A física na música_compressed

A física na música

Índice

Prefácio

Capítulo 1 – Intervalos

Maestro Luiz Roberto Perez Lisbôa Baptista

Capítulo 2 – Os sentidos

Maestro Luiz Roberto Perez Lisbôa Baptista

Capítulo 3 – Uma proposta de utilização da acústica musical no ensino de física

Maria Lúcia Grillo Perez Baptista

Capítulo 4 – O violão no ensino de física

Maria Lúcia Grillo Perez Baptista

Capítulo 5 – As escalas natural e temperada

Maria Lúcia Grillo Perez Baptista

Capítulo 6 – O fenômeno da ressonância

Sanderson Alcântara Moreira

Capítulo 7 – Acústica de salas

José Antônio de Azevedo Crespo

Capítulo 8 – Sensação sonora: psicoacústica

Jeanne Denise Bezerra de Barros e Marilda Duboc

Capítulo 9 – Psicoacústica e paisagem sonora em musicoterapia Anexo: experimentos

Prefácio

Maestro Luiz Roberto Perez Lisbôa Baptista

Não é difícil constatar que a música é, ao mesmo tempo, arte e ciência. Portanto, ela deve ser emocionalmente apreciada e intelectualmente compreendida e, como em qualquer outra arte ou ciência, não deve existir atalho para alcançar mais depressa a mestria ou o conhecimento. Ela é um fenômeno físico explicado pela matemática e pela própria física. Sua linguagem é uma forma de comunicação ímpar, com sinais e símbolos específicos: claves, figuras musicais, pausas, compassos, dinâmica, agógica que reunidos transformam-se em comunicação sensorial e emoção pura sem subterfúgios. Com raras exceções, ela não descreve coisas ou objetos, mas é provida de uma ação que ultrapassa o racional e alcança o emocional transformando o comportamento das pessoas para melhor ou pior, dependendo do seu conteúdo. Por isso, ela não pode ser abandonada pela educação.

A arte expressa sinceramente todo sentimento de um povo e, por meio dela, é possível medir o grau de profundidade do pensamento. Essas concepções surgem de uma observação histórica e social de longa data. Conta-se que, na China antiga (2.000 a.C.), quando o imperador queria saber como estava determinado povoado ou lugar, mandava chamar seus músicos e artistas e, em geral, por causa da arte (atualmente tão desvalorizada), redefinia sua atuação política. Sábios imperadores!

Atualmente, há um consumismo desenfreado e voraz estimulado pela mídia que determina e divulga (mesmo que sem fundamentos lógicos) o que seria bom ou ruim com o único objetivo de vender. Desde o princípio, a humanidade sempre possuiu elementos benéficos (propiciadores da vida) e outros prejudiciais (destruidores da vida), mas, ao mesmo tempo, havia a liberdade cultural baseada em fatores geográficos e étnicos, por exemplo, e cada povo demonstrava por meio dela sua riqueza e personalidade. Hoje, com a globalização é provável que esquimós dancem rap ou funk, conheçam Michael Jackson e Jonas Brothers, comam hambúrguer e batata frita, bebam coca-cola e desejem ser cidadãos americanos. É óbvio que a união dos povos é

importante, mas jamais deve ser permitido o desprezo alienador e destrutivo das diferenças culturais.

Felizmente, o esperanto não deu certo. Afinal, por que todos deveriam falar uma mesma língua? Há algum tempo a língua inglesa tomou conta do planeta devido, principalmente, à Segunda Guerra Mundial e a vitória dos aliados. Apesar de o planeta ter sido dividido entre americanos e russos no período da Guerra Fria, o idioma russo não teve o mesmo alcance que o inglês que deve sua maior aceitação como língua universal à grafia oriunda do latim. Mas o cenário está mudando e hoje se percebe o crescimento do espanhol (inclusive nos EUA) e a ascensão do mandarim por conta do crescimento econômico na China. Não podemos, contudo, viver à mercê dos modismos e ambições linguísticas ou o nosso idioma sucumbirá rapidamente ao voraz apetite do mercado e das tendências sem que nada seja feito. As mudanças ortográficas, por exemplo, realizadas de tempos em tempos de nada adiantam.

E a arte, para onde foi? No caso específico da música, ela reflete o parco nível de pensamento das pessoas e a relação entre sua produção e o uso de drogas destruidoras de qualquer tentativa de olhar na direção certa (a vida). Por outro lado, a ciência tenta chamar inutilmente a atenção dos governantes para as catástrofes climáticas que se aproximam, mas eles não se preocupam. O estudo aprofundado e fundamentado da arte e da ciência pode trazer o ser humano de volta à realidade e torná-lo mais satisfeito consigo mesmo, melhorando sua autoestima atualmente em baixa. Astronomia, física, matemática, história, geografia, biologia, música, teatro etc., ensinados de forma a não só garantir a sobrevivência, mas enriquecer a vida das pessoas de acordo com suas habilidades e vontades.

Neste livro, abordamos a linguagem física, matemática e musical em suas particularidades de forma preliminar e suave, sempre focando nas aplicações do dia a dia e no ensino de física.

No primeiro capítulo, tratamos do tema dos intervalos, chave mestra para se penetrar na linguagem musical. No segundo, falamos de algumas curiosidades e observações sobre os sentidos, que determinam a forma como percebemos as coisas ao nosso redor. Em seguida, nos terceiro e quarto capítulos, destacamos alguns fundamentos básicos da acústica e suas propostas para aplicações no ensino de física. O capítulo cinco aborda a questão das escalas musicais e a razão entre as frequências das notas musicais que aparecem em alguns livros como se não existisse motivo para essas frações. No capítulo seis, há explicações simples e esclarecedoras sobre os fundamentos

físicos do fenômeno da ressonância, inclusive em instrumentos musicais. A acústica de salas é apresentada no capítulo sete em seus fundamentos. O capítulo oito trata da audibilidade que é a sensação de ouvir, ou seja, receber e interpretar o fenômeno físico da vibração. Veremos que, teoricamente, a análise da sensação sonora é feita através de três parâmetros: pitch, loudness e timbre. O capítulo nove está dividido em duas partes e fala sobre a psicoacústica, introduzida no capítulo anterior, e sobre a paisagem sonora em musicoterapia. Ao final, temos um anexo com roteiros de experimentos, os materiais ali encontrados são, em sua maioria, do Cidepe (Centro Industrial de Equipamentos de Ensino e Pesquisa), mas que podem ser facilmente substituídos por materiais de baixo custo em quase todas as etapas. As soluções dos experimentos podem ser obtidas pelos professores através do e-mail do projeto: afisicanamusica@gmail.com

Capítulo 1

Os intervalos

Maestro Luiz Roberto Perez Lisbôa Baptista Os intervalos são a chave mestra para se penetrar na linguagem musical no que se refere à sua melodia e à sua harmonia. Sem o seu conhecimento, temos uma escuta musical prejudicada e deficiente. A diferença entre uma 3a maior e uma 3a menor indica uma variação estética enorme que não pode passar despercebida ao ouvinte. O texto musical é composto de inúmeros intervalos ascendentes e descendentes.

Antes do temperamento (por volta de 1720 d.C.) que pacificou o problema das relações intervalares sonoras ao fixar valores exatos para as frequências, era complicado definir uma 2a maior ou uma 6a menor. Por quê? No passado, as três escolas principais da arte musical eram Itália, França e Alemanha que não se entendiam em relação à afinação e ao diapasão e, por consequência, os intervalos eram indefinidos e suscetíveis à cultura de cada região.

O temperamento provocado por Johann Sebastian Bach e por outras personalidades da época, incluindo físicos e matemáticos, criou uma normatização das frequências em relação às notas musicais. Ou seja, o Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si passaram a ter suas frequências definidas e as relações intervalares tornaram-se fixas. Em razão disso, é possível fazer uma quantidade imensa de boas e ótimas músicas.

