Conceitos de Probabilidades

(1)

B

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ˆ

e

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d

e

Conceitos de Probabilidade - Experimento Aleat´

Conceitos de Probabilidade - Experimento Aleat´orio;

orio;

Espa¸

Espa¸co

co de

de Probabil

Probabilidade;

idade; Probabi

Probabilidade

lidade Condici

Condicional

onal ee

Ind

Indep

ependˆ

endˆenci

encia.

a. T

Teore

eorema

ma de

de Bayes

Bayes

Be

Ben

n Dˆ

Dˆei

eivi

vide

de

9 de Agosto de 2018

Quando desejamos compreender algum fenˆ

Quando desejamos compreender algum fenômeno da natureza, tentamos estudómeno da natureza, tentamos estudá-lo pora-lo por meio de um processo de observa¸

meio de um processo de observa¸c˜cão chamado experimenao chamado experimento. to. Para o nosso estudo, definimosPara o nosso estudo, definimos

Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 11 (Experimento Aleat´ (Experimento Aleatório)orio).. Tod Todo o expexperimeerimento nto cujo cujo reresultadsultado o n˜ n˜ ao pode ser ao pode ser previsto antes de sua execu¸

previsto antes de sua execu¸c˜ c˜ ao, ao, ´´e e chamadchamado o de de experimento experimento aleat´ aleat´ orio.orio. Podemos apresentar alguns exemplos.

Podemos apresentar alguns exemplos.

Exemplo 1.

Exemplo 1. Lan¸ Lan¸car um dado equilibrado e observar o resultado obtido na face superior car um dado equilibrado e observar o resultado obtido na face superior do dado.

do dado.

Exe

Exempmplo lo 2.2. Observar o n´ Observar o n´ umeumerro o de de chachamadmadas as teltelefˆ efˆ onioniccas as que que chechegam gam a a uma uma ccententrral al telefˆ

telefˆ onica em um determinado intervalo de tempo.onica em um determinado intervalo de tempo.

Exemplo 3.

Exemplo 3. Para a escolha ao acaso de uma lˆ Para a escolha ao acaso de uma lˆ ampada que acabou de sair do processo de ampada que acabou de sair do processo de fabrica¸

fabrica¸c˜ c˜ ao, veriﬁcar o tempo de dura¸ao, veriﬁcar o tempo de dura¸c˜ c˜ ao da lˆ ao da lˆ ampada em funcionamento.ampada em funcionamento. Por mais que n˜

Por mais que n˜ao ao seja pseja possoss´´ıvel prever o ıvel prever o resultado resultado antes de antes de sua execsua execu¸u¸c˜c˜ao, sabemos queao, sabemos que diversos resultado

diversos resultados ps possoss´´ıveis poıveis podem dem ocorrer. ocorrer. Assim, deﬁnimos,Assim, deﬁnimos,

Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 22 (Espa¸ (Espa¸co amostral)co amostral).. O O conjuntconjunto o de de todos os todos os resultados possresultados poss´´ıveis ıveis de de um um expe- expe-rimento, denotado por

rimento, denotado por ΩΩ, , ´´e e chamadchamado o de de espa¸espa¸co amostral.co amostral. Cada resultado

Cada resultado de Ω ´de Ω ´e chamado de e chamado de ponto ou ponto ou elemento amostral. elemento amostral. Denotamos o eDenotamos o elementolemento por

por ww, e expressar, e expressar ww ∈∈ Ω, Ω, isisto to ´´e,e, ww pertence pertence a a Ω. Ω. Cada Cada resultaresultado do possposs´´ıveıvel l correspondecorresponde um, e somente um ponto

um, e somente um ponto ω ω ∈ ∈ Ω, e resultados distintos correspondem a pontos distintos de Ω, e resultados distintos correspondem a pontos distintos de ω

ω ∈ ∈ Ω, Ω, isisto to ´´e,e, ω ω representa apenas um ´ representa apenas um ´unico resultado de Ω. Vejamos alguns exemplos.unico resultado de Ω. Vejamos alguns exemplos.

Exem

Exemplo plo 4.4. Com base nos Exemplos anteriores, temos para o Exemplo 1 temos Com base nos Exemplos anteriores, temos para o Exemplo 1 temos Ω Ω ==

{{11,, 22,, 33,, 44,, 55,, 66}}. Para o Exemplo 2 temos . Para o Exemplo 2 temos Ω Ω == NN_{. E para o Exemplo 3, temos}_{. E para o Exemplo 3, temos Ω}_{Ω =}₌ RR++_..

Exem

Exemplo plo 5.5. Um experimento lan¸ Um experimento lan¸ca duas moedas honestas, e deseja-se veriﬁcar a face ca duas moedas honestas, e deseja-se veriﬁcar a face sup

superior dessas erior dessas momoeedas. das. SabSabe-se que e-se que ccada ada momoeeda da aprapresentesenta a duas faces: duas faces: ccarara a (H) (H) e e ccororoa oa (T). Dessa forma, o espa¸

(T). Dessa forma, o espa¸co co amostral amostral ´´e e dado dado por:por: Ω

Ω == {{((H,H, H H )),, ((H,H, T T )),, ((TT,, H H )),, ((TT,, T T ))}}.. Entretanto,

Entretanto, tamb´também em podpodemos emos ter ter um um conjunto conjunto qualquerqualquer AA, , que que contćontém em parte parte do do ele- ele-mentos

(2)

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Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 33 (Subconjunto) (Subconjunto).. Se todo Se todo elemento elemento do do conjunto conjunto A Á é e tamb´também em elemento elemento de de ΩΩ,, ent˜

ent˜ ao ao A A ´é e definiddefinido o ccomo omo um um subsubcconjuntonjunto o de de ΩΩ, sendo representado, sendo representado AA ⊂⊂ ΩΩ ou ou ΩΩ ⊃⊃ AA (lˆ

(lˆe-se-se: e: A A estest´ ´ a contido em a contido em ΩΩ ou ou ΩΩ con cont´t´em em A)A).. Es

Essa sa dedefinfini¸i¸c˜cão pode ser aplicada entre subconjuntos de Ω, como no exemplo a seguir.ao pode ser aplicada entre subconjuntos de Ω, como no exemplo a seguir.

Exemplo 6.

Exemplo 6. Sejam o conjunto Sejam o conjunto Ω Ω == { {11,, 22,, 33,, 44,, 55,, 66}}, e seus subconjuntos,, e seus subconjuntos, B

B == { {11,, 22,, 33,, 44,, 55}} e e AA = = { {11,, 22,, 33}},, ent˜

ent˜ ao ao A A ´é e um um subconjunto subconjunto de de B, B, pois, pois, os os elementoelementos s que que contćontém em em em A, A, tamb´também em contćontém em em B. Assim,

em B. Assim, AA ⊂ ⊂ B B..

Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 44 (Evento) (Evento).. Todo subconjunto do espa¸ Todo subconjunto do espa¸co amostral ( co amostral ( ΩΩ), representado por letras ), representado por letras latinas em mai´

latinas em mai´ usculo, A, B,usculo, A, B, .. .. .., , ´´e e chamadchamado o de de evento.evento.

Exemplo 7.

Exemplo 7. Escolher ao Escolher ao acaso um acaso um ponto no ponto no cc´´ırculo de ırculo de raio 1 raio 1 centcentrado na rado na origem. origem. Ent˜ Ent˜ aoao Ω

Ω == c c´´ırcırcululo o ununitit´ ario =ario´ = { {((x,x, yy)) ∈ ∈ RR22 _:: x_x22 _{+ yy}₊ 22 _≤_≤₁₁_}}_..

Vejamos alguns eventos para esse exemplo: Vejamos alguns eventos para esse exemplo:

A

A = = “distˆ “distˆ ancia ancia entre o entre o ponto escolhido ponto escolhido e e a a origem origem ´´e”e” ≤≤ 1 1//22 B

B == “distˆ “distˆ ancia ancia entre o entre o ponto escolhido ponto escolhido e e a a origem origem ´´e”e” ≥≥ 15 15 C

C == “1 “1a a

Coor

Coordenada denada do do ponto escolhido ´ponto escolhido ´e e maior maior que que a a 2 2 a a

.. Se

Se ωω = = ((x,x, yy)) for um resultado do experimento, ent˜ for um resultado do experimento, ent˜ aoao ωω pertencer´ pertencer´ a a a a AA se, e somente se, e somente se,

se, xx22 ++ y y22 ≤≤ 11//44. . PertePertencncer´ er´ a ao evento C se, e somente se,a ao evento C se, e somente se, x x > > yy. . NenNenhum phum pontontoo ωω pertencer´

pertencer´ a a a a BB..

