Identificação de Sistemas Dinâmicos Não Lineares Utilizando Métodos de Colocação

Identificac¸ ˜ao de Sistemas Din ˆamicos

N ˜ao Lineares Utilizando M ´etodos de

Colocac¸ ˜ao

Monografia submetida `a Universidade Federal de Santa Catarina

como requisito para a aprovac¸ ˜ao da disciplina:

DAS 5511: Projeto de Fim de Curso

Ricardo Santos da Silva

Identificac¸ ˜ao de Sistemas Din ˆamicos N ˜ao Lineares

Utilizando M ´etodos de Colocac¸ ˜ao

Ricardo Santos da Silva

Esta monografia foi julgada no contexto da disciplina

DAS 5511: Projeto de Fim de Curso

e aprovada na sua forma final pelo

Curso de Engenharia de Controle e Automac¸ ˜ao Industrial

Banca Examinadora:

Marco Aur ´elio Schmitz de Aguiar

Orientador Empresa

Eduardo Camponogara

Orientador do Curso

Ricardo Jos ´e Rabelo

Respons ´avel pela disciplina

, Avaliador

, Debatedor

Resumo

Este estudo busca o desenvolvimento de t ´ecnicas de identificac¸ ˜ao de modelos para sistemas de produc¸ ˜ao de petr ´oleo utilizando o m ´etodo de colocac¸ ˜ao (collocation method ). Combinando este m ´etodo com t ´ecnicas de otimizac¸ ˜ao n ˜ao-linear resolve-se um problema de encontrar os par ˆametros e condic¸ ˜oes iniciais de um modelo din ˆamico n ˜ao linear que melhor descrevem a resposta de um sistema no tempo.

O collocation method ´e um caso particular do m ´etodo Impl´ıcito de Runge-Kutta (IRK), que consiste na soluc¸ ˜ao num ´erica de equac¸ ˜oes diferenciais e equac¸ ˜oes difer-enciais alg ´ebricas.

Em particular, inicialmente verifica-se se a estrat ´egia ´e realiz ´avel utilizando um simples circuito RLC e, ap ´os a validac¸ ˜ao, a t ´ecnica ´e utilizada para resolver a identificac¸ ˜ao de um poc¸o produtor de petr ´oleo e g ´as. Para identificac¸ ˜ao da resposta do sistema foi utilizado um modelo de baixa ordem, com apenas 3 estados, que pode ser utilizado numa malha de controle. Utilizando os dados de simulac¸ ˜ao deste modelo de baixa ordem, o problema de identificac¸ ˜ao ´e facilmente resolvido com boa precis ˜ao. Estes resultados iniciais impulsionaram a busca de dados reais ou de simuladores complexos de fluxo multif ´asico (e.g.; OLGA) para serem usados como refer ˆencias da estrat ´egia.

A implementac¸ ˜ao foi realizada com o emprego de ferramentas de modelagem como Modelica e solvers de otimizac¸ ˜ao disponibilizados atrav ´es do pacote Optimica.

Abstract

This study seeks to develop techniques for identifying models for oil production systems using the collocation method. Combining this method with nonlinear opti-mization techniques results in an effective strategy to find the parameters and initial conditions of a nonlinear dynamic model that best describe the time response of a system.

The collocation method is a particular case of the Implicit Runga-Kutta (IRK) me-thod, which is suitable for the numerical solution of differential equations and differential algebraic equations.

After testing and validating the collocation method with a simple application to the identification of the parameters of a RLC circuit, using a simple RLC circuit and after validation, the technique is used to solve the identification of an oil and gas producing well. To identify the system response it was used a low-order model, with only three states, which can be used in a control loop. Using the simulation data of this low-order model, the identification problem is easily solved with good accuracy. The initial results have motivated the search for real data or complex multiphase flow simulators (eg: OLGA) to be used as reference to the strategy.

The implementation was carried out with the use of modeling tools like Modelica and the optimization solvers available through the Optimica package.

Contents

1 Introduc¸ ˜ao 1

2 Collocation Method 3

2.1 Sistema Din ˆamicos . . . 3

2.2 Filtro de Kalman . . . 5

2.3 Collocation Method . . . 8

2.4 Polin ˆomio Deslocado de Gauss-Jacobi . . . 12

2.5 Ordem de Converg ˆencia . . . 14

2.6 Exemplo . . . 14

2.6.1 Radau Collocation . . . 14

2.6.2 Gauss Collocation . . . 16

3 Ferramentas de Implementac¸ ˜ao 20 3.1 Modelica . . . 20 3.2 Optimica . . . 20 3.3 JModelica.org . . . 22 3.3.1 CasADi . . . 23 3.3.2 Sundials . . . 23 3.3.3 IPOPT . . . 23

4 Estimac¸ ˜ao de Par ˆametros 25 4.1 Otimizac¸ ˜ao . . . 25

4.1.1 Func¸ ˜ao Objetivo . . . 27

4.2 Circuito RLC . . . 29

4.3 Poc¸o Produtor de Petr ´oleo . . . 36

4.3.1 Modelo do Poc¸o . . . 37

4.3.2 Estimac¸ ˜ao dos Par ˆametros de um Poc¸o Produtor de Petr ´oleo . . 39

4.4 Estimac¸ ˜ao do poc¸o com dados . . . 42

4.4.1 Annulus . . . 42

4.4.2 Tubing . . . 42

5 Conclus ˜ao 47

Bibliography 48

Appendix A : Modelos Din ˆamicos 50

A.1 Modelo do Poc¸o . . . 50

A.2 Annulus . . . 53

A.3 Tubing II . . . 55

Appendix B : Modelos de Simulac¸ ˜ao 59

B.1 Modelo RLC . . . 59

B.2 Modelo de Otimizac¸ ˜ao do RLC . . . 59

Chapter 1: Introduc¸ ˜ao

Estimac¸ ˜ao ´e o processo de inferir o valor de uma quantidade de interesse a partir de observac¸ ˜oes indiretas, imprecisas e incertas. O prop ´osito da observac¸ ˜ao pode ser, por exemplo: (a) a determinac¸ ˜ao da ´orbita de planetas (Laplace, Gauss, Legendre); (b) a determinac¸ ˜ao da posic¸ ˜ao e velocidade de uma aeronave em um sistema de controle de tr ´afego a ´ereo; (c) a determinac¸ ˜ao de par ˆametros de um modelo de sistema como forma de predizer o estado f´ısico do mesmo, entre outros.

Em um processo real, existem diversos fatores que podem alterar seu com-portamento. Tais fatores s ˜ao facilmente notados ao modelar o processo: ao alterar os par ˆametros verificamos uma mudanc¸a nas vari ´aveis de sa´ıda. Por exemplo, a re-sist ˆencia nos fios de transmiss ˜ao de energia influenciam a corrente de um circuito el ´etrico. Essas mudanc¸as, mesmo que sutis, podem influenciar na performance e estabilidade de t ´ecnicas de controle.

Este trabalho ´e a extens ˜ao de um trabalho anterior [15], onde foram desenvolvi-dos modelos n ˜ao lineares de uma plataforma de produc¸ ˜ao de petr ´oleo e g ´as. Com o conhecimento do modelo e possuindo medic¸ ˜oes do processo ´e poss´ıvel estimar os par ˆametros dos modelos, com a utilizac¸ ˜ao de uma ferramenta para amostragem e coleta de dados chamada collocation method [12], [9], e t ´ecnicas de otimizac¸ ˜ao. E-xistem outras t ´ecnicas como o filtro de Kalman, maximum likelihood, entre outras que permitem a estimac¸ ˜ao de par ˆametros. Entretanto, “verificou-se que as t ´ecnicas de otimizac¸ ˜ao s ˜ao mais robustas e vi ´aveis do que o filtro de Kalman”[2]. “Para sistemas n ˜ao-lineares, o filtro de Kalman ´e comumente aplicado na pr ´atica. Enquanto o filtro de Kalman ´e relativamente f ´acil de implementar, tem sido demonstrado que o filtro possui um desempenho insatisfat ´orio em sistemas altamente n ˜ao-lineares” [13].

As equac¸ ˜oes dos modelos foram codificadas usando uma linguagem de alto n´ıvel para modelagem de sistemas chamada Modelica, baseada em equac¸ ˜oes e ori-entada a objetos projetada para modelagem gr ´afica e textual de sistemas f´ısicos com-plexos. O ambiente computacional JModelica.org foi usado para compilar o modelo. Este ambiente tamb ´em faz a interface do modelo com ferramentas de simulac¸ ˜ao e de otimizac¸ ˜ao.

es-implementac¸ ˜ao dos problemas. O Cap´ıtulo 4 descreve os problemas de estimac¸ ˜ao e seus resultados. O Cap´ıtulo 5 apresenta as conclus ˜oes finais e possibilidades de trabalhos futuros.

Chapter 2: Collocation Method

Neste Cap´ıtulo ser ´a poss´ıvel ver uma explicac¸ ˜ao sobre sistemas din ˆamicos, os quais ter ˜ao seus par ˆametros estimados pelo collocation method (combinado de t ´ecnicas de otimizac¸ ˜ao). Desta forma, este collocation method ´e um caso particular do m ´etodo Impl´ıcito de Runge-Kutta (IRK), onde demonstra-se o equacionamento e deduc¸ ˜ao deste.

Al ´em dessa explicac¸ ˜ao, uma outra forma de estimac¸ ˜ao de par ˆametros tamb ´em ´e descrita neste Cap´ıtulo: os filtros de Kalman. Este, por ´em, ´e citado brevemente, por conta das desvantagens que apresenta perante o collocation method.

Ao final do Cap´ıtulo, portanto, apresenta-se um exemplo do collocation method, por ser um m ´etodo mais adequado neste trabalho, para melhor entendimento.

