(UFPE)ÁlgebraLinear-2EE-2005.2-comresolução

(1)

Universidade Federal de Pernambuco

Departamento de Matem´atica - ´Area II 2o_{Exerc´ıcio Escolar de ´}_{Algebra Linear} _17/03/2006

GABARITO - SEGUNDO SEMESTRE DE 2005

[1a _quest˜_{ao.] Considere o espa¸co vetorial V = M}

2×2(R), a matriz A = · 1 2 −1 3 ¸

e o subespa¸co W = {B ∈ V : AB = BA} de V (conjunto das matrizes que comutam com

A).

(a) Determine uma base para W . (0.5 ponto)

Solu¸c˜ao: Se B ∈ W ´e tal que

B = · x y z w ¸ , ent˜ao · x y z w ¸ · · 1 2 −1 3 ¸ = · 1 2 −1 3 ¸ · · x y z w ¸

que equivale ao sistema:        −y −2z = 0 x −2z −w = 0 2x +2y −2w = 0 y +2z = 0 Resolvendo,      0 −1 −2 0 1 0 −2 −1 2 2 0 −2 0 1 2 0      L1↔ (−)L2 ∼      1 0 −2 −1 0 1 2 0 2 2 0 −2 0 1 2 0      L3← L3− 2L1 ∼ L4← L4− L2      1 0 −2 −1 0 1 2 0 0 2 4 0 0 0 0 0      L3← L3− 2L2 ∼      1 0 −2 −1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0     

que representa o sistema ½ x −2z −w = 0 y +2z = 0 ou seja, B = · x y z w ¸ = · 2z + w −2z z w ¸ = z · 2 −2 1 0 ¸ + w · 1 0 0 1 ¸ , z, w ∈ R. Logo ½· 2 −2 1 0 ¸ , · 1 0 0 1 ¸¾

(2)

(b) Complete a base encontrada no item (a) para uma base de V . (0.5 ponto)

Solu¸c˜ao: Seja

B0 = ½ A1= · 2 −2 1 0 ¸ , A2= · 1 0 0 1 ¸ , A3= · 0 1 0 0 ¸ , A4= · 0 0 0 1 ¸¾ .

Vamos mostrar que B0 _{´e uma base de W . Considere a matriz cujas linhas s˜ao}

for-madas pelas coordenadas dos vetores de B0_{em rela¸cão à base canônica, e calculemos}

seu determinante, usando a ´ultima linha:

det     2 −2 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1     = (−1)4+4(1) det   2 −2 1₁ _{0 0} 0 1 0   = 1 6= 0.

Assim, os vetores A1, A2,A3 e A4 s˜ao linearmente independentes e formam uma

base de V , pois V tem dimens˜ao 4.

(c) Calcule as matrizes de mudan¸ca de base entre a base do item (b) e a base canˆonica (1.0 ponto)

de V , a saber, C = ½· 1 0 0 0 ¸ , · 0 1 0 0 ¸ , · 0 0 1 0 ¸ , · 0 0 0 1 ¸¾

Solu¸c˜ao: as matrizes de mudan¸ca de base s˜ao obtida fazendo £ I¤B_C0 =h£A1 ¤ C, £ A2 ¤ C, £ A3 ¤ C, £ A4 ¤ C i =     2 1 0 0 −2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1     £ I¤C_B0 = ³£ I¤B_C0´−1 =     0 0 1 0 1 0 −2 0 0 1 2 0 −1 0 2 1     (d) Encontre as coordenadas de C = · 1 1 1 1 ¸

em rela¸c˜ao `a base encontrada (b). (0.5 ponto)

Solu¸c˜ao: Sabendo que£C¤_B0 =

£ I¤C_B0· £ C¤_C, temos, £ C¤_B0 =     0 0 1 0 1 0 −2 0 0 1 2 0 −1 0 2 1     ·     1 1 1 1     =     1 −1 3 2    

[2a _quest˜_{ao.] Seja T : R}4_{−→ R}3 _{definida por:}

T (x1, x2, x3, x4) = (x2− 3x3+ x4, 2x1− 3x2+ x4, 2x1+ x2− x3).

(a) Encontre a matriz de T em rela¸c˜ao as bases canˆonicas de R4 _{e R}3_.

(1.0 ponto)

Solu¸c˜ao: Se denotarmos por C4 e C3 as respectivas bases canˆonicas de R4 e R3,

temos que £ T¤C4 C3 = h£ T e1 ¤ C3, £ T e2 ¤ C3, £ T e3 ¤ C3, £ T e4 ¤ C3 i ,

onde C4 = {e1, e2, e3, e4}. Assim, como T e1 = (0, 2, 2), T e2 = (1, −3, 1), T e3 =

(3)

£ T¤C4 C3 =   0_{2 −3}1 −3₀ 1₁ 2 1 1 0   .

