CONTROLE EM SISTEMAS COM ATRASO NA REDE DE COMUNICA ¸C ˜AO UTILIZANDO PREDITORES DE ESTADO
Uiliam Nelson Lendzion Tomaz Alves∗, Jos´e Paulo Fernandes Garcia∗, Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira∗, Saulo Crnkowise∗, Fernando Barros Rodrigues∗
∗Laborat´orio de Pesquisa em Controle, UNESP - Univ Estadual Paulista, Departamento de Engenharia
El´etrica. Avenida Carlos Rossi, no
1370, 15.385-000, Ilha Solteira - S˜ao Paulo, Brasil. Emails: uiliamlendzionalves@gmail.com, jpaulo@dee.feis.unesp.br,
marcelo@dee.feis.unesp.br, saulogarcia222@gmail.com, f.barrosrodrigues@gmail.com
Abstract— The use of communication networks to connect elements of closed-loop control systems distant each others introduces advantages such as flexibility in control system structure and lower costs. However, this strategy also introduces new challenges, since the network used usually has a non-ideal behavior. One of the problems that arise is the appearance of delays in data transmission, both between sensors and the controller and between the controller and actuators. This paper proposes the use of state predictors cascaded to deal with constant and known data transmission delays. Simulation and bench results in a Ball Balancer system are presented and prove the efficiency of the proposed strategy.
Keywords— State Predictors, Communication Network Delays, Ball Balancer System.
Resumo— O uso de redes de comunica¸c˜ao para conectar elementos da malha de controle distantes uns dos outros traz vantagens como a flexibilidade na estrutura de controle e menores custos. Por´em, esta estrat´egia tamb´em traz novos desafios, visto que as redes de comunica¸c˜ao utilizadas nesta tarefa comportam-se de maneira n˜ao ideal. Um dos problemas enfrentados ´e o aparecimento de atrasos na transmiss˜ao de dados tanto entre os sensores e o controlador quanto entre o controlador e os atuadores. Neste trabalho ´e proposto o uso de preditores de estado em cascata para lidar com atrasos constantes e conhecidos na transmiss˜ao de dados. Resultados de simula¸c˜ao e de bancada em um sistema Ball Balancer s˜ao apresentados e comprovam a eficiˆencia da estrat´egia proposta.
Palavras-chave— Preditores de Estado, Atrasos em Rede de Comunica¸c˜ao, Sistema Ball Balancer. 1 Introdu¸c˜ao
O uso de rede de comunica¸c˜ao para conectar ele-mentos da malha de controle em sistemas espacialmente separados (Networked control systems -NCSs) resulta em vantagens como flexibilidade na arquitetura, redu¸c˜ao de cabeamento, menores cus-tos de instala¸c˜ao, manuten¸c˜ao e reconfigura¸c˜ao, entre outras (Tipsuwan and Chow, 2003; Yang, 2006; Hespanha et al., 2007; Zhang et al., 2013). NCSs tˆem se tornado cada vez mais comuns com o barateamento dos equipamentos utilizados nestes sistemas (Yang, 2006). Contudo, esta metodolo-gia introduz novos desafios, uma vez que a rede de comunica¸c˜ao comporta-se de maneira n˜ao ideal (Tipsuwan and Chow, 2003; Yang, 2006; Hespa-nha et al., 2007; Zhang et al., 2013).
Entre os problemas que surgem em NCSs est´a o aparecimento de atrasos de comunica¸c˜ao, que degradam o desempenho do sistema em malha fechada, podendo desestabiliz´a-lo (Tipsuwan and Chow, 2003). Os atrasos adicionados pela rede de comunica¸c˜ao s˜ao gerados pelos tempos de trans-miss˜ao dos dados entre sensores e controlador τsc,
entre controlador e atuadores τca, al´em da
exis-tˆencia de atraso gerado pelo tempo de computa-¸c˜ao do sinal de controle τc. Geralmente o tempo
de computa¸c˜ao ´e negligenci´avel perante os outros atrasos envolvidos (Tipsuwan and Chow, 2003) e neste trabalho ele ´e desconsiderado.
