Geometria Analítica. Prof.ª Josiane Elias Nicolodi Prof. Roberto Nicolodi

2013

G ^eometria a ^nalítica

Prof.ª Josiane Elias Nicolodi Prof. Roberto Nicolodi

Elaboração:

Prof.ª Josiane Elias Nicolodi Prof. Roberto Nicolodi

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial.

516.3

N651g Nicolodi, Josiane Elias

Geometria Analítica / Josiane Elias Nicolodi, Roberto Nicolodi.

Indaial : Uniasselvi, 2013.

215 p. : il

ISBN 978-85-7830-850-6

1. Geometria Analítica. I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.

a presentação

As mudanças pelas quais o ensino da matemática passou ao longo dos tempos acabaram por refletir fortemente no ensino e aprendizagem dos conteúdos de matemática. Se analisarmos a situação da prática educativa dos anos 80 até a atualidade identificaremos problemas como: a grande ênfase dada à memorização e pouca preocupação com o desenvolvimento do pensamento matemático para a reflexão crítica e autocrítica do conhecimento, o que consecutivamente, ocasionou em altos índices de reprovação.

Por isso, o principal objetivo dessa disciplina é contribuir para a formação do raciocínio lógico dos conteúdos de geometria, abordando paralelamente a representação algébrica com a representação geométrica.

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de relações matemáticas, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos.

Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim Cogito ergo sum, ou seja: “Penso, logo existo”.

Para tanto contamos com a sua dedicação, com o tempo para a leitura, realização das autoatividades sugeridas. Com o seu comprometimento de realmente utilizar a representação geométrica para comprovar a representação algébrica.

Vamos lá, chegou a hora de estudar!

Profa. Josiane Elias Nicolodi Prof. Roberto Nicolodi

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.

Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE.

Bons estudos!

UNIDADE 1 – ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO ... 1

TÓPICO 1 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ... 3

1 INTRODUÇÃO ... 3

2 O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ... 3

3 PARES ORDENADOS ... 5

4 OS QUADRANTES ... 7

5 BISSETRIZ DOS QUADRANTES ... 9

RESUMO DO TÓPICO 1 ... 11

AUTOATIVIDADE ... 12

TÓPICO 2 – ESTUDO DOS PONTOS ... 15

1 INTRODUÇÃO ... 15

2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ... 15

3 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ... 20

4 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS ... 24

5 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WIN PLOT ... 30

RESUMO DO TÓPICO 2 ... 36

AUTOATIVIDADE ... 37

TÓPICO 3 – A RETA ... 39

1 INTRODUÇÃO ... 39

2 EQUAÇÕES DA RETA ... 39

3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS ... 46

4 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ... 51

RESUMO DO TÓPICO 3 ... 55

AUTOATIVIDADE ... 56

TÓPICO 4 – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS ... 59

1 INTRODUÇÃO ... 59

3 RETAS CONCORRENTES ... 64

4 PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS ... 65

5 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS ... 68

6 O SOFTWARE WIN PLOT NA PROJEÇÃO DE RETAS ... 70

LEITURA COMPLEMENTAR ... 74

RESUMO DO TÓPICO 4 ... 77

AUTOATIVIDADE ... 78

UNIDADE 2 – O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA ... 79

TÓPICO 1 – EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA ... 81

1 INTRODUÇÃO ... 81

2 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA ... 81

3 POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO CARTESIANO ... 89

s ^umário

6 O SOFTWARE WINPLOT NA REPRESENTAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS ... 99

RESUMO DO TÓPICO 1 ... 103

AUTOATIVIDADE ... 104

TÓPICO 2 – POSIÇÕES RELATIVAS ... 107

1 INTRODUÇÃO ... 107

2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA ... 107

3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA ... 112

4 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS ... 117

RESUMO DO TÓPICO 2 ... 126

AUTOATIVIDADE ... 128

TÓPICO 3 – CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA ... 129

1 INTRODUÇÃO ... 129

2 POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA ... 129

3 MEDIDA DO COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ... 132

4 ÁREA DO CÍRCULO ... 133

LEITURA COMPLEMENTAR ... 136

RESUMO DO TÓPICO 3 ... 139

AUTOATIVIDADE ... 140

UNIDADE 3 – O ESTUDO DAS CÔNICAS ... 143

TÓPICO 1 – PARÁBOLA ... 145

1 INTRODUÇÃO ... 145

2 A PARÁBOLA ... 146

3 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA ... 147

RESUMO DO TÓPICO 1 ... 159

AUTOATIVIDADE ... 160

TÓPICO 2 – ELIPSE ... 161

1 INTRODUÇÃO ... 161

2 A ELIPSE ... 161

3 EQUAÇÕES DA ELIPSE ... 163

RESUMO DO TÓPICO 2 ... 175

AUTOATIVIDADE ... 177

TÓPICO 3 – HIPÉRBOLE ... 179

1 INTRODUÇÃO ... 179

2 A HIPÉRBOLE ... 180

2.1 MEDIDA DO EIXO REAL ... 181

2.2 MEDIDA DO EIXO IMAGINÁRIO ... 182

3 EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE ... 182

RESUMO DO TÓPICO 3 ... 192

AUTOATIVIDADE ... 193

TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA ... 195

1 INTRODUÇÃO ... 195

2 A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ANALÍTICA ... 195

3 APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA ... 197

LEITURA COMPLEMENTAR ... 201

REFERÊNCIAS ... 211

UNIDADE 1 ESTUDO DA RETA NO SISTEMA

CARTESIANO

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

Caro(a) acadêmico(a)! Com esta unidade, você será capaz de:

• conhecer as definições do Sistema Cartesiano Ortogonal;

• reconhecer as coordenadas do ponto;

• desenvolver o pensamento algébrico e a representação geométrica;

• identificar e aplicar o estudo dos pontos;

• verificar e aplicar as propriedades das equações da reta;

• adquirir noções sobre as posições relativas de duas retas.

Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada um deles, você encontrará atividades que favorecerão a fixação dos assuntos apresentados.

Bons estudos!

TÓPICO 1 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL TÓPICO 2 – ESTUDO DOS PONTOS

TÓPICO 3 – A RETA

TÓPICO 4 – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

TÓPICO 1

UNIDADE 1

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

1 INTRODUÇÃO

A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática, seus princípios baseiam-se nos estudos do ponto, da reta e do plano, que estão fundamentados em axiomas, postulados, definições e teoremas, compilados pelo filósofo e matemático grego Euclides, por volta do ano 300 a.C.

Nesta disciplina, nosso foco de estudos será uma área ainda mais específica da geometria, a geometria analítica. Área esta, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, em que o estudo da geometria é realizado por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra.

Desta forma, iniciaremos nossos estudos revendo os conceitos envolvidos no estudo do sistema cartesiano ortogonal.

2 O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

O Sistema de Coordenadas Cartesianas, Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes (1596- 1650), filósofo matemático francês e principal idealizador da Geometria Analítica.

Em sua homenagem originou-se o nome cartesiano, pois Descartes em latim era Cartesius.

Como René Descartes associava a geometria à álgebra, o sistema cartesiano ortogonal foi a forma que ele inventou para representar expressões algébricas graficamente.

NOTA

Quando temos um sistema de eixos associado a um plano, que faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa, sendo esses eixos perpendiculares entre si em um ponto O, denominado origem, o denotamos como sistema cartesiano ortogonal.

Sendo assim, o sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares (duas retas que formam ângulo de 90º entre si): um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas (0,0). A reta horizontal é chamada de eixo x ou eixo das abscissas (x) e a reta vertical de eixo y ou de eixo das ordenadas (y). Esses eixos são enumerados com uma unidade de medida única e os números compreendem o conjunto dos números reais, como podemos observar na figura 1 do plano cartesiano. Nesta disciplina, você pode utilizar 1 cm como unidade de medida para a resolução das autoatividades.

FIGURA 1 – PLANO CARTESIANO

FONTE: Os autores

Atenção! Podemos observar na Figura 1 que a orientação positiva das retas é representada por uma seta.

UNI

A utilização mais simples do Plano Cartesiano é para representarmos graficamente a localização de pontos em um determinado plano, ou seja, pares

Você sabia?

Que podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude? Esses temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS.

O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mãos um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxílio de satélites em órbita da Terra. Os aviões são um exemplo da utilização do GPS, pois para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir sua viagem.

FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/plano-cartesiano.

htm>. Acesso em: 6 dez. 2013.

UNI

3 PARES ORDENADOS

A representação dos pontos no plano é feita através de pares ordenados, indicados entre parênteses, a abscissa (x) e a ordenada (y) respectivamente, e esse par ordenado (x, y) representa as coordenadas de um ponto, o qual é representado por uma letra maiúscula do alfabeto P(x, y).

Eixo das abscissas

P(x,y)

Eixo das ordenadas

FIGURA 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS EIXOS

FONTE: Os autores

O valor da abscissa (o primeiro número do par ordenado) é a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo), ou para a esquerda (se negativo) do eixo horizontal (eixo x). E o valor da ordenada (o segundo número do par ordenado) é a medida do deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo) no eixo vertical (eixo y).

IMPORTANTE

Vamos observar alguns exemplos de pares ordenados:

• o ponto A(4, 3) tem abscissa 4, ou seja, x = 4 e ordenada 3, ou seja, y = 3, no qual o símbolo (4, 3) representa um par ordenado;

• o ponto B(1, 2) tem abscissa 1 (x = 1) e ordenada 2 (y = 2);

• o ponto C(-2, 4) tem abscissa -2 (x = -2) e ordenada 4 (y = 4);

• o ponto D(-3, -4) tem abscissa -3 (x = -3) e ordenada -4 (y = -4);

• o ponto E (3, -3) tem abscissa 3 (x = 3) e ordenada -3 (y = -3).

É importante destacarmos que os pontos M(2, 5) e N(5, 2) são pontos distintos, pois em um par ordenado a ordem dos números é relevante.

ATENCAO

Para representarmos esses pontos no sistema cartesiano ortogonal, traçamos retas suportes paralelas aos eixos x e y (representadas na Figura 3, por linhas tracejadas), e onde essas retas se encontram, marca-se o ponto (par ordenado).

Vamos analisar o ponto A, observe na Figura 3, que traçamos inicialmente uma reta paralela ao eixo y sobre o valor da abscissa do ponto, nesse caso 4 e depois traçamos a outra paralela, agora em relação ao eixo x, sobre o valor da ordenada, ou seja, 3. Onde essas duas retas paralelas (devem ser representadas sempre com linhas tracejadas no sistema cartesiano ortogonal) se encontram é a região do plano em que está o ponto A (4, 3).

O mesmo acontece com os demais pontos do exemplo e com qualquer outro par ordenado em que os pontos não estão marcados sobre o eixo. Quando isso acontece os pontos estão localizados nos quadrantes e não é necessário traçar retas paralelas.

FIGURA 3 – EXEMPLOS DE PARES ORDENADOS

Fonte: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm>.

Acesso em: 9 maio 2013.

Utilizamos o plano cartesiano na representação de gráficos de funções, onde os valores relacionados a x determinam o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, que facilita a observação do comportamento das funções em alguns pontos considerados críticos e contribuiu para vários conceitos de cálculo, como limites, derivadas, integrais e outros.

