Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica

Jason Alfredo Carlson Gallas,

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica

Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

36 Correntes Alternadas 2

36.1 Quest˜oes . . . 2 36.2 Problemas e Exerc´ıcios: . . . 2

36.2.1 Trˆes circuitos simples – (1/12) . 2 36.2.2 O circuito


s´erie – (13/28) 4 36.2.3 Potˆencia em circuitos de

corren-te alcorren-ternada – (29/43) . . . 7 36.2.4 O transformador – (44/48) . . . 9

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex)

36

Correntes Alternadas

36.1

Quest˜oes

Q 36-2. De que modo um fasor difere de um vetor?

Sabemos, por exemplo, que fems, diferenc¸as de poten-cial e correntes n˜ao s˜ao grandezas vetoriais. De que modo, ent˜ao, se pode justificar construc¸˜oes como as da Fig. 36-6?



A d.d.p., a fem e a corrente n˜ao s˜ao vetores e, portan-to, n˜ao seguem as regras da soma vetorial. A utilizac¸˜ao de fasores para descrever estas grandezas ´e ´util em vir-tude da possibilidade da existˆencia da diferenc¸a de fase entre a corrente e a tens˜ao, a qual se traduz em efei-tos f´ısicos (lembre-se, por exemplo, de que o fator de

potˆencia ´e dado por   , onde  ´e a diferenc¸a de fa-se entre a corrente e a fem). A direc¸˜ao do fasor n˜ao corresponde a nenhuma direc¸˜ao no espac¸o. Contudo, a projec¸˜ao do fasor sobre um eixo possui a mesma fase de grandeza f´ısica a ele associada. Um diagrama de

fa-sores ´e muito ´util porque ele indica as relac¸˜oes de fase

entre as grandezas representadas por estes fasores.

Q 36-8. Suponha, como enunciado na Sec¸˜ao 36-4, que

um dado circuito seja “mais indutivo que capacitivo”, isto ´e, que  . (a) Isto significa, para uma freq ¨uˆencia angular fixa, que

´e relativamente “grande” e

relativamente “pequeno” ou que e

s˜ao relati-vamente “grandes”? (b) Para valores fixos de 

e de



, significa que ´e relativamente “grande” ou relativa-mente “pequeno”?



(a)    significa que 

 . Para um va-lor de fixo, o produto



deve se relativamente gran-de.

(b) Para e

fixos, o valor de ´e que deve ser relati-vamente grande.

36.2

Problemas e Exerc´ıcios:

36.2.1 Trˆes circuitos simples – (1/12)

E 36-1. Suponha que a Eq. 36-1 descreva a fem

efeti-va dispon´ıvel na saida de um gerador de Hz. Qual a freq ¨uˆencia angular correspondente? Como a compa-nhia de energia el´etrica estabelece essa freq ¨uˆencia?



E 36-2. Um capacitor de ! #" F est´a ligado, como na Fig. 36-4a, a um gerador de corrente alternada com $&%('*)

 V. Qual ser´a a amplitude da corrente alternada resultante se a freq ¨uˆencia da fem for (a)  kHz; (b) + kHz?



(a) Use o fato que, '*$.-/ '   $ . Portanto , '   $&%('(0#132  $&%4'   0 + ) A (b) Se 2

´e+ vezes maior, tamb´em o ´e a corrente:

, ' +6578 0 + )9'40  0  A

E 36-3. Um indutor de : mH est´a ligado, como na Fig. 36-5a, a um gerador de corrente alternada com $&%;'<)

 V. Qual ser´a a amplitude da corrente alter-nada resultante se a freq ¨uˆencia da fem for (a) kHz; (b) + kHz?



(a) A amplitude da corrente ´e dada pela Eq. 36-18

com '40:132 , onde 2='  kHz: ,  ';>   ' $?% @0:132 A ' 8B  A (b) Para 2C'

+ kHz a reatˆancia indutiva ´e+ vezes maior e, portanto, ,D ' 8BE  A + ' 88FB A

Observac¸˜ao: os n´umeros dados no final do livro est˜ao errados.

