Notas de Aula N
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Christian Q. Pinedo
5Noemi e Em memória: Christian .
Título do original Cálculo Vetorial e Séries
Julho de 2010
Direitos exclusivos para língua portuguesa: UFT - CAMPUS DE PALMAS
Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica 512.8
Pinedo. Christian Quintana, 1954
-Cálculo Vetorial e Séries / Christian José Quintana Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica, 2010.
250 p. il. 297mm
I. Cálculo Vetorial e Séries. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título
SUMÁRIO
PREFÁCIO . . . ix
1 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 1 1.1 Introdução . . . 2
1.2 Integrais duplas . . . 2
1.3 Principais propriedades da integral dupla . . . 4
1.4 Regras de cálculo das integrais duplas . . . 6
1.4.1 Integrais duplas generalizadas . . . 10
Exercícios 1-1 . . . 13
1.5 Cálculo de áreas e volumes com integração dupla . . . 15
1.6 Mudança de variável em integrais duplas . . . 16
1.6.1 Jacobiano de uma função de n variáveis . . . 16
1.7 Integrais duplas en coordenadas polares . . . 19
1.7.1 Integrais iteradas em coordenadas polares . . . 20
Exercícios 1-2. . . 23
1.8 Aplicações da integral dupla . . . 25
1.8.1 Valor promédio . . . 25
1.8.2 Centro de massa de uma lâmina . . . 25
1.8.3 Momentos de inércia de uma lâmina . . . 28
1.8.4 Área de uma superfície . . . 31
Exercícios 1-3 . . . 35
1.9 Integrais triplas . . . 37
1.9.1 Integrais triplas mediante integrais iteradas . . . 38
1.9.2 Volumes mediante integrais triplas . . . 39
1.9.3 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas . . . 39
1.10 Centro de massa e momentos de inércia de um sólido . . . 42
Exercícios 1-4 . . . 45
2 INTEGRAL DE LINHA 47 2.1 Introdução . . . 48
2.2 Curvas regulares . . . 49
2.3 Integral de linha de uma função escalar . . . 51
2.4 Aplicações da integral de linha de funções escalares . . . 58 v
Exercícios 2-1 . . . 61
2.5 Campos vetoriais . . . 63
2.5.1 Gradiente. Divergente. Rotacional . . . 64
2.6 Integral de linha de um campo vetorial . . . 67
2.6.1 Trajetórias opostas . . . 72
2.7 Propriedades Fundamentais da integral de linha . . . 72
2.8 Integral de linha de um campo vetorial conservativo . . . 76
2.9 Aplicações da integral de linha . . . 79
2.10 Teorema de Green . . . 81
Exercícios 2-2 . . . 89
3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 91 3.1 Introdução . . . 92
3.2 Superfície . . . 92
3.2.1 Plano tangente. Vetor normal a uma superfície . . . 95
3.2.2 Existência da integral de superfície . . . 100
Exercícios 4-1 . . . 103
3.3 Teorema de Stokes . . . 104
3.4 Teorema de Gauss . . . 106
Exercícios 4-2 . . . 107
4 SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 109 4.1 INTRODUÇÃO . . . 110
4.2 SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS . . . 110
4.2.1 Classificação: Limitação e Monotonia. . . 112
4.2.2 Subseqüências. . . 117
Exercícios 4-1 . . . 119
4.3 LIMITE DE SEQÜENCIA . . . 121
4.3.1 Limite de uma seqüência. . . 121
4.3.2 Propriedades do limite de seqüência. . . 125
4.3.3 Seqüência de Cauchy. . . 127 4.3.4 Espaço métrico. . . 128 Exercícios 4-2 . . . 133 4.4 SEQÜÊNCIAS CONVERGENTES . . . 137 4.4.1 Propriedades Fundamentais. . . 137 4.4.2 Critérios de Convergência. . . 140 4.4.3 Consequência da Propriedade (4.18). . . 146
4.4.4 Teorema de Bolzano - Weirstrass. . . 148
Exercícios 1-3 . . . 150
5 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS 155
5.1 INTRODUÇÃO . . . 155
5.2 SOMATÓRIOS . . . 156
Exercícios 2-1 . . . 163
5.3 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS . . . 165
5.3.1 Série geométrica. . . 166
5.3.2 Série harmônica. . . 167
5.3.3 Série p. . . 168
5.3.4 Critério do n-ésimo termo. . . 169
5.3.5 Condição de Cauchy. . . 173
5.3.6 Propriedade de Cauchy. . . 174
Exercícios 5-2 . . . 176
5.4 SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS . . . 178
5.4.1 Critério de comparação. . . 179
5.4.2 Critério de integral. . . 180
5.4.3 Critério de comparação no limite. . . 183
5.4.4 Critério de Raabe . . . 184
Exercícios 5-3 . . . 187
5.5 SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE . . . 189
5.5.1 Condicionalmente convergente. . . 190 5.5.2 Critério de comparação. . . 192 5.5.3 Critério D’Alembert’s. . . 194 5.5.4 Critério de Cauchy. . . 196 Exercícios 2-4 . . . 199 5.6 SÉRIES ALTERNADAS . . . 201 5.6.1 Critério de Leibnitz. . . 201
5.6.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . 206
Exercícios 2-5 . . . 207
APÊNDICE . . . 209
PREFÁCIO
Prosseguindo o nosso objetivo o qual é apresentar um bom material de estudo para suprir a carência de material adequado ao Cálculo Espacial para nossos leitores, apresentamos esta versão do livro Cálculo Vetorial e Séries Numéricas.
A finalidade deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e construir um modelo matemático e logo resolvê-lo.
A ordem de apresentação dos temas desenvolvidos, é somente com o desejo de que os leitores sejam os beneficiados em lograr maior entendimento do Cálculo Integral de funções de varias variáveis com valores reais.e estudo das Séries com números reais.
Os estudantes, e professores e leitores em geral vinculados com o estudo da matemática avançada, espero encontrem nesta obra temas para a preparação de suas aulas, assim como para a aplicação de testes de avaliação.
Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade. No capítulo 1 o estudo de integrais múltiplas e suas aplicações no cálculo de áreas e volumes, assim como também na aplicação na busca do valor promédio, centros de massa, momentos de inércia, e cálculo de superfície. Quando necessário se faz uso para os cálculos das integrais mudanças de variáveis a coordenadas polares, cilíndricas, esféricas e outras.
O capítulo 2 esta reservado para o estudo dos campos vetoriais, das integrais de linha, o teorema de Green e suas aplicações diversas, assim como a relação importante entre integral de linha e integral dupla
No capítulo 3 se apresenta o estudo da integral se superfície, os teoremas de Stokes e o de ix
Gauss assim como suas aplicações.
Os dois últimos capítulos abordam temas das seqüências e series de números reais respecti-vamente.
Este livro terá melhor entendimento desde que seja estudado o livro “Integração e Funções de várias Variáveis” do mesmo autor, pois as notações, enfoque e abordagem dos temas segue a mesma linha do pensamento.
Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos leitores.
Christian Quintana Pinedo.
Palmas - TO, julho de 2010
“A Matemática é a honra do espírito humano”
INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA
C. Jacob
Carl Gustavo Jacob Jacobinasceu em Postdam, Prússia, Ale-manha, em 10 de dezembro de 1804. O primeiro mestre de Carl foi um dos seus tios maternos, quem ensino a ele os idiomas clássicos e matemática, preparando-lo para ingressar ao Instituto de Postdam em 1816 ainda com 12 anos.
Desde muito cedo Jacobi deu provar de ter uma "inteligência bril-hante"segundo declarou o diretor do Instituto quando Jacobi se formou em 1821 para logo ingressar á Universidade de Berlin e se doutorar em 1825. Em 1827 era indicado para professor extraordinário de Konigs-berg ficando como professor permanente em 1829.
Como Gauss, Jacobi poderia lograr uma grão reputação em filolo-gia, se não for atraído pela matemática. Havendo observado em Jacob que tinha gênio matemático, o professor Heinrich Bauer deixou Jacobi trabalhar do jeito que queria, pois Jacob tinha se revelado a aprender a matemática de memória, ele dizia que seguia regras.
O desenvolvimento matemático de Jacob oferece em certos aspetos um curioso paralelo com o seu rival H. Abel, também Jacob estudo muito as obras de L. Euler e J. Lagrange que aprendeu álgebra e cálculo conhecendo bem a teoria dos números.
Esta auto-instrução iria a dar a Jacob forças para escrever sua primeira obra sobre funções elípticas, Euler, o mestre dos recursos engenhosos, achou em Jacob seu brilhante sucessor sua inspiração foi muito mais formalista que rigorista .
Jacob e Abel de modo independente e simultâneo lançaram as bases da teoria das funções elípticas, tendo Jacob introduzido o que hoje constitui a notação para elas.
Jacob ao lado de Cauchy foram os matemáticos que mais contribuíram para a teoria dos determi-nantes. Fui com ele que a palavra determinante recebeu aceitação final. Desde logo usou o determinante funcional que posteriormente Sylvéster iria a chamar de Jacobiano.
Jacob também contribuiu para a teoria dos números, para a teoria das equações diferenciais ordinárias e parciais, para o calculo das variações e outros problemas da dinâmica.
Em 1842 renuncia a sua cadeira em Konigsberg e com uma pensão do governo da Prússia viveu ate sua morte em 1851.
1.1 Introdução
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.
1.2 Integrais duplas
Definição 1.1.
Uma função f : D ⊆ R2 −→ R com domínio D dizemos que é limitada (acotada) em D se
existem r, s ∈ R tais que r ≤ f(x, y) ≤ s, ∀ (x, y) ∈ D
Seja f : D ⊆ R2−→ R uma função limitada no conjunto fechado D, e f(x, y) > 0 ∀(x, y) ∈
D.
Tracemos retas paralelas aos eixos coordenados como indica a Figura (1.2), e suponhamos que r1, r2, r3, · · · , rn sejam retângulos que cubram a região D (uma cobertura de D).
Figura 1.1: Definição 1.2. Partição de um conjunto.
