Distribuições temperadas e calculo estocastico

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(1)Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática, Estat´ıstica e Computa¸caõ Cient´ıfica Departamento de Matemática. Disserta¸c˜ ao de Mestrado. Distribui¸ co ˜es Temperadas e C´ alculo Estoc´ astico por. Luis Roberto Lucinger de Almeida. †. Mestrado em Matemática - Campinas - SP. Orientador: Prof. Dr. Pedro Jos´ e Catuogno. †. Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES.

(2) i.

(3) FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP Bibliotecária: Maria Júlia Milani Rodrigues. Almeida, Luis Roberto Lucinger de AL64d. Distribuições temperadas e cálculo estocástico / Luis Roberto Lucinger de Almeida -- Campinas, [S.P. :s.n.], 2008. Orientador : Pedro José Catuogno Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. 1. Análise estocástica. 2. Teoria das distribuições (Análise funcional). 3. Processo estocástico. I. Catuogno, Pedro José. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.. Título em inglês: Tempered distributions and stochastic calculus. Palavras-chave em inglês (Keywords): 1. Stochastic analysis. 2. Functional analysis. 3. Stochastic processes. Área de concentração: Análise Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora: Prof. Dr. Pedro José Catuogno (IMECC-UNICAMP) Prof. Dr. Edson Alberto Coayla Teran (UFBA) Prof. Dr. Paulo Regis Caron Ruffino (IMECC-UNICAMP) Data da defesa: 17/03/2008 Programa de pós-graduação: Mestrado em Matemática. ii.

(4) iii.

(5) AGRADECIMENTOS ` minha fam´ılia, que sempre me apoiou e sempre me deu suporte em todos os A momentos da minha vida. ` minha noiva Bianca, por ficar do meu lado todo esse tempo, e mesmo assim ainda A querer se casar comigo. Aos amigos que fiz nesses anos, pelo apoio acadêmico, pela amizade espetacular e, principalmente, pela companhia. Em particular, Thiago F. F., Ricardo M. M., Durval J. T., Adilson E. P., Mazilio C. M.. Em especial, aos que moraram ou ainda moram comigo, Mauricio Y. M., Diogo D. S. S., Welington V. A., João P. B., Anderson L. A. A., Lino A. S. G., Mateus A., Mayk V. C.. ` todos os professores com que tive contato, em especial ao meu orientador, por A sua sabedoria tanto como matemático quanto como orientador, e, principalmente, pela grande pessoa que é. Aos funcionários do Imecc, principalmente aos da secretaria de pós-gradua¸caõ. E à todos aqueles que me ajudaram, direta ou indiretamente, MUITO OBRIGADO!. iv.

(6) Resumo Nessa disserta¸caõ, demonstraremos uma fórmula de Itô para distribui¸co˜es temperadas, ou seja, para uma distribui¸caõ F em S 0 . Para tanto, apresentaremos a teoria das distribui¸co˜es temperadas e do cálculo estocástico necessária para esta finalidade.. v.

(7) Abstract In this work, we will prove an Itô formula for tempered distributions, that is, for a distribution F in S 0 . To achieve this, we will introduce the theory of tempered distributions and of stochastic calculus that will be needed.. vi.

(8) Índice Introdu¸c˜ ao. 1. 1 Distribui¸c˜ oes temperadas. 2. 1.1. Espa¸cos localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Espa¸co de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.3. O espa¸co de Schwartz e as distribui¸co˜es temperadas . . . . . . . . . . . . . 11. 1.4. Fun¸co˜es de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 2 Probabilidade e c´ alculo estoc´ astico. 28. 2.1. Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 2.2. Movimento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 2.3. Fórmula de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 2.4. Integra¸cão estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 3 Uma f´ ormula de Itˆ o para as distribui¸co ˜es temperadas. 42. 3.1. Ru´ıdo branco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 3.2. A transformada S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 3.3. Fun¸co˜es generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 3.4. Composi¸caõ com distribui¸cões temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. 3.5. Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. A Apˆ endice. 66. A.1 Resultados sobre polinômios de Hermite, e um resultado de K. Itô . . . . . 66 A.2 Espa¸cos de Sobolev e convolu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 vii.

(9) ´ INDICE. Bibliografia. viii. 74.

(10) Introdu¸ c˜ ao Kyosi Itô (1915 - ) é um matemático japonês que, em 1951, introduziu a famosa fórmula de Itô, que pode ser interpretada como uma versão do teorema fundamental do cálculo e possui aplica¸cões tanto em matemática e probabilidade, quanto em economia. No primeiro cap´ıtulo, introduziremos um pouco da teoria das distribui¸cões temperadas, que é o dual do espa¸co de Schwartz das fun¸co˜es de rápido decaimento. Come¸caremos com os espa¸cos vetoriais topológicos e algumas de suas propriedades, e, terminaremos com os teoremas de representa¸caõ para o espa¸co de Schwartz e as distribui¸co˜es temperadas, onde se fará necessária um pouco da teoria das fun¸co˜es de Hermite. No cap´ıtulo seguinte, apresentaremos a teoria probabil´ıstica necessária para o cálculo estocástico. Além disso, introduziremos o processo conhecido como movimento Browniano e alguns resultados do cálculo estocástico que utilizaremos para a demonstrar a fórmula de Itô e a integral de estocástica. No terceiro e u ´ltimo cap´ıtulo, introduziremos os conceitos básicos da teoria do ru´ıdo branco (White Noise Analysis) e daremos a defini¸caõ da composi¸caõ de uma distribui¸cão temperada com um movimento Browniano, baseado na expansão das distribui¸cões temperadas tratada no primeiro cap´ıtulo. Por fim, demonstraremos uma extensão da fórmula de Itô, devido à A. Russek [12] e I. Kubo [4], para distribui¸co˜es temperadas. Por fim, no apêndice, apresentaremos brevemente a teoria dos espa¸cos de Sobolev, convolu¸cão e algumas propriedades dos polinômios de Hermite.. 1.

(11) Cap´ıtulo 1 Distribui¸ co ˜es temperadas Neste cap´ıtulo, introduziremos o espa¸co de Schwartz, as distribui¸co˜es temperadas e algumas de suas propriedades. Além disso, demonstraremos seus respectivos teoremas de representa¸caõ, onde estão envolvidas as fun¸cões de Hermite. Tais espa¸cos serão muito importantes no desenvolvimento do cap´ıtulo 3.. 1.1. Espa¸cos localmente convexos. Aqui, apresentaremos os espa¸cos vetoriais topológicos e algumas de suas propriedades elementares. Defini¸c˜ ao 1.1.1 Seja V um espa¸co vetorial sobre R ou C. Uma aplica¸caõ ρ : V → [0, ∞) é dita uma seminorma em V se possui as seguintes propriedades: (i) ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y); (ii) ρ(αx) = |α|ρ(x); para quaisquer x, y ∈ V e α ∈ R (ou C). Sejam A um conjunto de ´ındices qualquer e {ρα }α∈A uma fam´ılia de seminormas tal que: (iii) ρα (x) = 0, para todo α ∈ A, implica x = 0. Dizemos que tal fam´ılia separa pontos. 2.

(12) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 3. Defini¸c˜ ao 1.1.2 Um espa¸co localmente convexo é um par (X, {ρα }α∈A ) onde X é um espa¸co vetorial (sobre R ou C) e ρα é uma fam´ılia de seminormas em X que separa pontos. A topologia natural num espa¸co localmente convexo é a topologia mais fraca, na qual todas as seminormas ρα são cont´ınuas. Nesta topologia, a opera¸cão de adi¸caõ também é cont´ınua. Por exigirmos que, num espa¸co localmente convexo, as seminormas separem pontos, temos o seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 1.1.3 A topologia natural num espa¸co localmente convexo é Hausdorff. Demonstra¸cão:. Trivial.. . Defini¸c˜ ao 1.1.4 Na topologia natural de um espa¸co localmente convexo (X, {ρα }α∈A ), a base de vizinhan¸cas do 0 é formada pelos conjuntos {Nα1 ,···,αn ;ε | α1 , . . . , αn ∈ A; ε > 0}, onde Nα1 ,···,αn ;ε = {x ∈ X | ραi (x) < ε, i = 1, · · · , n}. Proposi¸c˜ ao 1.1.5 Uma rede (xλ )λ∈Λ converge para x ∈ X se, e somente se, ρα (xλ − x) converge para 0, para todo α ∈ A. Demonstra¸cão: Basta observar que se N é uma vizinhan¸ca do 0, então o conjunto x+N = {x + y | y ∈ N } é uma vizinhan¸ca de x. Defini¸c˜ ao 1.1.6 Uma rede (xλ )λ∈Λ num espa¸co localmente convexo X é dita ser de Cauchy quando para todo ε > 0, e cada seminorma ρα , exitir λ0 ∈ Λ tal que ρα (xλ − xλ0 ) < ε se λ, λ0 ≥ λ0 . X é dito completo quando toda rede de Cauchy converge. Defini¸c˜ ao 1.1.7 Duas fam´ılias de seminormas {ρα }α∈A e {dβ }β∈B num espa¸co vetorial X são ditas equivalentes se elas geram a mesma topologia. Proposi¸c˜ ao 1.1.8 Sejam {ρα }α∈A e {dβ }β∈B duas fam´ılias de seminormas num espa¸co vetorial X. São equivalentes: (a) {ρα }α∈A e {dβ }β∈B são fam´ılias equivalentes de seminormas;.

