Solução viscosa de um modelo de difusão não linear para processamento de imagens

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

unesp

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA

_________________________________________________________________________ Rua Cristóvão Colombo, 2265

Solução Viscosa de um Modelo de

Difusão não Linear para

Processamento de Imagens

Valter Gallo Nascimento Reis

Dissertação apresentada ao Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade

Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Campus

de São José do Rio Preto, São Paulo, para a obtenção

do Título de Mestre em Matemática Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Maurílio Boaventura

Reis, Valter Gallo Nascimento.

Solução viscosa de um modelo de difusão não linear para

processamento de imagens / Valter Gallo Nascimento Reis – São José do Rio Preto : [s.n.], 2003

117 f. : il. ; 30 cm.

Orientador: Maurílio Boaventura

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista. Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Equações diferenciais parciais não-lineares. 2. Diferenças finitas. 3. Análise numérica. 4. Equações diferenciais parciais nãolineares -Solução de viscosidade. I. Boaventura, Maurílio. II. Universidade Estadual Paulista. Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título.

À Deus.

Aos meus pais.

À Leila, minha esposa.

À Patrícia e à Paula, minhas filhas.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ter me dado tanta força e Saúde.

Ao professor Dr. Maurílio Boaventura

pela orientação, incentivo, amizade e confiança na

escolha deste trabalho.

Ao professor Dr. Alagacone Sri Ranga

pela amizade, paciência, simplicidade e confiança

depositadas em mim.

A todos os professores do DCCE que de

uma maneira indireta contribuíram para a elaboração

deste trabalho.

A todos os funcionários do DCCE e da

secretaria da Pós-Graduação, particularmente a

Rosana e o Oscar.

Aos amigos Pós-Graduandos do DCCE e do

departamento de matemática do IBILCE.

Ao Fábio Carvalho da Interball – O Point

do Internauta – Catanduva-SP e Bruno da

Microlins – Catanduva-SP , pela digitação do

trabalho.

Aos meus amigos e minha família que sempre

me apoiaram.

Resumo

O objetivo deste trabalho é apresentar a prova do Teorema de Existência e Unicidade de Solução, no contexto de soluções Viscosas, de um novo Modelo de Difusão Anisotrópica proposto recentemente para eliminação de Ruídos e Segmentação de Imagens Digitalizadas.

Palavras-Chave: Espaço L ∞ envolvendo tempo, espaço de Sobolev, equação diferencial parcial, solução viscosa, estimativas, convolução, suavização.

Abstract

The objective of this work is to present the proof of the Theorem of Existence and Uniqueness of Solution in the context of Viscosity Solutions, of a new model of anisotropic diffusion recently proposed to noise elimination and segmentation of digitalized images.

Key Words: L ∞ space involving time, Sobolev space, partial differential equation, viscosity solution, estimates, convolution, smoothings.

Sumário

Introdução

01

I – Definições e Fatos Básicos

03

I.1 – Função Gaussiana

03

I.1.1 – Distribuição Normal (ou Gaussiana) Unidimensional

03

I.1.2 – Distribuição Normal (ou Gaussiana) Bidimensional

04

I.2 – Multi – Índice

05

I.2.1 – Definição

05

I.2.2 –

D u x

α

( )

05

I.3 – Medida de Lebesgue

07

I.3.1 – Medida de Lebesgue no

\

N

07

I.3.2 – Medida de Lebesgue no

_\

2

₀₈

I.3.3 – Funções Mensuráveis e Integração

10

I.5 – Espaços Funcionais

15

I.5.1 – Espaços das Funções Contínuas

15

I.5.2 – Espaços das Funções Mensuráveis

L

p

15

I.5.3 – Espaço de Sobolev

W

k p,

16

I.6 – Funções Lipchitz e

W

1.∞

19

I.7 – Espaços Abstratos Envolvendo Tempo

20

II – Solução de Viscosidade

22

II.1 – EDP de 1ª Ordem

22

II.1.1 – Motivação

22

II.1.2 – Teorema de Arzela – Ascoli

23

II.1.3 – Definição de Solução de Viscosidade da Equação de Hamilton –

Jacobi

26

II.1.4 – Definição Alternativa de Solução de Viscosidade

26

II.2 – EDP de 2ª Ordem

29

II.2.2 –Definição e Propriedades de Cobertura Semicontínua Superior e

Inferior

32

II.2.3 – Definição de Soluções Viscosas para EDP de 2ª Ordem

32

II.2.4 – Princípio do Máximo para Funções Semicontínuas

35

II.2.5 – Problemas Parabólicos

41

III – Modelo Matemático

44

III.1 – Descrição do Modelo

44

III.2 – Estudo da Função

g

45

III.3 – Estudo da Função

1 2

g

48

III.4 – O Termo de Difusão

49

III.5 – Estimativas

53

IV – Existência e Unicidade do Modelo

57

IV.1 – Adequação do Modelo Proposto

57

IV.2 – Teorema de Existência e Unicidade

59

IV.3.2 – Passo 2:-

u

Suave é Equicontínua

61

IV.3.3 – Passo 3:- Existência de Solução Viscosa

76

IV.3.4 – Passo 4:- Unicidade da Solução Viscosa

79

V – Implementação Numérica do Modelo e Exemplos

102

V.1 – Método de Diferenças Finitas

102

V.2 – Discretização do Modelo

107

V.3 – Exemplos

112

VI – Conclusões

115

Introdução

A evolução de vários modelos existentes na literatura nos processos de eliminação de ruídos e segmentação de imagens que seguiram a corrente teórica, baseada em equações de difusão, se deu a partir de uma estrutura única formulada a partir de MALIK e PERONA [17] e através de substituições e acréscimos de termos, exploraram as estruturas dessas equações diferenciais parciais com o objetivo de se obter resultados superiores.

Seguindo esta linha evolutiva, foi apresentado recentemente um novo Modelo de Equação de Difusão não Linear por Barcelos, Boaventura e Silva Jr. [3] dada pela expressão:

(

*

)

(

1

)(

)

t u u g u G u div g u I u σ λ  _∇  = ∇ ∇ _ _− − − ∇   (1) onde

• g =g u

(

*∇Gσ

)

é uma função decrescente satisfazendo g

( )

0 = e 01 ≤ ≤ ;g 1 • σ é o tamanho do filtro utilizado na função gaussiana;

• λ é um parâmetro, tomado neste modelo igual ao desvio padrão do ruído.

Descrevendo os termos componentes deste modelo, temos do lado direito da equação a primeira parcela representa o modelo proposto por Alvarez, Lions e Morel [2], composto de dois termos não lineares, i é, um quase linear u div u

u

 ∇  ∇ _ _

∇

  e um outro termo não local g u

(

*∇Gσ

)

, motivando o objetivo deste trabalho que consiste na prova da existência e unicidade da solução, demonstrada no contexto de soluções viscosas. O conceito de soluções viscosas será tratado no capítulo III.

denominado seletor de moderação. O objetivo deste termo linear de (1) é agir de forma seletiva, recuperando as características iniciais da imagem com ruídos I mais intensamente nas regiões de fronteira do que em relação as regiões homogêneas.

