MAPAS DE KARNAUGH
OTIMIZAÇÃO DE CIRCUITOS DIGITAIS COMBINACIONAIS Prof. Filippo Valiante Filho
INTRODUÇÃO (1)
•
O mapa de Karnaugh é um método gráfico para a simplificação de expressões booleanas, baseados na Teoria dos Conjuntos (Diagramas de Venn). Por ser um método gráfico, sua execução é mais rápida do que a simplificação algébrica e, se executado corretamente, garante aINTRODUÇÃO (2)
• Os trabalhos originais foram propostos por M. Karnaugh e E. W. Veitch, por isso às vezes são chamados de Diagramas de Veitch-Karnaugh, mas o nome mais popular mesmo é mapa de Karnaugh.
INTRODUÇÃO (3)
•
O processo de simplificação é baseado na intersecção de conjuntos e, para que isso ocorra, a estrutura do mapa deve garantir que as posições sejam adjacentes umas às outras. Por isso, você notará que a partir de 3 variáveis a sequência delas no mapa é um pouco diferente. Ao invés de se seguir a ordem crescente em binário (00, 01, 10, 11), é seguida a ordem (00, 01, 11, 10). Isto é feito para garantir que deslocando-se uma casa no mapa, seja na horizontal, seja na vertical, haverá a mudança de um único bit entre elas. Isto faz com que as posições sejam adjacentes e seja possível associá-las, descartando-se a variável modificada e simplificando a expressão e o circuito correspondente.INTRODUÇÃO (4)
•
Veremos como montar os mapas de Karnaugh para 2, 3 e 4 variáveis e efetuar a simplificação na apresentação logo a seguir.•
Assim como na tabela verdade, um mapa de Karnaugh para 2 variáveis terá 4 posições (2 x 2), um mapa para 3 variáveis terá 8 posições (2 x 4) e um mapa para 4 variáveis terá 16 posições (4 x 4). Estamos lidando com o sistema binário (base 2) e dadas n variáveis, haverá 2npossibilidades. Da mesma forma, no processo de simplificação será possível formar agrupamentos de 2n “1”s, ou seja 1 (20), 2 (21), 4 (22) e
MAPA DE KARNAUGH DE 2 VARIÁVEIS
•
O mapa de Karnaugh lembra um jogo de “batalha naval”.•
Tomando como exemplo as variáveis A e B...•
Não há problema em inverter as variáveis que estão na horizontal e na vertical.Posição ҧ𝐴𝐵, ou seja 01
Posição A ത𝐵, ou seja 10
MAPA DE KARNAUGH DE 3 VARIÁVEIS
•
Observe a ordem das variáveis nas colunas!•
Tomando como exemplo as variáveis A, B e C...•
Não há problema em inverter as variáveis que estão na horizontal e na Posição ҧ𝐴𝐵 ҧ𝐶,ou seja 010 (2)
Posição A ത𝐵𝐶, ou seja 101 (5)
MAPA DE KARNAUGH DE 4 VARIÁVEIS
•
Observe a ordem das variáveis nas linhas e nas colunas!•
Tomando como exemplo as variáveis A, B, C e D...•
Não há problema em inverter as variáveis que estão na horizontal e na vertical. Posição ҧ𝐴𝐵𝐶 ഥ𝐷, ou seja 0110 (6) Posição A𝐵 ҧ𝐶 ഥ𝐷, ou seja 1100 (12)PREENCHENDO O MAPA DE KARNAUGH (1)
•
Preenchemos cada posição do mapa com o valor correspondente da expressão para aquela combinação de variáveis ou, de forma mais simples:•
Preenchemos cada posição do Mapa de Karnaugh com o valor de saída da tabela verdade para a linha correspondente.A B S ഥ 𝑨ഥ𝑩 0 0 0 ഥ 𝑨𝑩 0 1 0 𝑨ഥ𝑩 1 0 0 𝑨𝑩 1 1 1
0 0
0
1
PREENCHENDO O MAPA DE
KARNAUGH (2)
•
Um exemplo com 4 variáveisA B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1 1
0
𝐴 ത𝐵 ҧ𝐶 ഥ𝐷 = 0 𝐴 ത𝐵𝐶𝐷 =1PREENCHENDO O MAPA DE KARNAUGH (3)
•
Também é possível utilizar uma expressão booleana como ponto de partida para o preenchimento do mapa!•
Na expressão só aparecem os termos que valem 1.•
Os demais valem 0, ou podem ser deixados em branco.1
1
1 1 1
PROCESSO DE SIMPLIFICAÇÃO
Após o mapa estar devidamente preenchido, a simplificação é feita...