(13) ˜ 1.1 • Espa¸ SEC ¸ AO cos localmente convexos. 4. (b) Cada ρα é cont´ınua na topologia gerada pela fam´ılia {dβ }β∈B e cada dβ é cont´ınua na topologia gerada pela fam´ılia {ρα }α∈A ; (c) Para cada α ∈ A, existem β1 , · · · , βn ∈ B e C > 0 tais que, para todo x ∈ X, ρα (x) ≤ C(dβ1 (x) + · · · + dβn (x)), e para cada β ∈ B, existem α1 , · · · , αm ∈ A e D > 0 tais que, para todo x ∈ X, dβ (x) ≤ D(ρα1 (x) + · · · + ραm (x)). Demonstra¸cão:. ´ fácil ver que (a) ⇔ (b). E. (b) ⇒ (c) Como cada ρα é cont´ınua na topologia gerada por {dβ }β∈B , segue que dados α ∈ A e δ > 0, existe uma vizinhan¸ca Nβ1 ,···,βn ;ε ⊂ X tal que se y ∈ Nβ1 ,···,βn ;ε , então ρα (y) < δ. Dado x ∈ X, considere y=. ε x . 2 dβ1 (x) + · · · + dβn (x). Logo, y ∈ Nβ1 ,···,βn ;ε , e assim, ρα (y) < δ, donde segue que ρα (x) ≤ C(dβ1 (x) + · · · + dβn (x)). A desigualdade para dβ se mostra de maneira análoga. (c) ⇒ (b) Sejam x0 ∈ X e ε > 0. Sejam C > 0 e β1 , · · · , βn ∈ B tais que ρα (x − x0 ) < C(dβ1 (x − x0 ) + · · · + dβn (x − x0 )), para todo x ∈ X. Como cada dβi é cont´ınua na topologia gerada por {dβ }β∈B , segue que, para cada i ∈ {1, · · · , n}, existe vizinhan¸ca Vxi 0 de x0 em X tal que dβi (x − x0 ) < para todo x ∈ Vxi 0 . Assim, tomando Vx0 =. Tn. i=1. ε , nC. Vxi 0 segue que. ρα (x − x0 ) < ε, para todo x ∈ Vx0 . Portanto, cada ρα é cont´ınua na topologia gerada por {dβ }β∈B . Analogamente, cada dβ é cont´ınua na topologia gerada pela fam´ılia {ρα }α∈A .. .

(14) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 5. Defini¸c˜ ao 1.1.9 Seja {ρα }α∈A uma famil´ıa de seminormas num espa¸co vetorial V . Dizemos que ρα é uma fam´ılia dirigida de seminormas se, para quaisquer α, β ∈ A existir γ ∈ A e C > 0 tais que ρα (x) + ρβ (x) ≤ Cργ (x), para todo x ∈ V . Observa¸c˜ ao 1.1.10 Se {ρα }α∈A é uma fam´ılia dirigida, então os conjuntos da forma {x | ρα (x) < ε}, onde α ∈ A e ε > 0 formam uma base de vizinhan¸cas do 0. Proposi¸c˜ ao 1.1.11 Seja (X, {ρα }α∈A ) um espa¸co localmente convexo. Então, existe uma fam´ılia dirigida de seminormas {dF }F ∈B que é equivalente à fam´ılia {ρα }α∈A . Demonstra¸cão: Seja B = {F ⊂ A | F é finito} e defina, para cada F ∈ B, dF = P encia se segue da Proposi¸cão 1.1.8, observando que cada dF é cont´ınua α∈F ρα . A equivalˆ na topologia gerada por {ρα }α∈A , e vice-versa. Para mostrar que {dF }F ∈B é dirigida, basta ver que, dados E, F ∈ B, tem-se dE (x) + dF (x) ≤ dE∪F (x), para todo x ∈ X. Sabemos que uma aplica¸caõ linear entre espa¸cos normados é cont´ınua se, e somente se, é limitada. Aqui, temos um resultado similar: Teorema 1.1.12 Sejam (X, {ρα }α∈A ) e (Y, {dβ }β∈B ) espa¸cos localmente convexos. Uma aplica¸cão linear T : X → Y é cont´ınua se, e somente se, para qualquer β ∈ B, existem α1 , · · · , αn ∈ A e C > 0 tais que dβ (T (x)) ≤ C(ρα1 (x) + · · · + ραn (x)), para todo x ∈ X. Demonstra¸cão: (⇒) Seja β ∈ B. Como T (0) = 0, T é cont´ınua e V = {y ∈ Y | dβ (y) < 1} é vizinhan¸ca de 0 ∈ Y , segue que existe uma vizinhan¸ca U de 0 ∈ X tal que T (U) ⊂ V. Sejam α1 , · · · , αn ∈ A e ε > 0 tais que U = Nα1 ,···,αn ;ε . Dado x ∈ X, segue que x=. ε x ∈ U, 2 ρα1 (x) + · · · + ραn (x).

(15) ˜ 1.1 • Espa¸ SEC ¸ AO cos localmente convexos. 6. e portanto, T (x) ∈ V, isto é, dβ (T (x)) ≤ C(ρα1 (x) + · · · + ραn (x)), onde C = 2ε . (⇐) Sejam x ∈ X e (xλ )λ∈Λ uma rede que converge para x. Logo, para qualquer β ∈ B, temos dβ (T (xλ ) − T (x)) ≤ C(ρα1 (xλ − x) + · · · + ραn (xλ − x)) → 0. Então, T (xλ ) → T (x), mostrando que T é cont´ınua em x.. . Corol´ ario 1.1.13 Se a fam´ılia {ρα }α∈A for dirigida, T é cont´ınua se, e somente se, para qualquer β ∈ B, existem α ∈ A e D > 0 tais que dβ (T (x)) ≤ Dρα (x), para todo x ∈ X. Defini¸c˜ ao 1.1.14 Seja V um espa¸co vetorial. Dizemos que um subconjunto C ⊂ V é (i) convexo, se para quaisquer x, y ∈ C e 0 ≤ t ≤ 1, tivermos tx + (1 − t)y ∈ C; (ii) equilibrado, se para quaisquer x ∈ C e |λ| ≤ 1, tivermos λx ∈ C; S (iii) absorvente, se t>0 tC = V , ou seja, se para qualquer x ∈ V , tivermos que tx ∈ C para algum t > 0. Proposi¸c˜ ao 1.1.15 Se (X, {ρα }α∈A ) é um espa¸co localmente convexo, então cada vizinhan¸ca do 0 da forma Nα1 ,···,αn ;ε é um conjunto convexo, equilibrado e absorvente. Demonstra¸cão:. Sejam α1 , · · · , αn ∈ A e ε > 0. Considere N = Nα1 ,···,αn ;ε . Então:. N é convexo, pois dados x, y ∈ N e t ∈ [0, 1], segue que para qualquer j ∈ {1, · · · , n}, ρj (tx + (1 − t)y) = tρj (x) + (1 − t)ρj (y) < tε + (1 − t)ε = ε..

(16) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 7. N é equilibrado, pois dados x ∈ N e |λ| ≤ 1, segue que para qualquer j ∈ {1, · · · , n}, ρj (λx) = |λ|ρj (x) ≤ ρj (x) < ε. N é absorvente. De fato, seja x ∈ X. Se ρj (x) = 0 para todo j ∈ {1, · · · , n}, então S x = 1x ∈ t>0 tN . Por outro lado, suponha que, ρj (x) 6= 0 para algum j ∈ {1, · · · , n}. 1 Logo, 1t = 2ε ρ1 (x)+···+ρ > 0, e ρj ( 1t x) < ε, para todo j ∈ {1, · · · , n}. Sendo assim, n (x) S S x = ty, para algum y ∈ N , donde se segue que X ⊂ t>0 tN . Portanto, X = t>0 tN . Estamos interessados em mostrar a rec´ıproca desta proposi¸caõ. Para tanto, precisaremos de um lema auxiliar, sobre o funcional de Minkowski. Defini¸c˜ ao 1.1.16 Seja C um subconjunto absorvente de um espa¸co vetorial V tal que se x ∈ C e 0 ≤ t ≤ 1, então tx ∈ C. Definimos o funcional de Minkowski (ou calibre) de C como sendo a aplica¸caõ ρ : V → [0, ∞) dada por ρ(x) = inf{λ | x ∈ λC} = (sup{µ | µx ∈ C})−1 . Lema 1.1.17 Seja C ⊂ V como na Defini¸cão 1.1.16, e seja ρ : V → [0, ∞) o funcional de Minkowski de C. Temos: (a) Se t ≥ 0, então ρ(tx) = tρ(x); (b) Se C é convexo, então ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y); (c) Se C é equilibrado, então ρ(λx) = |λ|ρ(x); (d) {x | ρ(x) < 1} ⊂ C ⊂ {x | ρ(x) ≤ 1}. Demonstra¸cão: e assim,. (a) Dados x ∈ V e t ≥ 0, seja λ0 > 0 tal que x ∈ λ0 C. Logo, tx ∈ tλ0 C, ρ(tx) = inf{λ | tx ∈ λC} ≤ tλ0 ,. isto é, ρ(tx) ≤ tλ, para qualquer λ > 0 tal que x ∈ λC. Então, ρ(tx) ≤ t inf{λ | x ∈ λC} = tρ(x)..