E 36-4. Um resistor de :G est´a ligado, como na Fig. 36-3a, a um gerador de corrente alternada com $&%;'<)

 V. Qual ser´a a amplitude da corrente alter-nada resultante se a freq ¨uˆencia da fem for (a) kHz; (b) + kHz?



As respostas dos itens (a) e (b) s˜ao idˆenticas pois para um resistor a corrente n˜ao depende da freq ¨uˆencia:

, ' $ %
' )  : ' 8 A

E 36-5.  (a) Use  '   '(0#132  para obter 2='   0:1  '  ) 65HFI @ 0:1 A @KJ 65HF&L I A ' J 65MN I Hz (b) Use  ' @  OA LQP ' @0#132 OA LRP para obter  '  0:132 S '  0:1 @TJ S5HF I A @  ) 5MN I A ' 0 S5MN LVU F ' 0 8 nF (c) ComoXW 2

enquanto que YW

2

LQP , vemos que os novos valores ser˜ao:

[Z  ' 0   '40 65MN I G  Z  '  -:0O'   65MN  G E 36-6.  (a) 2='  0#1   '  0:1 @  \5HF&LV] A @  0  A ' + + J 5MN I Hz ' + + J kHz

(b) Dobrando-se a freq ¨uˆencia temos a reatˆancia fica

di-vidida por 0 :  Z '  0 ' EG E 36-7. 

(a) Para que as reatˆancias sejam as mesmas devemos

ter '  ou, equivalentemente,  '  -@  OA , ou seja '  -^ 

. Portanto, nesta situac¸˜ao encontramos 2_'  0:1 '  0#1 ^  '  0#1a` @ S5HF&L I A @ FS5HF8Lb] A '  : Hz (b)  '   '(0 J G e, obviamente  '   .

(c) Como a freq ¨uˆencia natural de oscilac¸˜ao ´e

2#cd'  0:1 ^ He

comparando2 com2 c

vemos que ambas s˜ao idˆenticas.

P 36-10. A sa´ıda de um gerador de CA ´e dada por

$'f$?% sen @ agah 1i- J A , onde $&%j'k)  V e 'k)  rad/s. A corrente ´e dada porl

@ g A ' , sen @ agmh )1i- J A , onde , '  0

 mA. (a) Quando, ap´osg

'

 , a fem do gerador atinge pela primeira vez um m´aximo? (b) Quando, ap´osg

'

 , a corrente atinge pela primeira vez um m´aximo? (c) O circuito cont´em apenas um elemento al´em do gerador. Ele ´e um capacitor, um indutor ou um resistor? Justifique sua resposta. (d) Qual ´e o valor da capacitˆancia, da indutˆancia ou da resistˆencia, conforme seja o caso?



(a) A fem atinge o m´aximo paraagVh 1i-J '*1i-:0 , ou seja, para g ' )1 J  ' 8on ) ms

(b) Analogamente, a corrente m´aximo ocorre quando

ag.h ):1i-J 'p1i-:0 , ou seja, g ' 1 J  '  0 ms

(c) Comparando os itens (a) e (b) vemos que a corrente

est´a atrasada de 1i-:0

radianos em relac¸˜ao `a fem, de mo-do que o elemento no circuito ´e certamente um indutor.

(d) A amplitude , da corrente est´a relacionada com a amplitude> da voltagem atrav´es da relac¸˜ao>

 ' ,  , onde  '  

´e a reatˆancia indutiva. Como a diferenc¸a de fase ´e exatamente

1i-:0

radianos, temos certeza que existe apenas um elemento no circuito que, como deter-minado acima, ´e um indutor. Assim sendo, a diferenc¸a de potencial atrav´es de tal elemento deve coincidir com a amplitude do gerador de fem, ou seja,>8q

'p$ . Portan-to$[' ,:  e  ' $?% ,: ' )  @  0 S5HF8L I A @)  A ' 8r ) + H P 36-12. 

36.2.2 O circuito


s´erie – (13/28)

P 36-13. (a) Calcule novamente todas as grandezas

pe-didas no Exemplo 36-3, p´ag. 298, supondo que o capa-citor tenha sido retirado e todos os outros parˆametros tenham sido mantidos. (b) Desenhe em escala um dia-grama de fasores semelhantes ao indicado na Fig. 36-6c para esta nova situac¸˜ao.