A linguagem musical e suas regras não apareceram do dia para a noite. O que temos hoje é resultado de um intenso trabalho de elaboração e consequente aceitação da comunidade musical. Por exemplo, bemóis e sustenidos demoraram séculos para serem estabelecidos, a pauta musical de cinco linhas e quatro espaços já teve três, quatro, seis e sete linhas, mas o tempo se incumbiu de mostrar aos músicos a sua melhor forma.

As claves (chaves em espanhol) também tiveram várias formas e localizações na pauta, mas hoje temos Sol (para instrumentos agudos), Dó (médios) e Fá (graves). Por que seria diferente com as frequências? Atualmente, podemos facilmente memorizar a altura de uma 2a menor ou uma 7a maior, sem esquecer obviamente, que a voz humana não é temperada como um piano que não distingue do# de réb. No temperamento, tudo

está matematicamente estabelecido e a questão é: isso é importante ou não para a compreensão da música como um objeto de arte e na busca por uma educação melhor, fundamentada e coerente?

Hoje, as salas de aula ficam com cinquenta alunos ou mais e ainda assim querem que todos entendam os conteúdos programáticos da mesma forma, o que torna esse sistema de ensino um grande fracasso. A educação é algo mais profundo do que se possa imaginar já que ela molda o caráter do cidadão ao oferecer condições para que ele ascenda socialmente refletindo diretamente na sua autoestima. A cultura pode ser transmitida ao longo do tempo sem grandes questionamentos e problemas para um povo, mas a educação jamais poderá ser feita dessa forma. Se ela não funciona, precisa ser reelaborada com urgência, pois as consequências são gravíssimas para a nação. Que tipo de médicos, juízes, dentistas teremos no futuro? O que plantamos, colheremos.

Introduzir-se na acústica musical sem conhecer os intervalos musicais dentro do temperamento é um absurdo. Não precisamos ler música perfeitamente, mas precisamos distinguir suas relações intervalares urgentemente já que nada pode ser afirmado sobre a música sem o seu conhecimento.

O diapasão que hoje define a nota Lá3, ou o 2o espaço na clave de Sol é de 440 Hz. Os intervalos podem ser: ascendentes ou descendentes e usando o teclado do piano para melhor localização teremos:

No século XI, Guido D. Arezzo, um monge beneditino regente de coro, batizou as notas com os nomes conhecidos hoje. Antes dele, os sons musicais eram denominados por letras do alfabeto (A B C D E F G) e, ainda hoje, na cultura americana e inglesa, são usados como se as notas ainda não tivessem seus próprios nomes. É muito comum batizarmos com letras determinadas coisas da vida antes de termos um nome próprio para elas.

O que temos hoje, em termos de relação intervalar, é bem mais simples do que o que existia no passado, pois um Sib soa igual ao Lá# como se fossem o mesmo som, o que não reflete a verdade. Pois, esse som analisado como 4a de Fá e depois ouvido como sensível (7a Maior) de Si terá surpreendentemente duas frequências distintas, embora o piano nos mostre o mesmo som que fica na tecla preta entre o Lá e o Si. O temperamento acabou com essa diferença, mas isso traz alguns problemas de afinação para instrumentos que utilizam a escala natural oriunda dos harmônicos. Então, um trompete ou um trombone, por exemplo, quando tocam com o piano precisam ficar atentos aos possíveis desvios de afinação decorrentes do uso da escala temperada justaposta à escala natural.

Capítulo 2

Os sentidos: curiosidades e observações

Maestro Luiz Roberto Perez Lisbôa Baptista

Os sentidos são canais de percepção sobre os quais moldamos nossa personalidade, eles determinam a forma como percebemos as coisas ao nosso redor. Temos cinco sentidos:

1) Visão: ato de ver ou olhar; 2) Tato: ato de apalpar; 3) Olfato: ato de cheirar; 4) Paladar: ato gustativo;

5) Audição: ato de ouvir e escutar.

A vida moderna é extremamente visual e, em consequência, a visão é o sentido mais desenvolvido nos humanos. Contudo, ver e enxergar são coisas totalmente distintas em nossa concepção. Enxergar nos parece algo mais profundo. Um mágico, por exemplo, fazendo a sua mágica não nos ilude somente pela visão. A maioria das pessoas normalmente é iludida por vários mágicos da propaganda ou mágicos da política. Somos iludidos a todo o momento e nem nos damos conta, porque só vemos, não refletimos ou enxergamos.

Ainda sobre os sentidos, observa-se, no caso do olfato e do paladar uma relação muito próxima, por exemplo, quando ficamos doentes por um resfriado ou gripe forte, esses sentidos são automaticamente prejudicados. Os cegos usam o tato para transmitir as sensações do mundo exterior para o seu cérebro e geralmente eles possuem uma audição bastante apurada.

Em relação à nossa área de interesse, a audição bem trabalhada torna-se indispensável à física e à música. Precisamos distinguir timbres diversos, alturas, intensidades, perceber e contar durações diferentes, ou seja, exige-se uma ótima

percepção auditiva que é imprescindível para trabalhar na área de acústica. A palavra

acústica origina-se da palavra grega akouein e significa ouço.

Os rumos desastrosos que a Educação tomou ao longo dos anos facilitam o comportamento extremamente visual da sociedade. Retiraram-se elementos importantes e nada foi colocado no lugar como, por exemplo, a retirada do ensino de música das escolas e da gradativa desvalorização do latim como referência para o ensino do português

Há certas coisas na vida que são imutáveis ou não podemos mexer sob risco de perigo iminente. A vida para existir precisa de: ar, água e alimento. Não havendo um desses três elementos, ela se extingue. Fazendo uma comparação extrema, a música era uma forma de incentivar a criatividade, tão em falta hodiernamente, e estimular o trabalho em grupo.

A retirada do latim do currículo cortou a ligação com a língua mãe e nos empurrou direto para o inglês sob a alegação da facilidade e de que se trata de uma língua comercial no planeta. Que pobreza! Uma visão tão enganosa como achar que aprender computação resolverá o problema do desemprego e dará mais chances de trabalho para as pessoas. O diferencial é a criatividade em tudo o que se faz ou produz. Portanto, somente a computação e o inglês não garantirão a sobrevivência dos cidadãos. Para uma pessoa ignorante e para aqueles que levam alguma vantagem nesse tipo de situação educacional caótica não é conveniente que se estabeleça uma nova ordem na educação priorizando o “ser criativo”.

Aquele que “pensa, logo existe” e um ser inteligente atrai outro igualmente inteligente, mas a recíproca também é verdadeira: um ignorante atrai muitos outros ignorantes. A percepção da vida é primeiramente oferecida pela família do indivíduo depois pela escola e quando a família é pobre de recursos materiais e intelectuais a escola deveria suprir essa carência, afinal é para isso que estudamos: para melhorarmos nossa vida.

Capítulo 3

Uma proposta de utilização da acústica musical no ensino de física

Maria Lúcia Grillo Perez Baptista Usando a interdisciplinaridade física/música, abordamos conceitos relacionados à física ondulatória, como a reflexão, a interferência e outros que poderiam ser associados à geração e propagação do som por instrumentos musicais. Além disso, exploramos conceitos de teoria musical que podem ser explicados a partir da física e da matemática como altura, intensidade, timbre e duração, relacionados, respectivamente, à frequência, amplitude, superposição de ondas (diferentes componentes de Fourier) e tempo. Utilizamos alguns instrumentos musicais para obter espectros que relacionam as frequências de ressonância com a intensidade das ondas sonoras emitidas por eles. A partir dessa abordagem, visamos atender tanto a alunos de graduação quanto a professores de Ensino Médio de física que podem utilizar este trabalho para adquirir novos conhecimentos ou aprofundá-los. Quanto aos professores, a intenção é que eles possam transpor para os seus alunos essa abordagem interdisciplinar, no intuito de motivar, um pouco mais, o interesse dos alunos pelo estudo da física.