Observamos que este modelo consiste em aplicar seletivamente o modelo de Alvarez, Lions e Morel nas regiões em que se existe maior suavização da imagem e fazer o termo forçante atuar mais incisivamente nas regiões de contorno, sendo nessas regiões

0

g ∼ o que implica em

(

1−g

)

∼ . Ao contrário nas regiões homogêneas onde 1 g ∼ de1 modo que

(

1−g

)

∼ , conseqüentemente, o termo forçante será inexpressivo,0 possibilitando uma melhor suavização na imagem.

Este trabalho vem a completar o trabalho apresentado pos Silva Jr. [18]. Muitos conceitos apresentados em [18] não serão aqui repetidos.

Quanto a organização deste trabalho temos:

No Capítulo I teremos os resultados preliminares, principalmente os espaços que trabalharemos como os espaços _{L envolvendo tempo, espaço de Sobolev, e outros}p

resultados importantes que serão muito comuns como Convolução e Suavização de funções, função Gaussiana, Multi-Índice, Medida de Lebesgue e funções Mensuráveis.

No Capítulo II descreveremos o necessário do nosso principal ferramental que são as Soluções Viscosas.

No Capítulo III apresentamos o Teorema de Existência e Unicidade de Soluções Viscosas, enunciado e demonstração, o detalhamento da função g e uma outiva forma para o termo quase linear da equação (1).

No Capítulo VI teremos a implementação numérica e finalmente no Capítulo V efetuaremos a conclusão do trabalho.

Capítulo I

Definições e Fatos Básicos

I.1 - Função Gaussiana (Meyer, P.L. [14])

O processo de eliminação de ruídos em imagens baseia-se na eliminação dessas interferências através de filtros. Uma função comumente usada para filtragem de altas freqüências, isto é, filtros passa-baixa, é a Função Gaussiana.

I.1.1 – Distribuição Normal (ou Gaussiana) Unidimensional

Definição (I.1.1): A variável aleatória contínua unidimensional X, que assume todos

os valores reais −∞ < < ∞ , tem uma distribuição normal (ou Gaussiana) se sua funçãox

densidade de probabilidade for da forma:

2 1 2 1 ( ) 2 x G x e µ σ σ πσ −   − _ _ = −∞ < < ∞ . x (I.1.1) Os parâmetros média aritmética µ e desvio padrão σ satisfazem a condição µ

−∞ < < ∞ e σ > .o

Notação: _{N ∼}

(

_{µ σ,} 2

)

_{onde µ é a média aritmética e σ é a variança.}2 Propriedades da Função Gaussiana

a) ( ) 0G xσ ≥ para −∞ < < ∞ e x Gσ( )xdx 1

∞

−∞ =

∫

;

I.1.1.1 – Expressão de G_{σ( )x} para o caso de µ =0: 2 2 1 2 1 ( ) 2 x G x_σ e σ πσ − = , _{N ∼}

(

_o,σ2

)

_{. (I.1.2)}

I.1.2 – Distribuição Normal (ou Gaussiana) Bidimensional

Definição (I.1.2): Seja X=

(

X X uma variável aleatória contínua bidimensional,₁, ₂

)

tomando todos os valores no plano euclidiano. Diremos que X=

(

X X tem uma₁, ₂

)

distribuição normal bidimensional se sua função densidade de probabilidade conjunta for dada pela expressão

(

)

( ) ( )( ) 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ₂ 1 , 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x G x x e µ µ µ _ρ µ σ σ σ σ ρ σ σ πσ σ ρ _{ −  − −  − } _{   } − _{ } − +_{ } −     = − (I.1.3) para −∞ < < ∞x₁ e − ∞ < x₂< ∞ , onde • 1 x µ −∞ < < ∞ , 1 0 x σ > , • 2 x µ −∞ < < ∞ , 2 0 x σ > , • − < < ,1 ρ 1 •

(

)

1 2 1, 2 0 x x Gσ σ x x ≥ e Gσ σx₁ x₂

(

x x dx dx1, 2

)

1 2 1 ∞ ∞ −∞ −∞ =

∫ ∫

. Propriedades: a)

(

)

1 2 1, 2 x x z G= _{σ σ} x x é uma superfície;

b) z c= (constante) corta a superfície em uma elipse;

c) Se ρ = e 0 σ_x1 =σ_x2 = essa elipse se transformaria em uma circunferência.σ Expressão de

(

)

1 2 1, 2 x x G_{σ σ} x x para o caso de 1 2 0 x x µ =µ = , 1 2 x x σ =σ = e σ ρ = :0

(

)

2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 , 2 x x G_σ x x e σ πσ  +  −       = . (I.1.4)

Nas EDP a função G_σ (ou G_σ2) é conhecida como Núcleo de Poisson, sendo

propícia para se criar filtros de sinais. O filtro Gaussiano é obtido através do produto de convolução (descrito no item I.4 a seguir) da função a ser filtrada u com a função Gaussiana G_σ denotado por *u G_σ.

I.2 – Multi-Índice (Evans, L.C.[9]) I.2.1 – Definição (I.2.1):

Seja : U_{u →}R _x∈UC N e _u∈C (U)k _.

Um vetor da forma α =

(

α α₁, ,...,₂ α_N

)

, onde cada componente α é um inteiro não_i negativo, é chamado um multi-índice de ordem α α α= ₁+ ₂+ +... α_N. (I.2.1)

I.2.2 – Dado um Multi-Índice α, define-se:

1 1 ( ) D ( ) ... N N u x u x x x α α α α ∂ ≡ ∂ ∂ . (I.2.2)

I.2.2.1 – Se k é um inteiro não negativo

{

}

D ( )k_{u x ≡} D ( ) |α_{u x α =k é a coleção de todas derivadas parciais de ordem k}

e

(

)

1 2 2 D ( )k D ( ) k u x ≡

∑

_{α =} αu x .

(

1,0,0,...,0

)

α = 1 ( ) D ( )u x u x x α ₌∂ ∂

(

0,1,0,...,0

)

α = 2 ( ) D ( )u x u x x α ₌∂ ∂

(

0,0,0,...,1

)

α = D ( ) ( ) N u x u x x α ₌∂ ∂ 1 D , , N u u u u x x ∂ ∂  =_{ }≡ ∇ ∂ ∂

  é chamado vetor gradiente (I.2.2) e b) 2k = então α = .2

(

2,0,0,...,0

)

α = 2 ₂ 1 ( ) D ( )u x u x x α ₌∂ ∂

(

1,1,0,...,0

)

α = 2 1 2 ( ) D ( )u x u x x x α ₌∂ ∂ ∂

(

1,0,1,...,0

)

α = 2 1 3 ( ) D ( )u x u x x x α ₌∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) N N N N _{N x N} u x u x u x x x x x x u x u x u x u x x x x x x ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂ ∂ ∂ ∂}      =   ∂ ∂ ∂   _{∂ ∂ ∂ ∂ ∂}    …

I.3 – Medida de Lebesgue (Evans, L.C.[9])

I.3.1 – Medida de Lebesgue no N

A medida de Lebesgue fornece uma maneira de descrever o tamanho ou volume de certos subconjuntos de N_.