(b) Determine ker(T ) e Im(T ). (1.0 ponto)

Solu¸c˜ao: Se v ∈ R4_{, est´a no n´}_{ucleo de T , temos que T v = ~0, ou, T (x}

1, x2, x3, x4) =

(x2− 3x3+ x4, 2x1− 3x2+ x4, 2x1+ x2− x3) = (0, 0, 0), o que determina o seguinte

sistema de equa¸c˜oes lineares    x2 −3x3 + x4 = 0 2x1 −3x2 + x4 = 0 2x1 + x2 − x3 = 0 Resolvendo,   0_{2 −3}1 −3 1_{0 1} 2 1 −1 0   L1↔ 12L2 ∼     1 −3 2 0 12 0 1 −3 1 2 1 −1 0     L3← L_∼3− 2L1     1 −3 2 0 12 0 1 −3 1 0 4 −1 −1     L1← L1+3₂L2 ∼ L3← L3− 4L2     1 0 −9 2 2 0 1 −3 1 0 0 1 5     L1← L1+9₂L3 ∼ L2← L2+ 3L3     1 0 0 49 2 0 1 0 16 0 0 1 5   

 que equivale ao sistema        x1 = −49₂x4 x2 = −16x4 x3 = −5x4 Logo, ker(T ) = D (49, 32, 10, −2) E .

Note, agora, que pelo teorema do n´ucleo e imagem, dim(Im(T )) = dim(R3_{) −}

dim(ker(T )) = 4 − 1 = 3. Logo, Im(T ) ´e um subespa¸co de R3 _{de dimens˜ao 3,}

portanto, Im(T ) = R3_.

(c) T ´e injetiva? ´E sobrejetiva? Justifique. (0.5 ponto)

Solu¸c˜ao: Como ker(T ) 6= {~0} segue que T n˜ao ´e injetiva, e como Im(T ) = R3_,

temos que T ´e sobrejetiva. 2

[3a _quest˜_{ao.] Seja B = {v}

1= (1, −1, 0), v2= (1, 1, 0), v3= (0, 0, −1)} ∈ R3.

(a) Determine as coordenadas de v = (x, y, z) em rela¸c˜ao `a base B. (0,5 ponto)

Solu¸c˜ao: (x, y, z) = a(1, −1, 0) + b(1, 1, 0) + c(0, 0, −1).   _{−1 1}1 1 0 x_{0 y} 0 0 −1 z   L2← L_∼2+ L1 L3← (−)L3     1 1 0 x 0 2 0 x + y 0 0 1 −z     L2← 1 2L2 ∼     1 1 0 x 0 1 0 x+y₂ 0 0 1 −z     L1← L_∼1− L2     1 0 0 x−y 2 0 1 0 x+y 2 0 0 1 −z     , e, da´ı, v = (x, y, z) = x−y 2 v1+ x+y2 v2− z v3 e

(4)

[v]B =       x − y 2 x + y 2 −z      .

(b) Se T : R3 _{−→ R}3 _{´e uma transforma¸c˜ao linear tal que T v}

1 = v3, T v2 = v2 e

T v3= −v1, determine T (x, y, z). (1.0 ponto)

Solu¸c˜ao: Usando que T v1= v3, T v2= v2e T v3= −v1, temos

v = x − y 2 v1+ x + y 2 v2− z v3, aplicando T T v = T µ x − y 2 v1+ x + y 2 v2− z v3 ¶ = x − y 2 T v1+ x + y 2 T v2− z T v3 = x − y 2 v3+ x + y 2 v2− z (−v1) = x − y 2 (0, 0, −1) + x + y 2 (1, 1, 0) + z (1, −1, 0) Ent˜ao T (x, y, z) = 1 2 ³ x + y + 2z, x + y − 2z, −x + y´.

