Situação-Problema Inicial
Uma folha de papelão retangular medindo 20 cm por 10 cm deve ser transformada numa caixa sem tampa, cortando-se quadrados iguais em cada canto da folha de papelão e dobrando-se para cima as laterais formadas após a retirada dos quadrados.
Atividades:
a) exprimir a área do fundo da caixa em função da sua altura.
b) exprimir o volume da caixa em função da sua altura.
Autarquia Ensino Superior de Garanhuns - AESGA Faculdades de Integradas de Garanhuns – FACIGA Curso de Engenharia Civil
Professores: Carlos Eduardo de Oliveira
Disciplina: Cálculo I Período Letivo: 2019.1
Introdução ao
Limite de Funções
(Notas de Aula 01)
Introdução Introdução
Limite no nosso cotidiano indica, genericamente, uma situação que pode ser eventualmente atingida, mas, que não deve ser ultrapassada.
Exemplos:
“Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura.”
“Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o limite de carga que este suporta.”
Introdução Introdução
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual pode se aproximar tanto quanto se desejar.
Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente. A área clara vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, consequentemente, a medida da área escura vai se aproximando de 0 (zero), ou tendendo a zero.
...
Introdução Introdução
O conceito de limite está diretamente ligado ao conceito de infinito, e sendo uma das ferramentas matemáticas mais importante e de mais profundas aplicações em diversas áreas.
Todo o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral se deu com investigações de situações envolvendo o limite de funções.
O primeiro testemunho literário encontra-se nos paradoxos de Zenão de Eléa, matemático e discípulo de Parmênides (~ 490 - 430 a.C.).
O Paradoxo da Dicotomia O Paradoxo da Dicotomia
O argumento desse paradoxo consiste basicamente na ideia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim.
O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o percurso, o objeto que se move deve percorrer metade do percurso. Antes de percorrer a metade que falta, deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da metade (um quarto do percurso inicial), e assim sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto infinito de intervalos.
O Paradoxo da Dicotomia O Paradoxo da Dicotomia
Considere que o intervalo AB deste paradoxo é igual a 1. O ponto M1 divide o intervalo ao meio, portanto a primeira metade equivale a ½. O segundo ponto, M2, divide a metade restante ao meio, portanto equivale a ¼ do comprimento original.
Logo, o intervalo pode ser expresso como uma soma de intervalos que cresce ilimitadamente por partes que sempre são menores que a imediatamente anterior:
O Paradoxo da Dicotomia O Paradoxo da Dicotomia
O paradoxo está no fato de a série não crescer até ao infinito, pois a sua soma sempre permanece menor que 1, por mais intervalos que por ventura viermos a adicionar.
1
2 + 1 + ...
4 + 1
8 + 1
16 = 1
Conceito Intuitivo Conceito Intuitivo
Sucessões
numéricas Dizemos que: Notação
1, 2, 3, 4, 5, ... Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um
limite x +
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem
nunca atingir esse valor x 1 1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos tornam-se cada
vez menor, sem nunca
atingir um limite x -
Os termos oscilam sem
tender a um limite ?
1, 3
2 , 3, 5
4 , 5, 6
7 , 7, ...
1
2 , 2
3 , 3
4 , 4
5 , 5
6 , ...
Exemplos Conceituais Exemplos Conceituais
1) Se o câmbio do dólar americano (c) tende a estabilizar- se em torno de R$ 2,00, então o valor pago por 100 dólares estabiliza-se em R$ 200,00.
Logo podemos falar que o limite ( valor pago por 100 dólares) é igual a R$ 200,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 2,00.
R (d ) = c d
2 d =200 reais
Exemplos Conceituais Exemplos Conceituais
2) Um guarda florestal estimou que um incêndio ocupava uma área circular de 200m de diâmetro e se expandia em todas as direções a uma taxa de 50m por hora.
Podemos dizer que o limite da área queimada, quando o tempo se aproximar de 2 hora, será igual a:
A(t )= π (100+ 50t)2
A(2)= π⋅(100+50⋅2)2= 40.000 π km2
≈125.663,71 km2
Limites de uma Função Limites de uma Função
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais.
Se f(x) não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado.
Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.
Limites Laterais à Direita Limites Laterais à Direita
Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a < b.
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de N conforme x se distancia de b e se aproxima de a, então, dizemos que f tem limite lateral à direita N em a, e escrevemos:
lim
x → a+
f ( x )= N
Limites Laterais à Esquerda Limites Laterais à Esquerda
Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a.
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se distancia de c e se aproxima de a, então, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a, e escrevemos:
lim
x → a−
f ( x )= M
Exemplos Exemplos
1) Considerando a função , definida na reta real. Iremos verificar numérica e graficamente o que acontece com o valor da função f, quando o valor de x assume valores próximos de 2, sem que x seja igual a 2.
Observemos em ambas situações que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 8.
f ( x)=2 x +4
...
Exemplos Exemplos
2) Considerando a função , definida na reta real. Iremos verificar numérica e graficamente o que acontece com o valor da função f, quando o valor de x assume valores próximos de 2, sem que x seja igual a 2.
Observemos em ambas situações que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 0.
g ( x)=(2 x−4)2
...
Definição de Limite Definição de Limite
Seja f(x) definida em um intervalo (c , b), onde existe um valor a, de modo que, c < a < b.
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a, por valores maiores e menores que o próprio a, dizemos que f tem limite L.
lim
x → a
f ( x )= L
Definição de Limite Definição de Limite
De modo equivalente, podemos afirmar que se os intervalos laterais da função f(x) num intervalo que contém o ponto a são iguais, este é o valor do limite da função, quando x tende a a.
lim
x → a
f ( x )= L lim
x → a−
f ( x )= lim
x → a+
f ( x )= L
Exercícios Exercícios
1) Determine o valor do limite para cada uma das funções a seguir:
a) b)
c) d)
lim
x →2 ( x2+ 8x+ 1) lim
x →−1 ( x2−1)
lim
x →1
(
xx2−−11)
limx→0(
√ x2+x29−3)
Estudo depois da aula...
Estudo depois da aula...
Do livro de Cálculo, volume 01, do James Stewart (2013), é importante estudar as seções seguintes, fazendo os exercícios que seguem:
● 2.2 O Limite de uma Função (p.80-90)
Bom estudo!!!