(17) ˜ 1.1 • Espa¸ SEC ¸ AO cos localmente convexos. 1 t. Analogamente, trocando t por. 8. e x por tx, obtemos 1 1 ρ tx ≤ ρ(tx). t t. Portanto, ρ(tx) = tρ(x). (b) Sejam x, y ∈ V . Considere λ1 , λ2 > 0 tais que x ∈ λ1 C e y ∈ λ2 C. Note que, se z ∈ (λ1 + λ2 )C, então z = λ1 v + λ2 v, para algum v ∈ C, e assim, z ∈ λ1 C + λ2 C. Por outro lado, se z ∈ λ1 C + λ2 C, então z = λ1 v1 + λ2 v2 , com v1 , v2 ∈ C. Como C é convexo, 1 2 segue que w = λ1λ+λ v1 + λ1λ+λ v2 ∈ C, e portanto, z = (λ1 + λ2 )w ∈ (λ1 + λ2 )C. Sendo 2 2 assim, λ1 C + λ2 C = (λ1 + λ2 )C. Segue de x ∈ λ1 C e y ∈ λ2 C que existem u, v ∈ C tais que x = λ1 u e y = λ2 v. Logo, x + y = λ1 u + λ2 v ∈ λ1 C + λ2 C = (λ1 + λ2 )C. Então, ρ(x + y) ≤ λ1 + λ2 , ou seja, ρ(x + y) ≤ λ1 + λ2 , para quaisquer λ1 , λ2 > 0 tais que x ∈ λ1 C e y ∈ λ2 C. Portanto, ρ(x + y) ≤ inf{λ | x ∈ λC} + inf{λ | y ∈ λC} = ρ(x) + ρ(y). (c) Sejam x ∈ V e λ um escalar. Se x = 0 ou λ = 0, então a igualdade é satisfeita, pois ρ(0) = 0. Suponha então x 6= 0 e λ 6= 0. Considere µ > 0 tal que x ∈ µC. Assim, λ λ x x = µv, para algum v ∈ C. Logo, µx = v ∈ C, e como |λ| tem norma 1, segue que |λ| ∈ C, µ pois C é equilibrado. Resulta que λx ∈ (|λ|µ)C. Então, ρ(λx) = inf{ν | λx ∈ νC} ≤ |λ|µ ≤ |λ| inf{ν | x ∈ νC} = |λ|ρ(x). Analogamente, trocando λ por. 1 λ. e x por λx, segue que 1 1 ρ λx ≤ | |ρ(λx). λ λ. Portanto, ρ(λx) = |λ|ρ(x). (d) Seja x ∈ C. Como 1 ∈ {λ | x ∈ λC}, segue que ρ(x) ≤ 1. Logo, C ⊂ {x | ρ(x) ≤ 1}. Por outro lado, seja x tal que ρ(x) < 1. Então, existe λ ∈ (0, 1) tal que x ∈ λC. Assim, 1 x ∈ C. Como C é absorvente, conclu´ımos que x = λ( λ1 x) ∈ C, isto é, {x | ρ(x) < 1} ⊂ C. λ .

(18) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 9. Teorema 1.1.18 Seja V um espa¸co vetorial com uma topologia Hausdorff, tal que a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar são fun¸cões cont´ınuas. Então V é um espa¸co localmente convexo se, e somente se, 0 possui uma base de vizinhan¸cas formada por conjuntos que são convexos, equilibrados e absorventes. Demonstra¸cão:. (⇐) Proposi¸cão 1.1.15.. (⇒) Seja U tal base. Para cada U ∈ U, seja ρU seu funcional de Minkowski. Pelos itens (b) e (c) do Lema 1.1.17, segue que {ρU | U ∈ U} é uma fam´ılia de seminormas em V . Denote por τρ a topologia gerada por essa fam´ılia e por τ a topologia de V . Pelo item (d) do Lema 1.1.17, temos que {x | ρU (x) < 1} ⊂ U ⊂ {x | ρU (x) ≤ 1}. Como a multiplica¸caõ por escalar é uma aplica¸cão cont´ınua, segue que para todo ε > 0, {x | ρU (x) < ε} ⊂ εU ⊂ {x | ρU (x) ≤ ε}, para cada U ∈ U. Sendo assim, τ e τρ coincidem no 0. Logo, como a adi¸caõ e uma aplica¸caõ cont´ınua, τ e τρ coincidem em todo ponto de V . Portanto, τ = τρ . . 1.2. Espa¸co de Fr´ echet. Nesta se¸caõ, falaremos sobre espa¸cos localmente convexos completos. Fato esse que está relacionado com a metrizabilidade. Teorema 1.2.1 Seja X um espa¸co localmente convexo. São equivalentes: (a) X é metrizável; (b) 0 possui uma base enumerável de vizinhan¸cas; (c) A topologia em X é gerada por uma fam´ılia enumerável de seminormas. Demonstra¸cão:. (a) ⇒ (b) Tome {B(0; r) | r ∈ Q}.. (b) ⇒ (c) Seja U tal base de vizinhan¸cas. Pelo Teorema 1.1.18, podemos supor que cada U ∈ U é convexo, equilibrado e absorvente, pois X é um espa¸co localmente convexo. Então, {ρU | U ∈ U},.

(19) ˜ 1.2 • Espa¸ SEC ¸ AO co de Fr´ echet. 10. onde ρU é o funcional de Minkowski de U , é uma fam´ılia de seminormas em X que gera sua topologia. (c) ⇒ (a) Seja {ρn }∞ ılia enumerável de seminormas que gera a topologia de n=1 a fam´ X. Defina, para x, y ∈ X, ∞ X. ρn (x − y) . 1 + ρn (x − y) n=1 P −n Para provar que ρ é uma métrica em X, basta observar que ∞ < ∞ e que a fun¸cão n=1 2 t t ∈ R 7→ 1+t ∈ R é crescente (pois possui derivada estritamente positiva). Resta mostrar que as topologias coincidem. Para tanto, provemos as seguintes afirma¸cões: ρ(x, y) =. 2−n. (i) Dado ε > 0, existem n1 , · · · , nk ∈ N e δ > 0 tais que Nn1 ,···,nk ;δ ⊂ B(0; ε). P −n < 2ε , então N1,···,n0 ; 2ε ⊂ B(0; ε). De fato, se n0 ∈ N é tal que ∞ n=n0 +1 2 (ii) Dado Nn1 ,···,nk ;ε , existe δ > 0 tal que B(0; δ) ⊂ Nn1 ,···,nk ;ε . Vamos encontrar um δ conveniente. Sejam δ > 0 e x ∈ B(0; δ). Então 2−j ρj (x) < (1 + ρj (x))δ, para todo j ∈ N. Em particular, (1 − 2nj δ)ρnj (x) < 2nj δ para todo j ∈ {1, · · · , k}. Como 1 1 − 2nj δ > 0 ⇔ δ < nj , 2 1. seja δ > 0 tal que δ < min 2nj | j ∈ {1, · · · , k} . Resulta que, se x ∈ B(0; δ), então 2nj δ 2nj δ ρnj (x) < 1−2 para todo j ∈ {1, · · · , k}. Como limδ→0+ 1−2 = 0, para todo j ∈ nj nj δ δ 2nj δ {1, · · · , k}, segue que existe δ > 0 tal que 1−2nj δ < ε, para todo j ∈ {1, · · · , k}. E, para este δ, temos que B(0; δ) ⊂ Nn1 ,···,nk ;ε , o que prova (ii). Isso mostra que as topologias coincidem no 0. Utilizando o fato de que a adi¸caõ é cont´ınua, segue que as topologias coincidem em qualquer ponto, terminando a demonstra¸caõ. Proposi¸c˜ ao 1.2.2 Uma rede (xλ )λ∈Λ é de Cauchy na métrica ρ (do Teorema 1.2.1) se, e somente se, é de Cauchy em cada ρn . Demonstra¸cão: (⇒) Sejam ε > 0 e n ∈ N. Dado δ > 0, existe λ0 ∈ Λ tal que ρ(xλ , xλ0 ) < δ, para todos λ, λ0 ≥ λ0 . Em particular, (1−2n δ)ρn (xλ −xλ0 ) < 2n δ, para todos λ, λ0 ≥ λ0 . Procedendo como na demostra¸cão do Teorema 1.2.1, existe δ > 0 tal que 1 − 2n δ > 0 e 2n δ < ε. Para este δ, existe λ0 ∈ Λ tal que 1−2n δ ρn (xλ − xλ0 ) <. 2n δ < ε, 1 − 2n δ.

(20) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 11. para todos λ, λ0 ≥ λ0 , mostrando que (xλ )λ∈Λ é de Cauchy em ρn . P −n (⇐) Dado ε > 0, seja n0 ∈ N tal que ∞ < 2ε . Por hipótese, para cada n=n0 +1 2 n ∈ {1, · · · , n0 }, existe λn ∈ Λ tal que ρn (xλ − xλ0 ) < 2ε , para todos λ, λ0 ≥ λn . Logo, tomando λ0 = max{λ1 , · · · , λn0 }, segue que ρ(xλ , xλ0 ) < ε, para todos λ, λ0 ≥ λ0 , isto é, (xλ )λ∈Λ é de Cauchy em ρ.. . Corol´ ario 1.2.3 Seja X um espa¸co localmente convexo metrizável. Então X é completo como espa¸co métrico se, e somente se, é completo como espa¸co localmente convexo. Defini¸c˜ ao 1.2.4 Chamamos de espa¸co de Fréchet a` um espa¸co localmente convexo metrizável completo.. 1.3. O espa¸co de Schwartz e as distribui¸ c˜ oes temperadas. Introduziremos nesta se¸caõ, o espa¸co de Schwartz S e seu dual S 0 , o espa¸co das distribui¸co˜es temperadas, além da derivada fraca, ou derivada no sentido de distribui¸co˜es. Vamos come¸car convencionando algumas nota¸cões, para não carregar a defini¸cão. I+n denotará o conjunto dos multi-´ındices, ou seja, o conjunto {(α1 , · · · , αn ) | αi ∈ P Z≥0 }. Denotaremos o produto xα1 1 · · · xαnn por xα , e |α| = ni=1 αi . Por fim, Dα denotará a seguinte derivada parcial: ∂ |α| . ∂ α1 · · · ∂ αn Defini¸c˜ ao 1.3.1 O espa¸co de Schwartz, denotado por S(Rn ), é o espa¸co das fun¸cões ϕ : Rn → C que são C ∞ e tais que

(21)

(22) kϕkα,β = sup

(23) xα Dβ ϕ(x)

(24) < ∞, x∈Rn. para todos α, β ∈ I+n . Observa¸c˜ ao 1.3.2 As fun¸co˜es de S são aquelas que, juntamente com suas derivadas, decrescem mais rapidamente que o inverso de qualquer polinômio, ou seja, se ϕ ∈ S(Rn ) e P é um polinômio em Rn , então lim P (x)Dα ϕ(x) = 0,. |x|→∞.

