Nessa seção descrevem-se duas metodologias na resolução de problemas de Petrov- Galerkin com o uso de espaços teste ótimos.
4.2.1
Método de Petrov-Galerkin ótimo via simetrização
Esta é uma classe de métodos, que foram formulados em [2, 3], para problemas de convecção-difusão estacionários, do tipo
−∆u + ∇ · (cu) = f em Ω, u = g em ΓD, ∇u · n = 0 em ΓN. (4.1) Além disso, assume-se que f ∈ L2(Ω), o coeficiente de difusão é positivo, o campo de
velocidade de convecção c é incompressível (∇ · c = 0), o contorno de Dirichlet ΓD 6= ∅
e contém o contorno de entrada de fluxo, ou seja c · n < 0 em ΓD e c · n ≥ 0 em ΓN.
Para g ∈ H1/2(Γ
D), seja uD ∈ H1(Ω) tal que uD = g em ΓD. Definem-se o espaço
de funções teste U e o conjunto de funções admissíveis, respectivamente, U =v ∈ H1(Ω) : v = 0em ΓD
e uD+ U. (4.2)
Assim, a fórmulação variacional do problema (4.1) é dada por ( encontrar u ∈ uD+ U tal que
a(u, v) = l(v), v ∈ U, sendo a(u, v) = ˆ Ω ∇u · ∇v dx + ˆ Ω ∇ · (cu)v dx e l(v) = ˆ Ω f v dx.
No método de Galerkin padrão tomam-se o subespaço de funções teste Un ⊂ U
de dimensão finita e resolve-se o problema: encontrar un∈ uD+ Un tal que
a(un, vn) = l(vn), vn∈ Un. (4.3)
Para o caso de difusão pura (c = 0), se un é a solução do problema discreto (4.3),
o método produz estimativas de erro ótimas na norma energia, proveniente da forma bilinear,
k u − unka= inf w∈uD+Un
k u − w ka.
No entanto, na configuração advecção-difusão, fortes oscilações podem ocorrer nas solu- ções de elementos finitos de Galerkin quando o problema é de convecção dominante, ou seja, para valores elevados do número de Péclet P e =k c k h/ [2, 3]. Esta dificuldade pode ser contornada no cenário de Petrov-Galerkin, usando funções teste apropriadas, baseado no método da simetrização [2, 3]. A ideia do método é definir uma forma bilinear b(·, ·) em U × U que seja contínua, coerciva e simétrica para construir as bases dos subespaços de funções teste ótimas.
Pelo teorema da representação de Riez existe um operador R : U → U, chamado operador de simetrização, tal que
a(w, Rv) = b(w, v), ∀v, w ∈ U. Considere o subespaço de funções Un⊂ U dado por
Un =span {ϕi, i = 1, ..., n} .
Assim, o método de Petrov-Galerkin baseado na simetrização [2, 3] é dado por:
1. Para cada função de base ϕi ∈ Un, encontre ψi = Rϕi ∈ U, resolvendo o seguinte
problema: encontrar ψi ∈ U tal que
a(w, ψi) = b(w, ϕi), ∀w ∈ U. (4.4)
Construir o subespaço teste ótimo Xn ⊂ U,
Xn=span {ψi, i = 1, ..., n} .
2. Resolver o problema discreto de Petrov-Galerkin ( encontrar u∗
n ∈ uD+ Un tal que
a(u∗n, vn) = l(vn), ∀vn∈ Xn.
(4.5) Se u ∈ uD+ U é a solução exata de (4.1) e u∗n ∈ uD+ Un, é a solução do problema de
Petrov-Galerkin (4.5), observando que u − un ∈ U, de (4.4) e (4.5) segue que
0 = a(u − u∗n, ψi) = b(u − u∗n, ϕi), ∀i = 1, ... n.
Portanto, o erro na aproximação de Petrov-Galerkin (4.5) satisfaz a propriedade de ortogonalidade
b(u − u∗n, vn) = 0, ∀vn∈ Un. (4.6)
Assim, na norma induzida por b(·, ·), a propriedade de aproximação ótima é mantida k u − u∗nkb= inf
w∈uD+Un
Ou seja, a taxa de convergência ótima é recuperada, na norma induzida por b(·, ·), para o método Petrov-Galerkin com funções teste ótimas.
De acordo com [2, 3], a forma bilinear b(·, ·) não precisa ter nenhum forma es- pecífica. O objetivo é de melhorar a qualidade das soluções aproximadas através de subespaços de funções teste ótimas Xn e obter melhores estimativas de erro.
