ACED exercicios2014

(1)

AN´

ALISE COMPLEXA E EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS

Aulas te´orico-pr´aticas (Parte 1)

Faculdade de Ciˆ

encias da Universidade de Lisboa, 2014

1 N´

umeros complexos e fun¸c˜

oes elementares

Exerc´ıcio 1.1 _{Determinar o conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que} (a) x + iy = |x + iy|

(b) 2|x + iy| ≤ |x + iy − 1|

Exerc´ıcio 1.2 _{Sejam z, w n´}_{umeros complexos tais que z ¯}_{w 6= 1. Verificar que, se |w| = 1 ou |z| = 1} tem-se |w−z

1− ¯wz| = 1.

Exerc´ıcio 1.3 _{Calcular as raizes quadradas de i, 1 − i, 2 + 2i.}

Exerc´ıcio 1.4 _{Verificar que as raizes c´}_{ubicas de i s˜ao} √3+i

2 , − √

3+i

2 e −i.

Exerc´ıcio 1.5 _{Verificar que as raizes quartas de i s˜ao e}iπ/8_{, e}i5π/8_{, e}i9π/8_{e e}i13π/8

Exerc´ıcio 1.6 _{Verificar que, se z ´e raiz c´}_{ubica de −1, ent˜ao z}2_{+ ¯}_{z = 0.}

Exerc´ıcio 1.7 _{Quantas solu¸c˜oes tem a equa¸c˜ao z}9_{+ 1 = 0 no segundo quadrante?} Exerc´ıcio 1.8 _{Determinar o conjunto {z ∈ C | z}−1_{= 4¯}_z}.

Exerc´ıcio 1.9 _{Alguma das fun¸cões e}z_{, z}2_{+ z é injectiva?} Exerc´ıcio 1.10 _{Alguma das fun¸cões e}z_{, z}3_{é sobrejectiva?} Exerc´ıcio 1.11 _{Alguma das fun¸cões z}3_{+ 1,} 1

|z|+1 ´e bijectiva?

Exerc´ıcio 1.12 _{Dado θ ∈] − π, π[, determinar arg(1 + e}iθ_).

Exerc´ıcio 1.13 _{Verificar que a express˜ao}

arg(z) = 2 arctan Imz Rez + |z|

define um argumento cont´ınuo no plano privado do semieixo real negativo, C \ {x ∈ R| x ≤ 0}. Este argumento toma valores em ] − π, π[.

Exerc´ıcio 1.14 _{Quais s˜ao os n´}_{umeros complexos z tais que} 2z−1

(2)

Exerc´ıcio 1.15 _{Seja w = cos}2π

n + i sin 2π

n onde n ∈ N. Dado um inteiro m, calcular 1 + w m₊

w2m_{+ · · · + w}(n−1)m

.

Exerc´ıcio 1.16 _{Calcular arg}z−1

z+1, sendo |z| = 1, z 6= ±1.

Exerc´ıcio 1.17 _{Sejam a 6= b dois números complexos. Qual é o valor m´ınimo da fun¸cão real, definida} em C, z 7→ |z − a|2_{+ |z − b|}2_{? (Pode ser ´}_{util a ”igualdade do paralelogramo”.)}

Exerc´ıcio 1.18 _{A recta vertical x = 1 é rodada de π/4 em torno da origem no sentido positivo.} Escrever a equa¸cão da sua transformada nas coordenadas z,¯z. Em seguida determinar a imagem desta nova recta pela aplica¸cão z 7→ 1

z.

Exerc´ıcio 1.19 _{Três pontos do plano complexo a, b, c formam um triângulo equilátero se, e só se,} a2_{+ b}2_{+ c}2_{= ab + bc + ca.}

Exerc´ıcio 1.20 _{Verificar as identidades}

cos2z + sin2z = 1

cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w

Re(iz) = −Imz; Im(iz) = Rez Exerc´ıcio 1.21 _{Determinar todas as solu¸c˜oes de: sin z = 0; cos z = 3.} Exerc´ıcio 1.22 ´_{E verdade que}

log(zw) = log(z) + log(w), ∀z, w ∈ C?