Definição (I.3.1): Uma coleção M de subconjuntos de N _{é chamado uma}

σ − álgebra se

i) ,_φ N _{∈ M , onde φ denota o conjunto vazio,}

ii) Se A∈ M então N _{− ∈ M ,A}

iii) Se

{ }

A_{k k}∞₌₁⊂ M , então 1 , k k k k r A A ∞ ∞ = = ∈

∪ ∩

M.

Teorema (I.3.1) (Existência de medida de Lebesgue e conjuntos mensuráveis de

Lebesgue)

Existe uma σ − álgebra M de subconjuntos de N _{e um mapeamento}

. :M→[0,+∞[ com as seguintes propriedades:

i) todo subconjunto aberto de N _{e todo subconjunto fechado de} N

pertence a M ;

ii) se B é qualquer bola em N_{, então B é igual ao volume N−}

dimensional usual de B ;

iii) se

{ }

A_{k k}∞₌₁⊂ M e os conjuntos

{ }

A_{k k}∞₌₁ são dois a dois disjuntos, então

_∪

∞ A =

∑

∞ A (Aditivamente Contável). (I.3.1)

Observações:

1) Um conjunto é chamado contável se, e somente se, é finito ou enumerável.

2) De ii e iii, observamos que ( )m A (medida do conjunto A) é igual ao

volume de algum conjunto A com contorno suave por partes. 3) Deduzimos de (I.3.1) que

a) φ = e0 b) 1 1 k k k k A A ∞ ∞ = = ≤

∑

∪

(subaditivamente contável),

para alguma coleção contável de conjuntos mensuráveis

{ }

A_{k k}∞₌₁⊂ M .

Se uma propriedade vale em N_{, exceto para um conjunto mensurável com medida}

zero, dizemos que a propriedade vale quase em toda parte, abreviadamente " . "a e .

I.3.2 – Medida de Lebesgue dos Conjuntos Planos (Kolmogorov, A.N. e Formin, S.V. [11])

Definição (I.3.2):- Denomina-se medida exterior do conjunto A o número

*_{( ) ( )}

inf

k k A P k A m P µ ⊂

=

∑

onde o ínfimo toma-se sobre todos os recobrimentos de A mediante sistemas enumeráveis de retângulos.

Observações:

1) Se na definição, tomássemos recobrimentos constituídos não somente de retângulos, mas de conjuntos elementares quaisquer (em quantidade enumerável) obteríamos o mesmo valor para _µ*_{( )A , dado que qualquer conjunto elementar é} uma reunião finita de retângulos disjuntos.

Definição (I.3.3): Um conjunto plano é elementar, se puder ser representado como a

união de um número finito de retângulos disjuntos.

Definição (I.3.4): Definimos a medida '( )m A para os conjuntos elementares

mediante o seguinte procedimento. Se _k

k

A=

_∪

P , onde P são retângulos disjuntos, então_k

'( ) ( )_k

k

m A =

∑

m P . Observações:

1) m A não depende do modo de decomposição de A na reunião de um'( ) número finito de retângulos _j

j Q

k k

A=

_∪

P =

_∪

.

2) Em particular a medida 'm coincide com a medida originária m (pois A é um retângulo). Portanto a medida 'm é positiva e aditiva.

Teorema (I.3.2) Seja A um conjunto elementar e

{ }

A um sistema enumerável de_n

conjuntos elementares tal que _n

n

A⊂

_∪

A então '( ) '( )_n

n

m A ≤

∑

m A .

Definição (I.3.5): A propriedade da medida 'm , estabelecida pelo Teorema (I.3.1)

(dizendo que a medida de um conjunto não excede a soma das medidas dos conjuntos que constituem um recobrimento enumerável deste) chama-se semi-aditiva.

OBSERVAÇÃO: Da semi-aditividade resulta a chamada aditividade seqüencial ou σ − aditividade que consiste no seguinte: se um conjunto elemental A puder ser representado como a reunião de um conjunto enumerável de conjuntos elementares disjuntos A n_n

(

=1, 2,...

)

∞

Teorema (I.3.3) Se _n

n

A⊂

_∪

A onde

{ }

A é um sistema enumerável de conjuntos,_n

então *( ) *( )_n

n

A A

µ ≤

∑

µ .

Definição (I.3.6): Um conjunto A chama-se mensurável (no sentido de Lebesgue)

se, dado qualquer ε > , existir um conjunto elementar B tal que 0 µ* A B

(

∆ < .

)

ε

A função *µ , considerada somente sobre os conjuntos mensuráveis denomina-se medida de Lebesgue. Denotamo-la µ .

Observações:

1) A noção de mensurabilidade que introduzimos tem um significado intuitivo bastante claro. Afirmar que um conjunto é mensurável equivale a dizer que este pode ser “aproximado com a precisão desejada” mediante conjuntos elementares assim introduzimos a classe M de conjuntos mensuráveis e uma função µ , a medida de Lebesgue definida sobre esta classe.

2) A totalidade dos conjuntos mensuráveis M é estável por reuniões e intersecções enumeráveis (isto é, constitui uma σ − álgebra).

3) A função µ é σ − aditiva sobre M .

I.3.3 – Funções Mensuráveis e Integração (EVANS, L.C.[9])

Definição (I.3.7): Seja :_f N _{→ . Dizemos que f é uma função mensurável se}

( )

1 _U

f− _{∈ M para cada subconjunto aberto U ⊂ .}

Note em particular que se f é contínua, então f é mensurável.

Agora se f é uma função mensurável não negativa, é possível, por uma aproximação de f por funções simples, para definir a integral de Lebesgue

∫

_N fdx (isto está de acordo com a integral se f é contínua).

Se f é mensurável, mas não é necessariamente não negativa, definimos

N fdx N f dx N f dx

+ −

= −

∫

\

∫

\

∫

\ com a condição de pelo menos um dos termos do lado direito ser finito. Para este caso dizemos que f é integrável.

Definição (I.3.8): Uma função mensurável f é integrável se

_∫

_N f dx< ∞

\ .

Teorema (I.3.4) Para que uma função de uma variável real ( )f x seja mensurável é

necessário e suficiente que, para todo número real c o subconjunto

{

x f x: ( )<c

}

seja mensurável.

I.3.4 – Teorema de Convergência para Integrais

A grande vantagem da Teoria de Lebesgue de integração é que os seguintes poderosos Teoremas de Convergência são disponíveis.

Teorema (I.3.5) (Lema de Fatou)

Suponha que

{ }

f_{k k}∞₌₁ são não negativas e mensuráveis. Então inf ( ) inf ( )

NLimk→∞ f x dx Limk ≤ k→∞ N f x dxk

∫

\

∫

\ .

Teorema (I.3.6) (Teorema de Convergência)

Suponha que

{ }

f_{k k}∞₌₁ são integráveis e f_k → em quase toda parte.f

Suponha também que f_k ≤ em quase toda parte para alguma função integrávelg g . Então

_∫

_N f x dx_k( ) →

_∫

_N f x dx( )

I.4 – Convolução e Suavização (Evans, L.C.[9])

Se U_{⊂ \ é aberto e} N _{ε > , colocamos 0 U}

{

_{x U|d x}

(

_{, U}

)

}

ε = ∈ ∂ >ε .