¹/ ¹/ _¹¹ (a) Evento A (a) Evento A ¹ ¹ (b) Evento C (b) Evento C Figura 1:

Figura 1: Escolha dEscolha do po ponto em onto em um cum c´´ırculo unit´ırculo unit´ario.ario. Logo temos:

Logo temos:

A

A = = { {((x,x, yy)) ∈ ∈ Ω Ω ::



xx22 ₊_{+ yy}22 _≤_≤₁_1//22_}}_,, B

B == ∅ ∅ = = conjunto vazio conjunto vazio,, A

A = = { {((x,x, yy)) ∈ ∈ Ω Ω :: x x > > yy}}.. Ent˜

Ent˜ ao, todo experimento associado a este experimento pode ser identiﬁcado por um sub-ao, todo experimento associado a este experimento pode ser identiﬁcado por um sub-conjunto do espa¸

(4)

(5)

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Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 55 (Evento (Evento certocerto, im, imposposss´´ıvel e ıvel e elemeelementar)ntar).. Seja Seja ΩΩ o espa¸ o espa¸co amostral do experi-co amostral do experi-mento. Ent˜

mento. Ent˜ ao dizemos que ao dizemos que ΩΩ ´ é e o o evento evento certo, certo, e e ∅∅ ´ é e o o evenevento to impossímposs´ıvelıvel, , e e o o eveneventoto {{ωω}}

´´e e ditdito o elemelementaentar.r.

Para a compreens˜

Para a compreensão de algumas propriedades, a seguir definimos mais alguns tipos deao de algumas propriedades, a seguir definimos mais alguns tipos de eventos.

eventos.

Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 66 (União de eventos) (União de eventos).. Sejam A e B, dois eventos quaisquer de Sejam A e B, dois eventos quaisquer de ΩΩ, ent˜ , ent˜ ao ao oo conjunto de todos os elementos que est˜

conjunto de todos os elementos que est˜ ao ao em em A A ou ou B B ou ou em em ambambos, os, ´é e definidefinido do cconjuntonjuntoo uni˜

uni˜ ao de A e B, denotado por ao de A e B, denotado por AA∪∪BB.. Dessa forma, percebemos que

Dessa forma, percebemos que A A∪∪BB ocorre se ao menos um dos eventos ocorre se ao menos um dos eventos A A ou ou B B ocorrer. ocorrer.

Exemplo 8.

Exemplo 8. Sejam os conjuntos: Sejam os conjuntos: A

A = = { {11,, 22,, 33}} e e BB == { {33,, 44,, 55,, 66}},, ent˜

ent˜ aoao

A

A∪∪BB == { {11,, 22,, 33,, 44,, 55,, 66}} Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 77 (Interseçc˜ (Interseçcão de eventos)ao de eventos).. Sejam A e B, dois eventos quaisquer de Sejam A e B, dois eventos quaisquer de ΩΩ, ent˜ , ent˜ aoao o

o conjuntconjunto o que que contcont´ém em todos os todos os elementos elementos que que est˜ est˜ ao em ao em A A e e B, B, ´é e definido a definido a intersinterseeççc˜ c˜ aoao de A e B, e escrito

de A e B, e escrito AA∩∩ BB ou ou ABAB..

Exemplo 9.

Exemplo 9. Do exemplo anterior, temos que a intersec¸ Do exemplo anterior, temos que a intersec¸c˜ c˜ ao de ao de ABAB == { {33}}..

Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 88 (Eventos Disjuntos ou multuamente esxclusivos) (Eventos Disjuntos ou multuamente esxclusivos).. Sejam A e B, dois eventos Sejam A e B, dois eventos quaisquer de

quaisquer de ΩΩ, ent˜ , ent˜ ao estes s˜ ao estes s˜ ao disjuntos ou mutuamente exclusivos quando n˜ ao disjuntos ou mutuamente exclusivos quando n˜ ao existir ao existir elementos

elementos em em comum entre A comum entre A e e B, B, isto isto ´´e,e, AA∩∩BB == ∅ ∅..

Teorema 1.

Teorema 1. Sejam dois eventos A e B em Sejam dois eventos A e B em ΩΩ. . Se Se A A∩∩BB == ∅ ∅, ent˜ , ent˜ ao Aao Acc_∩_∩_B_Bcc __₌₌_∅_∅_{, a menos}_{, a menos}

que A e B sejam complementares. que A e B sejam complementares. Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. Considere Considere AA∩∩BB == ∅ ∅ e que e que A

A∪∪ BB = = ((AA∩∩BBcc))∪∪((AA∩∩BB))∪∪((AAcc ∩∩BB)) =

= ((AA∩∩BBcc))∪∪((AAcc ∩∩BB))

 

=

= Ω Ω (P(Pelelo fo fatato do de A e e A e B nB n˜˜ao serem complementares)ao serem complementares).. (1)(1) Usando a Lei de Morgan

Usando a Lei de Morgan AAcc ∩∩ BBcc = = ((AA ∪∪ BB))cc, logo percebemos pela express˜, logo percebemos pela express˜ao (1) queao (1) que A

Acc _∩_∩_B_Bcc __₌₌_∅_∅_{, o que completa a prova.}_{, o que completa a prova.}

Exemplo 10.

Exemplo 10. Sejam os eventos Sejam os eventos AA = = { {11,, 22,, 33,, 44}} e e BB == { {55,, 66}}, ent˜ , ent˜ aoao AA∩∩BB == ∅∅

Uma rela¸

Uma rela¸c˜cão de eventos que seráo de eventos que será muito importante para o estudo da teoria da proba-a muito importante para o estudo da teoria da proba-bilida

bilidade, de, ´é e a a definidefini¸¸c˜cão de complemento, abordado a seguir.ao de complemento, abordado a seguir.

Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 99 (Evento complementar) (Evento complementar).. Seja Seja AA um evento de um evento de ΩΩ. Ent˜ . Ent˜ ao o complemento doao o complemento do evento A com respeito a

evento A com respeito a Ω Ω, denotado por , denotado por AA,, AAcc_{, , ou}_{ou Ω}_Ω₋₋_A_{A, , ´´e}_{e o}_{o subc}_subconjunto_{onjunto dos}_{dos elemento}_elementos_s

de

de ΩΩ exceto os elementos do evento A. exceto os elementos do evento A. Observemos o seguinte exemplo. Observemos o seguinte exemplo.

(6)

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Exem

Exemplo plo 11.11. Um experimento lan¸ca Um experimento lan¸ca trˆtrês es moemoedas das honestas, honestas, e e deseja-se deseja-se verificar a verificar a face face sup

superior dessas erior dessas momoeedas. das. SabSabe-se que e-se que ccada ada momoeeda da aprapresentesenta a duas faces: duas faces: ccarara a (H) (H) e e ccororoa oa (T). Dessa forma, o espa¸

(T). Dessa forma, o espa¸co co amostral amostral ´´e e dado dado por:,por:, Ω

Ω == {{((H,H,H H,H,H )),, ((H,H,T H,H,T )),, ((H , T , H H , T , H )),, ((H , T , T H , T , T )),, ((T , H , H T , H , H )),, ((T , H , T T , H , T )),, ((T , T , H T , T , H )),, ((T , T , T T , T , T ))}}.. e um evento de

e um evento de ΩΩ, pode ser dado por , pode ser dado por A

A = = { {((H,H,H H,H,H )),, ((H,H,T H,H,T )),, ((H , T , T H , T , T ))}}.. Ent˜

Ent˜ ao o complemento de A ser´ ao o complemento de A ser´ a:a: A

A = = { {((T , H , H T , H , H )),, ((T , H , T T , H , T )),, ((T , T , T T , T , T ))}}.. Seja um evento

Seja um evento A A contido no espa¸ contido no espa¸co amostral Ω. Desejamos associar ao eventoco amostral Ω. Desejamos associar ao evento A A uma uma medida que assume valores entre 0 e 1, que chamamos de medida de probabilidade de medida que assume valores entre 0 e 1, que chamamos de medida de probabilidade de A A,, denotada por

denotada por P P ((AA). Assim, diremos que). Assim, diremos que P P ((AA) ´) ´e a e a probaprobabilidabilidade dde de que que o e o eventoevento A A ocorra ocorra no espa¸

no espa¸co amostraco amostral Ω. l Ω. VVoltando ao oltando ao Exemplo 1, Exemplo 1, considerando considerando que esse que esse dado ´dado ´e equilibrado,e equilibrado, e o evento

e o evento A A ⊂ ⊂ Ω, ent˜ Ω, ent˜ao poderemos atribuir uma probabilidade paraao poderemos atribuir uma probabilidade para A A da seguinte forma: da seguinte forma: P

P ((AA) ) == ##AA 66 ==

n´

número de resultados favorúmero de resultados favoráveis a Aaveis a A n´

n´umero umero de de resultresultados ados posposss´´ıveisıveis .. Esta

Esta ´é e a a definidefini¸¸c˜cão ao clcl´ássica de assica de probabilprobabilidade quando idade quando Ω ´Ω é e finito. finito. EntreEntretanto, a tanto, a pro- pro-babilidade que o evento

babilidade que o evento AA ocorra no espa¸ ocorra no espa¸co co amostral amostral nem nem sempre sempre ´´e e possposs´´ıvel, ıvel, devido devido aa complexidade desses eventos. Retornando ao Exemplo 7, podemos interpretar a complexidade desses eventos. Retornando ao Exemplo 7, podemos interpretar a probabi-lidade de

lidade de AA ⊂ ⊂ Ω como: Ω como:

P

P ((AA) ) == ´áreaarea AA ´área Ω area Ω == ´área area AA π π ,, sendo a ´

sendo a área dearea de A A bem definida. Segundo um teorema profundo da teoria da medida, n˜ bem definida. Segundo um teorema profundo da teoria da medida, nãoao se pode definir

se pode definir P P ((AA) para) para AA ⊂ ⊂ Ω de modo que a área de Ω de modo que a área de AA nñão estejao esteja bem definida bem definida. a. AA prova disso depende do

prova disso depende do Axioma da escolha Axioma da escolha. Um exemplo cl´. Um exemplo clássico desses eventos sãssico desses eventos são osao os

conjuntos de Vitali de

conjuntos de Vitali de RR_{, os quais n˜ao podemos atribuir nenhuma medida quando ela}_{, os quais n˜}_{ao podemos atribuir nenhuma medida quando ela}

generaliza o comprimento de intervalos de

generaliza o comprimento de intervalos de RR_{. . De}_{De fato}_{fato ´´e}_{e imp}_imposs_oss´´ıvel_{ıvel atrib}_atribuir_{uir compr}_comprimento_imento

a todos subconjuntos de

a todos subconjuntos de RR_{preservando a aditividade e invariˆ}_{preservando a aditividade e invariˆ}_{ancia por transla¸}_{ancia por transla¸c˜}_c˜ao._ao.

