Lista 1

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DMAT/UFES - Lista para P1 (05/04/2018) - Álgebra linear - 1o_{/2018 - Jaqueline da Costa Ferreira} Se¸cão 1.1 pág 9 1. Resolva os sistemas. (a)    x + 7y = 4 2x − 9y = 2 (b)    x − 3y = 4 −3x + 9y = 8

2. Determine o ponto que pertence `as retas x + 4y = 7 e x − y = −1.

3. A matriz associada de um sistema linear foi reduzida, por opera¸cões elementares, à forma dada. Em cada caso, prossiga com as opera¸cões elementares apropriadas e de-screva o conjunto solu¸cão do sistema orig-inal. (a)    1 −5 7 0 0 1 3 0 0 0 1 0    (b)      1 −3 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 −2      (c)      1 −1 0 0 −5 0 1 −2 0 −7 0 0 1 −3 −2 0 0 0 1 4      4. Resolva os sistemas. (a)        y + 5z = −4; x + 4y + 3z = −2; 2x + 7y + z = −1. (b)        x − 5y + 4z = −3 2x − 7y + 3z = −2 −2x + y + 7z = −1

5. Determine se os sistemas s˜ao poss´ıveis. N˜ao os resolva completamente. (a)        −2x − 3y + 4z = 5 y − 2z = 4 x + 3y − z = 2. (b)              x − 6y = 5 y − 4z + w = 0 −x + 5y + z + 5w = 3 −y + 5z + 4w = 0

6. Determine os valores que h tais que a ma-triz seja a mama-triz completa associada a um sistema linear poss´ıvel.

(a) " 1 −3 h −2 6 −5 # (b) " 1 h −2 −4 2 10 #

7. Encontre um equa¸c˜ao envolvendo g, h e k que fa¸ca com que a matriz completa corre-sponda a um sistema poss´ıvel.

(a)    1 −4 7 g 0 3 −5 h −2 5 −9 k    8. As retas x − 4y = 1, 2x − y = −3 e −x − 3y = 4 se contam num ´unico ponto? Justifique

Se¸c˜ao 1.2 p´ag 21

1. Determine as matrizes que est˜ao na forma escalonada e as que est˜ao na forma escalon-ada reduzida. (a)    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0    (b)    0 1 1 0 0 1 0 0 0    (c)    1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   

(2)

(d)      1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0     

2. Fa¸ca os escalonamento das matrizes para obter a forma escalonada reduzida.

(a)    1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 7    (b)      1 3 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1     

3. Determine a solu¸c˜ao geral dos sistemas cuja as matrizes s˜ao dadas.

(a) " 1 0 2 5 2 0 3 6 # (b) " 0 3 6 9 −1 1 −2 −1 #

4. Determine os valores de h tais que a matriz seja matriz associada de um sistema linear poss´ıvel. (a) " 1 4 2 −3 h −1 # (b) " 1 h 3 2 8 1 #

5. Escolha h e k tais que o sistema tenha nen-huma solu¸cão, uma única solu¸cão e infini-tas solu¸cões.

(a)    x + hy = 1 2x + 3y = k (b)    x − 3y = 1 2x − hy = k 6. Verdadeiro ou falso:

(a) Em alguns casos, a matriz pode ser escalonada em mais de uma matriz em forma escalona reduzida, usando

sequˆencias diferentes de opera¸c˜oes el-ementares.

(b) O algoritmo de escalonamento s´o se aplica a matrizs completas de um sis-tema linear.

(c) Se uma linha de uma forma escalon-ada de uma matriz completa for [0, 0, 0, 5, 0], ent˜ao o sistema linear as-sociado ´e imposs´ıvel.

(d) A forma escalonada de uma matriz ´e ´

unica. (e)

7. Suponha que um sistema de equa¸cões lin-eares com menos equa¸cões que incógnita seja poss´ıvel. Explique por que é preciso que ele tenha infinitas solu¸cões.