Exerc´ıcio 1.23 _{Sejam z ∈ C \ 0 e a ∈ R. Verificar que, qualquer que seja a defini¸c˜ao da potˆencia} que utilizarmos, |za_{| = |z|}a_.

Exerc´ıcio 1.24 ´_{E verdade que a fun¸c˜ao sin z + cos z ´e limitada?} Exerc´ıcio 1.25 _{Se z}n _{= 1 (onde n ∈ N) e z 6= 1, tem-se:}

1 + z + z2+ · · · + zn−1= 0. Exerc´ıcio 1.26 _Verificar:

sin(2x) + sin(4x) + · · · + sin(2nx) = sin(nx) sin[(n + 1)x] sin x

e

cos(2x) + cos(4x) + · · · + cos(2nx) = sin(nx) cos[(n + 1)x]_{sin x} .

Exerc´ıcio 1.27 _{Determinar os n´}_{umeros complexos z tais que e}iz_{+ e}−iz _{= e}2iz_{+ e}−2iz_{. SUGEST˜}_AO: Observar que, se pusermos w = eiz_{+ e}−iz_{, a equa¸c˜ao proposta equivale a w}2_{− w − 2 = 0.}

Exerc´ıcio 1.28 _{Verificar que, dado um n´}_{umero complexo a + ib, o produto matricial} a −b b a x y

(3)

2 Fun¸c˜

oes de vari´

avel complexa: continuidade,

diferencia-bilidade (fun¸c˜

oes holomorfas)

Exerc´ıcio 2.1 _{Onde ´e cont´ınua a fun¸c˜ao (z + 1) log z?}

Exerc´ıcio 2.2 _{Para que valores de a e b ´e u(x, y) a parte real de uma fun¸c˜ao holomorfa em C nos} casos seguintes? u(x, y) = ax2_{+ 2xy + by}2_{, u(x, y) = a}3_x3_{− 3axy}2_{, u(x, y) = ax}2_{+ 5xy − by}4_.

Exerc´ıcio 2.3 _{Em que conjunto s˜ao holomorfas as fun¸c˜oes seguintes? Calcular as respectivas} deriva-das. z +1_z, _(z3_−1)(z1 2₊₁₎.

Exerc´ıcio 2.4 _{Em que conjunto é diferenciável a fun¸cão f (x + iy) = x}2_{y + ixy}2_? Exerc´ıcio 2.5 _{A fun¸cão |z| não é diferenciável em nenhum ponto.}

Exerc´ıcio 2.6 _{Determinar a fun¸c˜ao holomorfa f em C tal que Ref (x + iy) = xy ∀(x, y) ∈ R}2 _e f (0) = i.

Exerc´ıcio 2.7 _{Verificar que a fun¸c˜ao real de duas vari´aveis reais u(x, y) = xe}x_{cos y − ye}x_{sin y}

satisfaz ∂2

u ∂x2+∂

2

u

∂y2 = 0 e determinar uma fun¸c˜ao v(x, y) tal que f = u + iv seja holomorfa em C. Dar

a express˜ao de f em termos da vari´avel z = x + iy.

Exerc´ıcio 2.8 _{Uma fun¸cão holomorfa num aberto conexo e que só toma valores reais é constante.} Exerc´ıcio 2.9 _{Uma fun¸cão holomorfa em C, f = u + iv, tal que} ∂u

∂x+ ∂v

∂y = 0 em todos os pontos,

´e necessariamente da forma icz + k, com c ∈ R e k ∈ C.

Exerc´ıcio 2.10 _{Se as fun¸cões reais de duas variáveis reais u(x, y) e v(x, y) são parte real e imaginária,} respectivamente, de uma fun¸cão f holomorfa em C, verificar que u(x, y)v(x, y) é também parte real de alguma fun¸cão holomorfa em C.

