T´opicos de An´alise Funcional MAT 6682, IME-USP

T´ opicos de An´ alise Funcional MAT 6682, IME-USP

Severino Toscano do Rego Melo

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica – Universidade de S˜ao Paulo

2^◦ Semestre de 2020

Preliminares

Sum´ ario

1 Preliminares

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 2 / 20

Preliminares Banach, Hilbert

Banach, Hilbert

Todos os nossos espa¸cos vetoriais ser˜ao sobre C.

Um espa¸co de Banach´e um espa¸co vetorial normado que ´e completo com a distˆancia d(x,y) =kx−yk.

Um espa¸co de Hilbert´e um espa¸co vetorial com produto interno que ´e completo com a norma kxk=hx,xi^1/2.

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Banach ´e, por defini¸c˜ao, um homeoformismo linear (⇐⇒normas equivalentes).

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Hilbert ´e, por defini¸c˜ao, uma bije¸c˜ao linear que preserva o produto interno.

Preliminares Banach, Hilbert

Banach, Hilbert

Todos os nossos espa¸cos vetoriais ser˜ao sobre C.

Um espa¸co de Banach´e um espa¸co vetorial normado que ´e completo com a distˆancia d(x,y) =kx−yk.

Um espa¸co de Hilbert´e um espa¸co vetorial com produto interno que ´e completo com a norma kxk=hx,xi^1/2.

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Banach ´e, por defini¸c˜ao, um homeoformismo linear (⇐⇒normas equivalentes).

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Hilbert ´e, por defini¸c˜ao, uma bije¸c˜ao linear que preserva o produto interno.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 3 / 20

Preliminares Banach, Hilbert

Banach, Hilbert

Todos os nossos espa¸cos vetoriais ser˜ao sobre C.

Um espa¸co de Banach´e um espa¸co vetorial normado que ´e completo com a distˆancia d(x,y) =kx−yk.

Umespa¸co de Hilbert ´e um espa¸co vetorial com produto interno que ´e completo com a norma kxk=hx,xi^1/2.

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Banach ´e, por defini¸c˜ao, um homeoformismo linear (⇐⇒normas equivalentes).

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Hilbert ´e, por defini¸c˜ao, uma bije¸c˜ao linear que preserva o produto interno.

Preliminares Banach, Hilbert

Banach, Hilbert

Todos os nossos espa¸cos vetoriais ser˜ao sobre C.

Um espa¸co de Banach´e um espa¸co vetorial normado que ´e completo com a distˆancia d(x,y) =kx−yk.

Umespa¸co de Hilbert ´e um espa¸co vetorial com produto interno que ´e completo com a norma kxk=hx,xi^1/2.

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Banach ´e, por defini¸c˜ao, um homeoformismo linear (⇐⇒normas equivalentes).

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Hilbert ´e, por defini¸c˜ao, uma bije¸c˜ao linear que preserva o produto interno.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 3 / 20

Preliminares Banach, Hilbert

Banach, Hilbert

Todos os nossos espa¸cos vetoriais ser˜ao sobre C.

Um espa¸co de Banach´e um espa¸co vetorial normado que ´e completo com a distˆancia d(x,y) =kx−yk.

Umespa¸co de Hilbert ´e um espa¸co vetorial com produto interno que ´e completo com a norma kxk=hx,xi^1/2.

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Banach ´e, por defini¸c˜ao, um homeoformismo linear (⇐⇒normas equivalentes).

Um isomorfismo entre dois espa¸cos de Hilbert ´e, por defini¸c˜ao, uma bije¸c˜ao linear que preserva o produto interno.

Preliminares Paralelogramo e Polariza¸c˜ao

Paralelogramo e Polariza¸c˜ ao

Em um espa¸co com produto interno, a norma satisfaz a identidade do paralelogramo: kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²)

Em um espa¸co com produto interno, o p.i. pode ser recuperado a partir da norma (identidade de polariza¸c˜ao):

4hx,yi= (kx+yk²− kx−yk²) +i(kx+iyk²− kx−iyk²) Uma bije¸c˜ao linear entre dois espa¸cos com p.i. que preserve a norma preserva tamb´em o p.i.

Uma norma prov´em de um produto interno se e s´o se vale a identidade do paralelogramo.

L^p([0,1]), 1≤p<∞,p 6= 2, n˜ao “´e” um espa¸co de Hilbert.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 4 / 20

Preliminares Paralelogramo e Polariza¸c˜ao

Paralelogramo e Polariza¸c˜ ao

Em um espa¸co com produto interno, a norma satisfaz a identidade do paralelogramo: kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²)

Em um espa¸co com produto interno, o p.i. pode ser recuperado a partir da norma (identidade de polariza¸c˜ao):

4hx,yi= (kx+yk²− kx−yk²) +i(kx+iyk²− kx−iyk²)

Uma bije¸c˜ao linear entre dois espa¸cos com p.i. que preserve a norma preserva tamb´em o p.i.

Uma norma prov´em de um produto interno se e s´o se vale a identidade do paralelogramo.

L^p([0,1]), 1≤p<∞,p 6= 2, n˜ao “´e” um espa¸co de Hilbert.