Dessa forma, estaremos apenas interessados em eventos cuja ´

Dessa forma, estaremos apenas interessados em eventos cuja área estárea está bem definida.a bem definida. Assim, definimos

Assim, deﬁnimos

Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 1100 (Evento Aleat´ (Evento Aleatório)orio).. Todo evento de Todo evento de ΩΩ que podemos atribuir uma probabi- que podemos atribuir uma probabi-lidade, chamamos de evento aleat´

lidade, chamamos de evento aleat´ orio.orio. Vamos contextualizar algumas deﬁni¸

Vamos contextualizar algumas defini¸c˜cões de oes de TTeoria da medida com eoria da medida com rela¸rela¸c˜cão ao conjuntoao ao conjunto do espa¸

do espa¸co amostral Ω.co amostral Ω.

Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 1111 (Classe de um conjunto Ω) (Classe de um conjunto Ω).. Uma cole¸ Uma cole¸c˜ c˜ ao de subconjuntos de um dadoao de subconjuntos de um dado conjunto

conjunto ΩΩ, ´, ´e e chamadchamado o de de classeclasse..

Exemplo 12.

Exemplo 12. Considere Considere Ω Ω == { {11,, 22}} e seja e seja C C 11 = = {∅ {∅,,{{11}},,{{22}}}} e e C C 22 = = {∅ {∅,,{{11}},,{{22}},,{{11,, 22}}}},, ent˜

(8)

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B

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e

V

Vamos amos estaestar r inintereteressadssados os nunuma ma claclasse sse de de evevenentos tos alealeat´at´orios que atendem algumasorios que atendem algumas proprieda

propriedades, que des, que ser˜serão importantes para a teoria e cáo importantes para a teoria e cálculo de probabilialculo de probabilidades. dades. DenotemDenotemosos por

por AA, uma classe de eventos aleat´, uma classe de eventos aleatórios definida da seguinte forma:orios definida da seguinte forma:

Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 1122 (( ´Álgebra)Algebra).. Seja Seja ΩΩ o espa¸ o espa¸co amostral, ent˜ co amostral, ent˜ ao uma classe de ao uma classe de ΩΩ ´ é e chchamamadada a de

de ´ ´ algebra, denotada por algebra, denotada por AA, se satisfaz as seguintes propriedades:, se satisfaz as seguintes propriedades: A1.

A1. ΩΩ ∈ ∈ AA;; A2.

A2. ∀∀ AA ∈ ∈ AA, , AAcc _∈_{∈ A}_A_;;

A3. Se

A3. Se AA ∈ ∈ AA e e BB ∈ ∈ AA, ent˜ , ent˜ aoao AA∪∪BB ∈ ∈ AA.. Como

Como consequˆconsequˆencia encia dessas dessas propriedades, propriedades, apresentamos apresentamos o o seguinte seguinte TTeorema,eorema,

T

Teorema eorema 2.2. Seja Seja AA uma ´ uma ´ algebra do espa¸algebra do espa¸co amostral co amostral ΩΩ. . EnEnt˜ t˜ ao valem as seguintes pro-ao valem as seguintes pro-priedades:

priedades: A4.

A4. ∅ ∅ ∈ A∈ A e e A5.

A5. ∀∀nn,, ∀∀AA11,, AA22, . . . , A, . . . , Ann ∈ ∈ AA, temos , temos



_iinn₌₁₌₁AAii ∈ ∈ AA e e



nn_ii₌₁₌₁AAii ∈ ∈ AA..

A6. Se

A6. Se AA ∈ ∈ AA e e BB ∈ ∈ AA, ent˜ , ent˜ aoao AA−−BB == A A ∩∩BBcc _∈_{∈ A}_A_..

Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. Podemos observar que Podemos observar que AA1 1 ee AA2 implicam em2 implicam em AA4. 4. PPararaa AA5, temos que5, temos que A

A₁₁ ∪ ∪ AA₂₂ ∈ ∈ A A ⇒⇒ ((AA₁₁ ∪ ∪ AA₂₂))∪∪ AA₃₃ ∈ ∈ A A ⇒⇒ .. .. .. ⇒ ⇒



_iinn₌₁₌₁AAii ∈ ∈ AA, por indu¸, por indu¸c˜c˜ao. Usando o fatoao. Usando o fato

de que: de que: n n



ii=1=1 A Aii ==



nn



ii=1=1 A Acc_ii



cc .. Por

Por AA2 sabemos que se2 sabemos que se AA ∈ ∈ AA, ent˜, ent˜aoao AAcc _{∈ A}_∈_A_._{. P}_{Por i}_{or ind}_ndu¸_u¸c˜_{c˜ao provamos que}_{ao provamos que}



nn

ii=1=1AAii ∈∈

A

A, , e e por por consequˆconsequˆencia encia dede AA3, 3, tatamb´mb´emem



nn_ii₌₁₌₁AAcc

ii ∈ ∈ AA. . PoPortartantnto, so, see



n n ii=1=1AA cc ii ∈ ∈ AA, por, por con

conseqsequˆuˆencencia ia dede AA2, logo (2, logo (



nn_ii₌₁₌₁AAcc ii))

cc

=



nn_ii₌₁₌₁AAii ∈ ∈ AA. . PaPara provra provar A6, temos por A2 ar A6, temos por A2 queque

se

se B B ⊂ ⊂ AA, ent˜, ent˜aoao B Bcc _⊂_{⊂ A}_A_{. E como A e}_{. E como A e B}_Bcc _{pertencem a}_{pertencem a}_A_A_{, ent˜}_{, ent˜ao por A5}_{ao por A5 A}_A_∩_∩_B_Bcc ₌_= A_A₋₋_B_B_∈_∈

A A..

Vamos supor para a Deﬁni¸

Vamos supor para a Defini¸c˜cão ao 12 12 que que tamb´também em satisfsatisfa¸a¸ca a seguinte propriedade:ca a seguinte propriedade: A3

A3∗∗_{. . Se}_Se A_A

k

k ∈ A∈ A, para, para kk = = 11,, 22, . . . ,, . . . , ent˜ ent˜aoao



_k∞_k∞₌₁₌₁AAkk ∈ A∈ A..

Dessa forma, deﬁnimos Dessa forma, deﬁnimos

Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 1133 ((σσ-´-álgebra)algebra).. Uma classe de eventos de Uma classe de eventos de ΩΩ, denotado por , denotado por F F , , ´é e dedefinfinididoo σ σ--´

´

algebra se satisﬁzer as seguintes condi¸ algebra se satisﬁzer as seguintes condi¸c˜ c˜ oes:oes: A1.

A1. ΩΩ ∈ ∈ F F ;; A2. Se

A2. Se AA ∈ ∈ F F , ent˜ , ent˜ aoao AAcc _∈_{∈ F}_F_;;

A3

A3 ∗∗_{. . Se uma}_{Se uma sequˆ}_sequência_{encia finita o}_{finita ou infini}_{u infinita cont´}_{ta cont´}_{avel (enumer´}_{avel (enumer´}_{avel) de eventos}_{avel) de eventos A}_A

1

1,, AA22, . . ., . . . ∈ ∈ F F ,, ent˜

(10)

(11)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

Uma

Uma σσ-´-álgalgebrebra a ´é e semsempre pre uma uma ´álgalgebrebra, a, popois is A3 A3 ´é e conconseqsequûêncencia ia de de A3A3∗∗_{, uma vez que}_{, uma vez que}

A

A ∪ ∪ B B == AA ∪ ∪ B B ∪ ∪ B B ∪∪ B . . . B . . . ∈ ∈ F F , , sese F F ´ é e uummaa σσ-´-álgealgebra. bra. Sem perda de generalSem perda de generalidaidade,de, podemos afirmar que a

podemos afirmar que a σ σ-´-álgebalgebra ra ´é e semprsempre e uma uma ´álgebra, peloalgebra, pelo T Teoreorema ema da da ExtExtenens˜são ao dede Ca

Cararath´théoeododoryry. Este teorema garante que uma probabilidade definida em uma ´. Este teorema garante que uma probabilidade definida em uma álgebra,algebra, e de acordo com os axiomas usuais, pode ser extendida de uma ´

e de acordo com os axiomas usuais, pode ser extendida de uma ´unica maneira para aunica maneira para a σ

σ-´-álgebalgebra ra geragerada da pelpela á álgebalgebra.ra. As duas

As duas σ σ-´-álgebras canâlgebras canônicas de um conjunto Ω, considerando Ω finito ou enumerónicas de um conjunto Ω, considerando Ω finito ou enumerável,avel, s˜

são definidas a seguir.ao definidas a seguir.

Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 1144 ((σσ-´-álgebras triviais de Ω)algebras triviais de Ω).. As duas As duas σσ-´ -´ algebras triviais de Ωalgebras triviais de Ω, considerando, considerando Ω

Ω ﬁnito ou enumer´ ﬁnito ou enumer´ avel, s˜ avel, s˜ ao:ao: a)

a) C C == {∅ {∅,, ΩΩ}}, a menor , a menor σσ-´ -´ algebra de algebra de ΩΩ;; b)

b) P P (Ω)(Ω), , ´´e e o o conjunto de conjunto de todas as todas as partes de partes de ΩΩ, e representa a maior , e representa a maior σσ-´ -´ algebra de algebra de ΩΩ. . O O n´

n´ umero umero de de subconjusubconjuntontos s ´´e e 22nn_{, considerando que Ω}_{, considerando que}_{Ω tem}_{tem n}_{n elementos.}_elementos.

Alguns exemplos a seguir, complementam o conceito de

Alguns exemplos a seguir, complementam o conceito de σσ-´-´algebra.algebra.

Exemplo 13.

Exemplo 13. Seja Seja Ω Ω == RR_{, o conjunto dos n´}_{, o conjunto dos n´}_{umeros reais, e seja}_{umeros reais, e seja}_F_F_{uma cole¸}_{uma cole¸c˜}_c˜_{ao de todos}_{ao de todos}

os subconjuntos de

os subconjuntos de RR_{. Ent˜}_{. Ent˜}_ao_ao _F_F_´_´e_{e u}_um_ma_{a σ}_σ-´_-´_algebra._algebra.

Exem

Exemplo plo 14.14. Seja Seja Ω = [0 Ω = [0,, 1]1] e seja e seja F F == {∅{∅,, ΩΩ,, [0[0,, 11//2]2],, [1[1//22,, 1]1]}}. . EEnntt˜ ˜ aoao F F ´ ´e e uumma a σ σ--´

´

algebra. algebra.

Exem

Exemplo plo 15.15. Seja Seja Ω Ω == NN∗∗ _{o conjunto dos n´}_{o conjunto dos n´}_{umeros naturais maiores ou iguais a um,}_{umeros naturais maiores ou iguais a um,}

sendo

sendo P P == { {xx ∈ ∈ NN∗∗ _:: x_{x ´}_é_{e ppaar r}_}} _e_{e I}_{I =}₌_{_{_x_x_∈_∈ NN∗∗ _:: x_x ´_é_{e ´´ıım}_mppaar r_}}_{. Ent˜}_{. Ent˜}_ao_ao _F_F₌₌_{_{_Ω_{Ω, P , I ,}_{, P , I ,}_∅}_∅}_´_é_{e u}_um_ma_a

σ

σ-´ -´ algebra de subconjuntos de algebra de subconjuntos de ΩΩ..

Exemplo 16.

Exemplo 16. Seja Seja Ω Ω um conjunto infinito, e um conjunto infinito, e Z Z uma cole¸ uma cole¸c˜ c˜ ao de todos os conjuntos finitos ao de todos os conjuntos finitos de

de ΩΩ. . EnEnt˜ t˜ aoao Z Z n˜ n˜ ao ao concont´tém em ΩΩ e e n˜ n˜ ao ao ´é e fechado fechado para para complementa¸complementa¸c˜ c˜ ao. ao. AsAssisim,m, Z Z n˜ n˜ aao o ´é e σ

σ-´ -´ algebra de algebra de ΩΩ..

Para deﬁnirmos uma

Para deﬁnirmos uma σσ-´-´algebra de Ω =algebra de Ω = RR_{, apresentamos alguns teoremas a seguir.}_{, apresentamos alguns teoremas a seguir.}

Teorema 3.

Teorema 3. Seja Seja ΩΩ um espa¸ um espa¸co amostral n˜ co amostral n˜ ao vazio, e ao vazio, e S S = ((= F F ))ii∈∈I I uma cole¸ uma cole¸c˜ c˜ ao arbitr´ ao arbitr´ aria aria

n˜

n˜ ao vazia de ao vazia de σσ-´ -´ algebras de algebras de ΩΩ, ent˜ , ent˜ aoao

J

J ==



ii∈∈I I

F

F ii == { {E E ∈ F ∈ F ii,, ∀∀ii ∈ ∈ I I }}

´é e a a inintertersese¸¸c˜ c˜ ao de todas as ao de todas as σσ-´ -´ algebras que pertencem a algebras que pertencem a S S , , quque e tatambmb´ém em ´é e umuma a σσ-´ -´ algebra de algebra de Ω

Ω, em que , em que I I ´ ´e e um um conjunconjunto to n˜ n˜ ao-ao-vazvazio io de ´de ´ındındices.ices. Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. Sabemos que Sabemos que S S ´ é e umuma a cocolele¸¸c˜cão não não vazia deao vazia de σσ-´-álgebras de Ω, e quealgebras de Ω, e que J J ==



ii∈∈I I F F ii pertence a pertence a S S ..

(i)

(i) O conjuO conjuntnto Ω o Ω pertepertence ance a J J , pois Ω pertence a cada, pois Ω pertence a cada σσ-´-´algebra emalgebra em S S ;; (ii) Suponha que

(ii) Suponha que AA ∈ ∈ J J . . CCaadada σσ-´-álgebra que pertence aalgebra que pertence a S S c coontnt´éemm AA e e cconont´téemm AAcc_..

Assim,

Assim, AAcc _{pertence a interse¸}_{pertence a interse¸c˜}_c˜ao_ao_J_J_dessas_{dessas σ}_σ-´_-´algebras;_algebras;

(iii) Por ﬁm, suponha que

(iii) Por ﬁm, suponha que {{AAii}} seja useja uma sequˆma sequˆencia encia de code conjuntos disjuntos njuntos disjuntos que pque pertence ertence aa

J

J , e então pertence em cada, e então pertence em cada σ σ-´-álgebra dealgebra de S S . Assim. Assim ∪ ∪AAii ∈ ∈ S S que tamb´ que também em pepertertencence

(12)

(13)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

Portanto,

Portanto, J J ´ ´e e uummaa σσ-´-´algebra.algebra. Contudo, a uni˜

Contudo, a união deao de σσ-´-álgebras nãlgebras não ao necnecessessariariameamente ńte ée σσ-´-álgebra.algebra.

Exemplo 17.

Exemplo 17. Seja o espa¸ Seja o espa¸co amostral co amostral Ω Ω == { {11,, 22,, 33,, 44}}, , e e σσ-´ -´ algebras de algebras de ΩΩ dadas por dadas por F F 11 ==

{∅

{∅,, ΩΩ,,{{11}},,{{22,, 33,, 44}}}} e e F F 22 == {∅ {∅,, ΩΩ,,{{44}},,{{11,, 22,, 33}}}}. Ent˜ . Ent˜ aoao

F

F 11 ∪∪ F F 22 = = {∅ {∅,, ΩΩ,,{{11}},,{{44}},,{{11,, 22,, 33}},,{{22,, 33,, 44}}}}}} que n˜

que n˜ ao ao ´´e e umuma a σσ-´ -´ algebra.algebra.

Co

Cororol´l´arario io 1.1. Seja Seja εε uma classe de subconjuntos de uma classe de subconjuntos de ΩΩ, sendo, sendo ΩΩ um conjunto n˜ um conjunto n˜ ao vazio,ao vazio, que n˜

que n˜ ao necessariamente seja uma ao necessariamente seja uma σ σ-´ -´ algebra. Existe ent˜ algebra. Existe ent˜ ao, uma ao, uma σ σ-´ -´ algebra de algebra de Ω Ω, denotada , denotada por

por J J ((εε)), , quque e concont´t´em em εε que que ´´e e a a menmenor or σσ-´ -´ algebra, chamada a algebra, chamada a σσ-´ -´ algebra gerada por algebra gerada por εε.. Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. Seja Seja S S uma cole¸ uma cole¸c˜cão de todas asao de todas as σσ-´-álgebras que incluialgebras que inclui εε de Ω . Ent˜ de Ω . Entãoao S S ´ée n˜

não ao vaziovazio, , popois is contćontémemP P (Ω) que consiste de todos os subconjuntos de Ω. Pelo Teorema 3,(Ω) que consiste de todos os subconjuntos de Ω. Pelo Teorema 3, a

a inteintersec˜rsecão dasao das σ σ-´-álalgegebrbras as ´é e umumaa σ σ-´-álgebra,algebra, J J ((εε), que inclui), que inclui ε ε e est´ e está inclusa em todas asa inclusa em todas as σ

σ-´-álgebraalgebras s dede S S , , isistto o ´é,e, J J ((εε) est´) está contida em todaa contida em toda σ σ-´-álgalgebrebra de a de Ω quΩ que ce contóntémem ε ε. Portanto,. Portanto,

J

J ((εε) ) ´é e a a memenonorr σ σ-´-álgebalgebra ra de de Ω Ω que que contćontémem εε.. Usaremos o color´

Usaremos o colorário ario anterior anterior para para definir definir uma uma importante importante famfam´´ılia dılia dasas σσ-´-álgebras, aalgebras, a chamada

chamada σ σ-´-´algebra de Borel.algebra de Borel.