O conjunto P = { r1, r2, r3, · · · , rn} constitui uma partição da região fechada D.
Definição 1.3. Norma de uma partição.
A norma da partição P denotada kPk por definição é o comprimento da diagonal maior de todos os retângulos ri contidos em P.
Seja A(ri) =4ix4iy a área do i-ésimo retângulo ri ∈ P, e seja (xi, yi) um ponto arbitrário
escolhido noi-ésimo retângulo ri.
A soma de Riemann da função f : D ⊆ R2 −→ R associada à partição P é m X i=1 f (xi, yi)A(ri) = m X i=1 f (xi, yi)4ix4iy
onde f(xi, yi) é a imagem da função para o ponto (xi, yi)∈ ri, i = 1, 2, 3, · · · , n.
Geometricamente, a soma de Riemann representa o volume do sólido embaixo da superfície z = f (x, y) como indica a Figura (1.2).
Figura 1.2: Definição 1.4.
Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada na região fechada D. Um número L é o limite
da soma de Riemann
n
X
i=1
f (xi, yi)A(ri) , se ∀ > 0, existe δ > 0 tal que
n X i=1 f (xi, yi)4ix4iy− L <
para toda partição P com ||P|| < δ e toda eleição do ponto (xi, yi)∈ ri, i = 1, 2, 3, · · · , n.
Por equivalência esta definição podemos expressar como L = lim ||P ||→0 n X i=1 f (xi, yi)A(ri)
Caso exista o número L, sempre é único.
Em coordenadas cartesianas a integral dupla escreve-se na forma Z
D
Z
f (x, y)dA.
Definição 1.5.
Uma função limitada f : D ⊆ R2−→ R é integrável sobre a região fechada D, e se escreve
Z D Z f (x, y)dA = lim ||P ||→0 n X i=1 f (xi, yi)A(ri)
Se f : D ⊆ R2−→ R é uma função integrável na região fechada D, e f(x, y) > 0, ∀ (x, y) ∈
D então a integral dupla Z
D
Z
f (x, y)dA é igual ao volume do corpo cilíndrico limitado na parte
superior pela superfície z = f(x, y), nas laterais pela superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo-oz e na parte inferior pelo plano-xy.
Propriedade 1.1.
Se uma função f : D ⊆ R2 −→ R é contínua na região fechada D, então f é integrável.
1.3 Principais propriedades da integral dupla
Se a função f(x, y) é contínua na região fechada D, o limite da soma integral existe e não depende do procedimento da divisão da região D em regiões elementares e da seleção dos pontos em P .
Suponhamos f : D ⊆ R2 −→ R uma função integrável na região fechada D, e seja C uma
constante, então C.f é integrável e: 1. Homogeneidade: Z D Z C· f(x, y)dA = C · Z D Z f (x, y)dA. 2. Linearidade: Z D Z [f (x, y) + g(x, y)]dA = Z D Z f (x, y)dA + Z D Z g(x, y)dA.
3. Linearidade: Se f(x, y) = f1(x, y) + f2(x, y) + f3(x, y) +· · · + fn(x, y), então
Z D Z f (x, y)dA = Z D Z f1(x, y)dA+ Z D Z f2(x, y)dA+ Z D Z f3(x, y)dA+· · ·+ Z D Z fn(x, y)dA
4. Aditividade: Se D = D1∪ D2∪ D3+· · · ∪ Dn tais que Di∩ Dj =∅ se i 6= j e f(x, y) é
integrável sobre cada uma das regiões, então Z D Z f (x, y)dA = Z D1 Z f (x, y)dA+ Z D2 Z f (x, y)dA+ Z D3 Z f (x, y)dA+· · ·+ Z Dn Z f (x, y)dA
5. Se g(x, y) é integrável em D, tal que g(x, y) ≤ f(x, y), ∀ (x, y) ∈ D, então Z D Z g(x, y)dA≤ Z D Z f (x, y)dA
6. Se m ≤ f(x, y) ≤ M, ∀ (x, y) ∈ D então para A(D) área da região D, tem-se: m.A(D)≤
Z
D
Z
f (x, y)dA≤ M.A(D)
7. Sendo f(x, y) integrável em D, ela pode ser descontínua num número finito de pontos em D com “medida” nula. Suponhamos que f (x, y) seja contínua em D, logo existirá um (x0, y0)∈ D tal que: Z D Z f (x, y)dA = f (x0, y0) Z D Z dA
8. Da média: Se m ≤ f(x, y) ≤ M, ∀ (x, y) ∈ D, e g(x, y) conservar seu sinal em D, então para certo (x0, y0)∈ D tem-se
Z D Z f (x, y)g(x, y)dA = f (x0, y0) Z D Z g(x, y)dA
9. Em geral; Z D Z f (x, y)dA ≤ Z D Z |f(x, y)|dA
Todas estas propriedades se demonstram como seus similares para funções de uma variável. Propriedade 1.2. Darboux.
Toda função limitada f(x, y) é integrável por falta ou por excesso num domínio finito1
.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor. Exemplo 1.1.
Determine m e M da propriedade acima descrita para a seguinte integral: Z
D
Z
(x2+ y2)dA
onde D está limitada pelas retas x = −2, x = 3, y = x + 2, y = −2. Solução.
Observe que D = { (x, y) /. − 2 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ x + 2 } e f(x, y) = x2+ y2.
Aplicando critérios de máximos e mínimos absolutos para funções de várias variáveis tem-se que m = f(0, 0) = 0 é mínimo absoluto, e M = f(3, 5) = 34 = M é máximo absoluto de f na restrição D. A área do trapézio D é A(D) = 22, 5.
Portanto, 0 ≤ Z D Z (x2+ y2)dA≤ 34(22, 5) Exemplo 1.2.
Idem ao exercício anterior para a integral Z
D
Z
1
x2+ y2+ 1)dA, onde D é a região limitada
pela fronteira da elipse 4x2+ 9y2= 36.
Solução. Tem-se que D = { (x, y) /. − 1 3 √ 36− 4x2 ≤ y ≤ 1 3 √ 36− 4x2} Como f(x, y) = 1 x2+ y2+ 1 então de 1 ≤ 1 + x
2+ y2 segue que f(x, y) ≤ 1, assim o máximo
absoluto acontece em (0, 0) e f(0, 0) = 1 = M.
O valor de mínimo absoluto acontece em (0, 3) e f(0, 3) = 1
3 = m. Por outro lado, sabemos que a área de qualquer elipse da forma b2x2+ a2y2= a2b2 é πab, assim A(D) = (2)(3)π = 6π.
Portanto, 6π 10 ≤ Z D Z dA x2+ y2+ 1 ≤ 6π.
Em geral, uma integral dupla equivale a duas integrações simples sucessivas, uma em relação a cada variável.
Teorema 1.1. do Valor médio. 1
Suponhamos que f : D ⊂ R2−→ R seja contínua em D, então existe (x 0, y0)∈ D onde Z D Z f (x, y)dA = f (x0, y0) Z D Z 1.dA = f (x0, y0)A(D)
onde A(D) é a área da região D.
Demonstrar este teorema com rigor, requer alguns resultados sobre continuidade ainda não estudados neste livro, porém podemos esboçar algumas idéias.
Como f é contínua em D, então existe um valor de máximo M e um valor de mínimo m para f em D, isto é m≤ f(x, y) ≤ M, ∀ (x, y) ∈ D. Logo Z D Z mdA≤ Z D Z f (x, y)dA≤ M Z D Z M dA ⇒ m≤ 1 A(D) Z D Z f (x, y)dA≤ M Como f é função definida em D e toma todos seus valores entre o mínimo m e o máximo M2
então existe (x0, y0)∈ D tal que f(x0, y0) =
1 A(D) Z D Z f (x, y)dA
1.4 Regras de cálculo das integrais duplas
Até o momento foi vista a integrabilidade de uma grande variedade de funções. ainda não foi estabelecida rigorosamente um método geral para calcular tais integrais. No caso de uma variável, evitamos ter que calcular
b
Z
a
f (x)dx a partir de sua definição como limite de uma soma, mediante o uso do teorema fundamental do cálculo integral.
Lembre que este importante teorema diz que se f é contínua em [a, b] então
b
Z
a
f (x)dx = F (b)− F (a) onde F é uma antiderivada de f. isto é F0(x) = f (x).
Esta técnica em geral não é válida para funções de várias variáveis. No plano-xy distingue-se três tipos principais de regiões da integração. 1. Seja F : D ⊂ R2 −→ R uma função contínua sobre o retângulo D, onde
D ={ (x, y) ∈ R2/. a≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }
Fixando a variável y em [c, d], a função F depende só da variável x, logo F (x, y) é função 2
de uma variável contínua em [a, b]. Logo está bem definido A(y) = b Z a F (x, y)dx, c≤ y ≤ d
é a área da região de interseção do plano Y = y com o sólido (Figura (1.3)). Pelo método de área de seções planas o volume do sólido é
V = d Z c A(y)dy = d Z c Zb a F (x, y)dxdy (1.1) Figura 1.3: Figura 1.4:
de modo análogo, fixando a variável x tem-se que F (x, y) é função contínua de variável y em [a, b]. Assim, está bem definido
A(x) =
d
Z
c
F (x, y)dy, a≤ x ≤ b
é a área da região de interseção do plano X = x com o sólido (Figura (1.4)). Portanto, o volume do sólido é
V = b Z a A(x)dx = b Z a Zd c F (x, y)dydx (1.2)
2. A região de integração D está limitada pelo lado esquerdo e direito pelas retas x = a e x = b respectivamente, na parte superior pela curva y = f(x), e na parte inferior pela curva y = g(x) e cada uma de elas se intercepta com a reta vertical somente num ponto (Figura (1.5).
Para uma região assim defina integral dupla é calculada pela fórmula: Z D Z F (x, y)dA = b Z a f (x) Z g(x) F (x, y)dydx
onde primeiramente calcula-se a integral
f (x)
Z
g(x)
F (x, y)dy e na qual x é considerada constante.