Preliminares Paralelogramo e Polariza¸c˜ao

Paralelogramo e Polariza¸c˜ ao

Em um espa¸co com produto interno, a norma satisfaz a identidade do paralelogramo: kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²)

Em um espa¸co com produto interno, o p.i. pode ser recuperado a partir da norma (identidade de polariza¸c˜ao):

4hx,yi= (kx+yk²− kx−yk²) +i(kx+iyk²− kx−iyk²) Uma bije¸c˜ao linear entre dois espa¸cos com p.i. que preserve a norma preserva tamb´em o p.i.

Uma norma prov´em de um produto interno se e s´o se vale a identidade do paralelogramo.

L^p([0,1]), 1≤p<∞,p 6= 2, n˜ao “´e” um espa¸co de Hilbert.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 4 / 20

Preliminares Paralelogramo e Polariza¸c˜ao

Paralelogramo e Polariza¸c˜ ao

Em um espa¸co com produto interno, a norma satisfaz a identidade do paralelogramo: kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²)

Em um espa¸co com produto interno, o p.i. pode ser recuperado a partir da norma (identidade de polariza¸c˜ao):

4hx,yi= (kx+yk²− kx−yk²) +i(kx+iyk²− kx−iyk²) Uma bije¸c˜ao linear entre dois espa¸cos com p.i. que preserve a norma preserva tamb´em o p.i.

Uma norma prov´em de um produto interno se e s´o se vale a identidade do paralelogramo.

L^p([0,1]), 1≤p<∞,p 6= 2, n˜ao “´e” um espa¸co de Hilbert.

Preliminares Paralelogramo e Polariza¸c˜ao

Paralelogramo e Polariza¸c˜ ao

Em um espa¸co com produto interno, a norma satisfaz a identidade do paralelogramo: kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²)

Em um espa¸co com produto interno, o p.i. pode ser recuperado a partir da norma (identidade de polariza¸c˜ao):

4hx,yi= (kx+yk²− kx−yk²) +i(kx+iyk²− kx−iyk²) Uma bije¸c˜ao linear entre dois espa¸cos com p.i. que preserve a norma preserva tamb´em o p.i.

Uma norma prov´em de um produto interno se e s´o se vale a identidade do paralelogramo.

L^p([0,1]), 1≤p<∞,p6= 2, n˜ao “´e” um espa¸co de Hilbert.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 4 / 20

Preliminares Somas Infinitas

Somas Infinitas

Em um espa¸co vetorial normado, diz-se que x =X

α∈I

xα se

∀ >0 ∃F ⊆I finito tal queF ⊆G ⊆I,G finito, implica

x−X

α∈G

x_α

< .

Nessa situa¸c˜ao, diz-se queX

α∈I

x_α ´e incondicionalmente convergente e x (que ´e ´unico) ´e sua soma.

x =X

α∈I

xα ⇐⇒S ={α∈I;xα6= 0}´e enumer´avel e,

∀ enumera¸c˜aoS ={α₁, α2,· · · },x= lim

N→∞ N

X

k=1

xα_k. Ref: Observa¸c˜ao 6.5 das “Notas de 2004”.

Preliminares Somas Infinitas

Somas Infinitas

Em um espa¸co vetorial normado, diz-se que x =X

α∈I

xα se

∀ >0 ∃F ⊆I finito tal queF ⊆G ⊆I,G finito, implica

x−X

α∈G

x_α

< .

Nessa situa¸c˜ao, diz-se que X

α∈I

x_α ´e incondicionalmente convergente e x (que ´e ´unico) ´e sua soma.

x =X

α∈I

xα ⇐⇒S ={α∈I;xα6= 0}´e enumer´avel e,

∀ enumera¸c˜aoS ={α₁, α2,· · · },x= lim

N→∞ N

X

k=1

xα_k. Ref: Observa¸c˜ao 6.5 das “Notas de 2004”.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 5 / 20

Preliminares Somas Infinitas

Somas Infinitas

Em um espa¸co vetorial normado, diz-se que x =X

α∈I

xα se

∀ >0 ∃F ⊆I finito tal queF ⊆G ⊆I,G finito, implica

x−X

α∈G

x_α

< .

Nessa situa¸c˜ao, diz-se que X

α∈I

x_α ´e incondicionalmente convergente e x (que ´e ´unico) ´e sua soma.

x =X

α∈I

xα ⇐⇒S ={α∈I;xα6= 0}´e enumer´avel e,

N

X

Preliminares Convergˆencia Absoluta

Somas Infinitas

Diz-se que a somaX

α∈I

x_α ´e absolutamente convergente se X

α∈I

kx_αk converge em R, o que ´e equivalente a

sup{X

α∈F

kx_αk;F ⊆I finito}<∞

Em um espa¸co de Banach, toda soma absolutamente convergente ´e incondicionalmente convergente, mas n˜ao vale a rec´ıproca.

