Aula 4.

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Aula 4

1. Potências . ... 2

2. Radicais . ... 6

3. Expressões Algébricas . ... 12

4. Monômios ou termos algébricos . ... 14

5. Monômios ou termos semelhantes . ... 15

6. Operações com monômios . ... 15

7. Polinômios . ... 16

8. Polinômios com uma variável . ... 17

9. Operações com polinômios . ... 17

10. Divisão de polinômios por binômios do 1º grau . ... 20

11. Produtos Notáveis . ... 23

12. Problemas do primeiro grau . ... 30

13. Equação do 2º grau . ... 49

14. Relações de Girard . ... 57

15. Pares Ordenados . ... 62

16. Plano Cartesiano . ... 62

17. Funções . ... 64

18. Domínio e Imagem . ... 67

19. Reconhecimento gráfico de uma função . ... 67

20. Imagem de um elemento . ... 69

21. Zero de uma função . ... 72

22. Composição de funções . ... 73

23. Função Afim . ... 81

24. Função Quadrática . ... 90

25. Logaritmos . ... 103

26. Relação das questões comentadas nesta aula . ... 113

27. Gabaritos . ... 128

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1. Potências

A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe:

4 4 · 4 · 4 · 4 · 4 1.024 Na potência 4 4

é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator se repete).

Sendo um número real e um número inteiro maior que 1, define-se: · · … · Exemplos: 5 5 · 5 · 5 125 8 8 · 8 64 2 3 2 3 · 2 3 4 9 2 2 · 2 · 2 8

• Toda potência de expoente 1 é igual a base.

• Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 1, 0

Observação: 0

é çã á .

• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. 1 Exemplos: IMPORTANTE Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo. Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é negativo. Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.

(3)

5 5 3 4 1 2 5 5 2 125 8 5 1 5 1 5 Propriedades Operatórias

·

Em palavras:

• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados.

• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos.

• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados.

Exemplos

5 · 5

5

55

5

·

₅

EC 1. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é: a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97 Resolução Qual o significado de · · · · Com dez fatores “x”.

(4)

Portanto, 10 10.000.000.000

10 3 10.000.000.000 3 9.999.999.997 A soma dos algarismos é 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 88. Letra A

EC 2. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221 Resolução

Vamos relembrar algumas propriedades das potências.

Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

· /

E da mesma forma que · , temos que · (óbvio não?). Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão?

Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto:

2 2 2 · 2 2 2 2 · 2 2 2 2 2 · 2 2 · 2 2

Podemos colocar 218 em evidência: 2 · 2 2 · 2

2

2 · 2 2

2 2 2 4 2 6

Letra C

EC 3. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão

onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado: a) 1/3

(5)

c) 3 d) 27 e) 1/9 Resolução

Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior.

3 3 3

3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 · 3 Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador.

3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 · 3 3 3 3 · 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 1 9 271 9 3 1 9 3 1 27 13 13 27 13/1 13 27 · 1 13 1 27 Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil!

Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos.

3 3 3

Esta é a expressão. Vamos substituir por 3.

3 3 3 3 3 3 3 3 33 9 3 1 243 81 27 13 351 Simplificando por 13... 13 351 1 27 Bem melhor, não?!

Letra B

EC 4. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é: a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

(6)

Resolução

Perceba que 9.000 9 · 1.000 3 · 10 Mas o enunciado nos disse que 3 10 , _. Portanto:

9.000 9 · 1.000 3 · 10 10 , _{· 10}

Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. 9.000 10 , _{· 10} ₁₀ , _{· 10} ₁₀ , _{· 10} ₁₀ , ₁₀ , 10 9.000 10 10 , 3,954

2. Radicais

Se é um número não‐ 0) e é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de é um número não‐negativo ( 0) tal que .

Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito. √9 3 3 9.

√32 2 2 32.

√0 0 0 0.

√ é í , é é .

Raízes de índice par

Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos:

5 25

Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5.

(7)

Portanto:

√25 5 √25 5 Desta maneira, é falso afirmar que √49 7.

Por outro lado, podemos escrever que √25 5. Não é o radical que “causa” o sinal, e sim o sinal que o antecede.

É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par (trabalhando com números reais).

Por exemplo, √ 16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê 16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo.

Note a diferença:

√16 4 √ 16 ã

Raízes de índice ímpar

Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo.

√8 2 2 8

√ 8 2 2 8

Propriedades

Considere

, números reais não-negativos (

0 0), um número natural

maior que 1 e um número inteiro qualquer.

√ · √

√

0

(8)

√

1 Efetue √3 · √12 2√27 3√75)

√3 · √12 2√3 · √27 3√3 · √75 √3 · 12 2√3 · 27 3√3 · 75

√36 2√81 3√225 6 2 · 9 3 · 15 33

Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo:

√28 √4 · 7 √4 · √7 2√7

√300 √100 · 3 √100 · √3 10√3

0,444 …

4

9 √

√4

9

2

3 Potência de expoente racional

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não

nulo, temos:

√

Observe:

Exemplos:

3

3 √3

5

5 √25

27

, …

₂₇

_√27

₃

Racionalização de Denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração.

Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador.

(9)

Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador.

1º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2

Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração

equivalente com denominador radical.

Lembre-se que se é um número não-negativo, √ · √ √ . Veja os exemplos: 8 √2 8 · √ √2 · √ 8√2 2 4√2 10 2√5 10 · √ 2√5 · √ 10√55 2 · 10√5 10 √5

O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!!

2º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2 Lembre-se que se a é um número não-negativo, √ .

8 √2 8 · √ √2 · √ 8√4 √2 8√4 2 4√4

Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 3 2

3º caso Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical

Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável” que será visto com detalhes ainda nesta aula.

· Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do

primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

·

2 2

Pois bem, vamos ver um exemplo: 6 √5 √2 6 · √ √ √5 √2 · √ √ 6 · √5 √2 √5 √2 6 · √5 √2 5 2 6 · √5 √2 3 2 · √5 √2 2√5 2√2

(10)

7 4 √3 7 · √ 4 √3 · √ 7 · 4 √3 4 √3 7 · 4 √3 16 3 7 · 4 √3 13 Observe que o fator racionalizante de √5 √2 é √ √ (troca o sinal).

O fator racionalizante de 4 √3 é √ .

EC 5.

(SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade

√√ √

√ , o valor de

é:

a) 1

b) 3

c) 3

d) 5

e) 7

Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o

denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja,

se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical.

4 √2

Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador

significar “acabar com o número irracional do denominador”.

Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2.

4 √2

· √

√22

4√2

2 2√2

Desta forma:

4 √2

2√2

Vamos lembrar o seguinte produto notável:

·

2 2

Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do

enunciado.

Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o

numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma

(11)

diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o

denominador pela soma dos radicais.

7 √5

√7

5

· √7 √5

7

5 √49 √35 √35 √25

√7

2

√5

2

7

2 √35

5

7

5

12

2 √35

2

7 √

√5

√7

5

6

35 Como

√√7 √5 7 5

√ , concluímos que

6 35

O valor de

2

é 6

2

35

36

35

1 Letra A

EC 6. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

2√√33

3 .

Com essas informações, conclui‐se que: a)) b · 6 6 c) · 0 d) / 6 e) · 6 Resolução 2 3 √√33 · 3 √√3 3 3 √3 6√3 6 9 3 3 6 6 · √3 9 3

Para que z seja racional, o número que multiplica√3 deve ser igual a 0. Portanto, 6 0

6 Letra E

(12)

3. Expressões Algébricas

Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará após alguns dias de trabalho, podemos escrever a seguinte expressão algébrica:

30 · A letra representa o número de dias trabalhados. Desta maneira: Se , então a pessoa ganhará 30 · 90 . Se , então a pessoa ganhará 30 · 210 . Se , então a pessoa ganhará 30 · 450 . Observe que a letra foi substituída por vários números, ou seja, foi variando. Por essa razão, dizemos que é a variável. Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável. Vejamos alguns exemplos: 3 4 ã á : 2 5 ã ê á : , . Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, devemos seguir os seguintes passos: 1) Substituir as letras pelos números reais dados. 2) Efetuar as operações indicadas, seguindo esta ordem: I‐ Potenciação e radiciação II‐ Multiplicação e divisão III‐ Adição e subtração

EP 1. Calcular o valor numérico de 3 2 5 para 2 4. Basta “trocar” por 2 e por 4.

3 · 2 2 · 4 5 · 2 · 4 6 8 40 38 IMPORTANTE

Temos o costume de não escrever o sinal de multiplicação entre um número e uma letra ou entre duas letras.

3 · Escreve‐se 3 2 · · Escreve‐se 2

(13)

EP 2. Calcular o valor numérico de 2 2 3 para 3. 2 · 3 2 · 3 3 2 · 9 6 3 27

EP 3. Calcular o valor numérico de 3 2 5 para 2/3. 3 · 2 3 2 · 2 3 5 3 · 4 9 4 3 5 4 3 4 3 5 4 4 15 3 7 3

EP 4. Calcular o valor numérico de – √

para 2, 10 12. 10 10 4 · 2 · 12 2 · 2 10 √100 96 4 10 √4 4 10 2 4 3 IMPORTANTE Utilizamos parêntesis quando substituímos letras por números negativos. IMPORTANTE Utilizamos parêntesis quando substituímos letras por frações. 5 3 3 5 0 ? IMPORTANTE Nem sempre é possível calcular o valor numérico de algumas expressões para determinados valores. Por exemplo, calcule o valor numérico da expressão para 3. Lembre‐se que não existe divisão por zero! 1 1 2 2 1 3 IMPORTANTE É de uso comum em álgebra usar notações do tipo para expressões algébricas.

