso: A
Ângulo agudo: C
53. Cada um dos ângulos mede 90º. 54.
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b. Os dois ângulos que formam o círculo central são ângulos rasos.
c. Os ângulos formados pela linha que divide o campo ao meio e as linhas laterais
são ângulos retos.
55.
a. Quando o ponteiro grande anda 60 minutos, ele gira 360º.
b. O ponteiro grande precisa de 1 hora (ou 60 minutos) para dar um giro completo. c. A partir das 12 h, o ponteiro grande descreverá um ângulo reto após 15 minutos. d. A partir das 12 h, o ponteiro grande precisa percorrer 30 minutos para formar
um ângulo raso. 56. a. 30º b. 60º c. 90º d. 120º e. 150º f. 180º 57. Paralelas: r e s; t e u. Perpendiculares r e t; r e u; s e t; s e u. 58. Perpendiculares: a e b; a e c; b e d; c e d; e e f. Paralelas: a e d; b e c. 59.
a. Os ângulos MÂR e NÂP são adjacentes ao ângulo NÂM. b. Sim. Os ângulos NÂP e MÂR são adjacentes ao ângulo PÂR. c. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões.
NÂM e NÂP ou MÂR e NÂM ou MÂR e PÂR ou PÂR e NÂP.
60.
a. O ângulo adjacente ao ângulo a é o ângulo q.
b. Tanto a quanto b são ângulos adjacentes ao ângulo q.
c. Adicionando a + q, obtemos um ângulo obtuso.
d. Adicionando b + q, obtemos um ângulo obtuso.
e. A soma dos três ângulos indicados é 180º. 61.
a. O ângulo DCA é adjacente ao ângulo BCA. b. EÂB é o ângulo adjacente ao ângulo CÂB. c. FBC é o ângulo externo adjacente a ABC.
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62.
Ângulo A Complementar de A Suplementar de A
32º 58º 148º 45º 45º 135º 60º 30º 120º 66º 24º 114º 2º 88º 178º 80º 10º 100º
63. Esses ângulos são 135º e 45º. 64.
a. Se um deles medir 20º, o outro medirá 70º.
b. Se um deles medir o dobro da medida do outro, os ângulos medirão 30º e 60º. 65.
a. V
b. F ® O suplemento de um ângulo agudo é um ângulo obtuso.
c. F ® A medida do suplemento de um ângulo reto é 90º.
66.
a. x = 8º
b. Os três ângulos indicados na figura medem 48º, 24º e 18º. 67.
a. O ângulo colorido na figura mede 180º. b. x = 11º.
c. Os ângulos formados pelas retas concorrentes r e s medem 55º e 125º,
respectivamente.
68. Esse ângulo mede 36º.
69. Esses ângulos medem 60º e 120º. 70. Esse ângulo mede 82º.
71. Esse ângulo mede 150º. 72.
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b. São ângulos adjacentes e suplementares: A e B, B e C, C e D, D e A, E e F, F
e G, G e H, H e E.
73. O ângulo oposto pelo vértice ao ângulo de 35º também mede 35º. 74.
a. x = 15º
b. Ambos os ângulos medem 50º.
c. O ângulo suplementar de x mede 165º. 75. a. a = 157º b. d = 23º 76. a. b = 45º e g = 135º b. b = 55º e g = 125º c. b = 41º e g = 139º d. a + g = 180º e. b + g = 180º 77.
a. As respostas podem variar; abaixo temos apenas uma sugestão.
MÂR e NBR.
b. As respostas podem variar; abaixo temos apenas uma sugestão.
LÂB e ABS.
c. med MÂX = med BÂL porque MÂX e BÂL são ângulos opostos pelo vértice, e
todos os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
d. med MÂX = med RBS porque s//p, a é transversal e MÂX e RBS são ângulos
obtusos.
e. med MÂX + med NBR = 180º. 78.
a. AMN e MNB são ângulos congruentes. b. AMN = 107º
c. a = 39º d. SMN = 73º
e. As respostas podem variar; abaixo temos apenas uma sugestão.
XNY.
79. x = 132º, y = 48º e z = 132º 80. x + y + z = 300º
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Lista 48
Bibliografia
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.
• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 6º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015.
• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015.
• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 8º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015.
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 7º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015.
• Apostila de Matemática: Volume 01. Editora Bernoulli: Belo Horizonte, 2012. • http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabaritos. Acesso em: 20 de setembro de 2017.