2.1: Sistema Din ˆamicos

Um sistema din ˆamico ´e um conceito matem ´atico, caracterizado por uma regra fixa que descreve a depend ˆencia do tempo de um ponto em um espac¸o geom ´etrico, portanto ´e um sistema que evolui no tempo. Normalmente, estes sistemas t ˆem en-tradas e sa´ıdas. A qualquer momento, um sistema din ˆamico tem um estado determi-nado por um vetor de n ´umeros reais que pode ser representado por um ponto em um espac¸o de estado apropriado. Pequenas variac¸ ˜oes no estado do sistema criam pe-quenas mudanc¸as nos valores do sistema. A regra de evoluc¸ ˜ao do sistema din ˆamico descreve o que os estados futuros seguem a partir do estado atual. A regra ´e deter-min´ıstica; em outras palavras, para um dado intervalo de tempo apenas um estado futuro decorre do estado atual. A regra normalmente ´e definida por um conjunto de equac¸ ˜oes diferenciais alg ´ebricas (DAE), no molde de

dx

dt = f (x(t), u(t), w(t), t) (2.1a)

g(x(t), u(t), w(t), t) = 0 (2.1b)

onde x(t) ´e o vetor de estados do sistema, u(t) ´e o vetor de sinais de controle, w(t)

´e o vetor com as vari ´aveis alg ´ebricas e f e g s ˜ao func¸ ˜oes que envolvem todos os componentes anteriores.

Uma vez que o sistema possa ser resolvido, dado um ponto inicial, ´e poss´ıvel determinar todas as suas posic¸ ˜oes futuras, uma colec¸ ˜ao de pontos conhecidos como trajet ´oria. Para sistemas din ˆamicos simples, conhecendo a trajet ´oria ´e muitas vezes suficiente para obter suas posic¸ ˜oes futuras, mas a maioria dos sistemas din ˆamicos s ˜ao muito complicados para serem entendidos em termos de trajet ´orias individuais. As dificuldades surgem porque:

• Os sistemas estudados somente s ˜ao conhecidos de maneira aproximada. Os par ˆametros do sistema podem n ˜ao ser conhecidos com precis ˜ao ou termos da equac¸ ˜ao podem estar faltando. As aproximac¸ ˜oes utilizadas podem invalidar a validade ou relev ˆancia de soluc¸ ˜oes num ´ericas. Para responder a estas per-guntas v ´arias noc¸ ˜oes de estabilidade foram introduzidas no estudo de sistemas din ˆamicos, como a estabilidade de Lyapunov ou estabilidade estrutural. A esta-bilidade do sistema din ˆamico implica que h ´a uma classe de modelos ou condi-c¸ ˜oes iniciais para os quais as trajet ´orias sejam equivalentes. A operacondi-c¸ ˜ao para a comparac¸ ˜ao de ´orbitas para estabelecer sua equival ˆencia muda com as diferen-tes noc¸ ˜oes de estabilidade.

• O tipo de trajet ´oria pode ser mais importante do que uma trajet ´oria particular. Algumas trajet ´orias podem ser peri ´odicas, enquanto outras podem vagar por di-ferentes estados do sistema. A classificac¸ ˜ao de todas as trajet ´orias poss´ıveis levou ao estudo qualitativo de sistemas din ˆamicos, isto ´e, propriedades que n ˜ao mudam com a alterac¸ ˜ao de coordenadas. Sistemas din ˆamicos lineares s ˜ao e-xemplos de sistemas din ˆamicos em que as classes de poss´ıveis ´orbitas s ˜ao compreendidas.

• O comportamento de trajet ´orias como uma func¸ ˜ao de um par ˆametro pode ser o que ´e necess ´ario para uma aplicac¸ ˜ao. Como o par ˆametro pode ser variado, os sistemas din ˆamicos podem ter pontos de bifurcac¸ ˜ao, onde o comportamento qualitativo do sistema din ˆamico muda. Uma bifurcac¸ ˜ao ocorre quando uma pe-quena mudanc¸a feita nos valores dos par ˆametros de um sistema provoca uma mudanc¸a repentina em seu comportamento. O ponto onde essa mudanc¸a oca-siona a bifurcac¸ ˜ao ´e chamado de ponto de bifurcac¸ ˜ao. Por exemplo, pode ir de ter apenas movimentos peri ´odicos ao comportamento aparentemente err ´atico, como na transic¸ ˜ao para escoamento turbulento de um fluido. Bifurcac¸ ˜oes ocor-rem em ambos os sistemas cont´ınuos e sistemas discretos.

2.2: Filtro de Kalman

O filtro de Kalman ´e um estimador denominado problema linear quadr ´atico, o qual consiste no problema de estimar o estado instant ˆaneo de um sistema din ˆamico linear perturbado por ru´ıdo branco, atrav ´es do uso de medic¸ ˜oes linearmente rela-cionadas com este estado, por ´em corrompidas pelo ru´ıdo branco.

Uma das primeiras aplicac¸ ˜oes do filtro de Kalman foi o controle de sistemas din ˆamicos complexos tais como: processos de manufatura, aeron ´autica e astron ´auti-ca, navios, etc. Desde o momento da sua introduc¸ ˜ao, o filtro de Kalman tem sido objeto de extensa pesquisa e aplicac¸ ˜ao, em especial na ´area de navegac¸ ˜ao aut ˆonoma ou assistida. Isto ´e provavelmente devido, em grande parte, aos avanc¸os da computac¸ ˜ao digital que tornaram pr ´atica a utilizac¸ ˜ao do filtro, mas tamb ´em `a relativa simplicidade e robustez do pr ´oprio filtro. Raramente as condic¸ ˜oes necess ´arias para otimizac¸ ˜ao realmente existem e, no entanto, o filtro funciona bem para muitas aplicac¸ ˜oes apesar desta situac¸ ˜ao [16].

Para controlar um sistema din ˆamico, precisa-se primeiro saber o que ele est ´a fazendo. Para estas aplicac¸ ˜oes, nem sempre ´e poss´ıvel ou desej ´avel medir toda vari ´avel que se deseja controlar, e o filtro de Kalman permite uma maneira de inferir a informac¸ ˜ao faltante atrav ´es de medic¸ ˜oes indiretas e ru´ıdos.

Sob o ponto de vista pr ´atico, algumas perspectivas do filtro de Kalman [7] podem ser consideradas:

• Trata-se apenas de uma ferramenta: Ele n ˜ao resolve nenhum problema por si mesmo. N ˜ao se trata de uma ferramenta f´ısica, de um ente ou ferramenta matem ´atica para tornar o trabalho mental mais eficiente.

• ´E um programa computacional: Ele foi chamado de idealmente preparado para um computador digital, em parte porque utiliza uma representac¸ ˜ao finita de um problema de estimac¸ ˜ao por um n ´umero fixo de vari ´aveis. Entretanto, admite-se que essas vari ´aveis sejam n ´umeros reais, com precis ˜ao infinita.

• Trata-se de uma caracterizac¸ ˜ao estat´ıstica de um problema de estimac¸ ˜ao: Ele ´e mais que um estimador, porque ele propaga o estado corrente de conheci-mento de um sistema din ˆamico, incluindo a influ ˆencia estat´ıstica de perturbac¸ ˜oes rand ˆomicas e os efeitos de todas as medic¸ ˜oes passadas.

O filtro age de forma a minimizar o erro m ´edio quadr ´atico, que ´e a diferenc¸a entre o estado predito e o atual. Dado um valor inicial, o filtro prediz o pr ´oximo es-tado e, baseado na leitura do eses-tado, atualiza a predic¸ ˜ao e minimiza o erro em cada atualizac¸ ˜ao.

A caracter´ıstica recursiva do filtro proporciona uma soluc¸ ˜ao computacionalmen-te aceit ´avel, uma vez que a computac¸ ˜ao ocorre `a medida que os dados v ˜ao sendo pro-cessados. O filtro apoia-se no fato de que o ru´ıdo ´e normalmente distribu´ıdo. Mesmo que essa hip ´otese n ˜ao se confirme, o filtro continua sendo um estimador ´otimo.

O filtro de Kalman ´e baseado em um modelo din ˆamico de sistema que repre-senta como seus par ˆametros, reprerepre-sentados por um vetor de estados, que variam `a medida que o filtro ´e processado [11]. O modelo ´e representado por:

x(k) = F (k, k − 1)x(k − 1) + n(k) (2.2)

onde x(k) representa o vetor de estados, F (k, k − 1) ´e uma matriz de transic¸ ˜ao de estados que mostra como o processo transita do estadok − 1para o estadok,n(k) ´e um ru´ıdo do sistema ek representa a iterac¸ ˜ao do processo ao longo do tempo.

Al ´em do modelo din ˆamico do sistema, o filtro tem como base a observac¸ ˜ao (medida) do sistema, retirado de sensores, que relaciona os sinais anal´ıticos com o vetor de estado e ´e descrita por:

y(k) = ˙h(k)x(k − 1) + e(k) (2.3)

onde y(k) representa o vetor de medic¸ ˜ao dos sinais anal´ıticos, h(k) ´e a func¸ ˜ao de medic¸ ˜ao que relaciona o vetor de estados com o sinal anal´ıtico e e(k) ´e o ru´ıdo de medic¸ ˜ao.

O filtro de Kalman funciona em duas etapas: predic¸ ˜ao e atualizac¸ ˜ao. Na fase de predic¸ ˜ao o estado atual ´e estimado com base na leitura realizada do estado anterior. Na fase de atualizac¸ ˜ao o estado predito ´e atualizado com base na leitura do estado em tempo real. Para ajustar a diferenc¸a entre o vetor de estado predito e do atualizado

´e utilizado o ganho de Kalman, descrito por

g(k) = P (k − 1)h(k)[ ˙h(k)P (k − 1)h(k) + r(k)]−1 (2.4)

onde P (k) ´e a matriz de covari ˆancia do sistema e r(k) ´e a vari ˆancia do ru´ıdo de

A situac¸ ˜ao ideal ´e quando o ganho de Kalman converge a zero `a medida que o vetor de estados vai se estabilizando. Entretanto, na pr ´atica, o ganho de Kalman converge a um intervalo pr ´oximo de zero e ´e determinado pelo ru´ıdo do sistema. A matriz de covari ˆancia do sistema pode ser obtida como

P (k) = [I − g(k − 1) ˙h(k)]P (k − 1)[I − g(k − 1) ˙h(k)] + g(k − 1)r(k) ˙g(k − 1) (2.5)

ondeI representa a matriz identidade.

