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Fis403
Fis403
Eduardo Resek
Eduardo Resek
UNIFEI
UNIFEI
Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
∇ × B =
µ
0
J
+
1
c
2
∂E
∂t
∇ × B =
µ
0
J
+ 1
c
2
∂E
∂t
∇ × E = −∂B
∂t
∇ × E = −
∂B
∂t
∇
2
E −
1
c
2
∂
2
E
∂t
2
= 0
∇
2
E −
1
c
2
∂
2
E
∂t
2
= 0
∇ · E =
ρ
²
0
∇ · E =
ρ
²
0
∇ · B = 0
∇ · B = 0
∇ · J +
∂ρ
∂t
= 0
∇ · J + ∂ρ
∂t
= 0
Eletromagnetismo:
Um Curso
não tãoIntrodutório
Instituto de Física e Química Universidade Federal de Itajubá
Eduardo O. Resek
Conteúdo
0 Cálculo vetorial: uma revisão 1
0.1 Introdução . . . 1
0.2 Álgebra Vetorial . . . 1
0.3 Produtos entre Vetores . . . 3
0.3.1 Produto Escalar . . . 3
0.3.2 Produto Vetorial . . . 4
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores . . . 6
0.4.1 Derivada Direcional e Gradiente . . . 6
0.4.2 Integração Vetorial . . . 8
0.4.3 Divergência . . . 10
0.4.4 Rotacional . . . 11
0.4.5 Aplicações sucessivas de ∇ . . . 13
0.4.6 Algumas Relações Úteis . . . 14
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas . . . 15
0.5.1 Sistemas de Coordenadas Cilíndricas (ρ,ϕ,z) . . . . 16
0.5.2 Sistemas de Coordenadas Esféricas (r,θ,ϕ) . . . . 19
I Eletrostática 25 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico 27 1.1 Carga elétrica . . . 27
1.2 Fatos experimentais importantes acerca da carga elétrica . . . . 28
1.3 Natureza dos materiais . . . 28
1.4 Formas de eletrização . . . 29
1.4.1 Eletrização por atrito . . . 29
1.4.2 Eletrização por contato ou condução . . . 29
1.4.3 Eletrização por indução . . . 29
1.4.4 Eletrização por irradiação . . . 29
1.5 Lei de Coulomb . . . 30
1.6 Campo elétrico . . . 31
1.7 Princípio da superposição . . . 31
1.8 Linhas de força . . . 32
1.9 Distribuições contínuas de cargas . . . 32
1.10 Exemplos de cálculo de campo elétrico . . . 33
CONTEÚDO iii
1.10.1 Um disco carregado não uniformemente . . . 33
1.10.2 Linha reta carregada uniformemente . . . 36
1.10.3 Uma semi-esfera carregada . . . 36
2 A Lei de Gauss 43 2.1 Fluxo de um vetor . . . 43
2.2 Ângulo Sólido . . . 44
2.3 A Lei de Gauss para o campo elétrico . . . 45
2.3.1 Determinando diretamente o divergente do campo (opci-onal) . . . 45
2.3.2 Calculando o fluxo de uma carga pontual através de uma superfície fechada arbitrária . . . 45
2.4 Aplicações da lei de Gauss . . . 48
2.4.1 Simetria esférica . . . 48
2.4.2 Simetria cilíndrica . . . 51
2.4.3 Simetria cartesiana ou plana . . . 52
2.5 Condutores em equilíbrio eletrostático . . . 54
3 Potencial eletrostático 61 3.1 Campos conservativos . . . 61
3.1.1 Trabalho de uma força . . . 61
3.1.2 Campo conservativo e energia potencial . . . 61
3.1.3 Campo eletrostático é conservativo! . . . 63
3.2 Condutores em Equilíbrio Eletrostático . . . 64
3.3 O dipolo elétrico . . . 67
3.3.1 Momento de dipolo elétrico . . . 67
3.3.2 Potencial e campo de um dipolo em pontos distantes . . 68
3.3.3 Momento de dipolo elétrico de uma distribuição contínua de cargas . . . 69
3.3.4 Dipolo num campo externo . . . 69
3.4 Energia potencial elétrica . . . 70
3.4.1 Sistema de cargas pontuais . . . 71
3.4.2 Distribuição contínua de cargas . . . 72
4 Soluções de problemas em eletrostática 81 4.1 Equações de Poisson e Laplace em uma dimensão . . . 83
4.2 O método das imagens . . . 83
4.3 O Método da Separação de Variáveis . . . 85
4.3.1 Separação de Variáveis em Coordenadas Cartesianas em Duas Dimensões . . . 85
4.3.2 Separação de Variáveis em Coordenadas Esféricas com Simetria Azimutal . . . 89
4.3.3 Separação de Variáveis em Coordenadas Cilíndricas com potencial independente de z . . . . 92
4.3.4 Separação de Variáveis em Coordenadas Cilíndricas . . . 94
iv CONTEÚDO 5 Capacitores 97 5.1 O que são . . . 97 5.2 Capacitância . . . 97 5.3 Energia armazenada . . . 97 6 Dielétricos 99
6.0.1 Lei de Gauss na presença de dielétricos . . . 101 6.0.2 Condições de contorno para o campo elétrico . . . 102
Index 103
Capítulo 0
Cálculo vetorial: uma revisão
0.1 Introdução
No domínio da física elementar (clássica) encontramos diversos tipos de quan-tidades. Dentre elas, estaremos interessados na distinção entre quantidades escalares e vetoriais. Visando estritamente nossos interesses futuros, é suficiente definí-las da seguinte forma:
Escalares: grandezas que são completamente caracterizadas por
suas magnitudes. Exemplos: massa, volume, temperatura, tempo, etc.
Vetores: grandezas que são completamente caracterizadas por seus
módulos, direções e sentidos. Exemplos: velocidade, força, acelera-ção, posição a partir de uma origem fixa, etc.
A partir daí introduzimos os conceitos de campos escalares e vetoriais. Um
campo é basicamente uma função de ponto, isto é, depende da posição no espaço
e/ou no tempo. Assim, campos escalares são especificados fornecendo-se suas magnitudes em todos os pontos do espaço; campos vetoriais exigem, além do módulo, a especificação da direção e sentido em todos os pontos do espaço.
Estas definições são não rigorosas e um tanto limitadas, mas serão adequadas aos nossos propósitos.1
Como todos já estão devidamente familiarizados com a álgebra de escalares, passamos ao estudo da álgebra vetorial.
0.2 Álgebra Vetorial
Como vimos, um vetor A será completamente caracterizado por seu módulo, di-reção e sentido. Representamos o módulo de A por |A| ou, às vezes, simplesmente
1Definições rigorosas envolvem propriedades de transformação sob mudança do sistema de
coordenadas.
2 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
A. Sendo B e C outros vetores, são válidas as seguintes propriedades: A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B = A + B + C,
ou seja, a soma de vetores é definida, resulta em outro vetor e obedece às proprie-dades da comutatividade e distributividade. Por outro lado, sendoα um escalar
(α ∈ R), αA é também um vetor,
B = αA,
com as seguintes características: módulo: |B| = |α||A| direção: a mesma de A sentido: ½ o mesmo de A, seα > 0 o oposto ao de A, seα < 0
Versor (ou vetor unitário) de uma direção é um vetor desta direção cujo módulo é igual a 1 (um). Dado um vetor A, é fácil determinar o versor de sua direção. Consideramos:
B = αA,
pois A e seu versor têm a mesma direção, sendo que |B| = 1. Assim, |B| = |α| |A| = 1 =⇒ |α| = 1 |A|, ou α = ± 1 |A|, sendo ½
+ → versor com direção e sentido de A
− → versor com direção de A mas sentido oposto. Denotando por ˆa o
A
ˆ
a
Fig. 0.1 Versor
versor de A, temos então:
ˆa = A |A| Também podemos escrever
A = |A|ˆa,
isto é, todo vetor pode ser escrito como o produto de seu módulo pelo versor de sua direção e sentido.