Deﬁni¸

Defini¸cc˜ãao o 1155 ((σσ-´-álgebra de Borel)algebra de Borel).. Seja Seja εε uma cole¸ uma cole¸c˜ c˜ ao de subconjuntos abertos de ao de subconjuntos abertos de RR_..

Ent˜

Ent˜ aoao J J ((εε)) ´ ´e e chchamaamado do de de σσ-´ -´ algebra de Borel de algebra de Borel de RR_{, usualmente escrito}_{, usualmente escrito} _B_B₍₍RR_))._{. Se}_{Seus el}_{us ele-}

e-mentos s˜

mentos s˜ ao chamados de cconjuntao chamados de onjuntos de os de BorBorel ou el ou bboreorelianos. lianos. Da mesma forma, Da mesma forma, deﬁnimdeﬁnimos os

B

B ((RRnn_{)) como a}_{como a σ}_σ-´_-´_{algebra gerada pelos subconjuntos abertos de}_{algebra gerada pelos subconjuntos abertos de}RRnn_..

Os elementos da

Os elementos da σσ-´-´algebra de Borel inclui os conjuntos abertos, conjuntos fechadosalgebra de Borel inclui os conjuntos abertos, conjuntos fechados (os complementares dos conjuntos abertos), interse¸

(os complementares dos conjuntos abertos), interse¸c˜cões enumeróes enumeráveis de conjuntos aber-aveis de conjuntos aber-tos (lembrando que uni˜

tos (lembrando que uniões enumeróes enumeráveis e conjuntos abertos jáveis e conjuntos abertos já a s˜são abertos), união abertos), uniões enu-oes enu-mer´

merávaveis eis de de conjconjununtos tos fecfechadohados s (lem(lembranbrando do que que inintersterse¸e¸c˜cões oes enumeenumer´ráveis de conjuntosaveis de conjuntos fechados j´

fechados já a s˜são fechados), etc., como seráo fechados), etc., como será visto no teorema seguinte.a visto no teorema seguinte.

Teorema 4

Teorema 4 (Conjuntos de (Conjuntos de B B ((RR₎₎₎₎_.._{Os subconjuntos seguintes de}_{Os subconjuntos seguintes de}RR_{pertencem a}_{pertencem a}_B_B₍₍RR_))::

(i)

(i) ((a,a, bb)) para qualquer para qualquer a a < < bb;; (ii)

(ii) ((−∞−∞,, aa)) para qualquer para qualquer aa ∈ ∈ RR_;;

(iii)

(iii) ((a,a,∞∞)) para qualquer para qualquer aa ∈ ∈ RR_;;

(iv)

(iv) [[a,a, bb]] para qualquer para qualquer aa ≤ ≤ b b;; (v)

(v) ((−∞−∞,, aa]] para qualquer para qualquer aa ∈ ∈ RR_;;

(vi)

(vi) [[a,a,∞∞)) para qualquer para qualquer aa ∈ ∈ RR_;;

(vii)

(vii) ((a,a, bb]] para qualquer para qualquer a a < < bb;; (viii)

(viii) [[a,a, bb)) para qualquer para qualquer a a < < bb;; (ix)

(14)

(15)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

(x)

(x) qualqqualquer uer subsubcconjuntonjunto o fefechado de chado de RR_..

Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. Os itens (i), (ii) e (iii) s˜ Os itens (i), (ii) e (iii) s˜ao conjuntos abertos e portanto pertencem aao conjuntos abertos e portanto pertencem aB B ((RR₎₎

pela pr´

pela própria defini¸opria defini¸c˜cão.ao. (iv) [ (iv) [a,a, bb] ] ==



∞∞_n_n₌₁₌₁



aa−− 11 n n,, bb ++ 1 1 n n



∈ ∈ B B ((RR);); (v) ( (v) (−∞−∞,, aa] ] ==



∞∞_n_n₌₁₌₁



−∞−∞,, aa ++ _n_n11



∈ B ∈ B ((RR_);_); (vi) [ (vi) [a,a,∞∞) ) ==



_n∞_n∞₌₁₌₁



aa−− _n_n11,,∞∞



∈ ∈ B B ((RR_);_); (vii) ( (vii) (a,a, bb] ] ==



∞∞_n_n₌₁₌₁



a,a, bb ++ _n_n11



∈ ∈ B B ((RR_);_); (viii) [ (viii) [a,a, bb) ) ==



_n_n∞∞₌₁₌₁



aa−− 11 n n,, bb



∈ B ∈ B ((RR);); (ix) (ix) {{xx}} = =



_n_n∞∞₌₁₌₁



xx−− 11 n n,, xx ++ 1 1 n n



∈ ∈ B B ((RR)),, ∀∀xx ∈ ∈ ( (a,a, bb);); (x) Se

(x) Se BB ´ é e um um subconjunto subconjunto fechado fechado emem RR_{, ent˜}_{, então}_{ao B}_Bcc _´é_{e aberto,}_{aberto, assim}_{assim este}_{este pertence}_{pertence aa}

B

B ((RR_{). Mas}_{). Mas B}_{B =}_{= ((B}_Bcc₎₎cc _∈_{∈ B}_B₍₍RR_)._).

De fato, todas essas classes de subconjuntos de

De fato, todas essas classes de subconjuntos de RR_{gera a}_{gera a σ}_σ-´_-´algebra_algebra_B_B₍₍RR_)._).

Teorema 5.

Teorema 5. Seja Seja B B ((RR_{)) uma}_{uma σ}_σ-´_-´_{algebra de Borel de}_{algebra de Borel de}RR_{. Ent˜}_{. Ent˜}_ao,_{ao, esta}_{esta ´´e}_{e a}_{a menor}_{menor σ}_σ-´_-´_algebra_algebra

de

de RR_{que inclui todos os intervalos.}_{que inclui todos os intervalos.}

Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. Seja Seja B B  _⊆_{⊆ B}_B_uma_{uma σ}_σ-´_{-´algebra tal que}_{algebra tal que} _B_B _cont´_cont´em_{em todos}_{todos os}_{os interv}_intervalos._{alos. Isso}_Isso

implica que

implica que B B  _cont_cont´´em_{em todos}_{todos os}_{os inte}_interv_rvalos_{alos abertos.}_{abertos. Consequ}_Consequentem_entemente,_ente, _B_{B ⊆}_{⊆ B}_B _pela_pela

Deﬁni¸

Defini¸c˜cão ao 15. 15. ConclConcluu´´ımos ımos ent˜então queao que B B  ₌₌_B_B_..

Vamos deﬁnir formalmente, a probabilidade associada aos eventos aleat´

Vamos definir formalmente, a probabilidade associada aos eventos aleatórios daorios da σ σ--´álgebra, da qual chamaremos de medida de probabilidade. Inicialmente, definimos

algebra, da qual chamaremos de medida de probabilidade. Inicialmente, deﬁnimos

Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 1166 (Medida) (Medida).. Seja Seja F F uma uma σσ-´ -´ algebra e um espa¸algebra e um espa¸co co amostramostral al ΩΩ, ent˜ , ent˜ ao uma ao uma medida, denotada por

medida, denotada por µµ, , ´´e e uma uma fufun¸n¸c˜ c˜ ao tal que ao tal que µµ : : F F →→ [0 [0,,∞∞)), que satisfaz:, que satisfaz: i)

i) µµ((∅∅) ) = = 00;; ii) (

ii) ( σσ-aditi-aditividade) vidade) Se Se AA11,, AA22, . . ., . . ., , ´´e e uma uma sequˆsequˆenciencia a disdisjuntjunta a em em F F , ent˜ , ent˜ aoao µµ ((



nn∞∞=1=1AAnn) ) ==



∞∞

n

n=1=1µµ((AAnn))..

Para o caso em que

Para o caso em que µµ : : F F →→ [0 [0,, 1],1], µµ ´ ´e e chamado chamado de de medida medida de de probabilidade probabilidade e e passapassa a ser denotado por

a ser denotado por P P ..

Exemplo 18.