Na busca por mais alunos interessados em estudar física, pois a realidade mostra que essa matéria é apontada pelos alunos como uma das disciplinas mais desinteressantes, são utilizados projetos interdisciplinares na tentativa de estudar a física “escondida” nos assuntos que são de interesse dos alunos ou que fazem parte do seu cotidiano.

A relação física/música é bastante rica no sentido de poder explorar vários conceitos importantes da física por meio do estudo da música. Perguntas como “O que diferencia cada nota musical?” podem ser facilmente respondidas depois de um estudo sobre ondas e acústica. Essas e outras perguntas muitas vezes são de interesse dos alunos e na busca por esse interesse que utilizamos neste trabalho a música como agente motivador no ensino da física.

O estudo das ondas é de extrema importância para a física já que abrange diversas áreas. Mesmo possuindo complexidades em alguns princípios físicos do movimento ondulatório, esses fenômenos por serem tão presentes no cotidiano de

qualquer pessoa podem ser compreendidos, ainda que somente em seus conceitos (sem a parte matemática), pela comunidade em geral. Ondas aquáticas, ondas sonoras, ondas luminosas são alguns dos exemplos de ondas que, frequentemente, estão ao nosso redor. Partindo das características do som percebidas ao ouvir uma música, pretendemos mostrar que podemos ensinar o movimento ondulatório e assim atingir grande parte da física. Isso é possível porque o som é uma onda e os movimentos ondulatórios perpassam diferentes áreas. Mesmo sendo tão diferentes, todos os tipos de ondas são expressos pelo mesmo modelo matemático, as características dos sons musicais podem ser analisadas qualitativamente de acordo com a percepção de altura, intensidade, timbre e duração e, quantitativamente, de acordo com as características físicas de frequência, amplitude, superposição de ondas (diferentes componentes de

Fourier) e tempo. É possível analisar cada um desses temas a partir de instrumentos musicais, tendo, assim, uma abordagem mais prática.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) são os norteadores oficiais de projetos voltados para o Ensino Médio. Eles são orientações educacionais complementares e relatam ser uma das competências da disciplina física “compreender a física como parte integrante da cultura contemporânea, identificando sua presença em diferentes âmbitos e setores, como, por exemplo, nas manifestações artísticas ou literárias, em peças de teatro, letras de música, etc., estando atento à contribuição da ciência para a cultura humana” (Brasil, 2002). Os PCN+ propõem ainda a divisão da física em seis temas estruturadores que visam organizar o ensino da disciplina. Destacamos o tema três, “Som, imagem e informação”, que possui uma unidade temática coerente com o nosso trabalho. Ela sugere que as fontes sonoras sejam abordadas a fim de:

• Identificar objetos, sistemas e fenômenos que produzam sons para reconhecer as características que os diferenciam;

• Associar diferentes características de sons a grandezas físicas (como frequência, intensidade, etc.) para explicar, reproduzir, avaliar ou controlar a emissão de sons por instrumentos musicais ou outros semelhantes.

Iremos explorar a nossa proposta de ensino de física em conjunto com a música a partir de um resumo da análise, que é feita normalmente na graduação de física, dos fenômenos ondulatórios. Porém, pretendemos abordar este conteúdo por meio de uma linguagem que útil aos professores que levarão a proposta às escolas e para alunos que

estão no início da graduação e que tenham interesse em aprofundar o que aprenderam sobre o tema no Ensino Médio.

Ondas

A onda é uma perturbação qualquer sobre uma condição de equilíbrio e que se propaga de uma região do espaço para outra, no decorrer do tempo. Uma das principais características das ondas é que elas podem transportar energia e quantidade de movimento de um local para outro sem que haja o transporte de partículas materiais, ou seja, a onda não faz o transporte de matéria (Trefil, 2006). As ondas podem ser classificadas em eletromagnéticas ou mecânicas. Ondas luminosas e de rádio são exemplos de ondas eletromagnéticas e ondas sonoras e aquáticas são exemplos de ondas mecânicas.

O nosso estudo foi baseado em ondas mecânicas de que fazem parte as ondas sonoras. De forma mais simples, podemos dizer que esse estudo foi concentrado nas ondas harmônicas (Fig. 1) representadas por funções mais simples como seno e cosseno, mas os princípios desenvolvidos também são válidos para as ondas com formas mais complexas.

Fig. 1: gráfico de uma onda senoide.

Ondas mecânicas

As ondas mecânicas podem originar-se de uma perturbação inicial em algum ponto de um meio elástico que, graças a essas propriedades elásticas, faz com que a perturbação se propague através dele. As ondas mecânicas podem ser classificadas de acordo com algumas de suas características como, por exemplo, a direção de movimento de suas partículas (como transversais e longitudinais), número de dimensões

(como unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais) e periodicidade (neste caso, a onda será periódica ou simplesmente um pulso).

Ao tocar um violão, a onda que se propaga pela corda é um exemplo de onda transversal, mas ondas sonoras são exemplos de ondas longitudinais. Na figura 2, podemos ver um tipo de onda longitudinal que representa o movimento de um conjunto de esferas resultante da aplicação de uma força em uma das esferas. Com isso cria-se um deslocamento na direção da força aplicada que se propaga por todas as esferas.

Fig. 2: propagação longitudinal de um movimento gerado por uma força.

Propriedades das ondas

Qualquer tipo de onda pode ser descrito através de cinco parâmetros, são eles: comprimento de onda, frequência, período, velocidade e amplitude. A expressão mais comum da velocidade de fase v é a relacionada ao comprimento de onda e frequência. O comprimento de onda é igual a λ e o intervalo de tempo, que corresponde a cada passagem de um λ em qualquer ponto, é igual a τ (período). Sabendo o quanto essa onda se deslocou e o intervalo de tempo em que ocorreu esse movimento, podemos substituir na definição de velocidade e obter uma expressão para a velocidade de propagação de uma onda em termos de λ e τ:

τ λ = = gasto tempo percorrida distância v . (eq. 01)

A equação 01 diz que a onda terá se movido um λ durante o tempo que o ponto inicial (ou qualquer outro) precisou levar para uma oscilação completa, isto é, um período τ (Trefil, 2006).

Sabendo que

τ

1 =

f , podemos substituir essa expressão na equação 01. Assim, obtemos:

f

A equação 02 é a velocidade de fase de uma onda em propagação, seja ela transversal ou longitudinal. Porém, a velocidade de fase não depende efetivamente das propriedades da onda e sim das propriedades do meio.

Superposição de ondas

Um comportamento interessante observado no campo da física ondulatória é o principio da superposição de ondas, que diz que duas ou mais ondas lineares podem se combinar em um determinado ponto e o deslocamento de cada partícula neste ponto é o resultado da soma dos deslocamentos de cada onda separadamente. As ondas não perdem as suas características após essas combinações, isto explica como podemos distinguir os sons característicos de certos instrumentos musicais durante um concerto musical, onde vários instrumentos diferentes são tocados ao mesmo tempo.

Fig. 3: dois pulsos viajam em sentidos opostos ao longo de uma corda tensa. O princípio da superposição se aplica à medida que os pulsos se movem um através do outro.

O princípio citado é fisicamente possível se as duas funções de ondas que se somam forem lineares (y1(x,t) e y2(x,t)). Assim, a função resultante da soma delas é,

O princípio da superposição surge como um aliado no estudo do movimento de ondas complexas já que permite que essa análise seja feita por meio de uma combinação de ondas simples, o que facilita bastante esse estudo. Realmente, foi isso que o matemático francês J. Fourier (1768-1830) demonstrou: cada movimento periódico de uma partícula poderia ser representado como uma combinação de movimentos harmônicos simples, ou seja, de que precisava apenas de ondas harmônicas simples para formar a maioria das formas de onda. Por exemplo, vamos descrever uma forma de onda, em um dado instante de tempo, de uma fonte de ondas que tem comprimento λ, da seguinte forma (Resnick, 2003):

..., sen3 sen2 cos ... sen3 sen2 sen ) (x = A₀ +A₁ kx+A₂ kx+A₃ kx+ +B₁ kx+B₂ kx+B₃ kx+ y (eq. 04) Onde k=2π/λ.