Quando aparecer algo do tipo “calcule 2 , isto significa que devemos calcular o valo numérico da expressão para 2.

(14)

EC 7. (ANEEL 2006/ESAF) Se

0

, então é necessariamente verdade que: a) b) 2 2000 2000 c) 2 200 200 d) 0 e) 00 200 Resolução

Em qualquer fração, o denominador obrigatoriamente deve ser diferente de zero. Portanto, 200 0

200

Para que a expressão acima seja igual a zero, o numerador deve ser igual a 0. 2 200 0 2 200 Letra C

4. Monômios ou termos algébricos

Um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números em que alguns deles são representados por letras. Exemplos: 5 2 5 Observe que nestas expressões não aparecem adições nem subtrações. Em um monômio, destacamos o coeficiente e a parte literal. Nos nossos exemplos: 5 Número Letras Coeficiente: 5 Parte literal:

(15)

2

5. Monômios ou termos semelhantes

Monômios semelhantes ou termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. Exemplos: 4 √3 são termos semelhantes. 5 3 são termos semelhantes. 2 3 são termos semelhantes. 3 7 não são termos semelhantes.

6. Operações com monômios

Vamos aprender como calcular a soma, diferença, produto e quociente de monômios. Vejamos um exemplo: 2 5 2 5 7 Devemos somar (ou subtrair) os coeficientes e repetir a parte literal. Observe que só podemos “simplificar” monômios semelhantes. Desta maneira, não podemos simplificar a expressão 2 3

porque os termos 2 e 3 não são termos semelhantes. EP 5. Simplifique a expressão 2 3 4 3 5 .

Resolução

Observe que 2 3 5 e que 3 5 2 . 2 3 4 3 5 5 4 2 .

A expressão não pode mais ser simplificada porque 5 , 4 não são termos semelhantes.

Para multiplicar monômios, devemos multiplicar os coeficientes e multiplicar

Lembre‐se que para multiplicar potências de mesma base, conservamos a

expoentes e para dividir potências de mesma base, conservamos a b

EP 6. Simplifique a expressão Coeficiente:

Coeficiente: 1 Parte literal:

Parte literal:

IMPORTANTE

Em álgebra, significa 1 · e – significa 1 · .

Lembre‐se que a multiplicação é comutativa, portanto não importa a ordem das letras!

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2 · 3 2 · 3 · · · · 6 EP 7. Simplifique a expressão 8 4 . 8 4 8 4 2 2

7. Polinômios

Polinômio é um monômio ou a soma de monômios não‐semelhantes. São exemplos de polinômios: 3 14 2 3 2 3 9 2 3 Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, devemos simplificá‐los. Exemplo: 3 5 4 7 5 Este polinômio foi escrito na sua forma mais simples. Se o polinômio não tiver termos semelhantes, ele pode receber alguns nomes especiais: ô 1 ô 2 ô 3 Exemplo: 7 5 é um binômio. Os polinômios com mais de três termos não têm nome especial. IMPORTANTE

Lembre‐se que quando o expoente não é escrito, consideramos que o expoente é igual a 1.

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8. Polinômios com uma variável

É o polinômio que apresenta uma única letra como variável. Exemplos: 5 2 7 3 5 8 Geralmente os polinômios são apresentados segundo as potências decrescentes da variável. 5 2 7 polinômio ordenado 3 5 8 polinômio não‐ordenado Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltando uma ou mais potências da variável, dizemo que os coeficientes desses termos são zero e o polinômio é dito incompleto. 5 2 7 5 2 0 7

9. Operações com polinômios

Vamos adicionar dois polinômios:

3 6 8 2 8 5 3 6 8 2 8 5 5 2 3 Vamos subtrair dois polinômios: 3 6 8 2 8 5 3 6 8 2 8 5 14 13 Para multiplicar um monômio polinômio devemos multiplicar todos os termos do polinômio pelo monômio utilizando a propriedade distributiva da multiplicação. 3 · 2 8 5 3 · 2 3 · 8 3 · 5 6 24 15

Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e, se possível, reduzir os termos semelhantes

Devemos trocar os sinais dos termos do segundo par de parêntesis.

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3 5 · 2 4 3 · 2 3 · 4 5 · 2 5 · 4 6 12 20 2 3 · 3 4 2 · 3 2 · 4 3 · 3 3 · 4 6 8 9 12 6 12

Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do polinômio pelo monômio.

8 6 4 2 4 3 2

Vamos mostrar através de um exemplo a regra prática para efetuar a divisão de polinômios.

O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo (de maior grau) 15 pelo primeiro termo (de maior grau) do divisor 3 . Obtemos 5 .

15

3 5

O próximo passo é multiplicar 5 pelos termos do divisor, colocando o resultado com o sinal

trocado abaixo do dividendo. Adicionamos os termos semelhantes e baixamos os termos seguintes.