1.
Agrupando os “1”s que sejam adjacentes.✓Os grupos devem ter tamanho 2n, ou seja, 1, 2, 4, 8...
✓Os grupos devem ter a maior quantidade de “1”s possível (1 octeto é melhor que 2 quartetos). ✓ Deve haver a menor quantidade de grupos possível.
2.
Escrevendo o termo da expressão booleana correspondente a cada grupo de forma a obter a expressão simplificada final.✓A expressão de cada termo é obtida mantendo-se as variáveis que permanecem constantes no grupo e descartando-se as variáveis que se alteram no grupo.
✓A expressão final terá um aspecto de “soma de produtos”. P.ex.: S = A.B + A.D + C, onde haveriam 3 grupos, correspondentes a cada termo (AB, AD e C).
POSIÇÕES ADJACENTES (1)
POSIÇÕES ADJACENTES (2)
•
...inclusive na outra ponta, pois o mapa dobra.POSIÇÕES ADJACENTES (3)
•
Trabalhamos em uma representação plana, mas o mapa na verdade é tridimensional...AGRUPAMENTOS POSSÍVEIS (1)
•
Grupo de um único 1.•
Estranho!? Lembre que 20 é 1.AGRUPAMENTOS POSSÍVEIS (2)
•
Duplas.AGRUPAMENTOS POSSÍVEIS (3)
•
Quartetos.AGRUPAMENTOS POSSÍVEIS (4)
•
Octetos.DEFININDO OS AGRUPAMENTOS
•
Quanto menos grupos melhor.•
Quanto maior cada grupo melhor.•
O mapa dobra sempre.•
Nunca desobedecer as regras! Não há grupo na diagonal ou com quantidade de “1”s diferente de 2n.•
Pode haver sobreposição entre os grupos, desde que hajam “1”s exclusivos em cada grupo. Se todos os “1”s forem compartilhados, ou redundantes, não há a necessidade de um novo grupo.EXEMPLOS DE AGRUPAMENTOS (1)
Neste caso deve-se sobrepor, ou compartilhar, os “1”s para
se obter um grupo maior.
É possível formar o mesmo grupo do mapa acima, mas
seria redundante. Bastam estes 2 grupos.
EXEMPLOS DE AGRUPAMENTOS (2)
Este 1 compartilhado ajuda a formar dois quartetos.
Um quarteto no centro seria totalmente redundante. A
melhor solução é com as quatro duplas.
OBTENDO AS EXPRESSÕES (1)
•
A expressão simplificada será a “soma” da expressão de cada grupo. Mais precisamente, a saída será igual a 1 quando as entradas corresponderem a uma combinação do primeiro grupo OU quando corresponderem a uma combinação do segundo grupo OU do terceiro grupo...ҧ
𝐴𝐵
𝐴 ത𝐵
OBTENDO AS EXPRESSÕES (2)
•
Para obter a expressão de um grupo com mais de um elemento basta verificarmos quais variáveis se mantém constante nas linhas e colunas. As variáveis constantes são mantidas na expressão do termo, as que se modificam são descartadas.𝑩ഥ𝑪
Neste grupo a variável A não é constante e é descartada. As variáveis B e ҧ𝐶 são constantes
e, por isso, mantidas.
ഥ 𝑨. ഥ𝑩
Na horizontal ҧ𝐴 se mantém constante, enquanto nas colunas ത𝐵 é
que é constante. A variável C altera seu valor e é descartada.
OBTENDO AS EXPRESSÕES (3)
•
Mesmo que haja algum “1” compartilhado entre os grupos. Obtemos a expressão de cada grupo normalmente.•
Grupos maiores eliminam mais variáveis da expressão. 𝑩Nas linhas a variável A muda de valor e, nas colunas, a variável C
também é alterada. Apenas a variável B é constante neste quarteto.