(c) Determine (se existirem) os autovalores de T e os autovetores associados. (1.0 ponto)

Solu¸c˜ao: A matriz A = [T ]C

C´e dada por

A =h[T e1]C[T e2]C[T e3]C i =     1 2 12 1 1 2 12 −1 −1 2 12 0     ,

cujo polinˆomio caracter´ıstico ´e dado por

pA(λ) = det(A−λI) = det     1 2− λ 12 1 1 2 12 − λ −1 −1 2 12 −λ     = −λ3+λ2−λ+1 = −(λ−1)(λ2+1)

Logo, λ = 1 é único autovalor de T . Os autovetores associados são dados por (A − λI)v = ~0: _    −1 2 12 1 1 2 −12 −1 −1 2 12 −1       x_y z   =   0₀ 0  

Resolvendo o sistema acima,     −1 2 12 1 1 2 −12 −1 −1 2 12 −1     L2← L2− L1 ∼ L3← L2− L1     −1 2 12 1 0 0 0 0 0 −2     L1← −2L1 ∼ L3← 1₂L3     1 −1 −2 0 0 0 0 0 1     L1← L1+ 2L3 ∼ L3← 1₂L3     1 −1 0 0 0 0 0 0 1     ⇔ ½ x = y z = 0

Assim, encontramos o auto-espa¸co associado a λ = 1: Vλ=1=

(5)

[4a _quest˜_{ao.] Sejam T}

1: R3−→ R3 e T2: R3−→ R3 transforma¸c˜oes lineares, tais que:

h T1 iC C=   1 0 0_{1 1 0} 0 0 2   _e h_T₂iC C=   ₋₁4 −2_{2 −1}2 −5 4 −3   , onde C ⊂ R3_{`a base canˆonica.}

(a) Determine se T1´e diagonaliz´avel. Idem para T2. 1,25 ponto

Solu¸c˜ao: Sejam A =hT1

iC Ce B = h T2 iC C. Para A temos pA(λ) = det   1 − λ₁ _{1 − λ}0 0₀ 0 0 2 − λ   = (1 − λ)2_{(2 − λ)}

Assim, os “candidatos” a polinˆomio m´ınimo s˜ao

m1(λ) = (1 − λ)(2 − λ) e neste caso, A ´e diagonaliz´avel, ou

m2(λ) = (1 − λ)2(2 − λ) = pA(λ), e A não é diagonalizável.

Lembrando que mA(A) = 0,

m1(A) = (I − A)(2I − A) =     1 0 0_{0 1 0} 0 0 1   −   1 0 0_{1 1 0} 0 0 2     ·     2 0 0_{0 2 0} 0 0 2   −   1 0 0_{1 1 0} 0 0 2     =   _{−1 0}0 0 0₀ 0 0 −1   ·   _{−1 1 0}1 0 0 0 0 0   =   _{−1 0 0}0 0 0 0 0 0   6=   0 0 0_{0 0 0} 0 0 0  

logo, m1(λ) não é o polinômio m´ınimo de A e, obviamente, mA(λ) = m2(λ). Como

mA(λ) não é produto de fatores lineares, segue que A (ou T1) não é diagonalizável.

Para B temos pB(λ) = det   4 − λ₋₁ _{2 − λ}−2 ₋₁2 −5 4 −3 − λ   = −λ(1 − λ)(2 − λ)

Como λ1= 0, λ2= 1 e λ3= 2, s˜ao autovalores distintos dois-a-dois de B, R3possui

uma base de autovetores de T2 e B (ou T2) ´e diagonaliz´avel.

(b) Se poss´ıvel, determine uma base de R3 _{de autovetores de T}

1 e represente T1 nesta

base. Idem para T2. 1,25 ponto

Solu¸c˜ao: No item (a), vimos que n˜ao existe uma base de R3 _{de autovetores de}

A. J´a os autovetores de T2 podem ser obtidos fazendo:

Para λ1= 0, (A − λ1I)v = ~0,     4 −2 2 −1 2 −1 −5 4 −3     ∼L     1 0 1 3 0 1 −1 3 0 0 0     ⇒ ( x = −1 3z y = 1 3z Logo, Vλ=0= ker(T2) = (−1, 1, 3)®.

(6)

Para λ2= 0, (A − λ2I)v = ~0,     3 −2 2 −1 1 −1 −5 4 −4     ∼L     1 0 0 0 1 −1 0 0 0     ⇒ ( x = 0 y = z Logo, Vλ=1= (0, 1, 1)®.

Finalmente, para λ3= 2, (A − λ3I)v = ~0,

    2 −2 2 −1 0 −1 −5 4 −5     ∼L     1 0 1 0 1 0 0 0 0     ⇒ ( x = −z y = 0 Logo, Vλ=1= (−1, 0, 1)®.

Note que, tomando A = {w1= (−1, 1, 3), w2= (0, 1, 1), w3= (−1, 0, 1)},

T w1= 0 · w1= 0w1+ 0w2+ 0w3 T w2= 1 · w2= 0w1+ 1w2+ 0w3 T w3= 2 · w3= 0w1+ 0w2+ 2w3 Portanto, £ T2 ¤A A=   0 0 0_{0 1 0} 0 0 2  