NOTA

4 OS QUADRANTES

É a denotação utilizada para as quatro regiões do plano resultante da divisão do eixo x e do eixo y, conforme observamos na Figura 4.

Os quadrantes são dispostos em sentido anti-horário.

NOTA

FIGURA 4 – QUADRANTES

Fonte: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano- cartesiano.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.

No sistema cartesiano ortogonal, o canto superior direito é a região do primeiro quadrante, à sua esquerda do outro lado do eixo das ordenadas (eixo y), é a região do segundo quadrante. Abaixo desse, temos a região do terceiro quadrante e à direita e, abaixo do primeiro, temos a região do quarto quadrante.

Para os pontos (pares ordenados) localizados no primeiro quadrante, os valores da abscissa e da ordenada serão sempre maiores do que zero (x > 0 e y > 0), no segundo quadrante o valor da abscissa é menor do que zero e o da ordenada maior do que zero (x < 0 e y > 0), no terceiro quadrante os valores da abscissa e da ordenada serão menores do que zero (x < 0 e y < 0) e no quarto quadrante o valor da abscissa é maior do que zero e o da ordenada menor do que zero (x > 0 e y < 0).

Assim:

• no primeiro quadrante, todos os pontos possuem abscissa e ordenada positivas (x, y). Exemplo: A(4, 2);

• no segundo quadrante, todos os pontos possuem abscissa negativa e ordenada positiva (- x, y). Exemplo: B (-4, 2);

• no terceiro quadrante todos os pontos possuem abscissa e ordenada negativas (- x, - y). Exemplo: C(-4, -2), e

• no quarto quadrante todos os pontos possuem abscissa positiva e ordenada negativa (x, -y). Exemplo: D(4, -2).

Quando um ponto (par ordenado) está localizado sobre o eixo das abscissas (eixo x), o eixo das ordenadas (eixo y), ou sobre a origem do sistema, não se encontra em nenhum quadrante.

IMPORTANTE

5 BISSETRIZ DOS QUADRANTES

A bissetriz dos quadrantes é determinada por uma reta que intercepta o ponto (0,0) traçando a bissetriz dos quadrantes ímpares no 1º e 3º quadrante ou a bissetriz dos quadrantes pares no 2º e 4º quadrante, conforme a Figura 5.

FIGURA 5 – BISSETRIZ DOS QUADRANTES

FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/as-bissetrizes-dos- quadrantes-1.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.

Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais às ordenadas e vice-versa, B(b, b).

Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa, B(b, -b).

IMPORTANTE

Exemplo: Determinar o valor de a, para que o ponto A (2a-1, – a+2) pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Resolução: Sabemos que, se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então, possuem coordenadas (x, y) iguais. Desta forma,

2a – 1 = -a + 2 Isolando a no primeiro membro 2a + a = 2 + 1 Juntando os termos semelhantes 3a = 3 Dividindo ambos os membros por 3 3a/3 = 3/3 Efetuando a divisão

a = 1

Substituindo o valor de a nas coordenadas do ponto, temos:

A (2.1 – 1, - 1 + 2) → A (1, 1)

Portanto, as coordenadas do ponto serão A(1, 1).

Nesse tópico, você estudou o Sistema Cartesiano Ortogonal. Em seguida, a localização dos pontos e a posição dos mesmos de acordo com os quadrantes.

• O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares, o horizontal é chamado de eixo x ou eixo das abscissas (x) e o vertical de eixo y ou de eixo das ordenadas (y) que são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais.

• A representação dos pontos no plano é feita através de pares ordenados (x, y), a abscissa (x) e a ordenada (y) respectivamente que representa as coordenadas de um ponto.

• Para representarmos esses pontos no sistema cartesiano ortogonal, traçamos retas paralelas aos eixos x e y (linhas tracejadas), e onde essas retas se encontram, marca-se o ponto (par ordenado).

• Os pontos (pares ordenados), localizados no primeiro quadrante, têm os valores da abscissa e da ordenada maiores do que zero (x > 0 e y > 0), no segundo quadrante, o valor da abscissa é menor do que zero e o da ordenada maior do que zero (x < 0 e y > 0), no terceiro quadrante os valores da abscissa e da ordenada serão menores do que zero (x < 0 e y < 0), e no quarto quadrante o valor da abscissa é maior do que zero e o da ordenada menor do que zero (x > 0 e y < 0).

RESUMO DO TÓPICO 1

AUTOATIVIDADE

Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudo no Tópico 1. Lembre-se das orientações referentes à localização dos pontos no plano cartesiano.

1 Construa um plano cartesiano e localize os seguintes pontos (pares ordenados):

a) A(-4, 3) b) B(-1, 1) c) B(2, 1) d) D(-1, 2) e) E(3, -2)

j) J(3, 3/5) k) K(1/2, -4) l) L(-2,5, -3,3) m) M(2, 0) n) N(0, -3) f) F(-1, -1)

g) G(3, 2) h) H(-1, 3)

i) Um ponto I na origem do sistema 2 No exercício anterior:

a) Quais são os pontos que pertencem ao 1º quadrante? ______________________

b) Quais são os pontos que pertencem ao 2º quadrante? ______________________

c) Quais são os pontos que pertencem ao 3º quadrante? ______________________

d) Quais são os pontos que pertencem ao 4º quadrante? ______________________

3 Verifique se os pontos estão localizados nos quadrantes e identifique em qual quadrante?

a) A(2, 0)_____________________________________________________________

b) B(-1, -1)____________________________________________________________

c) C(0, 3)_____________________________________________________________

d) D(2, -3)____________________________________________________________

e) E(0, 0)_____________________________________________________________

f) F(-1, 0)_____________________________________________________________

g) G(0, -2)____________________________________________________________

4 No exercício anterior:

a) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das abscissas?

b) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das ordenadas?

a) A(2,0)... M(0,2) b) B(3, -1)... N(3,-1) c) C(2,5)... P(6/3,10/2) d) C(-2,1)... Q(1,-2) e) E(-3,-2)... R(-2,-3)

6 Determine x e y nos pares ordenados, para que cada uma das igualdades sejam verdadeiras:

a) (x, y) = (1,-2) _______________________________________________________

b) (3, y) = (x, 1) _______________________________________________________

c) (x , -7) = (-1 , y) _____________________________________________________

d) (2x, -2) = ( 10, y) ____________________________________________________

e) (x, y +2) = (1, 7) _____________________________________________________

f) (3x, 2y) = (-15, -8) ___________________________________________________

g) (x, y - 5) = (0, 10) ____________________________________________________

h) (x + 1, y -1) = (2, 4) __________________________________________________

7 Determine as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano a seguir:

ímpares, m deverá ser:

a) - 1 b) 5/3 c) - 5 d) 1

9 Observe o sistema cartesiano a seguir onde as bissetrizes de cada quadrante estão representadas.

a) O que caracteriza um ponto “A” situado sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares?

b) Se o ponto C(x, y) é um ponto situado sobre a bissetriz dos quadrantes pares, podemos afirmar que x + y = 0 sempre? Por quê?

c) Calcule o valor de m, sabendo que o ponto B (2m² + 5, 7m) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.

TÓPICO 2

ESTUDO DOS PONTOS

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

No tópico anterior, vimos a representação de um ponto no sistema cartesiano. Neste tópico vamos analisar as relações que podemos estabelecer entre dois ou mais pontos, como a distância entre dois pontos, o ponto médio de um segmento, a condição de alinhamento de três pontos e como utilizar o software Winplot para representar geometricamente essas relações.

No estudo dos pontos, temos o conceito de distância que perpassa vários conceitos da geometria analítica, pois nessa área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, sendo que o elemento básico da geometria é o ponto.

Sabemos que na geometria a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, já na geometria analítica esses pontos são representados por coordenadas no sistema cartesiano ortogonal, e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre os dois pontos.

Através dos estudos de Geometria Analítica, é possível estabelecer a relação entre a Álgebra e a Geometria, em situações que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais, pois quando representamos graficamente uma função, utilizamos de pontos, podemos ter retas ou até mesmo figuras em três dimensões.

2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Na disciplina de geometria, você estudou que a distância é a medida da separação de dois pontos e que por dois pontos passa apenas uma reta, vamos calcular a distância entre os pontos A e B no sistema cartesiano ortogonal.

FIGURA 6 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/

search?q=com+a+dist%c3%a2ncia+entre+dois+pontos>. Acesso em: 10 maio 2013.

Para calcular a distância entre dois pontos recorremos ao teorema de Pitágoras.

Temos os pontos: A(xA, yA), com abscissa (xA) e ordenada (yA); e o ponto B(xB, yB), com abscissa (xB) e coordenada (yB), ligando esses dois pontos com uma reta, podemos formar o triângulo ABC retângulo em C, em que temos o lado BC (cateto), o lado AC (cateto) e o lado AB (hipotenusa).

UNI

FIGURA 7 – COMO CALCULAR A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/

distancia-entre-dois-pontos.htm>. Acesso em: 10 maio 2013.

y y

y

x

x

x

C B

A

y y

y

x

x

x

C B

A

d

Para calcular a distância entre os pontos A e B, vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo ABC (Figura 8), para descobrir o valor da hipotenusa do triângulo, ou seja, D que é a distância entre os pontos A e B.

FIGURA 8 – TRIÂNGULO ABC

FONTE: Os autores

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que o quadrado da hipotenusa (D) é igual à soma dos quadrados dos catetos. Como o cateto BC é igual a distância de y_B - y_A, e o cateto AC é igual a distância de x_B - x_A , temos:

D² = (X B – X A )² + (Y B – Y A )²

√D² = √(XB – X A )² + (Y B – Y A )²

D = √(XB – X A )² + (Y B – Y A )²

ATENCAO

D = √(XB – X A )² + (Y B – Y A )²

Utilizando essa fórmula, é possível determinar a distância entre dois pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal, desde que seja conhecida as suas coordenadas.

Exemplo 1: Dados os pontos A (1, -2) e B (4, 2), determine a distância entre eles e represente geometricamente.

Solução: Temos x_A = 1 e y_A = -2, e x_B = 4 e y_B = 2.

Fórmula da distância entre dois pontos:

D = √(XB – X A )² + (Y B – Y A )²

Substituindo esses valores na fórmula da distância entre dois pontos temos:

D = √(4 – 1)² + [2 – (–2)]²

Resolvendo as operações entre os parênteses:

D = √(3)² + (4)²

Elevando os termos ao quadrado:

D = √9 + 16

Somando os termos dentro da raiz quadrada:

D = √25

Resolvendo a raiz quadrada:

D = 5

Logo a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a 5 unidades de medida.

Representação geométrica:

FIGURA 9 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS

FONTE: Os autores

Exemplo 2: Calcule a distância entre os pontos P(-1, 4) e Q (1, -4).

Solução: Temos x_A = -1 e y_A = 4, e x_B = 1 e y_B = - 4.

