Análise de Algoritmos

(1)

Análise de Algoritmos

(2)

• Arquivos contém mais registros do que a memória primária pode armazenar

• Acesso ao disco

▫ Acessar um registro é algumas ordens de grandeza maior do que o custo de processamento na memória primária

• Medida de complexidade

▫ Acesso a disco

www.nakamura.eti.br/eduardo Análise de Algoritmos 2

(3)

• Memórias secundárias

▫ Apenas um registro pode ser acessado em um dado momento (acesso seqüencial)

• Memórias primárias

▫ Acesso a qualquer registro de um arquivo a um custo uniforme (acesso direto)

(4)

• Proposta

▫ Busca em memória secundária

• Origem

▫ Proposto em 1972 por Bayer e McCreight,

▫ Laboratório de Pesquisas Científicas da Boeing

▫ “B” de Bayer ou “B” de Boeing?

• Em 1979, o uso de árvores-B já era praticamente o padrão adotado em SGBDs

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• Acesso a disco é caro (lento)

• Até agora usamos pesquisa binária nos índices ordenados

▫ Se o índice é grande e não cabe em memória principal?

▫ Pesquisa binária exige muitos acessos a disco

• 16 itens podem requerer 4 acessos, 1.024 itens podem requerer até 10 acessos

▫ São números altos

(6)

• O custo de manter em disco um índice ordenado de forma a permitir busca binária é proibitivo

• Inserção e remoção de registros deve ter apenas efeitos locais

▫ Não exija a reorganização total do índice

(7)

• Árvores balanceadas

▫ Os nós de uma árvore B podem ter um número variável de nós filho (árvores n-árias)

▫ Cada nó pode ter vários registros (chaves), recebendo o nome de página

• Em uma árvore B de grau t:

▫ Página raiz: 1 e 2t registros

▫ Demais páginas

 Mínimo t registros e t + 1 descendentes

 Máximo 2t registros e 2t + 1 descendentes

▫ Páginas folhas: todas no mesmo nível

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• Características

▫ Os registros aparecem em ordem crescente da esquerda para a direita

▫ Os nós folha tem os seus campos ponteiro com valores nulos

▫ Extensão natural da árvore binária de pesquisa

(9)

• Árvore B de ordem t = 2 com três níveis

3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30

(10)

• Considerando X como um nó interno da árvore e n o número de chaves armazenadas em X

▫ as n chaves k₁, k₂...k_n são armazenadas em ordem crescente;

▫ e X possui n+1 ponteiros f₁, f₂...f_n+1 para seus filhos

f₁ k₁ f₂ k₂ f₃ k₃ ... f_n k_n f_n+1

(11)

• Todo nó x tem os seguintes campos

▫ x.n – número de chaves no nó x

▫ As chaves em x estão em ordem crescente

 x.chave[1]  x.chave[2]  ...  x.chave[n]

▫ x.folha – booleano indicando se é folha

f₁ x.chave[1] f₂ x.chave[2] ... f_n x.chave[n] f_n+1

(12)

• As chaves da subárvore apontada por f

_i

estão no intervalo entre x.chave[i-1] e x.chave[i]

x.chave[i-1] f_i x.chave[i] ...

... 2 6 ...

... 3 4 5 ...

(13)

• Toda folha tem a mesma profundidade

▫ Altura h da árvore

3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30

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• Limites (em função do grau t  2)

▫ Raiz: 1 e 2t chaves

▫ Demais nós

 Mínimo t chaves e t+1 filhos

 Máximo 2t chaves e 2t +1 filhos

• A árvore mais simples tem t = 2

▫ Cada nó pode ter 2, 3 ou 4 filhos

▫ Árvore 2-3-4

• Na prática t é muito maior

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• Altura h da árvore B

h  log_t ( (n+1)/2 )

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B-TREE-SEARCH(x,k) 1: i  1;

2: while i  x.n and k > x.chave[i] do 3: i  i + 1;