5 · 3 4 15 20 . Os polinômios devem estar ordenados segundo as potências decrescentes da variável. 15 29 33 28 3 4 Termo de maior grau Termo de maior grau 15 29 33 28 3 4 5 9 33 28 15 29 33 28 3 4 5 15 20

(19)

Repetimos todo o processo com o resto parcial. Dividimos 9 por 3 e obtemos 3 . Multiplicamos 3 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial.

Dividimos o primeiro termo 21 pelo primeiro termo do divisor 3 . Obtemos 7, em seguida multiplicamos 7 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial.

Quando o resto é zero (como o nosso exemplo), dizemos que a divisão é exata. Desta forma, o polinômio 15 29 33 28 é divisível pelo polinômio 3 4.

Observe a seguinte relação importantíssima:

·

No nosso caso,

15 29 33 28 5 3 7 · 3 4 0

EP 8. Obtenha o polinômio que, dividido por 2 , dá o quociente 1 e resto 4. Ora, sabemos que · · 1 · 2 4 2 2 4 2 Portanto, o dividendo é 2. Observação: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. Desta forma, se o divisor é do 2º grau, então o divisor é, no máximo, do 1º grau. Se o divisor é do 6º grau, então o resto é, no máximo, do 5º grau. 5 3 9 33 28 15 20 15 29 33 28 3 4 9 12 21 28 2211 28 5 3 7 12 9 33 28 15 20 15 29 33 28 3 4 0 Quociente Resto

(20)

10. Divisão

de

polinômios

por

binômios

do

1º

grau

Vamos dar algumas dicas em casos onde ocorre a divisão de polinômios por binômios do primeiro grau.

Considere um polinômio qualquer

. Por exemplo 4 2 4 3 Queremos obter o resto da divisão deste polinômio pelo binômio 2 4. Há uma maneira muito fácil de calcular o resto da divisão de qualquer polinômio por um binômio do 1º grau. Devemos seguir os seguintes passos: i) Igualar o binômio do primeiro grau a 0 e resolver a equação. 2 4 0 2 4 2 ii) Calcular o valor numérico em do valor obtido. 2 4 · 2 2 · 2 4 · 2 3 32 8 8 3 51 Isto significa que o resto da divisão de 4 2 4 3 por 2 4 é 51. Muito fácil, não? Esta dica que acabamos de aprender tem um nome: Teorema do Resto. Entender o teorema do resto é bem fácil. Nós vimos acima que: · . Ou, em símbolos: r d Q D= ⋅ + Esta igualdade vale sempre!!! Ou seja, para qualquer valor de x que você usar, esta igualdade vai valer. Neste caso especial que estamos estudando, “d” tem grau 1. Consequentemente, r tem grau zero (pois seu grau é sempre menor que o grau do divisor). Ou seja, r é um número. Seja k o número que torna nulo o divisor. Quando fazemos x = k, temos: D( k)=Q(k)⋅d(k)+r r k Q k D( )= ( )⋅0+

(21)

r k D( )=

Por isso que, para achar o valor do resto, basta calcular D(k), onde k é o número que torna nulo o divisor.

EP 9. Determine o valor de de modo que 2 2 1 4 seja divisível por 3.

Resolução

Para que 2 2 1 4 seja divisível por 3 o resto da divisão deve ser zero, ou seja, a divisão deve ser exata.

E como se calcula o resto da divisão?

Primeiro, devemos igualar o divisor 3 a zero. 3 0

3

Para calcular o resto da divisão, devemos calcular 3 , ou seja, devemos substituir por 3.

3 2 · 33 2 · 32 1 · 3 4 54 9 18 3 3 4 65 6 Como o resto da divisão deve ser zero: 6 65 0 6 65 65 6

EC 8. (AFRFB 2009 ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

a)

13

7

4 x

+

4

b)

7

13

4 x

−

4

c)

7

13

4 x

+

4

(22)

d)

13

4 x

4 −

−

e)

13

7

4 x

4 −

−

Resolução

5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3).

Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 1 , devemos fazer o seguinte: i) Resolver a equação 1 0

Portanto, 1.

ii) Calcular o valor numérico de para 1.

Portanto, o resto é 1 . Como este resto é igual a 5, então 1 5.

Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 3 , devemos fazer o seguinte: i) Resolver a equação 3 0

Portanto, 3.

ii) Calcular o valor numérico de para 3.

Portanto, o resto é 3 . Como este resto é igual a 2, então 3 2.

Conclusão:

f

(1) 5

=

e

f

( 3)

− = −

2

.

Queremos calcular o resto da divisão do polinômio pelo produto 1 · 3 . Observe que o polinômio 1 · 3 é do segundo grau, porque 1 · 3 2 3. Vimos anteriormente que se o divisor é do segundo grau, então o resto é, no máximo, do primeiro grau. Portanto, o resto é do tipo .

Sejam

q

e

r

= ⋅ +

a x

b

, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de

f

por

(

x

−

1)(

x

+

3)

. Lembre-se que:

·

(

1)(

3) (

)

f

= ⋅ −

q x

x

+ +

ax b

+

.