(25) ˜ 1.3 • O espa¸ SEC ¸ AO co de Schwartz e as distribui¸ c˜ oes temperadas. 12. para todo α ∈ I+n . 2. Exemplo 1.3.3 Se ϕ(x) = e−|x| , x ∈ Rn , então ϕ ∈ S. Exemplo 1.3.4 Se ϕ é uma fun¸caõ C ∞ de suporte compacto, então ϕ ∈ S. Lema 1.3.5 tos.. . Demonstra¸cão:. k.kα,β | α, β ∈ I+n é uma fam´ılia de seminormas em S(Rn ) que separa pon-. Imediato.. . Teorema 1.3.6 (S(Rn ) , k.kα,β ) é um espa¸co de Fréchet. Demonstra¸cão: Como I+n é enumerável, segue que a fam´ılia {k.kα,β } é enumerável, e então, S é metrizável, pelo Teorema 1.2.1. Mostremos agora a completude. Seja (ϕm ) uma seq¨ uência de Cauchy em S. Segue da Proposi¸caõ 1.2.2 que (ϕm ) é de Cauchy em cada seminorma k.kα,β . Denote por C(Rn ) o conjunto das fun¸co˜es cont´ınuas em Rn com a norma k.k∞ do supremo. Dado ε > 0, existe m0 ∈ N tal que kϕm − ϕm0 kα,β < ε, para todos m, m0 ≥ 0. Isso implica que α β. x D ϕm − xα Dβ ϕm0 < ε, ∞ para todos m, m0 ≥ m0 , mostrando que xα dβ ϕm é uma seq¨ uência de Cauchy em C(Rn ), que é completo. Logo, para cada α, β ∈ I+n , existe gα,β ∈ C(Rn ) tal que gα,β = lim xα Dβ ϕ, m→∞. onde a convergência é uniforme. Vamos agora, dividir em dois casos: (n = 1). Pelo teorema fundamental do cálculo, segue que Z x ϕm (x) = ϕm (0) + ϕ0 (t)dt. 0. Como ϕ0m (x) converge uniformemente para g0,1 , obtemos, fazendo m → ∞ na igualdade acima, que Z x. g0,0 (x) = g0,0 (0) +. g0,1 (t)dt. 0. Isto mostra que g0,0 é C 1 . Da mesma maneira, como Z x 0 0 ϕm (x) = ϕm (0) + ϕ00 (t)d, . 0.

(26) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 13. segue que x. Z. g0,2 (t)dt.. g0,1 (x) = g0,1 (0) + 0. 00 0 Portanto, g0,0 é C 2 , pois g0,0 = g0,1 = g0,2 . Continuando esse processo, obtemos que g0,0 é (k) k C e que g0,0 = g0,k , para todo k ∈ N. Sendo assim, g0,0 é C ∞ . Por outro lado, segue da convergência uniforme que. gα,β = lim xα Dβ ϕm = xα Dβ lim ϕm = xα Dβ g0,0 . m→∞. m→∞. Então, para todo m ≥ m0 , α β . x D g0,0 ≤ gα,β − xα Dβ ϕm + xα Dβ ϕm < ∞, ∞ ∞ ∞. pois gα,β − xα Dβ ϕm ∞ < ε e xα Dβ ϕm ∞ < ∞. Isto é, g0,0 ∈ S(R) e, para todos α, β ∈ I+1 , kg0,0 − ϕm kα,β → 0. (n qualquer). Seja {e1 , · · · , en } a base canônica do Rn . Então, para cada m ∈ N, t. Z 0. ∂ ϕm (x + sej )ds. ∂xj. Z. t. ϕm (x + tej ) = ϕm (x) + Fazendo m → ∞, resulta que g0,0 (x + tej ) = g1,0 (x) +. g0,ej (x + sej )ds. 0. Logo ∂x∂ j g0,0 = g0,ej , para cada j ∈ {1, · · · , n}. Então, cada derivada parcial de g0,0 é cont´ınua, ou seja, g0,0 é de classe C 1 . Repetindo o processo, conclu´ımos que g0,0 é de classe C ∞ . E, como no caso anterior, g0,0 ∈ S(Rn ) e ϕm → g0,0 em S(Rn ), provando a completude. Defini¸c˜ ao 1.3.7 O espa¸co dual topológico de S(Rn ) é chamado de espa¸co das distribui¸cões temperadas e denotado por S 0 (Rn ). Observa¸c˜ ao 1.3.8 (a) O dual topológico de um determinado espa¸co vetorial, é o conjunto de todos os funcionais lineares e cont´ınuos nele definidos. (b) Ao invés de denotarmos por T (ϕ) a distribui¸caõ temperada T aplicada na fun¸caõ ϕ ∈ S, utilizaremos a nota¸caõ hT, ϕi. Alguns autores dizem, nesse caso, que < ·, · > denota o par de dualidade entre S e S 0 ..

(27) ˜ 1.3 • O espa¸ SEC ¸ AO co de Schwartz e as distribui¸ c˜ oes temperadas. 14. Exemplo 1.3.9 (S) Seja ψ ∈ S(R). Defina o funcional hψ, ·i : S(R) → C por Z ∞ ψ(x)ϕ(x)dx. hψ, ϕi = −∞. ´ fácil ver que hψ, ·i é linear. Além disso, temos que: E

(28) Z ∞

(29)

(30)

(31) | hψ, ϕi | =

(32)

(33) ψ(x)ϕ(x)dx

(34)

(35) Z −∞ ∞ |ψ(x)||ϕ(x)|dx ≤ −∞ Z ∞ ≤ kϕk∞ |ψ(x)|dx −∞. = kψkL1 (R) kϕk∞ , para toda ϕ ∈ S(R), onde kϕk∞ = supx∈R |ϕ(x)| = kϕk0,0 . Logo, hψ, ·i ∈ S 0 (R). Note que a primeira desigualdade acima vale se ψϕ ∈ L1 (R). Além disso, para concluir a continuidade foi usado que kψkL1 (R) < ∞. Tais fatos são conseq¨ uências do próximo exemplo. Exemplo 1.3.10 (Lp ) S(R) é subespa¸co de cada Lp (R), 1 ≤ p < ∞. (p = 1) Se ϕ ∈ S, então Z. ∞. |ϕ(x)| dx. kϕkL1 = Z−∞ ∞. −1 1 + x2 1 + x2 |ϕ(x)| dx −∞. ≤ π(kϕk∞ + x2 ϕ ∞ ) =. = π(kϕk0,0 + kϕk2,0 ), ou seja, S ⊂ L1 . (1 < p < ∞). Se ϕ ∈ S, então Z. p1. ∞ p. kϕkLp =. |ϕ(x)| dx −∞. Z. ∞. =. . 1 p. − p1. |ϕ(x)| |ϕ(x)|. p p1 |ϕ(x)| dx. −∞. Z = =. ∞. . 1− p1. |ϕ(x)| |ϕ(x)| −∞ 1 1− 1 kϕk∞ p kϕkLp 1. p. p1 dx.

(36) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 15. ou seja, S ⊂ Lp . Exemplo 1.3.11 (Fun¸c˜ ao delta) Seja x ∈ R. Defina δx : S(R) → C ϕ 7→ ϕ(x) ou seja, hδx , ϕi = ϕ(x). δx ∈ S 0 , pois é linear e | hδx , ϕi | = |ϕ(x)| ≤ kϕk0,0 . Exemplo 1.3.12 (δ 0 ) Defina δ 0 : S(R) → C ϕ 7→ −ϕ0 (0) ou seja, hδ 0 , ϕi = −ϕ0 (0). δ 0 ∈ S 0 , pois é linear e | hδ 0 , ϕi | = |ϕ0 (0)| ≤ kϕk0,1 . Exemplo 1.3.13 Seja g : R → R dada por ( x g(x) = 0. se x ≥ 0 se x ≤ 0. Defina hg, ·i : S → C como no Exemplo 1.3.9. hg, ·i ∈ S 0 , pois Z. ∞. | hg, ϕi | ≤. |g(x)||ϕ(x)|dx Z−∞ ∞. ≤. |xϕ(x)|dx Z−∞ ∞. 1 + x2. −1. 1 + x2 |xϕ(x)|dx −∞ Z ∞ −1 ≤ (kϕk1,0 + kϕk3,0 ) 1 + x2 dx =. −∞. = π(kϕk1,0 + kϕk3,0 )..