Exerc´ıcio 2.11 _{Se f ´e holomorfa no aberto A ⊂ C, verificar que a fun¸c˜ao g definida por} g(z) = f (z)

´e holomorfa em A′_{= {w ∈ C : w ∈ A}, e tem-se g}′_{(z) = f}′_{(z) ∀z ∈ A}′_.

Exerc´ıcio 2.12 _{A fun¸cão f (z) = z}5_/|z|4 _{para z 6= 0 e f(0) = 0 é cont´ınua mas não existe o} lim_z→0f (z)/z. Sendo u(x, y) = Ref (x + iy) e v(x, y) = Imf (x + iy), u e v satisfazem as condi¸cões de Cauchy-Riemann na origem. NOTA: (x + iy)5_{= x}5_{− 10x}3_y2_{+ 5xy}4_{+ i(5x}4_{y − 10x}2_y3_{+ y}5_).

Exerc´ıcio 2.13 _{Calcular lim}_z→0ez−1

z . Existe limz→0 sin |z|

z ?

Exerc´ıcio 2.14 _{Verificar que a fun¸cão z}2_{−1 tem uma raiz quadrada cont´ınua (na verdade holomorfa)} definida no exterior do disco unitário. SUGESTÃO: a fun¸cão z−1

z+1 tem uma raiz quadrada cont´ınua (na

verdade holomorfa) definida no exterior do disco unit´ario.

Exerc´ıcio 2.15 _{Verificar que a fun¸c˜ao z}2_{+ i tem uma raiz quadrada cont´ınua (na verdade holomorfa)} definida no exterior do disco unit´ario.

Exerc´ıcio 2.16 _{Verificar que a fun¸c˜ao (z}3₊₁₎2_{tem uma raiz c´}_{ubica cont´ınua (na verdade holomorfa)}

(4)

3 Integrais de caminho

Exerc´ıcio 3.1 _{Calcular (a)}R

γy dz, sendo γ a uni˜ao dos segmentos que unem 0 a i e depois a i + 2;

(b) R

γsin 2z dz, sendo γ o segmento que une i + 1 a −i; (c)

R

γzez

2

dz, sendo γ a semicircunferˆencia unit´aria superior percorrida no sentido positivo usual.

Exerc´ıcio 3.2 _{Sendo γ}_R _{a circunferˆencia de raio R > 1 e centro 0, obter uma estimativa de} IR= |

Z

γR

z z3_{+ 1}dz|

e determinar o limite de IR quando R → ∞.

Exerc´ıcio 3.3 _{Sendo γ a circunferˆencia unit´aria, obter a estimativa}

| Z

γ

sin z

z2 dz| ≤ 2πe.

Exerc´ıcio 3.4 _CalcularR

γ 1

zdz, sendo γ (a) a circunferˆencia unit´aria; (b) uma curva fechada qualquer

contida no conjunto C \ Oy+_.

Exerc´ıcio 3.5 _{Sendo γ a circunferˆencia unit´aria, obter uma estimativa de}

| Z γ 1 z +1 2 dz|. Qual ´e o valor do integral?

Exerc´ıcio 3.6 _Calcular R

γ¯z

2_{dz sendo γ: (i) o segmento que une a origem a (1, 1); (ii) a linha}

poligonal que liga a origem a (0, 1) e depois a (1, 1). Que sugere o resultado sobre a primitivabilidade de ¯z2_?

Exerc´ıcio 3.7 _{Seja f uma fun¸c˜ao inteira, istro ´e, holomorfa em C. Calcular} Z 2π

0

f (z0+ reiθ)eikθdθ

sendo k um n´umero natural.

Exerc´ıcio 3.8 _{Mostrar que, se f : C → C ´e cont´ınua e limitada, tem-se}

lim r→+∞ Z γr f (z) z2 dz = 0, _r→0lim Z γr f (z) z dz = 2πif (0).