Depois de encontrado o ganho de Kalman e atualizada a matriz de covari ˆancia atrav ´es das Equac¸ ˜oes(2.4)e(2.5), respectivamente, ´e feita a atualizac¸ ˜ao do vetor de estados por

x(k) = x(k − 1) + g(k)[y(k) − ˙h(k)x(k − 1)] (2.6)

Um ponto crucial no filtro de Kalman ´e a estimativa dos valores iniciais do ve-tor de estados e da matriz de covari ˆancia do sistema, uma vez que no comec¸o do processo n ˜ao existem valores anteriores ao inicial no sinal. A Figura 2.1 apresenta o processo das etapas do filtro.

Estimativa

Inicial

Predição

do vetor

de

estados

Atualiza-ção do

ve-tor de

estados

Nova predição

Figure 2.1: Filtro de Kalman

2.3: Collocation Method

O collocation method ´e um m ´etodo para a soluc¸ ˜ao num ´erica de equac¸ ˜oes di-ferenciais e equac¸ ˜oes didi-ferenciais alg ´ebricas (DAE, do ingl ˆes Differential Algebraic Equation). A ideia ´e a de escolher um espac¸o de dimens ˜ao finita de soluc¸ ˜oes candi-datas e um n ´umero de pontos no dom´ınio (chamados collocation points), e selecionar uma soluc¸ ˜ao que satisfac¸a a equac¸ ˜ao dada nos collocation points.

O collocation method ´e um caso particular do m ´etodo Impl´ıcito de Runge-Kutta (IRK) onde o per´ıodo de integrac¸ ˜ao num ´erica [0, T ] (ou [t0, tf]) ´e particionado em ne

intervalos. O elemento finito i est ´a definido no per´ıodo [ti−1, ti] e cada intervalo ´e

aproximado por um polin ˆomio de ordemnc, ondenc ´e o n ´umero de collocation points,

sendohi o comprimento do intervalo. A curva ´e composta porne elementos finitos. O

Figure 2.2: Elemento Finito i

Este polin ˆomio, ζi(t) ´e a aproximac¸ ˜ao do elemento finito ique est ´a definido no

per´ıodo[ti−1, ti], pode ser representado de v ´arias formas, ou seja, s ´eries de pot ˆencia,

polin ˆomio de Newton ou B-splines, no entanto, para desenvolver o m ´etodo de co-locac¸ ˜ao ´e prefer´ıvel polin ˆomios de interpolac¸ ˜ao de Lagrange. A raz ˜ao ´e que esta classe de polin ˆomios t ˆem propriedades, que ser ˜ao evidenciadas na pr ´oxima sec¸ ˜ao, de estabilidade, erro nulo para certos problemas e sua formulac¸ ˜ao ´e mais simples, pois os par ˆametros do polin ˆomio correspondem aos estados (i.e; os par ˆametros ζk da Eq.

(2.8)) t ˆem os mesmos limites que os estados, o que significa que uma restric¸ ˜ao de

estado pode ser aplicada diretamente sobre os coeficientes de aproximac¸ ˜ao. A Figura 2.3 demonstra um elemento finito e seus collocation points, apresentando tamb ´em o valor deζkpara cada collocation point.

O polin ˆomio base de Lagrange ´e dado por:

ℓk(t) = nc Y j=0,6=k (t − tj) (tk−tj) (2.7) t ´e a vari ´avel que seleciona um tempo espec´ıfico no intervalo, sendo 0 o in´ıcio do intervalo e 1 o fim,tk; k = 1, . . . , nc o conjunto de collocation points.

A interpolac¸ ˜ao polinomial de Lagrange tem a forma geral:

ζ(t) = nc

X

k=0

Figure 2.3: Collocation points em um elemento finito i

onde ℓk ´e o k- ´esimo termo da base do polin ˆomio de Lagrange, ζk ´e o coeficiente

associado aok- ´esimo termo e nc ´e o n ´umero de pontos de interpolac¸ ˜ao. Verificando a

Equac¸ ˜ao 2.7, note queℓk(tk) = 1, por ´emℓk(tj) = 0, o que garante que a aproximac¸ ˜ao

seja igual `a curva nos collocation points.

A normalizac¸ ˜ao do tempo permite utilizar os mesmos pontos de interpolac¸ ˜ao e polin ˆomios base em todos os elementos de todas as vari ´aveis, simplificando ainda mais o problema. A normalizac¸ ˜ao ´e realizada como segue

t(τ ) = ti−1+ hiτ (2.9)

ondeti ´e o instante final do elementoi, chamado de ponto do malha de elementoi, e hi ´e o comprimento do elementoi.

Derivando uma interpolac¸ ˜ao polinomial de Lagrange da Eq. (2.8) e utilizando a normalizac¸ ˜ao do tempo da Eq. (2.9)a partir de agora, encontra-se:

˙ζ(τ) = nc

X

k=0

e a derivada deℓk ´e obtida atrav ´es da regra do produto como: ˙ℓk(τ ) = nc X m=1,6=k 1 (τk−τm) nc Y j=0,6=k,m (τ − τj) (τk−τj) (2.11)

No elemento i o estado x(t) ´e aproximado por xi(τ ), assim a aproximac¸ ˜ao s ´o

ser ´a cont´ınua se

xi+1(0) = xi(1) (2.12)

Uma vez que ´e necess ´ario um ponto de interpolac¸ ˜ao, no in´ıcio de cada elemento paraxi, a fim de garantir a continuidade, define-se

τ0 := 0 (2.13)

sendoτ0 o primeiro collocation point da interpolac¸ ˜ao.

Para a aproximac¸ ˜ao de ˙x no elemento iusa-se a derivada de xi, com o tempo

normalizado, os polin ˆomios de colocac¸ ˜ao que representam as derivadas do estado s ˜ao dados pela regra da cadeia, para isso ´e necess ´ario diferenciar a Eq. (2.9). Como se segue: dt = hidτ (2.14a) ˙ xi(τ ) = dτ dt dxi dτ (τ ) = 1 hi nc X k=0 xi,kℓ˙k(τ ) (2.14b)

ondexi,k ´e o k- ´esimo collocation point do elemento finitoi.

Seja

ti,k := ti−1 + hiτk (2.15a)

ti,k : i ∈ [1 . . . ne], k ∈ [1 . . . nc] (2.15b)

Ent ˜ao os collocation points coincidem com os pontos de interpolac¸ ˜ao dos polin ˆomios de colocac¸ ˜ao, com a excepc¸ ˜ao deτ0 em cada elemento. Esses pontos de interpolac¸ ˜ao

s ˜ao escolhidos como collocation points, porque pode-se facilmente obter todos os valores dexnesses pontos.

Assim a aproximac¸ ˜ao dexfica

x(t) = nc

X

k=0

e sua derivada ´e dx(t) dτ = nc X k=0 dℓk(τ ) dτ xik (2.17a) hif (x(ti,k), ti,k) = nc X k=0 dℓk(τ ) dτ xik, k = 1, . . . , nc (2.17b)

No caso denc > 1, ´e preciso garantir a continuidade do sistema

x1,0 = x0 (2.18a) xi+1,0 = nc X k=0 ℓk(1)xik, ∀i ∈ [1, ne] (2.18b) xf = nc X k=0 ℓk(1)xnek (2.18c)

onde x1,0 representa o valor do primeiro estado, no in´ıcio do primeiro sub-intervalo,

xi+1,0 ´e o valor de estado, no in´ıcio do intervalo ie xf ´e o valor de estado, no final do

per´ıodo de simulac¸ ˜ao.

Generalizando o problema para a interpolac¸ ˜ao n ˜ao somente dos estados, cons-tr ´oi-se um vetorz, definido por

z(t) = (x(t), u(t), w(t)) (2.19)

onde x(t) s ˜ao os estados, u(t) o sinal de controle e w(t) vari ´aveis alg ´ebricas. No elementois ˜ao aproximados por um vetor de interpolac¸ ˜ao polinomial de Lagrange

zi(τ ) = (xi(τ ), ui(τ ), wi(τ )) (2.20)

Assim, as equac¸ ˜oes para o vetorz(t)s ˜ao an ´alogas `as dos estadosx(t).

2.4: Polin ˆ

omio Deslocado de Gauss-Jacobi

A escolha dos pontos de interpolac¸ ˜ao restantes ´e o que define o collocation method espec´ıfico. Essa escolha ´e baseada nas ra´ızes do polin ˆomio deslocado de Gauss-Jacobi de grauK = nc −α − β, que pode ser descrito por

P_K(α,β)(τ ) =

K X

j=0

onde,

γ0 = 1 (2.22a)

γj =

(K + 1 − j)(K + j + α + β)

j(j + β) , j ∈ [1, . . . , K] (2.22b)

onde α e β s ˜ao constantes a escolher, definidas no dom´ınio [0, 1]. O polin ˆomio ´e deslocado no sentido que normalmente est ´a definido com τ ∈ [−1, 1], enquanto aqui ele est ´a definido no dom´ınio [0, 1]. A combinac¸ ˜ao das constantes forma 3 m ´etodos diferentes.

α = 0 e β = 0 →Gauss collocation (2.23a)

α = 1 e β = 0 →Radau collocation (2.23b)

α = 1 e β = 1 →Lobatto collocation (2.23c)

O m ´etodo Lobatto, diferente do Radau e do Gauss, possui um collocation point no in´ıcio de cada elemento, ou seja, τ0 ´e obtido atrav ´es da Eq. (2.21) e n ˜ao pode ser

definido como feito na Eq(2.13). Por esta raz ˜ao, o m ´etodo descrito nesta sec¸ ˜ao n ˜ao pode ser usado para criar um m ´etodo Lobatto. ´E necess ´aria uma abordagem diferente para o Lobatto collocation.

Como exemplo a soluc¸ ˜ao da Eq. (2.21) ´e dada para nc de 1 a 4, na Tabela

2.1 para o Radau e na Tabela 2.2 para o Gauss. As soluc¸ ˜oes apresentadas est ˜ao arredondadas para melhor comparar a diferenc¸a entre os dois m ´etodos. Para nc

maiores pode-se utilizar de computadores para a resoluc¸ ˜ao da Eq. (2.21) Table 2.1: Radau Collocation Points (α = 1 e β = 0)

τ1 τ2 τ3 τ4

nc = 1 1,000 - -

-nc = 2 0,333 1,000 -

-nc = 3 0,155 0,644 1,000

-nc = 4 0,088 0,409 0,787 1,000

Table 2.2: Gauss Collocation Points (α = 0 e β = 0)

τ1 τ2 τ3 τ4

nc = 1 0,500 - -

-nc = 2 0,211 0,788 -

-nc = 3 0,112 0,500 0,887

2.5: Ordem de Converg ˆencia

Como mostrado em [3] e [10] o erro global uniforme do estado aproximado no elementoi, ´e

O(hmin(nc+1.2nc−α−β)

i ) (2.24)

O erro global uniforme das vari ´aveis alg ´ebricas aproximadas e vari ´aveis de con-trole no elementoi ´e

O(hnc

i ) (2.25)

Se nc > 1 o erro global uniforme ´e, portanto, o mesmo para Gauss, Radau e

Lobatto.