(37) ˜ 1.3 • O espa¸ SEC ¸ AO co de Schwartz e as distribui¸ c˜ oes temperadas. 16. Exemplo 1.3.14 (Fun¸c˜ ao de Heaviside) H : R → R dada por ( 1 se x ≥ 0 H(x) = 0 se x ≤ 0 Novamente como em 1.3.9, hH, ·i define uma distribui¸caõ temperada. A prova disso é análoga a` do Exemplo 1.3.13. Defini¸c˜ ao 1.3.15 Sejam T ∈ S 0 (Rn ) e α ∈ I+n . A derivada fraca, Dα T (ou derivada no sentido de distribui¸cões), é definida por hDα T, ϕi = (−1)|α| hT, Dα ϕi . Vamos aplicar diretamente a defini¸caõ para calcular as respectivas derivadas fracas dos exemplos acima. Exemplo 1.3.16 (g) Note primeiramente que g não é diferenciável no ponto 0, no sentido clássico. Porém, se ϕ ∈ S, obtemos através de integra¸caõ por partes que: d d g, ϕ = (−1) g, ϕ dx dx Z ∞ = − xϕ0 (x)dx 0 Z ∞ ∞ = − [xϕ(x)]0 + ϕ(x)dx 0 Z ∞ = 0+ H(x)ϕ(x)dx −∞. = hH, ϕi . Isto é,. d g dx. = H.. Exemplo 1.3.17 (H) Dada ϕ ∈ S, segue que: d d H, ϕ = (−1) H, ϕ dx dx Z ∞ = − ϕ0 (x)dx 0. = − [ϕ(x)]∞ 0 = ϕ(0). Logo,. d H dx. = δ0 ..

(38) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 17. Exemplo 1.3.18 (δ0 ) Pada ϕ ∈ S, temos que: d d δ0 , ϕ = (−1) δ0 , ϕ dx dx 0 = −ϕ (0). Então,. d δ dx 0. = δ0.. Tais exemplos mostram que, até mesmo δ, que não é uma fun¸caõ, pode ser escrita como derivada segunda de alguma fun¸cão cont´ınua. Tal fenômeno é t´ıpico para as ´ o que afirma o seguinte teorema. distribui¸co˜es temperadas. E Teorema 1.3.19 (Teorema de regularidade para distribui¸c˜ oes) Seja T ∈ S 0 (Rn ). Então, existem β ∈ I+n e uma fun¸cão cont´ınua e polinomialmente limitada g tais que T = Dβ g. Isto é Z (−1)|β| g(x) Dβ ϕ (x)dx, hT, ϕi = Rn. para toda ϕ ∈ S. Este teorema pode ser demonstrado através de um resultado que identifica o espa¸co de Schwartz com um espa¸co de seq¨ uência, que é o resultado principal deste cap´ıtulo.. 1.4. Fun¸c˜ oes de Hermite. Aqui, demonstraremos, enfim, a N -representa¸cão para S e S 0 . Introduziremos inicialmente em S, uma fam´ılia de seminormas equivalente à fam´ılia de normas de L2 . Em seguida, trabalharemos com as fun¸co˜es de Hermite. Come¸caremos fazendo a seguinte distin¸caõ entre as seminormas de S e as normas de L2 . Para ϕ ∈ S, denotaremos, ao invés de k · kα,β ,. kϕkα,β,∞ = xα Dβ ϕ ∞ . E, definimos. kϕkα,β,2 = xα Dβ ϕ L2 . Proposi¸c˜ ao 1.4.1 As fam´ılias de seminormas {k · kα,β,∞ } e {k · kα,β,2 } são equivalentes n em S(R )..

(39) ˜ 1.4 • Fun¸ SEC ¸ AO c˜ oes de Hermite. Demonstra¸cão:. 18. (n = 1) Como Z. ∞. 1+x. 2 −2. Z. −1. 1 + tan2 t. dx =. −2. sec2 t dt =. − π2. −∞. temos que (1 + x2 ). π 2. π , 2. ∈ L2 . Seja ϕ ∈ S. Então, Z. kϕk0,0,2 =. 2. 21. |ϕ(x)| dx Z. 2 −2. =.

(40)

(41)

(42) (1 + x2 )ϕ(x)

(43) 2 dx. 21. (1 + x ). . ≤ (1 + x2 )−1 L2 (1 + x2 )ϕ 0,0,∞ . Logo, se C = k(1 + x2 )−1 kL2 , segue que . kϕkα,β,2 = xα Dβ ϕ 0,0,2 ≤ C (1 + x2 )xα Dβ ϕ 0,0,2 ≤ C kϕkα,β,∞ + kϕkα+2,β,∞ . Por outro lado, como ϕ(x) = kϕk0,0,∞.

(44) Z

(45) = sup

(46)

(47) x∈R. x. −∞. Rx −∞. ϕ0 (t)dt, temos que.

(48) Z

(49)

(50) ϕ (t)dt

(51) ≤ sup. x. 0. x∈R. −∞. |ϕ0 (t)| dt ≤ kϕ0 kL1 .. Além disso, pela desigualdade de Hölder,. . kϕ0 kL1 = (1 + x2 )−1 (1 + x2 )ϕ0 L1 ≤ (1 + x2 )ϕ0 L2 (1 + x2 )−1 L2 . Então,. kϕk0,0,∞ ≤ C kϕ0 kL2 + x2 ϕ0 L2 . 0 Portanto, de xα Dβ ϕ = αxα−1 Dβ ϕ + xα Dβ+1 ϕ, resulta que. kϕkα,β,∞ = xα Dβ ϕ 0,0,∞ . α β 0 2 α β 0 ≤ C x D ϕ + x x D ϕ 0,0,2 0,0,2 ≤ C α kϕkα−1,β,2 + kϕkα,β,2 + α kϕkα+1,β,2 + kϕkα+2,β+1,2 . Pela Proposi¸caõ 1.1.8, conclu´ımos o caso n = 1. (n qualquer) Seja |x| a norma euclidiana em Rn . Como (1 + |x|2 ) todo m > n2 , segue o resultado através de cálculos similares.. −m. ∈ L2 (Rn ), para .

(52) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 19. Defini¸c˜ ao 1.4.2 Definimos os operadores A, A† , N : S(R) → S(R) como sendo: d d 1 1 † A= √ x+ , A = √ x− e N = A† ◦ A. dx dx 2 2 R Defini¸c˜ ao 1.4.3 Definimos φ0 pelas equa¸cões Aφ0 = 0 e R φ20 dx = 1, ou seja, 1. 1 2. φ0 (x) = π − 4 e− 2 x . Para n ≥ 1, − 12. φn = (n!). A. † n. n. − 12. φ0 = (2 n!). n. (−1) π. − 14. e. 1 2 x 2. . d dx. n. 2. e−x .. ao chamadas de fun¸cões de Hermite. As fun¸cões {φn }∞ n=0 s˜ Lema 1.4.4 Para cada n vale: d2 2 − 2 + x φn = (2n + 1) φn . dx Demonstra¸cão:. Observe que o lema é verdadeiro se, e somente se, n+1 n+2 n d d d 2 −x2 −x2 e + 2x e + e−x = 0, 2(n + 1) dx dx dx. para todo n. Logo, segue o resultado, pois esta u ´ltima igualdade se demonstra, sem dificuldades, usando indu¸cão em n. ao também chamadas de fun¸c˜ oes Observa¸c˜ ao 1.4.5 Devido ao Lema 1.4.4, as {φn }∞ n=0 s˜ de onda do oscilador harmônico. Lema 1.4.6 A e A† são adjuntos em S(R). Demonstra¸cão: Sejam ϕ, ψ ∈ S(R). Denote por (·, ·) o produto interno usual de L2 . Usando integra¸caõ por partes, obtemos que Z (Aϕ, ψ) = (Aϕ)(x)ψ(x)dx R Z 1 √ (xϕ(x) + ϕ0 (x)) ψ(x)dx = ZR 2 1 √ xϕ(x)ψ(x) − ϕ(x)ψ 0 (x) dx = ZR 2 = ϕ(x)(A† ψ) (x)dx R = ϕ, A† ψ . .

(53) ˜ 1.4 • Fun¸ SEC ¸ AO c˜ oes de Hermite. 20. Lema 1.4.7 A, A† = AA† − A† A = 1. Demonstra¸cão: Basta verificar, usando diretamente a defini¸cão, que AA† (ϕ)−A† A(ϕ) = ϕ, para qualquer ϕ ∈ S. Lema 1.4.8 Aφn = Demonstra¸cão:. √. n φn−1 , A† φn =. √. n + 1 φn+1 e N φn = n φn , para todo n.. Usando a defini¸cão de φn , temos que. φn+1 = ((n + 1)!). − 21. A. † n+1. φ0 = (n + 1). − 12. − 12. (n!). A. †. . 1 2. . (n!) φn .. Logo,. √ n + 1 φn+1 , 2 d 1 2 para todo n. Por outro lado, como N = 2 − dx2 + x − 1 , segue do Lema 1.4.4 que A† φn =. N φn = n φn , para todo n. Com isso em mãos, juntamente com o Lema 1.4.7, conclu´ımos que Aφn =. √. n φn−1 ,. para todo n.. . Lema 1.4.9 Seja f uma fun¸cão tal que f 6= 0 q.t.p. em R e tal que existem c, δ > 0 com |f (x)| ≤ ce−δ|x| para todo x ∈ R. Então, span {xn f (x) | n ∈ N} é denso em L2 (R). Demonstra¸cão: tal que. 6 L2 (R). Logo, existe h ∈ L2 , h 6= 0 q.t.p. Suponha que span {xn f (x)} = (xn f, h) = 0,. para todo n. Isto é, Z. xn f (x)h(x)dx = 0,. R 1. para todo n. Note que f h ∈ L (R), pois, pela desigualdade de Hölder, Z Z. |f (x)h(x)|dx ≤ c e−δ|x| |h(x)|dx ≤ e−δ|x| L2 khkL2 . Considere. Z g(λ) =. f (x)h(x)e−iλx dx..