Exerc´ıcio 3.9 _{Seja f uma fun¸cão real cont´ınua tal que |f| ≤ 1 na circunferência unitária γ. Mostrar} que

| Z

γf (z) dz| ≤ 4.

SUGESTÃO: há um número u de módulo 1 tal que |R

γf (z) dz| = u

R

(5)

γ|z|

2_{dz, representando γ a fronteira do quadrado de v´ertices (1, 0), (0, 1),}

(−1, 0), (0, −1), percorrida uma vez no sentido positivo. Exerc´ıcio 3.11 _{Calcular (a)} R

γ 1 zdz, sendo γ(t) = 3 + eit, t ∈ [0, 2π]; (b) R γe 1 zdz, onde γ ´e a

circunferˆencia de raio 3 com centro 5i + 1. Exerc´ıcio 3.12 _{Calcular (a)} R

γ ez

z2dz sendo γ a circunferˆencia unit´aria; (b)

R

γ z2

−1

z2₊₁dz sendo γ a

circunferˆencia de raio 2 centrada em 0. Exerc´ıcio 3.13 _{Mostrar que}Rπ

0 e

cos t_{cos(sin t) dt = π, a partir de}R

γ ez

z dz, onde γ ´e a circunferˆencia

unit´aria.

Exerc´ıcio 3.14 _{Seja f holomorfa em A e γ uma curva fechada seccionalmente C}1 _{em A. Mostrar} que para todo o z06∈ γ

Z γ f′_(z) z − z0 dz = Z γ f (z) (z − z0)2 dz Exerc´ıcio 3.15 _{Sendo γ a circunferˆencia |z| = 2 calcular (a)}R

γ 1 z2₋₁dz (b) R γ 1 z2_+z+1dz (c) R γ 1 z2_+2z−3dz (d) R γ 1 z2 −8dz.

Exerc´ıcio 3.16 _{Que valores pode tomar} R

γ 1

z2₊₁dz, sendo γ um caminho seccionalmente C

1 _com

origem 0 e extremidade 1, n˜ao passando pelos pontos ±i?

Exerc´ıcio 3.17 _{A primeira figura (ver ficheiro Exerc´ıcios 3.17-18) representa um caminho fechado} C1_{no plano complexo, passando pelos pontos indicados. Calcular} 1

2πi

R

γ 1

zdz sendo γ: (i) a totalidade

do percurso indicado, iniciado e terminado no ponto 3, percorrido uma vez; (ii) a parte do percurso indicado com origem 3 e extremidade 2i; (ii) a parte do percurso indicado com origem√2 e extremidade 3.

Exerc´ıcio 3.18 _{A segunda figura (ver ficheiro Exerc´ıcios 3.17-18) representa um caminho fechado C}1 no plano complexo, γ, e trˆes pontos do plano. Calcular _2πi1 R

γ 1

(6)

4 Sucess˜

oes e s´

eries

Exerc´ıcio 4.1 _{São convergentes ou não as séries seguintes?} P∞

n=1e 3ni n2 ; P∞ n=1 cos(in) en .

Exerc´ıcio 4.2 _{Se a s´erie num´erica}P∞

n=1ané absolutamente convergente, também P∞n=1a2n o é.

Exerc´ıcio 4.3 _{Seja z um n´}_{umero complexo de m´}_{odulo 1. Determinar todos os n´}_{umeros que s˜ao} limites de subsucess˜oes de zn_.

Exerc´ıcio 4.4 _{A sucess˜ao de fun¸c˜oes (1 + x)}1/n_{converge no intervalo [0, +∞)? Converge} uniforme-mente?

Exerc´ıcio 4.5 _{Que há a dizer sobre convergência ou convergência absoluta das séries} P∞

n=1 in log n? P∞ n=1i n n?