Essa expressão é conhecida como série de Fourier. Para cada movimento periódico diferente, os coeficientes An e Bn têm seus próprios valores. Por exemplo, uma onda do tipo dente-de-serra pode ser representada por

. sen3 3 1 sen2 2 1 sen 1 ) (x =− kx− kx− kx−⋅⋅⋅ y π π π (eq. 05)

Se o movimento não for periódico, como o caso de um pulso, a série é substituída por uma integral; a integral de Fourier. Com isso, qualquer movimento de uma fonte de ondas pode ser facilmente analisado por uma combinação de ondas harmônicas simples.

Fig. 4: análise de Fourier de uma curva composta (a) em duas componentes senoidais. Em (b) aparece o som harmônico fundamental e em (c) o 2o _harmônico.

O timbre é uma característica do som, que está diretamente ligada ao corpo sonoro que o produz. Cada corpo sonoro tem peculiaridades que o distingue dos outros. O timbre se relaciona diretamente com a composição harmônica da onda sonora e nos permite identificar a procedência do som. O timbre é a personalidade do som: a flauta, uma buzina, um violino e um tímpano soam bem diferentes, mesmo que emitam a mesma nota. O timbre nos permite distinguir sons com mesma altura e intensidade, mas com diferentes componentes de Fourier, isto é, a superposição de ondas com frequências múltiplas da fundamental, distribuídas com diferentes amplitudes.

Quando a onda viaja por um meio não dispersivo a sua forma não se altera, porém, quando o meio é dispersivo, as formas de onda dos componentes de ondas senoidais se mantêm, porém cada onda poderá se propagar com velocidades diferentes. A forma da onda também pode ser modificada se houver perda de energia mecânica para o ambiente, seja por resistência do ar, viscosidade ou atrito interno. Nesses casos, os componentes da série de Fourier mais afetados são aqueles com velocidades de partículas mais elevadas, ou seja, aqueles com altas frequências, porque geralmente essas forças dissipativas dependem da velocidade.

Um fato resultante desse fenômeno é que a característica de um sompode mudar com o tempo. Por exemplo, ao tocar uma tecla de piano, é emitido um som característico do instrumento e que é composto por uma ampla faixa de frequências. Porém, a forma dessa onda vai mudar à medida que os componentes das frequências

mais altas percam amplitude mais rapidamente. O resultado é o decaimento deste som com o tempo, ou seja, os componentes de frequências mais elevadas vão dissipar a sua energia mais depressa do que os componentes de frequências menores.Assim, podemos deixar de distinguir um som característico de certo instrumento se o ambiente oferecer uma grande dissipação de energia.

Um tipo particular de superposição de ondas é a interferência. A forma da onda resultante da interferência vai depender de algumas das características das ondas ou dos pulsos, como a fase e a amplitude. Matematicamente, podemos descrever a interferência construtiva e destrutiva da seguinte forma (Hetch, 1991):

) sen( ) , ( ) sen( ) , ( 2 2 1 1 t kx Y t x y t kx Y t x y Φ − ω − = Φ − ω − = (eq. 06)

Em que Φ₁ Φe ₂são as fases iniciais das respectivas ondas. Agora, aplicamos o

princípio da superposição nas ondas y1 e y2:

)] ( ) ( [ ) , ( ) , ( ) , (xt = y₁ x t +y₂ x t =Y sen kx− t−Φ₁ +sen kx− t−Φ₂ y

ω

ω

Assim, obtemos a equação y(x,t) que representa o resultado da interferência das ondas y1(x,t) e y2(x,t). Usando a relação trigonométrica:

) ( 2 1 cos ) ( 2 1 2 α β α β β α +sen = sen + − sen , (eq. 08)

Podemos reescrever a equação 07 como:

) ( ) 2 / cos( 2 ) , (_{x t = Y ∆Φ sen kx− t−Φ}* y

ω

A quantidade 2Ycos(∆Φ/2) representa a amplitude da combinação. Analisando esse valor teremos uma interferência construtiva quando:

completa const. Interf. 0 2Y Amplitude ⇒ = ∆Φ ≈ ⇒ << ∆Φ

E uma interferência destrutiva quando:

completa destrutiva Interf. zero Amplitude º 180 z Amplitude º 180 ⇒ = ⇒ = ∆Φ ≈ ⇒ ≈ ∆Φ ero

(a) (b) (c)

Fig. 5: ilustração de ondas se interferindo em fase (a), com uma diferença de fase de 180º (b) e com diferença de fase entre 0o _{e 180}o _(c).

No caso do fenômeno da interferência ocorrer em ondas contínuas, pode acontecer que, se as ondas chegarem num mesmo ponto e na mesma fase, haverá uma interferência construtiva e, se ocorrer o contrário, ou seja, as ondas chegarem num mesmo ponto e com fases opostas, haverá uma interferência destrutiva.

A onda estacionária é a interferência de duas ondas que se propagam em sentidos opostos com frequência e amplitude iguais. Ela tem a sua formação caracterizada por nós e ventres (ou antinós). Os nós são os pontos onde o deslocamento é nulo em qualquer instante de tempo. Entre dois nós existe o ventre, onde as partículas oscilam com amplitude máxima. Matematicamente, podemos representar uma onda estacionária da seguinte forma:

) , ( ) , ( ) , (x t y₁ x t y₂ x t y = + , (eq. 10).

Onde: y₁(x,t)= ymsen(kx−

ω

ω

Usando a relação trigonométrica da equação 08, podemos reescrever a equação 10 como: cos ] sen 2 [ ) , (x t y kx t y = m

ω

Onde a quantidade que está entre colchetes é a amplitude da onda estacionária. Analisando a equação 11, vemos que qualquer partícula, independente da sua posição no eixo x, é submetida ao movimento harmônico simples (MHS) e que todas as

partículas vibram com a mesma frequência angular ω. Diferentemente das ondas em propagação, a amplitude de vibração das partículas das ondas estacionárias não depende do instante de tempo em que ela está sendo analisada, e sim varia de acordo com a localização x de cada partícula. Com isso a amplitude [2ymsenkx]terá valor máximo igual a 2ym e valor mínimo igual a zero.

As ondas estacionárias são de grande importância na produção de sons em instrumentos musicais acústicos. São geradas em cordas de instrumentos como violão ou violino, em objetos bidimensionais ou tridimensionais, nos instrumentos de percussão, como pratos ou tarol, ou, ainda, em tubos ocos nos instrumentos de sopro, como a flauta e o órgão (Trefil, 2006).

As ondas sonoras e os instrumentos musicais

As ondas sonoras no ar são ondas de pressão, pois, ao se propagarem, elas causam uma perturbação de compressão e descompressão das partículas, ocasionando uma diferença de pressão ao longo da propagação da onda. É importante lembrar que as partículas não se propagam, elas apenas oscilam em torno de suas posições de equilíbrio, apenas a perturbação é propagada.

A produção do som, pela voz ou por um instrumento musical, é realizada pela transmissão de uma onda, gerada por um sistema vibrante, através de um meio até o observador (ou ouvinte). A natureza dos sons vai depender das características do sistema vibrante.

Como foi dito anteriormente, uma onda pode ser representada pela soma de diversas ondas individuais, as quais chamamos de componentes de Fourier. A partir desta combinação, são formadas as ondas sonoras, ou seja, os sons. Assim, um som, mesmo sendo de uma única nota musical, é o resultado da superposição de diversas ondas sonoras. Isso ocorre porque qualquer objeto ou corpo sólido possui moléculas que têm certa vibração natural, isto é, uma frequência característica. Deste modo, ao ser posto em vibração, é criada no corpo uma combinação das frequências de todos os átomos, formando um padrão de vibração (também chamado de timbre) que é intrínseco a esse corpo. Com isso, a maioria dos instrumentos musicais tem um grande número de frequências naturais de vibração, para tornar possível a emissão diversas notas musicais. Assim, representamos um som de forma bem simples, como:

SOM = f1 + f2 + f3 + f4 + ..., (eq. 13)

Onde cada fn representa uma frequência posta em vibração. Se as frequências

forem múltiplas da primeira frequência, chamada de frequência fundamental, dizemos que o som produzido é harmônico e as frequências múltiplas são os harmônicos. O primeiro termo é chamado de harmônico de ordem 0 (zero) ou fundamental, o segundo, de harmônico de primeira ordem e assim sucessivamente. É esta a principal diferença entre um ruído e uma música, pois os ruídos, geralmente, não são sons harmônicos.