8. Dê um exemplo de um sistema impossivel com duas equa¸cões e três incógnitas. 9. Um sistema como mais equa¸cões que

incógnitas pode ser poss´ıvel? Dê um exem-plo com três equa¸cões e duas incógnitas. Se¸cão 1.3 pág 33 1. Calculo u + v e u − 2v. (a) u = " 3 2 # , v = " 2 −1 # (b) u = " −1 2 # , v = " −3 −1 #

2. Represente graficamente os seguintes ve-tores: u, v, −v, −2v, u + v, u − v e u − 2v. (a) u = " 1 −2 # , v = " 2 −5 # (b) u = " 2 2 # , v = " −6 1 #

3. Obtenha um sistema de equa¸c˜oes que seja equivalente a equa¸c˜ao vetorial dada.

(a) x    3 1 −5   + y    −2 0 4   + z    8 −6 3   

(3)

4. Escreva uma equa¸c˜ao vetorial que seja equivalente ao sistema de equa¸c˜oes dado.

(a)        2x − y + 5z = 3 x − 8y + 2z = 5 4y − 4z = 5 (b)        x + 6y + 2z = 5 5x − 6z = 7 3x − y + 4z = −1

5. Determine de b ´e combina¸c˜ao linear de a1, a2 e a3. (a) a1 =    1 0 1   , a2 =    −2 3 −2   , a3 =    −6 7 5   , b =    11 −5 9    (b) a1 =    1 0 −2   , a2 =    −4 3 8   , a3 =    2 5 −4   , b =    3 −7 −3   

6. Determine se b ´e combina¸c˜ao linear dos ve-tores formados pelas colunas das matriz A.

(a) A =    1 0 2 −2 5 0 2 5 8   , b =    −5 11 −7    (b) A =    1 0 5 −2 1 −6 0 2 8   , b =    2 −1 6    7. Fa¸ca uma descri¸c˜ao de Span{v1, v2} para

os vetores v1 =    2 6 −4   , v2 =    −3 −9 6    8. Sejam a1 =    1 3 −1   , a2 =    −5 −8 2   , b =    3 −5 h  

. Para que valores de h o vetor b

pertence ao plano gerado por a1 e a2.

9. Sejam v1 =    1 0 −2   , v2 =    −2 1 7   , u =    h −3 −5  

. Para que valores de h o vetor u pertence ao plano gerado por v1 e v2.

10. Sejam u = " 2 −6 # e v = " 2 1 # . Mostre que " h k #

pertence a Spanu, v para todos os valores de h e k. 11. Sejam A =    2 0 6 −1 8 5 1 −2 1   , b =    10 3 3   , seja W o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares das colunas de A.

(a) O vetor b est´a em W ?

(b) Mostre que a terceira coluna de A pertence a W .

12. Verdadeiro ou falso. (a) o vetor 1

2v1 ´e um exemplo de com-bina¸c˜ao linear de v1 e v2.

(b) o conjunto Span{u, v} pode sempre ser visualizado como sendo um plano passando pela origem.

(c) qualquer lista de cinco n´umeros ´e um vetor de R5_.

(d) Spam{u, v} cont´em a reta passando por u e pela origem.

(e) perguntar se o sistema, cuja a matriz completa é [a1 a2 a3 b], tem solu¸cão é

o mesmo que perguntar se o vetor b pertence a Span{a1, a2, a3}.

1. Determine se o produto est´a definido. Se sim, calcule. (a) " 2 4 3 5 # " 5 −3 #

(4)

(b) " 5 2 1 −4 4 7 #    1 1 1    (c)    3 −8 −1 5 2 −3       −4 1 0    (d)    −2 9 0    " r s #

2. Escreva os sistema da forma Ax.

(a)        3x − y + 4z = 1 −4x + y − 5z = 0 y − 3z = 6 (b)        3y − 2z + w = 0 x − 2y + 6z = 0 7x + y − 5z − 8w = 0

3. Dados A e b escreva Ax = b na forma de uma equa¸c˜ao vetorial

(a) A =    2 4 −6 0 1 3 −3 −5 7   , b =    2 5 −3    4. Resolva as equa¸c˜oes Ax = b do exerc´ıcio

anterior. Escreva a solu¸c˜ao na forma de um vetor.