Exerc´ıcio 4.6 _{A s´erie de fun¸c˜oes}P∞

n=1 z

n

1+z2n converge tanto no interior como no exterior da

circun-ferˆencia unit´aria.

Exerc´ıcio 4.7 _{A s´erie}P∞

n=1 1

nz converge uniformemente em cada disco fechado contido no semiplano

{z| Re z > 1}.

Exerc´ıcio 4.8 _{Que se pode dizer sobre convergˆencia ou convergˆencia uniforme nos seguintes casos?}

P∞

n=1(−1)nz+n1 em que z é um complexo dado, que não é inteiro negativo;

P∞

n=1n1(2z−i2+iz)n, com

6= 2i;P∞

n=1_(z−n)1 2 em que z não é um número natural.

Exerc´ıcio 4.9 _{A s´erie}P∞

n=1e−inz converge uniformemente em {z| Imz < −3}. A s´erie

P∞

n=1nzn

converge uniformemente em {z| |z| < 1/3}.

Exerc´ıcio 4.10 _{Desenvolver em série de potências centrada em 0, indicando o raio de convergência:} (a) 1

1+z2; (b) 1

(1−z)2; (c) cos(z3).

Exerc´ıcio 4.11 _{Desenvolver em série de potências, indicando o raio de convergência: (a) centrada} em 3 para 1

z; (b) centrada em 2 para 1

(z−1)(z−3); centrada em 1 para z 3_.

Exerc´ıcio 4.12 _{Em que dom´ınio definem as seguintes s´eries fun¸c˜oes holomorfas? (a)}P∞

n=1(nz) n_{; (b)} P∞ n=1(nz)n; (c) P∞ n=1(z−i) n n5₊₂ .

Exerc´ıcio 4.13 _{Calcular alguns dos primeiros termos da s´erie de potˆencias de z que representa: (a)}

ez

1−z; (b) ezsin z; (c)

√ z2_{− 1.}

Exerc´ıcio 4.14 _{Qual ´e a fun¸c˜ao soma de}P∞

n=1(n!z1n)?

Exerc´ıcio 4.15 _{Obter as s´eries de potˆencias de z que representam} 1

(1+z)2 e

1 (1+z)3.

Exerc´ıcio 4.16 _{Seja f (z) =}P∞

n=1anznna bola |z| < R. Mostrar que, se z = reiαcom 0 < r < R,

tem-se f (z) =P∞

n=1anrneinα e an= _2πr1n

R2π

0 f (re

iθ_)e−inθ_dθ.

Exerc´ıcio 4.17 _{Verificar que} xn

n! = 1 2πi R γ exz

zn+1dz onde γ é a circunferência unitária percorrida uma

vez no sentido positivo, e calcularP∞

n=0(x

n

n!) 2_.

(7)

5 Problemas suplementares

Exerc´ıcio 5.1 _{Obter a s´erie de potˆencias de z − 1 que representa} 1

z2

(z−1) num aberto que contenha

2i (só surgem potências de expoente negativo). SUGESTÃO: Come¸car com 1

z, depois passar a 1 z2...

Exerc´ıcio 5.2 _{Seja C a circunferˆencia de centro 1 que passa em 2i, percorrida uma vez no sentido} positivo do plano. Calcular

Z

C

dz z2_{(z − 1)}3.

Exerc´ıcio 5.3 _{Seja S o segmento de recta de origem1 − i e extremidade ie. Calcular} Z

S

(log z + 1 z) dz.

Exerc´ıcio 5.4 _{Seja G o gr´afico de uma fun¸c˜ao positiva ϕ de classe C}1 _{definida em [a, b], e tal}

que ϕ(a) = ϕ(b) = 0, percorrido da direita para a esquerda, isto ´e, no sentido que habitualmente consideramos positivo no plano. Calcular e interpretar geometricamente:

Z

G

x dz.

