Universidade Federal Fluminense
Instituto de física
Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Física
Tese de doutorado
Reações de transferências múltiplas de nêutrons para o sistema
18
O +
64Ni.
Bárbara Esther da Fonseca Paes Ribeiro
Niterói Fevereiro de 2016
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Física
Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Física
Reações de transferências múltiplas de nêutrons para o sistema
18
O +
64Ni.
Bárbara Esther da Fonseca Paes Ribeiro
Tese realizada sob orientação do Prof. Dr. Jesús Lubián Ríos e do Prof. Dr. Andrea Vitturi, apresentada ao Departamento de Fí-sica da Universidade Federal Fluminense e da Università Degli studi di Padova, em com-plementação aos requisitos para obtenção da dupla titulação (brasileira e italiana) de Dou-tora em Física.
Niterói Fevereiro de 2016
R484 Ribeiro, Barbara Esther da Fonseca Paes.
Reações de transferências múltiplas de nêutrons para o sistema 18O + 64Ni / Barbara Esther da Fonseca Paes Ribeiro ; orientador: Jesús Lubían Ríos. –- Niterói, 2016.
158 p. : il.
Tese (Doutorado) – Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, 2016.
Bibliografia: p. 154-158.
1.REAÇÃO NUCLEAR. 2.REAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA. 3.AMPLITUDE. 4.ESPECTROSCÓPICA. I. Lubían Ríos, Jesús, Orientador. II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física, Instituição responsável. III.Título.
Universidade Federal Fluminense
Instituto de física
Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Física
Tese de doutorado
Reações de transferências múltiplas de nêutrons para o sistema
18
O +
64Ni.
Bárbara Esther da Fonseca Paes Ribeiro
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Jesús Lubián Ríos (Orientador-UFF)
Prof. Dr. Andrea Vitturi (Co-orientador-Università Degli studi di Padova) Prof. Dr. Luiz Felipe Alvahydo de Ulhoa Canto (UFF)
Prof. Dr. Antonio Defino Júnior (UFF) Prof. Dr. Sergio Barbosa Duarte (CBPF) Prof. Dr. Valdir Guimarães (USP)
Prof. Dr. Paulo Roberto Silveira Gomes (UFF-Suplente) Prof. Dr. Luiz Carlos Chamon (USP-Suplente)
Niterói Fevereiro de 2016
Dedicatória
ao meu pai Vilson, à minha mãe Solange e à minha avó Esther.
Agradecimentos
Primeiramente agradeço aos meus pais e minha avó por todo o incentivo, carinho e compreenção durante todos esses anos, pois isso foi fundamental para a conclusão dos meus deveres. Ao Glauco pelo carinho, companheirismo, paciência e amor durante parte desta jornada. À minha querida amiga e professora Ana Helena por toda a amizade fundamental durante todo este período. Ao meu orientador Lubian pela amizade de longa data e por toda a confiança depositada em mim. Ao meu co-orientador Andrea Vitturi pela oportunidade em trabalharmos juntos e por sempre me mostrar outros caminhos de pensamento. Aos meus amigos, aqueles que a física me proporcionou e aqueles totalmente de fora dessa área.
Não tenho palavras para agradecer o meu grande amigo e companheiro de trabalho Jonas todo o incentivo e companheirismo durante essa jornada, você foi e é uma peça fundamental. Agradeço aquele que foi meu orientador quando fiz iniciação científica, Paulo Gomes, por todo o carinho e ajuda de sempre, que continua até hoje. Agradeço também ao Paolo, meu grande amigo que sempre esteve solicito para me ajudar em todas as etapas, obrigada pelo carinho e apoio. Agradeço também ao CNPq pelo apoio financeiro durante todo o doutorado.
Resumo
Foi feito um estudo sobre as reações de transferência de dois nêutrons para o sistema 18O + 64Ni na energia de bombardeio de 84 MeV. Os resultados teóricos foram comparados com os dados experimentais obtidos no espectômetro MAGNEX no Labora-tori Nazionali del Sud (LNS) em Catania. Para total entendimento de tal comparação, faz-se necessário a descrição detalhada da teoria para as duas transferências estudadas. Foram feitos cálculos de canais de reação acoplados (CRC) e de aproximação de Born para ondas distorcidas (DWBA), para os modelos de cluster e coordenadas independen-tes. Para a transferência sequencial foram realizados cálculos de DWBA. Todos esses cálculos tem por finalidade verificar se as conclusões obtidas anteriormente para a reação
12C(18O,16O)14C, onde foi encontrado que o modelo de coordenadas independentes
des-crevia melhor as seções de choque de transferência, prevalece. Porém os resultados desse trabalho mosram que ambos os modelos de cluster e sequencial descrevem de forma sa-tisfatória a reação de transferência64Ni(18O,16O)66Ni,usando amplitudes espectroscópicas obtidas através de cálculos usando modelo de camadas, como foi encontrado anteriormente para o sistema 206Pb(18O,16O)208Pb.
Abstract
In this work we present a study of two-neutron transfer reactions for the 18O + 64Ni system at a laboratory energy of 84 MeV. The theoretical results were compared
with the experimental data obtained in the MAGNEX spectrometer in the Laboratori Nazionali del Sud (LNS) of Catania. A full understanding of the reaction mechanism is necessary to understand this reaction, particularly the effect of pairing between the two neutrons. For the direct transfer of the two neutrons (one-step) coupled reaction channels (CRC) and DWBA calculations were performed using the cluster model and the microsco-pic independent coordinates model. For sequential transfer mechanism two-step DWBA calculations were performed. All these calculations are intended to determine whether the findings obtained previously for the reaction12C(18O,16O)14C, where the one step process
was found to better describe the experimental cross-sections than the sequential one, are confirmed. However, the results of the present work show that both extreme cluster and sequential transfer model describe in a satisfactory way the 64Ni(18O,16O)66Ni transfer
reaction, using spectroscopic amplitudes obtained in large scale shell model calculations, as was found previously for the system 206Pb(18O,16O)208Pb.
Sommario
E’ stato fatto uno studio delle reazioni di trasferimento di due neutroni per il sis-tema18O +64Ni all’energia di 84MeV nel laboratorio. I risultati dello studio teorico sono
stati confrontati con i dati sperimentali ottenuti ai Laboratori Nazionali del Sud (LNS) di Catania utilizzando lo specttrometro MAGNEX. Per la comprensione approfondita di questo confronto e’ necessaria una descrizione dettagliata della teoria per i due processi di trasferimento studiati. Sono stati fatti calcoli di canali di reazione accoppiati (CRC) e mediante l’approssimazione di onde distorte di Born (DWBA) per il modello di cluster e a coordinate indipendenti. Per il trasferimento sequenziale sono stati realizzati calcoli di DWBA. Tutti questi calcoli hanno lo scopo di verificare se le conclusioni tratte prece-dentemente per la reazione12C(18O,16O)14C, in questo caso si e’ mostrato che il modello
a coordinate indipendenti descrive meglio i dati di sezione d’urto di traferimento, sono ancora valide. Tuttavia i risultati di questo lavoro mostrano che entrambi, il modello di cluster e sequenziale, descrivono bene la reazione di trasferimento 64Ni(18O,16O)66Ni,
utilizzando ampiezze spettroscopiche ottenute mediante calcoli di modello a shell, cosi’ come e’ stato mostrato per il sistema206Pb(18O,16O)208Pb.
