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(1)ELE 302 Introdução à Otimização Matemática Aula 08 – Otimização com Restrições Condições de 1ª ordem Sérgio Haffner Maio 2012.

(2) Introdução. . . . min f ( x ) s.a. h x = 0 ( )  g (x) ≤ 0   x ∈Ω. Restrições de igualdade Restrições de desigualdade. Ponto factível x ∈Ω tal que h ( x ) = 0 e g ( x ) ≤ 0 Restrições de igualdade h(x) definem hipersuperfície S. Restrições de desigualdade podem estar ativas gi(x)=0 ou inativas gi(x)<0. Restrições ativas não são conhecidas a priori (caso contrário as restrições inativas seriam desprezadas). Duas famílias de métodos: Pontos factíveis (exemplos: gradiente projetado e reduzido) Pontos infactíveis (exemplos: penalidades e métodos duais) ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. Forma geral.

(3) Ponto Regular. 1/3. Definição: Um ponto x* satisfazendo h(x*)=0 é dito ser um ponto regular das restrições se os vetores gradiente ∇h1(x*), ∇h2(x*),…,∇hn(x*) são linearmente independentes (LI). Propriedade: O plano tangente à superfície em um ponto regular x* é dado por: ∇h x ∗. ( ). ( ). }. M = y : ∇h x y = 0. Plano tangente x∗. S ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. h( x) = 0. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. {. ∗.

(4) Ponto Regular. 2/3. Definição: Um ponto x* satisfazendo h(x*)=0 é dito ser um ponto regular das restrições se os vetores gradiente ∇h1(x*), ∇h2(x*),…,∇hn(x*) são linearmente independentes (LI). Propriedade: O plano tangente à superfície em um ponto regular x* é dado por: ∗. ( ). }. Plano tangente x∗. h (x) = 0 ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. S. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. {. M = y : ∇h x ∗ y = 0. ( ). ∇h x.

(5) Ponto Regular. 3/3. Definição: Um ponto x* satisfazendo h(x*)=0 é dito ser um ponto regular das restrições se os vetores gradiente ∇h1(x*), ∇h2(x*),…,∇hn(x*) são linearmente independentes (LI). Propriedade: O plano tangente à superfície em um ponto regular x* é dado por:. ( ). }. Plano tangente. ( ). ∇h2 x∗. h ( x) = 0 x. ( ). ∇h1 x∗. ∗. h2 ( x ) = 0. S h1 ( x ) = 0 ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. {. M = y : ∇h x ∗ y = 0.

(6) Condições necessárias de 1a ordem (restrições de igualdade) Seja x* um ponto regular das restrições h(x*)=0 e um extremo local (mínimo ou máximo) de f(x) sujeito a estas restrições. Então, todo y∈ℝn tal que. ( ). ∇h x ∗ y = 0. (y pertence ao plano tangente). ( ). ∇f x∗ y = 0. (gradiente perpendicular ao plano tangente). Assim, o gradiente da função objetivo ∇f(x*) é ortogonal ao plano tangente à superfície definida pelas restrições h(x)=0, ou seja, pode ser representado por uma combinação linear do gradiente de h(x*), calculado em x*, ∇h(x*).. ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. deve também satisfazer.

(7) Condições necessárias de 1a ordem (restrições de igualdade) Teorema: Seja x* um ponto extremo de f(x) sujeito as restrições h(x)=0. Suponha que x* é um ponto regular destas restrições. Então, existe λ∈ℝm tal que. ( ). Combinação linear: ∇f(x*)=−λ λT∇h(x*). As condições necessárias de 1a ordem são dadas por:. ( ) h(x ) = 0. ( ). ∇f x ∗ + λ T ∇h x ∗ = 0 ∗. (n equações para n variáveis) (m equações para m equações). originando n+m equações (geralmente não-lineares) em n+m variáveis que constituem x* e λ. ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. ( ). ∇f x∗ + λ T ∇h x∗ = 0.

(8) Condições necessárias de 1a ordem (restrições de igualdade) Definição (Lagrangeano): O Lagrangeano associado a um problema de otimização com restrições de igualdade é dado por: Dimensão: [1×1]=[1×1]+[1×m][m×1]. sendo λ o vetor dos multiplicadores de Lagrange cujos componentes são associados a cada uma das restrições do problema. Utilizando esta definição é possível escrever as condições necessárias de 1a ordem de forma mais compacta: ∇ x l ( x, λ ) = 0. ∇ λ l ( x, λ ) = 0. ( ) h(x ) = 0. ( ). ∇ x f x∗ + λ T ∇ x h x∗ = 0 ∗. ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. l ( x, λ ) = f ( x ) + λ T h ( x ).

(9) Condições necessárias de 1a ordem (restrições de igualdade) Exemplo 1: Considere o problema de otimização min  s.a.. x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 x1 + x2 + x3 = 3. min  s.a.. x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 x1 + x2 + x3 − 3 = 0. l ( x, λ ) = l ( x1 , x2 , x3 , λ ) = x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 + λ ( x1 + x2 + x3 − 3). Condições necessárias de 1a ordem (4 equações; 4 incógnitas) ∇ x1 l ( x, λ ) = 0. ∇ x2 l ( x, λ ) = 0 ∇ x3 l ( x, λ ) = 0 ∇ λ l ( x, λ ) = 0. ⇒. x2 + x3 + λ = 0. ⇒. x1 + x3 + λ = 0. ⇒. x2 + x1 + λ = 0. ⇒. x1 + x2 + x3 − 3 = 0. ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1. λ = −2 f (x) = 3. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. Lagrangeano associado.