Definição (I.4.1):

i) Vamos definir _η∈C∞(_\N) _por

( )

2 1 1 C e se 1 0 se 1 x _x x x η +   _< ≡   _≥  onde a constante 0

C> é selecionada tal que

_∫

_Nη( )x dx=1

\ .

ii) Para cada ε > colocamos 0 ηε( )x =_ε1_Nη  _εx

  chamamos η de suavizador padrão.

Observação: As funções η são ε C∞(\N) e satisfazem

(

)

( ) 1 ( ) (0, )

Nηε x dx= ηε x ⊂B ε

∫

\ ,

onde (0, )B ε é uma bola fechada com centro 0 e raio ε .

Definição (I.4.2): Se : Uf → \ é integrável localmente, define-se sua suavização * fε =η_ε f em U_ε, isto é,

(

)

(

)

( . ) (0. ) ( ) ( ) ( ) B x B f xε x y f y dy x f x y dy ε ε ε η ε η =

_∫

− =

_∫

− para U x∈ _ε.

Teorema (I.4.1) (Propriedades de Suavizadores)

i) fε_∈C∞(U )_{ε .}

ii) fε → em quase toda parte.f

iii) Se (U)f ∈C , então fε → uniformemente em subconjuntosf

compactos de U. iv) Se 1 p≤ < ∞ e p (U) loc f ∈L , então fε → em f p (U) loc L .

Prova

i) Fixe Ux∈ _ε, 1 i N≤ ≤ e h muito pequeno de modo que x he+ _i∈U_ε. Então

(

)

( )

U 1 1 ( ) i i N f x he f x x he y x y f y dy h h ε ε η η ε ε ε + − ₌   + −   −  −      _{   }  

∫

V 1 1 ( ) i N x he y x y f y dy h η η ε ε ε   + −   −  = _{  −  }      

∫

para algum conjunto aberto V⊂⊂ (V é compacto embutido em U) comoU

1 _i 1 i x he y x y x y h x η η η ε ε ε ε   + − ₋  − _→ ∂  −         _{   } _{∂  }   uniformemente em V, i ( ) f x x ε ∂ ∂ existe e é igual a

(

) ( )

U i x y f y dy x ε η ∂ ₋ ∂

∫

.

Por um argumento similar mostramos que Dαf xε( ) existe e é dado por

(

)

(

)

U

Dαf xε( )=

_∫

Dαη_ε x y f y dy− ( ) x∈U_ε para cada multi-índice α . Isto prova i.

ii) De acordo como Teorema de Diferenciação de Lebesgue 0

r

Lim_→

f

B x r_{( )}, f y

( )

− f x dy

( )

= , em quase toda parte 0 x∈ . (I.4.1)U

Notação:

f

B x r_{( )}, ( ) 1 _{( . )} ( )

( ) N _{B x r}

f y dy f y dy

N r

α

=

∫

(média de f sobre a bola

B(x,r)) e ( )α N = volume da bola unitária em 2 1 2 N N N π =   Γ_ + _   \ .

Fixe deste modo um ponto x. Então

(

)

[

]

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) B x f xε − f x =

∫

_ε ηε x y f y− − f x dy ≤ 1 ( ) ( ) x y f y f x dy C η −  − ≤

∫

f

f y

_{( )}

− f y dy

_{( )}

→ , quando0

iii) Suponha agora que f ∈C(U). Dado V⊂⊂ escolhemosU

V ⊂⊂ W ⊂⊂ U e note que f é uniformemente contínua em W. Assim, o limite (I.4.1) vale uniformemente para x∈ . Conseqüentemente o cálculo acimaV implica que fε → uniformemente em V.f

iv) Em seguida, suponha 1 p≤ < ∞ e p (U)

loc

f ∈L (vide I.5.2) e escolha um conjunto aberto V⊂⊂ U e, como acima, W de modo que V ⊂⊂ W ⊂⊂ U. Afirmamos para >oε suficientemente pequeno que _(W)

(V) p

p _L

L

fε ≤ f . (I.4.2) Para provar isto, notamos que se 1 p< < ∞ e x∈ ,V

(

) ( )

1 1

(

) (

1

) ( )

( , ) ( , ) ( ) p p B x B x f xε _ε x y f y dy _ε x y _ε x y f y dy εη ε η η − =

_∫

− ≤

_∫

− −

(

)

(

_{( , )}

)

1 1_p

(

_{( , )}

(

) ( )

p

)

1_p B xε ηε x y dy B xε ηε x y f y dy − ≤

∫

−

∫

− . Como

(

)

( , ) 1 B xεηε x y dy− =

∫

, esta desigualdade implica

(

) ( )

(

)

V ( ) V ( , ) p p B x f xε dx≤ _εηε x y f y− dy dx

∫

∫ ∫

(

)

( )

(

)

W ( ) , ( ) p p B x W f y _εηε x y dx dy f y dy ≤

∫

∫

− =

∫

,

desde que ε > é suficientemente pequeno, então 0 _(W) (V) p

p _L

L

fε ≤ f .

Agora fixe V⊂⊂ W ⊂⊂ U, δ > , e escolha o g∈C(W) de modo que (W) p L f −g < .δ Então (V) (V) (V) (V) p p P p _L L L L fε− f ≤ fε−gε + gε −g + g− f (W) (V) 2 p _P L L f g gε g ≤ − + − por (I.4.2) (V) 2 g g _LP ε δ ≤ + − .

Como gε → uniformemente em V, temosg

(V) 0 lim sup f f _Lp 2 ε ε→ − ≤ δ , então f f ε _{→ em} p _(U) loc L .

I.5 – Espaços Funcionais (Brezis, H.[6] e Evans, L.C.[ 9])

Seja _{Ω ⊂ \ um aberto e seja ∂Ω sua fronteira:}N

I.5.1 – Com relação ao espaço das funções contínuas usaremos as seguintes notações:

• C( )Ω denomina-se espaços das funções contínuas sobre Ω .

• C ( )_C Ω é o espaço das funções contínuas sobre Ω com suporte compacto.

{

}

C

C ( )Ω = f ∈ ΩC( ); ( ) 0 f x = ∀ ∈Ωx \ K e K⊂ Ω é um compacto • _{C ( )}k _{Ω é o espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis em (Ω ≥ .k 0)}

k 0 C ( ) C ( ) k ∞ ≥ Ω = ∩ Ω .

I.5.2 – Com relação aos espaços das funções mensuráveis utilizaremos as seguintes notações:

• _Lp( )_{Ω denomina-se espaço das funções u mensuráveis sobre Ω e} p u dx

Ω < ∞

∫

para 1 p≤ < ∞ .

• _L1_{( )Ω é o espaço das funções u mensuráveis sobre Ω e u dx} Ω < ∞

∫

, ou seja, das funções Lebesgue integráveis em Ω .

• 1 _{( )}

loc

L Ω é o espaço das funções mensuráveis localmente integráveis.

• L∞( )_{Ω denomina-se espaço das funções u mensuráveis e limitadas em Ω , isto é,} existe C tal que ( )u x ≤ para todo x ∈Ω .C

ess sup u

Ω é o ínfimo de sup ( )g x como extensão sobre todas as funções as quais são iguais a u quase em toda parte.

