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Eletrônica Digital
Professor Arnaldo
Sistemas de Numeração
Bases Numéricas - Conversões Op.
Sistema de Numeração Decimal
Composto pela Base 10 e pelos Símbolos ( Algarismos ) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 e 9, Sendo que com estes Componentes Poderão Ser Formados &
Representados Quaisquer Números Desejados Dentro deste Sistema, bem como Todas as Operações Aritméticas & Matemáticas Convencionais. O Valor de um Número em Quaisquer dos Sistemas Numéricos Depende da Posição em que se Encontram os Algarismos Dentro da Formação
Gráfica de tal No., pois, de acordo com o Posicionamento destes Algarismos, estes Possuirão Determinados Pesos Quantitativos.
Este Peso de Valor para Números Decimais é Obtido Através da Base 10
Elevada a um Expoente que Dependerá da Posição Gráfica Característica
das Regras de Formação do Número em questão :
10n ... 104 103 102 101 100
... Dezena de Milhar Milhar Centena Dezena Unidade Exemplo: Formação do Número 123810
103 102 101 100 1 2 3 8 1 x 103 = 1.000 + 2 x 102 = 200 + 3 x 101 = 30 + 8 x 100 = 8 + Total 123810
Sistema de Numeração Binário
Composto pela Base 2 e Apenas pelos Algarismos 0 e 1 que Representarão
Todas as Grandezas Possíveis, sejam estas Inteiras, Fracionárias, Positivas, Negativas, bem como Todas as Operações Aritméticas que
Possam Envolver tais Números.
Como no Sistema Decimal, o Valor de um Determinado Número Depende da Posição de seus Dígitos e no Sistema Binário, tais Posições são Obtidas, Elevando-se a Base Numérica 2 aos Expoentes de 0 até n.
Cada uma das Posições Acima Representa um Peso para os Algarismos que Irão Formar um Número Binário, sendo que a Posição 20 Representa o
Dígito Menos Significativo e a Posição 2n Representa o Dígito Mais
Significativo a Ser Utilizado na Formação Numérica proposta.
IMPORTANTE: Os Termos Dígito & Algarismo Binário Possuem o Mesmo Significado Técnico que bit (“Binary Digit”).
Conversão de Números Decimais para Binários
Para se Efetuar a Conversão de Números Decimais em Binários São Realizadas Sucessivas Divisões pela Base 2 do Número Decimal que se Deseja Converter, Observando-se a Utilização dos Restos das Operações Efetuadas, tal como no Exemplo a seguir :
Realizar a Conversão do Número Decimal 63 para Binário:
63 2 1 31 2 1 15 2 1 7 2 1 3 2 1 1
A Seta indica o Sentido Correto da Leitura do Resultado obtido. Assim, o Número 6310 é escrito em Binário como 1111112.
COMPROVAÇÃO MATEMÁTICA:
( 12 x 25 ) + ( 12 x 24 ) + ( 12 x 23 ) + ( 12 x 22 ) + ( 12 x 21 ) + ( 12 x 20 ) =
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 6310
Realizar as seguintes Conversões Decimais para Binários (bits): 8410 = ___________________ 2 4510 = ______________________ 2
Conversão de Números Binários em Decimais
Este Tipo de Conversão é Realizado Multiplicando-se o Dígito Binário pelo Respectivo Peso de sua Posição Gráfica dentro da Formação do
Número a ser Convertido para Base 10, Somando-se, em seguida, com os
outros Produtos dos Próximos bits pelos Pesos de seus Posicionamentos dentro do Binário que está sendo Adequadamente Convertido.
Realizar a Conversão do Binário 1111012 no Decimal correspondente :
25 24 23 22 21 20
1 1 1 1 0 1
Após Atribuir os Pesos de cada Posição Gráfica do Número Binário a ser Convertido, basta Multiplicar os bits pelos respectivos Pesos,
Somando-se, então, TODOS os Produtos obtidos :
( 1 x 25 ) + ( 1 x 24 ) + ( 1 x 23 ) + ( 1 x 22 ) + ( 0 x 21 ) + ( 1 x 20 ) =
( 1 x 32 ) + ( 1 x 16 ) + ( 1 x 8 ) + ( 1 x 4 ) + ( 0 x 2 ) + ( 1 x 1 ) = 32 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 6110
IMPORTANTE: Números Binários de 4 bits São Convertidos para que Representem, no Máximo, o Número 1510, pois:
Números de 4 bits são Representados como na Demonstração abaixo:
23 22 21 20
Então, quando se Escrever o Binário 11112, será obtida a Representação:
8 4 2 1 1 1 1 1
Percebe-se que este é o Maior Número que pode ser Escrito com 4 bits: (8 x 1) + (4 x 1) + (2 x 1) + (1 x 1) = 1510
Assim Sendo, Pode-se Concluir que 1 Número Binário de n bits Poderá Representar, no Máximo, o Número Binário ( 2n-1 ).