Conteúdo
Introdução 14
1 Modelos nucleares 18
1.1 Modelo de camadas nuclear . . . 18
1.2 Modelos coletivos para espalhamento inelástico . . . 22
2 Formalismo teórico 27 2.1 Método de Canais Acoplados (CC) e método de Canais de Reação Acopla-dos (CRC) . . . 27
2.2 Aproximação de Born de Ondas Distorcidas (DWBA) . . . 34
2.3 Potencial Double-folding . . . 40
2.4 Potencial de São Paulo . . . 43
2.4.1 Aproximação zero-range (alcance zero) . . . 45
2.4.2 Aproximação finite-range (alcance finito) . . . 46
3 Introdução às reações de transferência 48 3.1 Reação de Transferência . . . 49
3.2 Matriz-T: amplitude de transferência . . . 53
3.3 Cálculo das amplitudes microscópicas usadas no modelo de cluster micros-cópico . . . 61
4.1 Formato das distribuições angulares . . . 67
4.2 Análise dos modelos estruturais na descrição das excitações coletivas do alvo 64Ni. . . . . 71
4.3 Modelo de cluster . . . 77
4.4 Modelo de coordenadas independentes . . . 98
4.5 Transferência Sequencial . . . 123
4.6 Discussão dos resultados . . . 143
Lista de Figuras
1.1 Representação do esquema de níveis do modelo de camadas do oscilador
harmônico. . . 20
1.2 Preenchimento sucessivo das camadas mais baixas onde há um buraco e um nucleon na camada acima. . . 21
1.3 Representação das vibrações de dipolo, quadrupolo e octupolo. . . 23
1.4 Espectro típico de um vibrador de quadrupolo. . . 24
1.5 Espectro típico de um rotor . . . 25
1.6 Esquema dos espectros de níveis para o núcleo 64Ni. Figura extraída do site http://www.nndc.bnl.gov/chart . . . 26
2.1 Representação esquemática de uma reação onde pode acontecer a transfe-rência de dois nêutrons. . . 32
3.1 Representação das coordenadas para a descrição da reação de transferência A + a(= b + 2n) → B(= A + 2n) + b. . . 50
3.2 Reação de transferência de nucleons do tipo stripping. . . 53
4.1 Seções de choque experimentais e ajustes teóricos para58,60,62,54Ni(18O,16O) nas transições entre os estados fundamentais, nas energias de laboratório 50, 57 e 65 MeV. . . 68
4.2 Distribuições angulares para as transições onde L = 0 para a reação64Ni(t,p) 66Ni. . . . 69
4.3 Influência da escolha de diferentes modelos de estrutura para o 64Ni, na seção de choque para o espalhamento elástico do sistema 18O + 64Ni. . . . 72
4.4 Comparação entre os diferentes modelos estruturais para descrever as ex-citações coletivas do 64Ni. . . 73 4.5 Análise da influência na escolha do modelo estrutural na seção de choque
diferencial para transferência de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . 75 4.6 Idêntica à figura 4.5, mas com seção de choque diferencial para transferência
de dois nêutrons para o primeiro estado excitado do 66Ni. . . 76 4.7 Representação esquemática dos overlaps do projétil e do alvo para a
trans-ferência de dois nêutrons. . . 78 4.8 Continuação da figura 4.7. . . 79 4.9 Continuação da figura 4.8. . . 80 4.10 Cálculos de CRC para transferência comparando o modelo de cluster
ex-tremo com o modelo de cluster utilizando as amplitudes calculadas micros-copicamente, para transferência de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . . 82
4.11 Cálculos de CRC para transferência comparando o modelo de cluster ex-tremo com o modelo de cluster utilizando as amplitudes calculadas micros-copicamente, para transferência de dois nêutrons para o primeiro estado excitado do 66Ni. . . 83 4.12 Configurações das diferentes rotas utilizadas na análise da importância de
cada uma delas na seção de choque de transferência de dois nêutrons. . . . 84 4.13 Comparações entre diferentes rotas indicadas na figura 4.12, para
transfe-rência de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . . 86
4.14 Comparações entre diferentes rotas indicadas na figura 4.12, para transfe-rência de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . . 87
4.15 Configurações das diferentes rotas utilizadas na análise da importância de cada uma delas na seção de choque de transferência de dois nêutrons. . . . 89 4.16 Comparação entre as rotas 7, 8 e 9. . . 90 4.17 Comparação entre as rotas 6 e 7. . . 91 4.18 Comparação entre as reações de stripping e pick-up. . . 92 4.19 Comparação entre os cálculos de DWBA e CRC na transferência de dois
nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . 94 4.20 Comparação entre os cálculos de DWBA e CRC na transferência de dois
nêutrons para o primeiro estado excitado do 66Ni. . . 95 4.21 Comparação entre os cálculos de zero-range e finite-range na transferência
de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . . 96
4.22 Comparação entre os cálculos de zero-range e finite-range na transferência de dois nêutrons para o primeiro estado excitado do 66Ni. . . . 97
4.23 Carta de nuclídeos dividida pelos espaços modelos existentes no NuShellX. 100 4.24 Representação esquemática dos overlaps do projétil e alvo para a
transfe-rência de dois nêutrons usando o modelo de coordenadas independentes. . . 111 4.25 Idêntica à figura 4.24 acrescentada da excitação do64Ni para o seu primeiro
estado excitado 2+. . . 112 4.26 Comparação entre as seções de choque, obtidas através do código NuShellX
para diferentes cores, modelos espaciais e interações, com os dados expe-rimentais na transferência de dois nêutrons para o estado fundamental do
66Ni. . . 113
4.27 Comparação entre as seções de choque, obtidas através do código NuShellX para diferentes cores, modelos espaciais e interações, com os dados experi-mentais na transferência de dois nêutrons para o primeiro estado excitado do 66Ni. . . 115
4.28 Espectros de energia experimentais do66Ni e aqueles obtidos através do cál-culo usando o código NuShellX, para o espaço modelo que melhor descreve os dados experimentais. . . 116 4.29 Representação esquemática dos overlaps do alvo para a transferência de
dois nêutrons usando o modelo de coordenadas independentes. . . 117 4.30 Análise das seções de choque entre diferentes overlaps, considerando a
ex-citação do 64Ni, para a transferência de dois nêutrons para o estado funda-mental do 66Ni. . . 118
4.31 Análise das seções de choque entre diferentes overlaps, considerando a exci-tação do64Ni, para a transferência de dois nêutrons para o primeiro estado
excitado do 66Ni. . . 119
4.32 Comparação das seções de choque analisando o valor das amplitudes es-pectroscópicas com os dados experimentais, para a transferência de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. Utilizando um core de 58Ni
nos cálculos. . . 120 4.33 Representação esquemática dos overlaps do alvo para a transferência de
dois nêutrons de forma sequencial. . . 126 4.34 Comparação entre os diferentes cores e interações utilizados na
transferên-cia sequentransferên-cial de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . 134
4.35 Comparação entre os diferentes cores e interações utilizados na transferên-cia sequentransferên-cial de dois nêutrons para o primeiro estado excitado do 66Ni. . . 135 4.36 Comparação entre os espectros de energia experimental com os obtidos
através do código NuShellX para o 64Ni. . . 136 4.37 Comparação entre os espectros de energia experimental com os obtidos
através do código NuShellX para o 65Ni. . . . 137
4.38 Comparação entre os espectros de energia experimental com os obtidos através do código NuShellX para o 66Ni. . . . 138
4.39 Configurações utilizadas na análise da influência das transições do níquel nos cálculos de transferência sequencial. . . 139 4.40 Comparação entre as diferentes configurações para a transferência de dois
nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . 140 4.41 Comparação entre a inclusão ou não do orbital 1g9/2 nos cálculos
utili-zando o modelo sequencial na transferência de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . 141 4.42 Comparação entre a inclusão ou não do orbital 1g9/2nos cálculos utilizando
o modelo sequencial na transferência de dois nêutrons para o primeiro es-tado excies-tado do 66Ni. . . . 142
4.43 Comparação entre as diferentes modelos de transferência utilizados na transferência de dois nêutrons para o estado fundamental do 66Ni. . . 144 4.44 Comparação entre as diferentes modelos de transferência utilizados na
Lista de Tabelas
4.1 Parâmetros dos potenciais de Woods-Saxon dos núcleos 16O e 64Ni usados
para gerar as funções de onda do movimento relativo core di-neutron, onde V é a profundidade, r é o raio reduzido e a é a difusividade. . . 74 4.2 Overlaps referentes à transferência de dois nêutrons para a reação64Ni(18O,16O)
66Ni, para o modelo de cluster com amplitudes microscópicas. . . . 81
4.3 Espectro de energia experimental do 64Ni e os espectros de energia obtidos
através dos cálculos usando o código NuShellX para diferentes modelos, interações e cores. . . 99 4.4 Espectro de energia experimental do 66Ni e os espectros de energia obtidos
através dos cálculos usando o código NuShellX para diferentes modelos, interações e cores. . . 99 4.5 Amplitudes espectroscópicas referentes à transferência de dois nêutrons
para a reação 64Ni(18O,16O)66Ni nos overlaps do oxigênio. . . 101 4.6 Amplitudes espectroscópicas referentes aos overlaps entre o estado
funda-mental e o primeiro estado excitado do 64Ni com o estado fundamental
e estados excitados do 66Ni, utilizando o core de 40Ca usando o modelo espacial fppn e interação gx1acdpn. . . 102 4.7 Amplitudes espectroscópicas referentes aos overlaps entre o estado
funda-mental e o primeiro estado excitado do 64Ni com o estado fundamental e estados excitados do66Ni, utilizando o core de40Ca usando o espaço modelo