Para melhor visualisarmos os vetores introduzimos um sistema de coordena-das tridimensional, dotado de uma origem O e três eixos perpendiculares entre si, denotados por x, y, z ou x1, x2, x3. Um vetor V pode então ser especificado por
suas componentes em relação a este sistema de coordenadas:
Vx = |V| cos α Vy = |V| cos β Vz = |V| cos γ,
ou,
Vi= |V| cos αi, i = 1,2,3,
0.3 Produtos entre Vetores 3
ondeα, β, γ, são os ângulos formados por V com os eixos x, y, z, respectivamente
(ou,αi é o ângulo formado por V com o eixo xi, i = 1,2,3).
x y z ˆ x ˆy ˆ z Vx Vy Vz V α1 α2 α3
Fig. 0.2 Componentes do vetor e ângulos diretores
No caso de campos vetoriais, cada uma das componentes é uma função de x,
y, z.
Os versores dos eixos coordenados são comumente denotados pelos seguintes símbolos:
Eixo x: ˆx, i, ˆx1, ˆe1
Eixo y: ˆy, j, ˆx2, ˆe2
Eixo x: ˆz, k, ˆx3, ˆe3
Em termos das componentes, podemos escrever:
V = Vxˆx +Vyˆy +Vzˆz ou V = 3 X i =1 Viˆxi
Dados dois vetores A =P
iAixˆie B =PiBixˆieα ∈ R, as propriedades de soma e
multiplicação por escalar se escrevem em termos de componentes, da seguinte forma:
A + B = (Ax+ Bx) ˆx + (Ay+ By) ˆy + (Az+ Bz) ˆz
αA = (αAx) ˆx + (αAy) ˆy + (αAz) ˆz
0.3 Produtos entre Vetores
São definidos basicamente dois tipos de produtos entre vetores: o produto escalar e o produto vetorial. Podemos formar ainda outros tipos através de composições destes dois produtos básicos.
0.3.1 Produto Escalar
Como o nome já deixa a entender, o resultado deste tipo de produto entre dois vetores A e B dados não será um outro vetor, mas um escalar:
A·B = AxBx+ AyBy+ AzBz= 3
X
i =1
AiBi.
Pode-se mostrar facilmente que esta definição é equivalente a
A·B = |A||B|cosθ,
ondeθ é o menor ângulo entre A e B.
4 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Exercício Demonstre esta equivalência.
Podemos observar que2
A·A = |A|2= A2x+ A2y+ A2z= 3 X i =1 A2i ≥ 0 A·A = 0 ⇐⇒ A = 0
(αA)·B = A·(αB) = αA·B
A·B = B·A
(A + B)·C = A·C + B·C
0.3.2 Produto Vetorial
Neste tipo de produto entre vetores o resultado é um outro vetor:
A×B = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz Ax Ay Az Bx By Bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (AyBz− AzBy) ˆx + (AzBx− AxBz) ˆy + (AxBy− AyBx) ˆz
Esta definição, como também pode ser mostrado, é equivalente à conhecida regra do produto vetorial: C = A×B é um vetor
(i) perpendicular ao plano formado por A e B (ou seja, perpendi-cular a ambos os vetores);
(ii) de módulo igual a
|C| = |A| |B| sen θ
(iii) de sentido dado pela regra da mão direita: gire A em direção a
B com os dedos da mão direita segundo o menor ângulo entre eles: o
sentido de C = A×B é o indicado pelo polegar desta mão. A
B
C
Fig. 0.3 Regra da mão direita
Exercícios
1) Os vetores da origem de um sistema de coordenadas até os pontos A, B , C , D
são:
A = ˆx + ˆy + ˆz
B = 2 ˆx + 3 ˆy
C = 3 ˆx + 5 ˆy − 2 ˆz
D = ˆz − ˆy
2Muitas vezes denominamos a operação A·A de elevar o vetor A ao quadrado.
0.3 Produtos entre Vetores 5
Mostre que as linhas AB e C D são paralelas e determine a razão de seus compri-mentos.
2) Mostre que os vetores
A = 2 ˆx − ˆy + ˆz, B = ˆx − 3 ˆy − 5 ˆz, C = 3 ˆx − 4 ˆy − 4 ˆz
formam os lados de um triângulo retângulo, e determine os demais ângulos deste triângulo.
3) Mostre que, sendo ˆxi os versores dos eixos x1≡ x, x2≡ y, x3≡ z,
ˆxi· ˆxj= δi j,
ondeδi j=
½
1, se i = j 0, se i 6= j .
4) Considere a relação entre três vetores A, B, C: C = A − B.
Demonstre, quadrando esta relação e interpretando geometricamente o resultado, a lei dos cossenos.
5) Sendo a um vetor constante e r o vetor posição de um ponto P (x, y, z) genérico
(o vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até P ), determine qual a superfície representada pelas seguintes equações:
a) (r − a)·a = 0 b) (r − a)·r = 0
6) Mostre que
ˆx× ˆx = ˆy× ˆy = ˆz× ˆz = 0 ˆx× ˆy = ˆz, ˆy× ˆz = ˆx, ˆz× ˆx = ˆy ˆy× ˆx = − ˆz, ˆz× ˆy = − ˆx, ˆx× ˆz = − ˆy
7)Determine um vetor unitário perpendicular simultaneamente aos vetores a e
b, sendo a = 2i + j − k b = i − j + k 8) Mostre que A = ˆx cosα + ˆysenα B = ˆx cosβ + ˆysenβ
6 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
são vetores unitários no plano x y formando ângulos iguais aα e β, respectiva-mente, com o eixo x. Obtenha por meio do produto escalar entre esses dois vetores, a fórmula para cos(α − β).
9) Deduza a lei dos senos:
senα |A| = senβ |B| = senγ |C|
A
C
B
γ
α
β
Fig. 0.4 Lei dos senos
10) A força magnética sofrida por uma partícula de carga q em movimento com
velocidade v num campo de indução magnética B é dada por
F = qv×B.
Através de três experimentos, encontrou-se que se v = 1,0 ˆx, F q = 2,0 ˆz − 4,0 ˆy se v = 1,0 ˆy, F q = 4,0 ˆx − 1,0 ˆz se v = 1,0 ˆz, F q = 1,0 ˆy − 2,0 ˆx
(unidades MKS). A partir desses resultados, determine B na região do espaço considerada.
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores
Consideraremos agora a extensão das idéias anteriormente introduzidas ao cál-culo diferencial e integral. Estudaremos nesta seção os conceitos de derivada direcional, gradiente, divergente e rotacional de uma função vetorial, bem como os de integração ao longo de uma trajetória, de uma superfície ou volume, quando introduziremos as idéias de fluxo e circulação (ou circuitação) de um vetor.
0.4.1 Derivada Direcional e Gradiente
A derivada direcional de uma função escalarφ(x, y,z) no ponto P(x, y,z) nada mais é que a taxa de variação deφ com respeito à distância, medida segundo uma certa orientação (direção), no ponto P considerado.
A equaçãoφ(x, y,z) = φ0sendoφ0uma constante, representa o lugar
geo-métrico de todos os pontos (x, y, z) tais queφ = φ0, portanto uma superfície.
Se a partir do ponto P ∈ φ0 imprimirmos um deslocamento∆r numa direção
qualquer, o ponto P0daí resultante pertencerá a uma outra superfície da mesma
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 7
família, definida pela equaçãoφ = φ0+ ∆φ. É evidente que, considerando o
des-locamento entre as duas superfícies, |∆r| = ∆r será mínimo quando a direção de ∆r for perpendicular à superfície φ = φ0(θ = 0). De acordo com a definição de
φ = φ0 φ = φ0+ ∆φ P P0 ∆r ∆r cos θ θ ˆ n
Fig. 0.5 Derivada direcional
derivada direcional e com a figura 5, podemos então escrever para o ponto P :
dφ
d r: derivada direcional segundo a direção de∆r, no limite em que ∆r → 0;
dφ
d r cosθ: derivada direcional segundo a direção de máxima variação deφ.
