MATRIZES e DETERMINANTES A = A matriz oposta de A, indicada por ( A), é obtida trocando-se cada elemento de A pelo seu oposto.

MATRIZES e DETERMINANTES

Chama-se matriz de tamanho (ou tipo) m×n, comm, n∈N^∗, toda tabela constitu´ıda porm×nelementos, dispostos emm linhas encolunas. Por exemplo,A=

1 0 6 3 2 −1

´e uma matriz 2×3. Cada elemento de uma matriz ´e indicado poraij onde

i´e a linha a que ele pertence ej ´e a coluna. Ent˜ao, seA´e uma matriz 2×2, teremosA=

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

ouA= (a_ij)_2×2.

Duas matrizes A e B s˜ao iguais se, e somente se, s˜ao do mesmo tipo se aij =bij ∀i, j. Logo,

a b 4 5

=

8 9 4 5

se, e somente se, a= 8 eb= 9.

A transposta de uma matrizA, indicada porA^T, ´e obtida trocando-se ordenadamente as linhas por colunas. Por exemplo: se

A=

3 2 1

−1 −2 4

, a sua transposta ´eA^T =



 3 −1 2 −2

1 4



. Uma matriz ´e sim´etrica quandoA=A^T. Ex:





1 5 0

5 2 −1

0 −1 3





A matriz oposta de A, indicada por (−A), ´e obtida trocando-se cada elemento de A pelo seu oposto. Por exemplo: se A=

3 2 1

−1 −2 4

, ent˜ao (−A) =

−3 −2 −1

1 2 −4

.

Classifica¸c˜ao:











matriz quadrada: m=n (matriz de ordem n) matriz retangular: m6=n

matriz linha: m= 1 matriz coluna: n= 1 Matrizes especiais:

1) Matriz nula (0_m×n): todos os elementos s˜ao nulos. Ex: 0_2×3=

0 0 0

0 0 0

.

2) Matriz identidade (I_n): 1 na diagonal principal e 0 nas outras posi¸c˜oes.Ex: I₂=

1 0 0 1

.

3) Matriz diagonal: zeros fora da diagonal principal. Ex:





2 0 0 0 5 0 0 0 6





4) Matriz triangular: Ex:





2 4 8 0 5 1 0 0 6



ou





2 0 0 9 5 0

−1 0 7





OPERAC¸ ˜OES COM MATRIZES

1) Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao: SeA= (a_ij)_n×m eB= (b_ij)_n×m ent˜aoA±B =C= (c_ij)_n×mtal quec_ij=a_ij±b_ij.

Exemplo 1 Se A=

3 7

−2 5

eB=

1 −3

0 2

ent˜ao A+B=

3 + 1 7−3

−2 + 0 5 + 2

=

4 4

−2 7

e

A−B =

3−1 7 + 3

−2−0 5−2

=

2 10

−2 3

Propriedades: Para quaisquer matrizesA, B eCde mesmo tipon×m, temos:

1)A+B=B+A (Comutativa)

2)A+ (B+C) = (A+B) +C (Associativa) 3)A+On×m=A (Elemento neutro)

4)A+ (−A) =O_n×m (Elemento oposto)

2 ) Multiplica¸c˜ao por um n´umero real α: α×A_n×m= (α·a_ij)_n×m

Exemplo 2 Se A=

2 0 5

−4 1 3

, ent˜ao 3A= 3

2 0 5

−4 1 3

=

3×2 3×0 3×5 3×(−4) 3×1 3×3

=

6 0 15

−12 3 9

Propriedades: Para quaisquer matriz Ae para todoα, β∈IR, valem:

1) (αβ)A=α(βA) 2) (α+β)A=αA+βA 3)α(A+B) =αA+αB 4) 1A=A

Exemplo 3 Se A=

2 −1 0

1 3 1

,B=

0 0 2

−1 1 2

eC=

3 2 0 0 1 0

,

A+ 3B−C=

2 + 0−3 −1 + 0−2 0 + 6−0 1−3−0 3 + 3−1 1 + 6−0

=

−1 −3 6

−2 5 7

3) Multiplica¸c˜ao de matrizes: O produto das matrizes A= (aij)mxp eB = (bij)pxn ´e a matriz C= (cij)mxn, onde cada elementocij ´e obtido pela soma dos produtos dos elementos da i-´esima linha de A pelos elementos da j-´esima coluna deB, isto ´e, cik=Pn

j=1aij·bjk=ai1·b1k+...+ain·bnk .