4.8 Continuação da Tabela 4.7. . . 104 4.9 Amplitudes espectroscópicas referentes aos overlaps entre o estado
funda-mental e o primeiro estado excitado do 64Ni com o estado fundamental e
estados excitados do66Ni, utilizando o core de40Ca usando o espaço modelo fppn e interação fpd6npn. . . 105 4.10 Continuação da Tabela 4.9. . . 106 4.11 Amplitudes espectroscópicas referentes aos overlaps entre o estado
funda-mental e o primeiro estado excitado do 64Ni com o estado fundamental e
estados excitados do66Ni, utilizando o core de48Ca usando o espaço modelo fp e interação fpd6n. . . 107 4.12 Amplitudes espectroscópicas referentes aos overlaps entre o estado
funda-mental e o primeiro estado excitado do 64Ni com o estado fundamental e estados excitados do 66Ni, utilizando o core de 48Ca usando o modelo
espacial fppn e interação fpd6npn. . . 108 4.13 Amplitudes espectroscópicas referentes aos overlaps entre o estado
funda-mental e o primeiro estado excitado do 64Ni com o estado fundamental e
estados excitados do66Ni, utilizando o core de48Ca usando o espaço modelo
fppn e interação gx1acdpn. . . 109 4.14 Amplitudes espectroscópicas referentes aos overlaps considerados do níquel
utilizando o core de 58Ni, o modelo espacial jj44pn e interação jj44pna. . . 110 4.15 Parâmetros geométricos dos cores 17O e64Ni para o primeiro nêutron
trans-ferido e dos cores 16O e65Ni para o segundo nêutron transferido. Onde r é
o raio reduzido e a, a difusividade. . . 123 4.16 Espectro de energia experimental do64Ni e os espectros de energia obtidos
através dos cálculos usando o código NuShellX para diferentes modelos espaciais, interações e cores. . . 124
4.17 Espectro de energia experimental do65Ni e os espectros de energia obtidos através dos cálculos usando o código NuShellX para diferentes modelos espaciais, interações e cores. . . 125 4.18 Espectro de energia experimental do66Ni e os espectros de energia obtidos
através dos cálculos usando o código NuShellX para diferentes modelos espaciais, interações e cores. . . 125 4.19 Amplitudes espectroscópicas referentes à transferência de um nêutron nas
transições do oxigênio. . . 126 4.20 Amplitudes espectroscópicas dos overlaps do níquel necessários para o
cál-culo da transferência de um nêutron do18O para o64Ni e de um nêutron do 17O para o65Ni nas transições do níquel, utilizando o core de40Ca usando
o modelo espacial fppn e interação gx1acdpn. . . 128 4.21 Continuação da tabela 4.20. . . 129 4.22 Amplitudes espectroscópicas dos overlaps do níquel necessários para o
cál-culo da transferência de um nêutron do18O para o64Ni e de um nêutron do
17O para o65Ni nas transições do níquel, utilizando o core de48Ca usando
o modelo espacial fppn e interação gx1acdpn. . . 130 4.23 Continuação da tabela 4.22. . . 131 4.24 Amplitudes espectroscópicas dos overlaps do níquel necessários para o
cál-culo da transferência de um nêutron do18O para o64Ni e de um nêutron do
17O para o65Ni nas transições do níquel, utilizando o core de48Ca usando
o modelo espacial fppn e interação fpd6npn. . . 132 4.25 Continuação da tabela 4.24. . . 133
Introdução
Para estudar a estrutura nuclear, é preciso saber os constuintes do núcleo, que é um conjunto de prótons e nêutrons, ou mais comumente chamados de nucleons, e tratá-los quanticamente. Para descrever a estrutura de níveis quânticos de energia de um núcleo é necessário resolver a equação de Schrödinger independente do tempo.
É conhecido que as propriedades da interação nucleon-nucleon são:
- Em pequenas distâncias a interação nucleon-nucleon é mais forte do que a força Coulombiana, pois o núcleo comprime pequenos pacotes de prótons. Para manter esses prótons unidos, a força nuclear (atrativa) deve ser maior que a Coulombiana (repulsiva).
- A força nuclear é de curto alcance.
- Nem todas as partículas sofrem ação da força nuclear. Os elétrons são um exemplo disso.
- A força nuclear não depende da carga da partícula nem do spin.
As reações nucleares tem sido amplamente pesquisadas nas últimas décadas devido à sua natureza complexa e à dificuldade de se desenvolver uma teoria geral que capaz de descrevê-las em detalhes. A dinâmica das reações envolve o conhecimento da interação nuclear que usualmente é tratada como uma interação de muitos corpos. Portanto, antes de descrever o processo das reações, deve-se ter conhecimento dos potenciais nucleares intrínsecos dos núcleos interagentes e da correlação entre eles. Dessa forma, vários graus de liberdades devem ser levados em conta nas funções de onda que descrevem os estados intrínsecos dos núcleos parceiros da colisão e dos movimentos entre eles. Este trabalho reflete um grande interesse em como a estrutura e configurações dos núcleos interagentes
determinam as específicas reações nucleares.
Em uma reação nuclear, os núcleos interagentes são chamados de projétil e alvo, seus produtos nomeados partículas residuais ou fragmentos, e podem ser configurados como: a + A (parceiros da colisão inicial) e b + B (os núcleos residuais). Cada par de estados dessas representações é denominado de canal e cada possível combinação de núcleos é chamado de partição.
Soluções para as equações exatas que descrevem a dinâmica da reação nuclear, e que envolvem muitos graus de liberdade, são complexos mesmo com o uso de computado-res modernos. Desse modo, é necessário recorrer a aproximações que são caracterizadas pelas restrições impostas ao espaço das funções de onda que descrevem a reação nuclear, e ao uso de potenciais de interação nuclear efetivos ou fenomenológicos que descrevem o comportamento médio das interações entre os nucleons. Essas aproximações são feitas através de restrições impostas ao espaço de Hilbert e da utilização de um potencial óptico (potencial complexo) que simula a perda de fluxo devido aos canais que foram desconsi-derados na equação do espaço modelo. Muitos potenciais são usados para descrever as interações nucleares, dentre eles tem-se o potencial double folding (dupla convolução), que leva em conta a distribuição de carga e de matéria de ambos os núcleos que interagem entre si. Esse potencial double folding tem se destacado pela boa descrição das intera-ções nas reaintera-ções nucleares. Nos cálculos presentes nessa tese, será utilizado o potencial double folding São Paulo (SPP) [1] que leva em conta o modelo de interação microscópica (nucleon-nucleon) e os efeitos quânticos da não-localidade.
As reações diretas são aquelas onde a duração dessa reação é suficientemente pequena para que não se tenha a formação de núcleo composto. Nessas reações há uma rigorosa seleção referente ao estado final possível de ser populado, por exemplo, para transferência de dois nucleons são populados estados que possuem uma forte correlação de emparelhamento, porém analisando somente a transferência de um nucleon, observa-se que este popula estados de uma única partícula (single particle). Dessa forma, a teoria das
reações diretas tenta descrever a dinâmica das colisões que envolvem o canal de rearranjo (rearrangement ) através da solução da equação de Schrödinger acrescentada da utilização de um modelo espacial específico das componentes consideradas importantes em uma reação.
Uma grande gama de estudos foram realizados para compreender a transferência de dois nucleons e o efeito emparelhamento em núcleos como pode ser visto nas refs. [2–27]. Ao longo das últimas décadas a transferência de dois nêutrons vem sendo estudada através de sistemas envolvendo (18O,16O), pois o 18O possuem dois nêutrons fracamente
ligados, e é o elemento que mais se aproxima do trítio, visto que reações utilizando um projétil de trítio não são mais permitidas. Esse estudo tem a finalidade de identificar qual tipo de mecanismo descreve esse processo de transferência, isto é, se é o processo de transferência direta, onde os dois nêutrons são transferidos de uma única vez, ou transferência sequencial, quando um nêutron é transferido depois o outro. Portanto, os dois nêutrons podem ser transferidos, de duas formas diferentes: simultâneamente (direta) ou sequencialmente. O estudo dessas diferentes formas de reações de transferência é uma ferramenta importante no estudo da estrutura nuclear, além de prover informações referentes à força de emparelhamento que pode existir entre os nucleons nesse processo de transferência.
Este presente trabalho reflete o grande interesse no estudo reação de stripping (onde o projétil perde nucleons para o alvo) 64Ni(18O,16O)66Ni, na energia de 84 MeV, com a finalidade de estudar e indentificar os efeitos da força de emparelhamento entre os dois nêutrons transferidos nesse processo, além de identificar qual tipo de mecanismo é mais importante para descrever essas reações de transferência. Recentes estudos [2] relacionados à transferência de dois nêutrons na reação 12C(18O,16O)14C [28], à 84 MeV,
encontraram evidências do papel crucial desempenhado pela força de emparelhamento nessa reação. Os cálculos foram feitos sem qualquer fator de escala, ou seja, sem nenhum ajuste dos resultados aos dados experimentais. O estudo feito na ref. [2] mostrou que
o processo de transferência direta era o mecanismo mais importante da reação e não a transferência sequencial, como foi afirmado anteriormente na ref. [9]. Portanto este trabalho tem como finalidade entender em detalhes a transferência de dois nêutrons.
