n. 6 – VETORES
vetor é um segmento orientado;
são representações de forças, as quais incluem direção,
sentido, intensidade e ponto de aplicação;
o módulo, a direção e o sentido caracterizam um vetor:
módulo representa o comprimento, o tamanho do
vetor;
direção está ligada ao que diz respeito à posição
(horizontal, vertical, obliqua,);
sentido é a orientação (direita, esquerda, para cima,
para baixo, norte, sul).
Figura disponível em: <http://soumaisenem.com.br/fisica/conhecimentos-basicos-e-fundamentais/grandezas-escalares-e-grandezas-vetoriais>. Acesso em: 22 ago. 2016.
Segmento orientado: dada uma reta r e dois pontos A e B
pertencentes a esta reta, ao se admitir um sentido para o
segmento AB tem-se um segmento orientado ⃗⃗⃗⃗⃗ em
que A é chamado de origem e B de extremidade do segmento orientado. Caso a representação do segmento fosse indicada por: ⃗⃗⃗⃗⃗ , B seria a origem e A seria a extremidade do segmento orientado.
Definições:
Definição 1
Os segmentos orientados da forma (A, A) são ditos nulos.
Um vetor é nulo se possui módulo igual à zero, ou seja, comprimento zero.
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.
Definição 2
Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento.
Observe o comprimento do segmento AB representado na figura a seguir: , ou seja, 5 unidades de comprimento.
Agora, supondo (A, B) e (C, D) não nulos, então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesma direção se AB ⫽ CD.
Supondo que (A, B) e (C, D) têm mesma direção, ou seja, são paralelos, então:
Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D)
têm mesmo sentido caso os segmentos (tenham interseção vazia).
Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário caso (intersecção diferente do vazio).
Definição 3
Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) são equipolentes, e indica-se (A, B) ~ (C, D), se um dos casos seguintes ocorrer:
i. ambos são nulos;
ii. nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
Definição 4
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta, para que AB seja equipolente a CD é necessário
que AB//CD e AC//BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.
Observações:
a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada
por AB ~ CD.
Um vetor representa uma classe de segmentos equipolentes.
Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por
B – A, B’ – A’ ou B” – A” de modo que: B – A = B’ – A’ = B” – A”
Costuma-se indicar B – A também por ⃗⃗⃗⃗⃗ , ou então por uma letra minúscula, do alfabeto, com uma flecha em cima, como ⃗ .
Desta forma temos que: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Observações:
O tamanho (intensidade, comprimento ou módulo) de um
vetor ⃗ é indicado por | ⃗ | e chama-se norma de ⃗ . Se | ⃗ | dizemos que o vetor é unitário. Alguns autores utilizam para a norma de ⃗ a notação ‖ ⃗ ‖.
O vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ é chamado de vetor oposto do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ só diferem entre si no sentido.
O vetor oposto do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ é indicado também por ⃗⃗⃗⃗⃗ ; o vetor oposto de ⃗ é ⃗ .
O vetor nulo pode ser representado por ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Tem-se ainda que ‖ ⃗ ‖ e ⃗ ⃗
Dizemos que ⃗ e são ortogonais, se ⃗ faz ângulo reto com
Módulo de um Vetor
O módulo de um vetor = (x, y, z), representado por | | é o número real não negativo | | √
Em coordenadas: | | √( ) ( ) | | √
Exemplo: Se = (2, 1, -2), então: | | √( ) ( ) = 3
Exercício:
1. Dado ⃗ = (a, -2) calcule os valores de a para que se tenha | ⃗ |= 3. | ⃗ | √( ) ( ) 3 = √ (3)2 = ( √ )2 9 = a2 + 4 a2 = 9 – 4 a2 = 5 a = ± √
Operações com vetores Adição: REGRA DO TRIÂNGULO
A soma de dois vetores e ⃗⃗ , ou seja, ⃗⃗ é o vetor definido da seguinte maneira:
Seja
e
Escolha um representante qualquer ⃗⃗⃗⃗⃗ para o vetor .
Para o vetor ⃗⃗ escolha um representante ⃗⃗⃗⃗⃗ com ponto inicial em B, isto é, a extremidade do representante de .
O vetor soma ⃗⃗ é representado pelo segmento orientado ⃗⃗⃗⃗⃗ , cuja origem é o ponto A de e a extremidade é o ponto C de ⃗⃗ .
Esta é uma interpretação de vetores como deslocamento: a soma de dois vetores corresponde à composição de deslocamentos ou o deslocamento total, esta é a chamada regra do triângulo.
Da mesma forma: ⃗⃗
Adição: REGRA DO PARALELOGRAMO
Outra forma equivalente de somar dois vetores é a interpretação de vetores como forças. Esta regra é chamada de regra do paralelogramo.
Aqui tomamos ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ de ⃗⃗ com a mesma origem, ou seja, A. A partir de seus representantes, construímos o
paralelogramo ABDC e o vetor ⃗⃗ é o vetor
Aqui a soma de vetores corresponde à resultante das forças. Resumindo: Sejam os vetores: ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – e ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , então:
u
v
B
A
C
B
C
A
= ⃗⃗⃗⃗⃗ Exemplos:b) Mesma direção e sentido
c) Mesma direção, sentidos opostos e mesmo comprimento:
Propriedades da adição de vetores
(A1) Propriedade Associativa:
uv
w u
v w
(A2) Propriedade Comutativa: uv vu
(A3) Elemento Neutro: u 0 0 u u (A4) Elemento Oposto: u
u 0Ilustração da propriedade associativa (A1):
Exercícios:
1. Encontre algebricamente o vetor soma dos vetores destacados nas figuras que seguem:
a.
b.