Definimos pois o gradiente da função escalarφ no ponto P como o vetor com as seguintes características:
(i) intensidade: igual à da derivada direcional máxima deφ em P; (ii) direção: a da derivada direcional máxima deφ naquele ponto, ou seja, perpendicular à superfícieφ = φ0que contem o ponto P ;
(iii) sentido: o dosφ crescentes.
Representamos o gradiente por ∇φ ou gradφ. Da definição, podemos escrever: |∇φ| = dφ d r cosθ Então: dφ = ∇φ·dr ou dφ d r = ∇φ· d r d r
Esta equação defineφ matematicamente. A partir dela, podemos determinar ∇φ em qualquer sistema de coordenadas em que conheçamos a forma de d l.
φ = φ0 φ = φ0+ dφ P P0 dr ∇φ θ ˆ n Fig. 0.6 Gradiente
Por exemplo, em se tratando de coordenadas cartesianas:
d r = ˆx d x + ˆyd y + ˆzd z
=⇒ ∇φ·dr = (∇φ)xd x + (∇φ)yd y + (∇φ)zd z
Por outro lado:
dφ d r = ∂φ ∂x d x d r + ∂φ ∂y d y d r + ∂φ ∂z d z d r dφ = ∂φ ∂xd x + ∂φ ∂yd y + ∂φ ∂zd z
Assim, com a definição de ∇φ,
∂φ ∂xd x + ∂φ ∂yd y + ∂φ ∂zd z = (∇φ)xd x + (∇φ)yd y + (∇φ)zd z.
Como as diferenciais d x, d y, d z são independentes, podemos igualar os co-eficientes correspondentes às diferenciais nos dois membros desta expressão, resultando (∇φ)x=∂φ ∂x, (∇φ)y= ∂φ ∂y, (∇φ)z= ∂φ ∂z, ou ∇φ =∂φ ∂x ˆx + ∂φ ∂y ˆy + ∂φ ∂zˆz.
8 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Exemplo Determinar o gradiente de f = f (r ) = f (px2+ y2+ z2). Solução De acordo com a expressão obtida para ∇f ,
∇ f (r ) = ˆx∂f (r ) ∂x + ˆy ∂f (r ) ∂y + ˆz ∂f (r ) ∂z Mas ∂f (r ) ∂x = d f (r ) d r ∂r ∂x = d f (r ) d r x px2+ y2+ z2 = d f (r ) d r x r. Analogamente: ∂f (r ) ∂y = d f (r ) d r y r, ∂f (r ) ∂z = d f (r ) d r z r Então: ∇ f (r ) =d f d r (x ˆx + y ˆy + z ˆz) 1 r ∇ f (r ) =d f d r ˆr 0.4.2 Integração Vetorial
Antes de continuarmos a discutir outros aspectos relativos a diferenciação de veto-res, é conveniente estudarmos alguns tópicos referentes a integração envolvendo vetores.
Integral de Linha
A integral de linha de um campo vetorial F = F(r) = F(x, y, z) desde um ponto a até um ponto b dados, ao longo de uma trajetória C é um escalar representado por
b
Z
a C F·dr,
onde d r é um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva C . O cálculo da integral é efetuado como o de uma integral Riemanniana ordinária: dividimos a porção da curva C entre a e b em N partes, calculamos Fi·∆ripara cada uma
delas e somamos tudo, tomando o limite em que N → ∞ (ou ∆ri→ 0). b Z a C F·dr = lim N →∞ N X i =1 Fi· ∆ri= = lim N →∞ N X i =1 Fi∆ricosθi
Em geral, o resultado depende não somente dos pontos extremos a e b, mas também da curva C que os une.
a b C θi ∆ri Fi
Fig. 0.7 Integração ao longo de um caminho
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 9
O caso particular de integração ao longo de uma curva fechada é denotado de forma especial como
I
CF·dr,
e denominado circulação ou circuitação de F em torno (ou ao longo) de C . O resultado pode ou não ser nulo. A classe dos campos vetoriais para os quais a integral acima se anula para qualquer que seja a curva fechada C é de especial importância na física matemática.
Integral de Superfície — Fluxo
Dado um campo vetorial F numa região do espaço, definimos o fluxoΦFdo
campo através de uma superfície S como a integral ΦF=
Z
SF· ˆndS
onde d S é um elemento infinitesimal de área e ˆn um vetor unitário normal a
d S. É claro queΦFé um escalar. O sentido de ˆn é para fora da superfície, se S
for uma superfície fechada; se S for aberta e finita, ela possui um contorno l ;
`
S ˆn
Fig. 0.8 Regra da mão direita para o versor normal
por convenção o sentido de ˆn é indicado pelo polegar da mão direita quando os
demais dedos abraçam l no sentido escolhido com positivo para sua orientação (Figura 8) S dSi Fi θi ˆ ni
Fig. 0.9 Fluxo de um vetor
O cálculo da integral é semelhante ao caso anteriormente considerado da integral de linha: Z SF· ˆndS = lim N →∞ N X i =1 Fi· ˆni∆Si = lim N →∞ N X i =1 Ficosθi∆Si = Z S F cosθ dS
De forma análoga, o fluxo de F através de uma superfície fechada S é denotado por
I
SF· ˆndS. Integral de Volume
Aqui não há nada de especial: a integral de volume de um vetor F através de um volume V definido por uma superfície fechada S,
Z
V F d v
reduz-se simplesmente a três integrais escalares, uma para cada direção do es-paço. Se F for expresso em coordenadas cartesianas, por exemplo, teremos
Z VF d v = ˆx Z V Fxd v + ˆy Z V Fyd v + ˆz Z V Fzd v.
10 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
0.4.3 Divergência
Um outro importante operador, essencialmente uma derivada, é o operador divergente. O divergente (ou a divergência) de um campo vetorial F, denotado por ∇·F ou divF é definido como o limite do fluxo de F através de uma superfície fechada S por unidade de volume, quando o volume V delimitado por S tende a zero: ∇·F = lim V →0 1 V I SF· ˆndS
Vemos claramente que o divergente é uma função escalar de ponto (campo escalar) — ele representa, em cada ponto, o fluxo por unidade de volume que nasce de um elemento de volume coincidente com o ponto.
y z x P ∆z ∆x ∆y z0 y0 x0
Fig. 0.10 Elemento de volume próximo ao ponto P (x0, y0, z0)
A definição acima é independente da escolha do sistema de coordenadas, podendo pois ser usada para encontrar a forma específica de ∇·F em qualquer sistema de coordenadas particular. Em coordenadas cartesianas retangulares, por exemplo, tomamos um elemento de volume∆v = ∆x ∆y ∆z, localizado no ponto (x0, y0, z0). O fluxoΦFde um campo vetorial F através deste paralelepípedo
será, desprezando infinitésimos de ordem superior: I SF · ˆndS = Z Fx(x0+ ∆x, y, z) d y d z − Z Fx(x0, y, z) d y d z + Z Fy(x, y0+ ∆y, z) d x d z − Z Fy(x, y0, z) d x d z + Z Fz(x, y, z0+ ∆z) d x d y − Z Fz(x, y, z0) d x d y,
De acordo com o teorema de Taylor, desprezando novamente infinitésimos supe-riores: Fx(x0+ ∆x, y, z) = Fx(x0, y, z) + ∆x∂Fx ∂x ¯ ¯ ¯ (x0,y,z) Fy(x, y0+ ∆y, z) = Fy(x, y0, z) + ∆y ∂Fy ∂y ¯ ¯ ¯ (x,y0,z) Fz(x, y, z0+ ∆z) = Fz(x, y, z0) + ∆z∂Fz ∂z ¯ ¯ ¯ (x,y,z0) , de modo que ∇·F = lim ∆v→0 1 ∆x ∆y ∆z ½ ∆xZ ∂Fx ∂x ¯ ¯ ¯ (x0,y,z) d y d z +∆y Z ∂F y ∂y ¯ ¯ ¯ (x,y0,z) d x d z + ∆z Z ∂F z ∂z ¯ ¯ ¯ (x,y,z0) d x d y ¾ . Assim, tomando o limite e simplificando
∇·F =∂Fx ∂x + ∂Fy ∂y + ∂Fz ∂z
Podemos agora enunciar um teorema extremamente importante da análise vetorial envolvendo o divergente:
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 11
Teorema do Divergente (Gauss): a integral do divergente de um campo vetorial
sobre um volume v é igual ao fluxo deste vetor através da superfície S que limita
v: Z v∇·F d v = I SF· ˆndS Exemplo Determine ∇·r e ∇·[r f (r )].