Exemplo 18. Seja um espa¸ Seja um espa¸co amostral co amostral ΩΩ qualquer e uma qualquer e uma σσ-´ -´ algebra algebra F F == P P (Ω)(Ω), tal que , tal que uma medida

uma medida µµ : : F F →→ [0 [0,,∞∞]] ´ ´e e dadado do porpor:: µ

µ((AA) ) ==



##A,A, se A ´se A é finie finitoto,,

∞

∞,, se A é infise A é infinitonito.. Algumas condi¸

Algumas condi¸c˜ c˜ oes s˜ oes s˜ ao impostas sobre ao impostas sobre µµ((AA)):: i)

i) µµ((∅∅) ) = = 00;; ii)

(16)

(17)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

(a)



_ii_∈_∈NNAAii conjunto ﬁnito; conjunto ﬁnito; (b)

(b)



_ii_∈_∈NNAAii conjunto infinito. conjunto infinito. Para (ii).a temos, pela Defini¸

Para (ii).a temos, pela Deﬁni¸c˜ c˜ ao 16.(ii) que ao 16.(ii) que µ µ



ii∈∈NN A Aii



= = ##



ii∈∈NN A Aii ==



ii∈∈NN # #AAii = = ∞ ∞



ii=0=0 µ µ((AAii))..

Para o caso (ii).b, considerando



_ii_∈_∈NNAAii um conjunto infinito e um conjunto infinito e A Aii um conjunto finito um conjunto finito n˜

n˜ ao vazio, para todoao vazio, para todo ii ∈ ∈ NN_{, temos}_{, temos}

µ µ



ii∈∈NN A Aii



= = ∞ ∞ = = ∞ ∞



ii=1=1 µ µ((AAii)) ∞ ∞



ii=1=1 µ µ((AAii) ) == ∞ ∞



ii=1=1 # #AAii == ∞ ∞

Para o caso (ii).b, considerando



_ii_∈_∈NNAAii um conjunto infinito e ao menos um um conjunto infinito e ao menos um A Aii seja seja infinito, para todo

inﬁnito, para todo ii ∈ ∈ NN_{, temos}_{, temos}

µ µ



ii∈∈NN A Aii



== ∞ ∞ ∞ ∞



ii=1=1 µ µ((AAii) ) == ∞ ∞ Deﬁni¸

Deﬁni¸cc˜˜aao o 1177 (Medida de Probabilidade) (Medida de Probabilidade).. Seja Seja ΩΩ o espa¸ o espa¸co amostral e co amostral e F F uma uma σσ-´ -´ algebra algebra dos eventos de

dos eventos de ΩΩ. Ent˜ . Ent˜ ao, uma fun¸ao, uma fun¸c˜ c˜ aoao P P tal que tal que P P :: F → F → [0 [0,, 1]1], ´, ´e e chamadchamada a de de medida medida de de probabilidade sob os seguintes axiomas de Kolmogorov:

probabilidade sob os seguintes axiomas de Kolmogorov: 1.

1. (Normal(Normalidade)idade) P P (Ω) = 1(Ω) = 1;; 2.

2. (Positi(Positividadevidade)) ∀∀AA ∈ F ∈ F ,, P P ((AA)) ≥ ≥ 0 0;; 3.

3. ( ( σσ-aditividade) -aditividade) Para Para uma uma sequsequˆência encia finita finita ou ou infinita infinita contcont´ avel de eventos Aavel de eventos ´ A11,, AA22, . . ., . . . ∈ ∈

F

F multuamente exclusivos, multuamente exclusivos,

P P ((U U _ii∞∞₌₁₌₁AAii) ) == ∞ ∞



ii=1=1 P P ((AAii))..

Observe a seguinte propriedade: Observe a seguinte propriedade: 33∗∗₎_{) (Ad}_(Aditi_itivid_{vidade ﬁnita) se}_{ade ﬁnita) se A}_A

1

1,, AA22, . . . , A, . . . , Ann ´ ´e e uma uma sequˆsequˆencia encia disjunta disjunta dois dois a a dois dois emem F F ,,

ent˜

ent˜aoao P P ( (



nn_k_k₌₁₌₁AAkk) =) =



nn_k_k₌₁₌₁P P ((AAkk).).

Teorema 6.

Teorema 6. O Axioma O Axioma 33 implica o Axioma implica o Axioma 33∗∗_{, , ist}_isto_{o ´é,}_{e, se}_{se P}_{P ´é}_{e σ}_{σ-aditiva, ent˜}_{-aditiva, ent˜}_ao_{ao ´é}_{e fin}_finit_ita-

a-mente

(18)

(19)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. Supondo satisfeito o Axioma (3), e sejam Supondo satisfeito o Axioma (3), e sejam AA11,, AA22, . . . , A, . . . , Ann ∈ ∈ F F . . ConsConside

ide--rando

rando P P ((∅∅) = 0, uma vez que) = 0, uma vez que P

P (Ω) =(Ω) = P P (Ω(Ω∪ ∅ ∪ ∅ ∪∪ ∅ ∪ ∅ ∪.. .. ..) ) == P P (Ω) +(Ω) + P P ((∅∅) +) + P P ((∅∅) +) + . . . .. . . . Deﬁnimos

Definimos AAkk == ∅ ∅, para, para kk = = n n + 1+ 1,, nn + 2+ 2, . . ., . . .. Como. Como AA11,, AA22, . . ., . . . s˜são disjuntos, então disjuntos, entãoao P P



n n



k k=1=1 A Akk



= = P P



∞ ∞



k k=1=1 A Akk



= = ∞ ∞



k k=1=1 P P ((AAkk)) = = n n



k k=1=1 P P ((AAkk) +) + P P ((∅∅) +) + P P ((∅∅) +) + .. .. .. = = n n



k k=1=1 P P ((AAkk))..

Um quarto Axioma, pode ser complementado sobre a medida de probabilidade, que Um quarto Axioma, pode ser complementado sobre a medida de probabilidade, que segue:

segue:

Axioma 4.

Axioma 4. ( (“Continuidade “Continuidade do do vvazio”) azio”) Se Se a a sequˆsequˆenciaencia {{AAkk}}kk≥≥11, em que, em que AAkk ∈ ∈ F F ∀∀kk, decrescer, decrescer

para o vazio, ent˜

para o vazio, ent˜ao ao lilimm

k

k→∞→∞P P ((AAkk)) → → 0. 0.

Este axioma indica que se (

Este axioma indica que se (AAkk))kk≥≥11 decrescer para o vazio, A decrescer para o vazio, Akk ↓ ↓ ∅∅, signiﬁca que, signiﬁca que AAkk ⊃⊃

A

Akk+1+1 ∀∀kk, ou seja, (, ou seja, (AAkk))kk≥≥11 decresce, e decresce, e



kk≥≥11AAkk == ∅ ∅..

T

Teorema eorema 77 (Equivalˆ (Equivalˆencia encia dos dos Axiomas Axiomas 4 4 e e 33∗∗₎₎_.._{Dados os axiomas de Kolmogorov, o}_{Dados os axiomas de Kolmogorov, o}

Axioma

Axioma 4 4 ´é e equequivalente ivalente ao ao Axioma Axioma 33∗∗_{, , isto}_{isto ´é,}_{e, uma}_{uma prob}_{probabilidade}_{abilidade finitamente}_{finitamente aditiva}_{aditiva ´é}_e

uma

uma probabilidade probabilidade se, se, e e somente somente se, se, ´´e e contcont´´ınua ınua no no vazio.vazio. Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. (i (i) ) SupSuponhonhamamos o os o AxAxioioma 4. ma 4. SejSejamam AA11,, AA22, . . ., . . . ∈ ∈ F F tais que tais que AAkk ↓ ↓ ∅∅..

Vamos provar que

Vamos provar que P P ((AAkk)) → → 0. Considere 0. Considere

A A₁₁ = = ((AA₁₁ −−AA₂₂))∪∪ ((AA₂₂ −−AA₃₃))∪∪ .. .. .. = = ∞ ∞



k k=1=1 ((AAkk − − AAkk+1+1)),, pelo diagrama: pelo diagrama: A A₃₃ Ç Ç k = 1 k = 1 ¥ ¥ A A_k_k A A₂₂ A A₁₁

(20)

(21)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

As regi˜

As regiõesoes A Akk −−AAkk+1+1 s˜são ao disjuntadisjuntas, s, uma uma vez vez que que a a sequˆsequência encia ´é e decredecrescente scente ee F F ´ é e fefechchadadaa para diferen¸

para diferen¸cas. Pelo Axioma 3cas. Pelo Axioma 3∗∗_,,

P P ((AA11) ) == P P



∞ ∞



k k=1=1 ((AAkk − − AAkk+1+1))



== ∞ ∞



k k=1=1 P P ((AAkk − − AAkk+1+1)),, po

portartanto nto a a s´s´erierie e ´´e e conveconvergergente nte ee

∞ ∞



k k=1=1 P P ((AAkk − − AAkk+1+1) ) == n n−−11



k k=1=1 P P ((AAkk − − AAkk+1+1) + P ) + P ((∅∅) +) + P P ((∅∅) +) + P P ((∅∅) +) + .. .. .. = = n n−−11



k k=1=1 P P ((AAkk − − AAkk+1+1)) →→ n n→∞→∞ P P ((AA11))..