No final/comec¸o dos elementos, o erro global de todas as vari ´aveis ´e

O(h2nc−α−β

i ) (2.26)

Assim, a ordem de converg ˆencia da soluc¸ ˜ao ´e de at ´e duas vezes mais elevada no final/comec¸o dos elementos do que no resto do elemento (incluindo os pontos de colocac¸ ˜ao). Este fen ˆomeno ´e chamado super converg ˆencia.

2.6: Exemplo

Define-se o sistema:

dx

dt = x

2 _{−2x + 1, x(0) = −3 (2.27)}

com t ∈ [0, 1]. A soluc¸ ˜ao anal´ıtica desse sistema ´e dada pela equac¸ ˜ao x(t) = (4t −

3)/(4t+ 1). Entretanto ser ˜ao calculadas aproximac¸ ˜oes n ´umericas usando o collocation

method utilizando as ra´ızes do polin ˆomio(2.21)de Radau e Gauss comnc = 3.

2.6.1: Radau Collocation

Os collocation points s ˜ao tirados do polin ˆomio da Eq. (2.21), substituindo os valores deαeβ do Radau collocation na Eq. (2.22)e esta na Eq. (2.21), obt ´em-se

PKRadau(τ ) = 1 + 2 X j=1 (−1)2−j(3 − j)(3 + j) j2 τ j (2.28)

Com Radau os collocation points s ˜aoτ0 = 0,τ1 = 0.155051,τ2 = 0.644949, eτ3 = 1. A

Figura 2.4 demonstra os collocation points em relac¸ ˜ao com a resposta anal´ıtica

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 Tempo (s) z(t)

z(t) analítico Collocation points Radau

Usando a Eq. (2.17b)comN = 1elementos, e hi = 1/N obt ´em-se 3 X j=0 zij dℓj(τk) dτ = hi(z 2 ij −2zik+ 1), k = 1, . . . , 3, i = 1 (2.29)

Desenvolvendo a base de Lagrange descrita na Eq. (2.11), encontra-se:

dℓ0(τk) dτ = −30τ 2 k + 36τk−9 (2.30a) dℓ1(τk) dτ = 46.7423τ 2 k −51.2392τk−10.0488 (2.30b) dℓ2(τk) dτ = −23.7423τ 2 k + 20.5925τk−1.38214 (2.30c) dℓ3(τk) dτ = 10τ 2 k − 16 3 τk+ 1 3 (2.30d)

Substituindo a Eq. (2.30)na Eq. (2.29)encontra-se:

z0(−30τk2+ 36τk−9) + z1(46.7423τk2−51.2392τk+ 10.0488) z2(−23.7423τk2+ 20.5925τk−1.38214) + z3  10τ2 k − 16 3 τk+ 1 3  = (zk2−2zk+ 1), k = 1, . . . , 3 (2.31)

Resolvendo o sistema de equac¸ ˜oes tem-sez1 = −1.65701,z2 = 0.032053, z3 =

0.207272comz0 = −3.

Um gr ´afico na Figura 2.6 mostra a comparac¸ ˜ao do m ´etodo de Radau com o de Gauss, que ser ´a descrito na pr ´oxima subsec¸ ˜ao, e com a soluc¸ ˜ao anal´ıtica.

2.6.2: Gauss Collocation

Os collocation points s ˜ao tirados do polin ˆomio da Eq. (2.21), substituindo os valores deαeβ do Gauss collocation na Eq. (2.22)e esta na Eq. (2.21), obt ´em-se

PGauss K (τ ) = −1 + 3 X j=1 (−1)3−j(4 − j)(3 + j) j2 τ j _(2.32)

Com Gauss os collocation points s ˜ao τ0 = 0, τ1 = 0.112702, τ2 = 0.500000, e τ3 =

0.887298. A Figura 2.5 demonstra os collocation points em relac¸ ˜ao com a resposta

anal´ıtica

O equacionamento desenvolvido na Subsec¸ ˜ao 2.6.1 n ˜ao se altera, por excec¸ ˜ao do conjunto de equac¸ ˜oes em(2.31), pois os valores deτk s ˜ao dados pela Eq. (2.32).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 Tempo (s) z(t)

z(t) analítico Collocation points Gauss

Figure 2.5: Collocation points do m´etodo de Gauss

Resolvendo o sistema de equac¸ ˜oes, tem-se z1 = −1.742931, z2 = −0.2488663, z3 =

0.176679comz0 = −3.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Tempo (s) z(t) Gauss Collocation Radau Collocation Método Analítico Radau Collocation Points Gauss Collocation Points

F ig u re 2.6 : G r´a fi co d as re sp os ta s A T a b e la 2 .3 c o n te m o e rr o d e a p ro x im a c¸ ˜ao d e G a u s s e d e R a d a u e m c o m p a -18

rac¸ ˜ao com a soluc¸ ˜ao anal´ıtica. O erro foi calculado com a seguinte formula: Errogauss = Z 1 0 (z(t) − zg(t))2dt (2.33a) Erroradau = Z 1 0 (z(t) − zr(t))2dt (2.33b)

sendo zg(t) a aproximac¸ ˜ao da curva pelo Gauss collocation, zr(t) a aproximac¸ ˜ao da

curva pelo Radau collocation ez(t)a resposta anal´ıtica.

Table 2.3: Erro quadr´atico das curvas

Erro aproxima¸c˜ao de Gauss Erro aproxima¸c˜ao de Radau

Chapter 3: Ferramentas de Implementac¸˜ao

Esse cap´ıtulo apresenta as ferramentas utilizadas para modelar e resolver o problema de estimac¸ ˜ao de par ˆametros.

3.1: Modelica

Modelica ´e uma linguagem orientada a objetos desenvolvida para modelar o comportamento din ˆamico dos sistemas t ´ecnicos de uma forma simples. Os los s ˜ao descritos usando equac¸ ˜oes diferenciais, alg ´ebricas e discretas. Os mode-los tamb ´em podem ser compostos por outros modemode-los em uma estrutura hier ´arquica. Modelica consegue lidar com problemas grandes e complexos devido a sua capaci-dade de reutilizac¸ ˜ao de modelos.

Modelica ´e uma linguagem textual, no entanto, existem v ´arios ambientes que fornecem uma interface gr ´afica ao usu ´ario. Algumas implementac¸ ˜oes s ˜ao gratuitas e outras comerciais. Ambientes livres s ˜ao: OpenModelica (Link ¨oping University) e JModelica.org (Universidade de Lund). Ambientes comerciais s ˜ao: CATIA Systems (Dassault Systemes), Dymola (Dynasim), MapleSim (MAPLESOFT), MathModelica (Wolfram Research), e outros.

3.2: Optimica

Enquanto o uso prim ´ario de modelos Modelica ´e simulac¸ ˜ao, v ´arios outros usos est ˜ao surgindo. Como n ˜ao ´e vi ´avel recodificar os modelos para cada novo modelo de uso, futuras ferramentas Modelica e tamb ´em a pr ´opria linguagem Modelica, devem acomodar e promover novos usos de modelos Modelica.

Um exemplo de uso emergente de modelos Modelica ´e otimizac¸ ˜ao din ˆamica. Uma caracter´ıstica de problemas de otimizac¸ ˜ao din ˆamica realista ´e que o procedi-mento de formulac¸ ˜ao de tais problemas ´e altamente interativo. ´E comum que uma extensa afinac¸ ˜ao da func¸ ˜ao de custo e restric¸ ˜oes seja necess ´aria, a fim de obter uma soluc¸ ˜ao aceit ´avel. Esses elementos s ˜ao indispens ´aveis na formulac¸ ˜ao de problemas de otimizac¸ ˜ao din ˆamica e n ˜ao s ˜ao suportados pela linguagem Modelica.

A fim de formular um problema de otimizac¸ ˜ao din ˆamica, a ser resolvido por um algoritmo num ´erico, o usu ´ario tem de fornecer diferentes tipos de informac¸ ˜ao. ´E natural categorizar essas informac¸ ˜oes em tr ˆes n´ıveis, o que corresponde ao aumento dos n´ıveis de detalhe [1].

• N´ıvel I. No n´ıvel matem ´atico, uma formulac¸ ˜ao can ˆonica de um problema de oti-mizac¸ ˜ao din ˆamica ´e dado. Isto inclui vari ´aveis e par ˆametros para otimizar, func¸ ˜ao de custo para minimizar, restric¸ ˜oes e modelo Modelica constituindo a restric¸ ˜ao din ˆamica. O problema formulado ´e, em geral, infinito no aspecto de, que n ˜ao pode ser usado diretamente atrav ´es de um algoritmo num ´erico, sem informac¸ ˜ao adicional.

• N´ıvel II. No n´ıvel da transcric¸ ˜ao, um m ´etodo para traduzir o problema a partir de um problema de dimens ˜ao infinita para um problema de dimens ˜ao finita precisa ser fornecido. Isto pode incluir malhas de discretizac¸ ˜ao, bem como estimativas iniciais para os par ˆametros de otimizac¸ ˜ao e vari ´aveis. Deve ser notado que a informac¸ ˜ao necess ´aria para este n´ıvel depende do algoritmo num ´erico que ´e utilizado para resolver o problema.

• N´ıvel III. No n´ıvel do algoritmo, informac¸ ˜oes tais como toler ˆancias e os par ˆame-tros de controle do algoritmo podem ser fornecidas. Tais par ˆameˆame-tros s ˜ao muitas vezes cr´ıticos, de modo a obter um desempenho aceit ´avel em termos de conver-g ˆencia, confiabilidade num ´erica e velocidade.