Figura 1.5: Figura 1.6:
3. Para o caso a região integração D estivesse limitada na parte superior e inferior pelas retas y = d e y = c , c < d e pelas linhas curvas x = g(y) e x = f (y) onde (g(y) < f (y)) cada uma das quais se intercepta pela reta horizontal num ponto (Figura (1.6)), então
Z D Z F (x, y)dA = d Z c f (y) Z g(y) F (x, y)dxdy
onde primeiramente calcula-se a integral
f (y)
Z
g(y)
F (x, y)dx e na qual y é considerada constante.
Definição 1.6.
As integrais (1.1) e (1.2) são chamadas de “integrais iteradas”de f e satisfaz:
V = b Z a Zd c f (x, y)dydx = b Z a d Z c f (x, y)dydx V = d Z c Zb a f (x, y)dxdy = d Z c b Z a f (x, y)dxdy V = b Z a d Z c f (x, y)dydx = d Z c b Z a f (x, y)dxdy
Assim, num domínio retangular pode-se invertir a ordem das integrações sem qualquer atenção aos limites de integração. E verificamos que cumpre o seguinte teorema
Teorema 1.2. de Fubini3
.
Seja f uma função contínua com domínio em D = [a, b] × [c, d], então Z D Z f (x, y)dydx = b Z a d Z c f (x, y)dydx = d Z c b Z a f (x, y)dxdy
A demonstração é exercício para o leitor. Exemplo 1.3.
Calcular I = Z
D
Z
xLnydxdy onde D é o retângulo 0≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e. Solução. Observe que: I = Z D Z xLnydA = e Z 1 4 Z 0 xLnydx dy = (1.3) Para calcular 4 Z 0
xLnydx tratamos y como se for constante e integramos respeito a x para obter 4 Z 0 xLnydx = 1 2x 2Lny 4 0 = 8Lny Substituindo em (1.3) I = Z D Z xLnydA = e Z 1 4 Z 0 xLnydx dy = e Z 1 8Lnydy = 8(y ln y− y) e 1 = 8
De modo análogo, mostra-se que: Z D Z xLnydA = 4 Z 0 e Z 1 xLnydydx = 4 Z 0 x(yLny− y) e 1dx = x2 2 (e− e + 1) 4 0 = 8
Pelas regras acima descritas, numa integral dupla, a ordem das integrações podem ser inver-tidas, mudando convenientemente os limites de integração, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 1.4. Calcular a integral 1 Z 0 1 Z y tan(x2)dxdy. Solução. 3
Guido Fubini, nascido na Itália 1879 − 1943, provou um resultado bem geral sobre integral em 1907, porém Cauchy e seus contemporaneos sabiam que se cumpria a igualdade para funções contínuas
Para o cálculo de
1
Z
y
tan(x2)dx não existe fórmula de integração, de modo que devemos mudar a ordem de integração.
Tem-se que D ={ (x, y) ∈ R2/. 0≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1 } então
1 Z 0 1 Z y tan(x2)dxdy = 1 Z 0 x Z 0 tan(x2)dydy = 1 Z 0 x· tan(x2)dx = 1 2Ln(sec 1) Exemplo 1.5.
Seja f(x, y) = x2‘ + y2 e seja D = [−1, 1] × [1, 1] calcular a integral Z D
Z
f (x, y)dxdy. Solução.
Pelas regras de integração Z D Z f (x, y)dxdy = 1 Z 0 1 Z −1 (x2+ y2)dxdy = 1 Z 0 1 3x 3+ xy2 1 −1dy = = 1 Z 0 (2 3 + 2y 2)dy = 2 3[y + y 3] 1 0 = 4 3 ⇒ I = 4 3
1.4.1 Integrais duplas generalizadas
Apresentam-se dois casos.
Primeiro caso: Quando a função F (x, y) for infinita em uma determinada “linha” em D. Neste caso circunda-se esta “linha” pelas linhas paralelas bastante próximas LL1, o que
dará um novo domínio D1 no qual tem significado a integral dupla como mostra a Figura
(1.7). A integral dupla sobre D será definida agora pelo limite Z D Z F (x, y)dA = lim D1→D Z D1 Z F (x, y)dA (1.4)
Todo fica simplificado, quando as paralelas LL1 forem paralelas a um dos eixos. Por exemplo
se as paralelas forem paralelas ao eixo-y, onde a ≤ x ≤ b com F (c, y) infinito, então a igualdade (1.4) podemos escrever: Z D Z F (x, y)dA = lim →0 c− Z a f (x) Z g(x) F (x, y)dA + lim →0 b Z c+ f (x) Z g(x) F (x, y)dA
Segundo caso: Quando o domínio D for ilimitado. Neste caso poderíamos, por meio de par-alelas a um dos eixos, ou aos dois, determinar um domínio limitado D1 (por exemplo
D1 ={ (x, y) ∈ R2/. a≤ x ≤ c, f(x) ≤ y ≤ g(x) }) como indica a Figura (??).
Depois poderiamos afastar estas paralelas a fim de restabelecer o domínio D. Definimos a integral dupla em D pelo limite, suposto existente
Z D Z F (x, y)dA = lim D0→∞ Z D0 Z F (x, y)dA
Quando a região de integração for D, for o primeiro quadrante do plano-xy (ou o plano tudo) o cálculo da integral fica na forma:
Z D Z F (x, y)dA = lim n→∞ n Z −n n Z −n
F (x, y)dxdy primeiro quadrante
Z D Z F (x, y)dA = lim n→∞ n Z 0 n Z 0
F (x, y)dxdy plano tudo Exemplo 1.6. Calcular a integral I = ∞ Z 0 ∞ Z x e−y2dydx. Solução.
Calcular de início em relação a y é impossível determinar essa integral por métodos ele-mentares. Mudando a ordem de integração resulta
I = ∞ Z 0 y Z 0 e−y2dxdy = ∞ Z 0 ye−y2dy =−1 2[ limm→∞e −m2 − 1] = 12 Portanto, I = ∞ Z 0 ∞ Z x e−y2dydx = 1 2. Exemplo 1.7. Calcular Z D Z 1
1− x2− y2dydx, onde D é o disco unitário x2+ y2≤ 1.
Observe que D = { (x, y) ∈ R2/. − 1 ≤ x ≤ 1, −√1− x2 ≤ y ≤√1− x2}.
Como a fronteira de D é o conjunto de pontos x2 + y2 = 1, a função a integrar não está
definida nestes pontos de fronteira. pois nestes pontos o denominador é zero. Calculemos esta integral iterada imprópria.
1 Z −1 √ 1−x2 Z √ 1−x2 1 1− x2− y2dydx = 1 Z −1 h arcseni √ 1−x2 √ 1−x2 = = 1 Z −1 [arcsen(1)− arcsen(−1)]dx = π 1 Z −1 1.dx = 2π Exemplo 1.8. Sejam f(x, y) = 1 x− y e D = { (x, y) ∈ R 2/. 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x }. Calcular a integral de f sobre D. Solução. Tem-se Z D Z 1 x− ydydx = 1 Z 0 x Z 0 1 x− ydydx = 1 Z 0 Ln(x− y) x 0dx =− 1 Z 0 h lim m→xLn(x− m) − Lnx i dx =− 1 Z 0 [−∞ − Lnx]dx = +∞ + (xLnx − x) 1 0= +∞ − 1 − limk→0(k ln k− k) = +∞ − 1 + ∞
Exercícios 1-1 1. Calcular Z D Z y2
x2+ 1dydx onde a região D ={ (x, y) ∈ R2/. 0≤ x ≤ y ≤ 1 }.
2. Calcular as seguintes integrais:
1. π/2 Z −π/2 cos θ Z 0 r2sen2θdrdθ 2. 2 Z 1 x2 Z 0 ey/xdydx 3. 4 Z 3 2 Z 1 dydx (x + y)2 4. 2π Z 0 a Z 0 y· cos2xdydx 5. 3 Z 1 x Z x2 (x− y)dydx 6. 2 Z 1 2x Z 0 xy3dydx 7. 1 Z 0 1 Z 0 (x− y)dydx 8. 1 Z 0 y Z y2 p x/ydxdy 9. 1 Z 0 y2 Z 0 ex/ydxdy 10. π/3 Z 0 senx Z 1/2 (1 + p 1 1− y2)dydx 11. 2 Z 0 3ex2 Z √ 4−x2 xdydx 12. 1 Z 0 3x Z 2x ex+ydydx 13. 3 Z −3 √ 9−x2 Z 0 p x2+ y2dydx 14. √ π Z 0 √ π Z y cos(x2)dxdy 15. π/2 Z 0 y Z −y senxdxdy
3. Mudar a ordem de integração das seguintes integrais:
1. 1 Z −1 1−x2 Z −√1−x2 f (x, y)dydx 2. 2 Z −6 2−x Z x2 4 −1 f (x, y)dydx 3. e Z 1 Lnx Z 0 f (x, y)dydx 4. 1 Z 0 x Z 0 f (x, y)dydx 5. 1 Z 0 1+√1−y2 Z 2−y f (x, y)dxdy 6. 1 Z 0 √ 1−x2 Z (1−x)2 2 f (x, y)dydx 7. π Z 0 senx Z 0 f (x, y)dydx 8. 2π Z 0 a Z 0 f (x, y)dydx 9. 2π Z 0 a Z 0 f (x, y)dydx 10. 1 Z 0 y+2 Z y2 f (x, y)dxdy 11. 1 Z 0 1−y Z −√1−y 2 f (x, y)dxdy 12.
4. Dada a região D, decomponha Z
D
Z
f (x, y)dA nas duas possíveis ordens de integração.