No capítulo 1 será abordada uma rápida revisão de modelos nucleares, incluindo os modelos coletivos que foram usados com a finalidade de analisar a influência na escolha do modelo estrutural nas excitações coletivas do alvo64Ni. O Capítulo 2 apresenta uma curta descrição do formalismo teórico usado nos cálculos dos canais de reação acoplados. Já no capítulo 3 será feita uma abordagem sobre os tipos de mecanismos de reações de transferência. No capítulo 4 será apresentado os estudos feitos analisando os processos de transferência de dois nêutrons para a reação 64Ni(18O,16O)66Ni, além da comparação
entre as seções de choque teóricas com as obtidas experimentalmente. Para isso foram feitos cálculos de DWBA e CRC para descrever as seções de choque de reação usando três modelos diferentes: o modelo de cluster, o modelo de coordenadas independentes, tam-bém conhecido como modelo microscópico e o modelo sequencial. O código FRESCO [29] juntamente com o modelo de interação de finite range foram utilizados para calcular as distribuições angulares aqui apresentadas. No capítulo 5 serão apresentadas as conclu-sões sobre os efeitos de correlação entre os dois nêutrons transferidos, devido à força de emparelhamento, e a conclusão sobre qual o mecanismo de transferência utilizado descreve melhor os dados experimentais.
Capítulo 1
Modelos nucleares
Com o objetivo de tentar descrever as interações que podem ocorrer em uma reação nuclear, originou-se o modelo de gota líquida, onde os nucleons não são tratados de maneira individual, mas seus efeitos são considerados por meio de valores médios associados às suas propriedades. Esse modelo é bem sucedido para a determinação de algumas propriedades nucleares como, por exemplo, a energia de ligação por nucleon. No entanto, outras propriedades nucleares, como as energias dos estados excitados nucleares ou os momentos magnéticos nucleares, necessitam de uma descrição que leve em conta propriedades individuais (que não são levadas em consideração no modelo de gota líquida).
1.1
Modelo de camadas nuclear
Para descrever o movimento dos nucleons, duas classes de modelos são mais co-mumente usados. O modelo single-particle que leva em conta apenas o movimento de um único nucleon representando o núcleo como um todo, e o modelo de camadas, onde o movimento de cada nucleon é influenciado pelo movimento dos outros nucleons, e nesse caso faz-se necessário a ultilização de aproximações.
H = A X i=1 Ki+ 1 2 A X i,j=1 U (i, j) , (1.1)
onde Ki é a energia cinética de cada nucleon e Ui,j é a interação entre dois nucleons i e j.
Resolvendo então a equação de Schrödinger obtém-se, como resultados, níveis de energia discretizados e os orbitais, mais detalhes pode ser visto nas refs. [30–33]. Cada orbital é caracterizado por três números quânticos: N, o número de quanta; l, o momento angular, que pode assumir os valores 0,1,2,3,...; com os correspondentes orbitais s,p,d,f,...; e o momento total J=l ±12. Como os nucleons são férmions e seguem o Princípio de exclusão de Pauli, um certo estado quântico só pode ser ocupado por um nucleon, portanto somente um número de nucleons pode preencher determinado orbital. O preenchimento dos orbitais segue comumente a ordem mostrada na figura 1.1 [34].
Então, preenchendo sucessivamente os orbitais por prótons e nêutrons separada-mente, constrói-se o estado fundamental de um núcleo. No estado fundamental o último orbital preenchido pelos nucleons define o nível de Fermi e, portanto, excitar nucleons acima desse nível é construir estados excitados. Para excitar o núcleo basta que um ou mais nucleons sejam movidos para um orbital com energia maior do que a energia do estado fundamental. Pode haver uma grande diferença de energia entre cada camada, onde os orbitais são agrupados. Assim, com as camadas e orbitais obtém-se a estrutura do núcleo.
Os números representados na última coluna da figura 1.1 são os chamados núme-ros mágicos (2,8,20,28,52,82,...). Esses númenúme-ros são quantidades específicas de prótons ou nêutrons, de forma que, à medida que essas quantidades são preenchidas, fecha-se uma camada. Os núcleos que possuem esse número de prótons e/ou nêutrons são conheci-dos como mágicos pois apresentam uma maior estabilidade comparaconheci-dos com aqueles que não possuem. Se ambos os números de prótons e nêutrons são mágicos, tem-se um nú-cleo duplamente mágico. Este tipo de comportamento é válido para núnú-cleos no vale de estabilidade.
Figura 1.1: Representação do esquema de níveis do modelo de camadas do oscilador harmônico.
Um núcleo também pode ser composto por um core (caroço) fechado mais nucle-ons na camada de valência (camada mais externa da distribuição eletrônica), que podem
ser partículas ou buracos. Pode-se ter buracos quando uma determinada camada não for preenchida completamente antes de preencher a próxima. A figura 1.2 representa o preenchimento incompleto de um orbital, tendo assim a existência de um buraco.
1d5/2 1p1/2 1s1/2 1p3/2 buraco 2 8
Figura 1.2: Preenchimento sucessivo das camadas mais baixas onde há um buraco e um nucleon na camada acima.
Dessa forma, com a finalidade de descrever os movimentos dos nucleons, pode-se usar a aproximação de campo médio, onde pode-se assume que o movimento dos nucleons são governados pelo potencial médio central causado pelos outros nucleons. Assim a Hamiltoniana pode ser reescrita como:
H = A X i=1 (Ki+ V (ri)) + 1 2 A X i,j=1 U (i, j) − A X i=1 V (ri) . (1.2)
O primeiro somatório da equação descreve o movimento de uma única partícula no potencial central V (r) independente do movimento das outras partículas, e V (ri) é o
potencial de um corpo. No segundo e no terceiro somatório leva-se em conta a interação nucleon-nucleon, tratando-a de forma residual. Utilizando uma forma mais próxima da realidade possível para o potencial V(r), pode-se resolver a equação de Schrödinger de modo que a interação nucleon-nucleon possa ser tratada como uma perturbação. O po-tencial mais utilizado foi o do Oscilador Harmônico acrescentado do termo de spin-órbita, mais o termo l2, que é o quadrado do momento angular. O termo que é proporcional
a l2 modifica a forma parabólica fazendo com que a forma do potencial lembre a forma potencial de Woods-Saxon.
Cálculos usando o modelo de camadas consideram a presença de um core inerte, que na maioria das vezes é escolhido de forma tal que o core seja duplamente mágico, pois assim somente as interações residuais entre os núcleons da camada de valência serão consideradas. Então, o núcleo será descrito como um core inerte mais os nucleons de valência, essa é uma aproximação uma vez que o core não é exatamente inerte, podendo interagir com os nucleons de valência. Essas interações residuais precisam ser levadas em conta, mais detalhes pode ser visto nas refs. [30–33].
1.2
Modelos coletivos para espalhamento inelástico
Há tres tipos de excitações de baixas energias mais comuns que podem ocorrer em um núcleo: excitações onde há mudança de estado de um nucleon individual (uma mudança de orbital, por exemplo); excitações devido às vibrações da superfície; e excita-ções resultantes da rotação de um núcleo deformado. Excitaexcita-ções coletivas em um núcleo significam movimentos correlacionados de longo alcance e são lentos quando comparados com movimentos de nucleons de forma individual. Diferentemente do primeiro tipo de ex-citação, que é de caráter individual, somente as excitações devido à vibração e à rotação, que possuem caráter coletivo de movimento, são abordadas a seguir.
Vibrações de um núcleo esférico
Núcleos que possuem poucos ou quase nenhum nucleon fora do core possuem o movimento coletivo de baixa energia, ou seja, oscilação em torno da sua superfície, além da forma de equilíbrio esférica. Esse movimento é caracterizado pelos quanta de energia vibracional, que são os fónons, e que possuem energia hwl, onde l é o número
devido ao movimento vibracional. A parte da esquerda da figura 1.3 representa oscilação de dipolo, ou seja, há somente um deslocamento da esfera, não havendo deformação do núcleo; no centro da figura 1.3 é representada uma deformação de quadrupolo e na parte direita da figura 1.3, uma representação da deformação de octupolo. Nestas duas últimas deformações há mudança na forma do núcleo.
Figura 1.3: Representação das vibrações de dipolo, quadrupolo e octupolo.