5. Escreva a equa¸c˜ao matricial na forma de equa¸c˜ao vetorial e vice-versa.

(a) = " 4 −2 −5 9 −7 1 −8 −3 #      2 6 −1 0      (b) x    −4 1 4   + y    3 −5 2   =    −2 0 3    6. Sejam u =    −5 −3 −6    e A =    3 5 1 1 −2 8    . O vetor u pertence ao plano R3 _{gerado pelas}

colunas de A? Justifique sua resposta.

7. Sejam A = " −3 1 6 −2 # e b = " b1 b2 # . Mostre qye a equa¸cão Ax = b não é pos-sivel para todo vetor b, descreva o con-junto de todos os b para os quais Ax = b é poss´ıvel.

8. As colunas do exerc´ıcio anterior geram o R3? Justifique. 9. As colunas de    0 0 2 0 −5 1 4 6 −3    geram o R3? Justifique. 10. Sejam v1 =      1 0 −1 −0      , v2 =      0 1 0 −1      , v3 =      1 0 0 −1      . O conjunto {v1, v2, v3} gera o R3? 11. Verdadeiro ou falso

(a) O vetor b é uma combina¸cão linear das colunas uma matriz A se e so-mente se a equa¸cão Ax = b tem pelo menos uma solu¸cão.

(b) A equa¸cão Ax = b é poss´ıvel se a ma-triz completa [Ab] tem uma posi¸cão pivo em cada linha.

(c) Se as colunas de uma matriz A, m×n, geram o Rm_{, ent˜}_{ao a equa¸c˜}_{ao Ax = b}

´

e poss´ıvel para cada b do Rm_.

(d) toda combina¸c˜ao linear de vetores pode sempre ser escrita na forma Ax para alguma matriz A e algum vetor x. 12. Seja u =    3 8 4   , v =    1 3 1    e w =    1 1 3  

(5)

5v − w = 0. Use esse fato (sem usar opera¸c˜oes de linhas) para resolver equa¸c˜ao    3 1 8 3 4 1    " x y # =    1 1 3   

13. Seja A uma matriz 5 × 3, seja y um vetor de R3 _{e z um vetor de R}5_{. Suponha que}

Ay = z. Que fato permite concluir que o sistema Ay = 4z ´e poss´ıvel?

14. Determine se as colunas da matriz geram R4. (a)      7 2 −5 8 −5 −3 4 −9 6 10 −2 7 −7 9 2 15      (b)      12 −7 11 −9 5 −9 4 −8 7 −3 −6 11 −7 3 −9 4 −6 10 −5 12      Se¸c˜ao 1.5 p´ag 51

1. Dertermine se o sistema tem solucão não trivial. Tente usar a menor quantidade poss´ıvel de opera¸cões elementares.

(a)        x − 5y + 9z = 0 −x + 4y − 3z = 0 2x − 8y + 9z = 0 (b)        3x + 6y − 4z − w = 0 −5x + 8z + 3w = 0 8x − y + 7w = 0

2. Escreva o conjunto solu¸cão do sis-tema homogêneo dado na forma vetorial paramétrica. (a)        x − 3y − 2z = 0 y − z = 0 −2x + 3y + 7z = 0 (b)        x + 2y − 7z = 0 −2x − 3y + 9z = 0 −2y + 10z = 0

3. Descreva todas as solu¸cões de Ax = 0 da forma vetorial paramétrica, onde A é linha equivalente a matriz dada.

(a)      1 −5 0 2 0 −4 0 0 0 1 0 −3 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0      (b) h 2 −8 6 i

4. Suponha que o conjunro solu¸c˜ao de um certo sistema de equa¸c˜oes pode ser escrito como x = 4 − 3z, y = −1 + 6z como z livre. Use vetores para descrever esse con-junto como uma reta no R3.