ഥ 𝑨. ഥ𝑪
OBTENDO AS EXPRESSÕES (4)
•
Neste exemplo há 2 variáveis nas linhas e mais 2 variáveis nas colunas.𝑆 = 𝐴𝐵 ഥ𝐷 + ത𝐵𝐶𝐷 + ҧ𝐴𝐶 𝑨𝑩ഥ𝑫 ഥ 𝑩𝑪𝑫 ഥ 𝑨𝑪
OBTENDO AS EXPRESSÕES (5)
•
Neste exemplo há 2 variáveis nas linhas e mais 2 variáveis nas colunas. ഥ 𝑫 ഥ 𝑩ഥ𝑪 ഥ 𝑨𝑩𝑪 𝑆 = ഥ𝐷 + ത𝐵 ҧ𝐶 + ҧ𝐴𝐵𝐶OBTENDO AS EXPRESSÕES (6)
•
Note que para cada agrupamento de 2n elementos são eliminadas “n”variáveis. 23elementos ∴ 3 variáveis eliminadas 22elementos ∴ 2 variáveis eliminadas 21elementos ∴ 1 variável eliminada 𝑆 = ഥ𝐷 + ത𝐵 ҧ𝐶 + ҧ𝐴𝐵𝐶
EXEMPLO 1 DE
SIMPLIFICAÇÃO (1)
1.
Partindo da tabela verdade preenchemos o Mapa de Karnaugh.A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1 1
0
EXEMPLO 1 DE
SIMPLIFICAÇÃO (2)
2. Definimos os agrupamentos. A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 00 0 0 0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1 1
0
EXEMPLO 1 DE
SIMPLIFICAÇÃO (3)
3. Obtemos a expressão simplificada.
𝑺 =
𝑩ഥ
𝑫
+
𝑩ഥ
𝑪
+
𝑨ഥ
𝑩𝑫
A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 10 0 0 0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1 1
0
EXEMPLO 2 DE SIMPLIFICAÇÃO (1)
1.
Partindo da expressão booleana preenchemos o Mapa de Karnaugh.1
1
1 1 1
EXEMPLO 2 DE SIMPLIFICAÇÃO (2)
2. Definimos os agrupamentos.
1
1 1 1 1
EXEMPLO 2 DE SIMPLIFICAÇÃO (3)
3. Obtemos a expressão simplificada.
𝑺 =
𝑨
+
𝑩𝑪
Compare com a original:
1
1 1 1 1
EXEMPLO 3 DE SIMPLIFICAÇÃO (1)
MAPAS DE 5 E 6 VARIÁVEIS
•
Os mapas de 5 e 6 variáveis pedem representações com 2 ou 4 mapas de 4 variáveis, respectivamente, sendo mais adequadamente representados de forma tridimensional.•
Exemplo com 5 variáveis:1 1 1 1 E E Agrupamento: 𝐷𝐶𝐵
MAPAS DE 5 E 6 VARIÁVEIS
•
Exemplo com 6 variáveis:1 1 1 1 E E Agrupamento: DCB Trata-se do mesmo agrupamento nos dois
planos “F”.
F F
1 1
7, 8 E MAIS VARIÁVEIS
•
Na Alemanha particularmente utiliza-se uma notação de Mapa totalmente planar para até 8 variáveis. Mas eles partem de uma tabela verdade representada em uma ordem alterada e precisam acomodar algumas situações particulares no mapa. Não se encontra tal representação em livros e materiais de outros países.•
Na prática, a partir de 7 variáveis adota-se uma combinação com a álgebra booleana no sentido de isolar variáveis e aplicar os mapas de Karnaugh, ou utiliza-se o método tabular de Quine-McCluskey que apesar de comportar “n” variáveis, parte de uma tabela de 2n linhas. O que pode ser um impeditivo prático para a aplicaçãomanual do método de Quine-McCluskey é compensado pela natureza iterativa do método extremamente favorável para implementação em software.
REFERÊNCIAS
▪ IDOETA, Ivan Valeije; CAPUANO, Francisco Gabriel. Elementos de Eletrônica Digital. 28. ed. São Paulo: Érica, 1998.
▪ KARNAUGH, Maurice. The map method for synthesis of combinational logic circuits. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part I: Communication and Electronics, v. 72, n. 5, p. 593-599, 1953.
▪ TANENBAUM, Andrew S.; AUSTIN, Todd. Organização Estruturada de Computadores. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.
▪ TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações. 11. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
▪ VAHID, Frank. Sistemas Digitais: projeto, otimização e HDLs. Porto Alegre: Artmed, 2008. ▪ VALIANTE FILHO, Filippo. Notas de aula de Sistemas Digitais.
▪ VEITCH, Edward W. A chart method for simplifying truth functions. In: Proceedings of the 1952 ACM national meeting (Pittsburgh). 1952. p. 127-133.
