|x| |y|,∀x, y∈X, e com toda as sequˆencias de Cauchy convergindo

Curso: MAT 221- C ´ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira

Per´ıodo: Segundo Semestre de 2008

S ´ERIES E SOMAS EM ´ALGEBRAS:C([a, b]),M_n×n(R), M_n×n(C), etc.

O PRODUTO DE S ´ERIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES

Abaixo,X´e umK-espa¸co vetorial normado com produto tal que|xy| ≤ |x| |y|,∀x, y∈X, e com toda as sequˆencias de Cauchy convergindo. Exemplos: o espa¸co de fun¸c˜oes cont´ınuas C([a, b]) com norma do sup, espa¸cos de matrizes quadradas reais ou complexas,R,C, etc.

1. Associatividade para S´eries. Se

+∞

Px_n converge ax, a convergˆencia ´e associativa:

+∞

X

n=1

x_n= (x₁+...+x_n1) +....+ (x_np−1+1+...+x_np) +... .

Uma fam´ılia em X, indexada em I, I um conjunto de ´ındices qualquer, ´e uma fun¸c˜ao x:I→X, denotada por (xi) ou (xi)I. Toda sequˆencia ´e uma fam´ılia.

2. Somabilidade: A fam´ılia (xn) ´esom´avel, com somax∈X, se∀ >0 existeF⊂N, F

finito, tal que para todoF ⊂N, F finito e F ⊃F, (*) |x−P

F

xn|< . Nota¸c˜ao: P

N

x_n =x. Ainda, (x_n) ´e absolutamente som´avel se existe M >0 tal que P

n∈F

|xn| ≤ M, ∀F ⊂N,F finito. Temos,P

|xn|=sup{P

F

|xn|: F finito}.

O conjunto das sequˆencias som´aveis sobreX ´e um espa¸co vetorial.

3. SeP

N

xn=xe|P

F

xn−z| ≤M, (zeM fixos) ∀F ⊂N,F finito, ent˜ao,|x−z| ≤M. Em particular temos,|P

N

x_n| ≤P

|xn|.

4. A fam´ılia (xn) satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchyse dado >0 existeF ⊂N, F finito, tal que para todo subconjunto finitoF⁰⊂N, disjunto deFtemos,

|X

F⁰

xn|< .

(a) Se (xn) satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy, a sub-fam´ılia (xn)_n∈J, J ⊂N,tamb´em.

(b) Toda sequˆencia som´avel satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy.

Prova: O ´ıtem (a) ´e trivial.

(b) Dado >0, sejaxa soma,Fdado pela somabilidade eF⊂I, disjunto deF. Ent˜ao,

|X

F

x_n| ≤ | X

F∪F

x_n−x| + |x−X

F

x_n|< +

Obs: Se (x_n) satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy ent˜aoI_n={i∈N:|x_i|> ¹_n}´e finito.

5. (O Crit´erio de Cauchy) (xn) ´e som´avel se, e s´o se, satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy.

Prova: A ’ida’ j´a foi provada quando da defini¸c˜ao da condi¸c˜ao de Cauchy.

(⇐) SejaI_ncomo na observa¸c˜ao acima ey_n=P

In

x_i. Dado >0, existeFcontido emN e finito, tal que seF⊂N,F finito eF∩F=∅,

|X

F

xi|< .

ParaN tq. F⊂IN em > n≥N,F⊂IN ⊂In⊂Im,F =Im−In ⊂(F)^c e

|ym−yn|=|X

Im

xi−X

In

xi|=|X

F

xi|< .

Logo, ∃ limy_m = x ∈ X, |x−y_n| ≤ ,∀n ≥ N. Provemos P

I

x_i = x. Se F ⊃ I_N, F⁰=F−IN ⊂(F)^c e portanto,

|x−X

F

x_i|=|x−X

I_N

x_i−X

F⁰

x_i| ≤ |x−y_N|+|X

F⁰

x_i|< +

A seguir temos um teorema que, emK, a prova utilizou a ordem emR. Abaixo a prova vale emK-espa¸cos vetoriais normados completos (sequˆencias de Cauchy convergentes).

6. TeoremaToda sequˆencia (xn) absolutamente som´avel ´e som´avel.

Prova Utilizemos o crit´erio de Cauchy. Se Σ|xi|=sup{ΣF|xi|:F ´e finito} =M <∞, dado >0 sejaF finito tal queM− <P

F

|x_i| ≤M. Ent˜ao, seF ´e finito eF∩F=∅,

M− < X

F

|xi| ≤ X

F

|xi|+X

F

|xi| ≤M ,

donde,|P

F

x_i| ≤ P

F

|x_i|= (P

F

|xi|+P

F

|xi|)−P

F

|xi| ≤M−(M −) = Observa¸c˜aoA ’volta’ n˜ao vale, em geral, se o espa¸co n˜ao ´eK.