5. Descreva as solu¸cões dos seguintes sis-temas. Fa¸ca também uma descri¸cão geométrica do conjunto solu¸cão e compare com o exerc´ıcio 2. (a)        x − 3y − 2z = −5 y − z = 4 −2x + 3y + 7z = −2 (b)        x + 2y − 7z = 0 −2x − 3y + 9z = 4 −2y + 10z = −8

6. Descreva o conjunto solu¸c˜_{ao, no R}3_{, de}

x + 3y − 8z = 0; compare com o conjunto solu¸c˜ao de x + 3y − 8z = 7.

7. Determine a equa¸c˜ao param´etrica da reta por a e paralelo a b. (a) a = " 3 −8 # , b = " −1 5 # (b) a = " −4 0 # , b = " 2 −3 #

8. Determine a equa¸c˜ao param´etrica da reta M por p = " −1 4 # e q = " 0 7 # 9. Verdadeiro ou falso.

(a) Uma equa¸cão homogênea é sempre poss´ıvel.

(6)

(b) A equa¸c˜ao x = p + tv descreve a reta por v paralela a p.

(c) Se x é uma solu¸cão não-trivial de Ax = 0, então toda componente de x é não nula.

10. Seja A uma matriz m × n e sejam u e v vetores do Rn _{com a propriedade de que}

Au = 0 e Av = 0. Seja w = u + v. Calcule Aw e mostre que Aw = 0. Qual o fato de que você precisa para mostrar isso? Se¸cão 1.6 pág 60

1. Determine se os vetores s˜ao linearmente dependentes. Justifique. (a)    3 0 0   ,    −3 2 3   ,    6 4 0    (b)    −2 0 0   ,    8 0 −5   ,    −1 0 3    (c) " 1 −5 # , " −2 10 # (d)    0 −6 1   ,    0 4 −2   ,    −8 −4 3   

2. Determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente depen-dente. (a)    1 3 −2 0 3 10 −7 1 −5 −5 3 7    (b)    0 2 6 8 1 −3 −4 1 −1 4 7 3    (c)      3 4 3 −1 −7 7 1 3 −2 0 2 −6      (d)      1 1 0 4 −1 0 3 −1 0 −2 1 1 1 0 −1 3     

3. Determine os valores de h para os quais os vetores s˜ao linearmente dependente.

(a)    1 3 −3   ,    −2 −4 1   ,    −1 1 h    (b)    0 1 −2   ,    2 −5 7   ,    2 0 h    (c) " 1 −5 # , " 4 7 # , " −2 h #

4. Determine se os vetores s˜ao linearmente in-dependentes. Justifique. (a) " 5 5 # , " 6 1 # , " 2 4 # , " 3 −6 # (b)    16 −8 12   ,    −4 2 −4    (c)    2 −5 1   ,    −6 5 3   ,    0 0 0    (d)    6 2 −8   ,    3 1 −2    (e) " 3 1 # , " 9 −1 # , " 6 7 # , " 3 4 # , 5. Obtenha matrizes A e B, 3 × 2, tais que

Ax = 0 tenha apenas a solu¸cão trivial e Bx = 0 tenha uma solu¸cão não-trivial.

6. Dado A =      2 3 5 −5 1 −4 −3 −1 −4 1 0 1      , observe

que a terceira coluna ´e a soma das duas primeiras. Determine uma solu¸c˜ao n˜ ao-trivial de Ax = 0.

7. Use tantas colunas de A =      8 −3 0 −7 2 −9 4 5 11 −7 6 −2 2 −4 4 5 −1 7 0 10      , quantas dor

(7)

poss´ıvel para montar uma matriz B com a propriedade de que a equa¸cão Bx = 0 tenha apenas solu¸cão trivial. Fa¸ca a veri-fica¸cão resolvendo a equa¸cão Bx = 0. 8. Verdadeiro ou falso

(a) As colunas de uma matriz A são lin-earmente independentes se a equa¸cão Ax = 0 tem solu¸cão trivial.

(b) Se S é um conjunto linearmente de-pendente, então cada vetor é uma combina¸cão linear dos outros vetores de S.