A figura 1.4 representa o espectro de níveis de um típico movimento vibracional. Nela são mostrados os níveis de energia do nuclídeo120Te, onde o primeiro estado excitado
2+corresponde a um fónon (l=2), seguido por um tripleto de dois fónons e um quintupleto de três fónons. Para energias acima de 2 MeV a estrutura de níveis não fica bem definida, e a partir daqui não se pode mais reconhecer os padrões de um típico movimento vibracional. Núcleos com essas características são chamados de vibradores e são descritos pelo modelo vibracional, mais detalhes pode ser visto na ref. [30].
Rotações de um núcleo deformado
O movimento coletivo de rotação de um núcleo só vai se manifestar se esse núcleo não possuir simetria esférica. Para isso, o núcleo precisa ser permanentemente defor-mado e, assim, conforme a sua rotação haverá uma mudança na orientação, mas a forma
Figura 1.4: Espectro típico de um vibrador de quadrupolo. continuará a mesma.
A figura 1.5 ilustra os espectros de energia tipicamente rotacionais, nela estão representados os valores experimentais da banda rotacional do núcleo 164Er. A energia aumenta quadraticamente de acordo com o aumento do spin. Outra característica desse movimento é a energia bem baixa para o primeiro estado excitado.
Núcleos que possuem essas caracteristicas são chamados de rotores e são descritos pelo chamado modelo rotacional, que leva em conta essas características específicas na descrição do núcleo, mais detalhes pode ser visto na ref. [30].
Espectro de excitação do núcleo 64Ni
A parâmetro de deformação de quadrupolo possui caráter vibracional quando ele é pequeno, da ordem ou menor que 0.1, quando o núcleo é esférico no estado fundamental e quando possui deformações dinâmicas. Normalmente assume-se que a deformação nuclear
Figura 1.5: Espectro típico de um rotor
é igual à deformação coulombiana. Para o caráter rotacional, o núcleo normalmente possui uma deformação permanente bem grande e o parâmetro de deformação é da ordem de 0.3 ou mais. Sabe-se que o valor experimental do parâmetro de deformação do64Ni é da ordem de 0.2, um valor intermediário.
É conhecido também que para um núcleo ter um espectro vibracional, o primeiro estado excitado (de quadrupolo) deve ser o estado 2+ e, após este, aparece um tripleto de dois fónons com spins/paridade 0+, 2+ e 4+ com aproximadamente o dobro da energia do
primeiro estado de um fónon. Comparando então com o espectro de excitação do núcleo
64Ni, mostrado na figura 1.6, nota-se que a componente 0+ do tripleto não aparece, e a
componente 2+ possui spin duvidoso, ou seja, não parece ser um exemplo típico de um
oscilador harmônico.
Para um rotor, a energia do primeiro estado é bem baixa e as energias da banda do estado fundamental seguem a regra I(I+1) com a dependência do spin, ou seja, à medida
Figura 1.6: Esquema dos espectros de níveis para o núcleo 64Ni. Figura extraída do site
http://www.nndc.bnl.gov/chart
que aumenta o spin a energia aumenta quadraticamente. Olhando, então, novamente para o espectro da figura 1.6 é possível ver que, além da energia do primeiro estado não ser baixa, o comportamento de um rotor também não é verificado. No Capítulo 5 serão feitos cálculos comparativos para analisar qual das duas possibilidades descreve melhor as seções de choque de transferência para os diversos estados do núcleo residual através da excitação para o primeiro estado excitado 2+ do núcleo 64Ni.
Capítulo 2
Formalismo teórico
2.1
Método de Canais Acoplados (CC) e método de
Canais de Reação Acoplados (CRC)
Com a finalidade de analisar e interpretar os dados experimentais de uma reação direta, as duas técnicas mais utilizadas são: o método das ondas distorcidas (DW) e o método de canais acoplados (CC). Tem-se por reação direta aquela em que o tempo de duração da mesma é da ordem de 10−21 a 10−23 segundos, período orbital que um típico nucleon leva para atravessar o núcleo. Esse tempo é insuficiente para a formação de um núcleo composto, ou seja, não há tempo suficiente para o partilhamento de energia entre o núcleo atingido e os outros nucleons presentes no alvo.
No formalismo de canais acoplados (CC), deve-se levar em conta a solução de um pequeno número de equações acopladas, que se supõe serem suficientes para descrever inicialmente o sistema físico. Esse conjunto de equações acopladas vem da escolha de uma função de onda modelo. O truncamento dessa função de onda total para um pequeno número de termos leva à construção de uma Hamiltoniana efetiva, e a partir dela, pode-se descrever a dinâmica da reação nuclear.
espalha-mento elástico e inelástico sem que haja canal de rearrangement. Isso significa que os estados que formam a base de energia pertencem a uma mesma partição. Já com o canal de rearrangement, esses estados de energia podem pertencer a mais de uma partição. Para descrever processos onde há a existência desses canais, o chamado formalismo de canais acoplados de reação (CRC) deverá ser ultilizado.
Inicialmente deve-se resolver de forma explícita a equação de Schrödinger:
(E − H)Ψ = 0 . (2.1)
Como neste trabalho serão tratados apenas casos em que as reações são diretas, pode-se representar o espaço completo de Hilbert das funções de onda como a soma de dois subespaços P e Q. O primeiro subespaço englobará somente reações diretas, incluindo espalhamento elástico, com as funções de onda correspondentes ΨP. O segundo subespaço
corresponderá às reações que envolvem núcleos compostos com as respectivas funções de onda ΨQ.
Escrevendo a função de onda do subespaço P como: ΨP =
X
α
φaφAψα(rα) , (2.2)
onde a e A são os conjuntos de números quânticos que descrevem os núcleos do projétil e alvo, respectivamente, α = a + A representa a partição, e rα é o vetor relativo as posições
dos centros de massa dos dois núcleos a e A. A função de onda da partição α pode ser definida como φα ≡ φaφA. De forma geral, φa e φA podem representar estados discretos
de níveis no contínuo, assim como podem representar funções de onda de estados ligados dos núcleos projétil e alvo.
Pode-se também escrever a equação da Hamiltoniana modelo H, que descreve a evolução das funções de onda modelo. H é dada por:
H = Hα+ Kα+ Vα , (2.3)
onde Hα representa a hamiltoniana referente aos graus de liberdades internos dos núcleos
projétil e alvo; e, Vα é potencial de interação, de forma que:
H|φαψα(rα)i = H|φaφAψα(rα)i = (εa+ εA)|φaφAψα(rα)i , (2.4)
onde εa+ εA= εα.
Como as funções de onda modelo são definidas a partir da projeção do espaço de Hilbert completo no subespaço das funções de onda modelo, a eq. 2.5 deve ser satisfeita.
ΨP = P Ψ , (2.5)
onde P é definido como o operador projetor, que é aquele que projeta as funções de onda do espaço completo de Hilbert no espaço das funções de onda modelo.
Pode-se definir, de forma análoga à feita para o operador P , o operador Q como aquele que projeta as funções de onda no subespaço complementar a P . Os operadores P e Q possuem as seguintes propriedades:
P2 = P, Q2 = Q, P + Q = 1, P Q = QP = 0 . (2.6)
Usando essas propriedades de P e Q, pode-se chegar às equações:
[E − (P HP )] P Ψ = (P HQ)QΨ (2.7)
e
QΨ = 1
E + i − (QHP )(QHP )P Ψ. (2.8)
Substituindo a eq. 2.8 na eq. 2.7, obtem-se a seguinte relação:
E − (P HP ) − (P HQ) 1
E + i − (QHP )(QHP )
P Ψ = 0 , (2.9)
onde é uma quantidade positiva e infinitesimal, introduzida com a finalidade de levar em conta a singularidade existente no denominador da eq. 2.9, e de forma que seja garantida a existência do processo de reversão temporal.
Comparando a eq. 2.9 com a eq. 2.5 e eq. 2.1, tem-se a expressão da Hamiltoniana efetiva (Hef) no espaço das autofunções modelo:
Hef = (P HP ) − (P HQ)
1
Então, a expressão reduzida para a equação de Schrödinger pode ser escrita como:
(E − Hef)P Ψ = 0 . (2.11)
Substituindo a eq. 2.2 e eq. 2.3 na eq. 2.11, tem-se:
(E − Hα− Kα− Vα)
X
α
φαψα(rα) = 0 . (2.12)
Multiplicando a esquerda da eq. 2.12 por φ∗α e integrando por todas as coordena-das internas ξα0, chega-se à seguinte expressão:
[E − εα− Kα] ψα(rα) − Z φ∗αVα X α0 φα0ψα0(rα0) ! dξα0 = 0 . (2.13) De forma que: E − εα− Kα− Z φ∗αVαφαdξα ψα(rα) = X α06=α Z φ∗αVαφα0dξα0 ! ψα0(rα0) . (2.14)
Usando a definição para o canal φα ≡ |αi e, Vαα0 ≡ hα|Vα|α0i ≡ R φ∗αVαφα0dξα0,
pode-se chegar ao seguinte sistema de equações acopladas, que representa o acoplamento do canal α com todos os outros canais α0 envolvidos na reação nuclear.
