Álgebra Linear: Lista de exercícios 4

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Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.

Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic

Lista de exercícios 4

Inversão de Matrizes

Exercício 1: quais das matrizes seguintes são elementares ? Classique cada matriz por tipo. a) 0 1 1 0 b) 2 0 0 3 c)   1 0 0 0 1 0 5 0 1   d)   1 0 0 0 5 0 0 0 1  

Exercício 2: Encontre inversa de cada matriz no exercício 1. Para cada matriz elementar, verique que sua inversa é elementar do mesmo tipo.

Exercício 3: Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que EA = B. a) A = 2 −1 5 3 B = −4 2 5 3 b) A =   2 1 3 −2 4 5 3 1 4   B =   2 1 3 3 1 4 −2 4 5   c) A =   4 −2 3 1 0 2 −2 3 1   B =   4 −2 3 1 0 2 0 3 5  

Exercício 4: Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que AE = B. a) A =   4 1 3 2 1 4 1 3 2   B =   3 1 4 4 1 2 2 3 1   b) A = 2 4 1 6 B = 2 −2 1 3 c) A =   4 −2 3 −2 4 2 6 1 −2   B =   2 −2 3 −1 4 2 3 1 −2   Exercício 5: Seja A :=   2 1 1 4 4 5 6 1 3  .

a) Ache matrizes elementares E1, E2, E3 de tipo III tais que E3E2E1A = U, onde U é uma

matriz triangular superior.

b) Determine as matrizes inversas de E1, E2, E3 e faça L = E1−1E −1 2 E

−1

3 . Que tipo de matriz

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Exercício 6: Calcule a fatoração LU de cada uma das seguintes matrizes: a) 3 1 9 5 b) 2 4 −2 1 c)   1 1 1 3 5 6 −2 2 7   d)   −2 1 2 4 1 −2 6 −3 1   Exercício 7: Seja A :=   1 0 1 3 3 4 2 2 3  . Verique que A−1 =   1 2 −3 −1 1 −1 0 −2 3   e use A−1 para resolver Ax = b para os seguintes escolhas de b:

i) b = (1, 1, 1) ii) b = (−2, 1, 0) iii) b = (1, 2, 3)

Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: a) −1 1 1 0 b) 2 5 1 3 c) 2 6 3 8 d) 3 0 9 3 e)   1 1 1 0 1 1 0 0 1   f)   2 0 5 0 3 0 1 0 3   g)   −1 −3 −3 2 6 1 3 8 3   h)   1 0 1 −1 1 1 −1 −2 −3  

Exercício 9: Para cada um dos seguintes sistemas de equações, encontre as matrizes associ-adas A, x e b, ache a inversa de A, e use-a para resolver o sistema.

a)      x1 = √ π −5x1+ x2 = 2 20x1− 4x2+ x3 = 4. b)      2x1− x2 = 4 −x1+ 2x2− x3= 2 − x₂+ 2x3= 4. c)      x1+ 2x2+ 3x3 = 0 x2+ 4x3 = −1 5x1+ 6x2 = 1. Exercício 10: Dados A := 3 1 5 2 e B := 1 2 3 4

. Calcule A−1 _{e use-a para:}

a) achar uma matriz 2 × 2, X, tal que AX = B. b) achar uma matriz 2 × 2, Y , tal que: Y A = B.

Exercício 11: Sejam A := 5 2 3 3 , B := 6 2 2 4 C := 4 −2 −6 3 . Encontre uma matriz X ∈ M2,2(R) tal que:

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Exercício 12: Se A = 2 4 1 3 , B = −2 1 0 4 e C = 3 1 2 1 verique que: a) (A + B) + C = A + (B + C), b) A(BC) = (AB)C, c) A(B + C) = AB + AC, d) (A + B)C = AC + AB.

Exercício 13: Seja A uma matriz 3 × 3 cujas colunas a1,a2,a3 vericam 2a1+a2− 4a3 =0.

Quantas soluções tem o sitema Ax = 0 ? Explique. A é não singular ? Explique.