X

α∈I

x_α incondicionalmente convergente

=⇒

X

α∈I

xα

≤X

α∈I

kx_αk ≤ ∞.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 6 / 20

Preliminares Convergˆencia Absoluta

Somas Infinitas

Diz-se que a somaX

α∈I

x_α ´e absolutamente convergente se X

α∈I

kx_αk converge em R, o que ´e equivalente a

sup{X

α∈F

kx_αk;F ⊆I finito}<∞

Em um espa¸co de Banach, toda soma absolutamente convergente ´e incondicionalmente convergente, mas n˜ao vale a rec´ıproca.

X

α∈I

x_α incondicionalmente convergente

=⇒

X

α∈I

xα

≤X

α∈I

kx_αk ≤ ∞.

Preliminares Convergˆencia Absoluta

Somas Infinitas

Diz-se que a somaX

α∈I

x_α ´e absolutamente convergente se X

α∈I

kx_αk converge em R, o que ´e equivalente a

sup{X

α∈F

kx_αk;F ⊆I finito}<∞

Em um espa¸co de Banach, toda soma absolutamente convergente ´e incondicionalmente convergente, mas n˜ao vale a rec´ıproca.

X

α∈I

x_α incondicionalmente convergente

=⇒

X

α∈I

xα

≤X

α∈I

kx_αk ≤ ∞.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 6 / 20

Preliminares Transforma¸c˜oes Lineares Cont´ınuas

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, T :X −→Y linear.

T ´e cont´ınua ⇐⇒T ´e cont´ınua em 0⇐⇒

∃ C ≥0 tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. T cont´ınua =⇒ kTk:= sup

x6=0

kTxk kxk <∞. T 7→ kTk ´e norma em B(X,Y).

kTk´e a menor C tal quekTxk ≤Ckxk para todo x∈X. Y completo =⇒ B(X,Y) completo.

X^∗ :=B(X,C) (“dual” de X).

Preliminares Transforma¸c˜oes Lineares Cont´ınuas

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, T :X −→Y linear.

T ´e cont´ınua ⇐⇒T ´e cont´ınua em 0⇐⇒

∃ C ≥0 tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X.

T cont´ınua =⇒ kTk:= sup

x6=0

kTxk kxk <∞. T 7→ kTk ´e norma em B(X,Y).

kTk´e a menor C tal quekTxk ≤Ckxk para todo x∈X. Y completo =⇒ B(X,Y) completo.

X^∗ :=B(X,C) (“dual” de X).

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 7 / 20

Preliminares Transforma¸c˜oes Lineares Cont´ınuas

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, T :X −→Y linear.

T ´e cont´ınua ⇐⇒T ´e cont´ınua em 0⇐⇒

∃ C ≥0 tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. T cont´ınua =⇒ kTk:= sup

x6=0

kTxk kxk <∞.

T 7→ kTk ´e norma em B(X,Y).

kTk´e a menor C tal quekTxk ≤Ckxk para todo x∈X. Y completo =⇒ B(X,Y) completo.

X^∗ :=B(X,C) (“dual” de X).

Preliminares Transforma¸c˜oes Lineares Cont´ınuas

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, T :X −→Y linear.

T ´e cont´ınua ⇐⇒T ´e cont´ınua em 0⇐⇒

∃ C ≥0 tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. T cont´ınua =⇒ kTk:= sup

x6=0

kTxk kxk <∞.

T 7→ kTk ´e norma em B(X,Y).

kTk´e a menor C tal quekTxk ≤Ckxk para todo x∈X. Y completo =⇒ B(X,Y) completo.

X^∗ :=B(X,C) (“dual” de X).

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 7 / 20

Preliminares Transforma¸c˜oes Lineares Cont´ınuas

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, T :X −→Y linear.

T ´e cont´ınua ⇐⇒T ´e cont´ınua em 0⇐⇒

∃ C ≥0 tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. T cont´ınua =⇒ kTk:= sup

x6=0

kTxk kxk <∞.

T 7→ kTk ´e norma em B(X,Y).

kTk´e a menor C tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X.

Y completo =⇒ B(X,Y) completo. X^∗ :=B(X,C) (“dual” de X).

Preliminares Transforma¸c˜oes Lineares Cont´ınuas

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, T :X −→Y linear.

T ´e cont´ınua ⇐⇒T ´e cont´ınua em 0⇐⇒

∃ C ≥0 tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. T cont´ınua =⇒ kTk:= sup

x6=0

kTxk kxk <∞.

T 7→ kTk ´e norma em B(X,Y).

kTk´e a menor C tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. Y completo =⇒ B(X,Y) completo.

X^∗ :=B(X,C) (“dual” de X).

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 7 / 20

Preliminares Transforma¸c˜oes Lineares Cont´ınuas

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, T :X −→Y linear.

T ´e cont´ınua ⇐⇒T ´e cont´ınua em 0⇐⇒

∃ C ≥0 tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. T cont´ınua =⇒ kTk:= sup

x6=0

kTxk kxk <∞.

T 7→ kTk ´e norma em B(X,Y).

kTk´e a menor C tal quekTxk ≤Ckxk para todox ∈X. Y completo =⇒ B(X,Y) completo.

X^∗ :=B(X,C) (“dual” de X).

Preliminares Teorema B.L.T.

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, Y completo, D⊂X denso, T0 :D →Y linear cont´ınua.