Exerc´ıcio 5.5 _{Seja C}₊_{a semicircunferˆencia unit´aria de centro na origem percorrida no sentido} posi-tivo. Dar um sentido ao integral

Z

C+

√

z + 2 dz e calcul´a-lo.

Exerc´ıcio 5.6 _{Seja C}₁ _{a circunferˆencia de centro na origem e raio 1, percorrida uma vez no sentido} directo. Calcular o integral

Z

C1

dz z(2 + z2₎

e em seguida utiliz´a-lo para obterR2π

0

2+cos 2t 5+4 cos 2tdt.

Exerc´ıcio 5.7 _{Sejam f e g fun¸c˜oes holomorfas em A e γ um caminho em A com origem z}₁ _e extremidade z2. Mostrar que

Z γ f′(z)g(z) dz = f (z2)g(z2) − f(z1)g(z1) − Z γ f (z)g′(z) dz. CalcularR

γz cos z dz sendo γ a semicircunferˆencia unit´aria situada no semiplano Im z ≥ 0.

Exerc´ıcio 5.8 _Se P∞

n=1anzn tem raio de convergência R, qual é o raio de convergência das séries

P∞

n=1n3anzn,P∞n=1anz3n eP∞n=1a3nzn?

Exerc´ıcio 5.9 _SejaP∞

n=0Fnzn a representa¸c˜ao de 1

1−z−z2 num disco centrado em 0. Qual ´e o raio

do disco? Verificar que F0= F1= 0 e Fn = Fn−1+ Fn−2∀n ≥ 2. Por conseguinte, Fn ´e a sucess˜ao

de Fibonacci.

Exerc´ıcio 5.10 _{Seja f uma fun¸cão holomorfa em C tal que lim}_|z|→∞_{|f(z)| = +∞. Mostrar que f} é um polinómio.

(8)

Exerc´ıcio 5.11 _{Seja f uma fun¸cão holomorfa em D \ a, onde D é um disco aberto D centrado em} 0, e a ∈ D \ 0. Supomos que a é pólo de primeira ordem de f. SejaP∞

n=0cnzn a representa¸c˜ao de

f (z) no disco centrado em 0 com raio |a|. Mostrar que limn→∞cn+1cn = a.

Exerc´ıcio 5.12 _{Seja f uma fun¸c˜ao holomorfa em C, n˜ao constante, tal que |f(z)| = 1 para todo o} z tal que |z| = 1. Mostrar que f(z) = kzn _{para certo k com |k| = 1 e certo n ∈ N.}

(9)

6 S´

erie de Laurent, singularidades e res´ıduos

Exerc´ıcio 6.1 _{Determinar a s´erie de Laurent de} 1

z2

−4, v´alida numa vizinhan¸ca de 2 privada de 2. O

mesmo é pedir o desenvolvimento em série de potências de z − 2 e (z − 2)−1. Identificar o anel de convergência.

Exerc´ıcio 6.2 _{Determinar a s´erie de Laurent de} 1

z(z−4) (a) que converge para |z| > 4; (b) que

converge para 0 < |z| < 4.

Exerc´ıcio 6.3 _{Determinar a ordem da origem como polo de (a)} cos z

z2 ; (b)

ez

−1 z2 .

Exerc´ıcio 6.4 _{Determinar a s´erie de Laurent que representa as fun¸c˜oes seguintes numa bola centro} 0 privada de 0: (a) z sin1_z; (b) _z(z+1)1 . (c) _ez1

−1 (neste caso identificar apenas a parte com expoentes

negativos do desenvolvimento e os primeiros termos da parte com expoentes positivos. Come¸car por observar que a fun¸c˜ao tem um polo de ordem 1 na origem.)

Exerc´ıcio 6.5 _{Dar o desenvolvimento de Laurent de} 1

z(z−1)(z−2) que converge em: (a) 0 < |z| < 1.

(b) 1 < |z| < 2.

Exerc´ıcio 6.6 _{Dar o desenvolvimento de Laurent de} sin z

z2 em C \ 0.