 (a) Supondo  '  e mantendo inalterados
e  temoss 'ut
v    ' ` @ F A v @ +?n? A  ' F+ 0 G e , ' $ % s ' )  N+ 0 '  wNB+ A  ' xzy{ LRP}|   hM 
~ ' xzy{ LRP | +8onhH F ~ '*0 +8! € (b) Diagrama de fasores:

P 36-14. (a) Calcule novamente todas as grandezas

pe-didas no Exemplo 36-3, p´ag. 298, supondo que o indutor tenha sido retirado e todos os outros parˆametros tenham sido mantidos. (b) Desenhe em escala um diagrama de fasores semelhantes ao indicado na Fig. 36-6c para esta nova situac¸˜ao.  (a) SupondoS '  e mantendo inalterados
e temoss '‚t
v    ' ` @ F A v @ #nn A  '*0) BdG e , ' $ % s ' )  0) B '  w & A  ' xzy:{ LRP | ChM
~ ' xzy{ LRP | 9hƒnn F ~ ' h J n&B €  (b) Diagrama de fasores:

P 36-15. (a) Calcule novamente todas as grandezas

pe-didas no Exemplo 36-3, p´ag. 298, para  '

n:O" F, os outros parˆametros sendo mantidos inalterados. (b) De-senhe em escala um diagrama de fasores semelhantes ao indicado na Fig. 36-6c para esta nova situac¸˜ao e compa-re os dois diagramas.



(a) A reatˆancia capacitiva ´e

  '    '  0#132  '  0#1 @  A @ n#65HF8Lb] A ' ) n?BG

A reatˆancia indutiva continua sendo +8onSG , enquanto que a nova impedˆancia passa a sers

' `
 v @ „hH A  ' ` F  @) n?BhH+8on A  ' F?n…G

A amplitude de corrente ´e

, ' $ % s ' )  NEn ' 8 0 F A Finalmente, o novo ˆangulo de fase ´e

 ' xzy{ LRP | ChM
~ ' xzy{ LRP| +8onh ) n?B F ~ ' n€

(b) As amplitudes de voltagem s˜ao

>‡† ' ,
' @ 8 0 N A @ F A '*) J  V e

>  ' ,  ' @ 8 0 F A @ +8on A ' F+8on V e >  ' ,  ' @ 8 0 N A @ ) n&B A ' +8rFB V Observe que  ˆ  , de modo que

$&%

est´a `a frente de, no diagrama de fasores mostrado aqui:

P 36-17.



Da Fig. 36-11 vemos que as componentes da im-pedˆancia s˜ao sm‰ '
e smŠ '   hM  . Portanto s ' t s  ‰ v s  Š ' `
 v @ HhM A  e xzy{  ' h s Š sa‰ ' ChM
e

que coincidem com as Eqs. 36-23 e 36-26.

P 36-18 A amplitude da voltagem atrav´es de um

indu-tor num circuito
9

pode ser maior do que a ampli-tude da fem do gerador? Considere um circuito
 em s´erie com: $&%<'

F V;
' FCG ;  '  H e  '

}" F. Determine a amplitude da voltagem atrav´es do indutor na ressonˆancia.



A amplitude da voltagem atrav´es do indutor num circuito
9

em s´erie ´e dada por > 

' ,  , com  '   . Na ressonˆancia temos '  - ^  e, por-tanto,   '  ^  '  ` @  A @ 65HF8Lb] A ' FG Na ressonˆancia temos  '

  que, de acordo com a Eq. 36-23, nos fornece uma impedˆancia

s '
e, conseq ¨uentemente, , ' $&% s ' $&%
'  A Assim, temos >  ' ,  ' @  A @ N A ' N V P 36-19. 

A resistˆencia da bobina satifaz xzy{  ' ‹hHS
'   hΠ- @  OA
e

de onde se tira facilmente que

'  xy:{  |   h   _~ '  xy:{ n: €…Ž 0#1 @ B )  A @ 8++ A h  0#1 @ B )  A @ 8B J 5MN&Lb] A ' +BG P 36-20. 