Solução Aplicando diretamente a expressão encontrada acima,
∇·r =³ˆx ∂ ∂x+ ˆy ∂ ∂y+ ˆz ∂ ∂z ´ ·(x ˆx + y ˆy + z ˆz) =∂x ∂x+ ∂y ∂y+ ∂z ∂z =⇒ ∇·r = 3 De modo mais genérico:
∇·[r f (r )] = ∂ ∂x[x f (r )] + ∂ ∂y[y f (r )] + ∂ ∂z[z f (r )] = 3 f (r ) +x 2 r d f (r ) d r + y2 r d f (r ) d r + z2 r d f (r ) d r = 3 f (r ) + rd f d r . Em particular, se f (r ) = rn−1, ou seja, r f (r ) = rn, ∇·( ˆrrn) = 3rn−1+ (n − 1)rn−1= (n + 2)rn−1.
Vemos que o divergente se anula para n = 2, fato que será importante futura-mente: ∇·³ ˆr r2 ´ = 0, para r 6= 0 0.4.4 Rotacional
Outro importante operador diferencial da análise vetorial é o rotacional, deno-tado por ∇×F ou rotF, quando aplicado a um vetor F. Analogamente ao modo como definimos o divergente, na seção anterior, por
∇·F = lim V →0 1 V I S ˆ n·FdS
definimos o rotacional de um campo vetorial F, nas mesmas condições, por: ∇×F = lim V →0 1 V I Sn×FdSˆ
Esta definição, entretanto, é equivalente, pode-se mostrar, a uma outra que nos será mais útil: considere no ponto P uma trajetória l fechada e contida num
12 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
plano cuja normal é ˆn(o sentido de ˆné, como sempre, definido pela regra da mão direita aplicada ao sentido convencionado como positivo para a trajetória l ); a componente do vetor ∇×F na direção de ˆn é então definida como o limite da relação entre a circulação de F ao longo de l e a área S delimitada por l , quando S tende a zero: ˆ n·∇×F = lim S→0 1 S I `F·dr.
Exercício Mostre a equivalência dessas duas definições.
Podemos determinar as componentes do vetor rotacional de um dado campo
F em qualquer sistema de coordenadas, através de uma das duas definições
apresentadas. Em coordenadas cartesianas o resultado é: ∇×F =³∂Fz ∂y − ∂Fy ∂z ´ ˆx +³∂Fx ∂z − ∂Fz ∂x ´ ˆy +³∂Fy ∂x − ∂Fx ∂y ´ ˆz, ou, numa forma mnemônica, como a expansão de um determinante:
∇×F = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Fx Fy Fz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
O teorema de Stokes, enunciado a seguir, é também um resultado de importância na análise vetorial:
Teorema de Stokes: A circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva
fechada l é igual à integral de superfície de seu rotacional sobre qualquer superfí-cie limitada pela curva:
I
`F·dr =
Z
S∇×F· ˆn dS Exemplo 1 Mostre que ∇ס f V¢ = f ∇×V + ¡∇f ¢×V.
Solução De acordo com a expressão para o rotacional,
∇ס f V¢ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z f Vx f Vy f Vz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , assim: ¡∇סf V¢¢x = ∂(f Vz) ∂y − ∂(f Vy) ∂z = f ∂Vz ∂y + ∂f ∂yVz− f ∂Vy ∂z − ∂f ∂zVy= = f µ∂V z ∂y − ∂Vy ∂z ¶ + µ∂f ∂yVz− ∂f ∂zVy ¶ = = ¡ f ∇×V¢x+¡∇f ×V ¢x,
0.4 Cálculo Diferencial e Integral com Vetores 13
de modo que
∇ס f V¢ = f ∇×V + ¡∇f ¢×V
Exemplo 2 Encontre ∇×£rf (r )¤.
Solução De acordo com a fórmula obtida no exemplo anterior, temos:
∇×£rf (r )¤ = f ∇×r + ∇f ×r. Mas ∇×r = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z x y z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0, e, além disso, ∇ f (r ) =d f d r ˆr,
donde resulta, levando em conta que ˆr×r = 0, que ∇×£rf (r )¤ = 0
0.4.5 Aplicações sucessivas de ∇
Vejamos o que resulta da aplicação sucessiva do operador ∇, de diversas formas e a diversos tipos de quantidades.
Laplaciano
É, por definição, o divergente do gradiente de uma função escalarφ:
∇2φ = ∇·∇φ
O laplaciano de um campo escalar resulta numa outra função escalar. Em coor-denadas cartesianas, por exemplo, temos
∇2φ =∂ 2φ ∂x2+ ∂2φ ∂y2+ ∂2φ ∂z2 Divergente do rotacional
Nesse caso, teremos:
∇·∇×V = ∇· ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Vx Vy Vz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ∂ ∂x ³∂Vz ∂y − ∂Vy ∂z ´ + ∂ ∂y ³∂Vx ∂z − ∂Vz ∂x ´ + ∂ ∂z ³∂Vy ∂x − ∂Vx ∂y ´
14 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Considerando que V é uma função contínua e lisa das variáveis x, y, z, as suas de-rivadas segundas com relação a estas variáveis podem ser tomadas em qualquer ordem, isto é, por exemplo,
∂2V z ∂x∂y = ∂2V z ∂y∂x,
o mesmo acontecendo com as demais derivadas. Desse modo, resulta que
∇·∇×V = ∇· ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Vx Vy Vz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 Rotacional do gradiente
Pela expressão para o cálculo do rotacional, temos:
∇×∇φ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0
Rotacional do rotacional e gradiente do divergente
Em geral, nenhuma dessas duas operações são nulas, mas existe a seguinte relação entre elas:
∇×∇×V = ∇∇·V − ∇2V,
onde o laplaciano de um vetor é o vetor cujas coordenadas cartesianas são os laplacianos das componentes correspondentes do vetor original:
∇2V = (∇·∇Vx) ˆx + (∇·∇Vy) ˆy + (∇·∇Vz) ˆz
= ∇2Vxˆx + ∇2Vy ˆy + ∇2Vz ˆz.
Deve-se observar que esta última relação só é válida no sistema de coordenadas cartesianas. Nos demais sistemas, ∇2V é definido pela primeira expressão.
Muitas vezes, escrevemos também, simbolicamente, ∇2V = ∇·∇V.
0.4.6 Algumas Relações Úteis
Fornecemos, a seguir, algumas identidades freqüentemente necessárias no ma-nuseio de expressões em cálculo vetorial.
∇(uv) = u∇v + v∇u ∇·( f V) = f ∇·V + ∇ f ·V
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 15
∇·(A×B) = B·∇×A − A·∇×B ∇ס f V¢ = f ∇×V + ¡∇f ¢×V I Sφ ˆndS = Z v∇φ d v I φdr =Z S ˆ n×∇φdS Z v(ϕ∇ 2φ − φ∇2ϕ)dv =I S(ϕ∇φ − φ∇ϕ)· ˆndS
Exercícios
11) Mostre que, se A é um vetor constante,
∇(A·r) = A.
12) Mostre que, se ∇×A = 0, então ∇·(A×r) = 0.
13) Se ∇×f 6= 0 mas ∇×(g f) = 0, onde g = g (x, y, z) e f = f(x, y, z), mostre que f·∇×f = 0.
14) Se A e B são vetores constantes, mostre que ∇(A·B×r) = A×B. 15) Mostre que ∇×(φ∇φ) = 0.