[E − εα− Kα− Vαα] ψα(rα) =
X
α06=α
Vαα0ψ
α0(rα0) , (2.15)
onde o potencial Vαα representa um potencial diagonal que está relacionado ao
espalha-mento elástico, e Vαα0 está associado a um potencial não-diagonal que acopla o canal de
espalhamento elástico com todos os outros canais.
Para resolver esse sistema de equações acopladas para um canal específico, é preciso determinar as funções de onda de todos os outros canais possíveis. Resolver essas equações de forma analítica é uma tarefa praticamente impossível, mesmo para os dias de hoje com todo o potencial computacional disponível onde há uma grande variedade de computadores bem sofisticados. Portanto, faz-se necessário o uso de alguma aproximação onde haverá o truncamento dessas equações de forma a se tornarem equações mais simples de serem resolvidas. Para que as equações se tornem solúveis é necessário
aplicar aproximações. Duas aproximações comumente utilizadas são: aproximação de Born de ondas distorcidas (DWBA) e aproximação de Born de canais acoplados (CCBA). Em qualquer aproximação utilizada devem-se levar em conta os canais fisicamente mais relevantes para o sistema e, a partir de um potencial óptico, será feita a simulação de perda de fluxo para os outros canais que não foram levados em conta nos cálculos. Os cálculos necessários para descreverem o sistema físico em questão devem partir da eq. 2.2 onde somente será necessário um certo número de N termos da expansão, fazendo assim um truncamento. Para isso deve-se usar uma interação efetiva ou Hamiltoniana efetiva.
Quando se leva em conta o processo de rearrangement nos cálculos, aparecem termos não-ortogonais devido à não-ortogonalidade dos estados que formam a base de estados de energia de diferentes partições, e por isso os cálculos ficam mais complicados de serem resolvidos. Para tanto cálculos de CRC se tornam necessários, um exemplo de CRC é a situação representada na figura 2.1, onde os dois núcleos interagem e há somente duas partições acessíveis no canal de saída, as partições α e β.
O exemplo mosrado na figura 2.1 onde os dois núcleos interagem, podendo haver espalhamento elástico e transferência de dois nucleons na forma:
a(= b + 2n) + A = b + B(= A + 2n) . (2.16)
A eq. 2.16 representa a interação do projétil a com o alvo A e a transferência de dois nêutrons para o núcleo alvo. A configuração final é constituída pelos núcleos b + B(= A + 2n) em seus diversos estados. Esse exemplo representa a reação de transferência que será estudada neste trabalho para o sistema (18O + 64Ni. Portanto pode-se escrever a relação:
H = Hα+ Kα+ Vα = Hβ + Kβ+ Vβ . (2.17)
Resolvendo as esquações de forma análoga à feita anteriomente para o sistema de canais acoplados, obtém-se as seguintes equações acopladas para os cálculos de CRC:
a
A
a
A
b
B
ψ
αψ
αψ
βFigura 2.1: Representação esquemática de uma reação onde pode acontecer a transferência de dois nêutrons.
e
[Eβ − εβ− Kβ − Vββ] ψβ(rβ) = hφβ|(H − E)|φαψαi . (2.19)
As eqs. 2.18 e eq. 2.19 podem ser reescritas em duas equações integro-diferenciais da seguinte forma: [Eα− εα− Kα− Vαα] ψα(rα) = Z kαβ(rα, rβ)ψβ(rβ)drβ (2.20) e [Eβ− εβ − Kβ− Vββ] ψβ(rβ) = Z kβα(rβ, rα)ψα(rα)drα , (2.21)
onde kαβ e kβα são as funções kernels dadas por:
kαβ(rα, rβ) = Jαβ
Z
e
kβα(rβ, rα) = Jβα
Z
φ∗β(ξβ) [H − E] φα(ξα)dζβ , (2.23)
sendo Jβα e Jαβ os jacobianos que transformam as coordenadas internas ξα e ξβ nas
coordenadas (ζα, rβ) e (ζβ, rα), respectivamente. As coordenadas ζα são independentes
de rβ, assim como, ζβ são independentes de rα. As funções k podem ser tratadas como
a soma de duas parcelas que estão associadas à interação (kernel de interação (I)) e à não-ortogonalidade (kernel de não-ortogonalidade (N )), sendo kαβ = Iαβ + Nαβ e kβα =
Iβα+ Nβα. Então, sabendo que o formalismo prior é utilizado quando o potencial de
interação do canal de entrada aparece explicitamente na matriz interação, enquanto que o formalismo post é usado quando o potencial do canal de saída aparece explicitamente nessa matriz, os kernels de interação e de não-ortogonalidade escritos segundo o formalismo prior são: Iαβ(prior) = Jαβ Z φ∗α(ξα)Vαφβ(ξβ)dζα (2.24) e Nαβ(prior) = Jαβ[Kα− (E − εα)] Z φ∗α(ξα)φβ(ξβ)dζα . (2.25)
De forma análoga para o formalismo post :
Iβα(post) = Jβα Z φ∗β(ξβ)Vαφα(ξα)dζβ (2.26) e Nβα(post) = Jβα[Kβ− (E − εβ)] Z φ∗β(ξβ)φα(ξα)dζβ . (2.27)
Para espalhamento inelástico sem rearrangement, α e β referem-se a estados per-tencentes a uma mesma partição, assim o termo de não-ortogonalidade da função kernel é zero (N = 0). Mais detalhes sobre as funções k podem ser encontrados na ref. [35].
2.2
Aproximação de Born de Ondas Distorcidas (DWBA)
A dinâmica de uma reação pode ser descrita pela solução da equação de Schrödin-ger. Porém, quando se considera a ausência de um potencial de interação em condições assintóticas, a dinâmica da reação passa a ser descrita pela solução de uma equação ho-mogênea. A solução para a parte radial dessa equação homogênea pode ser dada por uma função exponencial, que descreve o movimento de uma onda plana.
Considerando a presença de um potencial espalhador fraco, a equação de Schrö-dinger se torna uma equação não-homogênea, e sua solução perturbativa é dada pela soma da solução particular com a solução homogênea. Para obter a solução particular deve-se considerar o potencial de interação como um potencial distorcido, e dessa forma a função de onda que descreve a dinâmica nuclear pode ser descrita por uma onda distorcida. O potencial distorcido pode ser escrito na forma:
Uα = Vα− Wα , (2.28)
onde Uα é o potencial distorcido, que pode ter dependência somente na distância entre
os centros de massa do projétil e alvo, e normalmente é descrito como um potencial complexo; Wα é o potencial residual, ou seja, se o acoplamento é fraco, esse potencial
residual é desprezível em relação ao potencial Vα e, sendo assim, o estado resultante da
ação do potencial Vα pode ser substituído pelo estado de espalhamento resultante da ação
do potencial Uα (|α+i = |αU +i).
A partir das definições acima, a equação de Schrödinger para a onda distorcida pode ser dada por:
(H0− Eα)| αU ±i = 0 , (2.29)
onde H0 = Hα+ Kα+ Uα, e Eα é a energia do estado de espalhamento |αU ±i.
forma:
|φaφAχ±(k, r)i = |φαχ±(kα, rα)i . (2.30)
Na solução assintótica da eq. 2.30 os símbolos − e + das funções χ representam a existência de ondas de entrada e saída, respectivamente. Portanto as soluções da equação de Schrödinger para o estado de espalhamento podem ser escritas na forma:
|αU +i = |αi + 1 Eα− H0 + i Uα|αi (2.31) e |αU −i = |αi + 1 Eα− H0†− i Uα†|αi , (2.32) onde H0†= Hα+ Kα+ Uα†, e U † α é o hermitiano conjugado de Uα.
O estado de espalhamento completo, devido à ação do potencial Vα e em termos
do estado de espalhamento, pode ser escrito como: |α+i = |αU +i + 1
Eα− H + i
Wα|αU +i , (2.33)
onde H = Hα+ Kα+ Vα. A eq. 2.33 é conhecida como a equação de Lippmann-Schwinger.