1. D é a região limitada pelas curvas x2− y2 = 1, 3x = 2y2.
2. D é a região que não contêm a origem e é limitada pelas curvas x2− y2= 1, x2+ y2 = 9.
5. Calcular as seguintes integrais pela inversão da ordem de integração. 1. 1 Z 0 1 Z y e−3x2dxdy 2. 4 Z 0 2 Z √ x nseny3dydx 3. 1 Z 0 arccos xZ 0 esenydydx 6. Mostrar que: 1. 1 e ≤ 1 4π2 π Z −π π Z −π esen(x+y)dA≤ e 2. 1 2(1− cos 1) ≤ 1 Z 0 1 Z 0 senx 1 + (xy)4dxdy ≤ 1 3. 1≤ 1 Z −1 1 Z −1 dxdy x2+ y2+ 1 ≤ 6 4. 1 6 ≤ Z D Z dA y− x + 3 ≤ 1 4
onde D é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1), (1, 0) 7. Calcular as integrais caso existam.
1. Z D Z 1 √xydA, onde D ={ (x, y) ∈ R2/. 0≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 } 2. Z D Z 1 p |x − y|dxdy, onde D ={ (x, y) ∈ R 2/. 0≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 } 3. Z D Z y xdxdy, onde D ={ (x, y) ∈ R 2/. 0≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ x } 4. Z D Z ln xdxdy, onde D ={ (x, y) ∈ R2/. 0≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ y }
8. Calcular as seguintes integrais generalizadas: 1. ∞ Z −∞ ∞ Z −∞ dxdy 1 + x2+ y2 2. ∞ Z −∞ ∞ Z −∞ dxdy 3 p (1 + x2+ y2)2 3. ∞ Z 0 ∞ Z −∞ dxdy (a2+ x2+ y2)2 4. ∞ Z −∞ ∞ Z −∞ e−|x|−|y|dxdy 5. ∞ Z 0 ∞ Z 0
(x + y)e−(x+y)dxdy 6.
∞ Z 0 ∞ Z 0
xye−x2−y2dxdy
Respostas: 1. (3.) 42; (4.) 1/3 ;(5.) 1/5 ; (6.) 1/2 (7.) ;(8.) 3 2e 4− 25 6 ; (9.) 1 4e 4−1 3e 3+ 1 12 2. (10.) 9π; (11.) 0;
1.5 Cálculo de áreas e volumes com integração dupla
1. Se F : D ⊂ R2 −→ R é uma função contínua na região fechada D, então
V = Z
D
Z
F (x, y)dA
é a medida do volume do sólido limitado pela fronteira de D (geratrizes paralelas respeito algúm dos eixos de coordenadas) , pela superfície F (x, y) tendo como base a região D no plano de coordenadas.
2. Seja S uma região fechada no plano-xy e F : S ⊂ R2 −→ R é uma função contínua tal que
F (x, y) = 1, ∀ (x, y) ∈ S, então a área da região s tem como medida A(S) = Z S Z 1· dA Exemplo 1.9.
Determine a área da região plana que se encontra no primeiro quadrante e está limitado pelo círculo x2+ y2 = 18 e a parábola y2= 3x.
Solução.
Figura 1.9: A região D está representada na Figura (1.9) e sua área está
dada por A(D) = 3 Z 0 √ 18−y2 Z x 3 1.dxdy = 6 + 9π 4 unidades quadradas. Exemplo 1.10.
Determinar o volume da região limitada pelo plano-xy, o plano x + y + z = 2, e o cilindro parabólico y = x2.
Tem-se que D = { (x, y) ∈ R2/. − 2 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2 − x }. O volume V do sólido
está limitado na base por D, nas laterais pela fronteira de D e na parte superior pelo plano z = 2− x − y. V = Z D Z (2− x − y)dA = 1 Z −2 2−x Z x2 (2− x − y)dydx = 81 20 Exemplo 1.11.
Determine o volume V da superfície f(x, y) = xy limitada na base pelo plano-xy tendo como geratriz a fronteira da região D = { (x, y) ∈ R2/. (x− 2)2+ (y− 2)2= 4} .
Considerando a integração primeiro em relação a y a variável x será tratada coo constante, mas y só poderá ter a variação
2−p4x− x2≤ y ≤ 2 +p4x− x2, 0≤ x ≤ 4 assim V = 4 Z 0 2+√4x−x2 Z 2−√4x−x2 xydydx = 4 Z 0 1 2xy 2 2+√4x−x2 2−√4x−x2dx = 4 4 Z 0 xp4x− x2dx = = 4 3(x 2− x − 6)p4x− x2+ 16arcsenx− 2 2 4 0 = 16π Portanto, o volume V = 16π.
1.6 Mudança de variável em integrais duplas
Suponhamos temos uma transformação ϕ : R2 −→ R2 de classe C1 definida por ϕ(u, v) =
(5u−u2, 2v), observe que a região D = [0, 1]×[0, 1] é transformada na região D
1 = [0, 4]×[0, 2],
evidentemente a área A(D) = 1 e A(D1) = 8.
Podemos imaginar que, se x = x(u, v) e y = y(u, v) então é válida a igualdade Z D Z f (x, y)dxdy = Z D1 Z
f (x(u, v), y(u, v))dudv
onde f ◦ T (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) é a função composta definida em D1.
Porém quando f(x, y) = 1 teríamos 1 = A(D) = Z D Z 1.dxdy = Z D1 Z 1.dudv = A(D1) = 8 isto é um absurdo!
O que estamos precisando para superar este impasse, é uma ferramenta que permita retificar essa medida na transformação. O determinante jacobiano é a mais indicado e assim definida.
1.6.1 Jacobiano de uma função de n variáveis
Definição 1.7.
Seja ϕ : U ⊂ R2−→ R2 uma transformação na classe C1 dada por x = x(u, v), y = y(u, v).
O Jacobiano de ϕ, se escreve ∂(x, y)
∂(u, v) ou J(u, v), é o determinante da matriz derivada dϕ(x, y) de ϕ. ∂(x, y) ∂(u, v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v
• Para o caso particular da transformação x = x(u, v), y = y(u, v) tem-se: ∂(x, y)
∂(u, v) = J(u, v) = mod ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v então Z D Z f (x, y)dA = Z D1 Z
f (x(u, v), y(u, v))J(u, v)dudv
• Para o caso particular da transformação x = rsenθ, y = r cos θ, r > 0 tem-se: ∂(x, y) ∂(r, θ) = J(r, θ) = mod ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ = r
Este conceito do Jacobiano, pode ser estendida a funções de várias variáveis. Definição 1.8.
Seja f : D ⊂ Rn−→ R uma função definida no conjunto fechado D.
Suponhamos que ϕ : U ⊂ Rn −→ Rn função contínua, diferenciável e injetora no conjunto
aberto U. Se S é um conjunto fechado contido em U tal que D é a imagem de ϕ em S, isto é:
ϕ(S) = D ={ (x1, x2, x3, · · · , xn)∈ Rn/. (x1, x2, x3, · · · , xn) = ϕ(y1, y2, y3, · · · , yn) =
= (ϕ1(y1, y2, y3, · · · , yn), ϕ2(y1, y2, y3, · · · , yn), · · · , ϕn(y1, y2, y3, · · · , yn), }
Então
(f ◦ ϕ)(x1, x2, x3, · · · , xn) = f (ϕ(y1, y2, y3, · · · , yn))· J(y1, y2, y3, · · · , yn)
onde J(y1, y2, y3, · · · , yn) é o Jacobiano da transformação ϕ definida por:
∂(x1, x2, x3, · · · , xn) ∂(y1, y2, y3, · · · , yn) = J(y1, y2, y3, · · · , yn) = ∂ϕ1 ∂y1 ∂ϕ1 ∂y2 · · · ∂ϕ1 ∂yn ∂ϕ2 ∂y1 ∂ϕ2 ∂y2 · · · ∂ϕn ∂y2 ... ... ··· ... ∂ϕn ∂y1 ∂ϕ2 ∂yn · · · ∂ϕn ∂yn Teorema 1.3. Mudança de variáveis.
Sejam D e D∗ regiões elementares do plano. e seja ϕ : D∗ −→ D transformação de classe
C1, supor que ϕ seja injetora em D∗ e ϕ(D∗) = D. Então para qualquer função integrável
f : D⊂ R −→ R tem-se Z D Z f (x, y)dxdy = Z D∗ Z f (x(u, v), y(u, v)) ∂(x, y) ∂(u, v) dudv
A demonstração é exercício para o leitor. Exemplo 1.12.
Seja o paralelogramo limitado por y = 2x, y = 2x− 2, y = x e y = x + 1. Apresentar a integral
Z
D
Z
xy· dxdy mediante a mudança de variáveis x = u − v, y = 2u− v. Solução.
A transformação é injetora e está desenhada na Figura (1.10), de modo que transforma o retângulo D∗ limitado por v = 0, v =−2, u = 0 e u = 1 sobre D.
Figura 1.10: Transformação linearϕ O Jacobiano ∂(x, y) ∂(u, v) = det 1 −1 2 1 ! = 1. Assim Z D Z xy· dxdy = Z D∗ Z (u− v)(2u − v) · dudv = 0 Z −2 1 Z 0
(2u2− 3vu + v2)· dudv
Exemplo 1.13. Calcular I = Z
D
Z
e−(x2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo
x2+ y2≤ a2 e os eixos coordenados. Solução.
Um dos propósitos do Teorema (1.3) é proporcionar um método mediante o qual seja possível simplificar os cálculos de algumas integrais duplas.
Exemplo 1.14. Calcular I = Z
D
Z
e−(x2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelo círculo
x2+ y2≤ a2 e os eixos coordenados.
Solução.
Considerando a transformação x = r cos θ, y = rsenθ onde 0≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π
2, então I = Z D Z e−(x2+y2)dA = π/2 Z 0 a Z 0 e−r2rdrdθ = π 4(1− e−a 2 )
Exemplo 1.15. Calcular a integral Z D Z r 1−x 2 a2 − y2
b2 onde D é a região limitada pela elipse
x2 a2+
y2 b2 = 1.
Solução.
A forma do integrando e a natureza da região sugere que x = a.u cos v, y = b.usenv. Então 0≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π ∂(x, y) ∂(u, v) = a cos v −a.usenv b.senv b.u cos v
= abu(cos2v + sen2v) = abu
Portanto, I = Z D Z r 1−x 2 a2 − y2 b2 = 2π Z 0 1 Z 0 p 1− u2abududv = 2 3abπ. Exemplo 1.16.