16) Mostre que a integral de linha de um campo F antre dois pontos a e b do
es-paço, Z b
a F·dr, é independente da trajetória se a condição ∇×F = 0 for satisfeita.
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas
Nas primeiras seções, embora tenhamos introduzido o vetor posição radial r, restringimo-nos quase que inteiramente ao uso de coordenadas cartesianas, cuja grande vantagem é a sua simplicidade, devida ao fato de serem seus vetores unitários constantes e os mesmos em todos os pontos do espaço.
Infelizmente nem todos os problemas em física e engenharia se adaptam a uma solução desenvolvida em um sistema de coordenadas cartesianas. Por exem-plo, num problema de força central, tal como a gravitacional ou a eletrostática, a simetria praticamente exige que façamos uso de um sistema de coordenadas em que a distância radial seja uma das coordenadas, ou seja, um sistema de coordenadas esféricas.
16 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
A escolha do sistema de coordenadas deve estar portanto, ligada à simetria presente na situação analisada. Uma escolha adequada sempre facilita enorme-mente a solução do problema.
Estudaremos basicamente dois tipos de sistemas de coordenadas, por serem os mais comuns e os mais tratáveis: o sistema de coordenadas esféricas e o de coordenadas cilíndricas.
Poderíamos desenvolver a teoria de forma a obter expressões genéricas váli-das em qualquer sistema de coordenaváli-das curvilíneas, como é feito na maioria dos livros-texto sobre o assunto, particularizando depois os resultados para os sistemas de interesse. Não seguiremos essa abordagem por considerarmos que, analisando cada um deles separadamente e deduzindo ‘in loco’ as expressões desejadas, podemos obter uma maior familiaridade com o sistema em questão.
0.5.1 Sistemas de Coordenadas Cilíndricas (ρ,ϕ,z)
A figura 11 ilustra os elementos do sistema de coordenadas cilíndricas. Dado um ponto P de coordenadas (ρ,ϕ,z), temos as seguintes interpretações:
ρ: distância perpendicular do ponto P ao eixo z (0 ≤ ρ < ∞);
ϕ: ângulo azimutal, isto é, o ângulo formado com o eixo x pela projeção do vetor posição
do ponto P sobre o plano x y (0 ≤ ϕ < 2π);
z: distância de P ao plano x y, ou seja, o mesmo que no sistema de coordenadas cartesianas.
Transformação de coordenadas y z x P0 ρ P z ρ ˆ ρ ˆ ϕ ˆz r ϕ
Fig. 0.11 Coordenadas cilíndricas e seus versores
A figura 12 mostra a projeção no plano x y da figura 11. Dela podemos escrever as seguintes relações entre as coordenadas cilíndricas e as cartesianas:
Transformação de coordenadas cilíndricas para cartesianas: x = ρ cos ϕ, y = ρ sen ϕ, z = z. x y ˆ ρ ˆ ϕ ρ ϕ y x ϕ ϕ P0
Fig. 0.12 Projeção no plano x y
Transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas: ρ = qx2+ y2, 0 ≤ ρ < ∞,
ϕ = arctany
x, 0 ≤ ϕ < 2π,
z = z.
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 17
Transformação dos vetores unitários:
Os vetores unitários dos sistemas de coordenadas curvilíneas não são em geral constantes, por isso merecem atenção especial quando envolvidos em operações como derivação e integração. Vejamos como se relacionam os versores do sistema de coordenadas cilíndricas com os de coordenadas cartesianas:
Versores cartesianos para cilíndricos: Da figura 12, decompondo os verso-res ˆρ e ˆϕ nos eixos x, y, observando que os ângulos indicados na figura são iguais
aϕ, obtemos: ˆ ρ = ˆxcosϕ + ˆysenϕ ˆ ϕ = − ˆxsenϕ + ˆycosϕ ˆz = ˆz
Note que os versores ˆρ, ˆϕ, ˆz formam um sistema triortogonal: o produto escalar entre qualquer par desses versores (distintos entre si) é nulo e, além disso:
ˆ
ρ× ˆϕ = ˆz, ϕ× ˆz = ˆρ,ˆ ˆz× ˆρ = ˆϕ.
Versores cilíndricos para cartesianos: As transformações inversas são
tam-bém facilmente obtidas e são deixadas como exercício. O resultado é: ˆx = ρ cosϕ − ˆˆ ϕsenϕ
ˆy = ρ senϕ + ˆˆ ϕcosϕ
Vetor posição: O vetor posição de um ponto P genérico do espaço, cujas
co-ordenadas cilíndricas são (ρ,ϕ,z) e cartesianas (x, y,z), pode ser escrito, usando apenas elementos de coordenadas cilíndricas, com:
r = ρ ˆρ + z ˆz;
se expressarmos ˆρ em termos dos versores cartesianos, teremos a forma mais adequada para o uso em integrações e derivadas,
r = ρ cosϕ ˆx + ρ senϕ ˆy + z ˆz. Elementos de área e volume
A fim de entendermos mais facilmente como determinar os elementos de volume e superfície nos sistemas de coordenadas curvilíneas, vamos examinar como eles são formados no nosso velho sistema de coordenadas cartesianas. O elemento de área no plano x y, por exemplo, é obtido mantendo z = cte. e imprimindo peque-nas variações d x e d y peque-nas coordenadas (x, y) de um ponto P genérico (figura 13). Temos então construído um elemento de área no plano x y (ou paralelo a ele), ou seja, num plano z = constante. É claro que
x y
dS = dx dy
Fig. 0.13 Elemento de área cartesi-ana no plano x y
18 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
(d S)z=cte= d x d y.
Um elemento de volume é facilmente obtido a partir daí, acrescentando agora uma variação infinitesimal d z da coordenada z: teremos um pequeno cubo de arestas d x, d y e d z, cujo volume é
d v = d x d y d z.
Em coordenadas cilíndricas basta agora repetirmos o raciocínio, acompa-nhando a figura 14. No plano z = cte, imprimimos às coordenadas ρ e ϕ variações infinitesimais dρ e dϕ. Obtemos portanto um retângulo infinitesimal cujos lados são dados por dρ e ρ dϕ; sua área será portanto igual a
x y ρ ϕ dϕ dρ ρ dϕ dS = ρ dρ dϕ
Fig. 0.14 Elemento de área polar no plano x y
(d S)z=cte= ρ dρ dϕ.
Podemos igualmente escrever os elementos de área obtidos quando mantemos cada uma das demais coordenadas constantes e permitimos às outras uma pe-quena variação. Temos:
(d S)ρ=cte= ρ dϕ d z,
correspondente aρ = cte (elemento de área lateral do cilindro) e (d S)ϕ=cte= dρ d z.
correspondente aϕ = cte.