D = √(XB – X A )² + (Y B – Y A )² D = √[1 – (–1)]² + (–4 – 4)²

Resolvendo as operações entre os parênteses:

D = √(–2)² + (–8)²

Elevando os termos ao quadrado:

D = √4 + 64

Somando os termos dentro da raiz quadrada:

D = √68

Resolvendo a raiz quadrada, não temos um valor exato, portanto vamos fatorar em números primos o número 68;

68 2

34 2

17 17

1 2².17

Logo,

Representação geométrica

√4 √17 2√17 =

D = 2√17

FIGURA 10 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS

FONTE: Os autores

3 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

É o ponto que divide o segmento de reta exatamente ao meio, originando dois novos segmentos de reta, conforme podemos observar na Figura 11.

FIGURA 11 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/

search?q=divide+o+segmento+de+reta+exatamente+ao+meio&>. Acesso em: 10 maio 2013.

Seja M o ponto médio do segmento com extremidades A (x_A,y_A) e B (x_B,y_B), observamos na Figura 12, dois triângulos, AMN e ABP que são semelhantes, pois possuem os três ângulos respectivamente congruentes (iguais) (REIS, 2008).

FIGURA 12 – CÁLCULO DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

FONTE: Disponível em: <http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/

AulasModulo02-pdf/ApostilaVeraCarlos.PDF>. Acesso em: 10 maio 2013.

Portanto, pelo Teorema de Tales, o segmento AM é proporcional ao segmento AB e o segmento AN é proporcional ao segmento AP, logo:

AB

na expressão

AM AN

AB = AP

AM AN

AB = AP

AB 2(AM) =

Sendo pois M é o ponto Médio de

AB 2(AM) =

Vamos subtituir

AM AN

2AM AP =

Simplificando e multiplicando meios e extremos teremos:

1 2

AN

= AP

Logo,

AP = 2(AN)

Nota! Como foi visto na figura 12, o segmento AP é a distância do ponto A ao ponto P, e as coordenadas do ponto A são xA e yA e do ponto P xP = x B e yP = yA , e o segmento AN é a distância do ponto A ao ponto N, e as coordenadas do ponto N são xn = xM e yn= yA.

UNI

Temos: AP =2(AN) ) (

2 _{N A}

A

P x x x

x − = − portanto se xp =xB _e x_N = x_{M logo:}

) (

2 _{M A}

A

B x x x

x − = − , aplicando a propriedade distributiva:

A M A

B x x x

x − =2 −2 , isolando os termos correspondentes:

xB −2xM = xA −2xA, resolvendo os termos correspondentes:

xB −2xM =−xA , isolando o x^M_:

−2x_M =−x_A −x_B , multiplicando ambos os lados da igualdade por (-1):

2x^M = x^A +x^B Isolando o x^M_:

2 ^B

M xA x

x +

= essa é a fórmula para o cálculo da abscissa (x) do ponto médio (M), de forma análoga define-se a fórmula do cálculo da ordenada (y) do ponto médio (M):

2 ^B

M yA y

y = +

Portanto M (

2 ^B

A x

x +

, ^A 2 ^B y y + ₎

Para encontrar as coordenadas do Ponto Médio utilizam-se as fórmulas:

2 ^B

M xA x

x +

= _e

2 ^B

M yA y

y = +

ATENCAO

Exemplo 1: Determine o ponto médio dos pontos A(4, -1) e B(-2, 5) e represente geometricamente:

Solução: Temos x_A = 4 e y_A = -1, e x_B = -2 e y_B = 5.

Substituindo nas fórmulas, teremos:

2 ^B

M xA x

x +

= ^{M A} 2 ^B

y

y y +

=

2 1 2 2

) 2 (

4+ − = =

M =

x 2

2 4 2

5 ) 1

(− + = =

M = y

Portanto, o ponto médio é: M (1,2).

Representação Geométrica:

FIGURA 13 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 1

FONTE: Os autores

Exemplo 2: O ponto A(-2, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto médio é M(-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento B(x, y)? Represente geometricamente.

Solução: Acadêmico(a)! Note que agora temos o ponto médio e queremos determinar a extremidade deste segmento. Desta forma, temos: x_A = -2 e y_A = 3, e x_M = -1 e y_M = -3.

Substituindo nas fórmulas, teremos:

2 . (-1) = (-2) + xB -2 = (-2) + x_B -2 + 2 = xB 0 = xB

2 ^B

M xA x

x +

= 2 ) 2 1 (− +x^B

=

−

2 ^B

M yA y

y +

= 2 3 3+ y^B

=

−

2 . (-3) = 3 + yB - 6 = 3 + yB - 6 – 3 =y_B - 9 =yB

Portanto, as coordenadas do outro extremo, ponto B são x = 0 e y = -9, B (0, -9).

FIGURA 14 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 2

FONTE: Os autores

4 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Quando três pontos estão em linha reta, dizemos que eles são colineares, conforme podemos observar na Figura 15.

FIGURA 15 – PONTOS COLINEARES E NÃO COLINEARES

FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/ponto-reta-e-plano/>. Acesso em: 10 maio 2013.

Com ABD~ BCE podemos escrever a relação:

x_b-x_a

xc-xb=y_b-y_a y_c-y_b

Multiplicando meios e extremos, temos:

(xb - xa). (yc - yb) = (xc - xb). (yb - ya)

Equação este que podemos expressar na forma:

(xb – xa). (yc – yb) – (xc – xb). (yb – ya) = 0

Resolvendo os produtos, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

xb yc – xb yb – xa yc ₊ xa yb – (xc yb – xc ya – xb yb ₊ xb ya ) = 0

Observemos a Figura 16, onde temos os pontos A (x_A, y_A), B (x_B, y_B) e C (x_C, y_C), três pontos distintos em linha reta, ou seja, colineares (alinhados). Temos que os triângulos ABD e BCE são retângulos em D e E, respectivamente, bem como apresentam lados proporcionais, logo são semelhantes.