Tomemos os valores numéricos desses polinômios em 1 e – 3. 1 1 · 1 1 · 1 3 · 1

Observe que 1 1 0, 1 · 1 1 · 1 3 0. Assim, 1 . Como 1 5, temos que 5.

3 3 · 3 1 · 3 3 · 3

Observe que 3 3 0, 3 · 3 1 · 3 3 0. Assim, 3 3 . Como 3 2, temos que 3 2.

(23)

Temos um sistema linear:

5 3 2 Da primeira equação temos que

5 . Da segunda equação temos que

3 2 . Portanto, 3 2 5 . 3 5 2 4 7 7 4 Como 5 5 7 4 20 7 4 13 4

7

4 a

=

e

13

4 b

=

.

Sabemos que o resto é , portanto:

Resposta:

r

7

13

4 x

4 =

+

. Letra C

11. Produtos

Notáveis

Há alguns produtos de polinômios que ocorrem com muita frequência na álgebra e que são chamados de produtos notáveis.

Quadrado da soma de dois termos

·

2

2 Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,

mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do

segundo termo.

2 ·

·

(24)

Resolução 2 4

2 ·

· 2 · 2 · 3 12

3 9 Resposta: 2 3 4

12 9

EP 11. Desenvolva 4 2 . Resolução 4 16 ·

2 ·

· 2 · 4

3

_{· 2 16}

3

2 4 Resposta: 4 2 16 16

4

Quadrado da diferença de dois termos

·

2

2 Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro

termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o

quadrado do segundo termo.

2 ·

·

EP 12. Desenvolva 4 3 .

ã ,

ú

.

ã ,

ú

.

IMPORTANTE Note que

(25)

Resolução 4 16

2 ·

· 2 · 4 · 3 24

3 9 Resposta: 4 3 16

24

9

Produto da soma pela diferença de dois termos

·

· Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do

primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

·

2 2

EP 13. Desenvolva 2 3 · 2 3 . 2 4 3 9 Resposta: 2 3 · 2 3 4 9 Cubo da soma de dois termos

Para calcular basta multiplicar

por

·

2

·

2

3

Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. 3 · · 3 · · EP 14. Desenvolva 2 3 . Resolução

(26)

2

8 3 ·

· 3 · 2

· 3 36

3 ·

· 3 · 2 · 3

54

3

27 Resposta:

2 3 8 3

36

2

54

2

27

3

Cubo da diferença de dois termos

Para calcular basta multiplicar

por

·

2

·

2

3

Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo. 3 · · 3 · ·

EP 15.

Desenvolva

3 4

Resolução

3

27 3 ·

· 3 · 3

· 4 108

3 ·

· 3 · 3 · 4

144

4

64 Resposta:

3 4 27 3

108

2

144 64

EC 9.

(Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que

6 e

.

Então,

é igual a:

a) 12

(27)

c) 18 d) 21 e) 24 Resolução

1

4

5

Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar todos os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. No caso,

, , 5 5

Vamos multiplicar o primeiro termo por 5 .

1 · 5 5

Vamos multiplicar o segundo termo por 5 .

1 · 5 5

Finalmente, multiplicar o último termo por 5 .

4

5 · 5 4

E equação ficará assim:

Colocando o número 5 em evidência:

5 5 4

5 ·

4

Como o enunciado nos informou que

6:

4 5 · 6

4 30

7,5

Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de

Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou a semelhança da expressão com a expressão

?

ã ,

ú

(28)

ã ,

ú

.

Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável.

Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão:

2

Você está lembrado qual é o valor de ? O enunciado nos informou que . E o valor de , você está lembrado? Nós já calculamos e descobrimos que , .

2 2 · ,

36

15 36 15

21 Portanto,

21. Letra D

EC 10.

(Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: 2 e

1/2,

vale:

a) 5

b) 5/2

c) 2/5

d) 3

e) 1/2

Resolução

Questão muito parecida com a questão anterior. Mesma banca, 3 anos depois... A banca foi gentil e agressiva simultaneamente. Gentil porque forneceu diretamente os valores de e de . Agressiva porque trocou o expoente da expressão pedida. Para calcular vamos ter um pouco mais de trabalho.

A conversa é bem parecida com a da questão passada.

Notou a semelhança da expressão com a expressão ?

(29)

ã ,

ú

.

Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável.

Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão:

3

3 “Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova!”

Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal!

Para calcular

basta multiplicar

por

·

2

·

2

3

3 Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de

.

3

3 Observe as duas parcelas do meio no segundo membro:

3

3 Podemos colocar a expressão 3 em evidência.

3

· Voltando ao produto notável:

3

· Sabendo que

/

:

3

· 3 ·

·

8

3

5.

(30)

Letra A

Vamos agora resolver uma série de exercícios em que tenhamos que construir uma equação

do 1º grau ou um sistema de equações.

12. Problemas do primeiro grau

EC 11. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre:

a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55 Resolução

Considere um número real .