O elemento de volume, como a essa altura já deve ser óbvio, é conseguido juntando-se, por exemplo, a variação d z àquela correspondente a z = cte:
d v = ρ dρ dϕd z Forma dos operadores vetoriais
Para encerrar, listamos a seguir as formas assumidas no sistema de coordenadas cilíndricas pelos diversos operadores diferenciais vetoriais estudados:
Gradiente ∇φ =∂φ ∂ρρ +ˆ 1 ρ ∂φ ∂ϕϕ +ˆ ∂φ ∂z ˆz Divergente ∇·V =1 ρ ∂ ∂ρ(ρVρ) + 1 ρ ∂Vϕ ∂ϕ + ∂Vz ∂z Rotacional ∇×V = 1 ρ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆ ρ ρ ˆϕ ˆz ∂ ∂ρ ∂ ∂ϕ ∂ ∂z Vρ ρVϕ Vz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 19 Laplaciano ∇2φ =1 ρ ∂ ∂ρ ³ ρ∂φ ∂ρ ´ + 1 ρ2 ∂2φ ∂ϕ2+ ∂2φ ∂z2 Laplaciano de um vetor (∇2V)ρ = ∇2Vρ− 1 ρ2Vρ− 2 ρ2 ∂Vϕ ∂ϕ (∇2V)ϕ = ∇2Vϕ− 1 ρ2Vϕ+ 2 ρ2 ∂Vρ ∂ϕ (∇2V)z = ∇2Vz
0.5.2 Sistemas de Coordenadas Esféricas (r,θ,ϕ)
A figura 15 ilustra os elementos de coordenadas esféricas, r,θ,ϕ de um ponto P genérico do espaço, que possuem os seguintes significados:
r : módulo do vetor posição do ponto, ou seja, a distância do ponto P à origem do sistema de coordenadas (0 ≤ r < ∞);
θ: ângulo que o raio vetor (vetor posição) de P faz com o semieixo positivo z (0 ≤ θ ≤ π),
também conhecido como ângulo polar;
ϕ: ângulo azimutal, isto é, o ângulo formado com o eixo x pela projeção do vetor posição
do ponto P sobre o plano x y (0 ≤ ϕ < 2π), ou seja, o mesmo significado que no sistema de coordenadas cilíndricas;
Transformação de coordenadas
Na figura 15 podemos extrair dois triângulos reta ˆngulos que nos possibilitarão escrever as relações ligando o sistema de coordenadas esféricas e o de coorde-nadas cartesianas; são eles o triângulo OP P00, onde O é a origem do sistema de
coordenadas, que é retângulo em P00(ou OP P0, retângulo em P0, que é seme-lhante a OP P00), e o triângulo OM P0, retângulo em M . A figura 16 mostra esses dois triângulos. Note que OM P0jaz no plano x y, enquanto OP P00fica no plano
ϕ = cte e que, além disso, OP0= P P00coincide com a definição do elementoρ das
coordenadas cilíndricas. x y z M x y P0 P00 P ˆ θ r θ ϕ ˆr ˆ ϕ
Fig. 0.15 Coordenadas esféricas
Transformação de coordenadas esféricas para cartesianas: Da figura 16(b)
vemos que
x = OP0cosϕ,
y = OP0senϕ,
20 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
enquanto, da figura 16(a),
z = r cos θ,
P P00 = r sen θ
Como OP0= P P00, as relações desejadas são
x = r sen θ cos ϕ, y = r sen θ sen ϕ, z = r cos θ, r P O z P00 ρ θ (a) O P0 M x y ρ ϕ (b)
Fig. 0.16 Transformações de coor-denadas
Transformação de coordenadas cartesianas para esféricas: Do∆OPP00, o teorema de Pitágoras fornece
r2= P P002+ z2; o mesmo teorema, aplicado a∆OMP0, conduz a
OP02= P P002= x2
+ y2, de modo que
r2= x2+ y2+ z2,
resultado que poderíamos obter diretamente a partir do produto escalar de r por ele mesmo. Ainda, cada uma das figuras fornece um dos ângulosθ e ϕ; as expressões finais são:
r = q x2+ y2+ z2, 0 ≤ r < ∞, θ = arccosz r, 0 ≤ θ ≤ π, ϕ = arctany x, 0 ≤ ϕ < 2π.
Transformação dos vetores unitários:
Versores cartesianos para esféricos: Da figura 15 percebemos que o versor
ˆ
ϕ é sempre paralelo ao plano x y, não possuindo componente na direção do eixo
z. Percebemos também que este vetor é exatamente aquele que já determinamos
quando estudamos o sistema de coordenadas cilíndricas e, portanto já temos pronta sua expressão de transformação:
ˆ
ϕ = − ˆxsenϕ + ˆycosϕ.
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 21
O versor ˆr é facilmente encontrado lembrando que ˆr =r r = x r ˆx + y r ˆy + z r ˆz
Assim, usando as expressões obtidas para x, y e z,
ˆr = senθ cosϕ ˆx + senθ senϕ ˆy + cosθ ˆz.
O meio mais fácil de determinar ˆθ é observando que, como os três versores formam um sistema triortogonal,
ˆ θ = ˆϕ׈r = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆx ˆy ˆz − sen ϕ cosϕ 0
senθ cosϕ senθ senϕ cosθ
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Assim, desenvolvendo e simplificando,
ˆ
θ = cosθ cosϕ ˆx + cosθ senϕ ˆy − senθ ˆz
Como já foi observado, os versores ˆr, ˆϕ, ˆθ formam um sistema triortogonal: o produto escalar entre qualquer par desses versores (distintos entre si) é nulo e, além disso:
ˆr× ˆθ = ˆϕ, ϕ׈r = ˆθ,ˆ θ× ˆˆ ϕ = ˆr.
Versores esféricos para cartesianos: As transformações inversas são tam-bém facilmente obtidas e são deixadas como exercício. O resultado é:
ˆx = senθ cosϕ ˆr + cosθ cosϕ ˆθθθ − senϕ ˆϕϕϕ ˆy = senθ senϕ ˆr + cosθ senϕ ˆθθθ + cosϕ ˆϕϕϕ ˆz = cosθ ˆr − senθ ˆθθθ
Vetor posição: O vetor posição de um ponto P genérico do espaço, cujas
coordenadas esféricas são (r,θ,ϕ) e cartesianas (x, y,z), pode ser escrito, usando apenas elementos de coordenadas esféricas, com:
r = r ˆr,
pois r é um dos elementos de coordenadas esféricas. Expressando em termos dos versores cartesianos, teremos a forma mais adequada para o uso em integrações e derivadas,
r = r senθ cosϕ ˆx + r senθ senϕ ˆy + r cosθ ˆz.
22 Capítulo 0 Cálculo vetorial: uma revisão
Elementos de área e volume
Em coordenadas esféricas o elemento de superfície mais importante é aquele obtido mantendo r constante e permitindo aθ e ϕ variarem infinitesimalmente (figura 15). Da figura podemos determinar os lados do retângulo infinitesimal assim formado: mantendo inicialmenteϕ fixo e variando θ de dθ, obtemos um arco de comprimento r dθ. Se, por outro lado, mantivermos θ fixo e variarmos ϕ
de dϕ, teremos um arco de uma circunferência de raio r senθ, cujo comprimento
é portanto r senθ dϕ. Logo, a área do elemento considerado será (d S)r =cte= r2senθ dϕdθ. y z x r sin θ dϕ r dθ dϕ dθ
Fig. 0.17 Elemento de superfície
O elemento de volume é então facilmente encontrado a partir daí, bastando permitir agora também ao raio vetor uma pequena variação d r : teremos um cubo infinitesimal de lados d r , r senθ dϕ e r dθ, cujo volume é
d v = r2senθ dr dθ dϕ
Podemos, ainda, novamente escrever os elementos de área obtidos quando mantemos cada uma das demais coordenadas constantes e permitimos às outras uma pequena variação. Temos:
(d S)θ=cte= r sen θ dr dϕ
correspondente a r = cte (elemento de área lateral de um cone com vértice na origem semi-aberturaθ) e
(d S)ϕ=cte= r dr dθ. correspondente aϕ = cte.
Forma dos operadores vetoriais
Em coordenadas esféricas os operadores diferenciais vetoriais estudados assu-mem a seguinte forma:
Gradiente ∇φ =∂φ ∂r ˆr + 1 r ∂φ ∂θθ +ˆ 1 r senθ ∂φ ∂ϕϕˆ Divergente ∇·V = 1 r2senθ · senθ ∂ ∂r(r 2V r) + r ∂ ∂θ( senθVθ) + r ∂Vϕ ∂ϕ ¸
0.5 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 23 Rotacional ∇×V = 1 r2senθ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆr r ˆθ r senθ ˆϕ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ Vr r Vθ r senθVϕ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Laplaciano ∇2φ = 1 r2senθ · senθ ∂ ∂r(r 2∂φ ∂r) + ∂ ∂θ( senθ ∂φ ∂θ) + 1 senθ ∂2φ ∂ϕ2 ¸
É interessante notar que 1 r2 ∂ ∂r ³ r2∂φ ∂r ´ =1 r ∂2 ∂r2(rφ) Laplaciano de um vetor (∇2V)r= ∇2Vr− 2 r2Vr− 2 r2 ∂Vr ∂θ − 2 cosθ r2senθVθ− 2 r2senθ ∂Vϕ ∂ϕ , (∇2V)θ= ∇2Vθ− 1 r2sen2θVθ+ 2 r2 ∂Vr ∂θ − 2 cosθ r2sen2θ ∂Vϕ ∂ϕ, (∇2V)ϕ= ∇2Vϕ− 1 r2sen2θVϕ+ 2 r2senθ ∂Vr ∂ϕ + 2 cosθ r2sen2θ ∂Vθ ∂ϕ,
Estas expressões para ∇2V são inegavelmente confusas, mas algumas vezes são
necessárias (não há uma garantia expressa de que a natureza seja sempre simples). Na verdade, não a utilizaremos no decorrer do nosso curso; apresentâmo-la aqui apenas por questão de completeza.