4: end while

5: if i  x.n and k = x.chave[i] then

6: return (x,i); // nó e a posição dentro dele 7: end if

8: if x.folha = true then 9: return NIL;

10: else

11: DISK-READ(x.f[i]); // lê os filhos em f[i]

12: return B-TREE-SEARCH(x.f[i],k);

13: end if

(17)

B-TREE-CREATE(T)

1: x  ALOCATE-NODE();

2: x.folha  true;

3: x.n  0;

4: DISK-WRITE(x);

5: T.raiz  x;

(18)

3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30 17

(19)

3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30 17

(20)

3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30 17

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3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30

17

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3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30

17

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3 4 8 9 11 13 17 25 28 33 36 43 45 48 52 55

10 20 40 50

30

17

(24)

B-TREE-CREATE(T)

1: x  ALOCATE-NODE();

2: x.folha  true;

3: x.n  0;

4: DISK-WRITE(x);

5: T.raiz  x;

(25)

• A inserção nas árvores B são relativamente mais complicadas

▫ Precisamos inserir a nova chave no nó correto da árvore, sem violar suas propriedades

• Como proceder se o nó estiver cheio?

(26)

• Como proceder se o nó estiver cheio?

▫ Separar (split) o nó ao redor do elemento mediano,

▫ Criar 2 novos nós que não violam as definições da árvore

▫ O elemento mediano é promovido, passando a fazer parte do nó pai

▫ A inserção é feita em um único percurso na árvore, a partir da raiz até uma das folhas

(27)

• Localizar o nó folha X onde o novo elemento deve ser inserido

• Se o nó X estiver cheio, realizar uma subdivisão de nós

▫ Passar o elemento mediano de X para seu pai

▫ Dividir X em dois novos nós com t - 1 elementos

▫ Inserir a nova chave

• Se o pai de X também estiver cheio

▫ Repetir recursivamente a subdivisão para o pai de X

• Pior caso

▫ A altura da árvore B é aumentada para poder inserir o novo elemento

(28)

60?

(29)

60

(30)

60 40?

(31)

40 60

(32)

40 60 90, 70?

(33)

40 60 70 90

(34)

40 60 70 90 92?

(35)

40, 60, 70, 90, 92

(36)

40 60 90 92

70

(37)

40 60 90 92

70 62,65?

(38)

40 60 62 65 90 92

70

(39)

40 60 62 65 90 92

70 45?

(40)

40 45 90 92

60 70

62 65

(41)

40 45 90 92

60 70 68,67?

62 65

(42)

40 45 90 92

60 70

62 65 67 68

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40 45 90 92

60 70

62 65 67 68 69?

(44)

40 45 90 92

60 67 70

62 65 68 69

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40 45 90 92

60 67 70

62 65 48,50?

68 69

(46)

40 45 48 50 90 92

60 67 70

62 65 68 69

(47)

40 45 48 50 90 92

60 67 70

62 65 68 69

55?

(48)

50 55 90 92

48 60 67 70

62 65 68 69

40 45

(49)

50 55 90 92

48 60 67 70

62 65 68 69

40 45

56,57?

(50)

50 55 56 57 90 92

48 60 67 70

62 65 68 69

40 45

(51)

50 55 56 57 90 92

48 60 67 70

62 65 68 69

40 45

58?

(52)

48 60 67 70

90 92 62 65 68 69

40 45

58 56

57 58 50 55

(53)

57 58 62 65 68 69 90 92

50 55 40 45

60

48 56 67 70

(54)

• A remoção de uma chave é análoga à inserção com alguns complicadores

▫ Uma chave pode ser removida de qualquer nó

▫ Precisamos garantir que ao removermos a chave as propriedades da árvore B não sejam violadas

(55)

• Na inserção tivemos de garantir que um nó não se tornasse grande demais na inserção

▫ Na remoção devemos garantir que ele não torne-se pequeno demais

▫ Deve sempre ter pelo menos t elementos

• Existem 6 casos possíveis para a remoção de uma chave de uma árvore B

(56)