Solução: a. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ b . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗
c.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⃗
Observação: podemos também definir a diferença entre vetores como ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) .
Sejam os vetores:
Pela regra do paralelogramo temos que a subtração de dois vetores é a diagonal menor:
Exemplo
Dados os vetores ⃗ e ⃗ destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura um representante para o vetor ⃗
Multiplicação de número real por vetor
Dado um vetor ⃗⃗ e um número real , definimos o vetor
⃗⃗ , como:
Se ou ⃗ , então ⃗ ;
Se e ⃗ , então é o vetor tal que: é paralelo a ;
e tem mesmo sentido se ; e tem sentido contrário se ; A norma de é | | | | | |
Exemplos
Casos de produto de vetor por número real:
a) Para :
b) Para :
c) Para
Proposição
Se ⃗ e são paralelos e ⃗ , existe tal que: ⃗ .
Exemplo
Sejam ⃗ e paralelos, | ⃗ | e | | . Sendo ⃗ , determine nos casos:
a) ⃗ e têm mesmo sentido. b) ⃗ e têm sentido contrário. ⃗ | | | ⃗ | | | | | | ⃗ | | | | | | ⃗ | Portanto, Assim: ⃗ e têm mesmo sentido se e
⃗ e tem sentido contrário se
Propriedades da multiplicação de número real por vetor
(M1) ( ⃗ ) ⃗ (M2) ( )
(M3)
(M4) ( ) ( ) ( ) Exercícios:
1. Dados os vetores ⃗ , e ⃗⃗ , de acordo com a figura, construa o vetor ⃗ ⃗⃗
R:
2. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗
e ⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo M e N os pontos médios dos lados DC e AB,
respectivamente. Encontre: a. ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ b. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ c. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ d. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ f. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Os exercícios a seguir foram retirados de: Projeto Medicina, disponível em:
<http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/5 79/fisica_exercicios_vetores_gabarito.pdf> Acesso em: 14 mar. 2016.
1. Qual é a relação entre os vetores ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ , representados na figura? a. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b. ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ c. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ d. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ e. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ R: letra c
2. Para o diagrama vetorial abaixo, a única igualdade correta é:
a. ⃗ b. ⃗ c. ⃗ d. ⃗ e. ⃗ R: letra c
3. Na figura, onde o reticulado forma quadrados de lados L = 0,5 cm, estão desenhados 10 vetores, contidos no plano xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros:
a. 0,0 b. 0,5 c. 1,0 d. 1,5 e. 2,0 R: letra e.
4. Dados os vetores ⃗ , representados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo:
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6
R: letra a.
5. Considere a figura abaixo:
Dadas as forças o módulo de sua resultante, em N,
é: a. 30 b. 40 c. 50 d. 70 e. 80
R: letra c.
6. Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular ao lado. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: a. zero b. 16 u c. 24 u d. 32 u e. 40 u R: letra d.
7. Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura abaixo, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta.
a. CB + CD + DE = BA + EA b. BA + EA + CB = DE + CD c. EA – DE + CB = BA + CD d. EA – CB + DE = BA – CD e. BA – DE – CB = EA + CD R: letra d. CD + DE + EA = CA e CB + BA = CA
EA – CB + DE = BA – CD Resolução: a. CB + CD + DE = BA + EA (B – C) + (D – C) + (E – D)= (A – B) + (A – E) B – C + D – C + E – D= A – B + A – E B – C – C + E = A – B + A – E CB + EC BA + EA b. BA + EA + CB = DE + CD (A – B) + (A – E) + (B – C)= (E – D) + (D – C) A – B + A – E + B – C= E – D + D – C A + A – E – C= E – C A – E + A – C= E – C EA + CA CE c. EA – DE + CB = BA + CD
(A – E) – (E – D) + (B – C)= (A – B) + (D – C) A – E – E + D + B – C= A – B + D – C A – E + B – E + D – C= A – B + D – C EA + EB + CD BA +CD d. EA – CB + DE = BA – CD (A – E) – (B – C) + (E – D)= (A – B) + (D – C) A – E – B + C + E – D = A – B + D – C A – B + C – D = A – B + D – C A – B + C – D = A – B – C + D BA + DC = BA + CD e. BA – DE – CB = EA + CD (A – B) – (E – D) – (B – C)= (A – E) + (D – C) A – B – E + D – B + C = A – E + D – C A – E + D – B + C – B = A – E + D – C EA + BD + BC EA + CD
8. A figura mostra 5 forças representadas por vetores de origem comum, dirigindo-se aos vértices de um hexágono regular.
Sendo 10N o módulo da força , a intensidade da resultante dessas 5 forças é: a. 50N b. 45N c. 40N d. 35N e. 30N R: letra e.
9. A figura abaixo mostra o mapa de uma cidade em que ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente:
a. 1800 m e 1400 m b. 1600 m e 1200m c. 1400 m e 1000 m d. 1200 m e 800 m e. 1000 m e 600 m R: letra c.
Referências Bibliográficas
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.
PROJETO MEDICINA. Disponível em: <
http://projetomedicina.com.br/site/attachments/article/579/fisica_exercicios_vetores_gab arito.pdf>. Acesso em: 14 mar. 2016.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.
