Meio heterogêneo com permeabilidade aleatória

Neste exemplo considera-se um caso em que a permeabilidade é tratada como uma função de x = (x, y) ∈ Ω. A permeabilidade foi tomada como uma função aleatória tal que 9, 86923 × 10−13_m2 _{≤ κ(x) < 0 e sua forma adimensional é dada por 1 ≤ k}

D < 0.

As condições de contorno e inicial, bem como o domínio computacional, são idênticos ao exemplo anterior.

As Figuras 8.29 e 8.30 mostram os resultados numéricos respectivamente para o fluxo e seu divergente e para a concentração, adimensionais, obtidos pela técnica RGL - RK1 em uma malha formada por 64 × 16 elementos quadrilaterais na configuração Qs

0×Q +

1Q1. Através da solução numérica, fica evidente a caracterização do reservatório,

em que observa-se as direções preferenciais do escoamento e a existência de regiões com baixa permeabilidade.

Figura 8.30: Problema de injeção de traçador: concentração em um meio heterogêneo, com função aleatória para a permeabilidade, em uma malha quadrilateral de 64 × 16 elementos. As figuras, de cima para baixo, ilustram as soluções nos tempos tD = 1,

Capítulo 9

Conclusões e trabalhos futuros

9.1

Conclusões

Neste trabalho, o foco está em algumas formulações não clássicas do MEF e de suas implementações no NeoPZ, que é um ambiente de programação científica orientada a objetos. Uma atenção especial é dada às chamadas simulações multifísicas, em que aplicam-se vários espaços de aproximação para abordar diferentes fenômenos em uma mesma simulação. Também são considerados esquemas combinados MEF contínuo- descontínuo, baseados em uma decomposição do domínio computacional e do emprego de formulações diferenciadas em cada uma das sub-regiões. Um outro desenvolvimento refere-se aos esquemas de Petrov-Galerkin com funções teste otimizadas. Uma aborda- gem para o método de Petrov-Galerkin otimizado via simetrização é proposta, em que utilizam-se duas aproximações pelo MEF contínuo.

No Capítulo 4, é proposta uma nova abordagem para o método de Petrov-Galerkin em aproximações pelo MEF contínuo de problemas de convecção-difusão. A essa nova técnica dá-se o nome de método da dupla projeção de Galerkin (MDP). Tal como indicado pelo seu nome, o método baseia-se em duas projeções de Galerkin. Uma sobre um espaço enriquecido contendo as funções teste e as funções admissíveis. A outra projeção está no espaço das funções admissíveis. Mostra-se que a solução, via método da simetrização aproximada [2, 3] utilizando funções testes ótimas, para o problema de convecção-difusão, pode ser calculada através da utilização do MDP. No entanto, o MDP tem a vantagem de ser computacionalmente mais barato, além de ser mais fácil para se implementar. Como aplicação da técnica, resolve-se um ploblema unidimensional usando o MEF contínuo, o método de Petrov-Galerkin via simetrização

[2, 3] e o MDP. Várias configuração do problema, em relação ao número de Péclet (P e), são utilizadas. A solução numérica obtida pelo MEF contínuo apresenta fortes oscilações com o aumento do número de Péclet, ou seja, no caso de uma convecção dominante. Além disso, em todas considerações, o MDP apresentou a mesma solução numérica do método de Petrov-Galerkin via simetrização, em que as soluções do problema foram aproximadas de maneira suave sem oscilações. Alguns resultados obtidos neste capítulo foram publicados em anais de congresso [15].