(a) A voltagem atrav´es do gerador ´e )

 Volts, por definic¸˜ao. (b) > † ' ,
   ' @ 8rFB A @ F A DE 0 B8 J € '(0 n? ) V

(c) Considere o diagrama de fasores abaixo:

deste diagrama vemos facilmente que

>  ' ,  sen ' @ 8rFB A @ nn A sen 0 B8 J € ' n? V (d) Analogamente: >  ' h},  sen ' h @ 8rFB A @ + !n A sen0 B  J € ' h}+  ) V (e) > † v >  v >  '40 n? ) v #n?hH+  )'*) 8 V‘ $ % e

P 36-21 Num circuito
9 como o da Fig. 36-2,
' SG ,  '’0 \" F,  '  H e $&%“'”)  V. (a) Para que freq ¨uˆencia angular

c

a corrente ter´a seu valor m´aximo, como nas curvas de ressonˆancia da Fig. 35-6?

(b) Qual ´e este valor m´aximo? (c) Quais s˜ao as duas

freq ¨uˆencias angulares

P

e



para as quais a amplitude da corrente ´e igual `a metade desse valor m´aximo? (d) Qual ´e a meia-largura fracional ['

@  P hŒ  A - c ] da curva de ressoˆancia? 

(a) Para uma dada amplitude

$8•

do gerador de fem, a amplitude, da corrente ´e

, ' $&% t
v @   h P –  A  

Para encontrar o valor m´aximo de , , resolveremos a equac¸˜ao—, -— '  , ou seja, —, —: ' h $&% s I˜z Ž   h   C Ž  v    C '  

O ´unico fator que pode anular-se ´e

 hΠ-@  OA o que acontece para '  - ^ 

. Para o circuito dado en-contramos  '  c '  ^  '(00 J rad/s

(b) Para tal valor (ressonˆancia!) a impedˆancia ´e

s

'

e o m´aximo da corrente ´e

, ' $?%
' )  '  A

(c) Queremos determinar os valores de para os quais

,

'*$&%9-@

0
OA

, ou seja, para os quais $ % t
v @   h P –  A  ' $ % 0
e ou seja,
 v |   h   _~  ' J
 

Desta equac¸˜ao obtemos

|   h    ~  '4)


que, ap´os extrairmos a raiz quadrada e multiplicarmos por  , fornece   ™ ^ ) 9
šhŒ '  e

onde™ indica os dois poss´ıveis sinais da raiz quadrada. Como temos duas equac¸˜oes quadr´aticas, em princ´ıpio temos

J

ra´ızes. Entretanto, somente admitimos ra´ızes positivas o que nos fornece ent˜ao duas soluc¸˜oes. A me-nor raiz ´e

  ' h ^ ) 9
v ^ )  
v J  0  '*0 NB rad/s e

enquanto que a maior raiz ´e

 P ' v ^ ) 9
v ^ )  
v J  0  '*00 + rad/s e

(d) Com isto tudo, a meia-largura fracional pode agora

ser facilmente determinada:

 P hM   c ' 00 +h 0 FB 00 J ' 8 ) B P 36-23 

(a) O ˆangulo de fase ´e

 ' xzy{ LRP}| >  h >  >‡† ~ ' xzy{ LRP}| > Ch >  -:0 >  -:0 ~ ' xzy{ LRP  ' J € (b) Como$?% D‡ ' ,
, obtemos
' $ %    , ' ) M  J €   ) ' n#8on…G P 36-26. 

Como a impedˆancia do volt´ımetro ´e elevada, ele n˜ao ir´a afetar a impedˆancia do circuito quando ligado em pa-ralelo em cada um dos casos. Portanto, a leitura ser´aF Volts em todos trˆes casos.

P 36-27. Mostre que a meia-largura fracional de uma

curva de ressonˆancia (veja o Problema 21) ´e dada apro-ximadamente por ›   c 'uœ )  
e

onde ´e a freq ¨uˆencia angular na ressonˆancia e

›

 ´e a largura da curva de ressonˆancia na metade da amplitude m´axima. Note que

›  - c diminui com
, como mos-tra a Fig. 35-6. Use esta f´ormula para conferir a resposta do Problema 21d.