Exercícios
x y (a,−a) (a, a) (−a, a) (−a, −a) Fig. 0.18 Exercício 1717) O campo elétrico de uma partícula carregada localizada na origem do sistema
de coordenadas é da forma:
E = K
r3r, K = cte.
a) Calcule o fluxo de E através da superfície esférica de raio a com centro na origem.
b) Determine ∇·E e integre este resultado sobre o volume definido pela superfície esférica, comparando os resultados. Você já esperava por isto?
c) Calcule a integral de linha do vetor E ao longo da trajetória no plano x y mos-trada na figura.
d) Use o teorema de Stokes para verificar o resultado.
18) Usando os resultados dos teoremas integrais apresentados, encontre uma
fórmula para o volume de uma região em termos de uma integral sobre sua superfície. Cheque seu resultado para uma esfera e para um paralelepípedo.
Parte I
Eletrostática
Capítulo 1
A Lei de Coulomb e o Campo
Elétrico
1.1 Carga elétrica
Dá-se o nome de carga elétrica a uma propriedade da matéria introduzida para entendermos qualitativa e quantitativamente um tipo de interação obser-vada na natureza que, por razões históricas foi denominada interação elétrica ou eletrostática. Desse modo, assim como a noção de massa gravitacional permite o estudo da interação ou força gravitacional, a carga nos permite descrever as forças elétricas entres corpos materiais. Entretanto, ao contrário da força gravitacional, que é sempre atrativa, observou-se que a força elétrica pode ser de atração ou repulsão. Assim, torna-se necessário admitir que existem duas espécies distintas de carga elétrica, que convencionamos chamar de carga elétrica positiva e carga elétrica negativa. Cargas elétricas de mesma espécie se repelem, ao passo que as de espécies distintas se atraem.
+ +
+ −
− −
Fig. 1.1 Cargas elétricas
A carga elétrica é uma propriedade fundamental das partículas elementares que constituem a matéria. De fato, a matéria é um aglomerado de átomos ou moléculas, e átomos são constituídos por prótons, nêutrons e elétrons; duas dessa partículas apresentam carga elétrica (o próton possui carga elétrica positiva, enquanto a carga do elétron é negativa). Entretanto, em escala macroscópica, os efeitos da carga elétrica tendem a ser mascarados pelo fato que, na média, há iguais quantidades de carga de ambas as espécies num corpo macroscópico. Dizemos que o corpo, nestas condições, encontra-se eletricamente neutro. Se, por outro lado, há um excesso de prótons ou um excesso de elétrons, ele se encontrará num estado que denominamos (eletricamente) carregado.
28 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
1.2 Fatos experimentais importantes acerca da carga
elé-trica
Conservação da carga A carga elétrica total de um sistema isolado é constante
(a carga não pode ser criada nem destruída). Nunca foi observado qualquer fenômeno que contrariasse esse fato. Mesmo em fenômenos "radicais"como o da criação de um par elétron-pósitron, ou sua reação inversa, a aniquilação mútua entre elétron e pósitron, originando radiação eletromagnética,
e−+ e−γ,
ondeγ representa um fóton de raios gama, a carga elétrica, ao contrário da massa,
é conservada, pois pósitron tem carga oposta à do elétron, enquanto um fóton, radiação eletromagnética, não possui carga elétrica.
A carga é quantizada A carga elétrica só é encontrada na natureza em múltiplos
inteiros de uma carga fundamental (o quantum de carga). A menor carga livre encontrada na natureza é, em valor absoluto, a do próton:
e = 1,602 · 10−19C (1.1)
Um elétron possui carga exatamente oposta à esta, de modo que, para um corpo macroscópico qualquer, teremos
q = ±ne, n ∈ N. (1.2)
Charles Augustin de Coulomb (1736-1806, Francês) Em sua homenagem, deu-se seu nome à unidade de carga elétrica, o coulomb. Engenheiro de for-mação, Coulomb foi principalmente físico. Publicou 7 tratados sobre eletri-cidade e magnetismo, e outros sobre torção, atrito entre sólidos, etc.[3] Ex-perimentador genial e rigoroso, realizou uma experiência histórica com uma ba-lança de torção para determinar a força exercida entre duas cargas elétricas (lei de Coulomb). Durante os últimos qua-tro anos da sua vida, foi inspetor geral do ensino público e teve um papel im-portante no sistema educativo da época. (Wikipedia)
1.3 Natureza dos materiais
Do ponto de vista elétrico podemos classificar os materiais basicamente como
condutores, isolantes (ou dielétricos) e semicondutores.
Isolantes são aqueles onde a carga elétrica não possui liberdade de
movi-mento, ou seja, oferecem alta resistência ao fluxo de carga elétrica. Exemplos são os não metais, plásticos, madeiras, vidros, porcelanas, nylons, etc. Nesses materiais a estrutura atômica/molecular é tal que todos os elétrons encontram-se fortemente ligados aos seus respectivos átomos ou moléculas.
Já nos Condutores as cargas podem se mover com relativa liberdade. Exem-plos são os metais, o corpo humano ou de animais, a terra, soluções salinas. Nos sólidos a condução se dá porque existem alguns elétrons onde a ligação com os átomos é muito fraca (última camada da distribuição eletrônica), de modo que eles se tornam praticamente livres.
Os semicondutores, por outro lado, possuem propriedades intermediárias, não sendo tão condutivos quanto os metais, mas consideravelmente mais que os dielétricos. O mecanismo de condução dos materiais dessa classe é bem distinto do dos condutores e não será abordado nesse curso.
Um outro tópico que não será endereçado nesse curso é o da supercondutivi-dade, propriedade apresentada por alguns materiais a baixíssimas temperaturas, quando a resistência à condução se torna praticamente nula.
1.4 Formas de eletrização 29
1.4 Formas de eletrização
Sendo constituídos por átomos, os corpos são naturalmente neutros do ponto de vista elétrico. Entretanto, eles podem adquirir carga elétrica através de alguns processos que discriminaremos a seguir, cujo efeito final é dotar o corpo de uma carga líquida negativa (o corpo adquire elétrons) ou positiva (o corpo perde elétrons):
1.4.1 Eletrização por atrito
Funciona bem para corpos isolantes. Se esfregarmos um material com outro, há uma tendência dos elétrons se transferirem de um corpo para outro. Por exemplo, esfregando um corpo de vidro com um pano de seda fará com que o vidro ceda elétrons para o pano, fazendo com que o vidro apresente uma carga líquida positiva e a seda negativa.
1.4.2 Eletrização por contato ou condução
Apropriada para carregar metais ou outros condutores. Se um corpo previamente carregado toca um outro originalmente neutro, uma parte de sua carga se trans-ferirá para o último, deixando-o carregado com carga de mesma natureza que a sua.
1.4.3 Eletrização por indução
Também apropriada para condutores. Utilizamos também um corpo previamente carregado, mas desta vez sem tocar o corpo que desejamos carregar. Aproximando o objeto carregado do condutor e aterrando esse último1, elétrons fluirão de ou para a terra (corpo carregado positivamente atrairá elétrons para o condutor, negativamente expulsará alguns dos elétrons para a terra). Se, antes de afastarmos o objeto carregado, cortarmos a ligação do condutor com a terra, ele terá se carregado com uma carga oposta à do objeto auxiliar.