Exemplo 4 Se A=



 1 3 0 4 2 1





3×2

e B=

1 2

−1 0

2×2

ent˜aoC_3×2=A.B=





1.1 + 3.(−1) 1.2 + 3.0 0.1 + 4.(−1) 0.2 + 4.0 2.1 + 1.(−1) 2.2 + 1.0



=





−2 2

−4 0 1 4





Exerc´ıcio 1 Sendo A=

2 3 1 4

eB =

3 −1

−2 4

, calcular :

a ) A+B b ) B−A c ) (2A+B)^T

Exerc´ıcio 2 Calcular

1 2 −3

0 −1 4

×





1 5

−2 2 3 −1



.

Exerc´ıcio 3 Dadas as matrizesA=

0 3 0 3

, B=

1 1 0 0

eC=

0 1

−1 2

, obter a)AB b)A×I2=Ae C×I3 c)A.(B+C)eA.B+A.C

Exerc´ıcio 4 Dadas as matrizesA=

2 1 3 0 −1 0

, B=



 0 1

−1



 eC= −2 1 0

, determinar(AB)C eA(BC).

Exerc´ıcio 5 Sendo A=

−2 2

−3 3

eB=

5 −1

3 4

, calcule X de modo que3X−2A=B.

DETERMINANTES (somente para matrizes quadradas)

Nota¸c˜ao: detA,|A|ou det 5 1

8 2

ou

5 1 8 2

ou

5 1 8 2

. C´alculo de determinantes

• Matriz de ordem 1: |a11|=a11 Exemplos: |1| = 1 e|−1|=−1

• Matriz de ordem 2: det A =

a11 a12

a21 a22

=a11.a22−a12.a21 Ex:

2 −1

3 4

= 8 + 3 =11

• Matriz de ordem 3 (Regra de Sarrus)

Ex:

2 0 2 1 5 6

−1 3 4

= 40 + 0 + 6−(−10)−36−0 = 20

Propriedades

1. detA= detA^T

2. det (AB) = detA.detB (Teorema de Binet)

3. Ao multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) pork, o determinante da matriz fica multiplicado pork.

4. det (k·An) =kⁿ.detAn

5. O determinante de uma matriz ´e zero se ela tiver uma fila nula. O mesmo ocorre se duas filas s˜ao iguais, proporcionais ou se uma for combina¸c˜ao linear das demais filas paralelas.

6. A cada troca de posi¸c˜ao de uma fila qualquer haver´a uma troca de sinal no determinante.

Exerc´ıcio 6 Sejam A=

1 2 3 4

eB=

5 0

−1 2

. Calcular:

a ) detA^T b ) detB c ) det (AB) d) det

5 10

3 4

e) det 5A

Exerc´ıcio 7 Por qual raz˜ao os determinantes abaixo s˜ao nulos?

a)

1 2 3 4 5 6 0 0 0

b)

1 2 3

1 2 3

−1 7 √ 5

c)

1 2 3

2 4 6

−1 7 √ 5

d )

1 2 3

4 5 6

6 9 12

Exerc´ıcio 8 Calcule os determinantes:

a)

0 1 2

3 −1 0

0 2 −2

b)

3 −1 0

0 1 2

0 2 −2

c )

2 3 5 4 1 0 3 0 0

d)

1 4 8 0 5 7 0 0 9

Exerc´ıcio 9 Para quais valores de x,

x 0 1 0 x 1 1 1 1

= 0?

COFATOR e TEOREMA DE LAPLACE (ap´os Produtos Vetorial e Misto)

Cofatorde um elemento a_ij da matriz ´e definido porc_ij= (−1)^i+j.detA_ij , ondeA_ij ´e a matriz Asem linhaie colunaj.