Multiplicando-o por 2, obtemos 2 · .

Somando 1 ao resultado, obtemos 2 · 1.

Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se 3 · 2 · 1 . Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: 3 · 2 · 1 5.

Este resultado é igual a 220.

3 · 2 · 1 5 220 Vamos aplicar a propriedade distributiva.

6 · 3 5 220 6 2 220 6 220 2 6 222 222 6 37 Letra B

EC 12. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é:

a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40.

(31)

c) um número par.

d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo.

Resolução

Multiplicando o número obtemos 4 · .

Em seguida some 31

4 · 31.

Depois divida por 3

Multiplique por 5

5 ·

Subtraia 23

5 ·

23 O resultado é igual a 222.

5 ·

4 31

3 23 222 5 ·

4 31

3 222 23

5 ·

4 31

3

245 4 31

3

245

5 4 31

3

49 4 31

3 · 49

4 31 147 4 147 31

4 116

116

4

29

Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais).

Letra E

EC 13. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema

0,3 1,2 2,4

0,5 0,8 0,9

O valor de é:

a) 1

b) -1

c) 0

d) 2

e) 2/3

(32)

Resolução

Para deixar o sistema um pouco mais “limpo”, podemos multiplicar as duas

equações por 10 com o intuito de eliminar as casas decimais.

,3 1,2 2,4 · 10

00,5

0,8

0,9 ·

3 12 24

5 8 9

Olhemos para a primeira equação: 3 12 24

Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por 3.

4 8

8

4 Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos por

8 4 .

5 8 9

5 · 8

4 8 9

40 20 8 9

28 9 40

28 49

Multiplicando os dois membros da equação por

1 :

28 49

49

28 Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o numerador e

o denominador por 7.

49/77

28

7

4 Como

8 4 :

8 4 ·

7

4

8 7 1

Letra A

(33)

EC 14. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Resolução

Digamos que o homem caridoso possua reais e que existam mendigos.

Vejamos a primeira situação. “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00.” O homem entrega 5 reais para cada um dos mendigos. Portanto, ele gastou 5 reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual a

5 3 . 5 3

“Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00.”

O homem possui

reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria 5 reais. Esta quantia daria para entregar exatamente 6 reais para cada um dos mendigos.

5 6 6 5 Ora, se 5 3 e 6 5, então 5 3 6 5 5 3 6 5 5 6 5 3 8 8 São 8 mendigos. Letra D

EC 15. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 13

(34)

e) 15

Resolução

Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... Pois ao terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z...

Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P.

Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim, . Assim, 2 · .

Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai.

Ora, há quatros anos, João tinha (J – 4) anos e o seu pai tinha (P – 4) anos. A idade João era a terça parte da idade de seu pai.

ã · · · ·

A soma das idades dos três é 100 anos hoje.

· ·

·

Assim, a mãe de João tem · . O pai de João tem · · . O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe.

Letra B

EC 16. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a

(35)

a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos. Resolução

Considere que o irmão mais novo tem anos. Portanto, as idades dos outros irmãos são iguais a 3, 6, 9 12.

A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho.

ã ã 2 12 2 2 12 12 Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24. O irmão mais velho está com 24 anos.

Letra D

EC 17. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje:

a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos. Resolução

Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de 2009. Digamos que a pessoa tenha anos em 2009. Dessa maneira, terá 3 anos em 2012 e 15 anos em 1994. Isso porque 2012 – 2009 = 3 e 2009 – 1994 = 15.

Ano 1994 2009 2012

(36)

A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em 1994. 2012 3 · 1994 3 3 · 15 3 3 45 3 45 3 2 48 24 Letra C

EC 18. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o:

a)

8

b)

12

c)

18

d)

22

e)

24 Resolução

Se o primeiro número par for ,então os próximos números pares sucessivos serão 2, 4 6. A soma destes 4 números deve ser igual a 68.

2 4 6 68

4 12 68 4 56 14

Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 16, 18 e 20 pacotes.

Letra C

EC 19. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Resolução

(37)

Seja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A soma dos três é igual a 90. Assim,

·

O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4. Letra C

EC 20.

(MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio.

Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas.

Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48

horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto

tempo o tanque encherá?

a) 12 horas

b) 30 horas

c) 20 horas

d) 24 horas

e) 16 horas

Resolução

Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo.

A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo.

A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o

tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.

(38)

Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora.

A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o

tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque

foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda

torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora.

Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em

1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão:

1

24

1

48

2

1

48

3

48

1

16 Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em

horas,

em 1 hora encherão 1/x.

Assim:

1

16

16 .

Letra E

Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e

tem-O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira

enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.

(39)

Considere que um objeto execute um serviço em

horas, outro objeto execute um

serviço o mesmo serviço em

horas, outro objeto execute o mesmo serviço em

horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço

em horas. Temos a seguinte relação:

1

1 No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira

enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em

.

1

24

1

48

1

2

1

48

1

3

48

1 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

3 · 1 · 48

48

3

16 .