Os estados de espalhamento podem ser escritos de forma análoga para o canal de saída |β±i = |φβχ±β(kβ, rβ)i, na forma:
|βU +i = |βi + 1 Eβ− H0+ i Uβ|βi (2.34) e |βU −i = |βi + 1 Eβ− H0†− i Uβ†|βi , (2.35)
O estado de espalhamento completo |β−i, devido à ação do potencial Vβ (em
termos do estado de espalhamento), pode ser escrito como: |β−i = |βU −i + 1
Eβ − H − i
Wβ†|βU −i , (2.36)
Dessa forma a matriz interação pode ser escrita da seguinte maneira: hβ−|Vα|αi = hβU −|Vα|αi + hβU −|Wβ 1 Eβ − H + i Vα|αi = hβU −|Vα|αi + hβU −|Wβ |α+i − |αi = hβU −|Vα− Wβ|αi + hβU −|Wβ|α+i . (2.37)
A matriz interação descrita na eq. 2.37 é definida como Matriz-T e está direta-mente relacionada à seção de choque. A Matrix-T pode ser escrita da seguinte forma:
Tβα= hβ−|Vα|αi = hβU −|Vα− Wβ|αiδβα+ hβU −|Wβ|α+i
= hβU −|Uβ|αiδβα+ hβU −|Wβ|α+i . (2.38)
Se a interação residual W é fraca, ou seja, não afeta de forma considerável o estado de reação completa, a aproximação Born de ondas distorcidas (DWBA) será uti-lizada e, nesse caso, os acoplamentos dos canais inelásticos com o elástico é fraco. Dessa forma pode-se substituir a função estado da reação completa pela função estado de onda distorcida, e a matriz-T pode ser reescrita como:
TβαDW BA = hβU −|Uβ|αiδβα+ hβU −|Wβ|αU +i . (2.39)
Considerando a existência do processo de transferência de nucleons e que os es-tados α e β pertencerem a partições diferentes, ou seja, α 6= β, o primeiro termo da eq. 2.39 desaparece e a matriz de interação pode ser reescrita na forma:
TβαDW BA = hβU −|Wβ|αU +i . (2.40)
Se a interação Wβ entre os núcleos da partição de saída aparece explicitamente
na equação da matriz de interação, a matriz-T possui a representação post, caso contrário possui a representação prior descritas nas equações 2.41 e 2.42, respectivamente.
Tβα= hφ∗βχ −∗ β (kβ, rβ)|Wβ|φαχ + α(kα, rαi (post) , (2.41) Tβα = hφ∗βχ −∗ β (kβ, rβ)|Wα|φαχ+α(kα, rαi (prior) . (2.42)
Escrevendo agora as funções de onda do movimento relativo na representação das coordenadas e considerando um potencial de interação de curto alcance, tem-se que:
χ+α(kα, rα) → exp(ikα· rα) + exp(ikαrα) rα f (θ, φ) (2.43) e χ−α(kβ, rβ) → exp(ikβ· rβ) + exp(−ikβrβ) rβ f∗(π − θ, π + φ) , (2.44)
onde f (θ, φ) e f∗(π − θ, π + φ) são as amplitudes de espalhamento.
Se as excitações inelásticas são importantes no canal da reação, deve-se escolher um potencial de interação o mais realístico possível, de forma a descrever o espalhamento inelástico naquele canal de reação. Para isso, deve-se projetar o potencial de interação escolhido no espaço dos N canais selecionados. Sendo Vβ o potencial que incorpora os
efeitos do espalhamento inelástico na partição β, então a sua projeção no espaço dos N canais escolhidos será dada por:
νβ = PβVβPβ , (2.45)
onde Pβ =
PN
β0=1|β; β0ihβ; β0| é o operador projeção no canal arrangement final β. A
função desse operador de projeção é acoplar o canal final |β; βi com todos os outros N − 1 canais |β; β0i no espaço projetado.
Cálculos primeira ordem de DWBA podem ser considerados como processos de um passo, porém as vezes faz-se necessário obter soluções para ordens maiores, requerendo assim uma solução completa das equações, que é feita aumentando as ordens de DWBA levadas em conta. As soluções de segunda ordem são consideradas processos de dois passos.
Considerando uma partição intermediária γ e que as equações acopladas possuem pelo menos um canal de cada partição, pode-se reescrever a função de onda modelo da forma:
As eqs. 2.20 e 2.21 podem ser escritas nas formas generalizadas: [Eα− εα− Kα− Vαα] ψα(rα) = Z kαβ(rα, rβ)ψβ(rβ)drβ+ Z kαγ(rα, rγ)ψγ(rγ)drγ, (2.47) [Eβ − εβ− Kβ − Vββ] ψβ(rβ) = Z kβγ(rβ, rγ)ψγ(rγ)drγ+ Z kβα(rβ, rα)ψα(rα)drα (2.48) e [Eγ− εγ− Kγ− Vγγ] ψγ(rγ) = Z kγα(rγ, rα)ψα(rα)drα+ Z kγβ(rγ, rβ)ψβ(rβ)drβ. (2.49)
Assumindo que os acoplamentos na parte direita da eq. 2.47 possam ser negligen-ciados, o espalhamento elástico no canal de entrada é bem descrito pelo potencial diagonal Vαα. E assumindo que o acolpamento direto kγα no canal de entrada é a única importante
fonte de fluxo no canal γ, então mantendo kγα e negligenciando kβγ na parte direita da
eq. 2.48. Pode-se reescrever as eqs. 2.47, 2.48 e 2.49:
[Eα− εα− Kα− Vαα] ψα(rα) ≈ 0 , (2.50) [Eβ− εβ− Kβ− Vββ] ψβ(rβ) ≈ Z kβγ(rβ, rγ)ψγ(rγ)drγ+ Z kβα(rβ, rα)ψα(rα)drα (2.51) e [Eγ− εγ− Kγ− Vγγ] ψγ(rγ) ≈ Z kγα(rγ, rα)ψα(rα)drα , (2.52)
onde o primeiro termo da eq. 2.51 representa o processo de um passo do canal α para o canal β, enquanto que o segundo termo representa o processo de dois passos passando pelo canal γ.
Dessa forma as amplitudes de transição DWBA podem ser divididas em duas partes, uma conectando os canais α e β, que podem ser escritas como as eqs. 2.41 e 2.42 e outra parte conectando os canais β e γ. A ambiguidade post -prior, que surge devido conexão entre os três canais, permite escrever quatro expressões para a segunda parte da amplitude de transição, post-prior, post-post, prior-prior e prior-post. Toda essas quatro expressões para amplitude de transição de dois passos são equivalente. Então a amplitude
de transição pode ser escrita na representação prior-post com dependência na função de Green como: Tβα = hφ∗βχ −∗ β (kβ, rβ)|Wβ|φ∗γ)G (+) γ (φγ|Wα|φαχα+(kα, rαi (prior-post) . (2.53)
2.3
Potencial Double-folding
Com a finalidade de estudar os espalhamentos elástico e inelástico em uma reação de íons-pesados, faz-se necessário o uso de um potencial de interação. Ao longo dos anos vários modelos diferentes de potencial foram utilizados, até que chegou-se à descrição de um potencial de interação que estivesse relacionado com a energia de bombardeio, com a densidade de nucleon, de matéria e de carga. Dessa forma o potencial double-folding (dupla convolução) se destacou bastante por descrever de forma satisfatória a interação núcleo-núcleo e nucleon-núcleo, além de possuir dependência na energia de bombardeio. Esse potencial leva em conta também a interação nucleon-nucleon, além do caráter não-local da interação nuclear. O caráter não-não-local aqui mencionado se deve à possibilidade de existir trocas de nucleons entre o projétil e alvo, e segue o princípio de exclusão de Pauli. Essa não-localidade existe devido à natureza fermiônica dos nucleons.
Para descrever a dinâmica de uma reação de íons-pesados, deve-ser tomar como ponto de partida resolver a seguinte forma da equação de Schrödinger:
−~2
2µ O
2+ U (r)
Ψ = EΨ , (2.54)
onde Ψ = ΣφaiφAjψij(r) é a função de onda total do sistema projétil [a] + alvo [A].
As funções φi, onde i = a, A, são referentes aos graus de liberdades internos de
cada núcleo envolvido na reação. O potencial U (r) utilizado na eq. 2.54 é um potencial complexo descrito pelo modelo óptico, e a função de onda ψ descreve o movimento relativo desses núcleos. Para o espalhamento elástico, i = j = 0, então o potencial poderá ser escrito da forma: U = V00+ Σαα0V0α 1 H − E + iε αα0 Vα00 , (2.55) sendo V00= hφa0φA0|V |φa0φA0i . (2.56)
O primeiro termo da eq. 2.55 representa um potencial real, conhecido também como potencial folding. O segundo termo da eq. 2.55 e o potencial de interação V levam em conta todos os estados excitados do alvo e/ou do projétil. Dessa forma pode-ser definir para o espalhamento elástico a igualdade:
VF ≡ V00 , (2.57)
além de definir que o potencial V é um operador local de dois nucleons. Sendo assim:
V = Σijυij , (2.58)
onde υij representa a interação nucleon-nucleon dos núcleos envolvidos na colisão.