Acadêmico(a)! Você estudou a semelhança de triângulos na disciplina de Geometria, caso precise relembrar, busque seu Caderno de Estudos impresso ou vá até a Trilha de Aprendizagem da disciplina de Geometria e visualize na versão virtual.

UNI

FIGURA 16 – ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

FONTE: Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/condicao- de-alinhamento-de-tres-pontos.html>. Acesso em: 10 maio 2013.

A

B

C

D

E

Y A

X A Y B

Y C

X B X C

Juntando os termos semelhantes:

x_by_c-x_ay_c+x_ay_b-x_cy_b+x_cy_a-x_by_a=0 Agrupando x_a e y_a temos:

(x_ay_b-x_ay_c)+(x_cy_a-x_by_a)+(x_by_c-x_cy_b)=0

Colocando os termos comuns em evidência:

x_a(y_b-y_c)+y_a(x_c-x_b)+(x_by_c-x_cy_b)=0

Que podemos escrever em forma de matriz:

0 1 1 1

=

c c

b b

a a

y x

y x

y x

Fazendo a regra de sinais:

xbyc – xbyb – xayc ₊ xayb – xcyb ₊ xcya ₊ xbyb – xbya = 0

Desta forma, concluímos que:

Três pontos A (x_A, y_A), B (x_B, y_B) e C (x_C, y_C), estão alinhados ou colineares,

se e somente se, o determinante 0 1 1 1

=

c c

b b

a a

y x

y x

y x

. Quando o determinante não for igual à zero, é porque os pontos A (x_A, y_A), B (x_B, y_B) e C (x_C, y_C), são vértices de triângulo.

Substituindo as coordenadas dos pontos na matriz 0 1 1 1

=

c c

b b

a a

y x

y x

y x

e aplicando a Regra de Sarrus, já vista no ensino médio, podemos verificar se o determinante dessa matriz é igual a zero, se for, os pontos são colineares, se não for igual a zero é porque os pontos não são colineares (formam um triângulo).

LEMBRAR: Cálculo do determinante pela REGRA DE SARRUS:

0 1 1 1

=

c c

b b

a a

y x

y x

y x

Repetem-se as duas primeiras colunas:

x_a y_a 1 x_b y_b 1 x_c y_c 1

x_a x_b x_c

y_a y_b y_c=0

Pela Regra de Sarrus, temos:

x_a·y_b·1+y_a·1·x_c+1·x_b·y_c - x_c·y_b·1+y_c·1·x_a+1·x_b·y_a =0

( ) ( )

Veja mais em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/regra-de-sarrus.html>.

UNI

Exemplo 1: Vamos verificar geometricamente e algebricamente (através do cálculo) se os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), estão alinhados (são colineares):

Solução Geométrica: Vamos observar a localização dos pontos no sistema ortogonal cartesiano na Figura 17.

FIGURA 17 – SOLUÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: PONTOS ALINHADOS

FONTE: Os autores

Observamos no Sistema Cartesiano Ortogonal (Figura 16) que os pontos A, B e C estão alinhados e são colineares.

Solução Algébrica: Temos

x

= 2 e y

= 5, x

= 3 e y

= 7, e x

= 5 e y

= 11.

Substituindo na condição de alinhamento de três pontos 0 1 1 1

=

c c

b b

a a

y x

y x

y x temos:

0 1 11 5

1 7 3

1 5 2

=

calculando o determinante da matriz pela regra de Sarrus, teremos:

1º Passo: Repetimos as duas primeiras colunas da matriz original.

0 11

5 7 3

5 2

1 11 5

1 7 3

1 5 2

=

2º Passo: Calculamos o valor da diagonal principal da matriz, multiplicando os elementos:

teremos D_p = (2.7.1) + (5.1.5) + (1.3.11) D_p = 14 + 25+ 33 = 72

0 11 5

7 3

5 2

1 11 5

1 7 3

1 5 2

=

3º Passo: Calculamos o valor da diagonal secundária da matriz, multiplicando os elementos:

teremos D_s = (1.7.5) + (2.1.11) + (5.3.1) D_s = 35 + 22+ 15 = 72

0 11 5

7 3

5 2

1 11 5

1 7 3

1 5 2

=

4º Passo: Subtraímos o valor da diagonal secundária do valor diagonal principal, para encontrar o valor do determinante da matriz, se ele for igual a zero os pontos estão alinhados:

D = D_p - D_s = 72 -72 = 0

Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, são colineares.

Exemplo 2: Considerando os pontos A(2, 2), B(–2, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados e represente geometricamente.

Solução: Temos

x

= 2 e y

= 2, x

= - 2 e y

= -1, e x

= -3 e y

= 1.

Substituindo na condição de alinhamento de três pontos, 0 1 1 1

=

c c

b b

a a

y x

y x

y x

temos:

0 1 1 3

1 1 2

1 2 2

=

−

−

− calculando o determinante da matriz pela regra de Sarrus, teremos:

1º Passo: Repetimos as duas primeiras colunas da matriz original

0 1 3

1 2

2 2

1 1 3

1 1 2

1 2 2

=

−

−

−

−

−

−

2º Passo: Calculamos o valor da diagonal principal da matriz, multiplicando os elementos:

teremos D_p = [2.(-1).1] + [2.1.(-3)] + [1.(- 2).1]

D_p = -2 + (-6)+ (-2) = -10 0

1 3

1 2

2 2

1 1 3

1 1 2

1 2 2

=

−

−

−

−

−

−

3º Passo: Calculamos o valor da diagonal secundária da matriz, multiplicando os elementos:

teremos D_s = [1.(-1).(-3)] + (2.1.1) + [2.(-2).1]

D_s = 3 + 2+ (-4) = 1 0

1 3

1 2

2 2

1 1 3

1 1 2

1 2 2

=

−

−

−

−

−

−

4º Passo: Subtraímos o valor da diagonal secundária do valor diagonal principal, para encontrar o valor do determinante da matriz, se ele for igual a zero os pontos estão alinhados:

D = D

- D

= -10 -1 = -11

Portanto, os pontos A, B e C não estão alinhados, ou seja, não são colineares.