Algumas caracter´ısticas diferem NCSs de
sis-temas com atraso convencionais: a transmiss˜ao de dados na rede ´e feita por pacotes, sendo alguns protocolos capazes de enviar uma grande quanti-dade de dados em cada pacote, como por exemplo, uma sequˆencia de sinais de controle; o uso da t´ec-nica de time-stamp permite ao receptor saber exa-tamente a quanto tempo o pacote de dados atual foi enviado; e os atuadores podem ser considerados “inteligentes”, i.e., com capacidade de processa-mento de informa¸c˜oes (Zhang et al., 2013). Estas caracter´ısticas especiais dos NCSs trazem novas possibilidades na elabora¸c˜ao de solu¸c˜oes para seus problemas de desordem, perda de dados e atrasos variantes no tempo, como a cria¸c˜ao de middlewa-res (camadas intermedi´arias de software) para tra-tamento de informa¸c˜ao por parte do controlador e tamb´em dos atuadores “inteligentes” (Guinaldo et al., 2011).
Neste trabalho prop˜oe-se o uso de preditores de estado encontrados em Xia et al. (2007), em cascata, de modo a suprimir os efeitos de atra-sos constantes, conhecidos e da ordem de v´arios per´ıodos de amostragem, gerados por rede de co-munica¸c˜ao, presentes tanto na comunica¸c˜ao en-tre sensores e controlador (processo de aquisi¸c˜ao de dados) quanto entre controlador e atuadores (atraso no sinal de controle), em sistemas com con-trole discreto. A estrat´egia apresentada permite realizar o projeto do controlador desconsiderando os atrasos de comunica¸c˜ao presentes no sistema
real, empregando-se os estados preditivos calcula-dos pelos preditores, ao inv´es calcula-dos estacalcula-dos originais do sistema, que chegam atrasados ao controlador. Os trasos t´ıpicos de sistemas de controle di-gitais, como na aquisi¸c˜ao dos sensores, no tempo de atua¸c˜ao e atrasos inerentes do sistema contro-lado, tamb´em podem ocorrer em sistemas NCSs. Na abordagem apresentada neste artigo, o atraso gerado pelo tempo de aquisi¸c˜ao do sensor pode ser somado ao tempo τscpara compor o atraso de
aquisi¸c˜ao de dados, e os atrasos da planta e no processo de atua¸c˜ao podem ser somados ao tempo τca para formar os atrasos no sinal de controle.
A ideia apresentada pode ser generalizada para atrasos variantes no tempo, comumente en-contrados em sistemas NCSs, com a utiliza¸c˜ao de atuadores “inteligentes” e t´ecnicas apropriadas de buffering e sele¸c˜ao de informa¸c˜ao, utilizando mid-dlewares para a escolha apropriada dos sinais de controle, seguindo as ideias apresentadas em Bem-porad (1998) e Guinaldo et al. (2011).
Para valida¸c˜ao da proposta s˜ao apresen-tados resulapresen-tados de simula¸c˜ao e obtidos em bancada, utilizando-se um controle por alo-ca¸c˜ao de polos em tempo discreto (Franklin et al., 1998) em um sistema Ball Balancer fa-bricado pela Quanser R
(Quanser Innovate Edu-cate, 2008b; Quanser Innovate EduEdu-cate, 2008a), sendo os atrasos de comunica¸c˜ao emulados por atrasos de transporte.
2 Uso de Preditores de Estado em Cascata
Considere um sistema linear descrito por
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), (1) em que x(t) ∈ ℜn´e o vetor de estados, u(t) ∈ ℜm,
o vetor de controle e A ∈ ℜn×ne B ∈ ℜn×m
matri-zes constantes. O sistema (1) em tempo discreto ´e representado por
x(k + 1) = Φx(k) + Γv(k), (2) sendo x(k) ∈ ℜn o vetor de estados, v(k) ∈ ℜm o
vetor de controle,Φ = eATa
eΓ = Z Ta
0
eAηdη B ma-trizes constantes, e Ta o per´ıodo de amostragem
(Franklin et al., 1998).
Suponha que o controle discreto ´e realizado na presen¸ca de atrasos como mostrado na Figura 1. Observe que o sistema apresenta atraso de H0
pe-r´ıodos de amostragem no processo de aquisi¸c˜ao de dados e atraso de H1per´ıodos de amostragem
no sinal de controle, n˜ao necessariamente iguais. Note tamb´em que todos os estados da planta s˜ao considerados acess´ıveis.
