Apêndice A
Conjuntos, vetores e matrizes
Este apêndice estabelece algumas convenções de notação e terminologia a respeito de números, vetores, e matrizes. Também introduz o conceito de coleção laminar de conjuntos.
A.1 Números
Dizemos que um número r é positivo ser > 0 e negativose r < 0. Portanto, a expressão
“estritamente positivo” tem o mesmo significado que “positivo” e “estritamente negativo” tem o mesmo significado que “negativo”. Um númerorénão-negativoser ≥0enão-positivose r≤0.
Um número natural é qualquer elemento do conjunto N := {0,1,2,3,4, . . .}. Um número N inteiroé qualquer elemento do conjuntoZ:={. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . .}. O conjunto Z dos inteiros não-negativos é denotado porZ+. Portanto,Z+=N. Z+
Um númeroracionalé qualquer número da forma p/q, sendopeq números inteiros eq 6= 0.
O conjunto dos números racionais é denotado porQe o conjunto dos racionais não-negativos Q
porQ+. Q+
O conjunto de todos os números racionais e todos os irracionais (como√
2, π,lg 3, etc.) cons- titui o conjunto dos númerosreaise é denotado porR. O conjunto dos reais não-negativos é R denotado porR+. Os números conhecidos comoreaisno mundo da computação — números R+ do tipofloatedouble— são todos racionais.
É claro queN⊂Z⊂Q⊂R. Computadores digitais conhecem apenas um subconjunto finito deQ; em particular, desconhecem os números irracionais.
Para qualquer número real x, denotamos por bxc o único inteiro i tal que i ≤ x < i+ 1.
Analogamente, denotamos pordxeo único inteirojtal quej−1< x≤j.
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A.2 Vetores
Umvetor 1 indexado por um conjunto finito M é o mesmo que uma função que levaM em algum conjunto de números. Um vetorxindexado porM pode ser indicado por
(xi:i∈M).
Umvetor real indexado por M é uma função que levaM emR. Da mesma forma, umve- tor racional indexado porM é uma função que leva M em Q. O conjunto de tais funções é tradicionalmente denotado por
QM
QM.
Um vetor énão-negativose todos as suas componentes são não-negativas. Um vetor éinteiro se todos as suas componentes pertencem aZ. Um vetor é binário, oubooleano, se todas as suas componentes pertencem a{0,1}.
Sexé um vetor indexado por um conjuntoMeKé um subconjunto deM, denotamos porxK ou porx[K]a restrição dexaK. É claro quex[M] =x.
Ovetor característicode um subconjuntoKdeM é o vetor binárioxindexado porM tal que xi = 1sei∈Kexi = 0sei∈M rK. Reciprocamente, todo vetor binárioxindexado porM representao subconjunto{i:xi = 1}deM.
Osuportede um vetorxé o conjunto de todos os índicesjtais quex[j]6= 0.
A.3 Matrizes
Considere o produto cartesianoM×N de dois conjuntos finitosMeN. Umamatrizindexada por M ×N é um função que leva M ×N em algum conjunto de números. Uma matriz A indexada porM×N pode ser indicada por(Ai,j :i∈M, j∈N)ou por(A[i, j] :i∈M, j∈N).
Uma matriz éreal se todos as suas componentes pertencem a R. Uma matriz é racionalse todos as suas componentes pertencem aQeinteirase todos as suas componentes pertencem aZ. Uma matriz ébinária, oubooleana, se todas as suas componentes pertencem a{0,1}.
Se A é uma matriz indexada por M ×N ei é um elemento deM, a linha ide A é o vetor (Ai,j :j ∈N). Esse vetor pode ser denotado porAi,N ou porA[i, N].
Sejé um elemento deN, acolunajdeAé o vetor(Ai,j :i∈M). Esse vetor pode ser denotado porAM,j ou porA[M, j].
Podemos usar o símbolo “∗” para indicar o conjunto de todas as linhas e o conjunto de todas as colunas. Assim,A[i,∗] :=A[i, N]eA[∗, j] :=A[M, j].
[i,∗]
[∗, j] Atranspostade uma matrizAindexada porM×Né a matrizBindexada porN×Me definida pela seguinte propriedade:B[j, i] =A[i, j]para cadajemNe cadaiemM. A transposta deA é denotada porAT.
Para qualquer conjunto finitoN, amatriz identidadeindexada porN×N é a matriz bináriaI definida pelas seguintes propriedades: para cada(i, j)emN×N, sei=jentãoI[i, j] = 1e se i6=jentãoI[i, j] = 0.
