01. Uma pequena companhia de transporte rodoviário possui uma frota homogênea, tanto na capacidade de transporte quanto na vida útil de seus oito caminhões. Observou-se que os caminhões quebram segundo uma distribuição exponencial de média igual a 8 dias, devendo entrar em manutenção. Existe uma única oficina para esse fim cuja equipe de 4 mecânicos gasta no conserto de cada veículo um tempo exponencialmente distribuído com média de 10 dias.
(i) Qual a probabilidade de todos os caminhões estarem operando?
(ii) Qual a probabilidade de todos os caminhões estarem fora de operação? (iii) Qual o número médio de caminhões em operação?
(iv) Qual o desvio padrão do número de caminhões fora de operação? (v) Qual o desvio padrão do número de caminhões em operação?
(i) p0 = 0,11%
(ii) p8 = 4,28%
(iii) K - L = 3,00 Caminhões (iv) σFo = 1,57 Caminhões
(v) σOp = 1,57 Caminhões
02. Um grupo de 6 máquinas é utilizado para realizar tarefas em uma fábrica. Cada máquina para segundo um processo de Poisson de taxa de 3 vezes a hora para manutenção. As máquinas em manutenção são atendidas por três funcionários que realizam a manutenção (ajuste e lubrificação) em tempos exponencialmente distribuídos com média de 40 minutos.
(i) Determine o número de máquinas esperando por manutenção.
(ii) Se a probabilidade de 5 ou mais máquinas estarem paradas, para manutenção, for superior a 50% será necessário contratar um novo mecânico. Justifique se isso é necessário, nessa situação.
(iii) Determine o desvio padrão do número de máquinas em operação.
(iv) Determine o número médio, mediano e modal do número de máquinas operando. (iii) Faça um diagrama da distribuição de probabilidade do número de máquinas operando.
(i) Lq = 1,60 Máquinas (ii) P(J ≥ 5) 56,25% Sim (iii) σMO = 1,17 Máquinas (iv) L = 4,53 Me = 2,00 Μο = 1,00 (v) M P(M = O) 0 0,2250 1 0,3375 2 0,2531 3 0,1266 4 0,0475 5 0,0095 6 0,0008 Total 1,0000 -0,05 0,05 0,15 0,25 0,35 0 1 2 3 4 5 6
03. A Toolco opera uma oficina de usinagem com um total de 22 máquinas. Sabe-se que cada máquina quebra uma vez a cada duas horas, em média. O conserto demora 12 minutos, em média. Tanto o tempo entre quebras quanto o de conserto seguem uma exponencial. A Toolco quer determinar o número ótimo de mecânicos de manutenção necessários para manter a oficina em funcionamento confortavelmente. Analise a situação com uma investigação sobre a produtividade das máquinas em função do número de mecânicos de manutenção. Tal medida é definida como:
Produtividade das máquinas = (Máq. disponíveis – Máq. quebradas)/Máq. Disponíveis.
Faça um gráfico da produtividade das máquinas com valores do número de mecânicos variando no intervalo de 1 a 8. Qual seria a sua recomendação para a direção da empresa sobre o número ótimo de mecânicos. Considere para isso o valor que proporciona o maior aumento na produtividade das máquinas.
R Produtividade 1 0,4544 2 0,8015 3 0,8879 4 0,9045 5 0,9081 6 0,9089 7 0,9091 8 0,9091
04. Um operador cuida de 5 máquinas. Após cada tarefa a máquina deve ser reajustada antes de iniciar a próxima. O tempo para processar uma tarefa se distribui de acordo com uma exponencial com média de 45 minutos. O tempo de preparação para a próxima tarefa segue uma exponencial com média de 18 minutos.
(i) Determine o número médio de máquinas que estão esperando ajuste ou sendo ajustadas. (ii) Calcule a probabilidade de todas as máquinas estarem funcionando.
(iii) Determine o tempo médio de paralisação de uma máquina. (iv) Determine a probabilidade de o mecânico estar ocupado.
(v) Em quanto tempo uma tarefa deveria ser processada para que a ociosidade dos mecânicos seja igual a 3%.
(i) L = 2,67 Máquinas
(ii) p0 = 6,97%
(iii) W = 51,75 Minutos (iv) 1 - p0 = 93,03%
(v) P(Oc) = 33,75 Minutos
05. Considere um cassino com 20 máquinas “caça-níqueis” que concedem prêmios segundo um processo de Poisson de taxa de dois prêmios por hora. Cada vez que uma máquina concede um prêmio, fica travada até que um atendente a coloque em funcionamento novamente. Existe no cassino um único atendente para realizar esse serviço em um tempo exponencialmente distribuído com média de 2 minutos. Determine:
(i) a probabilidade de existirem mais do que 10 caça-níqueis travados em um dado instante. (ii) o número médio de caça-níqueis travados em um dado instante.
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1 2 3 4 5 6 7 8
(iii) o tempo médio que um caça-níquel fica fora de serviço. (iv) o desvio padrão do número de caça-níqueis fora de serviço.