O atraso H1 atua somente no sinal de
con-trole, mas o atraso H0, na aqui¸c˜ao de dados, gera
um atraso em cadeia que atrasa todo o sistema
D/A Sistema Controlador D/A Rede de Comunicação x(t) x(k − H0) v(k − H0− H1) u(t − [H0+ H1]Ta)
Figura 1: Diagrama de blocos - Sistema com atraso de comunica¸c˜ao via rede.
como mostrado em Alves et al. (2014). Assim, na presen¸ca destes dois atrasos, o sistema em tempo discreto, que antes era descrito por (2), agora ´e descrito como
x(k−H0+1) = Φx(k−H0)+Γv(k−H0−H1), (3)
sendo x(k − H0) o vetor de estados discretos
atra-sados em H0 amostras e v(k − H0− H1) o vetor
de controle atrasado em H0+ H1 amostras.
A abordagem utilizada para a mitiga¸c˜ao dos efeitos dos atrasos H0 e H1 consiste no uso de
preditores de estado discreto, encontrados em Xia et al. (2007), em cascata. O preditor de estado de Xia et al. (2007) dado por
ˆ x(k) = ΦHx(k) + 0 X i=−H+1 Φ−iΓv(k − 1 + i). (4) Um esquem´atico da estrat´egia utilizada ´e apresentado em diagrama de blocos na Figura 2.
D/A D/A Rede de Comunicação Preditor 1 Esquema de Predição Preditor 2 Controlador Sistema x(t) u(t) x(k − H0) xpd(k) ¯ xpd(k) v(k − H1) z−H1 v(k)
Figura 2: Diagrama de blocos - Preditores de estado em cascata em sistema com atraso de transmiss˜ao de dados via rede de comunica¸c˜ao.
Como o primeiro preditor ´e aplicado sobre os estados atrasados em H0 amostras, x(k − H0), e
recebe o sinal de controle atrasado em H1
amos-tras, v(k − H1), seu estado preditivo ´e calculado
como sendo xpd(k) = ΦH0x(k − H0) + 0 X i=−H0+1 Φ−iΓv(k − 1 + i − H 1). (5)
Calculando xpd(k + 1) segue que
xpd(k + 1) = ΦH0x(k − H0+ 1) + 0 X i=−H0+1 Φ−iΓv(k + i − H 1). (6) Substituindo (3) em (6): xpd(k + 1) = Φxpd(k) + Γv(k − H1). (7)
Assim, a dinˆamica do estado preditivo xpd(k)
´e livre do atraso H0, oriundo do processo de
aqui-si¸c˜ao de dados. O estado preditivo ¯xpd(k) ´e calcu-lado como ¯ xpd(k) = ΦH1xpd(k) + 0 X i=−H1+1 Φ−iΓv(k − 1 + i). (8) Observe que em (8) utilizam-se os estados do pri-meiro preditor, xpd(k), e o sinal de controle sem
atraso, v(k). Calculando dinˆamica de ¯xpd(k) tem-se ¯ xpd(k+1) = ΦH1xpd(k+1)+ 0 X i=−H1+1 Φ−iΓv(k+i). (9) Substituindo (7) em (9) chega-se a ¯ xpd(k + 1) = Φ¯xpd(k) + Γv(k). (10) Como a dinˆamica do estado preditivo ¯xpd(k) ´e livre dos atrasos gerados pela rede, tanto H0
quanto H1, e a dinˆamica deste estado preditivo
depende das mesmas matrizes Φ e Γ do sistema sem atrasos (2), pode-se utilizar esse estado pre-ditivo na lei de controle, desenvolvendo o projeto do controlador de maneira convencional.
Considere agora que existam erros nas esti-mativas dos atrasos utilizados no esquema de pre-di¸c˜ao, o atraso na aquisi¸c˜ao de dados ´e estimado em H0, mas o atraso sofrido pelo sistema ´e de
H0+ ∆H0, do mesmo modo, o atraso no sinal de
controle real ´e de H1+∆H1e foi estimado em H1.
Neste caso, a dinˆamica do sistema ´e
x(k − H0− ∆H0+ 1) = Φx(k − H0− ∆H0)
+Γv(k − H0− ∆H0− H1− ∆H1).