Partindo desse conceito, ao ser gerada uma perturbação num instrumento, as partículas deste meio vão vibrar de acordo com a frequência da perturbação e irão produzir um som formado de diversas ondas sonoras superpostas. Porém, dá-se o nome do som, isto é, da nota musical de acordo com a frequência fundamental.

Para criar um som contínuo, como o que é produzido por um instrumento musical ou pela voz humana, é necessário que a onda sonora criada seja estacionária. Em diferentes instrumentos, as ondas estacionárias são geradas de diversas formas.

Os tradicionais instrumentos musicais acústicos (não eletrônicos) podem ser divididos em três grupos. Esta classificação é feita de acordo com o tipo de meio utilizado para a propagação da onda, entretanto, cada instrumento vai possuir seu próprio timbre. O primeiro grupo compreende os instrumentos de cordas vibrantes, onde as ondas estacionárias são geradas em cordas esticadas. São exemplos desse grupo o violão e o violoncelo. O segundo abrange os instrumentos de percussão, em que as ondas são geradas por objetos bidimensionais como membranas (tarol e tímpano) ou tridimensionais como blocos de madeira (marimba e xilofone). E o terceiro grupo é formado por instrumentos de sopro, nos quais as ondas são geradas por colunas de ar vibrante, como a flauta, o trompete e o trombone (Trefil, 2006).

Vibrações complexas e seus espectros

Anteriormente, consideramos que os sistemas de vibração poderiam vibrar em vários modos diferentes e, cada caso, é relacionado a uma frequência diferente. Portanto, um modo de vibração pode ser excitado individualmente por algum tipo de perturbação relacionado a certa frequência. Entretanto, é mais comum um sistema de vibração entrar em ressonância do que os vários modos sejam perturbados simultaneamente. A descrição deste movimento vibracional é bastante difícil, pois é necessário saber a amplitude (ou intensidade) e a frequência de cada modo de vibração

perturbado. A obtenção deste resultado é feita através da análise do espectro da vibração (Rossing, 1990).

O espectro de uma vibração indica quais frequências entraram em ressonância e com que intensidade cada uma vibrou. Essa análise de espectros é também chamada de análise de Fourier, em que cada uma destas frequências perturbadas pode ser representada como componentes de uma série de Fourier. É o espectro de um som que representa o timbre de cada instrumento musical. Quanto maior o número de frequências em ressonância, mais rico é o som, porém se as frequências não forem múltiplas da fundamental (primeiro pico de frequência), o som não será harmônico e considerado um ruído.

Obtivemos alguns espectros de instrumentos acústicos (não eletrônicos) com a ajuda de um programa de computador chamado GRAM 10 (pode ser usado outro semelhante). Estas experiências podem ser facilmente realizadas nas escolas, basta ter disponível um computador, com o programa apropriado, que pode ser obtido pela internet. Quanto aos instrumentos, os próprios alunos poderão levar para as experiências e mesmo realizá-las em casa.

Fig. 7: espectro de um som emitido por um tarol, onde muitas frequências são ativadas.

Fig. 8: espectro do Ré 3 na flauta transversa com frequência fundamental 293,6 Hz.

Resultados e conclusões

Através desses espectros, podemos visualizar as frequências presentes na emissão de uma determinada nota. A frequência fundamental é a que dá o nome à nota. O timbre é determinado pelo conjunto de sobretons presentes com diferentes intensidades. Por estes espectros podemos comparar os diferentes instrumentos. Alguns instrumentos de corda, como o violão e o violino (fig. 7), apresentam grande número de sobretons e comparando os dois, observamos que o violino possui um som mais rico, com maior número de sobretons. O tarol (fig. 8) não possui uma frequência fundamental e harmônicos superiores como o violão e o violino, ao contrário, aparecem muitas frequências ao mesmo tempo, o que o caracteriza como instrumento não harmônico. A

comparação entre a flauta doce e a flauta transversa (fig. 9) é semelhante a do violão e violino. A flauta doce possui menos harmônicos que a flauta transversa, mas a trompa possui mais harmônicos com intensidades relativas maiores, ou seja, seu som é muito mais rico. Essas e outras observações podem ser deixadas como exercício. Sugerimos algumas considerações que fizemos com os alunos:

• Medir as frequências presentes no espectro (fundamental e sobretons).

• Comparar as frequências presentes e ver se são múltiplas da fundamental. O que isso representa?

• Verificar se o instrumento musical estava afinado. Nesse caso, será necessário consultar uma tabela de frequências, de preferência, da escala temperada.

• Tentar repetir a frequência fundamental com a própria voz e verificar se é uma pessoa afinada.

• Comparar diferentes instrumentos.

Outra observação que fizemos através desses espectros, que são uma “fotografia” do timbre, é que ele pode variar em um mesmo instrumento e em diferentes faixas de frequência. Vimos também que o timbre não depende apenas do material e formato do instrumento, mas também do músico que o toca, ou seja, depende da forma de ataque da nota, da forma com que o instrumento é executado. Entre os sons harmônicos, que são os picos mais intensos, observamos picos menores que provocados por ruídos que acompanham as notas, porém são bem menos intensos. Cada instrumento possui sua peculiaridade, como a flauta transversa que, devido ao tipo de sopro necessário para que uma nota seja emitida, sempre nos faz ouvir a vibração do sopro (fig. 9). Essas observações podem ser feitas através da percepção auditiva de pessoas treinadas e são provadas fisicamente através da análise de Fourier, isto é, da decomposição das frequências presentes num único som. Interessante também é calcular, através dos espectros, quais as frequências presentes em cada espectro e mostrar que os sobretons dos instrumentos harmônicos são múltiplos da frequência fundamental, o que já era previsto pela equação 04, da série de Fourier.

Embora o ensino da acústica esteja previsto nos PCN, não é um tema que receba muita atenção, tanto nas escolas quanto nas universidades. Temos observado e confirmado que a acústica, especialmente a acústica musical, é realmente um instrumento capaz de motivar os alunos e permitir a abordagem de diferentes aspectos da física.

Referências

TREFIL, J. e HAZEN, R. M. Física Viva. v. 2, Rio de Janeiro: LTC, 2006. HETCH, E. Óptica. Lisboa: Fundação Calouste Gulbekian, 1991.

Brasil. Secretaria de Educação Média e Tecnológica (Semtec). PCN + Ensino médio:

orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, 2002.

MENEZES, F. A Acústica Musical em Palavras e Sons. São Paulo: Ateliê Editorial, 2003.

ROEDERER, J. G. Introdução à Física e Psicofísica da Música. São Paulo: EdUSP, 2002.

ROSSING, T. D. The Science of Sound. EUA: Addison-Wesley, 1990.

Capítulo 4

O violão no ensino de física

Maria Lúcia Grillo Perez Baptista

Uma grande dificuldade enfrentada pelo professor de física, especialmente o de nível médio, é a falta de motivação de seus alunos, para quem a disciplina parece muito distante do cotidiano. Uma opção para contornar esse problema é a utilização de exemplos e atividades relacionadas aos interesses dos estudantes. Nesse sentido, a música pode ser um importante aliado do professor na busca por motivação. O estudo de uma corda vibrante, por exemplo, pode ser estudado em laboratórios de física e muito bem ilustrado se aplicado diretamente à vibração de uma corda em um instrumento musical, como um violão ou um violino.