(v) Determine a probabilidade de todos os caça-níqueis estarem operando. (i) P(J > 5) = 45,87%
(ii) L = 10,02 Caça-Níqueis (iii) W = 30,11 Minutos (iv) σFS = 3,13 Caça-Níqueis
(v) p20 = 0,19%
06. Suponha que um mecânico tem a responsabilidade de manter 3 máquinas. Para cada máquina, a probabilidade de quebra é uma exponencial com média de 7,5 horas. O tempo de conserto é também exponencial com média de 4,5 horas. Determine:
(i) o número esperado de máquinas que não estão funcionando. (ii) a probabilidade de todas as máquinas estarem funcionando. (iii) a probabilidade de todas as máquinas estarem quebradas. (iv) o desvio padrão do número de máquinas esperando conserto.
(v) se o tempo de quebra for, em média, a cada 6 horas em quanto por cento o tempo que uma máquina fica fora de operação aumentará?
(i) K - L = 1,40 Máquinas
(ii) p0 = 15,98% (iii) p3 = 20,72%
(iv) σEC = 0,77 Máquinas
(v) Aumento 6,85%
07. Uma companhia pesqueira tem 2 estaleiros para conserto de seus barcos. Cada barco quebra, em média, de 4 em 4 semanas. Cada estaleiro gasta, em média, 1 semana para consertar cada barco. A frota atual da companhia é de 10 barcos.
(i) Qual a probabilidade do estaleiro estar vazio?
(ii) Em média quantos barcos quebrados ficam aguardando conserto? (iii) Em média quantos barcos estão parados no estaleiro?
(iv) Qual a taxa de chegada de barcos no estaleiro? (v) Quanto tempo, em média, um barco fica parado?
(i) p0 = 6,48%
(ii) Lq = 1,46 Barcos
(iii) L = 3,17 Barcos
(iv) = 1,71 Barcos
(v) W = 1,85 Semanas
08. Uma lavanderia possui cinco máquinas de lavar. Uma máquina quebra a cada 5 dias. Um mecânico consegue consertar a máquina em 2,5 dias. Atualmente três mecânicos fazem o trabalho para a lavanderia. O dono da
lavanderia tem a opção de trocá-los por um super mecânico que pode consertar uma máquina em 5/6 dias. O salário do super mecânico é igual à soma dos salários dos três mecânicos atuais. Quebras e tempos de reparo são exponenciais. O dono da lavanderia deve substituir os três mecânicos atuais pelo super mecânico. Justifique. (i) L = 1,71 Máquinas W = 2,61 Dias (ii) L = 1,16 Máquinas W = 1,51 Dias Deve trocar
09. Um sistema de manufatura é formado por cinco máquinas e que podem quebrar ao acaso. Uma quebra ocorre em média a cada quatro horas. Existem R mecânicos para consertar as máquinas. Cada mecânico leva em média duas horas para consertar uma máquina. Assuma que o custo de uma máquina parada é de $50 por hora e que o custo de um mecânico é de $80 por dia e recebe quer ele esteja trabalhando ou não. Determine qual é o número mais econômico de mecânicos que devem trabalhar diariamente.
Custos Máquinas R$ 50,00 Mecânico R$ 80,00 R = 1 R = 2 R$50.L.W = R$ 980,56 R$50.L.W = R$ 264,83 Mecânico = R$ 80,00 Mecânico = R$ 160,00 Total = R$ 1.060,56 Total = R$ 424,83 R = 3 R = 4 R$50.L.W = R$ 178,95 R$50.L.W = R$ 167,52 Mecânico = R$ 240,00 Mecânico = R$ 320,00 Total = R$ 418,95 Total = R$ 487,52
10. Uma oficina de manutenção de pequenos aviões quer realizar mudanças na sua base de operação. A situação atual é que o tempo de conserto de um avião é de 36 horas, enquanto o tempo entre as necessárias manutenções preventivas é de 45 horas. Esta situação envolve manter um avião muito tempo fora de operação. O custo médio de um avião parado é de $1200,00 por dia. O custo diário de um mecânico é de $150,00. As instalações atuais permitem a existência de apenas 2 mecânicos trabalhando. A alternativa é duplicar as instalações de modo que quatro mecânicos possam trabalhar simultaneamente. O custo para tal é de $5.000.000,00. Determine em quanto tempo o custo da duplicação seria amortizado sabendo que a empresa possui um total de 5 aviões.
Custos Diário $1.200,00 Mecânico $150,00 R = 2 R = 4 Aviões $7750,22 Aviões $4060,81 Mecânicos $300,00 Mecânicos = $600,00 Total = $8050,22 Total = $4660,81 Diferença $3389,41 Investimento $5.000.000,00 1475,18 Dias 4,10 Ano (360)
O sistema M/M/R/GD/K/K K ..., 2, R 1, R j se R R .., 0,1, j se j j j + + = µ = µ = µ = µ