Fig. 1.2 Eletrização por indução
1.4.4 Eletrização por irradiação
Submeter um corpo a radiação eletromagnética pode ter como consequência a ejeção de elétrons de sua estrutura atômica. Um exemplo bem conhecido é o efeito fotoelétrico, no qual até mesmo a luz visível pode causar a liberação de elétrons ao incidir sobre uma superfície de, por exemplo, alumínio. Radiação eletromagnética de frequência mais elevada (mais energética), pode até expelir elétrons de camadas mais internas da estrutura atômica do material.
1Significa conectar, através de um fio condutor, o corpo a um grande reservatório de carga, com
capacidade para ceder e/ou receber elétrons (geralmente a própria Terra, daí a denominação.)
30 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
1.5 Lei de Coulomb
Lei experimental obtida por Charles Augustin de Coulomb em 1785, que descreve quantitativamente a interação eletrostática, isto é, a força entre duas cargas elétricas em repouso relativo. Essencialmente, ela estabelece que esta força atua sobre a reta que contem as duas partículas, é diretamente proporcional ao produto das carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. Matematicamente, O r1 r2 r2− r1= R12 ˆ R12 q1 q2 F21
Fig. 1.3 Lei de Coulomb
F21= k
q1q2
R122 Rˆ12= k
q1q2
R123 R12, (1.3)
é a força que q1exerce sobre q2, onde R12= r2− r1é o vetor com origem na carga
q1e extremidade na carga q2. A constante k é frequentemente escrita em termos
da permissividade do vácuo,²0: k = 1 4π²0= 8,987 4 · 10 9 N.m2/C2, ²0= 10−9 36π F/m = 8,85 · 10 −12F/m (1.4)
Essa expressão vetorial já fornece o sentido correto do vetor força quando as cargas são consideradas com o sinal algébrico adequado.
Exemplo 1.1 Duas cargas elétricas idênticas de 2,5µC e massas iguais a
200 g cada uma, são suspensas de um mesmo ponto no teto através de um fio leve e inextensível de comprimento 1,0 m. Qual o ângulo que cada um dos fios formará com a vertical na posição de equilíbrio?
Solução: q1 q2 F21 F12 T2 mg α
Fig. 1.4 Cargas suspensas
Adotando o sistema de eixos tal como na figura, podemos escrever as forças que atuam sobre a carga q2como
F21= 1 4π²0 q1q2[`senα ˆx − `senα(− ˆx)] (2`senα)3 = q1q2 16π²0`2sen2α ˆx, P = −mg ˆz, T = T (−cosα ˆx + senα ˆz)
A condição de equilíbrio é que F12+ P + T = 0, implicando em
µ q 1q2 16π²0`2sen2α− T cos α ¶ ˆx + (T senα − mg ) ˆz = 0 =⇒ T sen α = mg , T cosα = q1q2 16π²0`2sen2α.
Dividindo uma pela outra, encontramos tanα = 1 cotα= q1q2csc2α 16π²0`2mg = 6,25 · 10−12× 9 · 109 4 × (1,0)2× 0,200 × 9,81csc 2α = 7,17·10−3(1+cot2α),
1.6 Campo elétrico 31
ou seja,
cot3α + cotα − 139,52 = 0.
Resolvendo esta equaçãoencontramos cotα = 5,12229, donde
α = 10,8°
1.6 Campo elétrico
A experiência mostra que as cargas elétricas não interagem diretamente sobre as outras; Quando o estado de uma determinada carga elétrica se altera (sua posição, por exemplo), essa informação não é imediatamente pela sua vizinhança, mas se propaga através do espaço com uma velocidade finita. Para melhor descrever essa interação, faz-se necessário admitir a existência de um agente intermediário que carrega essas informações a respeito do estado de um sistema de cargas. Esse agente denominado campo elétrico.
Para definirmos o campo elétrico num ponto do espaço, adotamos o seguinte procedimento: colocamos neste ponto uma carga teste q e determinamos a força elétrica F que atua sobre ela. O campo elétrico é a razão F/q no limite de q tendendo a zero:
E = lim q→0
F
q. (1.5) Definição de Campo Elétrico
O limite é necessário para garantir que a influência da carga teste sobre a distri-buição original de cargas cujo campo queremos definir seja a menor possível. É claro que, devido à quantização da carga elétrica, o processo de limite descrito na equação acima nunca pode ser realizado estritamente em conformidade com a definição matemática de limite (processo contínuo de varição da carga), nem tampouco pode a carga chegar a valores menores que o quantum de carga.
1.7 Princípio da superposição
Fin qn Fi1 q1 Fij qj Fi3 q3 Fi2 q2 FiFig. 1.5 Princípio da superposição
Para um sistema de muitas partículas, a força total sobre a i -ésima carga é obtida pelo princípio da superposição, somando-se todas as forças devido a cada uma das outras partículas como se as demais não existissem:
Fi= 1 4π²0 N X j 6=i Fi j= qi 4π²0 N X j 6=i qj R2j iRj iˆ = qi 4π²0 N X j 6=i qj(ri− rj) |ri− rj|3 (1.6) O campo elétrico na posição ocupada pela carga de teste será, portanto:
E(ri) = 1 4π²0 N X j 6=i Fi j qi = 1 4π²0 N X j 6=i qj R2j i ˆ Rj i= 1 4π²0 N X j 6=i qj(ri− rj) |ri− rj|3
A força elétrica é linear
32 Capítulo 1 A Lei de Coulomb e o Campo Elétrico
1.8 Linhas de força
Fig. 1.6 Linhas de força
Desde o princípio dos estudos sobre eletricidade foi introduzida a ideia de linhas de força para representar visualmente o abstrato conceito de campo elétrico numa certa região do espaço. São linhas orientadas no sentido do campo elétrico em cada ponto do espaço, traçadas de modo a serem sempre tangentes ao campo em cada ponto. As figuras a seguir ilustram alguns casos simples envolvendo cargas pontuais. Note que as linhas de força são apenas uma forma intuitiva de visualizar o campo; por exemplo, se por um lado existe em geral campo em todos os pontos do espaço, nunca conseguiremos fazer passar uma linha de força por todos os pontos. Na verdade, só conseguimos traçar um número finito arbitrário de linhas, interpretando a concentração dessas linhas ao redor de certo ponto como um indicativo da magnitude do campo naquele ponto.
1.9 Distribuições contínuas de cargas
No mundo real encontramos a propriedade carga elétrica presente nas partículas elementares, tais como o elétron e o próton. Átomos e moléculas são, em seu estado natural, eletricamente neutros. Corpos macroscópicos apresentam algum excesso de carga quando, por algum processo, ocorre uma transferência de carga de um corpo para outro (usualmente na forma de elétrons). Geralmente o número de cargas elementares em excesso é muito grande e, associado ao fato que as dimensões moleculares são muito pequenas, constitui em geral uma aproximação excelente ignorar a natureza discreta da carga elétrica quando analisamos uma situação envolvendo corpos macroscópicos. Trabalhamos então com o conceito de distribuição contínua de cargas, isto é, com a hipótese que a carga elétrica se distribui continuamente sobres volumes ou superfícies. Definimos então as densidades de cargas: O r dv0 r0 P r −r 0 dE
Fig. 1.7 Distribuição volumétrica
Densidade volumétrica de cargas ρ(r0) = lim ∆v0→0 ∆q ∆v0 = d q d v0 (1.7)
Densidade superficial de cargas σ(r0) = lim ∆s0→0 ∆q ∆s0 = d q d s0 (1.8)
Densidade linear de cargas
λ(r0) = lim ∆`0→0 ∆q ∆`0 = d q d`0 (1.9)
Para cada um desses tipos de distribuição de carga, podemos determinar a carga total do objeto carregado como
Qv0= Z v0ρ(r 0) d v0 Q S0= Z S0σ(r 0) d S0 Q `0= Z `0λ(r 0) d r0. (1.10)