Exerc´ıcio 6.7 _{Determinar lim}_z→0 _{para as fun¸c˜oes:} e2z−1

z ; e2z

−e−z

z ; log(1−z)z .

Exerc´ıcio 6.8 _{Seja f holomorfa num aberto contendo uma circunferˆencia γ e a sua parte interna.} Suponhamos que f tem um ´unico zero a de ordem 1 em γ ou na sua parte interna. Mostrar que

a = 1 2πi Z γ zf′(z) f (z) dz.

SUGESTÃO: Considerar f (z) = (z − a)g(z) e aplicar a fórmula integral de Cauchy. Exerc´ıcio 6.9 _{Que tipo de singularidade têm as seguintes fun¸cões na origem? (a)} 1

z− 1 sin z (b) 1 z−sin z (c) sin z_z2

Exerc´ıcio 6.10 _{De que tipo s˜ao as singularidades de} z

(ez

−1)2? Calcular o integral desta fun¸c˜ao na

circunferˆencia |z| = 2 percorrida uma vez no sentido positivo. Exerc´ıcio 6.11 _{Determinar os termos em} 1

z e 1

z2 da s´erie de Laurent de _z2_+sinz 3_z em torno de 0.

Exerc´ıcio 6.12 _CalcularR2π

0 1

3+2 cos tdt. SUGEST˜AO: Integrar 1

z2_+3z+1 na circunferˆencia unit´aria.

Exerc´ıcio 6.13 _{Seja f holomorfa num aberto A, a ∈ A, f}′_{(a) 6= 0. Mostrar que, se γ(t) = a + re}it_,

t ∈ [0, 2π], então, se r > 0 é suficientemente pequeno, 2πi f′_(a)= Z γ dz f (z) − f(a) . SUGESTÃO: estudar a fun¸cão _{f (z)−f(a)}z−a .

Exerc´ıcio 6.14 _{Calcular: (a)}R

γ dz

(z+1)3 onde γ ´e a circunferˆencia de centro 0 e raio 2; (b)

R

γ dz ez

−1

(10)

Exerc´ıcio 6.15 _{Seja f uma fun¸c˜ao holomorfa no disco |z| < R. Mostrar que, se |a| < r < R} f (a) = 1 2πi Z γ r2_{− a¯a} (z − a)(r2_{− z¯a)}f (z) dz

onde γ é a circunferência de centro 0 e raio r percorrida uma vez no sentido directo. Deduzir a fórmula de Poisson: se 0 < s < r f (seiθ) = 1 2π Z 2π o r2_{− s}2 r2_{− 2rs cos(θ − t) + s}2f (re it_{) dt}

Exerc´ıcio 6.16 _{Utilizar o m´etodo dos res´ıduos para calcular o integral impr´}_oprioR+∞

−∞ x2

−x+2 x4_+10x2₊₉dx.

(Integrar numa semicircunferˆencia com diˆametro no intervalo [−n, n] e tomar limite quando n → ∞...) Exerc´ıcio 6.17 _{Mostrar que, se b > 0,} R+∞

0

cos x x2_+b2 dx =

πe−b

2b . (Partir dos res´ıduos de eiz

z2_+b2 no

semiplano superior.)

Exerc´ıcio 6.18 _{Verificar que podemos definir uma fun¸c˜ao holomorfa f (z) =} √_z2_{− 1 (isto ´e: tal}

que f (z)2 _{= z}2_{− 1) cujo dom´ınio ´e C privado do intervalo real [−1, 1], convencionando f(2) =}√_3.

Determinar alguns (poucos) termos do desenvolvimento de Laurent no exterior do disco unit´ario de centro 0.

γ dz

(z8₊₁₎2 onde γ ´e a circunferˆencia de centro 0 e raio 2.

γ e 1 z2_dz (z2₊₁₎ e R γ e 1 z2_dz