O cientista/pesquisador possui um papel que vai além da produção de conhecimento em sua área específica e ele não deve esquecer a sua responsabilidade frente à sociedade atual. Todo cientista tem uma responsabilidade moral e social mínima e específica (Kneller, 1978). Ele deve abster-se de realizar qualquer pesquisa que possa colocar em perigo o público ou ter aplicações tecnológicas potencialmente mais nocivas que benéficas.

É desejável e inevitável certo controle democrático da Ciência. Os cientistas podem, sobretudo, educar e incentivar o grande público para entender sua natureza e participar da sua administração. Podem fazê-lo da melhor maneira debatendo abertamente as finalidades e limitações da atividade científica. O cientista pode e deve explicar o seu trabalho de um modo que o público possa entender. Nesse sentido, podemos falar de combate à exclusão social, não só daqueles economicamente excluídos, mas também daqueles que, vivendo em plena era de desenvolvimento científico e tecnológico, não conseguem usufruir e entender bem os novos conhecimentos. Caso sejam científica e economicamente excluídos, a situação se agrava, bem como nossa responsabilidade.

Um dos aspectos da inclusão social é possibilitar que cada brasileiro tenha a oportunidade de adquirir conhecimento básico sobre a Ciência e seu funcionamento e que lhe ofereça condições de entender o seu entorno, de ampliar suas oportunidades no mercado de trabalho e de atuar politicamente com conhecimento de causa (Moreira, 2006).

Podemos dizer mesmo que os cientistas também deveriam interessar-se mais pelo ensino e pela divulgação da Ciência, discutindo seus trabalhos com professores, e explicando-os pessoalmente aos estudantes (Kneller, 1978). Isso fica mais simples de ser realizado quando as tarefas de professor e pesquisador são acumuladas e é possível atuar nos três setores que são os alicerces de toda universidade: ensino, pesquisa e extensão. Os jovens podem entender melhor a natureza da Ciência se um professor/pesquisador os encorajar a realizar pesquisas por conta própria, formulando e resolvendo problemas dentro dos limites de sua experiência e compreensão. O cientista deve também apresentar a Ciência como atividade humana e falível que é. Deve encorajar o professor a cultivar um espírito crítico e inquiridor nos jovens.

Com esses objetivos de um maior alcance do conhecimento científico e tecnológico, isto é, uma maior popularização da ciência, buscam-se hoje novas modalidades de transmissão desses conhecimentos, incluindo a educação formal e a informal. A recente III Conferência Nacional de Ciência, Tecnologia e Inovação (realizada em novembro de 2005) apresentou várias propostas nesse sentido. Na área da educação científica, as propostas foram: apoiar programas de aprimoramento da formação inicial e qualificação de professores nas áreas de ciências; promover a valorização da atividade do professor com bolsas, apoio a projetos de pesquisa nas escolas e estágios em laboratórios, premiações etc.; estimular e apoiar a realização de feiras de ciências, olimpíadas e concursos que favoreçam a criatividade, a inovação e a interdisciplinaridade (Moreira, 2006), entre outras atividades.

Um dos aspectos dos desafios para a melhora no ensino de física é a necessidade de as universidades se abrirem mais para a sociedade (Moreira, 2006). Durante muitas décadas, inclusive por razões históricas, ela esteve muito voltada para a elite. Nos últimos anos, tem-se intensificado o movimento de abertura para a comunidade com a expansão das atividades de extensão e pesquisa em ensino de física. É surpreendente que as pessoas consigam aprender tanto em tão pouco tempo. No entanto, serão capazes de aprender mais se o conteúdo for apresentado de maneira interessante.

A interdisciplinaridade é hoje reconhecida como sendo de grande importância e necessidade: “Todo trabalho científico de real importância transcende os limites disciplinares e também a capacidade de trabalho de um pensador isolado” (Cohn, 2006, p.1).

O que está em jogo na interdisciplinaridade é a produção de novas questões, e não o acúmulo de conhecimento, que permite apenas a solução de problemas técnicos pontuais, o que não exclui, entretanto, a ideia do trabalho especializado. “É preciso conhecer muito bem a teoria do meu campo de estudo para dialogar com alguém de outra área, e fazer isso com competência” (Floriani, 2006, p. 1).

A interdisciplinaridade física-música

As atividades humanas, sejam artísticas ou científicas, seguem normas de conduta rígida. Todas passaram pelo empirismo, chegando a um ponto onde os resultados são satisfatórios e as possibilidades são previsíveis. A distinção entre as duas está na utilização ou para que servem. Depende do grau de interesse de cada grupo social ou da educação e cultura de cada povo.

O que deve ser buscado em todas as atividades é o desenvolvimento da criatividade, isso é importante tanto para a ciência quanto para a arte: a novidade, a busca de um caminho diverso, inusitado, ou aquele pouco visitado. Um gênio só precisa de uma ideia, o resto é desenvolvimento, como num texto. Quem não é superdotado pode muito bem aprender a desenvolver ideias já propostas, mas pouco exploradas.

A arte tem muito do pensamento científico, que necessita desesperadamente ser pelo menos um pouco artístico, no sentido de invenção: a busca da descoberta, a novidade procurada a todo custo e não ser apenas uma repetição tola. E isso ocorre tanto na ciência quanto na arte. O caminho da mediocridade é rápido e às vezes lucrativo, mas traz embutido o ônus da frustração quando inevitavelmente comparamos a verdadeira invenção com uma simples repetição sem criatividade.

A construção de instrumentos musicais é física pura, porém não há em nenhuma universidade as disciplinas de apreciação musical, percepção, Luthieria e outras, constando nos currículos de física, matemática, psicologia e outras áreas. Nem mesmo a disciplina de acústica tem sido incluída atualmente nos currículos de física. A música

pode muito bem ser utilizada no ensino da matemática e da física, trazendo assim um maior interesse para as atividades científicas.

Também no currículo da medicina, a música pode ser utilizada como relaxante e auxiliar anestésico. A pintura tem sido utilizada como auxiliar na terapia de pacientes que precisem estimular a imuno-defesa. O teatro é outra atividade artística que utiliza a experimentação de realidades diferentes da sua e que pode também ser usado no ensino da ciência. A dança serve como interação e aproximação das pessoas, o cinema como incentivador de ideias científicas avançadas ou enfatizador de realidades pouco visíveis. Estudar arte, principalmente nos primeiros anos de vida, significa ampliar a perspectiva de vida, não como elitismo, mas como ampliador do pensamento humano deteriorado em virtude de uma série de fatores, principalmente econômicos e políticos. Mas os “politiqueiros” se esquecem que o mercado de música, por exemplo, é da ordem de trilhões de dólares em todo o planeta. E as universidades e órgãos afins não conseguem vislumbrar as vantagens da arte integrada ao estudo científico. Albert Einstein tocava violino muito bem e o instrumento o ajudou muito na elaboração da sua famosa Teoria da Relatividade. O violino é um instrumento não temperado que possui uma gama de sons muito grande e de difícil execução.

Existe hoje uma necessidade urgente de diálogo entre as ciências e as artes que passará consequentemente pela educação.

A física do violão

Dentre as inúmeras possibilidades de estudo, na interface física-música, optamos pelo estudo do violão, por ser um instrumento musical muito conhecido, barato e fácil de ser encontrado. O violão faz parte do grupo dos instrumentos de cordas e, em sua origem, possivelmente na antiguidade, possuía uma forma diferente da atual, com diferentes quantidades de cordas. Hoje, o violão possui seis cordas afinadas com as notas (Rossing , 1990):

A numeração ao lado do nome da nota indica em que faixa de frequência está localizada. A música para violão é notada uma 8ª acima do que soa (Sadie, 1994). Todo instrumento, antes de ser utilizado, precisa ser afinado, de modo que possa reproduzir as notas que sua estrutura física permite, mas que estejam dentro das frequências historicamente definidas como parte das escalas em uso (Menezes, 2003). No ocidente, a escala mais usada é a temperada (as escalas serão explicadas no próximo capítulo). A escala natural por vezes é utilizada, especialmente por instrumentistas de cordas, quando não serão acompanhados por instrumentos como o piano e o teclado que usam a escala temperada. Os instrumentos de cordas são normalmente afinados através do ajuste da tensão ou, às vezes, da extensão de vibração sonora de cada corda (Sadie, 1994).