No Capítulo 5, descreve-se uma abordagem combinada MEF contínuo-descontínuo, na qual o MEF contínuo e a formulação de Galerkin descontínuo são usados na mesma simulação para resolver o problema de Girkmann. Um modelo matemático, represen- tado por um problema elástico linear, para uma casca fina axissimétrica apoiada sobre um anel de reforço igualmente axissimétrico. A geometria da junção entre a casca e o anel implica em um comportamento singular da solução elástica, próximo a esta região. Com isso, é possível fazer a melhor utilização das vantagens de cada método, usando elementos descontínuos perto de singularidades e elementos contínuos em outras partes. O objetivo na resolução do problema de Girkmann é calcular o valor de certas quan- tidades de interesse, representadas por funcionais lineares, na região casca-anel. Os resultados numéricos obtidos pela metodologia MEF contínuo-descontínuo apresenta uma convergência consistente de ambos os lados da junção casca-anel e com alta ordem de precisão. Além disso, os resultados são superiores aos resultados obtidos a partir do uso do MEF contínuo em toda região computacional do problema. Comparando com outros modelos da literatura [22, 23], essa metodologia fornece excelentes resultados e com a vantagem de não utilizar técnicas de pós-processamento, ou seja os resultados são obtidos por integração numérica direta. Alguns resultados obtidos neste capítulo são publicados em [24].

O Capítulo 6 destina-se ao estudo das simulações multifísicas, ao entendimento da estrutura de classes do ambiente NeoPZ e de como incorporar essa nova ferramenta de simulação a este ambiente. Uma vez que o NeoPZ inclui classes que contemplam diferen- tes tipos de subespaços de aproximação e permite, de maneira flexível, a combinação entre eles, desenvolve-se uma estrutura de classes de modo a contemplar simulações multifísicas. Com isso, grandes avanços são feitos na combinação de subespaços de aproximação, a qual dá-se o nome de subespaços multifísicas. De modo que, nas si- muações pelo MEF utilizando o NeoPZ agora é possível combinar vários subespaços de aproximação, tais como H1_{-conforme, Hdiv-conforme e L}2_{, em uma mesma simulação}

problemas são resolvidos no contexto de simulações multifísicas.

No Capítulo 7, resolve-se o problema da poroelasticidade linear no contexto da simulação multifísca. Este problema relaciona o deslocamento da matriz porosa com a pressão de fluido no meio poroso. Implementa-se no NeoPZ a classe TPZPoroE- lasticMF2d de modo a contemplar a simulação multifísica do problema, utiliza-se um subespaço de aproximação apropriado a cada uma das variáveis. Ou seja, subespaço em L2 _{para a pressão, subespaço Hdiv-conforme para o fluxo de fluido e subespaço}

H1_{-conforme para o deslocamento do sólido. O código é verificado a partir da resolu-}

ção de problemas com soluções analíticas conhecidas. Nas aproximações das variáveis, obtém-se taxa de convergência ótima do erro numérico, de acordo com a regularidade das soluções. Mostra-se também, que o erro numérico decai com o refinamento da ma- lha e com o aumento da ordem polinomial. Alguns resultados obtidos neste capítulo e no anterior são publicados em anais de congresso [36].

Por fim, no Capítulo 8, faz-se um estudo sobre o problema de injeção de traçador em meios porosos e de sua resolução no contexto da simulação multifísica. Resolve-se o sistema elíptico pelo método dos elementos finitos mistos, de modo que a velocidade do fluido é aproximada de forma direta pelo subespaço Hdiv-conforme. O problema de transporte, que é governado por uma equação linear, é resolvido por um esquema constituído de subespaço de funções constantes por partes e de um fluxo numérico do tipo upwind. Além disso, aplica-se a técnica de reconstrução de gradientes e lineariza- ção da solução (RGL) de modo a obter um esquema numérico de segunda ordem na aproximação da concentração. Implementa-se no NeoPZ as classes TPZTracerFlow e TPZGradientReconstruction para contemplar a simulação multifísica do problema de injeção de traçador e a técnica de reconstrução de gradientes e linearização, respectiva- mente. Testes numéricos são realizados com objetivo de validar os códigos implementa- dos. Resolvem-se vários problemas com e sem a técnica RGL. Os resultados numéricos obtidos reproduz a descontinuidade com suavização. No entanto, as aproximações com RGL apresentam melhores resultados do que as aproximações sem RGL, obtidas a par- tir do esquema de primeira ordem, as quais contém maior difusão numérica devido aos erros de discretização. Além disso, todos os resultados pela técnica RGL representam fielmente a física do problema. Alguns resultados deste capítulo são publicados em anais de congresso [37].