{

}

{

}

ess sup u inf M m x u x: : ( ) M 0

Ω = > =

Portanto, definimos _Lp( )_{Ω como o espaço linear de todas funções mensuráveis} :

u Ω → \ para as u _Lp_{( )Ω} < ∞ . Então ( )

p

L Ω é um espaço de Banack (vide I.7), desde que identifiquemos duas funções as quais concordam quase em toda parte.

Observação: Se _{f ∈L}1_(\N_{) e g L∈} p_(\N_{) 1 p≤ ≤ ∞ , então}

(

_{f g*}

)

_∈Lp

( )

_\N _e

1

( ) ( ) ( ) * _Lp N _L N _Lp N

f g _\ ≤ f _\ g _\ .

I.5.3 - Espaço de Sobolev _{W ( )}k,p _Ω

I.5.3.1 – Derivadas Fracas

Seja C_C∞

( )

_{Ω denotamos o espaço de funções diferenciáveis infinitamente} :

φ Ω → \ com suporte compacto em Ω . Chamamos uma função φ∈C_C∞

( )

Ω uma função teste.

Motivação para definição de Derivadas Fracas

Suponha que dado uma função _u∈C1

( )

_{Ω , se}

( )

C C

φ_∈ ∞ _{Ω , obtemos pela integração} por partes, a fórmula i=1,2,...,N

(

)

i i

x x

u dxφ u dxφ

Ω = − Ω

∫

∫

. (I.5.1) Não existe condições de contorno desde que φ tenha suporte compacto em Ω e assim desaparece próximo a ∂Ω . Generalizando, se k é um inteiro positivo, _u∈Ck

( )

_{Ω e}

(

1,..., N

)

α = α α é um multi-índice de ordem α α α= ₁+ ₂+ +... α_N, então

( )

D 1 D

u αφdx α αu dxφ

Ω = − Ω

Esta equação vale desde que 1 1 1 D .... N_N N x x α α α α α φ = ∂ ∂ φ

∂ ∂ e podemos aplicar a fórmula (I.5.1) α vezes.

Em seguida examinando a formula (I.5.2), válida para _{u∈C ( )}k _{Ω , pergunta-se se} alguma variante poderia ainda ser verdadeira se u não é k vezes continuamente diferenciável. Agora o lado esquerdo de (I.5.2) faz sentido se u é somente localmente integrável: O problema é que se u não é _{C ( )}k _{Ω , então a expressão D u}α

do lado direito de (I.5.2) não tem obviamente sentido.

Resolvemos esta dificuldade se existir uma função integrável localmente v tal que a fórmula (I.5.2) é uma válida substituindo D uα por v .

Definição (I.5.1): Suponha _, 1

( )

loc

u v L∈ Ω , e α é um multi índice. Dizemos que v é

a ésimaα − derivada parcial fraca de u, escrevemos D u vα = , se D ( 1)

u αφdx α v dxφ

Ω = − Ω

∫

∫

para toda função teste φ_∈C ( )_C∞ _{Ω . (I.5.3)} Em outras palavras, dado uma função u, se existir uma função v tal que (I.5.3) se verifica para toda φ e agindo como D uα _{na fórmula (I.5.2), dizemos que D u v}α _{= no} sentido fraco.

Lema (I.5.1) Uma derivada parcial fraca α −ésima de u, se existir, é unicamente definida para um conjunto de medida zero.

Prova: Suponha que _, 1 _{( )}

loc v v L∈ Ω satisfaça uDαφdx ( 1)α v dxφ Ω = − Ω

∫

∫

e D ( 1) u αφdx α v dxφ Ω = − Ω

∫

∫

 para todo φ∈C ( )_C∞ Ω . Então

(

v v dx

)

φ 0 Ω − =

Definição (I.5.2): O espaço Sobolev _Wk,p

( )

_{Ω 1 p≤ ≤ ∞ e k inteiro não negativo,} consiste de todas as funções localmente integráveis :u Ω → \ tal que para cada multi-índice com α α ≤k, Dαu existe no sentido fraco e pertencem a _Lp( )_{Ω .}

Definição (I.5.3): Um espaço de Hilbert H é um espaço com produto interno

completo.

Observações:-1) Se p=2 usualmente escrevemos _Hk

( )

_{Ω ≡W}k,2

( )

_{Ω k=1,2,...} A letra H é usada, porque _Hk

( )

_{Ω é um espaço de Hilbert.}

2) Doravante identifiquemos funções em _Wk,2

( )

_{Ω as quais concordam quase em} toda parte.

Definição (I.5.4): Se _u∈Wk,p

( )

_{Ω definimos sua norma por}

( ) k,p 1 1 ( ) D D p ess sup D p= p p p _p p u _{u L} k k W k dx u u α α α α α α Ω Ω ≤ ≤ Ω Ω ≤      _{  =  ≠ ∞}     ≡      _∞  

∑

_∫

∑

∑

Teorema (I.5.1) (Propriedades de Derivadas Fracas)

Suponha _{u v, ∈W}k,p

( )

_{Ω , α ≤ , então:k}

i) _{D W}k- ,p

( )

_{e D D}

( )

_{D D}

( )

_D +

u α β u u u

α _{∈ Ω} α ₌ α β ₌ α β para todo multi índice ,α β com α + β ≤ .k

ii) Para cada _{λ µ, ∈\, λu+µv∈W}k,p

( )

_{Ω e}

(

)

Dα λu+µv =λDαu+µD αv α ≤ .k

iv) Se ξ∈C_C∞

( )

Ω , então _{ξ ∈u W}k,p

( )

_{Ω e}

( )

-Dα u D Dβ α βu β α α ξ ξ β ≤   = _{ }  

∑

. v) _Wk,p

( )

_{Ω é um espaço de Banach.}

I.6 – Funções Lipschitz e _W1,∞ _{(Evans, L.C.[9])}

Teorema (I.6.1) (Caracterização de _W1,∞_{). Seja Ω aberto e limitado, com ∂Ω de} classe _{C . Então :}1 _{u Ω → \ é Lipschitz contínua se, e somente se u∈W}1,∞

( )

_{Ω .}

Prova:

( )

⇐

1) Primeiro assuma _{Ω = \ e que u tem suporte compacto.}N

2) Suponha-se _u∈W1,∞

( )

_\N _{. Então u}ε _≡µε_{*u onde µ (o usual}ε suavizador) é suave e satisfaz

( ) ( ). uniformemente quando 0 D _N D _L N L u u u u ε ε ε ∞ ∞  → →   _≤  \ \

Escolha dois pontos ,_{x y∈\}N, _{x≠ y, temos}

( )

( )

1

(

(

)

)

1

(

(

)

)

(

)

0 1 0D 1 d u x u y u tx t y dt u tx t y dt x y dt ε ₋ ε ₌ ε _{+ − =} ε _{+ − −}

∫

∫

e assim

( )

( )

D _{L( )}N u xε −u yε ≤ uε ∞ _\ x y− fazendo ε → , obtemos0

( ) ( )

D _{L ( )}N u x −u y ≤ u ∞ _\ x y− , então u é Lipschitz.