Método da simetrização aproximada
Na maioria das aplicações, exceto para alguns problemas unidimensionais ou bidimen- sionais específicos, as funções teste ótimas ψi são impossíveis de serem calculadas anali-
ticamente [2, 3]. A alternativa natural, nesses casos, é calcular aproximações numéricas Ψi. Na prática, a primeira etapa do método da simetrização (4.4) é feita de maneira
aproximada. Para cada função de base ϕi ∈ Un, calcula-se Ψi ∈ Ur em um espaço
enriquecido Ur⊂ U, resolvendo-se
a(vr, Ψi) = b(vr, ϕi), ∀vr∈ Ur, (4.7)
e constrói-se um novo subespaço de funções teste ótimas aproximadas Xnr =span {Ψi, i = 1, ..., n} .
Na segunda etapa do método, em (4.5), calcula-se a solução de Petrov-Galerkin ur n ∈
uD+ Un usando as funções teste aproximadas, ou seja
( encontrar ur
n ∈ uD+ Un tal que
a(ur
n, vn) = l(vn), ∀vn∈ Xnr.
(4.8)
4.2.2
Método de Petrov-Galerkin descontínuo ótimo
Uma metodologia similar ao método da simetrização foi desenvolvida em [7, 8, 10, 11, 12], no contexto do método de Petrov-Galerkin descontínuo (DPG). O método DPG é descrito a partir de uma formulação variacional abstrata, como descrito na Seção 2.5,
( encontrar u ∈ uD+ U tal que
a(u, v) = l(v) para todo v ∈ V (4.9)
O método DPG considera um operador T : X → V definido para todo u ∈ U, sendo T u ∈ V a solução única de
a(u, v) = (T u, v)V, ∀v ∈ V, (4.10)
em que (·, ·)V : V × V → R é algum produto interno em V .
Descrição do método DPG. Dados os subespaços Un⊂ U e Vn ⊂ V e o operador
T, como definido em (4.10), o método DPG consiste em: 1. Definir o espaço teste ótimo Xn = T (Un), tal que
a(un, vn) = (T un, vn)V, ∀vn ∈ Vn.
2. Resolver o problema de Petrov-Galerkin: encontrar u∗
n∈ uD+ Un tal que
a(u∗n, vn) = l(vn), ∀vn∈ Xn. (4.11)
Neste contexto ideal, o erro ótimo na aproximação de Petrov-Galerkin (4.11) é igual ao melhor erro de aproximação na norma energia,
k u − u∗ n kE= inf w∈Un k u − w kE, em que k u kE= sup kvkV=1 a(u, v) =k T u kV . Método DPG aproximado
Como no método da simetrização, o método DPG não é implementado exatamente. Faz-se uma aproximação do operador T definido em (4.10). O método considera um espaço enriquecido Vr ⊂ V e uma aproximação Tr para o operador T , Tr : U → Vr tal
que a(u, vr) = (Tru, vr).
Descrição do método DPG aproximado. Na prática, dado um subespaço admis- sível Un⊂ U gerado por funções de base ej ∈ U, j = 1, . . . , n, o método DPG consiste
1. Definir um produto interno em V, (·, ·)V : V × V → R
2. Para cada base admissível ej, resolver o problema variacional:
( encontrar ¯ej = T ej ∈ V tal que
a(¯ej, vr) = (ej, vr)V ∀vr ∈ Vr,
sendo Vr⊂ V um subespaço enriquecido com dim(Vr) ≥dim(Un).
Construir o subespaço teste ótimo aproximado Xr n⊂ V,
Xnr = {¯ei, i = 1, ..., n} .
3. Resolver o problema discreto de Petrov-Galerkin descontínuo ( encontrar ur
n ∈ uD+ Un, tal que
a(ur
n, vn) = l(vn) ∀vn ∈ Xnr.
De acordo com os autores [7, 8, 10, 11, 12], não existe uma forma universal na escolha de Vr. Apenas, deve-se garantir que a dimensão de Vr seja maior ou igual à de Un. A
motivação é que, quanto mais rico for o espaço Vr, o método discreto herdará cada vez
mais a propriedade de estabilidade do problema. Na prática, se elementos de ordem k são usados em Un, o espaço teste enriquecido Vr pode conter polinômios de ordem
k + ∆k, ∆k ∈ N.
Comentário. Os métodos do tipo Petrov-Galerkin descritos anteriormente oferecem, teoricamente, ótimos resultados de aproximação. No entanto, computacionalmente são muito caros. No processo de calcular as funções teste ótimas aproximadas resolvem-se n sistemas lineares mr×mr, sendo mr ≥ na dimensão do espaço enriquecido. Além disso,
após o cálculo das funções teste ótimas aproximadas, deve-se resolver um problema de Petrov-Galerkin discreto para resolução do problema.