7. Associatividade da SomabilidadeSeja (xn) som´avel com soma xe (Jλ)_λ∈Λ, parti¸c˜ao deN. Ent˜ao, (xi)_i∈Jλ ´e som´avel (∀λ∈Λ) e, se P

J_λ

xi =y_λ, (yλ) ´e som´avel com somax:

Xxn=X

Λ

(X

J_λ

xi).

ProvaAfirma¸c˜ao 1: Para todo J⊂N, (xn)_J ´e som´avel.

Prova: Seja >0 e F⊂Ncomo na condi¸c˜ao de Cauchy para (x_n). Ent˜ao, F^J =F∩J

´

e tal que se F^J ⊂J ´e finito e disjunto deF^J ent˜aoF^J∩F=∅e,|P

F^J

xn|< . Logo, a fam´ılia (x_n)_J satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy e ´e, som´avel.

Afirma¸c˜ao 2: Se I1eI2 formam uma parti¸c˜ao deN, y1 =P

I₁

xn ey2 =P

I₂

xn est˜ao bem definidos ey1+y2=x. A prova ´e simples.

Afirma¸c˜ao 3: yλ=P

Jλ

xi´e bem definido, j´a vimos, e (yλ)_Λ satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy.

Prova: Dado > 0 seja F como na condi¸c˜ao de Cauchy para (x_n)_N. Consideremos G={λ1, ..., λn} ⊂Λ tais queF⊂Jλ₁∪...∪Jλ_n. SeG⊂Λ ´e finito eG∩G=∅, temos:

X

G

yλ=X

G

X

J_λ,λ∈G

xi= X

S

GJλ

xi ,

e,∀ G finito emS

GJ_λ temosG ∩F=∅; logo,|P

G

x_i|< e, pelo item 3 acima,

|X

G

y_λ|=|X

G

X

Jλ,λ∈G

x_i| ≤ .

Pelo crit´erio de Cauchy existe Σ_Λyλ=y.

Afirma¸c˜ao 4: y=x.

Prova: Dado >0 sejamF⊂NeG⊂Λ finitos e tq: ∀F e∀Gfinitos,F ⊃F,G⊃G,

|X

F

xi−x|< , |X

G

yλ−y|< .

Sejam λ1, ...., λn tais que F ⊂ Jλ₁ ∪....∪Jλ_n e G = {λ⁰₁, ..., λ⁰_m}. Podemos supor {λi}ⁿ₁ ={λ⁰_j}^m₁. Pelo item 3, na express˜ao `a esquerda e desenvolvendo a outra temos,

| X

∪ⁿ_iJ_λi

xi−x| ≤ , |

n

X

i

X

J_λi

xi−y|<

Pela associatividade para Λ finito (afirma¸c˜ao 2), conclu´ımos queP

∪ⁿ_iJ_λixi=Pn i

P

J_λixi. Logo,|x−y| ≤2

8. Teorema (Produto de S´eries) Sejam

∞

Pxn = x e

∞

Pym = y s´eries absolutamente convergentes emK. A fam´ılia{x_ny_m}´e absolutamente som´avel (logo, som´avel) e,

∗

X

N×N

xnym = (

∞

Xxn)(

∞

Xym).

(A) Dada uma ordem arbitr´aria (permuta¸c˜ao) emN×N, a s´erie Σxnym satisfaz : (i) ´e absolutamente e comutativamente convergente axy.

(ii) todo rearranjo, finito ou n˜ao (total associatividade), converge absolutamente axy.

(B) O produto de Cauchy das s´eries dadas ´e a s´erie obtida pela associa¸c˜ao :

∞

X

n=0

Xⁿ

p=0

x_py_n−p

=

∞

X

n=0

X

i+j=n

x_iy_j=

∗

X

N×N

x_ny_m.

Obs: Este produto surge no c´alculo dos coeficientes da multiplica¸c˜ao de s´eries de potˆencias.

9. A Exponencial de uma Matriz ,

10. SejaMn=Mn(K) a ´algebra das matrizes quadradas de ordemncom coeficientes emK. A exponencial de uma matrizA∈M_n ´e dada por

e^A=

∞

X

0

A^m m!.

(a) A defini¸c˜ao ´e bem dada.

(b) Se AeB comutam ent˜aoe^A+B =e^Ae^B.

(c) Para todaA∈Mn,e^A´e invers´ıvel e (e^A)⁻¹=e^−A;e⁰=I.

(d) Se W ∈Mn´e invers´ıvel ent˜ao,e^W−1AW =W⁻¹e^AW,∀A∈Mn. (e) ´E de classeC^∞ a aplica¸c˜ao exp :Mn(K)→Mn(K) definida por,

exp(X) =

∞

X

0

X^m m! .