(c) As colunas de qualquer matriz 4 × 5 s˜ao linearmente dependentes.

(d) Dois vetores s˜ao linearmente depen-dentes se e somente se pertencem a mesmo reta pela origem.

(e) Se um conjunto contém menos ve-tores do que o número de compo-nentes de cada vetor, então o con-junto é linearmente independente. Se¸cão 1.7 pág 68 1. Seja A = " 3 0 0 3 # , defina T : R2 _{→ R}2

por T (x) = Ax. Determine as imagens por T de u " 1 5 # e v = " −4 −1 # . 2. Sejam A =    2 0 0 0 2 0 0 0 2   , u =    1 0 −3    e v =    5 −1 4   . Defina T : R 3 → R3 _por

T (x) = Ax. Calcule T (u) e T (v).

3. Com T definida por T (x) = Ax, encontre um x cujo imagem por T é b, e determine se este x é único. (a) A =    1 0 −1 3 1 −5 −4 2 1   , b =    0 −5 −6    (b) A = " 1 0 3 −2 1 −3 # , b = " −4 9 # (c) A =      1 0 3 0 1 −4 3 2 1 −2 −1 −2      , b =      1 −5 −7 3      4. Seja A uma matriz 7 × 5. Quais os valores

de a e b de modo que T : Ra _{→ R}b _possa

ser definida por T (x) = Ax?

5. Quantas linhas e colunas ´e preciso que a matriz A tenha de modo que possa definir uma aplica¸c˜_{ao do R}3 _{no R}4 pela regra T (x) = Ax?

6. Encontre todos os x do R4 _{que s˜}_ao

apli-cados no vetor nulo pela transforma¸cão x → Ax, onde A =    1 3 4 −3 0 1 3 −2 3 7 6 −5   . 7. Sejam b =    1 −1 7    e A a matriz do ex-erc´ıcio anterior. O vetor b está na imagem da transforma¸cão linear T (x) = Ax. 8. Sejam A = " −1 0 0 −1 # , u = " 5 2 # e v = " 3 −1 #

. Seja T (x) = Ax para todo x do R2_.

(a) Num sistema de coordenadas retan-gulares, represente graficamente os vetores u, v, T (u) e T (v).

(b) Dê uma descri¸cão geométrica do efeito da aplica¸cão de T num vetor de R2.

9. Use um sistema de coordenadas re-tangulares para representar graficamente " 4 2 # , " −5 −2 #

e suas imagens pela trans-forma¸cão T . Dê uma descri¸cão geométrica do efeito da aplica¸cão de T num vetor do R2.

(8)

(a) T (x, y) = " −1 0 0 1 # " x y # (b) T (x, y) = " 0 1 1 0 # " x y # (c) T (x, y) = " 2 0 0 1 # " x y #

10. Seja T : R2 _{→ R}2 _{uma transforma¸c˜}_ao

linear que leva u = " 1 5 # em " 2 0 # e v = " 3 1 # em " 1 −4 #

. Use o fato de que T ´e linear para determinar as imagens por T de 2u, 3v e 2u + 3v.

11. Seja T : R2 → R3 _{uma transforma¸c˜}_ao

lin-ear que aplica u = " 1 0 # em    7 −3 1    e aplica v = " 1 1 # em    2 0 4   . Use o fato de que T ´e linear para determinar as imagens por T de 3u, −2v e 3u − 2v. 12. Sejam v = " x y # , v1 = " −7 4 # e v2 = " 3 −8 #

e seja T : R2 _{→ R}2 _uma

trans-forma¸c˜ao linear que aplica v em xv1+ yv2.

Determine uma matriz A tal que T (v) ´e igual a Av para todo v.

13. Verdadeiro ou falso.

(a) Uma transforma¸cão linear é um tipo especial de fun¸cão.

(b) Se A é uma matriz 3 × 5 e T é um transforma¸cão definida por T (x) = Ax, então o dom´ınio de T ´_{e o R}3. (c) Tota a transformada matricial é uma

transformada linear.