Achar a área da região no primeiro quadrante do plano-xy limitada pelas curvas x + 2y2 =
1, x2+ 2y2= 4, y = 2x, y = 5. Solução.
Fazendo a transformação u = x2 + 2y2, v = y
x, tem-se que a região do plano-xy fica transformada num retângulo no plano-uv, onde 1 ≤ u ≤ 4, 2 ≤ v ≤ 5.
O Jacobiano é determinado assim: ∂(u, v) ∂(x, y) = ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y = 2x 4y −y x2 1 x = 2 +4y 2 x2 de onde J(u, v) = ∂(x, y) ∂(u, v) = 1 2 +4y 2 x2 = 1
2(1 + 2v2), logo a área pedida é:
A = Z D Z 1.dA = 5 Z 2 4 Z 1 dudv 2(1 + 2v2) = 3√2 4 arctan( √ 2 3 )
1.7 Integrais duplas en coordenadas polares
Seja D ⊂ R2 uma região limitada pelas retas θ = α, θ = β e pelas circunferências r = a e
r = b.
Uma partição P da região D obtém-se traçando retas através do pólo e circunferências com centros no pólo, obtendo assim uma rede de regiões chamadas retângulos curvados.
A norma da partição denotada ||P || é o comprimento da diagonal maior dos n retângulos curvados. A área do i-ésimo retângulo curvado é igual à diferença das áreas dos setores circulares.
4iA = 1 2r 2 i(θi− θi−1− 1 2r 2 i−1(θi− θi−1) =
= 1
2(ri− ri−1)(ri+ ri−1)(θi− θi−1)
Figura 1.11: Coordenadas polares Considerando ¯ri = 1 2(ri− ri−1), 4ir = (ri+ ri−1),4iθ = θi− θi−1 tem-se 4iA = ¯ri· 4ir· 4iθ.
seja f : D ⊂ R2 −→ R função contínua e (¯r
i, ¯θi) um ponto
na i-ésima subregião de D com θi−1 ≤ ¯θ ≤ θi. A soma de
Riemann associada a f é dada por
n X f (¯ri, ¯θi)4iA = n X i=1 f (¯ri, ¯θi)¯ri· 4ir· 4iθ
A integral dupla em coordenadas polares é dada por Z D Z f (r, θ)dA = lim ||P ||→0 n X i=1 f (¯ri, ¯θi)¯ri.4ir.4iθ = Z D Z f (r, θ)r.drdθ Observação 1.1.
O volume do sólido que tem como base a região D no plano de coordenada polar, e que esta limitado superiormente pela superfície z = f(r, θ) onde f : D ⊂ R2 −→ R é função contínua
sobre D com f(r, θ) ≥ 0 em D é: V = Z D Z f (r, θ)r.drdθ
1.7.1 Integrais iteradas em coordenadas polares
1. Seja D = { (r, θ) /. α ≤ θ ≤ β, ϕ1(θ) ≤ r ≤ ϕ2(θ)} região polar no plano polar, e
f : D⊂ R2 −→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.12). Então
Z D Z f (r, θ)dA = β Z α ϕ2(θ) Z ϕ1(θ) f (r, θ)r.drdθ Figura 1.12: Figura 1.13:
f : D⊂ R2 −→ R função contínua sobre D como mostra a Figura (1.13). Então Z D Z f (r, θ)dA = b Z a ψ2(r) Z ψ1(r) f (r, θ)r.dθdr Exemplo 1.17. Calcular I = Z D Z
e−(x2+y2)dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitado pelos eixos coordenados.
Solução.
Seja a transformação x = r cos θ, y = rsenθ onde 0≤ r < +∞, 0 ≤ θ ≤ π
2, então I = Z D Z e−(x2+y2)dA = π/2 Z 0 +∞ Z 0 e−r2rdrdθ = π/2 Z 0 dθ = π 4 Exemplo 1.18. Calcular I = 2 Z −2 2+√4−x2 Z 2−√4−x2 p 16− x2− y2dydx. Solução.
Tem-se que a região de integração é
D ={ (x, y) ∈ R2/. − 2 ≤ x ≤ 2, 2 −p4− x2 ≤ y ≤ 2 +p4− x2}
A região D é o disco no plano-xy, o centro da figura circular é (0, 2) e raio r = 2. A função f (x, y) =p16− x2− y2 é a semi-esfera de centro (0, 0, 0) e raio 4, esta superfície é simétrica
respeito do eixo-z.
Assim, 0 ≤ θ ≤ π, para obter a variação de r substituimos na equação do disco 0 ≤ x2+ (y−
2)2 ≤ 22 para obter 0 ≤ r ≤ 4senθ. Logo
I = 2 Z −2 2+√4−x2 Z 2−√4−x2 p 16− x2− y2dydx = 2 2 Z 0 2+√4−x2 Z 2−√4−x2 p 16− x2− y2dydx = = 2 π/2 Z 0 4senθ Z 0 p 16− r2rdrdθ = 64(3π− 4) 9 Portanto, I = 64(3π− 4) 9 . Exemplo 1.19.
Determine o volume do sólido S limitado pelo cilindro x2+ y2= 4, e o hiperboloide x2+
Solução.
Figura 1.14:
A Figura (1.14) mostra o volume a calcular, a medida desse sólido é: V = Z D Z [px2+ y2− 1 − (−px2+ y2− 1)]dA
Em coordenadas polares tem-se V = 2π Z 0 2 Z 1 2pr2− 1rdrdθ = 4√3
Exercícios 1-2
1. Calcular a área da região D limitada pelas curvas dadas.
1. y2 = x, x− y = 2 2. y = |x|, 4y = 4x2+ 1 3. D ={ (x, y) ∈ R2/ 0≤ x ≤ π 3, senx≤ y ≤ sec 2x} 4. D ={ (x, y) ∈ R2/ 1 2 4 √y≤ x ≤ 1 1 + y2, 0≤ y ≤ √ 3 3 } 5. D ={ (x, y) ∈ R2/ (x2+ y2)2 = 2ax3} 6. D ={ (x, y) ∈ R2/ (x2+ y2)3 = x4+ y4} 7. D ={ (x, y) ∈ R2/ (x2+ y2)2 = 2a2(x2− y2)}
2. Um sólido está limitado pelas superfícies y2+ z2 = 4ax, x = 3a, e está situado no interior
de y2 = ax. Achar seu volume.
3. Utilizar coordenadas polares para calcular as seguintes integrais. 1. Z D Z ex2+y2dxdy D ={ (x, y) ∈ R2/. x2+ y2 ≤ 1 } 2. Z D Z dxdy 2− x2− y2 D ={ (x, y) ∈ R 2/. x2+ y2≤ 1 } 3. 4 Z −4 √ 16−x2 Z −√16−x2 e−x2−y2dxdy 4. a Z 0 a Z y p a2− x2dxdy
4. Utilizar integral dupla para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas |x| = y2 e
2|x| = y2+ 4.
5. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2/. 2≤ x2+ y2≤ 4, y ≥ 1 }.
6. Determine a área da região plana do primeiro quadrante, limitada pelo eixo-x, a circunfe-rência x2+ y2 = 18 e a parábola y2 = 3x.
7. Mediante integrais duplas, determine a área de um círculo de raio r.
8. Determine a área da região limitada pela curva y = |x2−2x−3| e as retas y+1 = 0, x−1 = 0
e x = 4.
9. Calcular a área da região D = { (x, y) ∈ R2/. x2+ (y− 1)2≤ 1, x2+ y2 ≥ 1 }.
10. Para cada um dos seguintes exercícios, calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies. 1. 3x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0
2. z = senxseny, z = 0, x = π, y = 0, y = π
11. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1 e pelo cilindro z = 1 − y2.
12. Calcular o volume do sólido que não contêm a origem e que é limitado pelo gráfico z = 4− r2, pelo cilindro r = 1 e pelo plano z = 0.
13. Calcular o volume do sólido interior à esfera z2+ r2 = 16 e ao cilindro r = 4 cos θ.
14. Calcular o volume da região do espaço no primeiro octante, compreendida entre os cilindros x2+ y2 = a2 e x2z2 = a2, a > 0.
15. Calcular o volume do elipsóide x2+ y2+ 4z2≤ 4. 16. Calcular o volume do cone de base r e altura h. 17. Calcular
Z
D
Z
(cos(2x) + seny)dxdy onde D é a região limitada pelas curvas xy = 1, y = √
x, x = 2.
18. Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e o plano 2x + y + z = 6.
19. Calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos eixos coordenados, e os planos x + y + 4z = 20, 3x + 4y + 4z = 16, x + y = 4.
20. Determine o volume de um tetraedro limitado por x 3+
y 4+
z
1.8 Aplicações da integral dupla
1.8.1 Valor promédio
Sejam x1, x2, x3, · · · , xn números qualquer, seu promédio está definido por
[xi]prom x1+ x2+ x3+· · · + xn n = 1 n n X i=1 xi
Este conceito nos leva a definir o valor promédio de uma função de uma variável no intervalo [a, b] por [f (x)]prom= b Z a f (x)dx b− a
Para o caso de funções f de duas variáveis , a razão da integral de f á área de D
[f (x, y)]prom= Z D Z f (x, y)dA Z D Z 1.dA
é chamado de valor promédio. Exemplo 1.20.
Calcular o valor promédio de f(x, y) = xsen2(xy) sobre a região D = [0, π]× [0, π].
Solução.
Calculemos a integral sobre f. É imediato que A(D) = π2
Z D Z f (x, y)dA = π Z 0 π Z 0 xsen2(xy)(xy)dydx = 1 2 π Z 0 π Z 0 (x− x cos(2xy))dydx = = 1 2 π Z 0 (xy− 1 2sen(xy)) π 0dx = 1 4 π Z 0 (2πx− sen(πx))dx = = 1 4[πx 2− 1 2π cos(2πx)] π 0 = 1 8[2π 3+ cos(2π2)− 1]
Logo o valor promédio é [f(x, y)]prom=
π 4 +
cos(2π 2)− 1
8π ≈ 0, 7839.