Defi-nindo i como os nucleons do projétil, e j os nucleons do alvo, o potencial folding pode ser escrito em uma forma mais geral e em função das densidades dos dois núcleos envolvidos na reação: VF = Z dr1 Z dr2ρ(r1)ρ(r2)υ(R) . (2.59)
Aqui R = r − r1+ r2 representa o vetor posição do nucleon pertencente ao projétil
(a) em relação ao nucleon pertencente ao alvo (A); r o vetor posição do centro de massa do projétil em relação ao centro de massa do alvo; ρ(r1) e ρ(r2) são as densidades dos
núcleos a e A, respectivamente; e r1 e r2 são as coordenadas intrínsecas dos núcleos a e
A.
Definindo f (r) e ¯f (k) como as funções que relacionam a representação das co-ordenadas com a representação do momento, respectivamente. Elas estão relacionadas através das transformadas de Fourier dadas pelas equações 2.60 e 2.61:
f (R) = (2π)−3 Z dk ¯f (k)e−ik·R , (2.60) ¯ f (k) = Z dRf (R)eik·R . (2.61)
Dessa forma, pode-se reescrever VF(r) e υ(R) na representação das coordenadas
e do momento da seguinte forma:
υ(R) = (2π)−3 Z
¯ υ(k) = Z dRυ(R)eik·R (2.63) e VF(r) = (2π)−3 Z dk ¯VF(k)e−ik·r , (2.64) ¯ VF(k) = Z drVF(r)eik·r . (2.65)
Multiplicando a eq. 2.59 por eik·r e integrando por dr, chega-se à expressão:
Z drVF(r)eik·r= Z dr1 Z dr2ρ(r1)ρ(r2) Z drυ(R)eik·r . (2.66)
Alterando o lado direito da eq. 2.66 de variável para r = R−r2+r1 onde dr = dR,
obtém-se as seguintes expressões: Z drVF(r)eik·r= Z dr1 Z dr2ρ(r1)ρ(r2) Z dRυ(R)eik·(R−r2+r1) , (2.67) Z drVF(r)eik·r = Z dr1 Z dr2ρ(r1)ρ(r2) Z
dRυ(R)eik·Rei(−k)·r2eik·r1 (2.68)
e Z drVF(r)eik·r= Z dr1ρ(r1)eik·r1 Z dr2ρ(r2)ei(−k)·r2 Z dRυ(R)eik·R . (2.69) Usando a transformada de Fourier dada pela eq. 2.65, chega-se à igualdade:
¯ VF(k) = Z dr1ρ(r1)eik·r1 Z dr2ρ(r2)ei(−k)·r2 Z dRυ(R)eik·R . (2.70)
Através a definição dada pela eq. 2.61, ¯VF(k) pode ser reescrita como:
¯
VF(k) = ¯ρ(k) ¯ρ(−k)¯υ(k) . (2.71)
A eq. 2.59 foi reduzida de uma integral de 6 dimensões para 3 dimensões, atra-vés das transformadas de Fourier, e devido a uma técnica conhecida como double-folding, tornando a solução bem mais simples. Dessa forma a equação de três dimensões depende da complexidade das densidades nucleares e do potencial nucleon-nucleon (também co-nhecido como potencial bare).
2.4
Potencial de São Paulo
Na seção anterior foi visto que o potencial double-folding está diretamente rela-cionado às densidades dos núcleos envolvidos na reação, ou seja, para desenvolver uma sistemática para o potencial nuclear, faz-se necessário definir uma sistemática para as densidades nucleares, como pode ser visto na ref. [36]. A sistemática para as densidades é feita a partir da análise dos dados de espalhamento elástico existentes na literatura. Foi visto também que na definição do potencial double-folding, a interação efetiva nucleon-nucleon é definida por um potencial υ(r) ≡ υN N(r) que leva em conta os efeitos quânticos
não-locais, spin-orbital, além de depender da energia de bombardeio.
O Potencial de São Paulo (SPP) é definido através do potencial double-folding associado ao princípio da não-localidade de Pauli, levando em conta também a natureza fermiônica dos nucleons. Então assumindo que as distribuições de matéria e de carga podem ser descritas pela função biparamétrica de Fermi (2pF), tem-se:
ρ(r) = ρ0
1 + exp(r−R0
a )
, (2.72)
onde a é a difusividade nuclear, ρ0 é a densidade nuclear relacionada à saturação do core,
e R0 é o raio nuclear. Os parâmetros a, ρ0 e R0 são relacionados através condição de
normalização:
Z
ρ(r)r2drdΩ = 4π Z
ρ(r)r2dr = D . (2.73)
Aqui D pode ser o número de carga (Z), o número de nêutrons (N) ou o número de nucleons (A=N+Z).
Como visto nas refs. [36] e [37] , as densidades de matéria são definidas através da convolução da distribuição de nucleons no núcleo com a distribuição de matéria intrínseca do nucleon, enquanto que as densidades de carga são definidas a partir da convolução entre a distribuição de carga no núcleo com a distribuição de carga intrínseca no espaço
livre, dadas pelas equações 2.74 e 2.75. ρch(r) = Z dr0ρp(r0)ρchp(r − r0) (2.74) e ρm(r) = Z dr0ρn(r0)ρmn(r − r 0 ) . (2.75)
onde ρm(r) e ρch(r) são as densidades de matéria e de carga, respectivamente.
Para construir o potencial SPP assume-se que a interação não-local VN L(R) é
equivalente ao potencial double-folding dado pela eq. 2.59. Essa interação relacionada à não-localidade é descrita através de um potencial bare (U (R, R0)) para íons-pesados, definido mediante o tratamento microscópico da interação nucleon-nucleon e construído pela aproximação: U (R, R0) = VN L R + R0 2 1 π3/2b3exp |R − R0| b 2 , (2.76)
onde b é o alcance da não-localidade de Pauli, de forma que b ≈ b0m0
µ , sendo b0 o parâmetro
de não-localidade nucleon-núcleo, m0 a massa do nucleon e µ a massa reduzida do sistema
núcleo-núcleo.
A equação integro-diferencial é dada por: −~2
2µ 5
2ψ(R)+[V
C(R) + Vpol(R, E) + iWpol(R, E)] ψ(R)+
Z
U (R, R0)ψ(R’)dR’ = Eψ(R) , (2.77) sendo VC(R) o potencial local de Coulomb, e Vpol(R, E) e iWpol(R, E) potenciais de
po-larização que levam em conta o acoplamento com os canais não-elásticos. No limite que b → 0, obtém-se a usual equação diferencial de Schrödinger.
Pode-se extrair do potencial óptico um potencial local equivalente, definido da forma [38]: VLE(R, E) ≈ VF(R)exp − µb 2 2~2 (E − VC(R) − VLE(R, E)) , (2.78) onde 2 µ[E − VC(R) − VLE(R, E)] = 2 µEk(R) = v 2 , (2.79)
sendo Ek a energia cinética e v, a velocidade relativa dos núcleos.
Substituindo a eq. 2.79 na eq. 2.78, chega-se às relações:
VLE(R, E) ≈ VF(R)e−( m0b0v 2~ ) 2 ≈ VF(R)e−4v 2/c2 , (2.80) VLE = VF = Z ρ(r1)ρ(r2)υN N(v, R − r1+ r2)dr1dr2 (2.81) e υN N(v, r) = vf(r)e−4v 2/c2 . (2.82)
onde c é a velocidade da luz.
Esse potencial de interação nucleon-nucleon efetivo, definido pela eq. 2.82, leva em conta os efeitos quânticos não-locais, e quando usado em cálculos para a comparação com os dados experimentais, descreve muito bem os resultados de espalhamento elástico e não-elástico para energias de bombardeio abaixo da barreira coulombiana e centenas de MeV acima dela. Esse potencial também não possui parâmetros livres, deixando-o livre de ambiguidade.
2.4.1
Aproximação zero-range (alcance zero)
Na aproximação DWBA a amplitude de transição é calculada como um elemento de matriz de primeira ordem entre os canais da função de onda dos núcleos A e a (em colisão) e os núcleos B e b (núcleos residuais), como definido anteriormente. Então pode-se reescrever a amplitude de transição da seguinte forma [39]:
Tba = hφBφbχ−b (kb, rb)|V |φAφaχ+a(ka, ra)i , (2.83)
onde φa, φA, φb e φB representam as funções de onda internas para as partículas não
interagentes a, A, b e B. V representa a interação dos elementos de matriz fora da diagonal principal responsáveis pela transição, e χ+a e χ−b são ondas distorcidas, que são funções de onda de espalhamento elástico que descrevem o movimento relativo do par A e a antes da colisão ou do par B e b depois da colisão.