Exercício 14: Seja A uma matriz 3 × 3 cujas colunas a1,a2,a3 vericam a1 = 3a2− 2a3. O

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Correções

Correção do Exercício 1: a) A matriz 0 1 1 0

é elementar, do tipo 1 (troca de linha/coluna), neste caso: A = P1,2=

M_(L₁↔L2) = M(C1↔C2). b) A matriz 2 0 0 3 não é elementar. c) A matriz   1 0 0 0 1 0 5 0 1 

é elementar do tipo 3, neste caso: A = M_(L₃_→L₃_+5L₁₎= M_(C₁_→C₁_+5C₃₎.

d) A matriz   1 0 0 0 5 0 0 0 1 

 é elementar do tipo 2, neste caso: A = M_(L₂_→5L₂₎= M_(C₂_→5C₂₎.

Correção do Exercício 2: a) A matriz tem inversa:

0 1 1 0 −1 = 0 1 1 0 ,

a qual tambem é elementar do tipo 1 tambem, i.e. troca de linha/coluna A−1 _{= P} 2,1 =

M_(L₁↔L2) = M(C1↔C2)= A.

b) A matriz tem inversa:

2 0 0 3 −1 = 1/2 0 0 1/3 a qual tambem não é elementar.

c) A matriz tem inversa:

  1 0 0 0 1 0 5 0 1   −1 =   1 0 0 0 1 0 −5 0 1   a qual é elementar do tipo 3 tambem, neste case A−1_{= M}

(L3→L3−5L1)= M(C1→C1−5C3).

d) A matriz tem inversa:

  1 0 0 0 5 0 0 0 1   −1 =   1 0 0 0 1/5 0 0 0 1   a qual é elementar do tipo 2 tambem, neste caso A−1_{= M}

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Correção do Exercício 3:

a) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, multiplicando a primeira linha L1 por

−2L₁. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar: E =

−2 0 0 1

Podemos vericar que, de fato, temos: EA = −2 0 0 1 · 2 −1 5 3 = −4 2 5 3 = B.

b) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, trocando as linhas L2 e L3. Tal operação

em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar:

E =   1 0 0 0 0 1 0 1 0  . Podemos vericar que, de fato, temos:

EA =   1 0 0 0 0 1 0 1 0  ·   2 1 3 −2 4 5 3 1 4  =   2 1 3 3 1 4 −2 4 5  = B.

c) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, adicionando a linhas L3 por um multiplo

2L2 de L2. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz

elementar: E =   1 0 0 0 1 0 0 2 1  . Podemos vericar que, de fato, temos:

EA =   1 0 0 0 1 0 0 2 1  ·   4 −2 3 1 0 2 −2 3 1  =   4 −2 3 1 0 2 0 3 5  = B. Correção do Exercício 4:

a) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, trocando a colunas C1 com C1. Tal

operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar:

E =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   Podemos vericar que, de fato, temos:

AE =   4 1 3 2 1 4 1 3 2  ·   0 0 1 0 1 0 1 0 0  =   3 1 4 4 1 2 2 3 1  = B.

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b) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, adicionando −3C1 à coluna C3. Tal

operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar: E = 1 −3 0 1 . Podemos vericar que, de fato, temos:

AE = 2 4 1 6 · 1 −3 0 0 = 2 −2 1 3 = B.

c) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, multiplicando a coluna C1 por 1/2. Tal

operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar:

E =   1/2 0 0 0 1 0 0 0 1  . Podemos vericar que, de fato, temos:

AE =   4 −2 3 −2 4 −2 6 1 2  ·   2 0 0 0 1 0 0 0 1  =   2 −2 3 −1 4 −2 3 1 2  = B. Correção do Exercício 5:

a) Basta efetuar tres operações em linhas de tipo III para passar de A a uma matriz triangular superior. A cada passo, obtemos uma matriz elementar Ei (de tipo III).