Usando

P

e



obtidos no Problema 21, determina-mos que›   c '  P hM   c ' 0 ^ ) 9
^  0  '
œ )   ' @ 8 A œ ) @0 8\5HF8Lb] A  ' 8 ) +En48 J 

P 36-28*. O gerador de CA na Fig. 36-12 fornece

0

V (rms) a Hz. Com a chave aberta, como no dia-grama, a corrente est´a avanc¸ada de

0

 € sobre a fem do gerador. Com a chave na posic¸˜ao 1, a corrente est´a atra-sada deN € , sobre a fem do gerador. Quando a chave est´a na posic¸˜ao 2 a corrente ´e de0

A (rms). Determine os valores de
, e . 

S˜ao pedidas trˆes grandezas e s˜ao dadas trˆes situac¸˜oes diferentes. A tarefa, portanto, consiste em usar as trˆes posic¸˜oes da chave para obter um sistema com trˆes equac¸˜oes e resolve-lo.

Chave aberta: Temos um circuito “s´erie” contendo
,



e

, para o qual sabemos que xzy{  'ž>  h > 
'   hƒ -@  OA
'pxzy:{ @ h 0 E€ A  @  A

Chave na posic¸˜ao 1: Neste caso continuamos a ter um

circuito s´erie, por´em agora contendo um capacitor equi-valente eq '*0  . Portanto xzy{  P '   hƒ -@  0 OA
'pxzy:{ N€ @ 0 A

Chave na posic¸˜ao 2: Neste caso o circuito ´e um

osci-lador

, para o qual temos, conforme a Eq. (36-22),

, ' $&% s '  0  ` @  A v  - @  OA  '40  @ ) A

Resoluc¸˜ao das trˆes equac¸˜oes: Usando as duas

primei-ras equac¸˜oes, vemos que

xy:{  P h
xy:{  '  0  
xzy{  P h  0
xy:{  '   0 

Tais express˜oes nos fornecem

   ' 0
| xzy{  P h xy:{ b~7‘*Ÿ
  ' 0
| xy:{  P h  0 xzy{ b~ ‘p¡
e

onde introduzimos as abreviac¸˜oes

Ÿ ‘ 0Q¢xy:{  P h xzy:{ V£ ' 0 ¢ xy:{ FE€h xy:{ @ h 0 € A £ ' + :B ¡ ‘ 0 ¢ xy:{  P h  0 xzy:{  £ ' 0 ¢ xy:{ F € h  0 xy:{ @ h 0  € A £ ' 8on?N 0

As express˜oes acima nos mostram que assim que conhe-cermos
, conheceremos e tamb´em. Da equac¸˜ao (3) obtemos $  % ,  ' s  '
 ¢ Ÿ  v ¡  A e

express˜ao da qual tiramos

facilmente:
' $&% , ^ Ÿ  v ¡  ' J 8 0 n…G Tendo o valor

, das express˜oes acima vemos que

 '  Ÿ
'  @  A Ÿ
'9¤¤¤¤  ' ¡
 ' ¡
 '9¤¤N¤¤

Falta revisar e terminar o c´alculo dos n´umeros... :-))

36.2.3 Potˆencia em circuitos de corrente alternada – (29/43)

E 36-29. Qual o valor m´aximo de uma voltagem, num

circuito de CA, cujo valor m´edio quadr´atico ´e de F Volts?



Da Eq. (36-30) vemos que

> max ' ^ 0 > rms ' ^ 0 F '  J  V

E 36-30. Que corrente cont´ınua produzir´a, num certo

resistor, uma quantidade de calor igual `a produzida por uma corrente alternada cujo valor m´aximo ´e de

0



A potˆencia m´edia dissipada em

por uma corren-te alcorren-ternada ´e dada pela Eq. 36-29: ¥ m´ed

' ,E rms
. Co-mo , m´ed ' , - ^ 0

, onde , ´e a amplitude de corren-te, podemos escrever, de acordo com a Eq. 36-30, que ¥ m´ed

'

,E

-:0

 A potˆencia dissipada no mesmo resistor por uma corrente cont´ınual ´e¥

'

l¦

e, conseq ¨uente-mente, igualando-se os dois valores da potˆencia e resol-vendo paral obtemos

l ' , ^ 0 ' 0  ^ 0 ' + J A E 36-34. 