O violão possui um dispositivo para afinação que regula a tensão na corda, uma espécie de parafuso onde a corda é presa e enrolada (ver imagem). No braço do violão, são colocados trastes de metal que dividem o seu comprimento em tamanhos pré-calculados de modo que o comprimento efetivo da corda vibrante sempre produza sons respeitando as frequências da escala temperada.

Fig. 1: violão atual 1. mão ou paleta 2. pestana

Cordas Notas Frequências

1ª Mi3 329,6 2ª Si2 246,9 3ª Sol2 196,0 4ª Ré2 146,8 5ª Lá1 110,0 6ª Mi1 82,4

3. tarrachas ou cravelhas 4. trastes

5. braço

6. tróculo (junta do braço) 7. corpo

8. cavalete (ou ponte) 9. fundo 10. tampo 11. lateral ou faixas 12. abertura ou boca 13. cordas 14. rastilho 15. escala

O som do violão é emitido através de principalmente três processos físicos: as ondas transversais estacionárias nas cordas, com o modo fundamental e seus harmônicos (com frequências múltiplas da fundamental); a propagação do som produzido pelas cordas para o corpo, de madeira, onde são produzidos os modos ressonantes; e, finalmente, a onda sonora propagada no ar que atinge nossos ouvidos.

A velocidade (v) de uma onda transversal numa corda está relacionada com a tensão aplicada (T) e a densidade da corda (µ)pela expressão (Resnick, 2003):

µ

ν

A condição para que uma onda estacionária seja gerada em uma corda de comprimento L, fixa nas duas extremidades é:

2

λ

ν

Onde n é a ordem do modo de vibração (o modo fundamental possui n = 1) e L normalmente mede 65 cm.

Substituindo o valor de v da eq. 1 na eq. 3 temos a relação entre a tensão e a frequência: 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 n L f T L T n f T L n L n f n n n

µ

µ

µ

ν

Então, quando afinamos um violão, ajustamos cada corda de forma que a tensão aplicada (T) produza a frequência (f) desejada, conforme tabela 1.

A nota Lá3, convencionalmente, serve de “norte” para a afinação de todos os instrumentos. No violão, o Lá3 corresponde à primeira corda pressionada na quinta casa. Para sabermos que tensão deve ser aplicada em cada corda podemos usar o diapasão como referência, que emite o Lá3 ou algum outro instrumento que esteja afinado. Essas formas de afinação exigem uma boa percepção, especialmente a primeira, já que o diapasão tradicional só emite uma única nota. Quando se afina o violão por outro instrumento, pode-se observar a coincidência de frequências e também o fenômeno do batimento. O batimento é um fenômeno físico que ocorre sempre que dois sons de frequências muito próximas são tocados juntos e geram um terceiro som, cuja frequência é a diferença entre as duas primeiras. Se o batimento depende da diferença entre as frequências, quanto menor a diferença entre as alturas dos sons tocados menor

será a frequência do batimento. Ao afinarmos um violão escutando os batimentos, vamos ajustando a tensão da corda de modo que a frequência do som do violão vá se aproximando à desejada e, por consequência, o batimento vai ficando cada vez mais devagar. Quando não ouvimos mais o batimento, sabemos que a corda está afinada, pois:

f batim = f 1 - f 2 = 0
f 1 = f 2 (eq. 5)

Outra maneira de afinar o violão, que dispensa a necessidade de uma boa percepção, é usando o programa Gram 10 (ou outro semelhante) que separa as frequências presentes num som. A frequência fundamental será a que deve ser usada como referência.

A espectroscopia sonora do violão

Os sistemas de vibração podem vibrar em vários modos diferentes. Cada modo é relacionado a uma frequência diferente e, portanto, um modo de vibração pode ser excitado individualmente por algum tipo de perturbação relacionado a certa frequência.

Entretanto, é mais comum um sistema de vibração entrar em ressonância do que os vários modos sejam perturbados simultaneamente. A descrição desse movimento vibracional é bastante difícil, pois é necessário saber a amplitude (ou intensidade) e a frequência de cada modo de vibração perturbado. A obtenção deste resultado é feita através da análise do espectro da vibração (ver capítulo 3).

Resultados e conclusões

Estudamos alguns aspectos da física do violão. Apesar de ser um instrumento relativamente simples, a física envolvida é bastante complexa e pode ser bastante explorada e aprofundada, conforme o nível desejado e o público que se deseja atingir. Desde o início do nosso trabalho, sempre confirmamos que se trata de um tema que desperta interesse em todo tipo de pessoa, de todos os níveis de conhecimento e de diferentes áreas. Apresentamos oficinas durante as semanas do UERJ sem muros, no

período de 2006 a 2010, e muitas pessoas demonstraram interesse nas explicações sobre os fenômenos físicos envolvidos nos instrumentos, principalmente no violão. Além disso, já ministramos sete cursos de extensão na UERJ abertos a todos da universidade, bem como à comunidade externa. Dentre todos os instrumentos que estudamos fisicamente, o violão é sempre o que desperta maior interesse. A procura por esse curso envolveu todas as áreas, principalmente estudantes de física e de música, mas também de outros cursos, como medicina, história, pedagogia, letras, biologia e oceanografia. Inclusive pessoas que trabalham na área de luthieria nos procuraram para tentar aperfeiçoar a construção de violões. Implantamos uma disciplina eletiva de acústica, para estudantes do curso de física e observamos também grande interesse.

Estamos certos de que não exaurimos o assunto, e pretendemos continuar os estudos envolvendo a física do violão e de outros instrumentos de corda.

Referências

COHN, G. “Interdisciplinaridade é fundamental para pensar os novos dilemas do planeta”. Jornal da Ciência, 21 de julho de 2006.

FLORIANI, D. “Reunião anual da SBPC: a arte de inventar questões sob a ótica da interdisciplinaridade”. Jornal da Ciência, e-mail 3063, de 21/07/2006.

KNELLER, G. F. A Ciência como Atividade Humana. São Paulo: Ed. Zahar, 1978. MENEZES, F. A Acústica Musical em Palavras e Sons. São Paulo: Ateliê Editorial,

2003.

MOREIRA, I. de C., “A inclusão social e a popularização da ciência e tecnologia no Brasil”. Inclusão Social, v. 1, n. 2, pp. 11-6, Brasília: 2006.

______. “Necessitamos de um grande movimento para popularizar a ciência”. In Jornal

da Ciência, 11 de agosto de 2006. Disponível em http://www.jornaldaciencia.org.br/Detalhe.jsp?id=39853

RESNICK, R. et al. Física 2. Rio de Janeiro: Ed. LTC, 2003.

ROSSING, T. D. The Science of Sound. U.S.A.: Addison Wesley, 1990.

Capítulo 5

Maria Lúcia Grillo Perez Baptista A escala é uma determinada sequência de notas e a escala natural dos sons é aquela que respeita a relação entre as frequências ditadas pela série harmônica. Cada som que ouvimos se propaga através de um grupo de ondas sonoras (a fundamental e os harmônicos). A série harmônica é composta por todas essas frequências. Cada frequência fn é um modo de vibração e todos os modos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Podemos citar como exemplo a série harmônica do Dó1 (ver tabela 1). Desta forma, gera-se a escala natural que é diferente da escala temperada usada no piano. Os intervalos entre as notas são chamados 2ª, 3ª, 4ª, etc, conforme o número de notas envolvidas: entre o Dó e o Ré temos uma 2ª, da mesma forma entre o Fá e o Sol ou Si e Dó, ou seja, são notas sucessivas. A terça é o intervalo que envolve três notas: entre o Dó e o Mi ou entre o Fá e o Lá (ou seja, dó-ré-mi ou fá-sol-lá). A classificação maior ou menor vem do número de semitons envolvidos em cada intervalo, onde semitom é o menor intervalo entre as notas do piano ou entre notas emitidas, no violão, apertando-se a corda em casas sucessivas: dó-dó#, mi-fá ou lá#-si. A 2ª maior possui dois semitons (um tom) e a 2ª menor apenas um semitom. A 3ª maior possui quatro semitons ou dois tons, como entre o Dó e o Mi ou entre o Mi e o Sol#1 (ver Fig. 1).