1.8.2 Centro de massa de uma lâmina
Se tentamos balançar massas em uma alavanca (Figura (1.15), o ponto de equilíbrio ¯x ocor-rerá durante o momento total (massa por distância ao ponto de equilíbrio) zero, isto é, onde
3
X
i=1
Em geral quando se colocam m1, m2, m3, · · · , mn nos pontos x1, x2, x3, · · · , xn sobre o
eixo-x, seu centro de massa ou centro do sistema se define como:
n X i=1 mi(xi− ¯x) = 0, de onde. ¯ x = n X i=1 mixi n X i=1 mi (1.5) Figura 1.15:
Quando estudamos integração em uma variável para achar o centro de massa de uma lâmina homogênea consideramos aquelas cuja densidade ρ(x) da área era constante análogo a nossa fórmula (1.5). ¯ x = Z xρ(x)dx Z ρ(x)dx Figura 1.16: Nesta seção estudaremos o modo de calcular o centro de
massa mediante integrais duplas, de qualquer lâmina seja esta homogênea ou não.
A Figura (1.16) mostra que a placa se equilíbra quando o ponto de apoio se encontra no seu centro de massa.
Seja D uma lâmina que tem a forma fechada D no plano-xy, e seja ρ a medida da densidade da área da lâmina em qualquer ponto (x, y) de D onde ρ : D ⊂ R2 −→ R é função contínua
sobre D. A massa total M da lâmina esta dada por M =
Z
D
Z
ρ(x, y)dA
O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-x é Mx=
Z
D
Z
yρ(x, y)dA
O momento da massa de uma lâmina D com respeito ao eixo-y é My =
Z
D
Z
Portanto, o centro de massa da lâmina no ponto (¯x, ¯y) é ¯ x = My M = Z D Z xρ(x, y)dA Z D Z ρ(x, y)dA ¯ y = Mx M = Z D Z yρ(x, y)dA Z D Z ρ(x, y)dA Exemplo 1.21.
Uma lâmina na forma de um triângulo retângulo isósceles tem uma densidade de área que varia com o quadrado da distância ao vértice do ângulo reto. Se a massa se mede em kg e a distância em cm. Achar a massa e o centro da massa da lâmina.
Solução.
Observe que a distância do ângulo reto a qualquer ponto é igual apx2+ y2, logo a densidade
é dada por ρ(x) = k(x2+ y2 onde k é constante. A Figura (1.17) mostra a lâmina, assim:
M = Z D Z ρ(x, y)dA = a Z 0 a−x Z 0 k(x2+ y2)dydx de onde M = 1 6ka
3. Por outro lado,
Mx = Z D Z yρ(x, y)dA = k a Z 0 a−x Z 0 y(x2+ y2)dydx de onde Mx= 1 15a 5. Por último My = Z D Z xρ(x, y)dA = 1 15a 5
Portanto o centro de massa é (¯x, ¯y) = (2a 5 , 2a 5 ). -6 @ @ @ @ @ @ @ @ P (x, y) y x a a 0 d Figura 1.17: Figura 1.18:
Exemplo 1.22.
Achar o centro da massa de uma lâmina homogênea (densidade constante) que tem a forma de uma região limitada pela parabola y = 2 − 3x2 e a reta 3x + 2y = 1.
Solução.
Podemos verificar sem dificuldade que o ponto de interseção da parabola e reta são os pontos (−1
2, 5
4) e (−1, 1). A Figura (1.18) mostra a região de integração Logo tem-se: M = 1 Z −12 2−3x2 Z 1 2(1−3x) ρdydx = 27 16ρ Mx = 1 Z −12 2−3x2 Z 1 2(1−3x) ρydydx = 27 20ρ My = 1 Z −1 2 2−3x2 Z 1 2(1−3x) ρxdydx = 27 64ρ Portanto, (¯x, ¯y) = (1 4, 4
5) é o centro da massa da lâmina.
1.8.3 Momentos de inércia de uma lâmina
Definição 1.9.
Se uma partícula de uma massa se encontra a d unidades de distância de uma reta L então o número I = md2 chamamos de momento de inércia da partícula m respeito de L
O momento de massa de uma partícula geralmente es denominado de primeiro momento e o momento de inércia é chamado de segundo momento
Um sistema de partículas de massas m1, m2, m, m3,· · · , mnsituadas a distâncias d1, d2, d3,· · · , dn
respectivamente, desde uma reta L tem o momento de inércia I que se define como a soma dos momentos das partículas individuais.
I =
n
X
i=1
mid2i
É evidente que por nosso processo usual de passo al limite o momento de inércia de uma lâmina que tem a forma de uma região plane com densidade ρ : S ⊂ R2−→ R contínua pode se
achar respeito a qualquer reta L.
Em particular é evidente, que os momentos de inércia la lâmina respeito aos eixos-x e y estão dados por; Ix= Z S Z y2ρ(x, y)dA Iy = Z S Z x2ρ(x, y)dA
O momento de inércia entorno da origem (0, 0) esta dado por Io= Ix+ Iy = Z S Z (x2+ y2)ρ(x, y)dA
O momento de inércia entorno da reta L : ax + by = c esta dado por IL= Z S Z (√ax + by a2+ b2) 2ρ(x, y)dA Exemplo 1.23.
Uma lâmina com densidade ρ(x, y) = xy está limitada pelo eixo-x, a reta x = 8, e a curva y =√3x2. Determine sua massa total, o centro de massa e os momentos de inércia entorno dos
eixos-x, y e z. Solução. Massa: M = Z D Z ρ(x, y)dA = 8 Z 0 3 √ x2 Z 0 yxdydx = 8 Z 0 1 2y 2x 3 √ x2 0 dx = = 1 2 8 Z 0 3 √ x7dx = 1 2 3 10 3 √ x10 8 0 = 768 5
Centro de massa: Cálculo dos momentos. Respeito do eixo-y é My = Z D Z xρ(x, y)dA = 8 Z 0 3 √ x2 Z 0 yx2dydx = 8 Z 0 1 2y 2x2 3 √ x2 0 dx = = 1 2 8 Z 0 3 √ x10dx = 1 2 3 10 3 √ x13 8 0 = 1024 3 Respeito do eixo-x é My = Z D Z yρ(x, y)dA = 8 Z 0 3 √ x2 Z 0 y2xdydx = 8 Z 0 1 3y 3x 3 √ x2 0 dx = = 1 3 8 Z 0 x3dx = 1 3 1 4x 4 8 0 = 1024 3 Logo, ¯x = My M = 80 13, y =¯ Mx M = 20 9 Momentos de inércia: Respeito.
Do eixo-x é Ix= Z D Z xy3da = 8 Z 0 3 √ x2 Z 0 xy3dydx = 1 4 8 Z 0 xy4 3 √ x2 0 dx = 6144 7 .
Do eixo-y é Iy = Z D Z x3yda = 8 Z 0 3 √ x2 Z 0 x3ydydx = 1 2 8 Z 0 x3y2 3 √ x2 0 dx = 6144 Do eixo-z é Iz = Ix+ Iy = 49.152 7 ≈7021,71. Exemplo 1.24.
Determine o centro da massa de uma lâmina com forma da um quarto de círculo de raio r com densidade proporcional à distância ao centro do círculo.
Solução.
Pelos dados do problema, ρ(x, y) = kpx2+ y2, onde k é a constante de proporcionalidade.
Em coordenadas polares. M = Z D Z kpx2+ y2dA = π/2 Z 0 r Z 0 r· rdrdθ = kπr 3 6 também My = Z D Z kxpx2+ y2dA = π/2 Z 0 r Z 0 (r cos θ)r2drdθ = kr 2 4 Assim, ¯x = My M = kr4/4 kπr3/6 = 3r 2π.
Como a lâmina é simétrica respeito do seu eixo, concluímos que ¯y = ¯x = 3r 2π. Exemplo 1.25.
Calcular o momento de inércia da região D limitada pela hipérbole xy = 4 e a reta x + y = 5 com respeito à reta x − y = 0.
Solução.
A distância de qualquer ponto (x, y) da região D à reta x − y = 0 está dada por d = x√− y 2 . Logo IL= 1 2 4 Z 1 5−x Z 4/x (x− y)2dydx = 11 6 4 Z 1 (x− y)3dx 5−x 4/xdx = 16Ln2 + 75 8
Definição 1.10. Raio de giro.
O raio de giro de um objeto respeito de um eixo L é o número R definido por R = r
I M onde I é o momento de inércia respeito do eixo-L, e M é a massa total do objeto.
Solução.
Exemplo 1.26.
Achar o raio de giro de uma lâmina semicircular com respeito a seu diâmetro, se a densidade da lâmina em qualquer ponto é proporcional à distância entre o ponto e seu diâmetro .
Podemos supor o semicírculo y =√a2− x2, sua densidade é ρ(x, y) = ky. Logo Ix= a Z −a √ x2−a2 Z 0 ky3dydx = 4 15ka 5.
Por outro lado, M =
a Z −a √ x2−a2 Z 0 kydydx = 2 3ka 2.
Portanto, o raio de giro da lâmina é R = r Ix M = √ 10 5 a 2
1.8.4 Área de uma superfície
No seguinte capítulo mostra-se que a área de qualquer paralelogramo de lados os vetores ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) está dado pelo módulo do vetor u× v.
A =ku × vk = ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1 v2 v3 Figura 1.19: Suponha que S seja a superfície f : S ⊂ R2 −→ R sobre
uma região fechada D no plano-xy, também suponhamos que f tem as primeiras derivadas parciais contínuas.
Seja P uma partição da região D com retas paralelas aos eixos do plano-xy, sejam Pi, i = 1, 2, 3· · · , n os retângulos
desta partição, então Pi =4ix× 4iy.