(10) Condições necessárias de 1a ordem (restrições de igualdade) Exemplo 2: Considere o problema de otimização min 400 x12 + 800 x22 + 200 x1 x2 + 1600 x32 + 400 x2 x3 (risco ) (meta de ganho ) s.a. 10 x1 + 10 x2 + 15 x3 = 12 (capital investido ) x1 + x2 + x3 = 1 Lagrangeano associado. h ( x , x , x ,λ ,λ ) f ( x1 , x2 , x3 , λ1 , λ2 ) + [ λ1 λ2 ]  1 1 2 3 1 2  =  h2 ( x1 , x2 , x3 , λ1 , λ2 )  = 400 x12 + 800 x22 + 200 x1 x2 + 1600 x32 + 400 x2 x3 + + λ1 (10 x1 + 10 x2 + 15 x3 − 12 ) + λ2 ( x1 + x2 + x3 − 1). Condições necessárias de 1a ordem (5 equações; 5 incógnitas) ∇ x1 l ( x, λ ) = 0 ⇒. ∇ x2 l ( x, λ ) = 0 ⇒ ∇ x3 l ( x, λ ) = 0 ⇒ ∇ λ1 l ( x, λ ) = 0 ⇒. ∇ λ2 l ( x, λ ) = 0 ⇒. 800 x1 + 200 x2 + 10λ1 + λ2 = 0 1600 x2 + 200 x1 + 400 x3 + 10λ1 + λ2 = 0 3200 x3 + 400 x2 + 15λ1 + λ2 = 0 10 x1 + 10 x2 + 15 x3 − 12 = 0 x1 + x2 + x3 − 1 = 0 ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. x1 = 0,5 x2 = 0,1 x3 = 0, 4. λ1 = −180 λ2 = 1380. f ( x ) = 390. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. l ( x, λ ) = l ( x1 , x2 , x3 , λ1 , λ2 ) =.

(11) Condições necessárias de 1a ordem (restrições de igualdade) Exemplo 2a: Qual seria o risco se a meta de ganho fosse aumentada em +0,1? Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pode-se obter uma estimativa da variação da função objetivo -0,1×λ1=18 (390+18=408). min. 400 x12 + 800 x22 + 200 x1 x2 + 1600 x32 + 400 x2 x3. s.a.. 10 x1 + 10 x2 + 15 x3 = 12,1 x1 + x2 + x3 = 1. (risco ) (meta de ganho ALTERADA) (capital investido ). Condições necessárias de 1a ordem (5 equações; 5 incógnitas) 800 x1 + 200 x2 + 10λ1 + λ2 = 0 1600 x2 + 200 x1 + 400 x3 + 10λ1 + λ2 = 0 3200 x3 + 400 x2 + 15λ1 + λ2 = 0 10 x1 + 10 x2 + 15 x3 − 12,1 = 0 x1 + x2 + x3 − 1 = 0 ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. x1 = 0, 49 x2 = 0,09 x3 = 0, 42. λ1 = −194 λ2 = 1530. f ( x ) = 408,7. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. Resolvendo novamente o problema, tem-se:.

(12) Condições necessárias de 1a ordem (restrições de igualdade) Exemplo 2b: Qual o acréscimo de capital necessário para obter um lucro de 12 com um risco de 385?. min. 400 x12 + 800 x22 + 200 x1 x2 + 1600 x32 + 400 x2 x3. s.a.. 10 x1 + 10 x2 + 15 x3 = 12 x1 + x2 + x3 = 1,0036. (risco ) (meta de ganho ) (capital investido ALTERADO). Condições necessárias de 1a ordem (5 equações; 5 incógnitas) 800 x1 + 200 x2 + 10λ1 + λ2 = 0 1600 x2 + 200 x1 + 400 x3 + 10λ1 + λ2 = 0 3200 x3 + 400 x2 + 15λ1 + λ2 = 0 10 x1 + 10 x2 + 15 x3 − 12 = 0 x1 + x2 + x3 − 1,0036 = 0 ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. x1 = 0,5061 x2 = 0,1047 x3 = 0,3928. λ1 = −174,6 λ2 = 1320, 2. f ( x ) = 385,1. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. Utilizando os multiplicadores de Lagrange, deseja-se uma variação na função objetivo de –5. Assim, a variação no capital deve ser –5=-∆ 2λ2 (∆ 2=0,0036)..

(13) Interpretação do multiplicador de Lagrange. Em problemas não lineares, os multiplicadores de Lagrange são associados com uma solução particular e correspondem a custos incrementais ou marginais, ou seja, custos associados a pequenas variações nas restrições. Em outras palavras, quando o lado direito da restrição i é incrementado de ∆, o valor ótimo da função objetivo aumenta de aproximadamente -λi* ∆.. ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. Descrevem o quanto o valor da função objetivo se altera quando o lado direito de uma restrição é modificado..

(14) David Luenberger (1984). Linear and nonlinear programming, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. M.S.Bazaraa, H.D. Sherali e C.M. Shetty (2006). Nonlinear Programming: theory and algorithms. Wiley-Interscience. Hamdy A. Taha (2008), Pesquisa operacional, Pearson Prentice Hall, 2008. Ronald L. Rardin (1998). Optimization in operations research. Prentice Hall, New Jersey. Narayan Rau (2003). Optimization principles: practical applications to the operation and markets of the electric power industry. IEEE Press: Wiley Interscience.. ELE 302 – Introdução à Otimização Matemática. SHaffner2012 – haffner@ieee.org. Bibliografia.

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