Em Modelica, apenas as informac¸ ˜oes correspondentes ao N´ıvel I s ˜ao expressas na descric¸ ˜ao real do modelo. Para otimizac¸ ˜ao din ˆamica, a necessidade de entrada do usu ´ario no n´ıvel de algoritmo ´e mais enfatizada. Algoritmos autom ´aticos, por exemplo para a selec¸ ˜ao de malha, existem, mas podem n ˜ao serem adequados para todos os tipos de problemas. Por conseguinte, ´e desej ´avel incluir, na linguagem, meios para o usu ´ario especificar a maior parte dos aspectos do problema de modo a manter a flexibilidade, permitindo ao mesmo tempo o uso de algoritmos autom ´aticos quando poss´ıvel e adequado.

A extens ˜ao Optimica permite ao usu ´ario especificar elementos importantes de um problema de otimizac¸ ˜ao din ˆamica, tais como func¸ ˜oes de custo, restric¸ ˜oes e inter-valo de otimizac¸ ˜ao. O modelo din ˆamico, no qual o problema de otimizac¸ ˜ao din ˆamica ´e baseado, ´e expresso usando o padr ˜ao Modelica. Optimica tamb ´em suporta uma

transcric¸ ˜ao, baseado na colocac¸ ˜ao direta. Devido a estas propriedades, Optimica su-porta formulac¸ ˜ao de problemas de otimizac¸ ˜ao din ˆamica, utilizando construc¸ ˜oes de alto n´ıvel, tanto no n´ıvel matem ´atico quanto no n´ıvel da transcric¸ ˜ao num ´erica.

Optimica apresenta tr ˆes aspectos principais no padr ˜ao Modelica:

• Classe de otimizac¸ ˜ao, uma nova classe de objetos pode ser instanciada. Ela re-presenta o problema de otimizac¸ ˜ao. Necessariamente precisa de uma func¸ ˜ao ob-jetivo e vari ´aveis de otimizac¸ ˜ao. ´E importante notar que o horizonte de predic¸ ˜ao pode ser uma vari ´avel de otimizac¸ ˜ao.

• Uma sec¸ ˜ao de restric¸ ˜ao dentro de elementos de otimizac¸ ˜ao. Nesta sec¸ ˜ao, po-dem-se declarar igualdades e desigualdades que imp ˜oem restric¸ ˜oes `as vari ´aveis. • Vari ´aveis de acesso em tempo. Com o padr ˜ao Modelica n ˜ao podemos aces-sar as vari ´aveis em um momento espec´ıfico. Com Optimica ´e poss´ıvel fazer restric¸ ˜oes como: x(tf ) = 1 (vari ´avel x no tempo final tf deve ser igual a 1) ou

y(5) ≤ 3(vari ´avelyno tempo de 5 deve ser menor do que 3).

3.3: JModelica.org

JModelica.org ´e um pacote para simulac¸ ˜ao e otimizac¸ ˜ao de modelos Modelica. ´

E desenvolvido em colaborac¸ ˜ao entre a ind ´ustria e acad ˆemicos, com a finalidade de criar uma plataforma industrialmente vi ´avel usando o estado da arte dos algoritmos para analisar sistemas f´ısicos complexos. Python ´e usado como uma linguagem de programac¸ ˜ao para criar uma interface amig ´avel para todos os componentes do JMo-delica.org [12].

O ambiente JModelica consiste em um conjunto de m ´odulos de software, in-cluindo compiladores para Modelica e Optimica, um gerador de c ´odigo para lingua-gem C, uma biblioteca de tempo de execuc¸ ˜ao em C, um algoritmo de otimizac¸ ˜ao si-mult ˆanea, e uma biblioteca para integrac¸ ˜ao com a linguagem de programac¸ ˜ao Python. Tamb ´em, internamente, ele se conecta com outras tr ˆes ferramentas muito usadas: CasADi, Sundials, e IPOPT [15].

´

E t´ıpico que a soluc¸ ˜ao de problemas de otimizac¸ ˜ao din ˆamicos exigem m ´ultiplas iterac¸ ˜oes, em que a func¸ ˜ao de custo, as restric¸ ˜oes, o m ´etodo da transcric¸ ˜ao, e mesmo o modelo s ˜ao refinados de modo a obter melhores resultados. Os resultados, ent ˜ao,

normalmente precisam ser analisados e os par ˆametros de formulac¸ ˜ao de otimizac¸ ˜ao ajustados. O uso de linguagens de descric¸ ˜ao de alto n´ıvel libera o usu ´ario da tarefa custosa e propensa a erros de codificac¸ ˜ao das formulac¸ ˜oes de modelos e otimizac¸ ˜ao em linguagens menos adequadas. Com efeito, o foco do processo de concepc¸ ˜ao ´e transferido da codificac¸ ˜ao do problema para a formulac¸ ˜ao do problema, que se traduz em processos de projeto mais eficientes.

3.3.1: CasADi

CasADi ´e um sistema minimalista de ´algebra computacional que implementa di-ferenciac¸ ˜ao autom ´atica, por meio de uma abordagem h´ıbrida simb ´olica/num ´erica. Ele ´e projetado para ser uma ferramenta de baixo n´ıvel para a implementac¸ ˜ao r ´apida, mas altamente eficiente, de algoritmos de otimizac¸ ˜ao num ´erica.

Em otimizac¸ ˜ao ´e importante calcular eficientemente derivados de func¸ ˜ao. Para isso usa-se CasADi (Computer algebra system with Automatic Differentiation). Uma vez que uma representac¸ ˜ao simb ´olica que consiste em objetos CasADi de um prob-lema de NLP foi criada, CasADi fornece todas as informac¸ ˜oes das derivadas neces-s ´arianeces-s para a neces-soluc¸ ˜ao num ´erica do problema com muito pouco eneces-sforc¸o do uneces-su ´ario.

3.3.2: Sundials

Sundials ´e um pacote de solvers de ODE e DAE que foi desenvolvido para ser um integrador de tempo robusto e solver n ˜ao-linear. O solver mais utilizado ´e CVODE, um solver de ODE com a capacidade de resolver alguns tipos especiais de DAE que podem calcular automaticamente sensibilidades.

3.3.3: IPOPT

Ipopt (Interior Point OPTimizer) ´e um pacote de software para otimizac¸ ˜ao n ˜ao-linear em grande escalaEle ´e projetado para encontrar soluc¸ ˜oes (locais) de problemas de otimizac¸ ˜ao matem ´atica.

Ipopt usa um algoritmo de pontos interiores com um filtro do m ´etodo de line-search. Ele tamb ´em tem uma func¸ ˜ao autom ´atica de problema de escala, algumas heur´ısticas para acelerar a converg ˆencia, e algumas t ´ecnicas para aumentar a ro-bustez.

A Figura 3.1 mostra a esquematizac¸ ˜ao da estrutura dos softwares utilizados na resoluc¸ ˜ao de problemas de otimizac¸ ˜ao.

Chapter 4: Estimac¸ ˜ao de Par ˆametros

Neste Cap´ıtulo apresenta-se a definic¸ ˜ao de t ´ecnica de otimizac¸ ˜ao e se aplica o collocation method , descrito no Cap´ıtulo 2, juntamente com essa nova t ´ecnica em um circuito RLC para a validac¸ ˜ao da metodologia.

Assim que validada, muda-se o sistema: a metodologia ´e aplicada em um poc¸o produtor de petr ´oleo e g ´as. Neste caso, foi poss´ıvel obter resultados positivos em relac¸ ˜ao aos par ˆametros que ser ˜ao descritos neste Cap´ıtulo. Os resultados impulsio-naram a utilizac¸ ˜ao de dados de simuladores mais sofisticados para serem usados como refer ˆencia da metodologia, por ´em n ˜ao se obtiveram bons resultados, por isso foi necess ´aria a modificac¸ ˜ao do modelo, tornando-o levemente mais sofisticado.

Todos os c ´odigos utilizados para os modelos e para a resoluc¸ ˜ao dos problemas de estimac¸ ˜ao se encontram no ap ˆendice B.

4.1: Otimizac¸ ˜ao

No caso mais simples, um problema de otimizac¸ ˜ao consiste em maximizar ou minimizar uma func¸ ˜ao real, escolhendo sistematicamente valores de entrada a partir de um conjunto permitido e calculando o valor da func¸ ˜ao. A generalizac¸ ˜ao da teo-ria de otimizac¸ ˜ao e t ´ecnicas para outras formulac¸ ˜oes compreende uma grande ´area da matem ´atica aplicada. De modo mais geral, a otimizac¸ ˜ao busca encontrar “o me-lhor valor poss´ıvel” de alguma func¸ ˜ao objetivo dado um dom´ınio definido (ou um con-junto de restric¸ ˜oes), incluindo uma variedade de diferentes tipos de func¸ ˜oes objetivo e diferentes tipos de dom´ınios. Problemas de otimizac¸ ˜ao podem ser divididos em duas categorias, dependendo se as vari ´aveis s ˜ao cont´ınuas ou discretas. Um problema de otimizac¸ ˜ao com vari ´aveis discretas ´e conhecido como um problema de otimizac¸ ˜ao combinat ´oria.

min ψ(t,x(t), y(t), w(t), u(t)) (4.1a) s.t.: ˙x = f (t,x(t), w(t), u(t), θ) (4.1b) g(t, x(t),y(t), u(t)) = 0 (4.1c) xL _{≤x(t) ≤ x}U _(4.1d) yL _{≤y(t) ≤ y}U _(4.1e) wL ≤w(t) ≤ wU (4.1f) uL ≤u(t) ≤ uU (4.1g) θL _{≤θ(t) ≤ θ}U _(4.1h) t0 ≤t ≤ tf (4.1i) onde

• ψ ´e a func¸ ˜ao objetivo.

• x(t), y(t),w(t),u(t)eθs ˜ao os estados, sa´ıda, vari ´aveis alg ´ebricas e de controle e os par ˆametros da func¸ ˜ao, respectivamente.

• f eg s ˜ao func¸ ˜oes de estado e func¸ ˜oes alg ´ebricas, respectivamente.