(f) A fun¸c˜aoR3t7→f(t) =e^tA∈Mn ´e deriv´avel ef⁰(t) =Ae^tA.

(g) Para todaX ∈M_n, det(e^X) =e^{(T rX)}, sendoT r(X) o tra¸co da matrizX

Observa¸c˜ao: Preferindo, resolva apenas em R. Utilize, ou n˜ao, a equivalˆencia entre a norma||.||2 emRⁿ

2 e a norma operador||.||op, identificandoMn comL(Kⁿ):

dadosT eS em∈L(Kⁿ), T S=T◦S ∈L(Kⁿ) e ||T S|| ≤ ||T|| ||S||.

Nota¸c˜ao: ||X||2 ≤ α||X||op e ||X||op ≤ β||X||2 ,αeβ positivos.

Sugest˜ao: Direto em C, utilizando a norma operador.

Resolu¸c˜ao:

(a) ParaA∈M_n(Cⁿ), com a norma operador ´e claro que a s´eriePAⁿ

n! ´e uniformemente absolutamente convergente sobre os compactos.

(e) As derivadas deX^N,X ∈Mn(C) s˜ao uniformemente limitadas em|X| ≤M. ParaA(t) eB(t) fun¸c˜oes deRemM_n(C) temos _dt^dA(t)B(t) =A⁰(t)B(t) +A(t)B⁰(t).

ParaErs= [δrs]∈Mn(R), ErseiErs, 1 ≤r, s≤n, formam uma base de Mn(C).

Chamemo-as Ej,1 ≤ j ≤ 2n². Temos X^N = X...X, ´e fun¸c˜ao de 2n² vari´aveis, cada entrada um polinˆomio. Derivando na dire¸c˜aoEj, obtemos

∂

∂ Ej

(X^N) =

p=N−1

X

p=0

X^pEjX^N−p−1.

(A indu¸c˜ao) Se f(x) =f1(X)...fN(X) ´e um produto matricial, tal quefi(X) ´eX ou uma matriz constante. A derivada parcial na dire¸c˜aoEij ´e dada por

∂

∂Ej

f(X) =

r=N

X

r=1

f1(X)...d

dtfr(X+tEj)|t=0....fN(X).

Ent˜ao, uma derivada parcial de ordem 1 ´e soma deN parcelas de representa¸c˜ao igual af e assim, uma de ordem 2 tˆemN² parcelas na soma e a de ordemk,N^k parcelas nas quais|Ej| ≤1 e, para o fatorX,|X| ≤M. Logo, para a derivada _∂X^∂k_α,|α|=k,

∞

X

N=0

∂^k

∂X^α(X^N N!)

≤

∞

X

N=0

N^kM^N N! .

A s´erie num´erica acima ´e convergente (teste da raz˜ao), a das derivadas converge uniformemente e absolutamente sobre os compactos. Logo, a exponencial ´eC^∞. (f) Temos,

e^(t+h)A−e^tA h =e^tA

e^hA−I h

=e^tA

A+hA²

2! +....+h^N−1A^N N! +....

.

A s´erie na express˜ao acima converge aA, parah→0.

(g) Definindo parat∈R,f(t) = det(e^tX) temos

f(t+s) = det(e^tX+sX) = det(e^tXe^sX) = det(e^tX) det(e^sX) =f(t)f(s). As fun¸c˜oes C^∞ tais queϕ(t+s) =ϕ(t)ϕ(s),∀t, s,s˜ao dadas por ϕ(t) =e^λt. Logo, f(t) = det(e^tX) =e^λt,λ=f⁰(0). Por outro lado,

e^tX =I+tX+t²X²

2! +...=I+tX+t²F_X(t), ondeF_X =Fij(t) ´e uma fun¸c˜aoC^∞ deRemMn. Assim,

det(e^tX) = det[δij+txij+t²Fij].

O determinante ´e multilinear e o desenvolvimento de det[δ_ij+tx_ij+t²F_ij] pelas col- unas (todas soma de trˆes ’sub-colunas’) ´e um polinˆomio emte, termo independente det[δij] = 1. Pondo t² em evidˆencia, temos a parcela t²g(t), g um polinˆomio. O termo de grau um s´o surge se na expans˜ao h´a uma ´unica ’sub-coluna’ multiplicada por t, e as demais, colunas de I. H´a n possibilidades. Se a primeira coluna est´a multiplicada port, as demais s˜ao as segunda, terceira,... colunas de I. O determi- nante desta primeira matriz ´e, expandindo pela primeira linha,tx11. Para as demais a argumenta¸c˜ao ´e an´aloga e obtemostx₂₂, ...tx_nn

Logo,f(t) = det(e^tX) = 1 +T r(X)t+t²g(t) e portanto,λ=f⁰(0) =T r(X)