Neste caso: A :=   2 1 1 4 4 5 6 1 3   (L1) (L2) (L3) passo 1_; A0:=   2 1 1 0 2 3 6 1 3   (L0₁ = L1) (L0₂ = L2− 2L1) (L0₃ = L3) passo 2_; A00:=   2 1 1 0 2 3 0 −2 0   (L00₁ = L0₁) (L00₂ = L0₂) (L00₃ = L0₃− 3L0₁) passo 3_; A000:=   2 1 1 0 2 3 0 0 3   (L000₁ = L00₁) (L000₂ = L00₂) (L000₃ = L00₃+ L00₂) . A cada passo, a nova matriz é obtida por operação em linhas, ou seja, por multiplicação à esquerda por uma matriz elementar, temos mais especicamente:

A0= E1A, onde : E1 :=   1 0 0 −2 1 0 0 0 1  , A00= E2A0, onde : E2 :=   1 0 0 0 1 0 −3 0 1  , A000= E3A00, onde : E3:=   1 0 0 0 1 0 0 1 1  .

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Concluemos que:

U = A000= E3.A00,

= E3.E2.A0,

= E3.E2.E1.A.

O que pode ser vericado fazendo a conta:   2 1 1 0 2 3 0 0 3  =   1 0 0 0 1 0 0 1 1  ·   1 0 0 0 1 0 −3 0 1  ·   1 0 0 −2 1 0 0 0 1  .

b) Calculemos as matrizes inversas das matrizes elementares acima:

E₁−1 =   1 0 0 −2 1 0 0 0 1   −1 =   1 0 0 2 1 0 0 0 1  , E₂−1 =   1 0 0 0 1 0 −3 0 1   −1 =   1 0 0 0 1 0 3 0 1  , E₃−1 =   1 0 0 0 1 0 0 1 1   −1 =   1 0 0 0 1 0 0 −1 1  . Efuetuando o cálculo, obtemos:

L = E₁−1E₂−1E₃−1 =   1 0 0 2 1 0 0 0 1  ·   1 0 0 0 1 0 3 0 1  ·   1 0 0 0 1 0 0 −1 1  =   1 0 0 2 1 0 3 −1 1  . Assim, temos que:

LU = (E₁−1.E−1₂ .E₃−1)(E3.E2.E1.A)

= E₁−1.E₂−1.E₃−1.E3.E2.E1.A

= A.

Veriquemos que isto é correto, pelo cálculo:   1 0 0 2 1 0 3 −1 1  ·   2 1 1 0 2 3 0 0 3  =   2 1 1 4 4 5 6 1 3  .

Correção do Exercício 6: De maneira semalhante ao exercício precedente, calculemos que: Calcule a fatoração LU de cada uma das seguintes matrizes:

a) A fatoração LU da matriz A = 3 1 9 5 é dada por: A = LU, onde L := 1 0 3 1 , e U := 3 1 0 2 .

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b) A fatoração LU da matriz A = 2 4 −2 1 é dada por: A = LU, onde L := 1 0 −1 1 , e U := 2 4 0 5 . c) A fatoração LU da matriz A =   1 1 1 3 5 6 −2 2 7   é dada por: A = LU, onde L :=   1 0 0 3 1 0 −2 2 1  , e U :=   1 1 1 0 2 3 0 0 3  . d) A fatoração LU da matriz A =   −2 1 2 4 1 −2 6 −3 1   é dada por: A = LU, onde L :=   1 0 0 −2 1 0 −3 0 1  , e U :=   −2 1 2 0 3 2 0 0 7  .

Correção do Exercício 7: Calculemos que:   1 0 1 3 3 4 2 2 3  ·   1 2 −3 −1 1 −1 0 −2 3  =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  , logo a inversa de A :=   1 0 1 3 3 4 2 2 3   é a matriz A−1 =   1 2 −3 −1 1 −1 0 −2 3  .