Para cada i seja Si a parte da superfície S que se projeta
sobre o retângulo Pi. Seja P (xi, yi, zi) o ponto de Si que se
projeta sobre um vértice do retângulo Pi aquele que tiver as
menores coordenadas do ponto.
Finalmente seja Ti o paralelogramo do plano tangente em
P (xi, yi, zi).
Sejam ~ui = (4ix, 0, ∂f
∂x(xi, yi)) e ~vi = (0, 4iy, ∂f
∂y(xi, yi)) os lados deste paralelogramo Ti, logo a área de cada um destes paralelogramos é k~ui× ~vik onde
~ui× ~vi = ~i ~j ~k 4ix 0 ∂f ∂x(xi, yi) 0 4iy ∂f ∂y(xi, yi) =4ix· 4iy(− ∂f ∂x(xi, yi), − ∂f ∂y(xi, yi), 1)
assim a área de Ti é dada por
A(Ti) =kui× vik = A(Pi) s ∂f ∂x(xi, yi) 2 + ∂f ∂y(xi, yi) 2 + 1
limite quando n → ∞ para obter a área da superfície S. A(S) = lim kP k→0 n X i=1 A(Ti) = lim kP k→0 n X i=1 (Pi) s ∂f ∂x(xi, yi) 2 + ∂f ∂y(xi, yi) 2 + 1 = A(S) = Z D Z s ∂f ∂x(x, y) 2 + ∂f ∂y(x, y) 2 + 1· dA sempre que o limite exista.
Exemplo 1.27.
Seja D a região do plano-xy limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2. Calcular a área da superfície cilíndrica S definida por f(x, y) =√4− x2.
Solução. Seja f(x, y) =p4− y2, então ∂f ∂x = 0 e ∂f ∂y = −y p
4− y2. A área da superfície é dada por
A(S) = Z D Z s ∂f ∂x 2 + ∂f ∂y 2 + 1· dA = Z D Z v u u t02+ " −y p 4− y2 #2 + 1· dA A(S) = Z D Z 2 p 4− y2 · dA = 2 Z 0 1 Z 0 2 p 4− y2 · dxdy = 2 Z 0 2 p 4− y2 · dy A(S) = 2arcsenx 2 2 0= π Exemplo 1.28.
Calcular a área da parte da superfície z = xy cortada pelo cilindro x2+ y2 = a2.
Solução.
Tem-se que a superfície S está dada pela função z = f(x, y) = xy logo ∂z ∂x = y e
∂z
∂y = x. A região de integração é
D ={ (x, y) ∈ R2 − a ≤ x ≤ a, −pa2− x2 ≤ y ≤pa2− x2}
logo, a área da superfície é
A(S) = a Z −a √ a2−x2 Z −√a2−x2 p x2+ y2+ 1· dydx = 2π Z 0 a Z 0 p r2+ 1· rdrdθ A(S) = 1 3 2π Z 0 p (r2+ 1)3 a 0 = 2π 3 ( p (a2+ 1)3− 1) Propriedade 1.3.
Dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R. As superfícies entre os planos paralelos como mostra a Figura (1.20) tem a mesma área.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
esta propriedade diz que dados uma semi-esfera de raio R e um cilindro de raio na base R satisfazem a seguinte propriedade indicada na Figura (1.20) entre planos paralelos.
Figura 1.20: A modo de aplicação apresentamos o seguinte exemplo. Exemplo 1.29.
Determine a área da superfície S1 formada ao cortar o hemisfério x2+y2+z2 = R2, z≥ 0
pelos planos paralelos z = h1 e z = h2, 0 ≤ h1 ≤ h2 é dado por A(S1) = 2πR(h2− h1).
Verificar que a área da superfície cilíndrica S2 de x2+ y2= R2 entre os planos z = h1 e z = h2
também é A(S2) = 2πR(h2− h1).
Solução.
A projeção da semi-esfera z = pR2− x2− y2 sobre o plano z = h
1 é a circunferência
x2+y2 = [pR2− h2
1]2e a projeção sobre o plano z = h2é a circunferência x2+y2= [
p
R2− h2 2]2.
Logo D projeção da superfície S1 no plano-xy é
D ={ (x, y) ∈ R2/. q R2− h2 2 ≤ x2+ y2 ≤ q R2− h2 1} assim A(S1) = Z D Z s ∂f ∂x p R2− x2− y2 2 + ∂f ∂y p R2− x2− y2 2 + 1· dA A(S1) = Z D Z s x2 R2− x2− y2 + y2 R2− x2− y2 + 1· dA = Z D Z r p R2− x2− y2 · dA
mediante coordenadas polares
A(S1) = 2π Z 0 √ R2−h2 1 Z √ R2−h2 2 R √ R2− r2·rdrdθ = 2π Z 0 R[− r R2− (qR2− h2 2)2+ r R2− (qR2− h2 1)2]dθ = A(S1) = 2π Z 0 R(h2− h1)dθ = 2πR(h2− h1)
A área da parte cilíndrica é o comprimento de sua base pela sua altura, isto é A(S2) =
2πRh = 2πR(h2− h1).
Exercícios 1-3
1. Calcular o valor promédio de f(x, y) = ysenxy sobre D = [0, 2π] × [0, π]
2. Calcular o valor promédio de f(x, y) = e x + y sobre o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0) 3. Calcular a massa de uma lâmina quadrada de lado a, se sua densidade em qualquer ponto
de sua superfície é proporcionar ao quadrado da distância desde um vértice. Rpta 2ka4 3 4. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar a massa M, e o centro de massa (¯x, ¯y)
da lâmina limitada pelas curvas dadas e com densidade indicada. 1. y = ex, y = 0, , x = 0, x = 1; ρ(x, y) = 1− 2x + y 2. x = e−x, x = 0, x = 1; ρ(x, y) = y2 3. y = x, xy = 1, y = 0, x = 2; ρ(x, y) = x 4. y = 0, y = cos x, 0≤ x ≤ π; ρ(x, y) = x 5. y = 0, y =p9− x2; ρ(x, y) = y 6. x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; ρ(x, y) = x + 1 7. r = 2senθ; ρ(r, θ) = 1 r
5. Para cada um dos exercícios, achar o momento de inércia respeito ao eixo dado da placa D cuja densidade e curvas que a limitam estão dadas.
1. D está limitada por x2+ y2 = a4; ρ(x, y) = kpx2+ y2 eixo-z
2. D está limitada por y = x2; ρ(x, y) = k eixo-x
3. D está limitada por y2= x2, y2 = x; ρ(x, y) = ky eixo-y 4. D está limitada por x2+ y2 = a2; ρ(x, y) = kpx2+ y2 eixo-x
5. D está limitada por ; ρ(x, y) =
eixo-6. Para cada um dos seguintes exercícios, determine os momentos Ix, Iy, I0 para a lâmina
limitada pelas curvas dadas com densidade indicada ρ 1. y =√x, x = 16, y = 0; ρ(x, y) = x− y 2. y = x2, y = 9; ρ(x, y) = x 3. Quadrado de vértices (0, 0), (0, m), (m, 0), (m, m); ρ(x, y) = x + 2y 4. Triângulo de vértices (0, 0), (0, m), (m, 0); ρ(x, y) = x + 2y 5. y2 = 8x, x = 2; ρ(x, y) = 1 6. |x| + |y| = 1; ρ(x, y) = 1
7. Sejam ABCD uma lâmina retangular com tem a função densidade ρ e P um ponto no interior da lâmina. Achar o raio de giro da lâmina respeito a os seguinte:
1. AB se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias a AB e BC
2. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é a soma das distâncias a AB e AC
3. A reta perpendicular á lâmina em B, se a densidade ρ no ponto P é constante. 4. A perpendicular á lâmina no centro de massa, se ρ no ponto P é constante.
8. Sejam L1 e L2 laminas disjuntas no plano-xy com massas M1 e M2, e com centros de
massas (¯x1, ¯y1) e (¯x2, ¯y2) respectivamente. Verificar que o centro de massa (¯x2, ¯y2) da
lâmina L1∪ L2 está dada por:
¯ x = ¯x1 m1 m1+ m2 + ¯x2 m2 m1+ m2 ¯ y = ¯y1 m1 m1+ m2 + ¯y2 m2 m1+ m2
9. Determine a área da superfície indicada.
1. Da parte do plano 6x + 3y + 2z = 12 situada no primeiro octante.
2. Da parte da superfície z2 = 2xy a qual se encontra acima do retângulo situado no plano z = 0 e limitado pelas retas x = 0, y = 0, z = 3, y = 6
3. Da parte do cone z2 = x2 + y2 situado acima do plano-xy e cortada pelo plano
z =√2(x 2 + 1).
1.9 Integrais triplas
Os conceitos explicados nas integrais simples e duplas estendem-se de modo natural para as integrais triplas e até de ordem n.
Figura 1.21: Consideremos f : S ⊂ R3 −→ R uma função definida na
superfície limitada e fechada S, podemos traçar planos parale-los a os planos coordenados, para determinar paralelepípedos P1, P2, P3, · · · , Pn que estão contidos em S como mostra a
Figura (1.21). Definição 1.11.
O conjunto P = { P1, P2, P3, · · · , Pn} constitue uma
partição da superfície S, onde a norma na partição kP k = maior diagonal dos paralelepípedos que constituem a partição. Seja V (Pi) = ∆ix∆iy∆iz o volume do i-ésimo
pa-ralelepípedo, Pi, i = 1, 2, 3, · · · , m. Seja (xi, yi, zi) um
ponto arbitrário escolhido em Pi.
A soma de Riemann associada à partição P da superfície f(x, y, z)é:
n X i=1 f (xi, yi, zi)V (Pi) = n X i=1 f (xi, yi, zi)∆ix∆iy∆iz Definição 1.12.
Dizemos que o número L é da soma de Riemann, se
∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que n X i=1 f (xi, yi, zi)V (Pi)− L <
para toda partição P com kPk → 0 para toda eleição do ponto (xi, yi, zi)∈ Pi
Definição 1.13.