(a) Da Eq. 36-23 obtemoss

' `
v @   hM  A  '  0 rG

(b) Das Eqs. 36-31 e 36-32, temos:

¥ m´ed ' $  rms s DE  e

que, usando relac¸˜oes da Sec¸˜ao 36-5, fornece

DE  '
s '  0  0 r '  BB8n& Portanto, ¥ m´ed '  0   0 r @ 8BB8#n A ' wN+ kW E 36-35.  , rms ' $ rms s ' $ rms `
v    ' J 0  ` @TJ A v @ )E0 A  ' n?8 A

P 36-36. Mostre matematicamente, em vez de

grafi-camente como na Fig. 36-8b, que o valor m´edio de sen

@

agVh 

A

sobre um n´umero inteiro de ciclos ´e igual a

-:0 .



O valor m´edio pedido ´e

§ sen  ‘  ¨R© -09ª‚«F¬ ­ c sen  @ ag®h¯ A —g ' 0 ¨R© ªu«N¬ ­ c …hšDE @ 0 ag.h 0  A 0 —g ' 0 ¨R© Ž g 0 h  J  sen @ 0 agih 0  A  «N¬ ­ c '  0 h sen @ ¨  © h 0  A v sen @ 0  A 0 ¨  ©  Como¨  © ' ¨  @ 0#1i- A '40 ¨ 1

, ´e f´acil ver que sen @ ¨  © h 0  A ' sen @0 ¨ 1 h 0  A ' h sen @0  A e

e que, portanto, sen

@ ¨  © h 0  A v sen @ 0  A '  , o que fornece, finalmente, § sen  '  0 

P 36-39. Na Fig. 36-13 mostre que a taxa m´edia com

que a energia ´e dissipada na resistˆencia

´e m´axima quando
'*° , onde °

´e a resistˆencia interna do gerador de CA. At´e o momento, t´ınhamos considerado tacita-mente que°±'  .  Como ¥ † ' l 
' | $&% ° v
_~ 
e para minimizar¥ † precisamos igualar —E¥ † -—
a zero, ou seja, —E¥ † —
' $  %² @ ° v
OA  h 0 @ ° v
OA³
´ @ ° v
OA¶µ ' $  % @ ° h
OA @° v
OA I '  e o que fornece
'*° . Nota: certifique-se que

'(°

realmente maximiza¥ † , verificando que—EF¥

† -—
 §  .

P 36-40. A figura abaixo mostra um gerador de 

Ÿ

ligado a uma “caixa-preta” atrav´es de dois terminais. A caixa-preta cont´em um circuito
9

, possivelmente at´e mesmo um circuito com muitas malhas, cujos elemen-tos e ligac¸˜oes n˜ao conhecemos. Medidas realizadas pela parte externa da caixa revelam o seguinte resultado:

$ @ g A ' @ n V A senag l @ g A ' @  0 AA sen @ ag v J 0 € A 

(a)Calcule o fator de potˆencia do circuito. (b) A

circuito da caixa-preta a predominˆancia ´e indutiva ou capacitiva? (d) O circuito da caixa est´a em ressonˆancia?

(e) Deve haver um capacitor na caixa? um indutor? um

resistor? (f) Qual ´e a potˆencia que o gerador fornece pa-ra a caixa-preta? (g) Por que n˜ao se precisa saber o valor de para responder a todas estas quest˜oes?

 (a) ' h J 0 € , o que d´a    '  !n J ) ; (b) Como §

 , temos queag®h·MŒag e, portanto, a corrente est´a na frente da fem;

(c) tg  ' @ [hƒ A -
' tg J 0 € ' h}  J B . Por-tantoSYk , sendo o circuito predominantemente

CAPACITIVO. (d) Em ressonˆancia ter´ıamos   '   , implicando que tg  '  , ou seja, que '  . ComoX¸ '  , n˜ao existe ressonˆancia;

(e) Como o valor da tangente de ´e negativo e finito, temos  ¸ '  bem como
¸ '  , o valor de  n˜ao precisa ser zero. Por´em ele pode eventualmente ser zero. Se existir



¸

'

 ent˜ao ´e necess´ario que

 §   !! (f) ¥ m´ed '  0 $?% ,   ' $ rms, rmsDE  ' $ % ^ 0 , ^ 0    '  0 n 65 @  0 A 5 @ 8on J ) A®¹ ))  J W

(g) ´E que as grandezas dependem de apenas atrav´es de , que ´e DADO. Se tivessem sido dados valores para

, ,

ent˜ao sim ir´ıamos precisar ter para calcular o fator de potˆencia.