Representação geométrica:

FIGURA 18 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: PONTOS NÃO ALINHADOS

FONTE: Os autores

Observamos no Sistema Cartesiano Ortogonal (Figura 18) que os pontos A, B e C não estão alinhados, logo não são colineares.

5 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WIN PLOT

O programa Winplot é uma excelente ferramenta computacional para fazer gráficos em duas dimensões (2D) e três dimensões (3D), de forma simples e clara, foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris "Rick", por volta de 1985 e é totalmente gratuito.

Você pode baixar o programa Winplot gratuitamente, acessando a página: <http://

www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>.

DICAS

Vamos utilizar o programa Winplot para traçar gráficos em duas dimensões (2D), ou seja, no sistema cartesiano ortogonal, selecionamos a opção 2 – dim, no menu janela.

FIGURA 19 – MENU WINPLOT

FONTE: Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/

winplot.html>. Acesso em: 15 maio 2013.

Em seguida, o programa mostrará uma nova tela, como na Figura 20.

FIGURA 20 – TELA WINPLOT

FONTE: Os autores

Na opção equação (menu superior do programa) vamos selecionar a opção ponto e em seguida (x, y), como na Figura 21.

FIGURA 21 – SELECIONAR PONTO NO WINPLOT

FONTE: Os autores

Depois para traçarmos pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal com o programa Winplot, é somente digitar as informações das coordenadas, abscissa (x) e ordenada (y) do ponto na tela que abrirá no programa na sequência, e selecionar a opção OK.

FIGURA 22 – INSERINDO PONTOS NO WINPLOT

O programa vai projetando os pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal, conforme a Figura 23, e na tela “inventário” ficarão registradas as coordenadas dos pontos projetados.

FIGURA 23 – PONTOS NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO WINPLOT

FONTE: Os autores

Da mesma forma, é possível traçar segmentos de reta, inserindo as coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento, selecionando no menu Equação a opção Segmento e (x,y), conforme a Figura 24.

FIGURA 24 – SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT

FONTE: Os autores

Inserindo as coordenadas dos pontos na tela (Figura 25), aberta na sequência no programa, tem-se o segmento de reta (Figura 26).

FIGURA 25 – INSERINDO SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT

FONTE: Os autores

FIGURA 26 – SEGMENTO DE RETA NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO WINPLOT

FONTE: Os autores

Observe na Figura 27, que projetando os pontos no Winplot, no menu dois, selecionando a opção distância, o programa calcula a distância entre os pontos.

FIGURA 27 – DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS NO WINPLOT

A utilização desse programa é fácil, existe a opção ajuda em todas as partes do programa e as funções matemáticas podem ser inseridas de modo natural.

FONTE: Os autores

Com o programa Winplot, você pode conferir, com a representação geométrica, se a solução do exercício está correta.

NOTA

RESUMO DO TÓPICO 2

Nesse tópico, você verificou a distância entre os pontos, o ponto médio e a condição de alinhamento de pontos.

Fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no sistema cartesiano ortogonal:

)² (

)²

( x

x

y

y

D = − + −

Fórmula para o cálculo da abscissa (x) do ponto médio (M):

2 ^B

M xA x

x +

=

Fórmula do cálculo da ordenada (y) do ponto médio (M):

2 ^B

M yA y

y +

=

Coordenadas do Ponto Médio:



 +

2 ^B

A x

M x

,

 +  2 ^B

A y

y

Para que três pontos estejam alinhados (colineares) o determinante da matriz 3x3 tem que ser igual a zero:

0 1 1 1

= y x

y x

y x

B B

A A

Você deverá colocar em prática o que foi estudo no Tópico 2. Lembre-se das orientações referentes a distância dos pontos, ponto médio e alinhamento dos pontos.

1 Calcule a distância entre os pontos:

a) A (2,3) e B (2, 5)_____________________________________________________

b) C (6,3) e D (2,7)_____________________________________________________

c) E (2,1) e F (-2,4) _____________________________________________________

2 Determine o ponto médio do segmento de extremidades:

a) A (2, 3) e B (8, 5)__________________ b) C (3, -2) e D (-1, -6)_________________

c) E (-2, -4) e F (5, 2) _________________ d) H (0, 7) e I (6, 0) ___________________

e) J (3, 2) e K (5, 4) __________________ f) P (-3, -4) e Q (-7, 0) _________________

3 Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as coordenadas dos pontos médios dos segmentos:

a) AB_______________________ b) AD___________________________

c) BD_______________________ d) AC __________________________

e) CD ______________________

4 Represente, no Sistema Cartesiano Ortogonal, os triângulos ABC e PQR.

Determine as coordenadas dos pontos médios de cada lado dos triângulos e calcule o comprimento (distância) dos lados AC e PQ.

a) Δ ABC : A (3, 5), B (5, 9) e C (3, 7) b) Δ PQR: P(2, 8), Q(2, 2) e R(6, 2)

5 Calcule os pontos médios dos lados dos triângulos com vértices:

a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2) b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4) c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)

6 Determine as coordenadas do ponto B sabendo que M (-1, -1) é o ponto médio de AB com A (-1, 1).

7 O ponto A (-4, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto médio é M (-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento B (x, y).

AUTOATIVIDADE

ponto médio de AB, determine as coordenadas do ponto A.

9 (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante (situado a igual distância) dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento.