Fig. 1: Alguns intervalos: 2a _{maior, 3}a _{maior, 4}a _{justa, 5}a _{justa, 6}a _{maior e 7}a _maior.

Tabela 1: Série harmônica de Dó1

Nota Frequência Intervalo em relação à nota anterior Dó1 f Dó2 2f 8ª justa Sol2 3f 5ª justa Dó3 4f 4ª justa Mi3 5f 3ª maior Sol3 6f 3ª menor Sib3 7f 3ª menor Dó4 8f 2ª maior Ré4 9f 2ª maior Mi4 10f 2ª maior Fá#4 11f 2ª maior Sol4 12f 2ª menor Láb4 13f 2ª menor

Queremos calcular a razão entre as frequências na escala natural. Para a 2ª maior: intervalo entre Dó4 e Ré4, de frequências 8f e 9f, a razão é 9f/8f ou

f(2ª maior acima) = (9/8)f da nota anterior

Poderíamos também considerar o intervalo entre a 1ª nota da série, Dó1 e a nota Ré4, reduzida para a 1ª oitava, ou seja, abaixando três oitavas (divide-se por 8 a frequência). Então obtemos 9/8 como antes.

Para a 3ª maior: intervalo entre Dó3 e Mi3, de frequências 4f e 5f, cuja razão é 5f/4f ou f(3ª maior acima) = (5/4)f da nota anterior.

Para a 4ª justa: intervalo entre e Sol2 e Dó3, de frequências 3f e 4f, cuja razão é 4f/3f ou f(4ª justa acima) = (4/3)f da nota anterior.

Para a 5ª justa: intervalo entre Dó2 e Sol2, de frequências 2f e 3f, cuja razão é 3f/2f ou f(5ª justa acima) = (3/2)f da nota anterior.

Para a 6ª maior: esse intervalo não aparece entre notas sucessivas da série harmônica, mas podemos considerar o intervalo entre as notas Sol2 e Mi3, que é uma 6ª maior, cujas frequências são 3f e 5f. Então a razão será 5f/3f ou f(6ª maior acima) = (5/3)f da nota anterior

Para a 7ª maior: esse intervalo também não aparece entre notas sucessivas na série harmônica e consideramos as notas Dó4 e Si4, com frequências 8f e 15f, com razão 15f/8f, então f(7ª maior acima) = (15/8)f da nota anterior

Da mesma forma obtemos as razões para os outros intervalos e obtemos as razões para a escala diatônica maior natural (tabela 2).

A escala maior natural tem origem direta da série harmônica e o intervalo entre a 1ª nota e a 3ª é uma terça maior. Na escala menor esse intervalo é uma terça menor, ou seja, na escala de dó maior a 3ª nota é o Mi e na escala de Dó menor será o Mib (lê-se mi bemol), mais baixo que o Mi, em frequência, de 1 semitom.

Para a divisão dos sons em 12 notas da cultura ocidental, esta escala causa certo desconforto, pois as razões r entre as frequências das notas são diferentes. Para corrigir esta pequena diferença foi criada a escala temperada, onde se divide o intervalo de uma oitava em 12 partes iguais (as razões entre as frequências de notas sucessivas são as mesmas).

Tabela 2: Intervalos entre as notas da escala diatônica maior natural e as razões entre as frequências Intervalo Razão r 2ª maior 9/8 = 1,125 3ª maior 5/4 = 1,25 4ª justa 4/3 = 1,333 5ª justa 3/2 = 1,5 6ª maior 5/3 = 1,666

7ª maior 15/8 = 1,875

8ª justa 2

Na escala temperada temos, numa oitava, 12 notas com intervalos iguais (neste

caso estamos nos referindo à escala que possui intervalos de 1 semitom entre as notas, isto é, a escala cromática, diferente da diatônica que varia entre tom e semitom entre as notas sucessivas). Dizer “intervalos iguais” significa que a razão entre as frequências é a mesma 2.Exemplo: de Dó3 a Dó4.

Dó, Dó#, Ré, Ré#, Mi, Fá, Fá#, Sol, Sol#, Lá, Lá#, Si, Dó (escala cromática de Dó), essas notas correspondem às frequências de f1 a f13. Se as razões entre as frequências sucessivas são iguais temos uma progressão geométrica. A progressão geométrica é gerada pela expressão:

an = a1 xn-1 (eq. 1)

A escala temperada forma uma progressão geométrica quanto à frequência. Na escala de dó3: a1 = f de dó3 e a13 = f de dó4 (1 oitava acima). Substituindo na eq. 1 temos:

a1 = f ; a13 = 2f

a13 = a1 xn-1 → 2f = f x12 → x = 21/12 = 1,059463 → isto é o semitom do temperamento igual. A razão entre frequências, de notas sucessivas, é igual, e não a diferença entre as frequências.

Usando esse método podemos calcular as frequências e as razões entre as frequências para cada intervalo. Consideremos novamente a escala cromática de Dó3. Os intervalos entre as notas sem alteração (sem bemol) são:

2ª maior, 3ª maior, 4ª justa, 5ª justa, 6ª maior, 7ª maior e 8ª justa. Para a 2ª maior temos: a3 = a1 x2

f3 = 261,63 x (21/12)2 = 261,63 x 1,1224 = 293,66

Para a 3ª maior: f5 = 261,63 x 24/12 = 261,63 x 1,2599 = 329,63 Hz Para a 4ª justa: f6 = 261,63 x 25/12 = 261,63 x 1,3348 = 349,23 Hz Para a 5ª justa: f8 = 261,63 x 27/12 = 261,63 x 1,4983 = 392,00 Hz

Para a 6ª maior: f10 = 261,63 x 29/12 = 261,63 x 1,6817 = 440,00 Hz (o famoso lá fundamental ou lá3)

Para a 7ª maior: f12 = 261,63 x 211/12 = 261,63 x 1,8877 = 493,89 Hz Para a 8ª justa: f13 = 261,63 x 212/12 = 261,63 x 2 = 523,26 Hz

Temos então as razões para os intervalos da escala diatônica maior temperada, como na tabela 3, que são diferentes das razões da escala natural:

Tabela 3: Intervalos da escala diatônica maior temperada

Intervalo Razão (xn-1) 2ª maior 1,1224 3ª maior 1,2599 4ª justa 1,3348 5ª justa 1,4983 6ª maior 1,6817 7ª maior 1,8877 8ª justa 2

A razão r entre as frequências é dada pelo logaritmo na base 2: r = a n/a1 = xn-1

x = 21/12

an/a1 = 2n-1/12 = r log 2 r = (n-1)/12

Para as notas com sustenido (sobe a nota de 1 semitom) ou bemol (desce a nota de 1 semitom) usamos o mesmo processo:

a 2 = a1 x2-1 = a1x = a1 21/12

a 2 = 261,63 21/12 = 277,18 Hz → frequência do Dó#3

Vimos então que as escalas temperada e natural são ligeiramente diferentes. Por isso, quando os instrumentistas afinam seus instrumentos de cordas pela escala natural, podem ser gerados batimentos, já que a escala temperada gera sons que não fazem parte das séries harmônicas.

Referências

LIMA, F. de A. Elementos Fundamentais da Música. Rio de Janeiro: Cia Editora Leitura, 1948.

CANDÉ, R. História Universal da Música. São Paulo: Ed. Martins Fontes, 2001.

Capítulo 6