(54) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 21. Ou seja, g é a transformada de Fourier de f h. Note que, se δ1 < δ, então eδ1 |x| f h ∈ L1 (R),

(55)

(56) pois nesse caso,

(57) eδ1 |x| f h

(58) ≤ e(δ1 −δ)|x| |h| com δ1 − δ < 0. Assim, considerando os pontos z ∈ C por z = λ + iµ, segue que se |µ| < δ, então g(λ) pode ser prolongada a` uma fun¸caõ R anal´ıtica na variável z. Como g (k) (λ) = f (x)h(x)(−ix)k e−iλx dx, segue que g (k) (0) = 0 para todo k. Sendo assim, g(λ) = 0 para todo λ devido a` analiticidade. Logo, f h = 0, o que é um absurdo. Portanto, span {xn f (x)} = L2 (R). Proposi¸c˜ ao 1.4.10 {φn }∞ e uma base ortonormal de L2 (R). n=0 ´ n 1 Demonstra¸cão: Como φ0 ∈ S(R) e φn = (n!)− 2 A† φ0 , segue que φn ∈ S, para todo 2 n. Logo, {φn }∞ ao, dos Lemas 1.4.6 e 1.4.8, temos que n=0 ⊂ L . Sejam m > n. Ent˜ m 1 (φn , φm ) = (m!)− 2 φn , A† φ0 1. = (m!)− 2 (Am φn , φ0 ) 1. = (m!)− 2 Am−n An φn , φ0 1. 1. 1. 1. . = (m!)− 2 (n!) 2 Am−n φ0 , φ0. . = (m!)− 2 (n!) 2 (0, φ0 ) = 0, pois m − n > 0. Se m = n, então 1. (φn , φn ) = (n!)− 2 φn , A†. n. φ0. . 1. = (n!)− 2 (An φn , φ0 ) 1. 1. = (n!)− 2 (n!) 2 (φ0 , φ0 ) = 1, uma vez que (φ0 , φ0 ) = 1, pois, Z. 2. e−x dx =. √. π.. R x2. Sendo assim, {φn }∞ e um conjunto ortonormal. Aplicando o Lema 1.4.9 para e− 2 , n=0 ´ segue que n o x2 span {φn } = span xn e− 2 = L2 (R). Portanto, segue o resultado.. . Lema 1.4.11 Se f ∈ L2 (R), então. # # A1 · · · Am f . L2. † onde A# j = A ou A .. m. 2 ≤ (N + mId) f . L2. ,.

(59) ˜ 1.4 • Fun¸ SEC ¸ AO c˜ oes de Hermite. Demonstra¸cão:. 22. Pelo Lema 1.4.8, vemos que para cada n,. #. φ A1 · · · A# = kRn φn kL2 = |Rn | kφn kL2 = |Rn | , n m L2. √ onde Rn é um produto de m ra´ızes da forma n + aj , com −2m ≤ aj ≤ 2m. Logo, segue que para cada n,. √ √. # φ ≤ n + 1··· n + m A1 · · · A# m n L2. m. ≤ (n + m) 2. m = (nId + mId) 2 φn L2. m = (N + mId) 2 φn L2 . P Seja então f ∈ L2 . Pela Proposi¸cão 1.4.10, f = bn φn . Portanto, pelo teorema de Pitágoras,. 2 X 2 #. # # # A1 · · · Am (bn φn ) A1 · · · Am f 2 = 2 L 2 L X . # = b2n A# 1 · · · Am φn 2 L X 2 m 2 2 ≤ bn (N + mId) φn L2 X 2 m. = bn (N + mId) 2 φn L2. m 2 = (N + mId) 2 f L2 . Os lemas acima serão necessários para introduzirmos uma outra seminorma em S. Defini¸c˜ ao 1.4.12 Definimos, para ϕ ∈ S, kϕkn = k(N + 1)n ϕkL2 , para cada n. Proposi¸c˜ ao 1.4.13 {k · kn } é uma fam´ılia de seminormas dirigida em S(R), equivalente à {k · kα,β,2 }. Demonstra¸cão:. Seja ϕ ∈ S. Como (N + 1)n = n. kϕkn = k(N + 1) ϕkL2. Pn. k=0. n k. k N , segue que. n X. n N k ϕ 2 . ≤ L k k=0.

(60) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 23. Como as opera¸co˜es presentes no operador N são multiplicar por x, derivar e identidade, segue que existem α1 , β1 , · · · , αl , βl e c > 0 tais que kϕkn =≤ c. l X. kϕkαk ,βk ,2 .. k=1. Por outro lado, note que 1 β−1 0 D (ϕ + xϕ − xϕ + ϕ0 ) 2√ 2 β−1 = D Aϕ + A† ϕ √2 2 β−2 d d = D (Aϕ) + xAϕ − xAϕ + (Aϕ) + 4 dx dx √ 2 β−2 d d † † † † + D A ϕ + xA ϕ − xA ϕ + Aϕ 4 dx dx 1 1 β−2 D AAϕ − A† Aϕ + Dβ−2 AA† ϕ − A† A† ϕ . = 2 2. Dβ ϕ =. Procedendo desta maneira, conclu´ımos que existem c1 > 0 e l1 ∈ N tais que β. D ϕ = c1. l1 X. # ±A# 1 · · · Ark ϕ,. k=1 † onde A# em disso, se ψ ∈ S, então j = A ou A . Al´. 1 α−1 x (xψ + ψ 0 − ψ 0 + xψ) 2√ 2 α−1 = x Aψ + A† ψ √2 2 α−2 d d = x Aψ + (Aψ) − (Aψ) + Aψ + 4 dx dx √ d 2 α−2 d † † † † + x A ψ+ Aψ − A ψ +A ψ 4 dx dx 1 1 α−2 = x AAψ + A† Aψ + xα−2 AA† ψ + A† A† ψ . 2 2. xα ψ =. Novamente, existem c2 > 0 e l2 ∈ N tais que α. x ψ = c2. l2 X k=1. # A# 1 · · · Aik ψ,.

(61) ˜ 1.4 • Fun¸ SEC ¸ AO c˜ oes de Hermite. 24. † onde A# j = A ou A . Juntando, obtemos que existem c3 > 0 e l3 ∈ N tais que. α. β. x D ϕ = c3. l3 X. # ±A# 1 · · · Amk ϕ,. k=1 † onde A# j = A ou A . Sendo assim, segue do Lema 1.4.11 que. kϕkα,β,2 = xα Dβ ϕ L2 l3 . X. # # ≤ c3 · · · A ϕ A 1 mk 2. ≤ c3. L. k=1 l3 X. mk. 2 (N + mk ) ϕ. L2. k=1. Como. .. mk. (N + mk ). mk 2. 2 mk X mk 2 = (mk − 1)i (N + 1) 2 −i , i i=0. segue que kϕkα,β,2. mk

(62) mk

(63) l3 X 2. X mk

(64)

(65) −i

(66) 2

(67) |mk − 1|i 2 (N + 1) ≤ c3 ϕ. 2.

(68) i

(69) L. k=1 i=0. Portanto, existem c˜ > 0 e n1 , · · · , n˜l ∈ N tais que kϕkα,β,2 ≤ c˜. ˜ l X. kϕknk ,. k=1. concluindo a demonstra¸cão, devido à Proposi¸caõ 1.1.8. Lema 1.4.14. ! 21. k(aα )kβ =. X (α + 1)2β |aα |2 α. é uma seminorma no espa¸co das multiseq¨ uências (aα )α∈I k , onde β ∈ I+k e (α + 1)2β = + Qk 2βi . i=1 (αi + 1) Defini¸c˜ ao 1.4.15 Definimos sk como sendo o espa¸co das multiseq¨ uências (aα )α∈I k tais + m que supα∈I+k |aα ||α| < ∞ para cada m e k(aα )kβ < ∞ para cada β. Teorema 1.4.16 (A N -representa¸c˜ ao para S) Existe um isomorfismo topológico enk tre S(R ) e sk ..

(70) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 25. Demonstra¸cão: Daremos os detalhes para k = 1. Para ϕ ∈ S(R), considere (an )n∈N dada por an = (ϕ, φn ), onde (·, ·) é o produto interno usual de L2 . Como S ⊂ L2 , segue P da Proposi¸caõ 1.4.10 que ϕ = n an φn . De N ser um operador de S → S, temos que N m ϕ ∈ L2 , para todo m, ou seja, kN m ϕkL2 < ∞. Assim, pelo teorema de Pitágoras, X kan nm φn k2L2 < ∞, n. uma vez que N φn = nφn (Lema 1.4.8). Isto significa que X |an |2 n2m < ∞, n. para cada m. Logo, |an |nm = |an |2 n. 1 2m 2. ! 21 ≤. X. |an |2 n2m. < ∞,. n. e portanto, supn |an |nm < ∞, para cada m. Então, (an ) ∈ s1 , e definimos assim, uma aplica¸caõ F : S → s1 , dada por F (ϕ) = ((ϕ, φn )). Note que se ϕ ∈ S, então 2. kϕk2m = k(N + 1)m ϕkL2 X |an |2 (n + 1)2m = n. = k(an )k2m , para cada m, onde an = (ϕ, φn ). Disso se segue que F é injetiva. Vamos mostrar agora a P sobrejetividade. Seja (an ) ∈ s1 . Defina ϕN = N n=0 an φn . Logo, (suponha M > N ) para cada m, M X kϕN − ϕM km = |an |2 (n + 1)2m → 0 n=N +1. P∞. 2. 2m. se M, N → ∞, pois n=0 |an | (n + 1) < ∞. Assim, (ϕN ) é de Cauchy em cada k · km , e então, é de Cauchy em S, segundo a Proposi¸caõ 1.2.2. Portanto, pelo Teorema 1.3.6, existe ϕ ∈ S tal que ϕN → ϕ. Em particular, ϕN → ϕ em L2 . Sendo assim, (ϕN , φn ) → (ϕ, φn ) , mostrando que. ∞ X n=0. (ϕ, φn ) φn = ϕ =. ∞ X n=0. an φn ,.