EC 21.

(Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema

foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa

tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de

tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a

tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o

esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em

a) 6 horas e 30 minutos.

b) 7 horas e 30 minutos.

c) 6 horas.

d) 7 horas.

e) 8 horas.

Resolução

Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em

horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas.

1

5

1

3

1

3

1

5

1

5

3

15

1

2

15

(40)

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

2 · 1 · 15

15

2 7,5

7

30 Letra B

EC 22.

(ANEEL 2004/ESAF) Para

5, a simplificação da expressão

10 50

25 5

é dada por:

a)

2 b) 2

c)

5 d) 5

e) 25

Resolução

Vejamos o numerador:

10 50 10 · 5

Vejamos o denominador:

25 5 5 · 5

5 · 5

Desta forma:

10 50

25 5

10 · 5

5 · 5

Como

5, podemos cortar os fatores

5 .

10 50

25 5

10 · 5

5 · 5

10

5

2 Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x. Portanto,

podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo, substituir x por 1.

10 50

25 5

10 · 1 50

25 5 · 1

10 50

25 5

40

20

2

(41)

Letra A

EC 23. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de: a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais Resolução

Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z...

No nosso caso, Carlos tem reais e Márcio tem reais.

1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui.

Já que Márcio possui reais, Carlos dará reais para Márcio. Vejamos o que acontece com as quantias de cada um:

Carlos

Márcio

Início

Carlos dá reais para

Márcio

É óbvio notar que se Carlos dá reais para Márcio, então Carlos perde reais e Márcio

ganha .

1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui.

Atualmente, Carlos possui . Portanto, Márcio dará a Carlos .

Carlos

Márcio

Início

Carlos dá

reais para

Márcio

Márcio dá

(

reais a

Carlos

(42)

2 2 16

3 16

Olhemos para a primeira equação:

2 2 16

Podemos dividir os dois membros da equação por 2.

8

8 Vamos substituir esta expressão na segunda equação.

3 16

3 8 16

2 16 8 2 24 12

Como

8:

12 8 20

.

Letra D

EC 24. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a:

a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00 Resolução

Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui. Alice

Bela Cátia

Início 36

Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber reais. Para que Cátia duplique sua quantia, ela deve receber 36 reais.

(43)

Alice Bela Cátia 36

36 2 36 36 72

Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber 36. Para que Cátia duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais.

Alice Bela Cátia

2 · 36 2 36 72 2 · 72 144

Manipulando a expressão da quantia de Bela:

Alice Bela Cátia

2 · 36 3 36 2 · 72 144

Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.

Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber 2 · 36 . Para que Bela duplique a sua quantia, ela deve receber 3 36.

Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 · 36 para Alice e 3 36 para Bela, então ficou com:

144 2 · 36 – 3 36 No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto,

144 2 · 36 – 3 36 36 144 2 2 72 3 36 36

216 Multiplicando os dois membros por 1 :

216

A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: 216 36 252 Letra B

(44)

EC 25. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00 Resolução

Vamos assumir que Rui possui reais e que Pedro possui reais.

“Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará.”

Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. Ou seja, se Pedro possuía , ficará com · .

Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía , ficará com · . Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro.

1 5 · 2 · 4 5 · 1 5 · 8 5 · 8 5 · 1 5 · 7 5 · 5 7

Rui diz a Pedro:

“Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais.” Pedro ficará com 6 reais e Rui ficará com 6 reais. Estas duas quantias devem ser iguais.

6 6 12 Substituindo esta expressão na equação obtida acima:

(45)

5 7 · 12 5 7 84

2 84 2 84 42 .

Letra A

EC 26. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou:

a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00 Resolução

Vamos utilizar as letras , , para indicar as quantias pagas por Antônio, Bruno e Carlos, respectivamente.

1ª informação Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. 600

2ª informação Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram.

2

3ª informação Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram.

3 3 Voltemos à primeira equação:

600 Sabemos que . Portanto,

600 3 600

(46)

Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação. Sabemos que e que 600.

600 4 600 150 600 200 150 600 350 600 250 Letra C

EC 27. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido.

Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados.

16 21 11

O número que está no primeiro quadradinho é:

a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13

Resolução

Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de , o segundo número de e o terceiro de .

(47)

16

211

1

Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte:

i) Escolha a incógnita que você quer calcular.

ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você.

iii) Some as três equações.

Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita escolhida é .

A equação que não aparece o é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois membros da terceira equação por -1.

16

21

11

Ao somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com:

16 21 11

2 26

13 Letra E

EC 28. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe

(A) X foi 4 200 m. (B) X foi 4 500 m. (C) Y foi 3 500 m. (D) Y foi 3 900 m. (E) Z foi 5 000 m. Resolução

(48)

88,2 ,9 9 7

O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular.

ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você.

iii) Some as três equações.

