Superposição de ondas
A superposição de ondas resulta numa onda
que corresponde à soma algébrica das ondas
sobrepostas
A superposição de ondas não afeta de
nenhum modo a progressão de cada uma
0 0 1 22 3 44 5 66 7 88 9 1010 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
y
x
Ondas Sonoras
Interferência
Batimentos
Tempo
t
p
sen
t
p
1
o
1
p
2
t
p
o
sen
2
t
t
p
t
sen
t
p
o
méd
2
1
cos
2
1
2
2
2 1
méd
2
1
f
f
f
bat
t
p
f
f
t
sen
f
f
t
p
2
ocos
1
2
1
2É a frequência de
batimento
O som que se ouve tem uma frequência média
2
2
1
f
f
f
méd
E uma amplitude de
ft
p
o
cos
2
Ex 16-2 Quando um diapasão de 440 Hz (nota lá de afinação de uma
orquestra) soa simultaneamente com o som da corda lá de uma guitarra
levemente desafinada, três batimentos por segundo são ouvidos.
Aperta-se (estica-Aperta-se) um pouco a corda da guitarra para aumentar sua frequência;
a frequência de batimento aumenta para 6 batimentos por segundo.
Conforme a corda da guitarra é levemente apertada, há um leve aumento
em sua frequência de batimento. Qual era a frequência produzida pela
corda da guitarra antes de ter sido apertada?
Diferença de fase devido à diferença de Percurso
As funções de onda para ondas originadas de duas fontes que
oscilam em fase pode ser escritas como:
p
1= p
0sen (kL
1–
t) e p
2= p
0sen (kL
2–
t)
d
= (kL
2–
t) - (kL
1–
t) = k(L
2– L
1) = k
L
A diferença de fase para estas duas ondas será:
Sabendo que
k = 2
/
l
,
d
= k
L =
l
L
2
P1 e P2 são os pontos de interferênciaL
1L
2L
1L
2Ondas Sonoras
Interferência
Construtiva
Destrutiva
2 12
L
L
d
l
...
3
,
2
,
l
l
l
L
...
2
5
,
2
3
,
2
l
l
l
L
Número ímpar de 0,5
l
Ex 16-3 Duas fontes sonoras oscilam em fase. Para um ponto distante 5 m
de uma das fontes e 5,17 m da outra, a amplitude do som de cada fonte,
separadamente, é p
0. Calcule a amplitude da onda resultante se a
frequência da onda sonora for de (a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz e (c) 500 Hz.
(Admita que a velocidade do som é de 340 m/s.)
Ex 16-4 Dois alto-falantes, um diante do outro, estão separados por uma
distância de 180 cm e são alimentados por um oscilador de áudio comum de
680 Hz. Localize o ponto entre os dois alto-falantes, ao longo da linha que
passa pelos respectivos centros, no qual a intensidade do som é (a) máxima
e (b) mínima. (Despreze a variação da intensidade de cada um dos
alto-falantes com a distância e admita que a velocidade do som é de 340 m/s.)
Reflexão de uma onda numa corda nas
suas fronteiras
Ondas Estacionárias
Se duas ondas com a mesma amplitude e
comprimento de onda, se deslocarem em sentidos
opostos ao longo da mesma direção, a sua
interferência produzirá um onda estacionária
nó
nó
Antinó ou
ventre
x
t
y
senkx
t
y
,
2
m
cos
x
t
y
sen
kx
t
y
1
,
m
y
2
x
,
t
y
m
sen
kx
t
amplitude na posição x
termo oscilante
2
l
Ex 16-7 As funções de onda para duas ondas com iguais amplitudes, frequências e
comprimentos de onda, mas que se deslocam em sentidos opostos, são dadas por y1 = yo
sen (kx -
t) e y2 = yo sen (kx +
t). Mostre que a superposição dessas duas ondas é umaonda estacionária, (b) Uma onda estacionária em uma corda com ambas as extremidades fixas é dada por y(x,t) = (0,024 m) sen(52,3 m-1 x) cos(480 s-1t). Calcule a velocidade das
FII – QA
MRCP DF – UM
As ondas incidente e refletida combinam-se de acordo com o princípio da superposição.
Para uma dada corda ou tubo, existem certas frequências para as quais a superposição
provoca um padrão de vibração estacionário, chamado de
ondas estacionárias
.