( )

⇒ Por outro lado assuma que u é Lipschitz, podemos provar que u tem essencialmente derivada primeira fraca limitada - _{( )}

( )

i

D N

h L

u ∞ _\ ≤Lip u e assim existe uma

Conseqüentemente, k k k 0 k 0 D D N i N N N h h i x i i h h u dx Limφ u φdx Lim − u dxφ v dxφ → → = = − = −

∫

\

∫

\

∫

\

∫

\ por (I.6.1). A equação acima vale para todo _φ∈C_C∞

( )

_\N _{e assim}

i i x v =u , no sentido fraco (i=1,2,...N). Conseqüentemente, _u∈W1,∞

( )

_\N _.

I.7 – Espaços Abstratos envolvendo Tempo (Evans, L.C.[9])

Estudaremos espaços de Sobolev compreendendo funções mapeando tempo dentro de espaços de Banack em Geral.

Estas definições serão úteis em construções de soluções fracas para EDP linear parabólica e hiperbólica.

Definição (I.7.1): Um espaço de Banack real X é um espaço linear normado

completo

Seja X um espaço de Banack real com norma .

Definição (I.7.2): O espaço _Lp(0, ; )_{T X consiste de todas funções mensuráveis} :[0, ] u T →X com i)

(

( )

)

1 ( , ; ) ₀ p T p p L o T X u ≡

∫

u t dt < ∞ para 1 p≤ < ∞ e ii) _{( , ; )}

( )

0 t ess sup p L o T X T u u t ≤ ≤ = < ∞ .

Definição (I.7.3): O espaço C 0,T ; X compreende todas as funções contínuas

(

[ ]

)

[ ]

: 0,T u → com X _{C 0,T ;([ ] )}

( )

0 t máx X _T u u t ≤ ≤ ≡ < ∞ .

Definição (I.7.4): Seja _{u L∈} 1_{(0, ; )T X . Dizemos que v L∈} 1_{(0, ; )T X é a derivada} fraca de , u u′ = , contanto que v

( ) ( )

( ) ( )

0 ' 0

T T

t u t dt t v t dt

φ = − φ

∫

∫

para toda função teste escalar φ_∈C 0,T_C∞

(

)

_.

Definição

(I.7.5):-i) O espaço de Sobolev _{W (0, ; )}1,p _{T X consiste de todas funções}

(0, ; )

p

u L∈ T X tal que u′ existe no sentido fraco e pertence a _Lp(0, ; )_{T X .}

ii)

(

( )

( )

)

( )

( )

1, 1 0 W (0, ; ) 0 t 1 , ess sup . p T p p p T X T u t u t dt p u u t u t p ≤ ≤  ′  + ≤ < ∞  ≡   _{ + ′  = ∞}   

∫

Capítulo II

Solução de Viscosidade

II.1 – EDP de 1ª Ordem (Lopes e Lopes Filho [13])

II.1.1 – Motivação

A definição de solução de viscosidade é inspirada no Princípio do Máximo para equações elípticas e parabólicas (ver [19]).

Antes de definir solução de viscosidade vamos apresentar, a título de motivação, uma situação em que a definição surge de maneira natural.

Uma estratégia comum para obter soluções da equação de Hamilton – Jacobi (II.1.1) consiste em regularizar a equação pela adição de um pequeno termo difusivo e obter soluções de (II.1.1) que sejam limites das soluções do problema regularizado quando

0 ε → .

Equação de Hamilton – Jacobi (EHJ)

(

)

] [

( )

( )

, 0 em 0, ,0 em N t N u H u x u x g x  + ∇ = × ∞   =  \ \ (II.1.1) onde : N N

H \ ×\ →\ contínua, :_{g \}N _{→\ contínua e u:\}N_{× ∞ →}

[ [

_{0, \ de classe}

] [

(

)

(

[ [

)

1 0

C _\N_× 0,_{∞ ∩}C _\N_{× ∞}0, _{é uma solução clássica de (II.1.1), isto é, satisfaz o} problema (II.1.1) em todos os pontos de _\N_{× ∞}

[ [

0, _.

Seja

(

,

)

em

] [

0, em N t N u H u x u u g ε ε ε ε ε  + ∇ = ∆ × ∞   =  \ \

a equação regularizada, que é uma equação semilinear de natureza parabólica.

A dissipação introduzida pelo termo difusivo torna este problema muito mais tratável do ponto de vista analítico. A estratégia descrita acima é comum em EDP e se chama Método de Viscosidade Evanescente.

Espera-se que uε convirja a uma solução da equação original quando ε → . No0 limite, contudo, perde-se controle sobre as derivadas da seqüência de soluções aproximadas. Não se espera obter uma solução clássica deste processo de aproximação. O que seria plausível esperar para a família de soluções aproximadas

{ }

uε seria limitação uniforme e equicontinuidade, o que implicaria a existência de uma subseqüência

{ }

uεJ

convergindo uniformemente em compactos de _\N_{× ∞}

[ [

0, _{a um limite u∈C}o

(

_\N_{× ∞}

[ [

_0,

)

_,

pelo Teorema de Arzela – Ascoli.

II.1.2 – Teorema (II.1.1) (Arzela – Ascoli)

Seja F⊂C

[ ]

a,b N

Qualquer que seja a seqüência

{ }

f_{n n}∞₌₁, Ff_n∈ pode ser escolhida uma subseqüência uniformemente convergente em C a b se, e somente se, F é uniformemente limitada e

[ ]

, N equicontínua.

Definição (II.1.1): F⊂C a,b

[ ]

N é uniformemente limitado se

[ ]

M>0 : ( )f x M x a b, N f F

Definição (II.1.2): F⊂C a,b

[ ]

N, é equicontínuo se ∀ >ε 0, >0∃δ :

[ ]

1, 2 a,b N x x ∀ ∈ com x₁−x₂ < ⇒δ f x

( )

₁ − f x

( )

₂ <ε ∀ ∈ .f F

Gostaria também de indicar um lema de análise real que desempenha um papel importante na teoria a ser desenvolvida.

Lema (II.1.1) Sejam e ϕ Ψ funções contínuas definidas em B x R , a bola

(

₀,

)

fechada de centro _{x0∈ \ e raio R. Suponha que} N _{ϕ possua um máximo (mínimo) estrito}

em x . Seja₀

( )

( )

0 0 0 máx min 0 x x R x x R m ϕ x ϕ m ϕ ϕ x − = − =   = − _ = − _  . Se Ψ satisfaz a condição: 0 máx ₂ x x R m ϕ − ≤

− Ψ < então Ψ tem um máximo (mínimo) em B

(

x R .₀,

)

Em outras palavras, se ϕ possui um extremo estrito em x , então toda função₀

contínua, suficientemente próxima de ϕ , na norma da convergência uniforme, também possui um extremo local próximo a x .₀

Seja φ φ=

( )

x t, uma função teste C∞

(

_\N_{× ∞}

] [

0,

)

_{. Suponha que}

(

)

] [

0 0, 0 N 0,

z ≡ x t ∈\ × ∞

seja um ponto de máximo local estrito de u− . Vamos mostrar que nestas condições, φ φ é uma subsolução da equação de Hamilton – Jacobi em z . Seja ₀ R tal que₀

(

u−φ

)( ) (

z < u−φ

)( )

z0 para todo z≡

( )

x t, na bola B

(

z R0, 0

)

, z≠ . Sejamz0 0 _{, k 1, 2,... e} 1 k R R k = = +

(

)( )

(

0

)

0 - máx k k z z R m u φ z u φ − = = − − .