• xL _exU _{s ˜ao os limites inferiores e superiores, respectivamente, dos estados.}

• yL_eyU _{s ˜ao os limites inferiores e superiores, respectivamente, da sa´ıda.}

• wL _ewU _{os limites inferiores e superiores, respectivamente, das vari ´aveis alg}

´e-bricas.

• uL_euU _{s ˜ao os limites inferiores e superiores, respectivamente, do controle.}

• θL _eθU _{s ˜ao os limites inferiores e superiores, respectivamente, dos par ˆametros.}

Essas vari ´aveis podem ser discretizadas utilizando o collocation method mos-trado nas sec¸ ˜oes anteriores. Os limites de vari ´aveis s ˜ao os mesmos da formulac¸ ˜ao de tempo cont´ınua, os quais s ˜ao aplicados diretamente sobre os collocation points. Esta facilidade de aplicac¸ ˜ao de restric¸ ˜oes ´e uma das raz ˜oes pelas quais o polin ˆomio de interpolac¸ ˜ao de Lagrange ´e escolhido. No entanto, essas restric¸ ˜oes s ´o podem ser asseguradas nos collocation points e n ˜ao no intervalo entre eles.

4.1.1: Func¸ ˜ao Objetivo

A formulac¸ ˜ao mais comum e flex´ıvel para a func¸ ˜ao objetivo integra o erro qua-dr ´atico ponderado entre os estados, as vari ´aveis alg ´ebricas, os controles e suas re-fer ˆencias. Esta formulac¸ ˜ao permite o controle de dire-ferentes vari ´aveis do sistema.

min ψ =

Z tf

t0

[(x − xref)TQx(x − xref) + (y − yref)TQy(y − yref)

+(w − wref)TQw(w − wref) + (u − uref)TQu(u − uref)]dt

(4.2)

ondeQx,Qy,Qw eQus ˜ao os fatores de peso dos estados, sa´ıdas, vari ´aveis alg ´ebricas

e controle, respectivamente.

No caso do problema de estimac¸ ˜ao de par ˆametros, as refer ˆencias s ˜ao obtidas pelos dados medidos do sistema. Os dados s ˜ao compostos das entradas e sa´ıdas do sistema. Para resolver o problema adicionam-se restric¸ ˜oes `as entradas e aos estados, entretanto o mesmo n ˜ao pode ser feito com as sa´ıdas. Essas restric¸ ˜oes de igualdade s ˜ao aplicadas apenas nos collocation points, assim forc¸ando as entradas a serem iguais aos dados de refer ˆencia. Nesse caso, os par ˆametros possuem um valor livre, para que o algoritmo possa encontrar o valor que minimize a func¸ ˜ao objetivo e cumpra com as restric¸ ˜oes. Adicionando as novas restric¸ ˜oes e discretizando com o collocation method as Eqs. (4.1), obt ´em-se:

min θ ψ = ne X i=0 nc X k=0 [(xik−xref(tik))TQx(xik−xref(tik))

+ (yik−yref(tik))TQy(yik−yref(tik)) + (wik−wref(tik))TQw(wik−wref(tik))

+ (uik−uref(tik))TQu(uik−uref(tik))] (4.3a) s.t.: nc X k=0 dℓk(τ ) dτ xik−hif (tik, xik, uik, θ) = 0, ∀ k ∈ [1, nc], i ∈ [1, ne] (4.3b) g(tik, xik, uik) = 0, ∀ k ∈ [1, . . . , nc], i ∈ [1, . . . , nc] (4.3c) xi+1,0= nc X k=0 ℓk(1)xik, ∀ i ∈ [1, . . . , ne] (4.3d) xf = nc X k=0 ℓk(1)xnek (4.3e) xL _≤x ik ≤xU (4.3f) yL≤yik≤yU (4.3g) wL≤wik ≤wU (4.3h) uL _≤u ik ≤uU (4.3i) uik = uref(tik) (4.3j) xik = xref(tik) (4.3k) x1,0 = x0 (4.3l)

em queτ encontrado depender ´a do tipo do collocation method, utilizando as Tabelas 2.1 e 2.2. A Figura 4.1 demonstra um exemplo, apontando onde se encontram os collocation points, elementos finitos e o per´ıodo da aproximac¸ ˜ao.

Figure 4.1: Colloaction points, elementos finitos e per´ıodo de aproxima¸c˜ao

4.2: Circuito RLC

Um circuito RLC ´e um circuito el ´etrico constitu´ıdo por uma resist ˆencia, um in-dutor e um capacitor, ligado em s ´erie ou em paralelo. O circuito forma um oscilador harm ˆonico para a corrente que ressoa de forma semelhante a um circuito LC. A princi-pal diferenc¸a da presenc¸a da resist ˆencia ´e que ela faz com que qualquer oscilac¸ ˜ao in-duzida no circuito ir ´a extinguir-se ao longo do tempo se n ˜ao for mantida por uma fonte. Este efeito da resist ˆencia ´e chamado de amortecimento. A presenc¸a da resist ˆencia tamb ´em reduz ligeiramente a frequ ˆencia ressonante de pico. Alguma resist ˆencia ´e inevit ´avel em circuitos reais, mesmo se uma resist ˆencia n ˜ao est ´a especificamente in-clu´ıda como um componente.

H ´a muitas aplicac¸ ˜oes para este circuito. Eles s ˜ao utilizados em diversos tipos diferentes de circuitos osciladores. Outra aplicac¸ ˜ao importante ´e para tuning, como em receptores de r ´adio ou aparelhos de televis ˜ao, onde s ˜ao usados para selecionar uma estreita faixa de frequ ˆencias de ondas de r ´adio do ambiente. Um circuito RLC pode ser usado como um filtro passa-banda, filtro rejeita-faixa, filtro passa-baixa ou filtro passa-alta. A Figura 4.2 apresenta um modelo do circuito RLC em s ´erie.

Figure 4.2: Circuito RLC.

de Kirchhoff.

VR+ VL+ VC = V (t) (4.4a)

Ri + Ldi

dt + VC = V (t) (4.4b)

Pela equac¸ ˜ao do capacitor temos:

dVc

dt =

i

C (4.5)

Com isso podemos montar um sistema de equac¸ ˜oes de estado

x1 = Vc(t) (4.6a)

x2 = i(t) (4.6b)

sis-tema abaixo ˙ x1 = x2 C (4.7a) ˙ x2 = V (t) L − x1 L − Rx2 L (4.7b)

4.2.1: Estimac¸ ˜ao dos Par ˆametros do Circuito RLC

Utilizando o modelo descrito anteriormente, prop ˜oe-se um problema de estima-c¸ ˜ao dos par ˆametros do circuito, R, L e C utilizando o collocation method e t ´ecnicas de otimizac¸ ˜ao. Para isso primeiramente s ˜ao necess ´arios dados que s ˜ao obtidos a partir de simulac¸ ˜oes. O circuito usado na simulac¸ ˜ao tem os par ˆametros: R = 200Ω,

L = 0, 01H,C = 1e−3_{F e uma entrada V (t) = 5V.}

Uma vez com os dados e o conhecimento do modelo, simula-se o modelo com uma estimativa inicial dos par ˆametros. Essa simulac¸ ˜ao fornecer ´a a trajet ´oria de otimizac¸ ˜ao usada na estimac¸ ˜ao. Ap ´os isso, utiliza-se o collocation method nos dados amostrados de V (t), V c(t) e I(t), reconstruindo as curvas para ent ˜ao poder estimar os valores deR,LeC.

Abaixo encontra-se a Tabela 4.1 com as diferentes situac¸ ˜oes de simulac¸ ˜ao, com uma estimativa inicial deR = 400Ω,L = 0, 02H eC = 2e−3_F.

Table 4.1: Parˆametros Estimados

El fin CP T R L C Erro R Erro L Erro C

(s) (Ω) (H) (F ) (%) (%) (%) 200,00 0,01 0,001 1000 1 54,59 199,90 0,00944 0,0009756 0,047 5,590 2,432 1000 10 465,67 200,36 0,00966 0,0009981 0,183 3,345 0,182 100 1 1,18 199,88 0,01543 0,0007711 0,055 54,360 22,881 100 10 7,55 201,70 0,01938 0,0009916 0,850 93,895 0,832

Pode-se perceber que existe uma troca entre o n ´umero de elementos finitos (El fin) e o n ´umero de collocation points(CP), uma vez que mais elementos finitos aumenta o tempo de processamento, mas tamb ´em aumenta a precis ˜ao da estimac¸ ˜ao. O mesmo ocorre com o n ´umero de collocation points. Entretanto, uma escolha ruim na raz ˜ao entre esses par ˆametros pode ocasionar um aumento desnecess ´ario de tempo de processamento e uma pior estimac¸ ˜ao.

Para melhor estudar esse m ´etodo de estimac¸ ˜ao de par ˆametros, altera-se a en-trada, at ´e ent ˜ao constante para uma s ´erie de degraus, conforme ilustra a Figura 4.3.

0 2 4 6 8 10 Te mp o [ s] 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 _{V] sao [ Ten} V Figure 4.3: Entrada V (t).

os mesmos valores de par ˆametros e estimativas iniciais encontram-se os resultados mostrados na Tabela 4.2.

Table 4.2: Parˆametros Estimados

El fin CP T R L C Erro R Erro L Erro C

(s) (Ω) (H) (F ) (%) (%) (%)

200,00 0,01 0,001

100 1 1,04 196,62 0,0004016 0,00089185 1,69 95,984 10,815

200 1 1,78 198,26 0,0005798 0,00094373 0,87 94,202 5,627

1000 1 28,85 199,50 0,0067239 0,00098881 0,25 32,761 1,119

Apesar de haver um grande erro na estimac¸ ˜ao deL, comparando as respostas do sistema com os dois conjuntos de par ˆametros nas Figuras 4.4, 4.5, 4.6 e 4.7, observa-se que elas s ˜ao equivalentes. Na Tabela 4.3 apresenta-se o erro de aproxima-c¸ ˜ao do resultado encontrado pelo collocation method em comparaaproxima-c¸ ˜ao com o sistema simulado. O erro foi calculado com a seguinte formula:

ErroI = Z tf 0 (I(t) − Ip(t))2dt (4.8a) ErroVc = Z tf 0 (Vc(t) − Vcp(t))2dt (4.8b) ErroVr = Z tf 0 (Vr(t) − Vrp(t))2dt (4.8c)

sendotf o tempo final de simulac¸ ˜ao,I(t),Vc(t)eVr(t)a corrente, tens ˜ao no capacitor

e tens ˜ao no resistor do sistema simulado eIp_{(t), V}p

c (t)e Vrp(t)a corrente, tens ˜ao no

capacitor e tens ˜ao no resistor do sistema com os par ˆametros estimados.