(11)
Aplicando-se o primeiro preditor neste sis-tema tem-se xpd(k) = ΦH0x(k − H0− ∆H0) + 0 X i=−H0+1 Φ−iΓv(k − 1 + i − H1). (12)
Calculando a dinˆamica de xpd(k), neste caso,
encontra-se xpd(k + 1) = ΦH0x(k − H0− ∆H0+ 1) + 0 X i=−H0+1 Φ−iΓv(k + i − H 1). (13) A substitui¸c˜ao de (11) em (13) resulta em xpd(k + 1) = Φxpd(k) + Γv(k − H1) + f (k). (14) sendo f (k) = ΦH0 Γ[v(k − H0− ∆H0− H1− ∆H1)
−v(k−H0−H1)]e pode ser visto como um dist´urbio
na dinˆamica do primeiro estado preditivo. Seguindo o mesmo racioc´ınio, para o segundo preditor encontra-se ¯ xpd(k) = ΦH1xpd(k) + 0 X i=−H1+1 Φ−iΓv(k − 1 + i). (15) Assim, ¯ xpd(k+1) = ΦH1xpd(k+1)+ 0 X i=−H1+1 Φ−iΓv(k+i). (16) Substituindo (14) em (16) chega-se a ¯ xpd(k + 1) = Φ¯xpd(k) + Γv(k) + ΦH1f(k). (17) Com isto, mesmo quando existem erros nas es-timativas dos atrasos, tanto em H0quanto em H1,
os estados preditivos podem ser considerados com dist´urbios em suas dinˆamicas, mas livres de atra-sos, e controles convencionais podem ser utilizados trocando-se os estados da planta pelos estados pre-ditivos ¯xpd(k). Ademais, como n˜ao h´a restri¸c˜oes sobre o controle utilizado, ele pode ser convenien-temente escolhido de modo a minimizar o dist´ ur-bio proveniente do erro na estimativa dos atrasos, al´em tratar incertezas no modelo utilizado.
3 Sistema Ball Balancer Quanser R
O sistema Ball Balancer Quanser R
consiste em uma placa montada sobre dois servomotores (um na dire¸c˜ao do eixo x e outro na dire¸c˜ao do eixo y) sobre a qual uma esfera movimenta-se com dois graus de liberdade (2 DOF). A posi¸c˜ao da esfera ´e adquirida por uma cˆamera localizada acima da placa e o objetivo do controle ´e fazer com que a esfera siga uma trajet´oria de referˆencia. Uma foto
do sistema Ball Balancer Quanser R
pertencente ao Laborat´orio de Pesquisa em Controle da Unesp de Ilha Solteira ´e mostrada na Figura 3.
Figura 3: Sistema Ball Balancer Quanser R
per-tencente ao Laborat´orio de Pesquisa em Controle da Unesp de Ilha Solteira (LPC - FEIS - UNESP).
Na modelagem matem´atica deste sistema considera-se cada eixo de maneira independente do outro e como ambos possuem as mesmas espe-cifica¸c˜oes, s˜ao representados pelo mesmo modelo matem´atico (Quanser Innovate Educate, 2008a). Um esquem´atico do movimento no eixo x ´e apre-sentado na Figura 4. Eixo de Suporte Esfera θl Conjunto de Engrenagens do Motor α Plataforma M´ovel Suporte x L h rar m
Figura 4: Esquema do movimento no eixo x do sistema Ball Balancer (adaptado de Quanser In-novate Educate (2008b)).
A tens˜ao aplicada ao servomotor relaciona-se com a posi¸c˜ao angular θlpela equa¸c˜ao
Jeqθ¨l+ Beqθ˙l= AmVm(t), (18) na qual Jeq, Beq e Am s˜ao a inercia, o
amorteci-mento e o ganho, respectivamente, referentes ao motor (Apkarian et al., 2011).