(71) ˜ 1.4 • Fun¸ SEC ¸ AO c˜ oes de Hermite. 26. isto é, F (ϕ) = (an ). Para concluir o teorema, só resta verificar que as topologias coincidem. Mas isso se dá devido a` igualdade das seminormas k · km em S e em s1 . Teorema 1.4.17 (A N -representa¸c˜ ao para S 0 ) Temos: (a) Se T ∈ S 0 (Rk ) e bα = hT, φα i para cada α ∈ I+k , então existem c > 0 e β ∈ I+k tais que |bα | ≤ c(α + 1)β , para todo α; (b) Se (bα ) é uma multiseq¨ uência tal que |bα | ≤ c(α + 1)β , para todo α, então existe um u ńico T ∈ S 0 tal que hT, φα i = bα ; P (c) Se T ∈ S 0 (Rk ) e bα = hT, φα i, então α bα φα converge para T na topologia σ(S 0 , S). Demonstra¸cão:. Novamente consideraremos o caso k = 1.. (a) Segue do fato de T ser cont´ınua e a fam´ılia {k · km } ser dirigida. P∞ (b) Dado (an ) ∈ s1 , defina B ((an )) = n=0 bn an . Logo, pela desigualdade de Hölder, |B ((an ))| ≤. ∞ X. |bn ||an |. n=0 ∞ X. ≤ c. (n + 1)m |an |. n=0 ∞ X 1 1 = c (n + 1)2m+2 |an |2 2 (n + 1)−2 2 n=0. ≤ c. ∞ X. ! 21 (n + 1)2(m+1) |an |2. n=0 2. ≤ c. ∞ X. ! 12 (n + 1)−2. n=0. π k(an )km+1 , 6. ou seja, B é um funcional linear cont´ınuo. Pelo Teorema 1.4.16, T = B ◦ F ∈ S 0 . Não é dif´ıcil ver que hT, φn i = bn . A unicidade segue da Proposi¸cão 1.4.10. (c) Note que σ(S 0 , S) é a topologia fraca-∗ em S 0 . Logo, precisamos mostrar que, PN para qualquer ϕ ∈ S, temos n=0 hbn φn , ϕi → hT, ϕi quando N → ∞. Como ϕ = P∞ n=0 (ϕ, φn ) φn , para toda ϕ ∈ S, temos que

(72)

(73)

(74)

(75) N ∞

(76)

(77)

(78) X

(79) X

(80)

(81)

(82)

(83) hbn φn , ϕi

(84) =

(85) (ϕ, φn ) φn

(86) ,

(87) hT, ϕi −

(88)

(89)

(90)

(91) n=0 n=N +1.

(92) CAP. 1 • Distribui¸ c˜ oes temperadas. 27. e portanto, o resultado segue.. . Observa¸c˜ ao 1.4.18 Os teoremas acima nos dão duas importantes simplifica¸cões: (a) Seq¨ uências são mais fáceis de se trabalhar que fun¸co˜es; (b) As duas condi¸cões do espa¸co de Schwartz (C ∞ e rápido decrescimento) são substitu´ıdas por apenas uma (rápido decrescimento). Com isso em mãos, somos capazes de demonstrar resultados interessantes sobre o espa¸co de Schwartz de maneira simples. Corol´ ario 1.4.19 S é denso em S 0 na topologia σ(S 0 , S). P Demonstra¸cão: Dado T ∈ S 0 , considere a seq¨ uência TN = |α|≤N bα φα , onde bα = 0 hT, φα i. Segue que (TN ) ⊂ S e que TN → T na topologia σ(S , S) (como feito no final da demonstra¸caõ do Teorema 1.4.17). Corol´ ario 1.4.20 S é separável na topologia Fréchet. S 0 é separável na topologia σ(S 0,S). Demonstra¸cão: Defina AN = {(an )n∈N ⊂ Q | an = 0 se n > N }. Então, AN é enumeráS em disso, A ⊂ s1 é denso. Logo, pelo Teorema 1.4.16, vel, assim como A = ∞ N =1 AN . Al´ −1 temos que F (A) é enumerável e denso em S. Portanto, S é separável. Sendo A denso em S, segue do Corolário 1.4.19 que A é denso em S 0 , mostrando que S 0 é separável. .

(93) Cap´ıtulo 2 Probabilidade e c´ alculo estoc´ astico Neste cap´ıtulo, introduziremos algumas ferramentas básicas do cálculo estocástico e alguns conceitos probabil´ısticos que serão necessários para isso.. 2.1. Conceitos b´ asicos Come¸caremos com as defini¸cões e resultados básicos sobre a teoria de probabilidade.. Defini¸c˜ ao 2.1.1 Um espa¸co de probabilidade é uma tripla (Ω, F, P) onde Ω é um conjunto, F é uma σ-álgebra de conjuntos em Ω e P é uma medida de probabilidade definida em F, ou seja, P (Ω) = 1. São exemplos de espa¸co de probabilidade: Exemplo 2.1.2 Ω = [0, 1], F = Borel ([0, 1]) e P a medida de Lebesgue restrita ao intervalo [0, 1]. Exemplo 2.1.3 Ω = R, F = Borel (R) e P dada por Z P(A) = A. (x−m)2 1 √ e− 2σ2 dx. σ 2π. Observa¸c˜ ao 2.1.4 Um espa¸co de probabilidade é um espa¸co de medida, onde a medida do conjunto todo vale 1. 28.

(94) CAP. 2 • Probabilidade e c´ alculo estoc´ astico. 29. Defini¸c˜ ao 2.1.5 Sejam (Ω, F, P) um espa¸co de probabilidade e (E, τ ) um espa¸co topológico. Uma fun¸caõ X : Ω → E é uma variável aleatória, se for mensurável, isto é, se {X ∈ A} = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A} ∈ F, para todo A ∈ τ . Defini¸c˜ ao 2.1.6 Seja X uma variável aleatória. Definimos a probabilidade induzida PX em Borel(E) por PX (B) = P ({X ∈ A}) . Observa¸c˜ ao 2.1.7 PX é, de fato, uma medida de probabilidade. Defini¸c˜ ao 2.1.8 Uma fam´ılia de σ−álgebras {Fi }i∈I é dita independente se, para qualquer conjunto finito de ´ındices {i1 , · · · , ir } ⊂ I, e quaisquer Aij ∈ Fij , j = 1, · · · , r, resultar que ! r r \ Y P Aij = P Aij . j=1. j=1. Defini¸c˜ ao 2.1.9 Uma variável aleatória X é dita independente de uma σ−álgebra F se σ(X) e F são independentes, onde σ(X) é a menor σ−álgebra onde X é mensurável. Defini¸c˜ ao 2.1.10 Uma fam´ılia de variáveis aleatórias {Xi }i∈I é dita independente se forem independentes as σ−álgebras {σ(Xi )}i∈I . Defini¸c˜ ao 2.1.11 Seja X uma variável aleatória. Definimos a esperan¸ca (ou média) de X como sendo Z E [X] = X(ω)dP(ω). Ω. Defini¸c˜ ao 2.1.12 Seja X uma variável aleatória. Definimos a variância de X como sendo var [X] = E (X − E [X])2 = E X 2 − E [X]2 . Defini¸c˜ ao 2.1.13 Seja X : Ω → R uma variável aleatória. Dizemos que X tem distribui¸cão normal com média m e variância σ 2 , e escrevemos X ∼ N (m, σ 2 ), se, para todo A ∈ Borel(R), Z (x−m)2 1 e− 2σ2 dx. PX (A) = √ σ 2π A.

(95) ˜ 2.1 • Conceitos b´ SEC ¸ AO asicos. 30. Defini¸c˜ ao 2.1.14 Seja (Ω, F, P) um espa¸co de probabilidade. Sejam Y : Ω → R uma variável aleatória F-mensurável e G ⊂ F uma σ-álgebra. A esperan¸ca condicional E [Y | G] de Y com rela¸cão à G é definida como sendo a u ńica (P-q.t.p.) variável aleatória tal que (i) E [Y | G] é G-mensurável; (ii). R A. Y dP =. R A. E [Y | G] dP, para todo A ∈ G.. Observa¸c˜ ao 2.1.15 O teorema de Radon-Nikodym garante a existência da esperan¸ca condicional. A esperan¸ca condicional de uma variável aleatória possui muitas propriedades, dentre elas: Proposi¸c˜ ao 2.1.16 Sejam X, Y : Ω → R variáveis aleatórias e H ⊂ G ⊂ F σ-álgebras. Temos: (a). E [αX + Y | G] = αE [X | G] + E [Y | G];. (b). Se Y é G-mensurável, então E [XY | G] = Y E [X | G];. (c). E [E [X | G] | H] = E [X | H];. (d). Se Y é independente de G, então E [Y | G] = E [Y ].. (e). E [E [Y | G]] = E [Y ].. Defini¸c˜ ao 2.1.17 Sejam (Ω, F, P) um espa¸co de probabilidade e T um conjunto de ´ındices. Uma filtra¸cão é uma fam´ılia de σ−álgebras {Ft }t∈T ⊂ F tal que Fs ⊂ Ft , para todos s, t ∈ T , s ≤ t. Defini¸c˜ ao 2.1.18 Um processo estocástico é uma fam´ılia de variáveis aleatórias . Xt : Ω → Rd | t ∈ T ,. onde T é um conjunto de ´ındices. Defini¸c˜ ao 2.1.19 Seja (Ω, F, P) um espa¸co de probabilidade. Dizemos que um processo . estocástico Xt : Ω → Rd | t ∈ T é adaptado a uma filtra¸cão {Ft }t∈T se Xt for Ft -mensurável, para todo t ∈ T ..