Table 4.3: Erro quadr´atico RLC

Erro de I Erro de Vc Erro de Vr

0 2 4 _{Tempo [s]} 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 Te nsa o [V] V do sistema simulado V do collocation method V com os parametros estimados

Figure 4.4: Compara¸c˜ao entre as 3 entradas V (t).

0 2 4 _{Tempo [s]} 6 8 10 −0.015 −0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Co rre nte [A] I do sistema simulado I do collocation method I com os parâmetros estimados

0 2 4 _{Tempo [s]} 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 Te nsa o [V] Vc do sistema simulado Vc do collocation method Vc com os parametros estimados

Figure 4.6: Compara¸c˜ao entre as 3 tens˜oes V c(t).

0 2 4 _{Tempo [s]} 6 8 10 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Te nsa o [ V] Vr do sistema simulado Vr do collocation method Vr com os parametros estimados

4.3: Poc¸o Produtor de Petr ´

oleo

Os primeiros poc¸os de petr ´oleo nos tempos modernos foram perfurados percus-sivamente, martelando uma ferramenta a cabo na terra. Pouco depois, ferramentas de cabo foram substitu´ıdas por perfurac¸ ˜ao rotativa, o que poderia perfurar poc¸os a uma profundidade muito maior e em menos tempo. At ´e os anos 1970, a maioria dos poc¸os de petr ´oleo era vertical, embora imperfeic¸ ˜oes causassem o desvio, ao menos leve-mente de uma exata verticalidade da maior parte dos poc¸os (o que levou aos poc¸os direcionais). Entretanto as tecnologias de perfurac¸ ˜ao direcional modernas permitem poc¸os fortemente desviados, os quais podem, dada suficiente profundidade e com as ferramentas apropriadas, tornarem-se horizontais. Isto ´e de grande valor, na medida em que rochas reservat ´orio que cont ´em hidrocarbonetos s ˜ao normalmente horizon-tais, ou sub-horizontais; um poc¸o horizontal colocado em uma zona de produc¸ ˜ao tem mais ´area de superf´ıcie na zona de produc¸ ˜ao que um poc¸o vertical, resultando em uma maior taxa de produc¸ ˜ao. O uso de perfurac¸ ˜ao desviada e horizontal tamb ´em tornou poss´ıvel chegar a reservat ´orios a v ´arios quil ˆometros de dist ˆancia do local de perfurac¸ ˜ao (perfurac¸ ˜ao de alcance estendido), permitindo a produc¸ ˜ao de hidrocar-bonetos localizados abaixo dos locais que s ˜ao ou dif´ıceis de colocar-se uma sonda de perfurac¸ ˜ao, ou ambientalmente sens´ıveis, ou povoados.

O gas-lift cont´ınuo, m ´etodo de elevac¸ ˜ao do petr ´oleo e g ´as, baseia-se na injec¸ ˜ao cont´ınua de g ´as a alta press ˜ao na coluna de produc¸ ˜ao, com o objetivo de gaseificar o fluido desde o ponto de injec¸ ˜ao at ´e a superf´ıcie. O g ´as aqui em quest ˜ao ´e o g ´as natural, fruto da produc¸ ˜ao do pr ´oprio poc¸o, que ´e comprimido em compressores na plataforma e enviado ao annulus do poc¸o atrav ´es de uma linha de servic¸o. Na su-perf´ıcie, o controle da injec¸ ˜ao de g ´as no poc¸o ´e feito atrav ´es de um regulador de fluxo, ou choke. J ´a no poc¸o h ´a uma v ´alvula de gas lift que promove a comunicac¸ ˜ao entre o annulus e a coluna de produc¸ ˜ao (tubing) e segue pela linha de produc¸ ˜ao at ´e chegar `a plataforma. A v ´alvula de gas lift tem a func¸ ˜ao de controlar o fluxo de g ´as e estabelecer contato entre o annulus e o tubing.

Os modelos da rede de extrac¸ ˜ao de petr ´oleo considerados neste trabalho foram modelados em [15]. Esta sec¸ ˜ao ´e dedicada ao modelo do poc¸o produtor, onde ´e aplicado o m ´etodo proposto para a estimac¸ ˜ao de par ˆametros.

4.3.1: Modelo do Poc¸o

O poc¸o ´e o principal atuador de um reservat ´orio de petr ´oleo, sendo composto por v ´arias pec¸as distintas: choke de gas-lift, a v ´alvula de injec¸ ˜ao, anulus, tubo de revestimento, e choke de produc¸ ˜ao.

A operac¸ ˜ao de um poc¸o pode ser descrita pelas seguintes etapas:

1. O g ´as injetado passa atrav ´es do choke de gas-lift e aumenta a press ˜ao do anulus.

2. Como a press ˜ao no anulus excede a press ˜ao na tubulac¸ ˜ao (tubing), o g ´as comec¸a a fluir atrav ´es da v ´alvula de injec¸ ˜ao (injection valve).

3.O g ´as injetado se mistura com o fluido que emana a partir do reservat ´orio e reduz a densidade geral.

4. Com uma densidade inferior, a contrapress ˜ao induzida pelo fluido ´e reduzida facilitando o fluir para a superf´ıcie.

O modelo de Binder [4] ´e uma extens ˜ao do modelo de Eikrem, um modelo que tem sido desenvolvido e usado nos ´ultimos 10 anos [15]. O esquema do poc¸o pode ser observado na Figura 4.8. Uma vers ˜ao anterior do modelo foi comparado com o simu-lador OLGA, mesmo com a simplicidade os resultados t ˆem fidelidade consider ´avel. O modelo tem apenas 3 ODEs e algumas equac¸ ˜oes alg ´ebricas e ainda pode representar a maioria das caracter´ısticas e restric¸ ˜oes do poc¸o. Por estas raz ˜oes ´e o modelo usado.

As principais premissas do modelo s ˜ao:

• A produc¸ ˜ao de ´oleo ´e descrita pela equac¸ ˜ao de Vogel [8].

• A produc¸ ˜ao de g ´as e produc¸ ˜ao de ´agua ´e dada pela relac¸ ˜ao l´ıquido- ´agua (water-cut ) e raz ˜ao g ´as- ´oleo (GOR).

• A distribuic¸ ˜ao das massas dos tr ˆes fluidos ocorre sem demora de transporte. • A fricc¸ ˜ao entre os fluidos e a parede do anulo/tubo n ˜ao ´e considerada.

• As press ˜oes s ˜ao obtidas pelas leis de g ´as ideal e efeito gravitacional de l´ıquidos. O modelo descreve o sistema din ˆamico usando 3 estados e 3 entradas —

Figure 4.8: Esquema de um Po¸co. ˙ m =     ˙ mga = win−wgi ˙ mgt = wgr+ wgi−wgp ˙ mlt = wlr−wlp     wout = fc(m, pds, upc)

Massa de g ´as no Annulus Massa de g ´as na Tubulac¸ ˜ao Massa de l´ıquido na Tubulac¸ ˜ao choke flow

(4.9)

No anulus, a entrada de gas-lift win aumenta a massa de g ´as mga do anulus,

enquanto o fluxo atrav ´es da v ´alvula de injec¸ ˜aowgireduz. O g ´as proveniente do

reser-vat ´oriowgr adiciona-se ao g ´as proveniente do anulus wgi e ´e reduzida a partir do g ´as

que flui atrav ´es do choke de produc¸ ˜aowgp descrevendo a din ˆamica da massa de g ´as

no tubo. A massa de l´ıquido na tubulac¸ ˜ao ´e a integral no tempo do l´ıquido que flui do reservat ´oriowlr descontado pelo fluxo l´ıquido de sa´ıda atrav ´es do choke de produc¸ ˜ao wlp. O vetor de fluxo de g ´as, ´oleo e ´aguawout ´e func¸ ˜ao dos estadosm = (mga, mgt, mlt),

da abertura do estrangulamento de produc¸ ˜aoupce da press ˜ao a jusante de

A principal diferenc¸a entre os modelos de Binder e Eikrem ´e que, no modelo de Binder, o reservat ´orio n ˜ao s ´o produz petr ´oleo e g ´as, mas ´agua tamb ´em. Portanto, algumas alterac¸ ˜oes foram feitas nas equac¸ ˜oes de densidade e press ˜ao.

Ambos os modelos consideraram a abertura do choke de produc¸ ˜ao upc como

uma vari ´avel control ´avel, no entanto, para reduzir a complexidade do problema se assume que ela est ´a sempre totalmente aberta, uma vez que qualquer outra posic¸ ˜ao do choke iria reduzir a produc¸ ˜ao de petr ´oleo.

Uma modificac¸ ˜ao adicional para o modelo de Binder foi necess ´aria para atender a caracter´ıstica de n ˜ao-retorno no choke de gas-lift. Deve haver fluxo no choke apenas se a press ˜ao no annulus ´e inferior `a press ˜ao antes do choke. Devido a esta limitac¸ ˜ao, a injec¸ ˜ao de gas-lift deve estar dentro dos limites:

pgm ≫pta (4.10a)

0 ≤ wgl ≤wglmax= fgv(pgm−pta) (4.10b)

sendo wmax

gl o fluxo quando o choke de gas-lift est ´a totalmente aberto. Esse valor

pode ser encontrado utilizando a func¸ ˜ao do choke, que ´e dependente da diferenc¸a de press ˜ao entre o tubo de distribuic¸ ˜ao de gas-lift (pgm) e a parte superior do anulus (pta).

4.3.2: Estimac¸ ˜ao dos Par ˆametros de um Poc¸o Produtor de Petr ´oleo

Utilizando a mesma metodologia da sec¸ ˜ao anterior, apresenta-se o problema de estimac¸ ˜ao dos par ˆametros de um poc¸o de petr ´oleo. Os par ˆametros a serem estimados s ˜ao os coeficientes das v ´alvulas de injec¸ ˜ao, Civ, e de produc¸ ˜ao, Cpc, e as condic¸ ˜oes

iniciais da massa de g ´as no anular do poc¸o e na tubulac¸ ˜ao do poc¸o e massa de l´ıquido na tubulac¸ ˜ao do poc¸o, respectivamente,mga0,mgt0 emlt0.