Pela aditividade ﬁnita, Pela aditividade ﬁnita,

P

P ((AAkk − − AAkk+1+1) ) == P P ((AAkk))−−P P ((AAkk+1+1)),, logo

logo P

P ((AA11) = lim) = lim

n n→∞→∞ n n−−11



k k=1=1 [[P P ((AAkk))−−P P ((AAkk+1+1)])] = lim = lim n

n→∞→∞{{[[P P ((AA11))−−P ((AP A22)] + [)] + [P P ((AA22))−−P P ((AA33)] +)] + .. .. .. + [+ [P P ((AAnn−−11))−−P P ((AAnn)])]}}

= lim = lim n n→∞→∞{{P P ((AA11))− − P P ((AA22)) + + P P ((AA22)) − − P P (A(A33)) + + .. .. .. ++ P P ((AAnn−−11)) − −P P ((AAnn))}} = lim = lim n n→∞→∞[[P P ((AA11))−−P P ((AAnn)])],, e ent˜ e ent˜aoao P P ((AAnn)) → → 0. 0.

(ii) Suponhamos o Axioma 4 e sejam

(ii) Suponhamos o Axioma 4 e sejam AA11,, AA22, . . ., . . . ∈ ∈ F F di disjunsjuntos. tos. VVamos proamos provvar quear que P

P ( (



∞∞_k_k₌₁₌₁AAkk) ) ==



∞∞_k_k₌₁₌₁P ((AP Akk). Seja). Seja AA = =



_k∞_k∞₌₁₌₁AAkk, ent˜, ent˜aoao

A A = =



n n



k k=1=1 A Akk



∪ ∪



∞ ∞



k k==nn+1+1 A Akk



e pela aditividade ﬁnita, e pela aditividade ﬁnita,

P P ((AA) ) == n n



k k=1=1 P P ((AAkk) +) + P P



∞∞



k k==nn+1+1 A Akk



.. Seja

Seja BBkk ==



_k_k∞∞₌₌_n_n₊₁₊₁AAkk, ent˜, ent˜aoao BBkk ↓ ∅↓ ∅ e portanto P e portanto P ((BBkk)) → → 0 (Pelo Axioma 4). Logo 0 (Pelo Axioma 4). Logo n n



k k=1=1 P P ((AAkk)) →→ n n→∞→∞ P P ((AA)),,

iisstto o ´´ee,, P P ((AA) ) ==



_k_k∞∞₌₁₌₁P P ((AAkk).).

Co

(22)

(23)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

Si

Siststemema a I: I: AxAxioiomamas s 1, 1, 2 2 e e 33∗∗

Si

Siststemema II: a II: AxAxiomiomas 1as 1, 2, 3 e 4, 2, 3 e 4.. Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. O O sistemsistema a I Í é e equivequivalentalente e aos Axiomas 1, aos Axiomas 1, 2, 2, 3 3 e e 33∗∗_{, pois j´}_{, pois já vimos que o}_{a vimos que o}

Axioma 3

Axioma 3∗∗ _{implica no Axioma 3. Agora, usando o Teorema 7, provamos que o Axioma 3}_{implica no Axioma 3. Agora, usando o Teorema 7, provamos que o Axioma 3}

implic

implica a no no Axioma Axioma 4, 4, e e a a prova ´prova ´e e conclconcluu´´ıda.ıda. Ent˜

Então ao para para veriverificar ficar se se P P ´é e uma uma probabilprobabilidade idade emem F F , basta verificar os axiomas do, basta verificar os axiomas do sistema I ou os axiomas do sistema II.

sistema I ou os axiomas do sistema II.

Vejamos algumas propriedades de uma medida de probabilidade, Vejamos algumas propriedades de uma medida de probabilidade,

T

Teoreeorema ma 88 (Propried (Propriedades ades dede P P )).. Seja Seja P P uma uma memedida dida de de prprobobabiabilidalidade de assoassociaciada da a a sequˆ

sequˆenienia a de de eveeventos ntos aleat´ aleat´ orios orios AAii ∈ ∈ F F ∀∀ii ∈ ∈ NN e o evento e o evento BB ∈ ∈ F F , sendo, sendo F F uma uma σσ-´ -´ algebra,algebra,

e

e AA ∈ ∈ F F . Ent˜ . Ent˜ ao s˜ ao s˜ ao v´ ao v´ alidas as seguintes propriedades:alidas as seguintes propriedades: i)

i) (Compl(Complementemento)o) P P ((AA) ) = = 11−−P P ((AAcc_));;

ii)

ii) P P ((∅∅) ) = = 00;; iii)

iii) P P ((BB) ) == P P ((AA∩∩ BB) +) + P P ((AAcc _∩_∩_B_B));;

iv)

iv) (Monot(Monotonicidonicidade) Se ade) Se AA ⊂ ⊂ B B, ent˜ , ent˜ aoao P P ((AA)) ≤ ≤ P P ((BB));; v)

v) P P ((AA∪∪BB) ) == P P ((AA) +) + P P ((BB))−−P P ((AA∩∩BB));; vi)

vi) (Limit(Limitante Supeante Superior)rior) 00 ≤ ≤ P P ((AA)) ≤ ≤ 1 1;; vii)

vii) (Desig(Desigualdade de Booualdade de Boole)le) P P ((



∞∞_ii₌₁₌₁AAii)) ≤ ≤



∞∞_ii₌₁₌₁P P ((AAii));;

viii)

viii) (sub(subaditivaditividade)idade) P P ((



nn_ii₌₁₌₁AAii)) ≤ ≤



nn_ii₌₁₌₁P P ((AAii));;

ix)

ix) (Desig(Desigualdade de Bonferrualdade de Bonferroni)oni) P P ((



nn_ii₌₁₌₁AAii)) ≥ ≥ 1 1 −−



_iinn₌₁₌₁P P ((AAccii))

x)

x) (Cont(Continuidadinuidade e da da prprobobabilidabilidade) Se ade) Se AAii ↓↓ AA, ent˜ , ent˜ aoao P P ((AAii)) ↓↓ P P ((AA)). . Se Se AAii ↑↑ AA, ent˜ , ent˜ aoao

P

P ((AAii)) ↑ ↑ P P ((AA))..

xi) (Inclus˜

xi) (Inclus˜ ao-Exclus˜ ao-Exclus˜ ao)ao) P P ((



_iinn₌₁₌₁AAii) ) ==



n n ii=1=1P P ((AAii))−−



n n i<j i<j P P ((AAii ∩ ∩ AA j j) +) +



n n i<j<k i<j<kP P ((AAii ∩ ∩ A A j j ∩ ∩AAkk) + () + (−−1)1)nn+1+1P ((AP A11 ∩∩AA22 ∩∩.. .. ..∩∩AAnn)).. Demonstra¸

Demonstra¸c˜ c˜ ao.ao. (Item (Item i i). Sabemos que). Sabemos que A A∪∪AAcc _{= Ω e que estes eventos s˜}_{= Ω e que estes eventos s˜ao disjuntos. Veja}_{ao disjuntos. Veja}

o diagrama de Venn, o diagrama de Venn,

Assim, Assim,

P

P ((AA∪∪AAcc) =) = P P ((AA) +) + P P ((AAcc)) 1

1 == P P ((AA) +) + P P ((AAcc)) P

P ((AA) ) = = 11−−P P ((AAcc)).. (Item

(Item iiii). Sabemos que Ω e). Sabemos que Ω e ∅∅ s˜ s˜ao eventos disjuntos. Assim,ao eventos disjuntos. Assim, P P (Ω(Ω∪∪ ∅∅) ) == P P (Ω) +(Ω) + P P ((∅∅)) 1 1 = = 1 1 ++ P P ((∅∅)) P P ((∅∅) ) = = 00..

(24)

(25)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

A A A Acc Ω Ω A A AA∩∩BB BB B B == { {AA∩∩BB}} ∪∪ {{AAcc _∩_∩_B_B_}} Ω Ω

Figura 2: Diagrama de Venn para o evento

Figura 2: Diagrama de Venn para o evento BB == { {AA∩∩BB}} ∪∪ {{AAcc _∩_∩_B_B_}}_..