Numa corda presa por ambas as extremidades para certas
frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A
cada uma corresponde um modo de vibração com os nós
situados nas extremidades.
Modo fundamental ou primeiro harmónico
Segundo harmónico
Terceiro harmónico
Ondas Estacionárias
L
v
f
L
n
2
1
1
2
1
1
1
l
L
v
f
L
n
2
2
2
2
2
2
2
l
L
v
f
L
n
2
3
3
2
3
3
3
l
Numa corda presa por ambas as extremidades para certas
frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A
cada uma corresponde um modo de vibração com os nós
situados nas extremidades.
Genericamente um harmónico de ordem
n
ocorre para:
Ondas Estacionárias
n
L
n
2
l
1
2
L
nf
v
n
f
n
com n = 1, 2, 3, …
Condição de onda estacionária
Ex 16-6 Existe um emprego de verão em uma loja de música. O trabalho consiste em ajudar o proprietário a construir instrumentos. O primeiro problema é testar um novo fio para possível uso em pianos. O novo empregado é informado que 3 m do fio têm 0,0025 kg/m e que foram encontradas duas frequências de ressonância. Uma das frequências é de 252 Hz e a imediatamente seguinte a essa é de 336 Hz. O problema é determinar a frequência fundamental do fio e determinar se o fio é ou não uma boa escolha para ser usado como corda de piano. O proprietário ainda informa que, por razões de segurança, a
resistência à força de tração no fio não deve ser superior a 700 N.
Ex 16-5 Uma corda é esticada entre dois suportes fixos, separados de 0, 7 m. A força de tração é ajustada até a frequência fundamental correspondente à da nota LÁ de afinação,
Numa corda presa por uma das extremidades também se
formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada
uma corresponde um modo de vibração com os nós situados
na extremidade presa e o ventre na extremidade livre.
Modo fundamental ou primeiro harmónico
Terceiro harmónico
Quinto harmónico
Ondas Estacionárias
L
v
f
L
n
4
1
1
4
1
1
1
l
L
v
f
L
n
4
3
3
4
3
3
3
l
L
v
f
L
n
4
5
5
4
5
5
5
l
l 4 1 L l 4 3 L l 4 5 L
Numa corda presa por uma das extremidades também se
formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada
uma corresponde um modo de vibração com os nós situados
na extremidade presa e o ventre na extremidade livre.
Genericamente um harmónico de ordem
n
ocorre para:
Ondas Estacionárias
n
L
n
4
l
1
4
L
nf
v
n
f
n
com n = 1, 3, 5, …
Ondas sonoras estacionária
(ressonância)
Tubo aberto dos dois lados
Tubo aberto num dos lados
Ondas Sonoras
1
2
L
nf
v
n
f
n
com n = 1, 2, 3, …
1
4
L
nf
v
n
f
n
com n = 1, 3, 5, …
Lef = L +
L
Onde
L é a correção da
extremidade, que é da
ordem do diâmetro do tubo
Ex 16-8 Se a velocidade do som é de 340 m/s, quais as frequências permitidas e os
comprimentos de onda em um tubo aberto (com ambas as extremidades livres) de um órgão que apresenta comprimento efetivo de 1 m?
Ex 16-9 Quando um diapasão de 500 Hz é
golpeado e aproximado de um tubo parcialmente cheio de água, como mostra a Figura 16-18,
observam-se ressonâncias quando o nível de água está a distâncias L = 16,0 cm; 50,5 cm; 85,0 cm e 119,5 cm a partir do topo do tubo. (a) Qual a velocidade do som no ar?
(b) A que distância a partir da extremidade aberta do tubo está localizado o antinó de
Análise de movimentos periódicos
Análise de Fourier
Qualquer movimento periódico pode ser
considerado como a sobreposição de
movimentos harmônicos simples
Teorema de Fourier – uma função periódica f(t) de
período T=2
π/ω pode ser expressa como uma
sobreposição de termos harmônicos simples
t
a
0
a
1
cos
t
a
2
cos
2
t
...
a
cos
n
t
...
f
n
...
sin
...
2
sin
sin
2
1
b
t
b
t
b
n
n
t
FII – QA
MRCP DF – UM