(96) CAP. 2 • Probabilidade e c´ alculo estoc´ astico. 31. Defini¸c˜ ao 2.1.20 Sejam (Ω, F, P) um espa¸co de probabilidade e {Ft ∈ T } uma filtra¸cão. Um martingale, com rela¸caõ à filtra¸caõ {Ft }, é um processo X = {Xt | t ∈ T }, adaptado a {Ft }, tal que (i) Xt ∈ L1 (Ω, F, P), para todo t ∈ T ; (ii) E [Xt | Fs ] = Xs , se s ≤ t.. 2.2. Movimento Browniano. Falaremos aqui, sobre o processo estocástico conhecido como movimento Browniano, cujo nome se deve ao botânico Robert Brown, que estudou o movimento de part´ıculas de pólen em meios aquosos. Defini¸c˜ ao 2.2.1 Seja (Ω, F, P) um espa¸co de probabilidade. Um processo estocástico B = {Bt | t ∈ [0, T ]}, com Bt : Ω → R, para cada t ∈ [0, T ], é chamado de movimento Browniano se possui as seguintes propriedades: (i) B0 = 0; (ii) t → Bt (ω) é uma fun¸cão cont´ınua P−q.t.p.; (iii) Os incrementos Bt − Bs são independentes e possuem distribui¸caõ normal N(0, t − s) para todo s < t. Lema 2.2.2 Todo movimento Browniano é um martingale. Demonstra¸cão: Seja B = {Bt } um movimento Browniano e defina Ft = σ ({Bs | s ≤ t}). Sejam s < t. Como Bt − Bs tem média zero e é independente de Fs , segue que E [Bt − Bs | Fs ] = E [Bt − Bs ] = 0. Ou seja, E [Bt | Fs ] = Bs para todo s < t, donde segue que B é um martingale.. . Proposi¸c˜ ao 2.2.3 Seja B = {Bt } um movimento Browniano. Então, M = {Mt }, onde 2 Mt = Bt − t, é um martingale..

(97) ˜ 2.2 • Movimento Browniano SEC ¸ AO. Demonstra¸cão:. 32. Sejam s < t. Pelo Lema 2.2.2, E 2Bs2 − 2Bt Bs | Fs = 2Bs2 − 2Bs E [Bt | Fs ] = 0.. Logo, E [Mt − Ms | Fs ] = E Bt2 − Bs2 − (t − s) | Fs = E Bt2 − 2Bt Bs + Bs2 − (t − s) | Fs = E (Bt − Bs )2 − (t − s) | Fs = E (Bt − Bs )2 − (t − s) = 0. Portanto, M é um martingale.. . Defini¸c˜ ao 2.2.4 Seja B = {Bt | t ∈ [0, T ]} um movimento Browniano. Seja . πn = 0 = t0 < t1 < · · · < tnj = T uma seq¨ uência de parti¸cões do intervalo [0, T ] tais que n < m implica πn ⊂ πm e limn→∞ |πn | = 0, onde |πn | = supti ∈πn |ti+1 − ti |. Definimos πn BT =. X

(98)

(99) Bt. i+1.

(100) 2 − Bti

(101) .. ti ∈πn. Teorema 2.2.5 lim πn BT = T,. n→∞. onde a convergência é q.t.p.. Demonstra¸cão:. Note que πn BT − T =. Xh. Bti+1 − Bti. 2. i X − (ti+1 − ti ) = Yi ,. ti ∈πn. onde Yi = Bti+1 − Bti zero. Assim,. 2. i. − (ti+1 − ti ) são variáveis aleatórias independentes com média . !2 . X E (πn BT − T )2 = E  Yi i. =. X i. E Yi2 ..

(102) CAP. 2 • Probabilidade e c´ alculo estoc´ astico. 33. Observamos que Yi2 =. h. Bti+1 − Bti. ". Bti+1 − Bti ti+1 − ti. 2. Bti+1 − Bti ti+1 − ti. 2. = " =. 2. − (ti+1 − ti ). i2 #2. (ti+1 − ti ) − (ti+1 − ti ) #2 (ti+1 − ti )2. −1. 2. e que Assim,. (Bti+1 −Bti ) ti+1 −ti 2 Yi tem. tem a mesma distribui¸cão que Z 2 , onde Z ∼ N (0, 1), para todo i. 2. a mesma distribui¸cao que (Z 2 − 1) (ti+1 − ti )2 , para todo i. Então, X E (πn BT − T )2 = E Yi2 i. =. X. h E. i 2 2 Z − 1 (ti+1 − ti ) 2. i. ≤ E. h. X 2 i Z 2 − 1 |πn | (ti+1 − ti ). h. 2 i Z 2 − 1 |πn | T.. i. = E i h 2 2 Portanto, como |πn | → 0 e E (Z − 1) T é constante, obtemos que lim πn BT = T. n→∞. em L2 .. Em particular, existe uma subseq¨ uência πnk BT tal que lim πnk BT = T. k→∞. q.t.p.. Defina agora, Nn (ω) = π−n BT =. X. Bti+1 − Bti. 2. ,. ti ∈π−n. e as σ-álgebras Gn = σ (Nm | m ≤ n) , ambos para n = −1, −2, · · · . Resulta que (Nn ) é um martingale com rela¸cão à (Gn ). Sendo assim, segue do teorema de convergência pra trás de martingale que existe q.t.p. o limite lim Nn = lim πn BT .. n→−∞. n→∞. Portanto, segue o resultado, pois se o limite existe, então toda subseq¨ uência converge para ele. .

(103) ˜ 2.3 • F´ SEC ¸ AO ormula de Itˆ o. 34. Observa¸c˜ ao 2.2.6 Para mais detalhes sobre o teorema de convergência pra trás de martingales (Backwards Martingale Convergence Theorem), consultar [10]. Defini¸c˜ ao 2.2.7 Seja B = {Bt | t ∈ [0, T ]} um movimento Browniano. A varia¸cão do caminho Bt (ω) no intervalo [a, b] ⊂ [0, T ] é definida por X

(104)

(105)

(106) Bt (ω) − Bt (ω)

(107) , V[a,b] B(ω) = sup i+1 i π∈P t ∈π i. onde P é o conjunto de todas parti¸co˜es finitas do intervalo [a, b]. Teorema 2.2.8 P V[a,b] B < ∞ = 0. Isto é, as trajetórias do movimento Browniano não têm varia¸cão finita P−q.t.p.. Demonstra¸cão: Suponha que P V[a,b] B < ∞ > 0. Seja (πn ) ⊂ P uma seq¨ uência de . parti¸co˜es tal que n < m implica πn ⊂ πm e limn→∞ |πn | = 0. No conjunto V[a,b] B < ∞ , obtemos que X 2 b − a = lim Bti+1 − Bti n→∞. ≤ ≤. ti ∈πn.

(108)

(109) X

(110)

(111)

(112) Bt − Bt

(113) lim sup

(114) Bti+1 − Bti

(115) i+1 i. n→∞ ti ∈πn. ti ∈πn. lim |πn | V[a,b] B. n→∞. = 0, o que é um absurdo. Portanto, P V[a,b] B < ∞ = 0.. 2.3. . F´ ormula de Itˆ o. Demonstraremos nesta se¸cão a fórmula de Itô, uma das ferramentas básicas do cálculo estocástico, que foi descoberta por K. Itô, em 1951. Fixemos uma seq¨ uência de parti¸co˜es . πn = 0 = t0 < t1 < · · · < tnj = T do intervalo [0, T ] tais que n < m implica πn ⊂ πm e limn→∞ |πn | = 0, onde |πn | = supti ∈πn |ti+1 − ti |..

(116) CAP. 2 • Probabilidade e c´ alculo estoc´ astico. 35. Defini¸c˜ ao 2.3.1 Sejam X : [0, T ] → R uma fun¸cão e p > 0. A p-varia¸cão de X é a fun¸caõ hXip : [0, T ] → R ∪ {∞} dada por hXip (t) = lim. n→∞. X

(117)

(118) Xt. i+1.

(119) p − Xti

(120) .. ti ∈πn ti ≤t. Observa¸c˜ ao 2.3.2 (a) Se hXip (t) < ∞ para todo t ∈ [0, T ], dizemos que X tem pvaria¸cão finita. (b) hXip é monótona não-decrescente e hXip (0) = 0. (c) Se µ ([0, t]) = hXi2 (t), então µ é uma medida em (R≥0 , Borel (R≥0 )). Logo, a integral Z f (s)d hXi2 (s), onde f é uma fun¸caõ boreliana em R≥0 , está bem definida como sendo um integral de Lebesgue-Stieltjes. Teorema 2.3.3 (F´ ormula de Itˆ o) Seja X : [0, T ] → R uma fun¸cão cont´ınua, com 2 hXi2 (T ) < ∞, e seja F ∈ C (R). Então, Z F (XT ) − F (X0 ) = 0. onde Z. T. 1 F (Xs ) dXs + 2 0. T. F 0 (Xs ) dXs = lim. n→∞. 0. X. Z. T. F 00 (Xs ) d hXi2 (s),. 0. F 0 (Xti ) Xti+1 − Xti. . ti ∈πn ti ≤T. é definida como a integral de Itô de F 0 (Xt ) com rela¸cão à Xt . Demonstra¸cão:. Seja ti ∈ πn , ti ≤ T . Pelo teorema de Taylor, existe t˜i ∈ (ti , ti+1 ) tal que. 1 F Xti+1 − F (Xti ) = F 0 (Xti ) ∆Xti + F 00 Xt˜i (∆Xti )2 2 1 00 0 = F (Xti ) ∆Xti + F (Xti ) (∆Xti )2 + 2 1 00 + F Xt˜i − F 00 (Xti ) (∆Xti )2 2 1 0 = F (Xti ) ∆Xti + F 00 (Xti ) (∆Xti )2 + Rn (ti ), 2 onde Rn (ti ) =. 1 00 F Xt˜i − F 00 (Xti ) (∆Xti )2 . 2.