(d) Uma transforma¸cão linear preserva as opera¸cão de soma de vetores e multi-plica¸cão por escalar.

14. Sejam u, v vetores do R3 linearmente inde-pendentes, e seja P o plano por u, v e 0. A equa¸cão paramétrica de P é x = su + tv (com s, t ∈ R). Mostre que uma trans-forma¸c˜_{ao linear T : R}3 _{→ R}3 _transforma

P num plano por 0, numa reta por 0 ou na origem do R3_{. O que precisa acontecer}

com T (u) e T (v) para que a imagem do plano P seja um plano?

15. Defina f : R → R por f (x) = mx + b. (a) Mostre que f ´e uma transforma¸c˜ao

linear quando b = 0.

(b) Detrmine uma propriedade de uma tranforma¸c˜ao linear que ´e violada quando b 6= 0.

16. Uma transforma¸c˜_{ao afim T : R}n _{→ R}m _´_e

da forma T (x) = Ax+b, onde A ´e uma ma-triz m×n e b ´_{e um vetor de R}m_{. Mostre que}

T não é uma transforma¸cão linear quando b 6= 0.

17. Mostre que a transforma¸cão T definida por T (x, y) = (4x − 2y, x + 4, 5y) não é linear. 18. As matrizes dadas determinam uma trans-forma¸cão linear. Determine todos os x tais que T (b) = 0. (a)      2 −3 10 9 7 −5 6 −7 −5 4 −2 2 8 −9 7 15      (b)      4 −4 −9 −9 6 −8 −7 5 5 −7 −4 9 −9 11 16 7      19. Seja b =      12 −9 7 3      e seja A a matriz do

item a) do exerc´ıcio anterior. Será que b está na imagem de x → Ax?Se for o caso, determine um x cuja a imagem pela trans-forma¸cão linear seja b.

(9)

1. Determine a matriz canˆonica de T .

(a) T : R2 _{→ R}3_{, T (1, 0) = (4, −1, 2) e}

T (0, 1) = (−5, 3, −6).

(b) T : R3 _{→ R}2_{, T (1, 0, 0) = (1, 4)}

e T (0, 1, 0) = (−2, 9) e T (0, 0, 1) = (3, −8).

(c) T : R2 → R2_{, faz uma rota¸c˜}_{ao de}

pontos, no sentido hor´ario de π radi-anos. (d) T : R2 _{→ R}4_{, T (1, 0) = (1, 2, 0, 5) e} T (0, 1) = (3, −6, 1, 0). (e) T : R2 _{→ R}2_{, T (1, 0) = (1, 2) e} T (0, 1) = (0, 1) (cisalhamento verti-cal).

(f) T : R3 → R3_{, projeta cada ponto}

(x, y, z) verticalmente no plano xy (onde z = 0).

(g) T : R2 _{→ R}2_{, fas uma rota¸c˜}_{ao de}

pon-tos, no sentido anti-hor´ario, de π/4 radianos e, depois, fas uma reflex˜ao no eixo y.

2. Mostre que T ´e uma transforma¸c˜ao linear determinando a matriz que implementa a

transforma¸c˜ao.

(a) T (x, y, z, w) = (x + y, y + z, z + w, 0) (b) T (x, y) = (5y − x, 0, 3x + y, x)

(c) T (x, y, z, w) = (3x − 4y + 8z)

3. Seja T : R2 → R2 _{tal que T (x, y) =}

(x + y, 4x + 7y). Determine v tal que T (v) = (−2, −5).

4. Determine se as transforma¸c˜oes do ex-erc´ıcio 1 ´e injetora e sobrejetora.

5. Determine se a transforma¸cão T cuja a ma-triz é dada é injetora e justifique

     −5 10 −5 4 8 3 −4 7 4 −9 5 −3 −3 −2 5 4     

6. Determine se a transforma¸cão T cuja a ma-triz é dada é sobrejetora e justifique

       4 −7 3 7 5 6 −8 5 12 −8 −7 10 −8 −9 14 3 −5 4 2 −6 −5 6 −6 −7 3       