Defina

{ }

j uma subseqüência crescente de números naturais tal que, se _{k u}k _≡uεjk _,

então 0 máx ₂ k k _k z z R m u u − = − < .

Pelo Lema (II.1.1) existe uma seqüência z_k ≡

(

x t_k, _k

)

tal que z_k−z₀ <R_k, isto é, 0

k

z → quando k → ∞ , e z _uk_{− , tem um máximo local em φ} k z .

Observe que _uk _{− é uma função suave, com máximo local em φ} k z , o que acarreta

( )

( )

k k k u z φ z ∇ = ∇ e k

( )

( )

t k t k u z =φ z . Além disso, k

( )

( )

k k u z φ z −∆ ≥ −∆ . Portanto, temos que:

(

,

)

H

(

(

,

)

,

)

k

(

,

)

H

(

k

(

,

)

,

)

_k k

(

,

)

_k

(

,

)

t x tk k x tk k xk u x tt k k u x tk k xk j u x tk k j x tk k

φ + ∇φ = + ∇ =ε ∆ ≤ε φ∆ ,

fazendo k→ ∞ temos que:

(

0, 0

)

H

(

(

0, 0

)

, 0

)

0

t x t x t x

φ + ∇φ ≤ .

Se

(

u−φ

)

tiver apenas um máximo local (ao invés de um máximo local estrito), substituímos φ por φ φ δˆ= +

(

x x− ₀ 2+ −

(

t t₀

)

2

)

, que agora é tal que

( )

u−φˆ tem um máximo estrito, e obtemos: φˆ_t

(

x t₀, ₀

)

+H

(

∇φˆ

(

x t₀, ₀

)

,x₀

)

≤ .0

Contudo, φˆ_t

(

x t₀, ₀

)

=φ_t

(

x t₀, ₀

)

e ∇φˆ

(

x t₀, ₀

)

= ∇φ

(

x t₀, ₀

)

já que a função quadrática que foi adicionada não afeta as derivadas de primeira ordem de φ em

(

x t . Desse modo,₀, ₀

)

obtemos que φ ainda é uma subsolução da equação de Hamilton – Jacobi em

(

x t .₀, ₀

)

A mesma análise pode ser efetuada tomando-se as funções teste φ tais que u φ− tenha um mínimo local em

(

x t ; estas ₀, ₀

)

φ serão supersoluções das equações de Hamilton – Jacobi em

(

x t .₀, ₀

)

O que observamos é que limites uniformes de soluções das aproximações parabólicas da equação de Hamilton – Jacobi tem uma propriedade especial com respeito a função teste. A definição de solução de viscosidade incorpora precisamente esta propriedade.

II.1.3:- Definição de Solução de Viscosidade da EHJ.

Definição (II.1.3): Seja u uma função limitada, uniformemente contínua.

1) Diz-se que u é uma subsolução de viscosidade da EHJ (II.1.1) se: a) _{u g≤} em _\N_{× =}

{

_t 0

}

_e

b) para todo

(

_{x t0}, ₀

)

_∈\N_{× ∞}

] [

0, _{e cada φ∈C}∞

(

_\N_{× ∞}

] [

_0,

)

_{tal que}

(

_u−φ

)

_tem

máximo local em

(

x t vale: ₀, ₀

)

φ_t

(

x t₀, ₀

)

+H

(

∇φ

(

x t₀, ₀

)

,x₀

)

≤ .0 2) Diz-se que u é uma supersolução de viscosidade da EHJ (II.1.1) se:

a) _{u g≥} em _\N_{× =}

{

_t 0

}

_e

b) para todo

(

_{x t0}, ₀

)

_∈\N_{× ∞}

] [

0, _{e cada φ∈C}∞

(

_\N_{× ∞}

] [

_0,

)

_{tal que}

(

_u−φ

)

_tem

um mínimo local em

(

x t vale: ₀, ₀

)

φ_t

(

x t₀, ₀

)

+H

(

∇φ

(

x t₀, ₀

)

,x₀

)

≥ .0

3) Diz-se que u é uma solução de viscosidade se u for ao mesmo tempo subsolução e supersolução de viscosidade.

Aqui um máximo

(

x t de u₀, ₀

)

− é estrito se existe uma função não decrescenteφ

] [ ] [

0 : 0, 0, e 0

h ∞ → ∞ r > tal que u x t

( ) ( ) (

, −φ x t, ≤u x t₀, ₀

) (

−φ x t₀, ₀

) ( )

−h r para

( ) (

, 0, 0

)

0

r≤ x t − x t ≤ h é denominada função rigor.r

Resultado de Consistência: Podemos demonstrar que uma solução de viscosidade diferenciável em um ponto

(

x t , satisfaz a equação no sentido clássico no ponto ₀, ₀

)

(

x t .₀, ₀

)

II.1.4 – Definição alternativa de Solução de Viscosidade

Do ponto de vista prático, de estudar soluções de viscosidade, veremos que é útil estar de posse de uma definição alternativa, porém equivalente, de solução de viscosidade que prescinde do uso de funções teste. Contudo essa definição alternativa se apóia no conceito de semidiferencial de uma função contínua.

Definição (II.1.4): A superdiferencial de u em x é definida por:₀

( )

( ) ( )

(

)

0 0 0 + 0 0 D M | Lim sup 0 x x u x u x p x x u x p x x →  − − −    ≡_ ∈ ≤ _ −    \ 

A subdiferencial de u em x é definida por:₀

( )

( ) ( )

(

)

0 0 0 0 0 | Lim inf 0 M x x u x u x p x x D u x p x x − →  − − −    ≡_ ∈ ≥ _ −    \  1) As semidiferenciais +

( )

0 D u x e -

( )

0

D u x são subconjuntos fechados e conexos de _{\ .}M

2) As seguintes afirmações são equivalentes i) u é diferenciavel em x₀ ii) +

( )

-

( )

{

( )

}

0 0 0 D u x =Du x = ∇u x iii) +

( )

-

( )

0 0 D u x ∩Du x ≠φ

3) Em um ponto de máximo (mínimo) local ˆx de u temos que

( )

(

( )

)

+ _ˆ - _ˆ 0 D∈ u x Du x .