1 Não existem “vetores-linha” nem “vetores-coluna”. Um vetor é apenas um vetor, sem adjetivos.
Além disso, não é uma boa ideia supor que o conjunto de índices é necessariamente{1,2, . . . , n} ou {0,1,2, . . . , n−1}.
FEOFILOFF CONJUNTOS, VETORES E MATRIZES 153
Para qualquer conjunto finitoN, uma permutaçãodos elementos de N é uma sequência em que cada elemento do conjunto aparece uma e uma só vez. Uma permutação deN é o mesmo que uma bijeção, digamos p, de N em N. Amatriz de permutaçãocorrespondente a p é a matriz bináriaP indexada porN×N e definida pelas seguintes propriedades: para cada(j, i) emN ×N, sej=p(i)entãoP[j, i] = 1e sej6=p(i)entãoP[j, i] = 0.
Essa definição pode ser generalizada como segue. Para quaisquer conjuntos finitosM eN de mesma cardinalidade e qualquer bijeçãoqdeM emN, amatriz de bijeçãocorrespondente aq é a matriz bináriaQindexada porN ×M e definida pelas seguintes propriedades: para cada (j, i)emN×M, sej =q(i)entãoQ[j, i] = 1e sej6=q(i)entãoQ[j, i] = 0.
A.4 Produtos
Para quaisquer vetorescexindexados por um mesmo conjuntoM, denotamos porc xa soma cx de todos os números da formacixicomiemM:2
cx:=P
i∈Mcixi. Esta soma também pode ser escrita assim: P
(cixi :i∈M). SeM = {1,2,3,4}, por exemplo, entãocx=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4.
Para qualquer matrizAindexada porM ×N e qualquer vetorxindexado porN, denotamos
porAxa soma de vetores Ax
P
j∈NA[∗, j]x[j].
Para qualquer vetoryindexado porM, denotamos poryAa soma de vetores3 yA P
i∈My[i]A[i,∗].
O produto de um vetor por uma matriz não é comutativo:yAnão é o mesmo queAy(em geral, um deles nem faz sentido).
Para qualquer vetorcindexado por um conjuntoM e qualquer subconjuntoKdeM, denota-
mos porc(K)a soma de todos osckcomkemK:4 c(K)
c(K) :=P
k∈Kck. Essa soma também pode ser escrita assim: P
(ck:k∈K). Se x é o vetor característico do subconjuntoKdeM entãoc(K) =cx.
EXEMPLO A.1: A figura mostra três objetos: à esquerda, na vertical, um vetory indexado por 1, . . . ,4; à direita, uma matrizAcom linhas indexadas por1, . . . ,4e colunas indexadas por1, . . . ,5; abaixo da matriz, um vetorxindexado por1, . . . ,5.
−2 11 12 13 14 15
1 21 22 23 24 25
0 31 32 33 34 35
2 41 42 43 44 45
1 0 0 −1 0
2 Muita gente escreve “cTx” no lugar do meu “cx”. Mas a transposição de um vetor não faz sentido, uma vez que não existem “vetores-linha” nem “vetores-coluna”.
3 Muita gente escreve “ATy” no lugar do meu “yA”.
4 No jargão de linguagens de programação, essa notação é umoverloaddo símboloc.
Veja o produtoyA, à esquerda, e o produtoAx, à direita:
81 82 83 84 85
−3
−3
−3
−3
A.5 Álgebra linear
Ao longo desta seção, suporemos M e N são dois conjuntos finitos e A é uma matriz real5 indexada porM×N.
Umconjunto de linhasdeAé essencialmente o mesmo que uma submatriz da formaA[K,∗], comK⊆M. Umconjunto de colunasdeAé essencialmente o mesmo que uma submatriz da formaA[∗, L], comL⊆N.
Umacombinação linear das colunasde Aé qualquer vetor da forma Ax, sendo x um vetor real indexado porN. Umacombinação linear das linhasdeAé qualquer vetor da formayA, sendoyum vetor real indexado porM.
O conjunto das colunas deAélinearmente dependentese existe um vetor realxindexado por N tal quex 6= 0masAx= 0. Em outras palavras, o conjunto das colunas deAé linearmente dependente se alguma coluna deApode ser escrita como combinação linear das demais. O conjunto das colunas deAélinearmente independentese não for linearmente dependente, ou seja, se a matrizAnão tem colunas redundantes.
Definições análogas valem para as linhas de A. O conjunto das linhas de A é linearmente dependentese existe um vetor realyindexado porM tal quey 6= 0masyA= 0. O conjunto das linhas deAélinearmente independentese não for linearmente dependente.
Usamos as expressõesl.d.el.i.como abreviaturas de “linearmente dependente” e “linearmente independente” respectivamente.