10 Um campo de futebol tem 60m de comprimento por 40m de largura. Construa um sistema de coordenadas e determine as coordenadas dos seguintes pontos: (REIS, 2008, p. 17)

a) dos quatro cantos do campo;

b) do centro do campo.

TÓPICO 3

A RETA

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Caro(a) acadêmico(a)! Você estudou nos tópicos anteriores as definições em relação ao ponto. Agora chegou a hora de conhecer as definições em relação à reta. No postulado básico da Geometria, temos que pôr dois ou mais pontos alinhados para poder passar uma reta, logo se faz necessário conhecer a equação da reta, compreender como os seus coeficientes são importantes para analisar o seu posicionamento no Sistema Cartesiano Ortogonal, possibilitando verificar sua inclinação e os pontos onde a reta intercepta (corta) os eixos do Sistema Cartesiano Ortogonal (eixo x e eixo y).

A seguir, vamos estudar as seguintes equações: equação geral da reta, equação reduzida e equação segmentária e também vamos verificar o ângulo formado entre as retas e a distância entre um ponto e uma reta.

2 EQUAÇÕES DA RETA

Conseguimos determinar a equação da reta do sistema cartesiano ortogonal quando são conhecidos: um ponto e o coeficiente angular da reta ou dois pontos da reta.

Coeficiente angular é número que mede a inclinação (ou declividade) de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Logo, na equação reduzida da reta segundo a lei de formação: “y = mx + n”, dizemos que “m” é o coeficiente angular dessa reta. Ou então, dada a equação (geral) de uma reta: “ax + by + c = 0”, dizemos que “-a/b” é o coeficiente angular dessa reta.

NOTA

Essa equação pode receber as seguintes denotações: equação geral da reta, equação reduzida da reta e equação segmentária da reta. Cada denotação tem suas regularidades, como veremos.

• Equação geral da reta

a) Equação geral da reta quando é conhecido um ponto e o seu coeficiente angular.

FIGURA 28 – EQUAÇÃO GERAL DA RETA

FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/geometria- analitica/equacoes-da-reta/>. Acesso em: 15 maio 2013.

Como podemos observar na Figura 28 o coeficiente angular (m) é obtido através das propriedades trigonométricas do triângulo retângulo, dado pela fórmula:

m = tg α

Sendo que tg = cateto oposto

cateto adjacente logo podemos escrever:

Uma das formas de representar uma reta r do Sistema Cartesiano Ortogonal por meio de uma equação é conhecendo um ponto dessa reta e a sua inclinação (coeficiente angular).

ATENCAO

Temos a reta r (não vertical) que passa pelo ponto A (x_A, y_A) e tem coeficiente angular (m), para obter a equação dessa reta, é preciso o ponto P(x, y) tal que o ponto P seja diferente do ponto A (P ≠ A).

A A

x x

y m y

−

= − multiplicando meios e extremos:

)

( _A

A m x x

y

y− = − essa é a fórmula da equação geral da reta.

Exemplo1: Determine a equação geral da reta r que passa pelo ponto A (2, 1), e tem coeficiente angular igual a 2 (m = 2).

Solução1: Temos x_A = 2, y_A = 1 e m = 2.

Substituindo em y−yA =m⁽x−xA⁾ teremos:

) 2 ( 2

1= −

− x

y , aplicando a propriedade distributiva temos:

4 2

1= −

− x

y , igualando a zero, teremos:

0 4 2

1− + =

− x

y , resolvendo os termos semelhantes:

0 3

2 + =

− x

y , essa é a equação geral da reta que passa pelo A, com coeficiente angular igual a 2.

b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos.

Sabemos pelos estudos da geometria que por dois pontos distintos passa uma única reta. Assim também podemos determinar a equação da reta quando são conhecidos dois de seus pontos.

ATENCAO

0 1 1 1

=

B B

A A

y x

y x

y x

xy

+ x

y + x

y

– x

y

– xy

– x

y = 0

x (y

– y

) + y(x

- x

) + (x

y

– x

y

) = 0

Como

x

x

, y

e y

y

– y

= a x

- x

= b x

y

– x

y

= c

Assim, teremos a fórmula da equação geral da reta: ax + by + c = 0.

ATENCAO

Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 7), e represente geometricamente:

Solução: Temos

x

= 2, y

= 5 e x

= 3, y

= 7.

1º Passo: Substituir as coordenados dos pontos na fórmula e resolver:

0 1 1 1

=

B B

A A

y x

y x

y x

0 1 7 3

1 5 2

1

= y x

0 7 3

5 2 1 7 3

1 5 2

1

= y x y

x

temos na diagonal secundária:

D

= (1. 5. 3) + (x . 1 . 7) + (y . 2 .1) D

= 15 + 7x + 2y

E na diagonal principal

Ds= (x. 5. 1) + (y . 1 . 3) + (1 . 2 .7) D

= 5x + 3y + 14

Como temos

D

- D

= 0:

5x + 3y + 14 – (15 + 7x + 2y) = 0

-2x + y - 1= 0

FIGURA 29 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: EQUAÇÃO DA RETA

FONTE: Os autores

Todas as retas no sistema ortogonal cartesiano apresentam uma equação na forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes, e a e b não são simultaneamente nulos.

IMPORTANTE

• Equação reduzida da reta

Para determinarmos a equação reduzida da reta, isolamos y, na equação geral da reta (ax + by + c = 0).

Na equação ax + by + c = 0, em que a, b e c são números reais, ao isolarmos y temos:

b x c b y=−a − by = - ax - c

Em que b

− a é o coeficiente angular da reta (m) e b

− c é o coeficiente linear (n) da reta.

Sendo assim, y = mx + n é a forma reduzida da equação da reta.