Uma função f : S ⊂ R3 −→ R é integrável na região fechada S, se existe um número L, e
este número é a integral tripla de f em S e denota-se
L = Z Z S Z f (xi, yi, zi)dV = lim kPk→0 n X i=1 f (xi, yi, zi)V (Pi)
A pergunta natural é: Quais tipos de funções são integráveis? A seguinte propriedade sem demonstração responde esta questão.
Propriedade 1.4.
Se a funçãof : S ⊂ R3 −→ R é contínua na região fechada S, então existe a integral tripla
de f sobre S.
Na verdade podemos permitir que exista um número finito de descontinuidades. Como é de esperar as integrais triplas tem propriedades
1.9.1 Integrais triplas mediante integrais iteradas
Consideremos D = { (x, y) ∈ R2/. a≤ x ≤ b, φ
1(x)≤ y ≤ φ2(x)} uma região fechada
no plano-xy, onde φ1, φ2: [a, b]−→ R são funções contínuas com φ(x)≤ φ2(x) ∀ x ∈ [a, b].
Sejam ψ1, ψ2 : D ⊂ R3 −→ R funções contínuas na região fechada D onde ψ(x, y) ≤
ψ2(x, y) ∀ (x, y) ∈ D.
Seja S = { } uma região fechada em R3, se f : S ⊂ R3 −→ R é função contínua em S, a
integral iterada de f sobre S é Z Z S Z f (x, y, z)dV = b Z a φ2(x) Z φ1(x) ψ2(x,y) Z ψ1(x,y) f (x, y, z)dzdydx
De modo análogo podemos definir outras quatro integrais de f(x, y, z) nas quais a primeira integração (dentro para fora) é resolvida respeito a uma variável distinta da z.
• Z Z S Z f (x, y, z)dV = f Z e g2(z) Z g1(z) H2(y,z) Z H1(y,z) f (x, y, z)dxdydz • Z Z S Z f (x, y, z)dV = d Z c k2(y) Z k1(y) H2(y,z) Z H3(y,z) f (x, y, z)dxdzdy • Z Z S Z f (x, y, z)dV = f Z e H2(z) Z H1(z) G2(x,z) Z G1(x,z) f (x, y, z)dydxdz • Z Z S Z f (x, y, z)dV = b Z a k2(y) Z k1(y) G2(x,z) Z G1(x,z) f (x, y, z)dydzdx Exemplo 1.30. Calcular I = Z Z S Z
f (x, y, z)dV onde f (x, y, z) = 3 e S está limitada pelas superfícies
z = 0, y = 0, y = x, x + y = 2, x + y + z = 3. Solução. I = Z Z S Z f (x, y, z)dV = 1 Z 0 2−y Z y 3−x−yZ 0 f (x, y, z)dzdydx = 5 Exemplo 1.31. Calcular I = Z Z S Z
f (x, y, z)dV onde f (x, y, z) = x2 e S está limitada pelas superfícies
y2+ z2= 4ax, y2 = ax, x = 3a. Solução.
Z Z S Z f (x, y, z)dV = 3a Z 0 √ ax Z −√ax √ 4ax−y2 Z −√4ax−y2 x2dzdydx = 3a Z 0 √ ax Z −√ax 2x2p4ax− y2dydx = = 3a Z 0 1 3(6 √ 3a + 4πa)dx = 27 2 a 5(3√3 + 2π)
1.9.2 Volumes mediante integrais triplas
Seja f : S ⊂ R → R uma função definida na região fechada S, tal que f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ S, então
V (S) = Z Z
S
Z
1dV é a medida do volume do sólido S Exemplo 1.32.
Achar o volume do sólido limitado na parte superior pela parabolóide z = 4 − x2− y2 e na
parte inferior pelo plano z = 4 − 2x. Solução.
O volume do sólido está dado por
V = 2 Z 0 √ 2x−x2 Z −√2x−x2 4−x2−y2 Z 4−2x 1dzdydx = 4 3 2 Z 0 4 p (2x− x2)3dx = π 2 Exemplo 1.33.
Achar o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 6
x2+ 4 e os planos y = x, x = 2, y = 0, z = 0. Solução. A região de integração é D = { (x, y) ∈ R2/. 0≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x }. O sólido é S = { (x, y, z) ∈ R3/. 0≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 8 x2+ 4}.
Seu volume é dado por V =
2 Z 0 x Z 0 8/(x2+4) Z 0 1dzdydx = 4Ln2.
1.9.3 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
Para o caso ter região S ⊂ R3um eixo coordenado de simetria, as integrais triplas têm menos
dificuldade em seus cálculos, para isto acontecer temos que recorrir ao uso das c coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Uma idéia da justificativa da forma das coordenadas cilíndricas é mostrada na Figura (1.22) e das coordenadas e esféricas na Figura (1.23)
1. As transformações de coordenadas retangulares a cilíndricas são: Como mostra a Figura (1.22): x = r cos θ, y = rsenθ, z = z Se f : S ⊂ R3−→ R é função contínua sobre S então
Z Z S Z f (x, y, z)dV = Z Z S Z f (r cos θ, rsenθ, z)J(r, θ, z)dzdrdθ onde J(r, θ, z) = ∂(x, y, z) ∂(r, θ, z) = cos θ −rsenθ 0 senθ r cos θ 0 0 0 1 = r Portanto, Z Z S Z f (x, y, z)dV = Z Z S Z f (r cos θ, rsenθ, z)r· dzdrdθ.
Figura 1.22: Coordenadas cilíndricas Figura 1.23: Coordenadas esféricas 2. As transformações de coordenadas retangulares a esféricas são:
Como mostra a Figura (1.23): x = ρ cos θsenφ, y = ρsenθ cos φ, z = ρ cos φ Se f : S ⊂ R3−→ R é função contínua sobre S então
Z Z S Z f (x, y, z)dV = Z Z S Z
f (ρ cos θsenφ, ρsenθ cos φ, ρ cos φ)J(ρ, θ, φ)dρdφdθ
onde J(ρ, θ, φ) = ∂(x, y, z) ∂(ρ, θ, φ) =
cos θsenφ −ρsenθsenφ ρ cos θ cos φ senθsenφ ρ cos θsenφ ρsenθ cos φ
cos φ 0 −ρsenφ = ρ2senφ Portanto, Z Z S Z f (x, y, z)dV = Z Z S Z
f (ρ cos θsenφ, ρsenθsenφ, ρ cos φ)ρ2senφ· dρdφdθ.
Exemplo 1.34.
Determine o volume do sólido S sobre o cone z2 = x2+y2e o interior da esfera x2+y2+z2 =
2az. Solução.
Em coordenadas esféricas a equação do cone é ρ = π
4, e a equação da esfera é ρ = 2a cos φ . Logo o volume é V = Z Z S Z ρ2senφdρdφdθ = 2π Z 0 π/4 Z 0 2 cos φ Z 0 ρ2senφ· dρdφdθ = πa3 Exemplo 1.35.
Mediante coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido acima do plano-xy e limitado pela esfera x2+ y2+ z@ = 25 e o cone 16z2= 9x2+ 9y2.
Solução.
Em coordenadas cilíndricas, a equação do cone é z = 3
4r e o da esfera z = √
25− r2.
As superfícies se cortam em aqueles pontos onde 25− x2− y2 = 9
16(x
2+ y2)
ou seu equivalente x2 + y2 = 16. Em coordenadas cilíndricas esta equação podemos escrever
como r = 4. Assim o sólido S é:
S ={ (r, θ, z) ; . 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4, 3 4r≤ z ≤ p 25− r2} assim tem-se V = Z Z S Z r· dzdrdθ = 2π Z 0 4 Z 0 √ 25−r2 Z 3r/4 r· dzdrdθ = 100π 3 Exemplo 1.36. Calcular I = R R S R
(x + y + z)(x + y− z)(x − y − z)dxdydz onde S é o tetraedro limitado pelos planos x − y − z = 0, x + y − z = 0, x − y − z = 0. 2x − y = 1. Solução. Sejam u = x + y + z, v = x + y− z, w = x − y − z ∂(u, v, w) ∂(x, y, z) = ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = 1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 =−1 4
Logo o jacobiano J(u, v, z) = − 1 4 = 1 4
A igualdade 2x − z = 1 se transforma em u + v + 2w = 2. Assim, a região D∗ imagem
0, u + v + 2w = 2, então I = Z Z S Z (x + y + z)(x + y− z)(x − y − z)dxdydz = 2 Z 0 2−u Z 0 1−12Z(u+v) 0 1 4uvw· dwdvdu = 1 180
1.10 Centro de massa e momentos de inércia de um sólido
Os conceitos de massa e centro de massa se generalizam com facilidade a regiões sólidas. O processo que conduz às fórmulas corretas é já conhecido e podemos resumir em poucas palavras: particionar, aproximar integrar
Seja S ⊂ R3 um sólido e ρ : S ⊂ R −→ R uma função contínua sobre S que representa a
densidade de S em qualquer ponto (x, y, z) ∈ S. 1.- A massa total do sólido está dado por:
M = Z Z S Z ρ(x, y, z)dV 2. Os centros de massa:
Os momentos de massa respeito dos planos coordenados em função da densidade são Mxy = Z Z S Z zρ(x, y, z)dV, Mxz= Z Z S Z yρ(x, y, z)dV, Myz= Z Z S Z xρ(x, y, z)dV
Portanto o centro de massa do sólido S é o ponto (¯x, ¯y, ¯z), onde
¯ x = Myz M = Z Z S Z xρ(x, y, z)dV Z Z S Z ρ(x, y, z)dV , y =¯ Mxz M = Z Z S Z yρ(x, y, z)dV Z Z S Z ρ(x, y, z)dV ¯ z = Mxy M = Z Z S Z zρ(x, y, z)dV Z Z S Z ρ(x, y, z)dV 3. Momentos de inércia:
Os momentos de inércia de S entorno dos eixos estão definidos como: • Ix=
Z Z
S
Z
(y2+ z2)ρ(x, y, z)dV , momento de inércia respeito do eixo-x.
• Iy =
Z Z
S
Z
