Considera-se o problema modelo (3.13)-(3.14) com condição de contorno homogênea u = 0, em ∂Ω, com Ω = [0, 1]2 e f(x, y) = 2π2sen(πx)sen(πy). Cuja solução analítica é dada por
q(x, y) = −πcos(πx)sen(πy)~i − πcos(πx)sin(πy)~j e u(x, y) = sin(πx)sin(πy). Ilustra-se a seguir a aplicação do MEF misto para este problema. Outras aplicações para o problema modelo usando as formulações do MEF H1-conforme e do Galerkin
descontínuo são apresentadas no Capítulo 6.
Na formulação variacional mista do problema modelo, os subespaços envolvidos são do tipo Hdiv-conforme para a variável de grandeza vetorial (o fluxo) e L2 para a
variável de grandeza escalar (a pressão). Para representar o fluxo consideram-se apro- ximações em Vh como definido em (3.18) enquanto que, a pressão pode ser aproximada
em subespaços Wh de funções descontínuas como indicado em (3.17).
Como descrito na subseção anterior, uma condição fundamental para estabilidade das aproximações, bem como na obtenção de taxas ótimas de aproximação, é conhecida como condição LBB (Ladyzenskaya–Babuska–Brezzi) ou condição inf-sup [46]. Esta condição estabelece um balanceamento ou compatibilidade entre os espaços Vh e Wh
utilizados na formulação mista. Condição de balanceameno
Para os espaços Vh e Wh descritos anteriormente, a condição LBB não foi provada. No
entanto, a partir de experimentos numéricos em [35], estabeleceu-se este balanceamento da seguinte forma: para elementos triangulares, toma-se um par de espaço do tipo PkPk−1 no sentido de que se as funções de Vh são definidas a partir de polinômios
de Pk( ˆK), então Wh são definidas a partir de polinômios em Pk−1( ˆK). Analogamente,
para elementos quadrilaterais toma-se um par de espaços do tipo Q+
kQk, em que Q+k
refere-se ao espaço Vh definido a partir de polinômios de Qk( ˆK), acrescido de funções
internas de ordem k + 1, enquanto que em Wh as funções são definidas a partir de
polinômios em Qk( ˆK).
Com os espaços de elementos finitos balanceados Vh ⊂ V e Wh ⊂ L2(Ω), a
formulação discreta do problema é dada por: encontrar qh ∈ Vh e uh ∈ Wh tal que
a(qh, vh) − b(vh, uh) = 0, ∀vh ∈ Vh,
b(qh, wh) = l2(wh), ∀wh ∈ Wh.
(3.23) As Figuras 3.4 e 3.5 mostram os resultados numéricos obtidos. Pode-se observar que, tanto para uma malha triangular quanto para uma quadrilateral, obtém-se a taxa ótima de convergência para a variável de fluxo. Precisamente, para elementos triangu- lares as ordens são k + 1 para o fluxo e k para a pressão. Para elementos quadrilaterais, as taxas de convergência são de ordem k + 1 tanto para o fluxo quanto para a pressão. æ æ æ æ æ à à à à à ì ì ì ì ì ò ò ò ò ò 0.10 0.15 0.20 0.30 0.50 0.70 1.00 10-7 10-5 0.001 0.1 h ° q - qh ´2L Fluxo ò k = 4 ìk = 3 à k = 2 æ k = 1 1 2 1 3 1 4 1 5
Figura 3.4: Formulação mista: análise da taxa de convergência do erro para uma malha uniforme de elementos triangulares utilizando subespaços do tipo PkPk−1. Erros da
æ æ æ æ æ à à à à à ì ì ì ì ì ò ò ò ò ò 0.10 0.15 0.20 0.30 0.50 0.70 1.00 10-7 10-5 0.001 0.1 h ° p - ph ´2L Pressão ò k = 4 ìk = 3 à k = 2 æ k = 1 1 1 1 1 2 3 4 5 æ æ æ æ æ à à à à à ì ì ì ì ì ò ò ò ò ò 0.10 0.15 0.20 0.30 0.50 0.70 1.00 10-8 10-6 10-4 0.01 1 h ° q - qh ´2L Fluxo ò k = 4 ìk = 3 à k = 2 æ k = 1 1 1 1 1 5 4 3 2
Figura 3.5: Formulação mista: análise da taxa de convergência do erro para uma malha uniforme de elementos quadrilaterais utilizando subespaços do tipo Q+
kQk. Erros da
Capítulo 4
Método da dupla projeção
4.1
Introdução
O MEF é uma das ferramentas de modelagem numérica preferidas em aplicações de engenharia, o qual tem sido amplamente aplicado e analisado em diferentes contex- tos. Utilizando a metodologia de Galerkin clássico (também conhecido como método Bubnov-Galerkin), as propriedades ideais de aproximação podem ser alcançadas para uma classe de problemas modelos, por exemplo, para problemas de valor de contorno elípticos lineares com operadores auto-adjuntos. No entanto, em outras situações, como no contexto de problemas de convecção-difusão, fortes oscilações podem ocorrer nas so- luções de elementos finitos de Bubnov-Galerkin quando o problema é de convecção dominante ou quando a malha não for suficientemente refinada.
Uma das várias soluções adotadas para contornar este problema é a utilização do método SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) [65], que se baseia em uma relaxação do operador diferencial relacionado à equação diferencial parcial. Ou seja, o método visa a obtenção de uma formulação variacional consistente com as propriedades de estabilidade superiores às da formulação original.
Em geral, a referência a um método de Petrov-Galerkin surge numa classe de modificações para o método de Galerkin, em que os espaços de funções admissíveis e de funções teste são formados por espaços de funções diferentes entre si [1]. A liberdade de escolher diferentes espaços de funções teste abre várias possibilidades de novas ferra- mentas para otimizar o desempenho dos métodos, com base em um determinado espaço de funções admissíveis. Neste sentido, novos métodos de Petrov-Galerkin, relacionados à simetrização da forma bilinear da formulação variacional do problema original, foram
desenvolvidos.
No contexto das aproximações contínuas, passos importantes foram dados em [2, 3], em que, a taxa ótima de convergência pode ser recuperada usando funções teste ótimas. No entanto, as funções teste ótimas, correspondentes à um determinado con- junto de funções admissíveis, são muitas vezes difíceis de se obter, particularmente em dimensões maiores do que um.
No contexto das aproximações descontínuas, o método de Petrov-Galerkin foi explorado inicialmente nos trabalhos de [4, 5, 6]. Recentemente, novos métodos de Petrov-Galerkin descontínuo (DPG) auto-adptativos foram considerados, em que o espaço de funções teste é calculado automaticamente, como descrito nos trabalhos [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Usando funções descontínuas, o processo numérico para calcular as funções teste ótimas é realizado localmente, de forma exata ou aproximada, usando espaços enriquecidos que contenham o espaço teste ótimo.
No presente trabalho, o foco está em uma abordagem diferente para o método de Petrov-Galerkin em aproximações pelo MEF contínuo, chamado de método da dupla projeção de Bubnov-Galerkin, que foi originalmente proposto em [66] e resgatado em [15]. Tal como indicado pelo seu nome, o método baseia-se em duas projeções. Uma sobre a soma do espaço gerado pelas funções teste e o espaço gerado pelas funções admissíveis. A outra projeção está no espaço das funções admissíveis. A principal vantagem da técnica proposta é que não é preciso se preocupar com a construção ou aproximação das funções teste ótimas. Como será mostrado, a técnica produz os mes- mos resultados como se as funções teste ótimas fossem aproximadas numericamente em um espaço enriquecido.