Aplicando-se diagrama de corpo livre na es-fera e assumindo que o ˆangulo θl(t) ficar´a pr´oximo
a 0 (sen(θl(t)) ≈ θl(t)) tem-se a seguinte rela¸c˜ao
entre a posi¸c˜ao da esfera e o ˆangulo θl(t) (Quanser
Innovate Educate, 2008a): ¨ x(t) = kbbθl(t), kbb= 2mb rarmr2 bg L(mbr2 b+ Jb) . (19) Utilizando-se como vari´aveis de estado x(t), ˙x(t), θl(t) e ˙θl(t) cada eixo do sistema Ball
Ba-lancer ´e representado em espa¸co de estados pela equa¸c˜ao ˙x1(t) ˙x2(t) ˙x3(t) ˙x4(t) = 0 1 0 0 0 0 kbb 0 0 0 0 1 0 0 0 −Beq Jeq x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) + 0 0 0 Am Jeq u(t). (20) Tabela 1: Parˆametros do sistema Ball Balancer Quanser R
(Quanser Innovate Educate, 2008b). Descri¸c˜ao Valor
Beq Amortecimento referenteao motor 0,0844 N ms/rd
Jeq Inercia referente ao mo-tor 0,0021 kgm 2
Am Ganho referente ao mo-tor 0,129 N m/V
L Comprimento da placa
m´ovel 0,275 m
rarm
Distˆancia entre eixo da engrenagem de sa´ıda do servomotor e o ponto de fixa¸c˜ao da barra 0,0254 m rb Raio da esfera 0,0196 m mb Massa da esfera 0,003 kg
A equa¸c˜ao no espa¸co de estados discreto pode ser facilmente conseguida utilizando os dados da Tabela 1 e a fun¸c˜ao “c2d” do software MatLab R
. Note que o momento de inercia de uma esfera ´e dada por Jb=2mb r2 b 5 . (21) 4 Resultados
Para demonstrar o uso do esquema de predi¸c˜ao de estados proposto por este trabalho foi utilizado um controlador por aloca¸c˜ao de polos discreto, utilizando per´ıodo de amostrogem Ta = 5 ms.
Os polos escolhidos com base no bom desempe-nho do sistema e em suas restri¸c˜oes f´ısicas foram z1= 0,90, z2= 0,90, z3= 0,98 e z3= 0,98. Com
os polos escolhidos foi calculado o ganho de reali-menta¸c˜ao
K=78,63 47,38 11,86 0,14 , (22) sendo o sinal de controle calculado como v(k) = −Kx(k − H0) (os estados dispon´ıveis ao
contro-lador s˜ao atrasados em H0 amostras), ou como
v(k) = −K ¯xpd(k) quando utiliza-se o esquema de predi¸c˜ao.
Nas Figuras 5 e 6 s˜ao apresentados resulta-dos de simula¸c˜ao que mostram desempenho insa-tisfat´orio do controle por realimenta¸c˜ao de estados quando o sistema tem 20 Ta de atraso na rede de
comunica¸c˜ao, sendo 10 Ta de atraso na aquisi¸c˜ao
de dados e outros 10 Ta de atraso no sinal de
−0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Posi¸c˜ao - Plano xy x(m) y ( m )
Figura 5: Posi¸c˜ao da esfera no plano xy em simula¸c˜ao, com 20 Tade atraso na transmiss˜ao de dados por rede,
sem utiliza¸c˜ao de preditores de estado. Referˆencia em linha tra¸co-ponto. 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.05 0 0.05 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −100 −50 0 50 100 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −10 −5 0 5 10 Resultados no eixo x tempo (s) tempo (s) tempo (s) x ( m ) θl ( ◦) u ( V ) (a) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.05 0 0.05 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −100 −50 0 50 100 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −10 −5 0 5 10 Resultados no eixo y tempo (s) tempo (s) tempo (s) y ( m ) θl ( ◦) u ( V ) (b)
Figura 6: Resultados de posi¸c˜ao, ˆangulo no eixo do servomotor e sinal de controle em simula¸c˜ao, com 20 Ta de atraso na transmiss˜ao de dados por
rede, sem utiliza¸c˜ao de preditores de estado. (a) Resultados no eixo x. (b) Resultados no eixo y. Referˆencia em linha tra¸co-ponto.
Como o ˆangulo do eixo do motor ultrapassa os limites implement´aveis do equipamento, resulta-dos de bancada neste caso n˜ao s˜ao poss´ıveis. Ob-serve que o sinal de controle ´e saturado em ±10 V
−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 Posi¸c˜ao - Plano xy x(m) y ( m )
Figura 7:Posi¸c˜ao da esfera no plano xy em simula¸c˜ao, com 20 Tade atraso na transmiss˜ao de dados por rede,
com utiliza¸c˜ao de preditor de estado. Referˆencia em linha tra¸co-ponto. 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.05 0 0.05 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −20 0 20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −5 0 5 Resultados no eixo x tempo (s) tempo (s) tempo (s) x ( m ) θl ( ◦) u ( V ) (a) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.05 0 0.05 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −20 0 20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −5 0 5 Resultados no eixo y tempo (s) tempo (s) tempo (s) y ( m ) θl ( ◦) u ( V ) (b)
Figura 8: Resultados de posi¸c˜ao, ˆangulo no eixo do servomotor e sinal de controle em simula¸c˜ao, com 20 Ta de atraso na transmiss˜ao de dados por
rede, com utiliza¸c˜ao de preditor de estado. (a) Resultados no eixo x. (b) Resultados no eixo y. Referˆencia em linha tra¸co-ponto.
para prote¸c˜ao do servomotor.