Tabela
Equivalências
Sistemas
Numéricos
Binário Decimal
Exercícios Propostos :
Quantos bits São Necessários para Representar o Decimal 70 ? Quantos bits São Necessários para Representar o Decimal 1024 ? Quantos bits São Necessários para Representar o Decimal 93 ?
Converter os Números Decimais em Binários :
13210 2810 4510 10010 7810 23910
Converter os Números Binários em Decimais :
10011001102 1000000012
10101012
10010012
11111002
BOM APROVEITAMENTO TÉCNICO ! ! !
Prof. Arnaldo
Sistema de Numeração Octal
O Sistema Octal de Numeração é composto pela Base 8 & pelos
Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, & 7.
Já foi comentado que os Processos de Formação dos Números de qualquer
Sistema Numérico está devidamente fundamentado na Base do Sistema,
sendo que o Valor Quantitativo de um determinado Número dependerá
exclusivamente das Posições em que seus Algarismos de Formação irão
estar quando de sua Representação Gráfica.
No Sistema Octal, os Pesos das Posições Gráficas dos Algarismos são obtidos elevando-se a Base 8 aos Expoentes que vão de 0 até n:
8n ... 84 83 82 81 80
...
Cada uma das Posições Gráficas acima representa um Peso no Processo
de Formação de um Número Octal, sendo que a Posição 80 representa o
Algarismo Menos Significativo, enquanto a Posição 8n representa o
Algarismo Mais Significativo na Composição Final do Número em
questão.
Conversão do Sistema Decimal para Sistema Octal
Para se converter um Número Decimal em um Número Octal deve-se realizar Sucessivas Divisões do Número Decimal pela Base 8 & considerar os Restos das Divisões efetuadas como no Exemplo abaixo:
1752 8 se ntid o da e scr ita
Exemplo: Converter o número decimal 1752 em octal
8 8 15 72 0 219 27 59 3 3 3 3
Desse modo, o Resultado da Conversão do Número 175210 para o Sistema
Octal será o Número 33308.
Exercício: Realizar a Conversão do Número 230310 para o Sistema Octal.
Conversão do Sistema Octal para Sistema Decimal
A Conversão do Número Octal para Número Decimal é realizada
multiplicando-se o Algarismo pelo respectivo Peso Numérico de sua Posição Gráfica & somando-se com os outros Produtos dos demais Algarismos pelo respectivo Peso dos mesmos.
Exemplo: Converter o Número Octal 3008 em Decimal
82 81 80
3 0 0
Distribuindo-se os Pesos de cada Posição Gráfica do Número, basta multiplicar o Algarismo pelo Peso & somar aos outros Produtos, ou seja:
(3 x 82) + (0 x 81) + (0 x 80) = 3 x 64 + 0 x 8 + 0 x 1 = 192 10
Sistema de Numeração Hexadecimal
Composto pela Base 16 & pelos Algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10),
B (11), C (12), D (13), E (14) & F (15).
Mais uma vez, o Processo de Formatação dos Números estará
fundamentado na Base do Sistema & assim sendo, da mesma forma que no Sistema Decimal, no Sistema Hexadecimal, o Valor Significativo de um
determinado Número depende das Posições Gráficas de seus Dígitos. No Sistema Hexadecimal, os Posicionamentos dos Algarismos são obtidos elevando-se a Base Numérica 16 a Expoentes de 0 até n.
16n ... 164 163 162 161 160
...
Cada uma das Posições acima representa um Peso para o Número
Hexadecimal, sendo que a Posição 160 representa o Dígito menos
Significativo & a Posição 16n representa o Dígito mais Significativo.
Mas, por que no Sistema Hexadecimal são utilizadas LETRAS no lugar dos Algarismos que possuem 2 Dígitos ? ? ?
Para, por exemplo, poder Identificar & Diferenciar corretamente se o
Número Hexadecimal 110(16) seria 1-10 ( Um – Dez ), 11-0 ( Onze – Zero )
ou ainda 1-1-0 ( Um – Um - Zero) . . .
Se o Número for 1-10, ao se posicionarem os Pesos para sua Conversão:
161 160
1 10 Obtendo-se, então, um determinado Resultado.
Se o Número for 11-0, ao se posicionarem os Pesos para sua Conversão:
161 160
11 0 O que significaria um outro Resultado.
Se o Número fosse 1-1-0, ao se posicionarem os Pesos para sua Conversão:
162 161 160
1 1 0 Obtendo-se um Resultado ainda mais diferente.
Para Solucionar Problemas como esse São Arbitradas Letras no Lugar dos
Assim Sendo, ao se Escrever 1-10(16) Representa-se 1A(16), para 11-0(16) Escreve-se B0(16) & no caso de 1-1-0(16), Apresenta-se 110(16).
Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal
Para se converter um Número Decimal em Hexadecimal deve-se realizar
Sucessivas Divisões do Número Decimal pela Base 16 & ao final, selecionar os Restos das referidas Divisões como no Exemplo:
34
16
senti
do
da
es
crit
a
Exemplo: Converter o número decimal 34 em hexadecimal
16
2
2
0
2
Assim Sendo, o Decimal 34(10) é Exatamente o Hexadecimal 22(16).