=⇒ (B.L.T. Theorem, Reed-Simon)

∃! T ∈B(X,Y) tal queTx =T₀x ∀x ∈D. Ω⊆Rⁿ aberto,a∈C(Ω) limitada, 1≤p<∞. 7−→ (operador de multiplica¸c˜ao por a)

∃! M_a ∈B(L^p(Ω)) tal que, ∀f ∈C_c(Ω), (Maf)(x) =a(x)f(x),x ∈Ω.

kM_ak= sup

x∈Ω

|f(x)|.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 8 / 20

Preliminares Teorema B.L.T.

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, Y completo, D⊂X denso, T0 :D →Y linear cont´ınua.

=⇒ (B.L.T. Theorem, Reed-Simon)

∃! T ∈B(X,Y) tal queTx =T₀x ∀x ∈D. Ω⊆Rⁿ aberto,a∈C(Ω) limitada, 1≤p<∞. 7−→ (operador de multiplica¸c˜ao por a)

∃! M_a ∈B(L^p(Ω)) tal que, ∀f ∈C_c(Ω), (Maf)(x) =a(x)f(x),x ∈Ω.

kM_ak= sup

x∈Ω

|f(x)|.

Preliminares Teorema B.L.T.

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, Y completo, D⊂X denso, T0 :D →Y linear cont´ınua.

=⇒ (B.L.T. Theorem, Reed-Simon)

∃! T ∈B(X,Y) tal queTx =T₀x ∀x ∈D.

Ω⊆Rⁿ aberto,a∈C(Ω) limitada, 1≤p<∞. 7−→ (operador de multiplica¸c˜ao por a)

∃! M_a ∈B(L^p(Ω)) tal que, ∀f ∈C_c(Ω), (Maf)(x) =a(x)f(x),x ∈Ω.

kM_ak= sup

x∈Ω

|f(x)|.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 8 / 20

Preliminares Teorema B.L.T.

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, Y completo, D⊂X denso, T0 :D →Y linear cont´ınua.

=⇒ (B.L.T. Theorem, Reed-Simon)

∃! T ∈B(X,Y) tal queTx =T₀x ∀x ∈D.

Ω⊆Rⁿ aberto,a∈C(Ω) limitada, 1≤p <∞.

7−→ (operador de multiplica¸c˜ao por a)

∃! M_a ∈B(L^p(Ω)) tal que, ∀f ∈C_c(Ω), (Maf)(x) =a(x)f(x),x ∈Ω.

kM_ak= sup

x∈Ω

|f(x)|.

Preliminares Teorema B.L.T.

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, Y completo, D⊂X denso, T0 :D →Y linear cont´ınua.

=⇒ (B.L.T. Theorem, Reed-Simon)

∃! T ∈B(X,Y) tal queTx =T₀x ∀x ∈D.

Ω⊆Rⁿ aberto,a∈C(Ω) limitada, 1≤p <∞.

7−→ (operador de multiplica¸c˜ao por a)

∃! M_a ∈B(L^p(Ω)) tal que, ∀f ∈C_c(Ω), (Maf)(x) =a(x)f(x),x ∈Ω.

kM_ak= sup

x∈Ω

|f(x)|.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 8 / 20

Preliminares Teorema B.L.T.

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, Y completo, D⊂X denso, T0 :D →Y linear cont´ınua.

=⇒ (B.L.T. Theorem, Reed-Simon)

∃! T ∈B(X,Y) tal queTx =T₀x ∀x ∈D.

Ω⊆Rⁿ aberto,a∈C(Ω) limitada, 1≤p <∞.

7−→ (operador de multiplica¸c˜ao por a)

∃! Ma ∈B(L^p(Ω)) tal que, ∀f ∈Cc(Ω), (Maf)(x) =a(x)f(x),x ∈Ω.

kM_ak= sup

x∈Ω

|f(x)|.

Preliminares Teorema B.L.T.

Transforma¸c˜ oes Lineares Cont´ınuas

X eY espa¸cos normados, Y completo, D⊂X denso, T0 :D →Y linear cont´ınua.

=⇒ (B.L.T. Theorem, Reed-Simon)

∃! T ∈B(X,Y) tal queTx =T₀x ∀x ∈D.

Ω⊆Rⁿ aberto,a∈C(Ω) limitada, 1≤p <∞.

7−→ (operador de multiplica¸c˜ao por a)

∃! Ma ∈B(L^p(Ω)) tal que, ∀f ∈Cc(Ω), (Maf)(x) =a(x)f(x),x ∈Ω.

kM_ak= sup

x∈Ω

|f(x)|.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 8 / 20

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M). P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H. H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica. Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z. T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H. H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica. Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z. T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 9 / 20

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H. H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica. Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z. T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H.

H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica. Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z. T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 9 / 20

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H.

H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica.

Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z. T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H.

H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica.

Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z. T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 9 / 20

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H.

H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica.

Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z.

T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk². P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H.

H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica.

Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z.

T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

P proje¸c˜ao ortogonal ⇐⇒P =P² =P^∗.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 9 / 20

Preliminares Proje¸c˜oes ortogonais, adjuntos

Espa¸cos de Hilbert

DadosM um subespa¸co fechado de um espa¸co de HilbertH e x ∈H,

∃!y ∈M tal que ky−xk<kz −xk,∀z ∈M,z 6=y.