36.2.4 O transformador – (44/48)

E 36-44. Um gerador fornece F V ao enrolamen-to prim´ario, com  espiras, de um transformador. Sabendo-se que o enrolamento secund´ario possui : espiras, qual a voltagem no secund´ario?



Use>bº»9¼

'

>&¼:»6º para obter

>bº ' >&¼ | » º » ¼ ~ ' F | : : ~ ' F Volts

E 36-45. Um transformador possui : espiras no prim´ario eF espiras no secund´ario. (a) Sabendo-se que >&¼ ´e



0

 V (mrs), qual ´e o valors de

>‡º , supondo o cir-cuito aberto? (b) Ligando-se o secund´ario a uma carga

resistiva deN G , quais ser˜ao as correntes no prim´ario e no secund´ario?  (a) >‡º ' >?¼ | » º »9¼ ~ '  0  | F : ~ '40  J V (b) , º ' >bº
º ' 0  J V N dG ' 8rF A e , ¼ ' , º | »\º »9¼ ~ ' 8rF | N  ~ 'p)  0 5HF L I A 

E 36-46. A Fig. 36-17 mostra um

“autotransforma-dor”. Ele ´e formado por uma ´unica bobina (com um n´ucleo de ferro). Trˆes “derivac¸˜oes” s˜ao estabelecidas. Entre as derivac¸˜oes © P e©  existem 0  espiras e en-tre as derivac¸˜oes ©  e © I

existem + espiras. Duas derivac¸˜oes quaisquer podem ser consideradas os “ter-minais do prim´ario” e duas derivac¸˜oes quaisquer podem ser consideradas os “terminais do secund´ario”. Escreva todas as relac¸˜oes pelas quais a voltagem prim´aria pode ser transformada numa voltagem secund´aria.



Conex˜oes que aumentam a voltagem: (1) Usando © P ©  como prim´ario e © P © I como se-cund´ario: > P I > P  ' + v 0  0  ' . (2) Usando © P ©  como prim´ario e ©  © I como se-cund´ario: > zI > P  ' + 0  ' J . (3) Usando ©  © I como prim´ario e © P © I como se-cund´ario: > P I > zI ' + v 0  + '  0 .

Conex˜oes que diminuem a voltagem:

Intercambiamdo-se o prim´ario e o secund´ario para ca-da um dos casos acima obtemos os seguintes fatores de transformac¸˜ao: (1)  - '   0 ; (2)  -J ' 8 0 ; e (3)  - 0 ' 8+ .

P 36-47. Um gerador de CA fornece energia para

uma carga resistiva numa f´abrica long´ınqua atrav´es de uma linha de transmiss˜ao com dois cabos. Na f´abrica, um transformador que reduz tens˜ao diminui a voltagem (rms) da linha de transmiss˜ao do valor> ½ para um valor menor, seguro e conveniente para ser usado na f´abrica. A resistˆencia da linha de transmiss˜ao vale 

)

G /cabo e a potˆencia ´e0

: kW. Calcular a queda de voltagem ao longo da linha de transmiss˜ao e a taxa em que a energia ´e dissipada na linha como energia t´ermica quando (a) > ½ ' + kV, (b)>8½ ' + kV e (c)> ½ ' 8+ kV. Comente a aceitabilidade de cada escolha.