Adotamos a seguinte terminologia simplificada: um subconjuntoK deM é l.i.se o conjunto das colunas da matriz A[K,∗]é l.i.. Um conjunto l.i. K é maximal se não for subconjunto próprio de outro conjunto l.i..
Lema A.1 Todos os subconjuntos l.i. maximais deM têm o mesmo tamanho.
Oposto de linhas(=row rank) deAé o tamanho de qualquer subconjunto l.i. maximal deM.
Definição análoga vale para subconjuntos deNe para o conceito deposto de colunas(=column rank) deA.
Lema A.2 O posto de linhas deAé igual ao posto de colunas deA.
Oposto(=rank) deAé, indiferentemente, o posto de linhas ou o posto de colunas deA.
5 Poderíamos nos restringir às matrizes racionais, uma vez que computadores digitais desconhecem números irracionais.
FEOFILOFF CONJUNTOS, VETORES E MATRIZES 155
A.6 Coleções laminares de conjuntos
Seja Luma coleção6 de subconjuntos de um conjunto finitoV. Dizemos queL élaminarse, para cada par(X, Y)de elementos deL, temos
X∩Y =∅ ou X⊆Y ou X ⊇Y . (1)
Uma coleção laminar de subconjuntos deV tem no máximo2|V|elementos e portanto é muito menor que a coleção de todos os subconjuntos deV.
EXEMPLOA.2: A coleção{{a, b, c, d},{a, b},{c},{e, f},{f}}é laminar. Ela pode ser representada, de maneira muito compacta, pela expressão((a b) (c)d) (e(f)), em que cada elemento do “uni- verso”{a, b, c, d, e, f}aparece no máximo uma vez.
Ocomplementode um subconjuntoLdeV é o conjuntoL:=V rL. É claro que uma coleção X é laminar se e somente seX∩Y = ∅ouX∩Y = ∅ouX ∩Y = ∅ para cada par(X, Y)de elementos da coleção. A laminaridade de uma coleção tem uma relação interessante com a operação de complementação:
Lema A.3 SejaLuma coleção de subconjuntos de um conjunto finitoV erum elemento deV. SejaL0 a coleção{L∈ L:L3r}eL00a coleção{L:L∈ L0}. SeLé laminar então(LrL0)∪ L00 é laminar.
PROVA: Sejam X eY dois elementos deL. Por hipótese, X ∩Y = ∅ouX ⊆ Y ouX ⊇ Y. Temos três casos a considerar:
Caso 1: X ∈ L0 eY ∈ L0. EntãoX∩Y 6= ∅e portantoX ⊆ Y ouX ⊇ Y. SeX ⊆ Y então X⊇Y. SeX ⊇Y entãoX ⊆Y.
Caso 2:X∈ L0masY 6∈ L0. Nesse caso,X 6⊆Y e portantoX∩Y =∅ouX⊇Y. SeX∩Y =∅ entãoX⊇Y. SeX ⊇Y entãoX∩Y =∅.
Caso 3:X6∈ L0eY ∈ L0. Esse caso é análogo ao caso 2 e portantoY ⊇XouY ∩X =∅.
Em resumo, para quaisquer dois elementosLeM de(LrL0)∪ L00, temosL∩M =∅ouL⊆M ouL⊇M. Portanto, a coleção é laminar.
A.7 Exercícios
SeçãoA.4
A.1 SejaAuma matriz emRM×N exum vetor emRN. Mostre queA[i,∗]x= (Ax)[i]qualquer que seja iemM.
6 A palavra “coleção” é sinônima de “conjunto”. Usaremos “coleção” para designar um conjunto de conjuntos.
SeçãoA.5
A.2 Mostre dois subconjuntos l.i. maximais do conjunto de linhas da matriz abaixo.
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0
1 1 1 0
A.3 Prove o lemaA.1.
A.4 Prove o lemaA.2.
A.5 Veja a série de vídeosEssence of Linear Algebraemwww.3blue1brown.com/.
SeçãoA.6
A.6 SejaMuma coleção de subconjuntos de um conjunto finitoV. Mostre que Mnão é laminar se e somente se existe um par(X, Y)de elementos deMtal queX∩Y 6=∅eX 6⊆Y eX 6⊇Y.
A.7 SejaV o conjunto{a, b, c, d}. Faça um diagrama de Venn de uma coleção laminar de subconjuntos deV que tenha o maior número possível de elementos.
A.8 ?Cardinalidade de coleções laminares. SejaV um conjunto comnelementos eLum coleção laminar de subconjuntos deV. Mostre que|L| ≤2n. Parte 2: Suponha queLnão contém o conjunto vazio e nenhum de seus elementos é uma mera união de outros elementos. Mostre que|L| ≤n−1.