SejaP :H−→H,Px =y (proje¸c˜ao ortogonal sobre M).

P ∈B(H), kPk= 1, ImP =M, kerP =M^⊥,H=M ⊕M^⊥.

(Lema de Riesz) Dado λ∈H^∗,∃!y ∈H tal queλ(x) =hx,yi,x ∈H.

H 3y 7→ h·,yi ∈H^∗ ´e uma bije¸c˜ao linear-conjugada isom´etrica.

Adjuntos

DadosT ∈B(H) ey ∈H,hT(·),yi ∈H^∗.

Sejaz ∈H tal que hTx,yi=hx,zi,x∈H. T^∗y :=z.

T^∗ ∈B(H),kT^∗k=kTk,kTT^∗k=kTk².

Preliminares Bases hilbertianas

Espa¸cos de Hilbert

SejaS ={e_α}_α∈I ⊂H ortonormal: he_α,e_βi=

0, α6=β 1, α=β

S˜ao equivalentes:

1 S ´e maximal, i.e.,hx,eαi= 0∀α =⇒ x = 0

2 O subespa¸co gerado porS ´e denso em H.

3 ∀x ∈H, kxk²=X

α∈I

|hx,eαi|².

4 ∀x ∈H, x =X

α∈I

hx,e_αie_α.

Nessas condi¸c˜oes, diz-se queS ´e base hilbertiana deH. Todo H tem base (Zorn), todas com a mesma cardinalidade. Esse cardinal ´e a dimens˜aode H.

Dois espa¸cos de Hilbert s˜ao isomorfos⇔ tˆem a mesma dimens˜ao (uma bije¸c˜ao entre bases define um isomorfismo).

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 10 / 20

Preliminares Bases hilbertianas

Espa¸cos de Hilbert

SejaS ={e_α}_α∈I ⊂H ortonormal: he_α,e_βi=

0, α6=β 1, α=β S˜ao equivalentes:

1 S ´e maximal, i.e.,hx,eαi= 0∀α =⇒ x = 0

2 O subespa¸co gerado porS ´e denso em H.

3 ∀x ∈H, kxk²=X

α∈I

|hx,eαi|².

4 ∀x ∈H, x=X

α∈I

hx,e_αie_α.

Nessas condi¸c˜oes, diz-se queS ´e base hilbertiana deH. Todo H tem base (Zorn), todas com a mesma cardinalidade. Esse cardinal ´e a dimens˜aode H.

Dois espa¸cos de Hilbert s˜ao isomorfos⇔ tˆem a mesma dimens˜ao (uma bije¸c˜ao entre bases define um isomorfismo).

Preliminares Bases hilbertianas

Espa¸cos de Hilbert

SejaS ={e_α}_α∈I ⊂H ortonormal: he_α,e_βi=

0, α6=β 1, α=β S˜ao equivalentes:

1 S ´e maximal, i.e.,hx,eαi= 0∀α =⇒ x = 0

2 O subespa¸co gerado porS ´e denso em H.

3 ∀x ∈H, kxk²=X

α∈I

|hx,eαi|².

4 ∀x ∈H, x=X

α∈I

hx,e_αie_α.

Nessas condi¸c˜oes, diz-se queS ´e base hilbertiana deH.

Todo H tem base (Zorn), todas com a mesma cardinalidade. Esse cardinal ´e a dimens˜aode H.

Dois espa¸cos de Hilbert s˜ao isomorfos⇔ tˆem a mesma dimens˜ao (uma bije¸c˜ao entre bases define um isomorfismo).

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Preliminares Bases hilbertianas

Espa¸cos de Hilbert

SejaS ={e_α}_α∈I ⊂H ortonormal: he_α,e_βi=

0, α6=β 1, α=β S˜ao equivalentes:

1 S ´e maximal, i.e.,hx,eαi= 0∀α =⇒ x = 0

2 O subespa¸co gerado porS ´e denso em H.

3 ∀x ∈H, kxk²=X

α∈I

|hx,eαi|².

4 ∀x ∈H, x=X

α∈I

hx,e_αie_α.

Nessas condi¸c˜oes, diz-se queS ´e base hilbertiana deH.

Todo H tem base (Zorn), todas com a mesma cardinalidade.

Esse cardinal ´e a dimens˜aode H.

Dois espa¸cos de Hilbert s˜ao isomorfos⇔ tˆem a mesma dimens˜ao (uma bije¸c˜ao entre bases define um isomorfismo).

Preliminares Bases hilbertianas

Espa¸cos de Hilbert

SejaS ={e_α}_α∈I ⊂H ortonormal: he_α,e_βi=

0, α6=β 1, α=β S˜ao equivalentes:

1 S ´e maximal, i.e.,hx,eαi= 0∀α =⇒ x = 0

2 O subespa¸co gerado porS ´e denso em H.

3 ∀x ∈H, kxk²=X

α∈I

|hx,eαi|².

4 ∀x ∈H, x=X

α∈I

hx,e_αie_α.

Nessas condi¸c˜oes, diz-se queS ´e base hilbertiana deH.