Usemos A−1 _{para resolver Ax = b para os seguintes escolhas de b: a matriz A sendo}

invertível, com inversa A−1_{, o sistema tem uma única solução x, dada por:}

i) Temos: x = A−1_·_{b =}   1 2 −3 −1 1 −1 0 −2 3  ·   1 1 1  =   0 −1 1  . ii) Temos: x = A−1_·_{b =}   1 2 −3 −1 1 −1 0 −2 3  ·   −2 1 0  =   0 3 −2   iii) Temos: x = A−1_·_{b =}   1 2 −3 −1 1 −1 0 −2 3  ·   1 2 3  =   −4 −2 5  

Correção do Exercício 8: Encontramos as inversas seguintes: a) −1 1 1 0 −1 = 0 1 1 1

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b) 2 5 1 3 −1 = 3 −5 −1 2 c) 2 6 3 8 −1 = −4 3 3/2 −1 d) 3 0 9 3 −1 = 1/3 0 −1 1/3 e)   1 1 1 0 1 1 0 0 1   −1 =   1 −1 0 0 1 −1 0 0 1   f)   2 0 5 0 3 0 1 0 3   −1 =   3 0 −5 0 1/3 0 −1 0 2   g)   −1 −3 −3 2 6 1 3 8 3   −1 =   2 −3 3 −3/5 6/5 −1 −2/5 −1/5 0   h)   1 0 1 −1 1 1 −1 −2 −3   −1 =   −1/2 −1 1/2 −2 −1 −1 3/2 1 1/2   Correção do Exercício 9: a) O sistema:            x1 = √ π −5x₁+ x2 = 2 20x1− 4x2+ x3 = 4

é equivalente a A · x = b, onde as matrizes associadas são dadas por:

A =   1 0 0 −5 1 0 20 −4 3  , b =   √ π 2 4  , e x =   x1 x2 x3  . A matriz A é invertivel, com inversa:

A−1=   1 0 0 −5 1 0 20 −4 3   −1 =   1 0 0 5 1 0 0 4 1  . Logo o sistema tem uma única solução x, dada por x = A−1_·_{b, isso é:}

  x1 x2 x3  =   1 0 0 5 1 0 0 4 1  ·   √ π 2 4  =   √ π 5√π + 2 12  .

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b) O sistema:      2x1− x2 = 4 −x1+ 2x2− x3= 2 − x₂+ 2x3= 4.

A =   2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2  , b =   4 2 4  , e x =   x1 x2 x3  . A matriz A é invertível, com inversa:

A−1=   2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2   −1 =   3/4 1/2 1/4 1/2 1 1/2 1/4 1/2 3/4  . Logo o sistema tem uma única solução x, dada por x = A−1_·_{b, isso é:}

  x1 x2 x3  =   3/4 1/2 1/4 1/2 1 1/2 1/4 1/2 3/4  ·   4 2 4  =   6 5 6  . c) O sistema:      x1+ 2x2+ 3x3 = 0 x2+ 4x3 = −1 5x1+ 6x2 = 1.

A =   1 2 3 0 1 4 5 6 0  , b =   0 −1 1  , e x =   x1 x2 x3  . A matriz A é invertível, com inversa:

A−1 =   1 2 3 0 1 4 5 6 0   −1 =   −24 18 5 20 −15 −4 −5 4 1  . Logo o sistema tem uma única solução x, dada por x = A−1_·_{b, isso é:}

  x1 x2 x3  =   −24 18 5 20 −15 −4 −5 4 1  ·   0 −1 1  =   −13 11 −3  .

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Correção do Exercício 10: Calculemos que A−1 := 3 1 5 2 −1 = 2 −1 −5 3

Usemos A−1 _{para encontrar as matrizes X, Y ∈ M} 2,2(R): a) Temos: AX = B ⇐⇒ A−1_{AX = A}−1_B, ⇐⇒ X = A−1B, Logo: X = 2 −1 −5 3 · 1 2 3 4 = −1 0 4 2 b) Temos: Y A = B ⇐⇒ Y AA−1 = BA−1, ⇐⇒ Y = BA−1, Logo: Y = 1 2 3 4 · 2 −1 −5 3 = −8 5 −14 9 . Correção do Exercício 11:

a) A matriz A sendo invertível, com inversa:

A−1= 5 2 3 3 −1 = 1/3 −2/9 −1/3 5/9 , podemos calcular que:

AX + B = C ⇐⇒ AX = C − B,

⇐⇒ A−1AX = A−1(C − B),

⇐⇒ X = A−1(C − B).