(a) A corrente rms no cabo ´e

, rms ' ¥ > ½ ' 0 65MN L I +S5MN I '*) r 0 A

A queda rms de voltagem ´e›

> ' , rms
' @ ) w 0 A @ 0 A @ 8 )  A ' B V e

enquanto que a taxa de dissipac¸˜ao ´e

¥®¾ ' ,  rms
' @ ) w 0 A  @ 0 A @ 8 )  A ' &+ W

(b) Neste caso a corrente rms no cabo ´e

, rms 'O' 0 :65HF L I +S5HF I '*)  0 A de modo qe a queda rms de voltagem ´e›

> ' @)  0 A @0 A @   )  A ' NB V e

e a taxa de dissipac¸˜ao ´e

¥ ¾ ' @ )  0 A  @ 0 A @ 8 )  A ' 8! :+E kW

(c) Agora a corrente rms no cabo ´e

, rms 'O' 0 :65HF L I 8+\5HF I '*)  0  A de modo qe a queda rms de voltagem ´e›

> ' @)  0  A @0 A @ 8 )  A ' 8rFB kV e

e a taxa de dissipac¸˜ao ´e

¥ ¾ ' @)  0  A  @0 A @ 8 )  A ' :+  kW

Deste n´umeros fica claro que tanto a taxa de dissipac¸˜ao de energia quanto a queda de voltagem aumentam a me-dida que > ½ decresce. Portanto, para minimizar estes efeitos, a melhor escolha dentre as trˆes oferecidas ´e usar-se> ½

'

+ kV.

P 36-48. Casamento de Imped ˆancias. Na Fig. 36-13,

suponha que a caixa retangular da esquerda represente a sa´ıda de um amplificador de ´audio (alta impedˆancia) com

°S'

F9G . Suponha que
'

N9G represente a bobina de um alto-falante (baixa impedˆancia). Sabemos que que a transferˆencia m´axima de energia para a carga

ocorre quando
'*°

, mas isto n˜ao ´e verdadeiro neste caso. Entretanto, um transformador pode ser usado para “transformar” resistˆencias, fazendo com que se compor-tem eletricamente como se fossem maiores ou menores do que realmente s˜ao. Projete as bobinas prim´aria e se-cund´aria de um transformador que deve ser introduzido entre o “amplificador” e o “alto-falante”, na Fig. 36-13, para que haja o “casamento das impedˆancias”. Qual de-ve ser a raz˜ao entre os n´umeros de espiras?



Temos que o amplificador ´e conectado no prim´ario do transformador enquanto que o resitor

´e conectado no secund´ario. Sendo, º a corrente rms no secund´ario, temos que a potˆencia m´edia fornecida ao resistor

´e ¥ med ' ,Eº
. Sabemos que, º ' @ »O¼ -»\º A , ¼ , onde»O¼ e »6º representam o n´umero de voltas do prim´ario e do se-cund´ario, respectivamente., ¼ representa a corrente rms no prim´ario. Portanto ¥ med ' | , ¼ » ¼ »6º ~ 


Agora desejamos determinar a corrente no prim´ario, que consiste de um gerador com duas resistˆencias em s´erie. Uma das resistˆencias ´e a resitˆencia °

do amplificador, enquanto que a outra a resistˆencia equivalente

eqque representa o efeito do circuito secund´ario no circuito prim´ario. Portanto, , ¼ '¿$.- @° v
eq A , onde $ ´e a fem rms do amplificador. De acordo com a Eq. 36-38,

eq ' @ »O¼ -»\º A 
, de modo que , ¼ ' $ ° v @ »O¼ -»\º A 
e ¥ med ' $  @ » ¼ -» º A 
² ° v @ »O¼ -»\º A 
d´  

Desejamos encontrar o valor de »O¼

-»\º para o qual ¥ med seja m´ınimo. Introduzindo uma vari´avel auxiliar

À ' @ » ¼ -» º A  , temos ¥ med ' $  À
@ ° v À
OA   de modo que —¥ med — À ' $ 
@ ° h À
OA @ ° v À
OA I e

que ´e zero paraÀ 'Y°-
' F -F ' F . Obser-ve que paraÀ

pequeno,¥ medcresce linearmente com

À

e que paraÀ

grande¥ meddecresce proporcionalmente a



-À

. PortantoÀ 'f°-

´e de fato um m´aximo, n˜ao um m´ınimo. ComoÀ ' @ »9¼ -»\º A

 , vemos que a potˆencia m´axima ´e alcanc¸ada para @ »9¼ -»\º A  ' F , ou seja, quando »9¼ » º ' N8