Todo H tem base (Zorn), todas com a mesma cardinalidade.

Esse cardinal ´e adimens˜aode H.

Dois espa¸cos de Hilbert s˜ao isomorfos⇔ tˆem a mesma dimens˜ao (uma bije¸c˜ao entre bases define um isomorfismo).

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 10 / 20

Preliminares Bases hilbertianas

Espa¸cos de Hilbert

SejaS ={e_α}_α∈I ⊂H ortonormal: he_α,e_βi=

0, α6=β 1, α=β S˜ao equivalentes:

1 S ´e maximal, i.e.,hx,eαi= 0∀α =⇒ x = 0

2 O subespa¸co gerado porS ´e denso em H.

3 ∀x ∈H, kxk²=X

α∈I

|hx,eαi|².

4 ∀x ∈H, x=X

α∈I

hx,e_αie_α.

Nessas condi¸c˜oes, diz-se queS ´e base hilbertiana deH.

Todo H tem base (Zorn), todas com a mesma cardinalidade.

Esse cardinal ´e adimens˜aode H.

Preliminares Espa¸cos Separ´aveis

Espa¸cos de Hilbert

H possui base enumer´avel⇐⇒

H possui subconjunto enumer´avel denso (H ´e separ´avel).

(=⇒): combina¸c˜oes lineares racionais.

(⇐=): extraia base alg´ebrica do espa¸co gerado por D, Gram-Schmidt.

`² :={(a_n)^∞_n=1;an∈C,

∞

X

n=1

|a_n|²<∞},h(a_n),(bn)i=

∞

X

n=1

anbn. H separ´avel. Base{e₁,e2,· · · } base define isomorfismo

`² 3(an)7−→

∞

X

n=1

anen∈H com inversaH3x7−→(hx,eni)∈`². Exemplo

F_d :L²(S¹)−→`²(Z),f 7−→(fb_n)n∈Z. Inversa ´e s´erie de Fourier.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 11 / 20

Preliminares Espa¸cos Separ´aveis

Espa¸cos de Hilbert

H possui base enumer´avel⇐⇒

H possui subconjunto enumer´avel denso (H ´e separ´avel).

(=⇒): combina¸c˜oes lineares racionais.

(⇐=): extraia base alg´ebrica do espa¸co gerado porD, Gram-Schmidt.

`² :={(a_n)^∞_n=1;a_n∈C,

∞

X

n=1

|a_n|²<∞},h(a_n),(b_n)i=

∞

X

n=1

a_nb_n.

H separ´avel. Base{e₁,e2,· · · } base define isomorfismo

`² 3(an)7−→

∞

X

n=1

anen∈H com inversaH3x7−→(hx,eni)∈`². Exemplo

F_d :L²(S¹)−→`²(Z),f 7−→(fb_n)n∈Z. Inversa ´e s´erie de Fourier.

Preliminares Espa¸cos Separ´aveis

Espa¸cos de Hilbert

H possui base enumer´avel⇐⇒

H possui subconjunto enumer´avel denso (H ´e separ´avel).

(=⇒): combina¸c˜oes lineares racionais.

(⇐=): extraia base alg´ebrica do espa¸co gerado porD, Gram-Schmidt.

`² :={(a_n)^∞_n=1;a_n∈C,

∞

X

n=1

|a_n|²<∞},h(a_n),(b_n)i=

∞

X

n=1

a_nb_n.

H separ´avel. Base {e₁,e2,· · · } base define isomorfismo

`² 3(an)7−→

∞

X

n=1

anen∈H com inversa H3x7−→(hx,eni)∈`². Exemplo

F_d :L²(S¹)−→`²(Z),f 7−→(fb_n)n∈Z. Inversa ´e s´erie de Fourier.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 11 / 20

Preliminares Espa¸cos Separ´aveis

Espa¸cos de Hilbert

H possui base enumer´avel⇐⇒

H possui subconjunto enumer´avel denso (H ´e separ´avel).

(=⇒): combina¸c˜oes lineares racionais.

(⇐=): extraia base alg´ebrica do espa¸co gerado porD, Gram-Schmidt.

`² :={(a_n)^∞_n=1;a_n∈C,

∞

X

n=1

|a_n|²<∞},h(a_n),(b_n)i=

∞

X

n=1

a_nb_n. H separ´avel. Base {e₁,e2,· · · } base define isomorfismo

`² 3(an)7−→

∞

X

n=1

anen∈H com inversa H3x7−→(hx,eni)∈`².

Exemplo

F_d :L²(S¹)−→`²(Z),f 7−→(fb_n)n∈Z. Inversa ´e s´erie de Fourier.

Preliminares Espa¸cos Separ´aveis

Espa¸cos de Hilbert

H possui base enumer´avel⇐⇒

H possui subconjunto enumer´avel denso (H ´e separ´avel).

(=⇒): combina¸c˜oes lineares racionais.

(⇐=): extraia base alg´ebrica do espa¸co gerado porD, Gram-Schmidt.