Em contraste, nas Figuras 7 e 8 apresentam-se resultados de simula¸c˜ao quando o sistema tem 20 Ta de atrasos na rede de comunica¸c˜ao,
nova-mente com 10 Ta de atraso no processo de
aquisi-¸c˜ao de dados e outros 10 Ta de atraso no sinal
−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 Posi¸c˜ao - Plano xy x(m) y ( m )
Figura 9: Posi¸c˜ao da esfera no plano xy em bancada, com 20 Tade atraso na transmiss˜ao de dados por rede,
com utiliza¸c˜ao de preditor de estado. Referˆencia em linha tra¸co-ponto. 6 8 10 12 14 16 18 20 22 −0.05 0 0.05 6 8 10 12 14 16 18 20 22 −20 0 20 6 8 10 12 14 16 18 20 22 −5 0 5 Resultados no eixo x tempo (s) tempo (s) tempo (s) x ( m ) θl ( ◦) u ( V ) (a) 6 8 10 12 14 16 18 20 22 −0.05 0 0.05 6 8 10 12 14 16 18 20 22 −20 0 20 40 6 8 10 12 14 16 18 20 22 −5 0 5 Resultados no eixo y tempo (s) tempo (s) tempo (s) y ( m ) θl ( ◦) u ( V ) (b)
Figura 10: Resultados de posi¸c˜ao, ˆangulo no eixo do servomotor e sinal de controle em bancada, com 20 Tade atraso na transmiss˜ao de dados por rede,
com utiliza¸c˜ao de preditor de estado. (a) Resulta-dos no eixo x. (b) ResultaResulta-dos no eixo y. Referˆen-cia em linha tra¸co-ponto.
de controle, mas s˜ao utilizados preditores de es-tado segundo o esquema apresenes-tado na Figura 2. Por fim, resultados obtidos no sistema Ball Balancer Quanser R
, poss´ıveis na presen¸ca dos atrasos considerados apenas quando se utilizam os preditores de estado propostos, s˜ao apresentados nas Figuras 9 e 10.
5 Conclus˜oes
Neste trabalho foi proposta a utiliza¸c˜ao de predi-tores de estado, encontrados em Xia et al. (2007), em cascata, na supress˜ao dos efeitos de atrasos ge-rados por rede de comunica¸c˜ao no desempenho de sistemas de controle.
Os resultados apresentados mostram tanto a deteriora¸c˜ao do controle com o aparecimento de grandes atrasos (da ordem de v´arios per´ıodos de amostragem) na rede de comunica¸c˜ao utilizada no controle, quanto o bom funcionamento da estrat´e-gia de controle proposta, possibilitando a imple-menta¸c˜ao pr´atica do controle projetado na pre-sen¸ca dos atrasos considerados. E importante´ ressaltar que a proposta possibilita o projeto de controladores de maneira convencional, ignorando a existˆencias dos atrasos, e apenas realizando a troca dos estados do sistema, que chegam atrasos ao controlador, pelos estados preditivos calculados pelo esquema de predi¸c˜ao.
Como continua¸c˜ao do trabalho sugerem-se a detec¸c˜ao do aparecimento de atrasos como uma situa¸c˜ao de falha para a adapta¸c˜ao dos preditores a estes atrasos (Garcia et al., 2009), possibilitando o tratamento de atrasos variantes no tempo e a inclus˜ao de uma estrat´egia para lidar com perda de dados na rede de comunica¸c˜ao, outro problema comum em sistemas NCSs (Yang, 2006; Hespanha et al., 2007; Zhang et al., 2013).
Agradecimentos
Os autores agradecem `a Coordena¸c˜ao de Aperfei-¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES), pelo apoio financeiro, e `a Funda¸c˜ao de Amparo `a Pesquisa do Estado de S˜ao Paulo (FAPESP), processo n´umero 2011/17610-0, pela aquisi¸c˜ao do sistema Ball Balancer Quanser R
.
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