Logo existe uma única matriz X satisfazendo a equação AX + B = C, dada por: X = 1/3 −2/9 −1/3 5/9 · 6 − 4 2 + 2 2 + 6 4 − 3 = −10/9 10/9 34/9 −7/9 . b) A matriz A − I2 sendo invertível, com inversa:

(A − I2)−1 := 5 2 3 3 − 1 0 0 1 −1 = 4 2 3 2 −1 = 1 −1 −3/2 2 , podemos calcular que:

AX + B = X ⇐⇒ AX − X = −B,

⇐⇒ (A − I2)X = −B

⇐⇒ (A − I2)−1(A − I2)X = (A − I2)−1· (−B),

⇐⇒ X = −(A − I2)−1· B.

Logo existe uma unica matriz X tal que AX + B = X, dada por: X = − 1 −1 −3/2 2 · 6 2 2 4 = −4 2 5 −5

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c) A matriz A sendo invertível, com inversa: A−1:= 5 2 3 3 −1 = 1/3 −2/9 −1/3 5/9 , podemos calcular que:

XA + B = C ⇐⇒ XA = C − B,

⇐⇒ XAA−1= (C − B)A−1,

⇐⇒ X = (C − B)A−1.

Logo existe uma única matriz X tal que XA + B = C, dada por:

X = 4 −2 −6 3 − 6 2 2 4 · 1/3 −2/9 −1/3 5/9 = 2/3 −16/9 −7/3 11/9 . d) A matriz A − I2 sendo invertível, com inversa:

(A − I2)−1= 5 2 3 3 − 1 0 0 1 −1 = 4 2 3 2 −1 = 1 −1 −3/2 2 , podemos calcular que:

AX + C = X ⇐⇒ AX − X = −C,

⇐⇒ (A − I2)X = −C,

⇐⇒ (A − I2)−1(A − I2)X = −(A − I2)−1C,

⇐⇒ X = −(A − I2)−1C.

Logo existe uma unica matriz X tal que QX + C = X, dada por:

X = − 1 −1 −3/2 2 · 4 −2 −6 3 = 4 −2 0 0

Correção do Exercício 12: Basta vericar as igualdades.

Correção do Exercício 13: Se A é uma matriz 3 × 3 cujas colunas a1,a2,a3 vericam

2a1+a2− 4a3 =0, é fàcil vericar que o sistema Ax = 0 tem solução x = (2, 1, −4), pois:

A ·   2 1 −4  =   a1 a2 a3  ·   2 1 −4  = 2a1+a2− 4a3= 0.

É fácil vericar tambem que (2α, α, −4α) é solução para qualquer α ∈ R, pois:

A ·   2 1 −4  =   a1 a2 a3  ·   2α 1α −4α 

= 2αa1+ αa2− 4αa3 = α(2a1+a2α − 4a3) = 0.

Logo o sistema tem uma innidade de soluções. A matriz A não pode ser invertível, pois se for, o sistema teria uma única solução (que serià x = (0, 0, 0)).

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Correção do Exercício 14: Neste caso, as colunas de A satisfazem a equação: −a1+ 3a2− 2a3= 0.

De maneira semelhante ao exercício precedente, é fàcil vericar que o sistema Ax = 0 tem solução x = (−1, 3, −2). É fácil vericar tambem que (−α, 3α, −2α) é solução para qualquer α ∈ R.

Logo o sistema tem uma innidade de soluções. A matriz A não pode ser invertível, pois se for, o sitema teria uma única solução (que serià x = (0, 0, 0)).

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Correções

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