Exercício: Conversão do Decimal 140(10) para Hexadecimal
Conversão do Sistema Hexadecimal para Decimal
A Conversão de Números Hexadecimais para Números Decimais é realizada multiplicando-se os Dígitos a serem convertidos pelo respectivo
Peso de sua Posição Gráfica dentro do próprio Número sob Conversão, somando-se ainda com os Produtos dos outros Algarismos a serem convertidos pelos seus próprios Pesos.
Exemplo: Converter o Hexadecimal 300 (16) em Decimal 162 161 160
3 0 0
( 3 x 162 ) + ( 0 x 161 ) + ( 0 x 160 ) = ( 3 x 256 ) + ( 0 x 8 ) + ( 0 x 1 ) = 768 (10)
Exercício : Converter o Hexadecimal ABC (16) em Decimal
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÉCNICA
Converter para os Sistemas de Numeração Solicitados : 100(10) para N(2)
100(10) para N(8) 100(10) para N(16)
Converter os Seguintes Números para o Sistema Decimal : 100101 (2) = 1001100 (2) = 9F3 (16) = BAF0 (16) = 18 (8) = F0DA (16) =
Conversões entre Sistemas Octal Hexadecimal
As referidas Conversões entre tais Sistemas Numéricos poderão ser realizadas através de 2 Metodologias Técnicas, sendo que uma delas se
utiliza do Sistema Decimal como Intermediário Operacional.
No. (16) No. (10) No. (8)
Outra Metodologia usa o Sistema Binário de Intermediário Operacional. No. (16) No. (2) No. (8)
Conversão de Hexadecimal para Octal
► Conversão Hexadecimal / Octal Utilizando-se do Sistema
Decimal como Operador Matemático Intermediário
Exemplo: Converter o Hexadecimal 1FA16 para Octal
162 161 160
1 F A
1º Passo: Converte-se o referido Número para o Sistema Decimal
( 1 x 16² ) + ( 15 x 16¹ ) + ( 10 x 160 ) = 256 + 240 + 10 = 506 (10)
2º Passo: O Número Obtido deve ser convertido para o Sistema Octal
506 8
2 63 8 7 7 8
---
► Conversão Octal / Hexadecimal Utilizando o Sistema
Decimal como Operador Matemático Intermediário
Exemplo: Converter Octal 772 para Hexadecimal 82 81 80
7 7 2
1º Passo: Converter o referido Número para o Sistema Decimal
( 7 x 8² ) + ( 7 x 8¹ ) + ( 2 x 80 ) = 448 + 56 + 2 = 506 (10)
2º Passo: Converte-se o Número Decimal obtido para o Sistema Hexadecimal, dividindo-o sucessivamente pela Base 16
506 16
026 31 16
(10) (15) 1 16
A
F
1
Assim sendo: Hexadecimal 1FA (16) equivale ao Octal 772 (8)
►
Conversão Hexadecimal / Octal Utilizando Sistema Binário
como Operador Matemático Intermediário
Visando-se agilizar as Conversões Numéricas a serem
efetuadas pode-se utilizar Tabelas Auxiliares como as que
são apresentadas a seguir:
C B A OCTAL D C B A HEXA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 1 1 3 0 0 1 1 3 1 0 0 4 0 1 0 0 4 1 0 1 5 0 1 0 1 5 1 1 0 6 0 1 1 0 6 1 1 1 7 0 1 1 1 7 1 0 0 0 8 1 0 0 1 9 1 0 1 0 A 1 0 1 1 B 1 1 0 0 C 1 1 0 1 D 1 1 1 0 E 1 1 1 1 F
1º Passo: Escreve-se o Número Hexadecimal como um Número Binário,
fazendo-se com que cada Algarismo do referido Número Hexadecimal seja representado por um Número Binário de 4 bits.
Exemplo: Converter o Número Hexadecimal 1FA (16) para Número Octal
utilizando-se o Sistema Binário como Operador Intermediário.
1 F A
0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0
2º Passo: Agrupa-se, de 3 em 3 bits, o Binário obtido anteriormente fazendo-se a Conversão de cada Grupo de 3 bits para o Sistema Decimal.
Dessa forma, o Número encontrado será o Número Octal desejado.
4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0
0
7
7 2 (8)
► Conversão Octal / Hexadecimal Utilizando Sistema Binário
como Operador Intermediário
1º Passo: Converte-se o Octal em Binário, fazendo-se com que cada Algarismo do Octal seja representado por um Binário de 3 bits.
Exemplo: Conversão do Octal 772 (8) para Hexadecimal
7
7
2
1 1 1 1 1 1 0 1 0
2º Passo: Agrupa-se de 4 em 4 bits, fazendo-se a Conversão de cada um
desses Grupos de 4 bits para o Sistema Decimal, de modo que o Número a ser encontrado seja o Hexadecimal desejado.