Exemplo: Para A=









1 1 2 0

1 0 1 1

0 2 0 3

1 1 −1 1









, tem-se c₃₂= (−1)³⁺²×det





1 2 0

1 1 1

1 −1 1



=−(1 + 2 + 1−2) =−2

c34= (−1)³⁺⁴×det





1 1 2

1 0 1

1 1 −1



=−(1 + 2−1 + 1) =−3, etc

Teorema de Laplace (Determinantes de matrizes de ordem arbitr´aria): detA=P

filaaij×cij

Sugest˜ao: Escolher uma fila que tem mais 0.

det









1 1 1 0

1 0 1 1

0 2 0 3 1 1 −1 1









= 2×(cofator de 2) + 3×(cofator de 3) = 2×(−2) + 3×(−2) =−4−6 =−10

Exerc´ıcio 10 Calcular

a ) det









0 1 2 1 3 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 0









b) det









1 −2 3 0

0 2 1 4

−1 2 0 3

1 1 1 0









MATRIZ INVERSA

Sejam A eB matrizes quadradas de ordemn. A matrizB ´e a inversa da matrizA, se e somente se, A·B =B·A=In. Se A n˜ao possui inversa, A ´e denominada singular ou n˜ao-invert´ıvel. Se A possui inversa ela ´e n˜ao-singular ou invert´ıvel. Se A ´e invert´ıvel ent˜ao existe uma ´unica matriz inversa e ela ´e indicada por A⁻¹.

Exemplo 5 Sejam as matrizes A=

1 2 3 4

eB=

−2 1 3 2 −1

2

!

. Ent˜ao B ´e a matriz inversa de A, pois

A·B =

1 2 3 4

−2 1 3 2 −1

2

!

=

1 0 0 1

=I₂.

OBS: SeA·B=I, n˜ao precisamos verificar a condi¸c˜aoB·A=I porque a igualdade estar´a automaticamente satisfeita.

Exemplo 6 Determine A⁻¹, se existir, onde A=

2 1 1 1

.

Suponhamos que existaA⁻¹=

a b c d

. Ent˜aoA·A⁻¹=I2⇔

2 1 1 1

a b c d

=

2a+c 2b+d a+c b+d

=

1 0 0 1

⇔

( 2a+c= 1⇒2a−a= a= 1 a+c= 0⇒c=−a⇒ c=−1 e

( 2b+d= 0⇒d=−2b⇒ d= 2

b+d= 1⇒b−2b= 1⇒ b=−1 Logo,A⁻¹=

1 −1

−1 2

.

Uma matrizA´e invert´ıvel somente quando detA6= 0.

Exerc´ıcio 11 Para cada matriz abaixo, determineA⁻¹, se existir.

a) A=

1 1 2 3

b)A=

2 1 1 1 2

!

Exerc´ıcio 12 A matriz A=









0 1 0 0

1 5 1 0

1 3 1 0

1 2 2 −1









´e invert´ıvel?

ADJUNTA

A matriz adjunta cl´assica de uma matriz (quadrada), denotada poradjA, ´e a transposta da matriz de cofatores.

Exemplo 8 Sendo A=





2 0 1

0 −1 2

1 0 4



, a adjunta deA´eadjA=





−4 0 1 2 7 −4 1 0 −2



 pois os cofatores s˜ao:

c₁₁= +

−1 2 0 4

=−4 c₁₂=−

0 2 1 4

= 2 c₁₃= +

0 −1

1 0

= 1

c21=−

0 1 0 4

= 0 c22= +

2 1 1 4

= 7 c23=−

2 0 1 0

= 0

c31= +

0 1

−1 2

= 1 c32=−

2 1 0 2

=−4 c33= +

2 0

0 −1

=−2

A inversa da matrizApode ser calculada por A⁻¹= 1 detAadjA

Exemplo 9 Se A´e a matriz do exemplo anterior,detA=−7 e ent˜ao A⁻¹= 1

detAadjA=−1 7





−4 0 1 2 7 −4 1 0 −2



=





4/7 0 −1/7

−2/7 −1 4/7

−1/7 0 2/7



.

Exerc´ıcio 13 Calcule a inversa das seguintes matrizes, utilizando a adjunta cl´assica:

a) A=

2 1 1 1

b)A=





0 1 0 1 0 0 0 0 1