(Item

(Item iiiiii). ). Podemos obsPodemos observervar quear que BB == { {AA∩∩BB}} ∪∪ {{AAcc _∩_∩_B_B_}}_{, e que}_{, e que} _{{_A_A_∩_∩_B_B_}} _ee _{{_A_Acc _∩_∩ _B_B_}}

s˜

s˜ao disjuntos. Veja o diagrama de Venn na Figura 2.ao disjuntos. Veja o diagrama de Venn na Figura 2. Portanto, Portanto, P P ₍₍BB₎_{) =}₌ P P ₍₍_{{AA_∩_∩BB_{}} ∪}_{∪ {{}AAcc _∩_∩BB_}}₎₎ = = P P ₍₍AA_∩_∩BB_{) +}_{) +}P P ₍₍AAcc_∩_∩BB₎₎.. (Item

(Item iviv) ) SeSe AA ⊂ ⊂ B B, ent˜, ent˜aoao AA∩∩BB == A A. Usando (. Usando (ii), temos), temos P

P ((BB) ) == P P ((AA∩∩B) +B) + P P ((AAcc ∩∩BB)) =

= P P ((AA) +) + P P ((AAcc ∩∩BB)) ≥ ≥ P P ((AA)).. . (Item

. (Item vv). Observando a seguinte identidade,). Observando a seguinte identidade, A

A∪∪BB =(=(AA∩∩BBcc))∪∪ ((AA∩∩BB))∪∪((AAcc ∩∩ BB)),, uni˜

união de eventos disjuntos, que pode ser observado pela Figura 3, então de eventos disjuntos, que pode ser observado pela Figura 3, entãoao P

P ((AA∪∪BB) ) == P P ((AA∩∩BBcc) +) + P P ((AA∩∩BB) +) + P P ((AAcc ∩∩BB)).. Por (iii) sabemos que

Por (iii) sabemos que P

P ((AA) ) == P P ((BB ∩ ∩AA) +) + P P ((BBcc ∩∩AA)) ⇒ ⇒ P P ((BBcc ∩∩AA) ) == P P ((AA))−−P P ((BB ∩ ∩ AA)),, P

(26)

(27)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

A A BB A A∩∩BBcc AA∩∩BB _A_Acc _∩_∩_B_B A

A∪∪ BB = = ((AA∩∩ BBcc₎₎_∪_∪_((A_A_∩_∩_B_B))_∪_∪_((A_Acc _∩_∩_B_B))

Ω Ω

Figura 3: Diagrama de Venn para o evento

Figura 3: Diagrama de Venn para o evento AA∪∪BB = = ((AA∩∩BBcc₎₎_∪_∪_((A_A_∩_∩_B_B))_∪_∪ _((A_Acc _∩_∩_B_B)._).

Logo Logo

P

P ((AA∪∪BB) ) == P P ((AA) +) + P P ((BB))−−P P ((AA∩∩ BB)).. (Item

(Item vivi). ). PePela Definla Defini¸i¸c˜cão da medida de probabilidadeao da medida de probabilidade P P ser uma fun¸ ser uma fun¸c˜cãoao P P :: F F →→ [0 [0,, 1],1], logo se

logo se AA ∈ ∈ AA, ent˜, ent˜ao ao 00 ≤ ≤ P P ((AA)) ≤ ≤ 1. 1. (Item

(Item vii vii).Vamos inic).Vamos inicialmente ialmente criar criar uma uma sequˆsequˆencia encia disjuntadisjunta A A∗∗

1

1,, AA∗∗22, . . . ,, . . . , com a com a propriedapropriedadede



∞∞ ii=1=1AA∗∗ii ==



∞ ∞ ii=1=1AAii. Deﬁnimos. Deﬁnimos A

A∗∗₁₁ = = A A₁₁, , AA∗∗_ii == A Aii ∩∩



ii−−11



j j=1=1 A A j j



cc , , ii = = 22,, 33, . . . ., . . . . ´´ E

E f´f´acil perceber queacil perceber que

P P



∞ ∞



ii=1=1 A Aii



= = P P



∞ ∞



ii=1=1 A A∗∗_ii



== ∞ ∞



ii=1=1 P P ((AA∗∗_ii)),, onde a ´

onde a ´ultima igualdade segue, poisultima igualdade segue, pois AA∗∗

ii s˜s˜ao disjunao disjuntos. tos. ObservObservemos que pela constru¸emos que pela constru¸c˜c˜ao,ao,

A A∗∗

ii ⊆⊆ A Aii, portanto, pela propriedade (, portanto, pela propriedade (iviv),), P P ((AAii∗∗)) ≤ ≤ P P ((AAii), logo), logo

∞ ∞



ii=1=1 P P ((AA∗∗_ii)) ≤ ≤ ∞ ∞



ii=1=1 P P ((AAii)).. Conclui

Concluindo ndo a a provprova,a,

P P



∞ ∞



ii=1=1 A Aii



= = ∞ ∞



ii=1=1 P P ((AA∗∗_ii)) ≤≤ ∞ ∞



ii=1=1 P P ((AAii)).. (item

(item viii viii). ). CoComo vimmo vimos pela Defios pela Definini¸¸c˜cão 17 que aao 17 que a σσ-adivitidade implica na aditividade-adivitidade implica na aditividade finita, logo o item (

ﬁnita, logo o item (viivii) implica em () implica em (viiiviii).). (item

(28)

(29)

B

e

n

D

ˆ

e

i

v

i

d

e

(item

(item x x). ). VVamos supor queamos supor que A Aii ↓ ↓ A A, , iisstto ´o ´ee,, A Aii ⊃ ⊃ A Aii+1+1 e e



ii≥≥11 A

Aii = = A A. Ent˜. Ent˜aoao P P ((AAii)) ≥ ≥ P P ((AAii+1+1)) pelo item (iv), e (

pelo item (iv), e (AAii −− AA)) ↓ ↓ ∅ ∅ ⇒⇒ P P ((AAii −− A A)) →→ 0 pela conti 0 pela continunuidadidade e do vado vazio. zio. PelPelaa

aditividade ﬁnita

aditividade ﬁnita P P ((AAii −− A A) ) == P P ((AAii)) − − P P ((AA), e como), e como {{P P ((AAii))}}ii∈∈NN ´ ´e e decredecrescente, scente, logologo P

P ((AAii)) ↓↓ P P ((AA). ). AgAgoraora, se, se AAii ↑↑ A, , isA isto to ´´e,e, AAii ⊂⊂ AAii+1+1 ee



ii≥≥11 A

Aii == AA, ent˜, ent˜aoao AAccii ↓↓ AAcc, logo, logo

P P ((AAcc

ii)) ↓ ↓ P P ((AAcc)) ⇒ ⇒ 1 1 −−P P ((AAii)) ↓ ↓ 1 1 −−P P ((AA). Portanto,). Portanto, P P ((AAii)) ↑ ↑ P P ((AA).).

(item

(item xi xi).). Associar a prova aos diagramas de Venn abaixo. Associar a prova aos diagramas de Venn abaixo. Vamos apresentar duas provas. Vamos apresentar duas provas.

•• Primeiro para Primeiro para nn = 2, temos a propriedade ( = 2, temos a propriedade (iviv) ) do do TTeoreeorema ma 8, 8, isto isto ´´e,e, P

P ((AA11 ∪∪AA22) ) == P P ((AA11) +) + P P ((AA22))−−P P ((AA11 ∩∩AA22)) ((22))

•• Para Para nn = 3, vamos considerar = 3, vamos considerar AA = = { {AA11 ∪∪AA22}}, e que, e que P

P ((AA11 ∪∪AA22 ∪∪AA33) ) == P P ((AA∪∪AA33)) =

= P P ((AA) +) + P P ((AA33))−−P P ((AA∩∩AA33)).. (3)(3) Segue que

Segue que P P ((AA) ) == P P ((AA11 ∪∪AA22) ) == P P ((AA11) +) + P P ((AA22))−−P P ((AA11 ∩∩AA22) e que) e que P

P ((AA∩∩AA33) ) == P P [([(AA11 ∪∪AA22))∩∩AA33]] =

= P P [([(AA11 ∩∩AA33))∪∪((AA22 ∩∩AA33)])] =

= P P ((AA₁₁ ∩∩ AA₃₃) +) + P P ((AA₂₂ ∩∩ AA₃₃))−−P P ((AA₁₁ ∩∩AA₂₂ ∩∩AA₃₃) ) ((44)) Substituindo as express˜

Substituindo as express˜oes (2) e (4) em (3), logooes (2) e (4) em (3), logo P

P ((AA11 ∪∪AA22 ∪∪AA33) ) == P P ((AA11) + P ) +P ((AA22) +) + P P ((AA33))−−P ((AP A11 ∩∩AA22))−−P P ((AA11 ∩∩AA33))−−P P ((AA22 ∩∩AA33)+)+ +

+ P P ((AA11 ∩∩AA22 ∩∩AA33))..

•• Para Para nn = 4, j´ = 4, j´a apresentando o resultado direto, temosa apresentando o resultado direto, temos P P ((AA11 ∪∪AA22 ∪∪AA33 ∪∪AA44) ) == 4 4



ii=1=1 P P ((AAii))−− 4 4



i<j i<j P P ((AAii ∩∩AA j j) +) + 4 4



i<j<k i<j<k P P ((AAii ∩∩AA j j ∩ ∩ AAkk))−− − −P P (( 4 4



ii=1=1 A Aii)).. (5)(5)

•• Para Para nn = 5, j´ = 5, j´a apresentando o resultado direto, temosa apresentando o resultado direto, temos P P ((AA₁₁ ∪∪AA₂₂ ∪∪AA₃₃ ∪∪AA₄₄ ∪∪AA₅₅) ) == 5 5



ii=1=1 P P ((AAii))−− 5 5



i<j i<j P P ((AAii ∩∩AA j j) +) + 5 5



i<j<k i<j<k P P ((AAii ∩∩AA j j ∩ ∩ AAkk))−− − − 5 5



i<j<k<l i<j<k<l P P ((AAii ∩∩AA j j ∩ ∩ AAkk ∩ ∩AAll) +) + P P (( 5 5



ii=1=1 A Aii)).. (6)(6) Observe que a ´

Observe que a última express˜ultima expressão para a união para a união das probabilidades alterna o sinal ào das probabilidades alterna o sinal àa medida que

(30)