Para efeitos da teoria a ser desenvolvida é conveniente tratar equações diferenciais parciais mais gerais do que a equação de Hamilton – Jacobi. Seja _{Ω ⊆ \ e}M

F:_{Ω× ×\ \}M _{→\ contínua. Vamos definir solução de viscosidade para o problema de}

valor de fronteira:

(

)

F , , D 0 em em y u u u g = Ω   = ∂Ω  (II.1.2) Estaremos interessados em três contextos distintos para este problema: _{Ω ⊂ \ é}N

um domínio aberto e limitado, _{Ω = \ , sem condição no infinito e} N _{Ω =\}N_{× ∞}

] [

_{0, com a}

estrutura específica do problema de valor inicial da equação de Hamilton – Jacobi. Nos dois primeiros casos Du≡ ∇ e no terceiro caso, u y=

( )

x t, e Du≡ ∇

(

u u, _t

)

.

b) para todo y₀∈Ω e cada φ∈C∞

( )

Ω tal que

(

u−φ

)

tem máximo local em y₀

vale: F

(

y u y₀,

( )

₀ , Dφ

( )

y₀

)

≤ .0

2) Diz-se que u é uma supersolução de viscosidade da equação (II.1.2) se: a) u g≥ em ∂Ω e

b) para todo y₀∈Ω e cada φ_∈C∞

( )

_{Ω tal que}

(

_u−φ

)

_{tem um mínimo local em} 0

y vale: F

(

y u y₀,

( )

₀ , Dφ

( )

y₀

)

≥ .0

3) Diz-se que u é uma solução de viscosidade se u for ao mesmo tempo subsolução e supersolução de viscosidade.

Proposição (II.1.1) Seja u uma função limitada e uniformemente contínua em Ω tal que u≤ ≥

( )

g em ∂Ω . Então u é subsolução (supersolução) de viscosidade de (II.1.2) se, e somente se, para todo y₀∈Ω e +

( )

(

-

( )

)

0 D 0 0 D 0

p ∈ u y p ∈ u y

temos F

(

y u y₀,

( )

₀ , p₀

)

≤ ≥

( )

0 .

Concluímos com a definição alternativa de solução de viscosidade, expressa em termos de semidiferenciais, que é equivalente à definição (II.1.5) pela preposição (II.1.1).

Definição (II.1.6): Seja :u Ω → \ uma função limitada, uniformemente contínua. 1) Diz-se que u é uma subsolução de viscosidade da equação (II.1.2) se:

a) u g≤ em ∂Ω e

b) para cada y ∈Ω e p∈D+u y

( )

temos F ,

(

y u y

( )

, p

)

≤ .0

2) Diz-se que u é uma supersolução de viscosidade da equação (II.1.2) se: a) u g≥ em ∂Ω e

b) para cada y∈Ω e q_∈D−u y

( )

_{temos F ,}

(

_{y u y}

( )

_{, q}

)

_{≥ .0}

3) Diz-se que u é uma solução de viscosidade se u for ao mesmo tempo subsolução e supersolução de viscosidade.

II.2 EDP de 2ª ordem (Crandall, Ishii e Lions [7]) II.2.1 Semijet de 2ª ordem

Seja a equação diferencial parcial da forma _{F x u u}

(

_{, ,∇ , D}2_u

)

_{= , onde0} N

F: Ω × \ \× ×S

( )

N → \ e

• S

( )

N são matrizes simétricas N N× • _u:_ΩC\N _→\

• ∇ é gradiente de uu

• _{D u é a matriz de derivadas segundas de u}2 Condição de Monotonicidade

(

, , ,

)

(

, , ,

)

F x r p X ≤F x s p Y quando r s≤ e Y ≤ X. (II.2.1) onde ,r s∈ \ , _{x∈Ω \ , C} N _{p∈ \ , ,}N _{X Y∈S}

( )

_{N e S}

( )

_{N é munido com sua ordem}

usual, isto é, X Y≤ quando Xξ ξ, ≤ Yξ ξ, (produto interno euclidiano) pana _{ξ ∈\ .}N

Desigualdade (II.2.1) é a composição de duas condições.

F x r p X

(

, , ,

)

≤F x s p X

(

, , ,

)

quando r s≤ (II.2.2) e

F x r p X

(

, , ,

)

≤F x r p Y

(

, , ,

)

quando Y ≤ . X (II.2.3) F é chamada elipticamente degenerada se satisfaz a condição (II.2.3), e quando também satisfaz a condição (II.2.2) (equivalentemente (II.2.1) é satisfeita), dizemos que F é exata.

Assume-se que F é exata e contínua, a menos que o contrário seja dito. Para motivar as noções de soluções viscosas, supomos que _{u C∈} 2

( )

_\N _e

( )

( )

( )

(

_{, , , D}2

)

₀

F x u x ∇u x u x ≤ vale para todo _{x∈ \ (isto é, u é uma subsolução clássica}N

de F=0 ou, equivalentemente, uma solução clássica de F≤ em 0 _{\ ).}N

Suponha que φ é _{C \}2

( )

N _{e ˆx é um máximo local de}

(

_u−φ

)

_{, então}

(

u φ

)( )

xˆ 0

(

u x

( )

ˆ φ

( )

xˆ

)

∇ − = ∇ = ∇ e _D2

(

_u−φ

)( )

_{xˆ ≤0 D}

(

2_{u x}

( )

_{ˆ ≤D}2_φ

( )

_xˆ

)

_, então pela elipticidade degenerada

( )

( )

( )

(

_{ˆ, ˆ , ˆ , D}2 _ˆ

)

(

_ˆ,

( )

_{ˆ ,}

( )

_{ˆ , D}2

( )

_ˆ

)

₀

F x u x ∇φ x φ x ≤F x u x ∇u x u x ≤ . (II.2.4) Os Extremos desta desigualdade não dependem das derivadas de u, e deste modo podemos considerar a função arbitrária u como sendo (classe generalizada) subsolução de

0

F = se

( )

( )

( )

(

_{ˆ, ˆ , ˆ , D}2 _ˆ

)

₀

F x u x ∇φ x φ x ≤ . (II.2.5)

Como u x

( ) ( ) ( ) ( )

≤u xˆ −φ xˆ +φ x para x próximo de _{xˆ,φ ∈C}2

( )

_\N _{e pelo}

desenvolvimento de Taylor de φ em torno do ponto ˆx segue que

( ) ( )

1

(

)

(

2

)

ˆ , ˆ ˆ , ˆ 0 ˆ

2

u x ≤u x + p x x− + X x x x x− − + x x− , (II.2.6) quando x→ , onde xˆ p= ∇φ

( )

xˆ e _{X =D}2_φ

( )

_{xˆ .}

Além disso, se (II.2.6) vale para algum

(

_{p X},

)

_∈\N_×S

( )

_{N e u é duas vezes}

diferenciável em ˆx , então p= u x∇

( )

e _{D u x}2

( )

_{ˆ ≤X . Assim se u é uma solução clássica de} 0

F ≤ segue que F x u x p X

(

ˆ,

( )

ˆ , ,

)

≤ sempre que (II.2.6) vale, podemos também basear0 uma definição em soluções não diferenciável u de F ≤ . Se observarmos (II.2.5), seremos0 conduzidos para noções baseadas sobre funções de teste φ , mas observando (II.2.6) seremos conduzidos a definir

(

_{∇u, D}2_u

)

_{para funções não diferenciáveis u. Por esta razão,} começamos desenvolvendo a linha sugerida por (II.2.6).

Logo introduzimos um conjunto S₌

{

_x∈\N :_{F x u x p X}

(

,

( )

, ,

)

_≤0

}

_{e com notação} apropriada tratar com desigualdade semelhante a (II.2.6) sobre S . No momento, S é