Abaixo encontra-se a Tabela 4.4 com as diferentes situac¸ ˜oes de simulac¸ ˜ao, com uma estimativa inicial de Civ = 0, 00017, Cpc = 0, 0019, mga0 = 3700, mgt0 = 1450 e

mlt0= 3400

Mesmo com200elementos finitos, que apresenta a maior porcentagem de erro, o sistema ainda se comporta como o sistema simulado, como pode ser observado nas Figuras 4.9 e 4.10. A Figura 4.11 mostra a localizac¸ ˜ao das medic¸ ˜oes dos dados coletados.

Table 4.4: Parˆametros Estimados

Elem fin T (s) Civ Cpc mga0 mgt0 mlt0

0,00016 0,0014 3629,07 1389,20 3352,26 200 7,18 0,0001599 0,0014006 3633,32 1388,19 3275,61 500 48,34 0,0001599 0,0014002 3630,80 1389,24 3320,57 1000 99,57 0,0001599 0,0014001 3629,92 1389,26 3336,51 0 200 400 600 800 1000 Tempo [s] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 Pre ssa o [P a] 1e7 p_p do sistema simulado p_ta do sistema simulado p_p com os parametros estimados p_ta com os parametros estimados

Figure 4.9: Compara¸c˜ao da press˜ao upstream da v´alvula de produ¸c˜ao (pp) e press˜ao

downstream da v´alvula de inje¸c˜ao (pta).

0 200 400 _{Tempo [s]} 600 800 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Flu xo de M assa [kg /s]

Fluxo de gas do sistema simulado Fluxo de oleo do sistema simulado Fluxo de agua do sistema simulado Fluxo de gas com os parametros estimados Fluxo de oleo com os parametros estimados Fluxo de agua com os parametros estimados

Production choke Gas Lift Choke Gas in Pressão p_ta Pressão p_p out Production

4.4: Estimac¸ ˜ao do poc¸o com dados

A metodologia empregada at ´e agora utilizava o pr ´oprio modelo para estimac¸ ˜ao, entretanto isso n ˜ao ´e poss´ıvel numa aplicac¸ ˜ao fora do mundo acad ˆemico. Pensando nisso, abordou-se um modelo de uma ordem muito maior para se ter como refer ˆencia para a estimac¸ ˜ao. Os dados obtidos v ˆem do modelo descrito em [14].

Ap ´os alguns testes, notou-se que o modelo utilizado anteriormente era muito simples e n ˜ao conseguiria replicar o comportamento dos dados. Por isso foi alterado e decidiu-se por desacoplar o poc¸o, permitindo lidar com o annulus e o tubing de maneira separada. Os novos modelos s ˜ao descritos em [6], um trabalho ainda em andamento e nos Ap ˆendices A.2 e A.3.

4.4.1: Annulus

O modelo modificado do annulus apresenta elementos de atrito para melhor representar os efeitos no sistema real. Essa modificac¸ ˜ao j ´a ´e suficiente para aplicar a metodologia proposta. Entretanto o modelo continua simples, com apenas 1 estado, as modificac¸ ˜oes podem ser observadas no ap ˆendice A.2. Os par ˆametros a serem estimados s ˜ao: o coeficiente da v ´alvula Civ e a condic¸ ˜ao inicial da massa de g ´as no

anular do poc¸o, mga0. A Tabela 4.5 apresenta o resultado da estimac¸ ˜ao. Pode-se

perceber, que por causa da separac¸ ˜ao, mesmo com um n ´umero grande de elementos finitos, apresenta um tempo r ´apido de soluc¸ ˜ao.

Table 4.5: Parˆametros Estimados

Elem fin T (s) Civ mga0

1440 49,21 0,0001357 6569,80

As Figuras 4.12, 4.13 e 4.14 apresentam as comparac¸ ˜oes entre as medic¸ ˜oes e o modelo simulado com os par ˆametros apresentados na Tabela 4.5.

4.4.2: Tubing

O modelo modificado do tubing apresenta elementos de atrito para melhor re-presentar os efeitos no sistema real. Algumas modificac¸ ˜oes adicionais foram neces-s ´arianeces-s para melhor neces-simular o ambiente real. Um novo eneces-stado foi adicionado, a frac¸ ˜ao m ´assica de g ´as e outros par ˆametros de tuning de atrito. Entretanto o modelo con-tinua simples, com apenas 3 estados, as modificac¸ ˜oes podem ser observadas no

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 1.58 1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 Bo ttom An nu lus Prod uction Pr essu re( Pa) 1e7 Medido Parametro estimado 0 5000 10000 15000 20000_{Time (seconds)}25000 30000 35000 40000 45000 1.34 1.36 1.38 1.40 1.42 1.44 1.46 1.48 Top of An nu lus P ressu re( Pa) 1e7 Medido Parametro estimado

Figure 4.12: Compara¸c˜ao das press˜oes de fundo e topo do annulus.

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 1.505 1.510 1.515 1.520 1.525 1.530 1.535 Bo tto m Ho le Pre ssu re(P a) 1e7 Medido Parametro estimado

Figure 4.13: Compara¸c˜ao das press˜oes de bottom hole.

ap ˆendice A.3. Os par ˆametros a serem estimados s ˜ao: o coeficiente da v ´alvula Cpc,

os par ˆametros de tuning de atritok ek2 e as condic¸ ˜oes iniciais da massa de g ´as, de l´ıquido e de frac¸ ˜ao m ´assica de g ´as no tubing do poc¸o, respectivamente,mgt0,mlt0ex0

A Tabela 4.6 apresenta o resultado da estimac¸ ˜ao.

Table 4.6: Parˆametros Estimados

Elem fin T (s) Cpc k k2 mgt0 mlt0 x0

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Ga s L ift M ass Rate (kg /s) Medido Parametro estimado 0 5000 10000 15000 20000_{Time (seconds)}25000 30000 35000 40000 45000 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Ga s Ou tflow M ass R ate (kg /s) Medido Parametro estimado

Figure 4.14: Compara¸c˜ao das vaz˜oes de enrtada e de sa´ıda do annulus.

As Figuras 4.15 e 4.16 apresentam as comparac¸ ˜oes entre as medic¸ ˜oes e o modelo simulado com os par ˆametros apresentados na Tabela 4.6.

Mesmo com as modificac¸ ˜oes, a press ˜ao de produc¸ ˜ao (pp) n ˜ao consegue seguir

a curva medida do simulador. Contudo pode-se observar pelas Figuras 4.15 e 4.16 que as vaz ˜oes e a press ˜ao de bottom hole se aproximam muito do simulador, por isso o resultado ainda ´e satisfat ´orio, pois ainda pode-se utilizar disso para algumas aplicac¸ ˜oes.

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Ga s Li ft M ass R ate (k g/s) Medido Parametros estimados 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Ga s O utfl ow M ass Ra te ( kg /s) Medido Parametros estimados 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Liq uid O utflo w M ass R ate (k g/s) Medido Parametros estimados 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 8 10 12 14 16 18 20 To tal Ou tflo w Ma ss Ra te ( kg /s) Medido Parametros estimados F ig u re 4.1 5: C om p ar a¸c ˜ao d as va z˜o es d e en tr ad a e sa ´ıd a. 45

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 1400000 1600000 1800000 2000000 2200000 2400000 2600000 Prod uc tion Pr essu re( Pa ) Medido Parametros estimados 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Time (seconds) 1.50 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60 1.62 1.64 1.66 Bo tto m Ho le Pre ssur e(P a) 1e7 Medido Parametros estimados

Chapter 5: Conclus ˜ao

Este trabalho apresentou o collocation method, a diferenc¸a entre o Gauss collo-cation e Radau collocollo-cation, expondo seu equacionamento e deduc¸ ˜ao matem ´atica. Um exemplo de Radau e Gauss collocation ´e demonstrado para melhor fixar o m ´etodo.

Uma ferramenta interessante foi apresentada neste trabalho, o JModelica.org que implementa os compiladores para Modelica e Optimica e que reune ferramentas para simulac¸ ˜ao e otimizac¸ ˜ao. Modelica e Optimica permitem modelar e criar proble-mas de otimizac¸ ˜ao din ˆamica com facilidade. A plataforma JModelica.org teve um papel importante no desenvolvimento e an ´alise dos modelos e da estrutura de controle. A linguagem Modelica ajudou a especificar DAEs modulares que representassem com-ponentes f´ısicos da rede de produc¸ ˜ao, enquanto a linguagem Optimica nos permitiu definir estrat ´egias de estimac¸ ˜ao.

A estimac¸ ˜ao foi implementada utilizando o collocation method combinado com t ´ecnicas de otimizac¸ ˜ao que s ˜ao mais robustas e vi ´aveis do que outros m ´etodos (e.g; filtro de Kalman). O m ´etodo foi demonstrado, seguido por um exemplo explicativo e demonstrac¸ ˜ao de como ele pode ser usado para formular problemas de otimizac¸ ˜ao n ˜ao-linear.

A validac¸ ˜ao da estrat ´egia desenvolvida com o circuito RLC, permitiu o avanc¸o do estudo para um modelo de poc¸o produtor de g ´as e ´oleo de pequena ordem. Com os resultados apresentados abordou-se um problema mais pr ´atico. Utilizando dados de um simulador de grande ordem foi poss´ıvel estimar par ˆametros que aproximavam o modelo de menor ordem ao do simulador. Este resultado permite a utilizac¸ ˜ao de simu-ladores mais simples, facilitando c ´alculos (e.g; controle) e diminuindo o tempo de pro-cessamento para simulac¸ ˜oes. Como continuac¸ ˜ao deste trabalho, pode-se prosseguir na verificac¸ ˜ao dos modelos de forma a melhor ´a-los, mas mantendo a sua forma sim-ples, a ponto de se aproximar ainda mais do simulador. Outro ponto seria a utilizac¸ ˜ao dessa mesma estrat ´egia em outros componentes de uma rede de extrac¸ ˜ao de ´oleo e g ´as.

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