`² :={(a_n)^∞_n=1;a_n∈C,

∞

X

n=1

|a_n|²<∞},h(a_n),(b_n)i=

∞

X

n=1

a_nb_n. H separ´avel. Base {e₁,e2,· · · } base define isomorfismo

`² 3(an)7−→

∞

X

n=1

anen∈H com inversa H3x7−→(hx,eni)∈`². Exemplo

F_d :L²(S¹)−→`²(Z),f 7−→(fb_n)n∈Z. Inversa ´e s´erie de Fourier.

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 11 / 20

Preliminares Fourier

Espa¸cos de Hilbert

f :S¹ →C´e cont´ınua⇐⇒ g(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e cont´ınua.

f :S¹ →C´eC^∞ seg(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e C^∞.

hf,gi:= Z 2π

0

f(e^iθ)g(e^iθ)dθ´e produto interno em C(S¹). Defina en∈C^∞(S¹), n∈Z, por en(e^iθ) = (2π)^−1/2e^inθ,θ∈R. Af: {e_n;n∈Z}´e base de L²(S¹), o completamento deC(S¹). Dem: kfk_∞= sup{|f(z)|;z ∈S¹}. k · k₂≤√

2πk · k_∞ em C(S¹). s_n=

n

X

k=−n

hf,e_kie_k, lim

n→∞

s0+s1+· · ·+sn

n+ 1 −f ∞

= 0 (Fej´er). f =X

n∈Z

fb_ne_n,f ∈L²(S¹)⊃C(S¹)⊃C¹(S¹)⊃ · · · ⊃C^∞(S¹). fb_n:=hf,e_ni= 1

√2π Z 2π

0

f(e^iθ)e^−inθdθ, sef ∈C(S¹).

Preliminares Fourier

Espa¸cos de Hilbert

f :S¹ →C´e cont´ınua⇐⇒ g(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e cont´ınua.

f :S¹ →C´eC^∞ seg(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e C^∞. hf,gi:=

Z 2π

0

f(e^iθ)g(e^iθ)dθ´e produto interno em C(S¹).

Defina en∈C^∞(S¹), n∈Z, por en(e^iθ) = (2π)^−1/2e^inθ,θ∈R. Af: {e_n;n∈Z}´e base de L²(S¹), o completamento deC(S¹). Dem: kfk_∞= sup{|f(z)|;z ∈S¹}. k · k₂≤√

2πk · k_∞ em C(S¹). s_n=

n

X

k=−n

hf,e_kie_k, lim

n→∞

s0+s1+· · ·+sn

n+ 1 −f ∞

= 0 (Fej´er). f =X

n∈Z

fb_ne_n,f ∈L²(S¹)⊃C(S¹)⊃C¹(S¹)⊃ · · · ⊃C^∞(S¹). fb_n:=hf,e_ni= 1

√2π Z 2π

0

f(e^iθ)e^−inθdθ, sef ∈C(S¹).

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 12 / 20

Preliminares Fourier

Espa¸cos de Hilbert

f :S¹ →C´e cont´ınua⇐⇒ g(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e cont´ınua.

f :S¹ →C´eC^∞ seg(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e C^∞. hf,gi:=

Z 2π

0

f(e^iθ)g(e^iθ)dθ´e produto interno em C(S¹).

Defina en∈C^∞(S¹), n∈Z, por en(e^iθ) = (2π)^−1/2e^inθ,θ∈R. Af: {e_n;n∈Z}´e base de L²(S¹), o completamento deC(S¹).

Dem: kfk_∞= sup{|f(z)|;z ∈S¹}. k · k₂≤√

2πk · k_∞ em C(S¹). s_n=

n

X

k=−n

hf,e_kie_k, lim

n→∞

s0+s1+· · ·+sn

n+ 1 −f ∞

= 0 (Fej´er). f =X

n∈Z

fb_ne_n,f ∈L²(S¹)⊃C(S¹)⊃C¹(S¹)⊃ · · · ⊃C^∞(S¹). fb_n:=hf,e_ni= 1

√2π Z 2π

0

f(e^iθ)e^−inθdθ, sef ∈C(S¹).

Preliminares Fourier

Espa¸cos de Hilbert

f :S¹ →C´e cont´ınua⇐⇒ g(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e cont´ınua.

f :S¹ →C´eC^∞ seg(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e C^∞. hf,gi:=

Z 2π

0

f(e^iθ)g(e^iθ)dθ´e produto interno em C(S¹).

Defina en∈C^∞(S¹), n∈Z, por en(e^iθ) = (2π)^−1/2e^inθ,θ∈R. Af: {e_n;n∈Z}´e base de L²(S¹), o completamento deC(S¹).

Dem: kfk_∞= sup{|f(z)|;z ∈S¹}. k · k₂≤√

2πk · k_∞ em C(S¹).

s_n=

n

X

k=−n

hf,e_kie_k, lim

n→∞

s₀+s₁+· · ·+s_n n+ 1 −f

_∞

= 0 (Fej´er).

f =X

n∈Z

fb_ne_n,f ∈L²(S¹)⊃C(S¹)⊃C¹(S¹)⊃ · · · ⊃C^∞(S¹). fb_n:=hf,e_ni= 1

√2π Z 2π

0

f(e^iθ)e^−inθdθ, sef ∈C(S¹).

