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1 1 1
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1 COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE PRISMAS - GABARITO
1) Obtenha a área total e o volume do sólido geométrico dado pela figura.
Solução. Calculando a área total, temos:
A
t= [4(3x3)+8(1x3)+2(1x3)+2(1x1)]-[2(1x3)]= 62cm
2.
Calculando o volume de uma das duas hastes verticais do sólido, temos:
V = (3.3.1) = 9cm
3. A haste central possuirá volume V = (1.1.3) = 3cm
3. Logo o volume total será: V
t= 2(9) + 3 = 21cm
3.
2) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade.
Calcule o seu volume em litros.
Solução. Calculando o volume da piscina será: V = (50.25.3) = 3750m
3. Convertendo em decímetros, temos: 3750000dm
3. Sabemos que 1dm
3= 1 litro. Logo, em litros, a capacidade da piscina é 3750000 litros.
3) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. Qual a medida da sua aresta em centímetros?
Solução. O volume da caixa é V = 216dm
3. Como é cúbica, V = a
3= 216. Logo a
3216 6 dm . Convertendo em centímetros, temos: a = 60cm.
4) A área total de um cubo é 24 m
2. Calcule o volume desse cubo.
Solução. A área total do cubo é A
t 6 a
2 24 m
2. Calculando a aresta da base temos:
m 2 4 a 6 4
a 24 24 a
6
2
2 . Logo V a
3 2
3 8 m
3.
5) Qual é a distância entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?
Solução.
A distância é dada por: é d
2 2
2 2
2 8 . Calculando a raiz quadrada temos:
2 2 8
d .
6) Num prisma reto, cada uma das bases é um retângulo em que um lado é o dobro do outro. A altura do prisma mede 12 cm e a área total, 352 cm
2. Calcular as dimensões do prisma.
Solução. A área total é dada por: A
t 2 ( 2 x )( 12 ) 2 ( x )( 12 ) 2 ( x )( 2 x ) 352 cm
2. Resolvendo, temos: 48 x 24 x 4 x
2 352 4 x
2 72 x 352 0 .
Dividindo a equação por 4, temos: x
2+ 18x – 88 = 0. Ou (x + 22)(x – 4) = 0.
As raízes são: x = -22 ou x = 4. Como x representa uma medida, deve ser positivo.
Logo as dimensões são: 4cm e 8cm.
7) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e que tem área total de 80m
2. O lado dessa base quadrada mede:
a) 1m b) 8m c) 4m d) 6m e) 16m
Solução. A base é um quadrado de aresta desconhecida x. A área total do prisma será expressa pela fórmula: A
t= 2(3x + 3x + x
2) = 2x
2+ 12x. Igualando essa expressão a 80, temos:
!ok 2 4
14 x 6
) negativo ( 2 0
14 x 6
2 196 x 6
2
)80 )(1(
4 36 x 6
0 40 x6 x 80 x12 80 x2
A
x12 x2
A 2 2
t 2 t
.
8) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8m e 1,2m. Um indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075m. Então o volume do indivíduo, em m
3, é:
a) 0,066 b) 0,072 c) 0,096 d) 0,600 e) 1,000 Solução. A figura mostra uma representação onde o valor da altura h
inicial do tanque não importa e sim a variação. A parte sombreada Corresponde ao deslocamento de água igual ao volume do indivíduo.
Esse volume de água é calculado pelo produto das dimensões:
1 , 2 .( 0 , 8 ).( 0 , 075 ) 0 , 072 m
3V
9) Um paralelepípedo retângulo tem 142cm
2de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60cm. Sabendo que seus lados estão em progressão aritmética, eles valem em centímetros:
a) 2, 5, 8 b) 1, 5, 9 c) 12, 20, 28 d) 4, 6, 8 e) 3,5,7 Solução. Uma progressão aritmética com número ímpar de termos pode ser representada de forma a facilitar cálculos como: (x – r), (x), (x + r) onde r é a razão. Cada termo é a medida de uma aresta e no paralelepípedo há quatro arestas com mesma medida num total de 12 arestas. Considerando a soma de
todas as medidas como 60, temos:
5 60 60: 12
12 )3 .(4 ) ( )
(4:
x Soma x
x x r x x r x Soma
.
Utilizando a fórmula da área total, temos:
2 4
2 r 4
4 r 8 r2 142 r2
150 142 r
75 2
142 : A
r 75 2 r 25 r5 25 r5 25 2 )r 5 ).(
r 5(
5).
r 5(
)5 ).(
r 5(
2:
A
2 2
2 2
t
2 2
t
Logo, as dimensões são: (5 – 2) = 3, 5 e (5 + 2) = 7.
OBS: Repare que se consideramos a razão negativa ainda assim teremos: (5 – (-2)) = 7, 5 e (5 + (-2) = 3.
10) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm de comprimento. De cada um dos
quatro cantos desse retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha área lateral de 204 cm
2.
Solução. Observa-se pela figura que o valor de “x” está limitado entre 0 e 8, pois em caso contrário o termo (16 – 2x) seria negativo.
Expressando a área lateral, temos:
8
292
) 4 46 ( 2 ) 2 16 2 30 ( 2
) 2 16 )(
( 2 ) 2 30 )(
( 2
x x A
x x
x x
x A
x x
x x
A
l l l
Igualando a expressão ao valor 204cm
2, vem:
cm x R x
el incompatív x
x
x x
x x
A x
x x A
l l
3 : 4 3
12 4
11 23
8 4 5,8
34 4
11 23 4
121 23 4
408 529 23
)2(
2
)51 )(2(
4 23 )23
0 ( 51 23 2 204 8 204 92
8
92 2 2 2 2
11) A figura ilustra um prisma ABCDEFGH de base retangular de dimensões 4 e 7. A face ABFE é perpendicular ao plano da base do prisma e a face BCGF forma um ângulo de 30° com o plano da base do prisma. Qual o volume do prisma, se a aresta BF mede 6?
Solução. A base é retangular e sua área vale (4) x (7) = 28cm
2. A altura do prisma é calculada pela razão trigonométrica envolvendo o
sen30º. Temos: 3
2 . 1 6 º 30 6 6
º
30 h h sen
sen .
O volume será o produto da área da base pela altura. V = (28) x (3) = 84.
12) Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm de altura e cuja área lateral é igual a área da base.
Solução. Seja x o lado do hexágono. A área lateral é calculada como o sêxtuplo da área de um retângulo de lados 6 e x: A
l 6 ( x )( 6 ) 36 x .
A área da base é o sêxtuplo da área de um triângulo eqüilátero de lado x:
2 3 x 3 4
3 6 x A
2 2
b
.
Pelas informações do problema A
l= A
b.
Logo, 8 3
9 3 72 3 3 3
3 72 3 3 x 72 2
3 x x 3
36
2 .
O volume é o produto da área da base pela altura. Logo, substituindo os valores, temos:
3 2