Vamos multiplicar a última equação por 1 . 8,2 ,9 9,7 o somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com:

8,2 8,9 9,7

2 7,4

3,7

Substituindo este valor na primeira equação:

3,7 8,2 4,5 Como 8,9:

3,7 8,9 5,2

Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe: foi 4,5 4.500

foi 3,7 3.700 foi 5,2 5.200 Letra B

(49)

13. Equação do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a fórmula abaixo: 2

4

2 b

b

ac

x

a

− ±

−

=

Denominamos discriminante o número real Δ =b2 −4ac, podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira,

2 b x a − ± Δ =

Resolva as equações abaixo:

(

)

2 2 ) 2 10 12 0 2, 10, c 12 10 4 2 12 4 ( 10) 4 10 2 2 2 4 2 ou 3 {2;3} a x x a b x x x S − + = = = − = Δ = − − ⋅ ⋅ Δ = − − ± ± = = ⋅ = = =

( )

2 2

b)

6 9 0

1,

6, c

9

6 4 ( 1) ( 9)

0

6

0 6 0

2 ( 1)

2 3 ou

3 {3}

x

a

b

x

S

−

+

− =

= −

=

= −

Δ =

− ⋅ − ⋅ −

Δ =

− ±

=

⋅ −

−

=

( )

2 2

)

4 7 0

1,

4, c 7

4 4 1 7

12

12 c

x

a

b

R

S

φ

−

+ =

=

= −

=

Δ = −

− ⋅ ⋅

Δ = −

Δ = − ∉

=

Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser calculadas com números reais.

Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar.

0 Duas raízes reais e distintas

0 Duas raízes reais e iguais

0 Não há raízes reais

Δ > ⇔

Δ = ⇔

Δ < ⇔

EC 29.

(Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da

equação: x² - 8x + 7 = 0

a) (1,-1)

b) (-7,-1)

c) (7,1)

(50)

d) (-7,1)

e) (-1,0)

Resolução

Considere uma equação do 2º grau

0, com

0. As raízes podem

ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

√

4

2 Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo,

8

8 4 · 1 · 7

2 · 1

8 √64 28

2

8

6

2 Assim, x = 7 ou x = 1.

Letra C

EC 30.

(Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa

que represente o conjunto solução em R, para a equação: x

4

+13x

2

+36 =0

a) S={-2,2,-3,3}

b) conjunto vazio

c) S={-2,-3}

d) S={2,3}

e) S={-2,-3,-1,1}

Resolução

A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de

uma mudança de variável. Chamemos x

2

de y. Ou seja,

x

2

= y. Assim, x

4

= y

2

. A equação ficará

13 36 0

Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma

equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13

e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√

4

(51)

13 √13

4 · 1 · 36

2 · 1

13 √169 144

2 13 5

2 Assim,

13 5

2

4 ou

13 5

2

9 Como x

2

=y, então x

2

= -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que

elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado

é não-negativo) ou x

2

= -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o

conjunto-solução da equação é o conjunto vazio.

Letra B

EC 31.

(TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação

x

4

- 25x

2

+ 144 = 0 é igual a

a) 0

b) 16

c) 9

d) 49

e) 25

Resolução

A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de

uma mudança de variável. Chamemos x

2

de y. Ou seja,

x

2

= y. Assim, x

4

= y

2

. A equação ficará

25 144 0

Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma

equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1,

b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√

4

2

25

25 4 · 1 · 144

2 · 1

(52)

25 √625 576

25 7

2 Assim,

25 7

2

16 ou

25 7

2

9 Como x

2

=y, então x

2

= 16 ou x

2

= 9.

16

9 4 4 3 3

A soma de todas as raízes da equação é 4 4 3 3 0.

Letra A

EC 32.

(AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de

1

156 é igual a:

a) 6

b)

2 c)

1 d) 6

e) 13

Resolução

Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo

, a equação

ficará:

1

156

· 1 156

(53)

156 156 0

√

4

2 1 1

4 · 1 · 156

2 · 1

1 √625

2 1 25

2 13 ou

1 25

2

12 i)

13

13 13 0

1 √1

4 · 1 · 13

2 · 1

1 √ 51

2 Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar

neste caso, pois a raiz quadrada de

51 não é um número real.

ii)

12

12 12 0

1 1

4 · 1 · 12

2 · 1

1 7

2 1 7

2

4 1 7

2

3 A soma dos valores reais de x é igual a 4 3 1.

Letra C

EC 33.

(TFC 2000/ESAF) Determinar

de modo que a equação

4

1 0 tenha duas raízes iguais:

a)

0 b)

c)

8

0

8 d)

e)

8 0

0 8

Resolução

(54)

Uma equação do tipo 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ 4 for igual a 0. 4 4 1 0 4 4 · 4 · 1 0 8 16 16 16 0 8 0 Vamos colocar em evidência.

· 8 0

Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0.

Portanto,

0 8 0

Ou seja,

0

8. Letra B

EC 34. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, ob-tinhase 1.845. O valor de X é: a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52