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 12 / 20

Preliminares Fourier

Espa¸cos de Hilbert

f :S¹ →C´e cont´ınua⇐⇒ g(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e cont´ınua.

f :S¹ →C´eC^∞ seg(θ) =f(e^iθ),θ∈R, ´e C^∞. hf,gi:=

Z 2π

0

f(e^iθ)g(e^iθ)dθ´e produto interno em C(S¹).

Defina en∈C^∞(S¹), n∈Z, por en(e^iθ) = (2π)^−1/2e^inθ,θ∈R. Af: {e_n;n∈Z}´e base de L²(S¹), o completamento deC(S¹).

Dem: kfk_∞= sup{|f(z)|;z ∈S¹}. k · k₂≤√

2πk · k_∞ em C(S¹).

s_n=

n

X

k=−n

hf,e_kie_k, lim

n→∞

s₀+s₁+· · ·+s_n n+ 1 −f

_∞

= 0 (Fej´er).

f =X

n∈Z

fb_ne_n,f ∈L²(S¹)⊃C(S¹)⊃C¹(S¹)⊃ · · · ⊃C^∞(S¹).

Preliminares Teorema de Baire

Consequˆ encias do Teorema de Baire

Teorema de Baire: Um espa¸co m´etrico completo n˜ao pode ser escrito como a uni˜ao enumer´avel de fechados com interior vazio.

Problema 1: SejaY um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita. Mos- tre que Y ´e completo.

Sugest~ao: Use um isomorfismo linear deY em Cⁿ para empurrar a norma de Y para Cⁿ. Todas as normas deCⁿ s˜ao equivalentes.

Problema 2: SejamX um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao infinita e Y ⊂X um subespa¸co de dimens˜ao finita. Mostre queY ´e fechado e tem interior vazio em X.

Corol´ario: Um espa¸co de Banach X de dimens˜ao infinita n˜ao possui base alg´ebrica enumer´avel. (Se X possu´ısse base {v₁,v2,· · · }, X seria a uni˜ao dos V_k = [v1,· · · ,v_k], k ∈N, cada V_k sendo fechado de interior vazio.)

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 13 / 20

Preliminares Teorema de Baire

Consequˆ encias do Teorema de Baire

Teorema de Baire: Um espa¸co m´etrico completo n˜ao pode ser escrito como a uni˜ao enumer´avel de fechados com interior vazio.

Problema 1: SejaY um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita. Mos- tre que Y ´e completo.

Sugest~ao: Use um isomorfismo linear deY em Cⁿ para empurrar a norma de Y para Cⁿ. Todas as normas deCⁿ s˜ao equivalentes.

Problema 2: SejamX um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao infinita e Y ⊂X um subespa¸co de dimens˜ao finita. Mostre queY ´e fechado e tem interior vazio em X.

Corol´ario: Um espa¸co de Banach X de dimens˜ao infinita n˜ao possui base alg´ebrica enumer´avel. (Se X possu´ısse base {v₁,v2,· · · }, X seria a uni˜ao dos V_k = [v1,· · · ,v_k], k ∈N, cada V_k sendo fechado de interior vazio.)

Preliminares Teorema de Baire

Consequˆ encias do Teorema de Baire

Teorema de Baire: Um espa¸co m´etrico completo n˜ao pode ser escrito como a uni˜ao enumer´avel de fechados com interior vazio.

Problema 1: SejaY um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita. Mos- tre que Y ´e completo.

Sugest~ao: Use um isomorfismo linear deY em Cⁿ para empurrar a norma de Y para Cⁿ. Todas as normas deCⁿ s˜ao equivalentes.

Problema 2: Sejam X um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao infinita e Y ⊂X um subespa¸co de dimens˜ao finita. Mostre queY ´e fechado e tem interior vazio em X.

Corol´ario: Um espa¸co de Banach X de dimens˜ao infinita n˜ao possui base alg´ebrica enumer´avel. (Se X possu´ısse base {v₁,v2,· · · }, X seria a uni˜ao dos V_k = [v1,· · · ,v_k], k ∈N, cada V_k sendo fechado de interior vazio.)

Severino Toscano Melo (IME – USP) T´opicos de An´alise Funcional 2^◦Semestre de 2020 13 / 20

Preliminares Teorema de Baire

Consequˆ encias do Teorema de Baire

Teorema de Baire: Um espa¸co m´etrico completo n˜ao pode ser escrito como a uni˜ao enumer´avel de fechados com interior vazio.

Problema 1: SejaY um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita. Mos- tre que Y ´e completo.

Sugest~ao: Use um isomorfismo linear deY em Cⁿ para empurrar a norma de Y para Cⁿ. Todas as normas deCⁿ s˜ao equivalentes.

Problema 2: Sejam X um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao infinita e Y ⊂X um subespa¸co de dimens˜ao finita. Mostre queY ´e fechado e tem interior vazio em X.

Corol´ario: Um espa¸co de BanachX de dimens˜ao infinita n˜ao possui base alg´ebrica enumer´avel.

(Se X possu´ısse base {v₁,v2,· · · }, X seria a uni˜ao dos V_k = [v1,· · · ,v_k], k ∈N, cada V_k sendo fechado de interior vazio.)