• A chave k está numa folha da árvore e a folha possui pelo menos t+1 chaves

• Procedimento

▫ Remover a chave da árvore

(57)

5 10

11 12 13 6 7 8

1 2 3

(58)

5 10

11 12 13 6 7 8

1 2

(59)

• A chave k está em um nó interno x

• Procedimento

▫ Caso 2a: O filho y que precede k no nó x possui pelo menos t+1 chaves

 Encontre o predecessor k′ de k na sub-árvore com raiz em y

 Remova k′ do nó filho e substitua k por k′ no nó atual

▫ Caso 2b: O filho z que sucede k no nó x possui pelo menos t+1 chaves

 Encontre o sucessor k′ de k na sub-árvore com raiz em z

 Remova k′ do nó filho e substitua k por k′ no nó atual

(60)

5 10

11 12 13 6 7 8

1 2 3

(61)

5 8

11 12 13 6 7

1 2 3

(62)

5 10

11 12 13 6 7

1 2 3

(63)

5 11

12 13 6 7

1 2 3

(64)

• A chave k está em um nó interno x

• Procedimento

▫ Caso 2c: Ambos y (filho antes de k) e z (filho depois de k) possuem somente t chaves

 Copiar todos os elementos de z em y

 Liberar a memória ocupada por z

 Remover o apontador em x

 Remover recursivamente k de x

(65)

5 10

11 12 13 6 7

1 2

(66)

5 10

11 12 13 1 2 6 7

(67)

5 10

11 12 13 1 2 6 7

(68)

10

11 12 13 1 2 6 7

(69)

10

11 12 13 1 2 6 7

(70)

• A chave k não está em um nó interno x, determine a raiz c

_i

[x] da sub-árvore apropriada que contém k

▫ Se c_i[x] tiver somente t chaves execute o procedimento abaixo

• Procedimento

▫ Caso 3a: Se c_i[x] possui t chaves, mas tem um irmão adjascente com pelo menos t+1 chaves

 Copie uma chave extra para c_i[x]

 Movendo uma chave de x para c_i[x] e

 Movendo uma chave de um dos irmãos adjascentes a c_i[x]

de volta para x e ajustando os apontadores

(71)

5 10

11 12 13 6 7

1 2 3 4

(72)

5 10

11 12 13 6

1 2 3 4

(73)

10

11 12 13 6 5

1 2 3 4

(74)

4 10

11 12 13 6 5

1 2 3

(75)

• A chave k não está em um nó interno x, determine a raiz c

_i

[x] da sub-árvore apropriada que contém k

▫ Se c_i[x] tiver somente t chaves execute o procedimento abaixo

• Procedimento

▫ Caso 3b: Se c_i[x] e ambos os irmãos (esquerdo e direito) possuem t chaves

 Intercalar c_i[x] com um único irmão (envolve mover uma

chave de x para baixo até o novo nó intercalado, afim de se tornar a chave mediana para esse nó

(76)

5 10

11 12 6 7

1 2

(77)

5 10

11 12 6

1 2

(78)

5 10

11 12 6

1 2

(79)

5

11 12 6 10

1 2

(80)

5

6 10 11 12 1 2

(81)

5

6 10 11 12 1 2

(82)

• Verifique os algoritmos de inserção e remoção para

árvore B (capítulo 18 do livro texto

¹

). Faça uma análise de complexidade dos dois algoritmos

• Mostre os resultados da inserção das chaves F, S, Q, K, C, L, H, T, V, W, M, R, N, P, A, B, X, Y, D, Z, E.

Inicialmente a árvore estará vazia

• Para a árvore criada acima, mostre o resultado da remoção para A, W, M, B, C, D

1Thomas H. Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L. Rivest & Clifford Stein. “Algoritmos: Teoria e Prática” (Tradução da 2ª edição americana).

(83)

• Applet animado

▫ http://slady.net/java/bt/view.php